苏教版九年级第一学期数学二次根式教学案

苏教版九年级第一学期数学二次根式教学案
一. 本周教学内容：
二次根式
教学目标：
（1）了解二次根式的概念。
（2）掌握用简单的一元一次不等式解决二次根式中字母的取值范围问题。
（3）掌握根式的性质，
二. 重点、难点：
重点：根式的定义及根式中的字母取值范围。
难点：根式中较复杂的字母的取值问题的分类探索。
课堂教学：
（一）知识要点：
（1）二次根式的定义
一般地，式子（a≥0）叫做二次根式，a叫被开方数，a可以是数可以是单项式或多项式，如，，判断一个式子是否为二次根式；要看它是否具备两个特征：一是根指数是2，二是被开方数为非负数，二者缺一不可。
（2）二次根式的性质1：
（Ⅰ）文字语言是：非负数的算术平方根是一个非负数。
（Ⅱ）数学语言为：≥0（a≥0），它的用途非常大，例如：若2＋＝0，则a＝0，b＝0，若＋|b|＝0，则a＝0，b＝0，若＋b2＝0，则a＝0，b＝0
思考：当a<0时，有意义吗 当a≥0时，可能为负数吗
（3）二次根式的性质2：
（Ⅰ）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
（Ⅱ）数学语言为：()2≥0（a≥0）
（Ⅲ）证明：∵( a≥0)是a的算术平方根
∴()2＝a
（Ⅳ）作用()2＝3，()2＝，（)2＝x（x≥0）
反过来：若a≥0则a＝，如：2＝，＝（)2
（4）二次根式的性质3：
（Ⅰ）文字语言：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
（Ⅱ）数学符号： ＝|a|
（Ⅲ）说明：
1. a的取值范围是任意实数。
2. ＝a的前提是a≥0，＝－a的前提是a≤0
（5）()2与的异同点：
（Ⅰ）区别：中a必须取非负数即a≥0，而中的a可以取任何实数。
（Ⅱ）相同点：
当被开方数都是非负数，即a≥0时，＝（）2
a<0时，（）2无意义而＝－a
【典型例题】
例1. 当a为实数时下列各式中哪些是二次根式。
，，，，，
解：，，，是二次根式。
例2. x为何实数时，式子在实数范围内有意义？
解：由x－2≥0得x≥2，当x≥２时在实数范围内有意义。
例3. 计算：
（1）（）2；（2）（3）2；
（3）（－2）2；（4）（）2
解：（1）（）2＝
（2）（3）2＝32×（）2＝9×2＝18
（3）（－2）2 ＝（－2）2×（）2＝4×＝
（4）（）2＝x2＋y2
例4. 计算：
（1）； （2）；
（3）（a<３）； （4）（x<）
解：（1）＝＝5
（2）＝|－1.5|＝1.5
（3）＝|a－3|＝－（a－3）＝3－a（a<3）
（4）＝|2x－3|＝－（2x－3）＝3－2x （x<）
例5. 在实数范围内分解因式：x2＋2x－1
解：x2＋2x－1＝ x2＋2x＋1－2＝（x＋1）2－2
＝（x＋1）2－（）2＝（x＋1＋）（x＋1－）
例6. 已知：＋|3a－2b|＋（a＋b＋c）2＝0，求a、b、c的值
解：因为≥0，|3a－2b|≥0，（a＋b＋c）2≥0
且＋|3a－2b|＋（a＋b＋c）2＝0
所以
解得
例7. 在△ABC中，a、b、c是三角形的三边，化简－2|c－a－b|
解：∵a、b、c是△ABC的三边
∴a－b＋c>0
c－a－b<0
∴－2|c－a－b|＝|a－b＋c|－2|c－a－b|
＝ a－b＋c＋2c－2a－2b＝3c－a－3b
例8. 已知:a＋b＝，a－b＝。求（）2006的值.
解：∵＝＝
＝＝＋
＝－
，得
∴（）2006＝[]2006＝（－1）2006＝＋1
例9. 已知：＋＝10化简＋2|x－6|
解：由＋＝10
可得＋＝10
即|x＋4|＋|x－6|＝10
要|x＋4|＋|x－6|＝10成立，则|x＋4|＝ x＋4，|x－6|＝6－x
所以x＋4≥0，6－x≥0（或x－6≤0）
∴－4≤x≤6，∴2x＋8≥0，x－6≤0
∴＋2|x－6|＝2x＋8＋2（6－x）＝20
例10. 已知：x为实数，化简＋2
解：原式＝|x－2|＋2|1＋x|
①当x≥2时，x－2≥0，1＋x>0
∴原式＝x－2＋2＋2x＝3x
②当－1≤x＜2时， x－2<0， 1＋x≥0
∴原式＝2－x＋2（x＋1）＝x＋4
③当x<－1时， x－2<0， 1＋x＜0
∴原式＝2－x－2（x＋1）＝－3x
说明：解决此类问题时需确定好讨论的范围，然后按范围去掉绝对值计算出结果。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1. 在△ABC中，若a、b、c分别为∠A、∠B、∠C所对的边，则化简＋＋的结果是（ ）
A. a＋b＋c B. 2a＋2c C. 2a＋ab D. 0
2. 已知实数a，b，c在数轴上的对应点位置如图所示：
则化简|a－c|－＋|b＋c|的结果是（ ）
A. －2b B. －2c C. －2a＋2b D. 0
3. 若x－＝1，则x的取值范围是（ ）
A. x＞1 B. x<1 C. x≥1 D. x≤1
4. 已知:x2＋4x＋4＋＝0则，xy的值是
5. 在，，，，（x≠0）， 中是二次根式的有
。
6. 若＝ （）2，则a必须满足条件 。
7. 已知:x、y都是实数，且满足y<＋＋，化简
8. 下列各式满足什么条件时，才能使根式成为二次根式
（1） （2）
9. 若m适合关系式＋×试确定的值。
10. 若化简|1－x|－的结果为2x－5，求x的取值范围.
11. 已知:x<2，则的结果为多少.
12. （1）计算，……（n为正整数）
（2）计算……（n为正整数）
（3）你能通过（1），（2）的计算中从中找出规律吗？
（4）如果将根号内的10换成8，或者0.1，以至于任何实数，是否仍然保持这种计算规律？是否需要附加什么条件？
【试题答案】
1. A 2. B 3. C
4. －6
5. ，
6. a≥0
7. ∵x、y为实数，且y<＋＋
∴x－1≥0，1－x≥0
∴x＝1，则y＜
∴1－y＞0
∴＝＝－1
8. 解：（1）由题意|a－2b|≥0 ，得|a－2b|≤0但是|a－2b|≥0
∵a－2b＝0，即a＝2b
∴当a＝2b，是二次根式。
（2）∵（－m2－1）（m－n）≥0
∴（m2＋1）（m＋n）≤0
又∵m2＋1>0，∴m－n≤0
∴当m≤n时，是二次根式。
9. 解：由题意可知
∴m＝201
10. 解：∵＝＝|x－4|
要使|1－x|—|x－4|＝2x－5
∴|1－x|＝ x－1，|x－4|＝ 4－x
∴1≤x≤4
11. 解：＝
∵x<2，∴x－2<0
∴原式＝2－x
12. 解：（1）10，102，103，104，……，10n
（2）10，102，103，……，10n
（3）通过（1）的计算规律是：正数的平方的算术平方根是这个数。
通过（2）的计算规律是：一个数立方的立方根是这个数。
（4）将10换成8或0.1规律仍保持不变，若换成任意实数a则有＝|an|，
一. 本周教学内容：
二次根式的乘除
教学目标：
（1）会利用积、商的算术平方根性质，化简二次根式，会简单的二次根式乘、除计算。
（2）会利用分母有理化的方法化简二次根式。
二. 重点、难点：
重点：会利用积、商的算术平方根的性质化简二次根式。
难点：分母有理化。
课堂教学：
（一）知识要点
知识点1：二次根式的乘法法则
I. 文字语言：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。
Ⅱ. 数学语言：
Ⅲ. 知识解读：
（1） ＝
（2）＝ ＝
（3）＝ ＝
Ⅳ. 公式的条件说明：
（1）a、b均为非负数时，上式才成立。
（2）当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘以单项式法则。
（3）公式可逆向应用，逆向应用时要特别注意符号。
知识点2：积的算术平方根的性质
I. 文字语言：两个非负数积的算术平方根等于两数算术平方根的积。
Ⅱ. 数学语言：（a≥0，b≥0）
Ⅲ. 公式的说明：没有a≥0，b≥0这个条件，上述性质不成立，当a＜0，b＜0时，虽然有意义，而在实数范围内没有意义，总的来说等式不成立，如≠
知识点3：二次根式的除法法则
I. 文字语言：二次根式相除，就是把被开方数相除，根指数不变。
Ⅱ. 数学语言：（a≥0，b＞0）
Ⅲ. 说明：这里a≥0，b＞0，原因是b在分母上，所以b≠0，这个公式也可以逆用。
知识点4：二次根式商的算术平方根的性质
I. 文字语言：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
Ⅱ. 数学语言：（a≥0，b＞0）
知识点5：分母有理化
把分母中根号化去，叫做分母有理化。
知识点6：二次根式的化简结果要求
一般地，二次根式运算的结果中，要求分母不含有根号，被开方数中也不会有分母，不含能开得尽方的因数或因式。
【典型例题】
例1. 计算
（1） （2）3
（3） （4）
分析：计算题的实质是利用＝来进行二次根式的乘法运算。
解：（1）
（2）
（3）
（4）
例2. 化简
（1） （2） （3） （4）
分析：化简题实质借助公式性质把根式化成最简根式。
解：（1）
（2）
（3）
（4）
例3. 计算
（1） （2） （3）
解：（1）
（2）
（3）
例4. 化简
（1） （2）
（3） （4）
解：（1）
（2）
（3）
（4）
例5. 把下列各式化去分母中的根号
（1） （2） （3） （4）
解：（1）
（2）
（3）
（4）
例6. 计算
（1） （a≥0）
（2） （x≥0，y≥0）
（3） （x≥0，y≥0）
解：（1） ＝
（2）＝
（3）＝
例7. 化简
（1）（a≥0，b≥0）
（2）（x≥0，y≥0）
（3）（ab≥0）
解：（1）＝
（2）＝
（3）＝
例8. 计算
（1） （a≥0，a+b>0）
（2） （a>0，b≥0）
解：（1）＝
（2）＝
例9. 已知：a＝
解：
例10. 化简
（1） （2）
解：（1）＝
≥0 ∴x≥3 ∴x-2>0
∴原式＝
（2）＝
例11. 比较与、与、与的大小，猜想（n为正整数）的大小关系并证明你的结论。
解：，
∵∴>
∴
同理：
猜想：<
说明：∵＝
>
∴<
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1. 下列等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知a<0，化简二次根式的正确结果是（ ）
A. B. C. D.
3. 设a，b为实数，且，则等于（ ）
A. ± B. ±3 C. D.
4. 化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
5. 计算：（
6. 当a＝ b（填<、>、＝）
7. 已知：a>0，b>0
（1）若a+b＝2，则≤1；
（2）若a+b＝3，≤；
（3）若a+b＝6，则≤3；
（4）若a+b＝10，则≤ ；
（5）若a+b＝n，（n为大于1的整数），则≤
8. 若a、b分别表示的整数部分与小数部分，求a+的值。
9. 计算
（1）
（2）（a≥0，b＞0）
（3）
（4）（a＞0，b＞0，c＞0）
10. 化简：
11. 一个长方体木盒的左右侧面是面积为12cm2的正方形，上、下底面的面积是18cm2，试求该长方体的长。
12. 有一架未调平的天平，某人用它称量一铁块，当把铁块放入天平的左盘时，称得其质量为400克，当把铁块放入天平右盘时，称其质量为900克，求铁块的实际质量。
【试题答案】
1. D 2. A 3. D 4. D 5. 6. ＝ 7. 5，
8. 解：设的整数部分为a，小数部分为b，∴a＝2，b＝-2
∴
9. 解：①
②
③
④
10. 解：
∵＞0，＞0，∴原式
11. 解：长方体的高为设长方体的长为cm，则题意可知2
解＝9
答：长方体的长是9cm。
12. 解：设铁块质量为m克，天平左臂长为1，右臂长为2，
由题意得
①×②
∴
∴
答：这块铁块实际质量为600克。
一. 本周教学内容：
二次根式的加减
教学目标：
（1）掌握同类二次根式的概念，会合并同类二次根式。
（2）能熟练地进行二次根式的加减运算。
（3）会进行二次根式的混合运算。
二. 重点、难点：
重点：二次根式的加减运算
难点：二次根式的化简
课堂教学：
（一）知识要点：
知识点1：同类二次根式
（Ⅰ）几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式，如这样的二次根式都是同类二次根式。
（Ⅱ）判断同类二次根式的方法：（1）首先将不是最简形式的二次根式化为最简二次根式以后，再看被开方数是否相同。（2）几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关。
知识点2：合并同类二次根式的方法
合并同类二次根式的理论依据是逆用乘法对加法的分配律，合并同类二次根式，只把它们的系数相加，根指数和被开方数都不变，不是同类二次根式的不能合并。
知识点3：二次根式的加减法则
二次根式相加减先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式合并，合并的方法为系数相加，根式不变。
知识点4：二次根式的混合运算方法和顺序
运算方法是利用加、减、乘、除法则以及与多项式乘法类似法则进行混合运算。运算的顺序是先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的。
知识点5：二次根式的加减法则与乘除法则的区别
乘除法中，系数相乘，被开方数相乘，与两根式是否是同类根式无关，加减法中，系数相加，被开方数不变而且两根式须是同类最简根式。
【典型例题】
例1. 下面各组里的二次根式是不是同类二次根式？说说你的理由。
（1） （2）
（3） （4）
解：（1）是同类二次根式
（2）∵
∴
（3）不是同类二次根式
（4）不是同类二次根式
例2. 计算
（1）
（2）
（3）
解：（1）＝
（2）＝
（3）＝
注意：（3）中的不能写成
例3. 计算
（1）
（2）
解：（1）＝
（2）＝
例4. 计算
（1） （2） （3）
解：（1）＝4－3＝1
（2）＝9+
（3）＝
例5. 计算
（1） （a>0）
（2） （a>0，b>0）
解：（1）原式＝
（2）原式＝
例6. 若是同类根式，求m，n的值。
解：∵
例7. 已知：x＝。
解：∵
∴当x＝
例8. 已知。
解：∵
∴
∴
＝（4+2
例9. 不求近似值比较。
解：∵
又∵>
∴>
例10. 已知,求代数式的值。
解：由题意，得
＝
＝
将x
例11. 是否存在正整数a，b（a解：存在＝
设b＝n
∴m+n＝6
∵a，b为正整数，a∴a1＝39，b1＝975；a2＝156，b2＝624
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
一. 选择题：
1. 化简得（ ）
A. (a－1) B. (1－a) C. －(a+1) D. (a－1)
2. 计算（ ）
A. B. 3 C. － D. －
3. 设x＝，则x与y的大小关系为（ ）
A. x>y B. x＝y C. x二. 填空：
4. 下列二次根式：①②③④⑤其中为非最简二次根式的有（在横线上写题号） ，与是同类二次根式的有（写题号）
5. 合并同类二次根式 。
6. 已知 。
三. 解答题：
7. 已知。
8. 计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
9. 条件求值：
（1）已知：。
（2）已知：的值。
（3）已知：。
10. 已知菱形ABCD的对角线AC＝，求菱形的边长和面积。
【试题答案】
1. B 2. A 3. A 4. ②,③,④ ①,②,③,④
5. 0 6. 25
7.解： ∴原式结果为－2－
8. （1）原式＝
（2）原式＝
（3）－2 （4）0 （5）3
9. （1）x+1
当
（2）解：∵ ∴ 两边平方得x2－4x+1＝0
∴
（3）解：∵，，∴4x2－4x－1＝0
＝1
10. 解：（菱形的边长）2＝
∴菱形的边长＝
一. 本周教学内容：
二次根式总结
教学目标：
1. 掌握二次根式的概念及体现其性质的重要公式。
2. 了解它们与算术平方根的关联。
3. 应用法则进行二次根式的计算与化简，进一步培养运用化归类比方法的能力和主动探究的学习习惯。
二. 重点、难点：
重点：应用法则进行二次根式的计算与化简。
难点：二次根式的性质的应用及各概念之间的联系。
课堂教学：
（一）知识要点：
（1）知识结构
（2）二次根式的化简及运算的要求
根式运算的结果中，被开方数应不含有能开得尽因数或因式，根号不含有分母，分母中不含有根号。
（3）分母有理化
把分母中的根号化去叫分母有理化。若两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式，如：与是互为有理化因式。
（4）二次根式的化简及运算的题型
<1>二次根式的乘除法：①依据二次根式的性质。②要求：系数相乘除，被开方数相乘除，除法一般转化为分母有理化。③运算结果要化成最简。
<2>二次根式的加减法：①二次根式化成最简二次根式以后，合并同类二次根式与整式乘法中的合并同类项相似。②合理运用去括号和运算律。
<3>分母有理化：①依据分式的其本性质。②有理化因式概念要清楚。③为了需要有时须分子有理化，如比较大小等。
【典型例题】
例1. 化简：＝
解：观察原式根号里面≤0，而被开方数不能为负，
所以，∴
所以原式＝＝—2
例2. 函数
解：二次根式的意义知被开方数x＋2为非负数，分母x2－x－2不为0
即x＋2≥0， x2－x－2≠0，
所以答案是x≥－2，且x≠－1，x≠2
例3. 化简下列各式。
（1） （2） （3）
解：（1）＝
（2）＝
（3）
∵∴
∴原式＝
例4. 化简（）
解：＝
当0当－1≤x<0时，原式＝||＝
当x<－1时，原式＝
例5. 已知：的值。
解法1：，
解法2：由于
所以，
∴＝
例6. 设。
解：
∵∴
∴a＝3，b＝ ∴
例7. 计算。
解：原式＝
＝
＝
例8. 已知：的值。
解：
例9. 计算的值。
解：原式＝
＝
例10. 已知最简根式是同类根式，求x，y的值。
解：
例11. 比较下列两个数的大小。
（1） （2）
解：（1）∵||＝
|
且<，∴>
（2）
10<<11， ∴<1，∴
∴
∵ ∴
（5），
而
∴
【模拟试题】（答题时间：50分钟）
一. 选择题
1. 若有意义，则a的取值范围是（ ）
A. a≥3 B. a>3 C. a≤3 D. a<3
2. 若（ ）
A. a＝－1 B. a≥－1 C. a＝0 D. a≤－1
3. 二次根式（ ）
A. B.
C. D.
4. 下列计算中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 下列各组根式其中属于同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
6. 当0A. B. C. D.
7. （ ）
A. 2 B. －2 C. D.
8. 若ab<0，则化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
二. 填空题
9. 计算_______；＝_______。
10. 若m<－1，化简_______。
11. 已知：xy______________。
12. 已知：_________（写出两个即可）
13. 已知：a、b在数轴上的位置如图所示，是化简的结果是_______。
三. 计算题
14.
15.
16.
17.
四. 解答题
18. 。
19. 一个直角三角形的两条直角边长分别是求这个三角形的面积和周长。
【试题答案】
1. D 2. B 3. C 4. C 5. D 6. A 7. D 8. A 9. ;1
10. －1 11. － 12. 4或15 13. －a 14.
15. 16. 17. 18. 175
19.
【励志故事】
愚钝的力量
大科学家爱因斯坦曾做过一个实验：他从村子里找了两个人，一个愚钝且软弱，一个聪明且强壮。爱因斯坦找了一块两英亩左右的空地，给他俩同样的工具，让他们在其间比赛挖井，看谁最先挖到水。
愚钝的人接到工具后，二话没说，便脱掉上衣干起来。聪明的人稍作选择也大干起来。两个小时过去了，两人均挖了两米深，但均未见到水。聪明的人断定选择错了，觉得在原处继续挖下去是愚蠢的，便另选了块地方重挖。愚钝的人仍在原地吃力地挖着，又两个小时过去了，愚钝的人只挖了一米，而聪明的人又挖了两米深。愚钝的人仍在原地吃力地挖着，而聪明的人又开始怀疑自己的选择，就又选了一块地方重挖。又两个小时过去了，愚钝的人挖了半米，而聪明的人又挖了两米，但两人均未见到水。这时聪明人泄气了，断定此地无水，他放弃了挖掘，离去了。而愚钝的人此时体力不支了，但他还是在原地挖，在他刚把一锨土掘出时，奇迹出现了，只见一股清水汩汩而出。
比赛结果，这个愚钝的人获胜。爱因斯坦后来对学生说，看来智商稍高、条件优越、聪明强壮者不一定会得到成功，成功有时需要一种近乎愚钝的力量啊！
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