四川省大竹县文星中学2014-2015学年高二4月月考数学试题

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四川省大竹县文星中学2015年春高二下期4月月考
数学试卷
考试时间：120分钟；满分：150分
第I卷（选择题）
一、选择题：共12题 每题5分 共60分
1．已知x，y，z为非零实数，代数式＋＋＋的值所构成的集合是M，则下列判断正确的是(　　)
A．0 M B．2∈M
C．－4 M D．4∈M
2某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料， ( http: / / www.21cnjy.com )为了降低消耗，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图所示)．当截取的矩形面积最大时，矩形两边的长x，y应为(　　)21世纪教育网版权所有
A．x＝15，y＝12 B．x＝12，y＝15
C．x＝14，y＝10 D．x＝10，y＝14
3．函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)对于任意的实数x、y都有(　　)
A．f(xy)＝f(x)f(y) B．f(xy)＝f(x)＋f(y)
C．f(x＋y)＝f(x)f(y) D．f(x＋y)＝f(x)＋f(y)
4．若函数y＝(1－a)x在R上是减函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞) B．(0,1)
C．(－∞，1) D．(－1,1)
5．已知函数f(x)＝(a∈R)，若f[f(－1)]＝1，则a＝(　　)
A. B．
C．1 D．2
6．已知sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m，则sin(180°＋α)·cos(180°－α)等于(　　)
A． B．
C． D．－
7．已知锐角△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c,23cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝(　　)21教育网
A．10 B． 9
C．8 D．5
8．已知a＝tan，b＝cos，c＝sin，则a、b、c的大小关系是(　　)
A．b>a>c B．a>b>c
C．b>c>a D．a>c>b
9．若tan(2x＋)＝，则在区间[0,2π]上解的个数为(　　)
A．5 B．4
C．3 D．2
10．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的(　　)21·cn·jy·com
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
11．已知向量a＝(1,2)、b＝(2,3)、c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1、λ2的值分别为(　　)
A．－2,1 B．1，－2
C．2，－1 D．－1,2
12．O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若(－)·(＋－2)＝0，则△ABC是(　　)www.21-cn-jy.com
A．以AB为底边的等腰三角形 B．以BC为底边的等腰三角形
C．以AB为斜边的直角三角形 D．以BC为斜边的直角三角形
第II卷（非选择题）
二、填空题：共4题 每题5分 共20分
13．已知sin＋cos＝－，且<α<3π，则cot的值为________．
14．已知幂函数为偶函数，则 .
15．某重量为P的物体用绳子缚着，某人手拉 ( http: / / www.21cnjy.com )着绳子在水平面上匀速行走，若物体与地面间的滑动摩擦系数μ＝，那么绳子与地面成________角时，拉力最小．【来源：21·世纪·教育·网】
16．已知函数f(x)＝cosxsinx，给出下列四个结论：
①若f(x1)＝－f(x2)，则x1＝－x2；
②f(x)的最小正周期是2π；
③f(x)在区间[－，]上是增函数；
④f(x)的图象关于直线x＝对称．
其中正确的结论是________．
三、解答题：共6题 每题12分 共72分
17．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知b(cosA－2cosC)＝(2c－a)cosB.
(1)求的值；
(2)若cosB＝，△ABC的周长为5，求b.
18．如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求证：AD⊥BC.
19．文科班某同学参加吉林省学业水平测试， ( http: / / www.21cnjy.com )物理、化学、生物获得等级A和获得的等级不是A的机会相等，物理、化学、生物获得等级A的事件分别记为W1、W2、W3，物理、化学、生物获得等级不是A的事件分别记为1、2、3.www-2-1-cnjy-com
(1)试列举该同学这次水平测试中物理、化学、生物成绩是否为A的所有可能结果(如三科成绩均为A记为(W1，W2，W3))；2-1-c-n-j-y
(2)求该同学参加这次水平测试中恰好获得两个A的概率；
(3)试设计一个关于该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩情况的事件，使该事件的概率大于85%，并说明理由．　　21*cnjy*com
20．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝2AA1，∠ABC＝90°，D是BC的中点．
(1)求证：A1B∥平面ADC1；
(2)求二面角C1－AD－C的余弦值；
(3)试问线段A1B1上是否存在点E，使得AE与DC1成60°角？若存在，确定E点位置；若不存在，说明理由．21cnjy.com
21．设F1、F2分别是椭 ( http: / / www.21cnjy.com )圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，M、N分别为其短轴的两个端点，且四边形MF1NF2的周长为4，设过F1的直线l与E相交于A、B两点，且|AB|＝.【来源：21cnj*y.co*m】
(1)求|AF2|·|BF2|的最大值；
(2)若直线l的倾斜角为45°，求△ABF2的面积．
22．设函数
f(x)＝.
(1)当a＝时，求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，求实数a的取值范围．
13．　
14．1
15．　30°
16．③④
17．(1)在△ABC中，有＝＝＝2R，
又b(cosA－2cosC)＝(2c－a)cosB，则
sinB(cosA－2cosC)＝2(sinC－sinA)cosB，
即sinBcosA－2sinBcosC＝2sinCcosB－sinAcosB，
∴sin(A＋B)＝2sin(B＋C) sinC＝2sinA ＝2.(也可用余弦定理求解)
(2)由(1)＝2 c＝2a，又a＋b＋c＝5，∴b＝5－3a.
由余弦定理得：b2＝c2＋a2－2accosB，
∴(5－3a)2＝(2a)2＋a2－4a2 a＝1，或a＝5，
当a＝1 b＝2，当a＝5与a＋b＋c＝5矛盾．故b＝2.
18．设＝a、＝b、＝e、＝c、＝d，
则a＝e＋c，b＝e＋d，
所以a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2，由条件知：a2＝c2－d2＋b2，
所以e·c＝e·d，即e·(c－d)＝0，即·＝0，
所以AD⊥BC.
19．(1)该同学这次学业水平测试中物 ( http: / / www.21cnjy.com )理、化学、生物成绩是否为A的可能结果有8种，分别为(W1，W2，W3)、(1，W2，W3)、(W1，2，W3)、(W1，W2，3)、(1，2，W3)、(1，W2，3)、(W1，2，3)、(1，2，3)；2·1·c·n·j·y
(2)由(1)可知，恰有两个A的情况为(1，W2，W3)、(W1，2，W3)、(W1，W2，3)三个，从而其概率为P＝.21·世纪*教育网
(3)方案一：该同学参加这次学业水平测试中物理、化学、生物成绩不全为A的事件概率大于85%，
理由如下：该同学参加这次学业水平测 ( http: / / www.21cnjy.com )试中物理、化学、生物成绩不全为A的事件有如下七种情况：(1，W2，W3)、(W1，2，W3)、(W1，W2，3)、(1，2，W3)、(1，W2，3)、(W1，2，3)、(1，2，3)，概率是P＝＝0.875>85%.【出处：21教育名师】
方案二：该同学参加这次学业水平测试中物理、化学、生物成绩至少有一个为A的事件概率大于85%，
理由如下：该同学参加这次学业水平测 ( http: / / www.21cnjy.com )试中物理、化学、生物成绩至少有一个为A的事件有如下七种情况：(W1，W2，W3)、(1，W2，W3)、(W1，2，W3)、(W1，W2，3)、(1，2，W3)、(1，W2，3)、(W1，2，3)，概率是P＝＝0.875>85%.(方案一或二中任意一种都可以)
20． (1)证明：连接A1C，交AC1于点O，连接OD.
由ABC－A1B1C1是直三棱柱得四边形ACC1A1为矩形，O为A1C的中点．
又D为BC中点，所以OD为△A1BC中位线，
所以A1B∥OD，
所以OD 平面ADC1，A1B 平面ADC1，
所以A1B∥平面ADC1.
(2)由ABC－A1B1C1是直三棱柱，且∠ABC＝90°，故BA、BC、BB1两两垂直．
如图建立空间直角坐标系B－xyz.
设BA＝2，则B(0,0,0)，C(2,0,0)，A(0,2,0)，C1(2,0,1)，D(1,0,0)．【版权所有：21教育】
所以＝(1，－2,0)，＝(2，－2,1)．
设平面ADC1的法向量为n＝(x，y，z)，则有
所以
取y＝1，得n＝(2,1，－2)．
易知平面ADC的法向量为v＝(0,0,1)．
由二面角C1－AD－C的平面角是锐角，得
cos〈n，v〉＝＝.
所以二面角C1－AD－C的余弦值为.
(3)假设存在满足条件的点E.
因为E在线段A1B1上，A1(0,2,1)，B1(0,0,1)，
故可设E(0，λ，1)，其中0≤λ≤2.
所以＝(0，λ－2,1)，＝(1,0,1)．
因为AE与DC1成60°角，所以＝.
即＝，解得λ＝1，舍去λ＝3.
所以当点E为线段A1B1中点时，AE与DC1成60°角．
21．　(1)因为四边形MF1NF2为菱形，又其周长为4，故a＝1.
由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4a＝4，
又因为|AB|＝，所以|AF2|＋|BF2|＝，
所以|AF2|·|BF2|≤()2＝，
当且仅当|AF2|＝|BF2|＝时，等号成立．
(此时AB⊥x轴，故可得A点坐标为(－，)，代入椭圆E的方程x2＋＝1，
得b＝<1，即当且仅当b＝时|AF2|＝|BF2|＝)，
所以|AF2|·|BF2|的最大值为.
(2)因为直线l的倾斜角为45°，所以可设l的方程为y＝x＋c，其中c＝，
由(1)知椭圆E的方程为x2＋＝1.
所以，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点坐标满足方程组
化简得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
因为直线l的斜率为1，所以|AB|＝|x1－x2|，
即＝|x1－x2|，所以＝(x1＋x2)2－4x1x2，
＝－，得b2＝，b＝，
所以c＝，l的方程为：y＝x＋，
F2到l的距离d＝1，
所以S△ABC＝|AB|1＝1＝.
22．(1)当a＝时， f(x)＝
当x<1时， f(x)＝x2－3x是减函数，
所以f(x)>f(1)＝－2，
即x<1时， f(x)的值域是(－2，＋∞)．
当x≥1时， f(x)＝logx是减函数，
所以f(x)≤f(1)＝0，
即x≥1, f(x)的值域是(－∞，0]．
于是函数f(x)的值域是(－∞，0]∪(－2，＋∞)＝R.
(2)若函数f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，
则下列①②③三个条件同时成立：
①当x<1时， f(x)＝x2－(4a＋1)x－8a＋4是减函数，
于是≥1，则a≥；
②当x≥1时， f(x)＝logax是减函数，则0③1－(4a＋1)－8a＋4≥loga1＝0，∴a≤.
综上所述，a的取值范围为≤a≤.
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