四川省大竹县文星中学2015届高三4月月考数学（理）试题

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四川省大竹县文星中2015届高三下期4月月考
数学（理）试卷
第I卷（选择题）
1. 复数z1、z2满足z1＝m＋(4－ ( http: / / www.21cnjy.com )m2)i，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(m、λ、θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围是(　　)21世纪教育网版权所有
A．[－1,1] B．[－，1]
C．[－，7] D. [，1]
2.设实数x、y满足条件则y－4x的最大值是(　　)
A．－4 B．－
C．4 D．7
3．函数的图象
A.关于原点对称 B.关于直线y=x对称 C.关于x轴对称 D.关于y轴对称
4．设a,b,c均为正数,且2a=loa,()b=lob,()c=log2c,则
A.a5. 函数f(x)＝ 的定义域为(　　)
A．(0，) B．(2，＋∞)
C．(0，)∪(2，＋∞) D．(0，]∪[2，＋∞)
6. 函数y＝2x－4sinx，x∈[－，]的图象大致是(　　)
7. 已知倾斜角为α的直线l与直线x－2y＋2＝0平行，则tan2α的值为(　　)
A.　　 　 B.　　 　
C.　　 　 D.
8. 已知f(x)＝asin2x＋bcos ( http: / / www.21cnjy.com )2x，其中a、b∈R，ab≠0，若f(x)≤|f()|对一切x∈R恒成立，且f()＞0，则f(x)的单调递增区间是(　　)www.21-cn-jy.com
A．[kπ－，kπ＋](k∈Z)
B．[kπ＋，kπ＋](k∈Z)
C．[kπ，kπ＋](k∈Z)
D．[kπ－， kπ](k∈Z)
9. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2n＝4(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1), a1a2a3＝27，则a6＝(　　)
A．27　 　 B．81　　 　
C. 243　　 D．729
10. 如图，AB是⊙O的直径，VA垂直⊙ ( http: / / www.21cnjy.com )O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点，M、N分别为VA、VC的中点，则下列结论正确的是(　　)2·1·c·n·j·y
A．MN∥AB
B．MN与BC所成的角为45°
C．OC⊥平面VAC
D．平面VAC⊥平面VBC
11. 如图，在△ABC中 ( http: / / www.21cnjy.com )，AB⊥AC，若AD⊥BC，则AB2＝BD·BC；类似地有命题：在三棱锥A－BCD中，AD⊥平面ABC，若A点在平面BCD内的射影为M，则有S＝S△BCM·S△BCD.上述命题是(　　)　　21*cnjy*com
A．真命题
B．增加条件“AB⊥AC”才是真命题
C．增加条件“M为△BCD的垂心”才是真命题
D．增加条件“三棱锥A－BCD是正三棱锥”才是真命题
12. 设f(x)是定义在R上的函数， ( http: / / www.21cnjy.com )若f(0)＝2008，且对任意x∈R，满足f(x＋2)－f(x)≤3·2x，f(x＋6)－f(x)≥63·2x，则f(2008)＝(　　)21·cn·jy·com
A．22006＋2007 B．22008＋2006
C．22008＋2007 D．22006＋2008
第II卷（非选择题）
二、填空题：
13．在区间[0,1]上任取两个实数a、b，则函数f(x)＝x3＋ax－b在区间[－1，1]上有且仅有一个零点的概率为________．21·世纪*教育网
14. 当x∈R，|x|<1时，有如下表达式：
1＋x＋x2＋…＋xn＋…＝，
两边同时积分得：∫01dx＋∫0xdx＋∫0x2dx＋…＋∫0xndx＋…＝∫0dx，
从而得到如下等式：
1＋()2＋()3＋…＋()n＋1＋…＝ln2，
请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：
C＋C()2＋C()3＋…＋C()n＋1＝________.
15. 设f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f(1)>1，f(2)＝，则实数a的取值范围是________．2-1-c-n-j-y
16. 给出下列命题：
①已知线性回归方程＝3＋2x，当变量x增加2个单位，其预报值平均增加4个单位；
②在进制计算中，100(2)＝11(3)；
③若ξ～N(3，σ2)，且P(0≤ξ≤3)＝0.4，则P(ξ<6)＝0.1；
④“a＝dx”是“函数y＝cos2(ax)－sin2(ax)的最小正周期为4”的充要条件；
⑤设函数f(x)＝＋2014si ( http: / / www.21cnjy.com )nx(x∈[－，])的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝4027，其中正确命题的个数是________个．【来源：21·世纪·教育·网】
三、解答题
17.在△ABC中，a＝3，b＝2，∠B＝2∠A.
(1)求cos A的值；
(2)求c的值．
18. 已知曲线C：xy＝1，过C ( http: / / www.21cnjy.com )上一点An(xn，yn)作一斜率为kn＝－的直线交曲线C于另一点An＋1(xn＋1，yn＋1)，点列{An}的横坐标构成数列{xn}，其中x1＝.【来源：21cnj*y.co*m】
(1)求xn与xn＋1的关系式；
(2)令bn＝＋，求证：数列{bn}是等比数列；
(3)若cn＝3n－λbn(λ为非零整数，n∈N*)，试确定λ的值，使得对任意n∈N*，都有cn＋1>cn成立．
19.如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中， ( http: / / www.21cnjy.com )AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，且AB＝BC＝2，点N为B1C1的中点，点P在棱A1C1上运动．【出处：21教育名师】
(1)试问点P在何处时，AB∥平面PNC，并证明你的结论；
(2)在(1)的条件下，若AA120.已知(1＋2)n的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而又等于它后一项系数的.
(1)求展开后所有项的系数之和及所有项的二项式系数之和；
(2)求展开式中的有理项．
21.已知椭圆C：＋y2＝1(a>1)的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：(x－3)2＋(y－1)2＝3相切．21教育名师原创作品
(1)求椭圆C的方程；
(2)若不过点A的动直线l与椭圆C交于P、Q两点，且·＝0.求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．21*cnjy*com
22.已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a、b满足a·b≠0.
(1)若a·b>0，判断函数f(x)的单调性；
(2)若a·b<0，求f(x＋1)>f(x)时的x的取值范围．
参考答案
1-5 CCDAC 6-10 DCBCD 11-12 AC
13. 　
14.　[()n＋1－1]
15. (－1，)
16.4
17.　(1)因为a＝3，b＝2，∠B＝2∠A，
所以在△ABC中，由正弦定理得＝，
所以＝，故cosA＝.
(2)由(1)知cosA＝，
所以sinA＝＝.
又因为∠B＝2∠A，所以cosB＝2cos2A－1＝.
所以sinB＝＝，
在△ABC中，sinC＝sin(A＋B)
＝sinAcosB＋cosAsinB＝.
所以c＝＝5.
18. (1)过点An(xn，yn)的直线方程为y－yn＝－(x－xn)，
联立方程，消去y得
x2－x＋1＝0.
解得x＝xn或x＝.
由题设条件知xn＋1＝.
(2)证明：＝
＝＝＝＝－2.
∵b1＝＋＝－2≠0，∴数列{bn}是等比数列．
(3)由(2)知，bn＝( ( http: / / www.21cnjy.com )－2)n，要使cn＋1>cn恒成立，由cn＋1－cn＝[3n＋1－λ(－2)n＋1]－[3n－λ(－2)n]＝2·3n＋3λ(－2)n>0恒成立，21教育网
即 (－1)nλ>－n－1恒成立．
①当n为奇数时，即λ又n－1的最小值为1，∴λ<1.
②当n为偶数时，即λ>－n－1恒成立，
又－n－1的最大值为－，∴λ>－，
即－<λ<1.又λ为非零整数，
∴λ＝－1，使得对任意n∈N*，都有cn＋1>cn.
19. (1)当点P为A1C1的中点时，AB∥平面PNC.
∵P为A1C1的中点，N为B1C1的中点，∴PN∥A1B1∥AB
∵AB 平面PNC，PN 平面PNC，∴AB∥平面PNC.
(2)设AA1＝m，则m<2，∵AB、BC、BB，两两垂直，
∴以B为原点，BA、BC ( http: / / www.21cnjy.com )，BB1为x轴、y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(0,0，m)，A1(2,0，m)，C1(0,2，m)，www-2-1-cnjy-com
∴P(1,1，m)，设平面BCP的法向量n＝(x，y，z)，
则由n·＝0，n·＝0，解得y＝0，x＝－mz，
令z＝0，则n＝(－m,0，－1)，又＝(0,2，－m)，
直线B1C与平面BCP所成角正弦值为，
∴＝，解之得m＝1
∴n＝(－1,0,1)
易求得平面ABP的法向量n1＝(0，－1,1)
cosα＝＝，设二面角的平面角为θ，则cosθ＝－，∴θ＝120°.
20. (1)令r＝1得展开式中所有项的系数之和为(1＋2)7＝37＝2187.
所有项的二项式系数之和为27＝128.
(2)展开式的通项为Tr＋1＝C2rx，r≤7且r∈N.
于是当r＝0,2,4,6时，对应项为有理数，
即有理数项为T1＝C20x0＝1，T3＝C22x＝84x，
T5＝C24x2＝560x2，T7＝C26x3＝488x3.
21.(1)椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)由·＝0知AP⊥AQ，从而直线AP与坐标轴不垂直，故可设直线AP的方程为y＝kx＋1，直线AQ的方程为y＝－x＋1，21cnjy.com
将y＝kx＋1代入椭圆C的方程，
整理得(1＋3k2)x2＋6kx＝0，
解得x＝0或x＝，
故点P的坐标为(，)．
同理，点Q的坐标为(，)．
所以直线l的斜率为＝.
则直线l的方程为y＝(x－)＋，
即y＝x－.
所以直线l过定点(0，－)．
22. (1)当a>0，b>0时，f(x1)－f(x2)<0，f(x)为增函数；
当a<0，b<0时，f(x1)－f(x2)>0，f(x)为减函数．
(2)当a>0，b<0时，－>()x，得x< (－)；
当a<0，b>0时，－<()x，得x> (－)．
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