江西省九江市彭泽县第二高级中学2014—2015学年高二下学期期中考试数学（文）试题

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彭泽二中2014～2015学年度下学期期中考试
高二文科数学试卷
命题人：邹婧 审题人：丁义胜
一、选择题（共12道题，每题5分，共60分）
1．复数设i为虚数单位，则＝(　　)
A．－2－3i B．－2＋3i C．2－3i D．2＋3i
2．已知x与y之间的一组数据：
x 0 1 2 3
y 1 3 5 7
则y与x的线性回归方程为必过点( )
A.(2,2) B. (1.5 ,4) C.(1.5 ,0) D.(1,2)21世纪教育网版权所有
3.实数系的结构图为右图所示其中1、2、3三个方格中的内容分别为( )
A. 有理数、整数、零
B. 有理数、零、整数
C. 零、有理数、整数
D. 整数、有理数、零
4.用反证法证明命题“若则全为”，其反设正确的是( )
A. B.
C. D.
5.若复数为纯虚数（为虚数单位），则实数的值是（ ）
A． B．或 C． 或 D．
6.甲，乙，丙三人独立去译一个密码，分别译出的概率为，则此密码能译出的概率是( )
A. B. C. D.
7.极坐标系中，以为圆心，9为半径的圆的极坐标方程为（ ）
A. B.
C. D.
8. 曲线（为参数）的焦距是（ ）
A. 3 B. 6 C.8 D.10
9. 若实数满足：，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10. 设角满足，则的范围是（ ）
A. B.
C. D.
11. 若不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
12．在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，
即
给出如下四个结论：
① ②； ③
④“整数属于同一“类”的充要条件是“”.
其中正确结论的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共4道题，每题5分，共20分，把答题卡填在答题卡的相应横线上）
13. 计算：_______________（其中为虚数单位）
14．函数最大值和最小值的差____________
15．圆锥曲线的离心率是
16. 半径为r的圆的面积, 周长，若将看作(0,＋∞)上的变量，则有 ①: ，①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子 （已知球的体积公式为： ）21cnjy.com
3、 解答题（本大题共6道题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤。）
17.(本题满分10分）
已知，求实数的值.
18.(本题满分12分）
某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季 ( http: / / www.21cnjy.com )节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100棵种子中的发芽数，得到如下资料：21·cn·jy·com
日期 12月1日 12月2日 12月3日 12月4日 12月5日
温差x(℃) 10 11 13 12 8
发芽y(颗) 23 25 30 26 16
该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取3组数据求线性回归方程，剩下的2组数据用于回归方程检验．21教育网
回归直线方程参考公式： ,
（1）若选取的是12月1日与12月5日的2组数据，请根据12月2日至12月4日的数据求出y关于x的线性回归方程；2·1·c·n·j·y
(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选 ( http: / / www.21cnjy.com )出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(1)中所得的线性回归方程是否可靠？【来源：21·世纪·教育·网】
19.（本题满分12分）
设函数
（1）若不等式的解集为，求实数的值。
（2）在（1）的条件下，若对一切实数恒成立，求实数的取值范围。
20．（本题满分12分）
在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），直线经过点，倾斜角，与圆相交于两点。21·世纪*教育网
（1）写出圆的标准方程和直线的参数方程；
（2）求.
21. （本题满分12分）
某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含个小正方形.www.21-cn-jy.com
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（Ⅰ）求出；
（Ⅱ）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出与的关系式，
（Ⅲ）根据你得到的关系式求的表达式.
22.（本题满分12分）
在直角坐标系中，直线的方程为，
曲线的参数方程为 （为参数).
（Ⅰ）已知在极坐标（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，点的极坐标为（4，），判断点与直线的位置关系；2-1-c-n-j-y
（Ⅱ）设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最值．
（Ⅲ）请问是否存在直线,且与曲线的交点、满足；
若存在请求出满足题意的所有直线方程，若不存在请说明理由。
彭泽二中2014—2015学年度下学期期中考试
高二文科数学答案及评分标准
1、 选择题（共12道题，每题5分，共60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B A B D C A B B A C D
二、填空题（共4道题，每题5分，共20分）
13. 14. 10 15. 16.
三、解答题（共6道题，第20题10分，其余每题12分，共70分）
17.（10）
18. （12）(1)由数据求得，＝12，＝27， ……………… 2分
由公式求得．＝，＝－＝－3. ………………… 4分
所以y关于x的线性回归方程为＝x－3. ………………… 6分
(2)当x＝10时，＝10－3＝22，|22－23|<2；
当x＝8时，＝8－3＝17，|17－16|<2.
所以该研究所得到的线性回归方程是可靠的．………………… 12分
19.（12分）
(1) 由得，解得，
又已知不等式的解集为，所以解得.
(1) 当时，，设于是
所以当时，，
当时，，
当时，。
综上可得，的最小值为5.
从而，若即对一切实数恒成立，则的取值范围为。
20.（12分）解：(Ⅰ)圆的标准方程为.
直线的参数方程为，即（为参数）……………… 5分
（Ⅱ）把直线的方程代入， ………… 6分
得，， ……… 8分
所以，即． ……………… 10分
21.（12）解：
（Ⅰ）f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25,……………………… 2分
f(5)=25+44=41. …………………………… 4分
（Ⅱ）f(2)-f(1)=4=41.
f(3)-f(2)=8=42,
f(4)-f(3)=12=43,
f(5)-f(4)=16=44, ……………………… 6分
由上式规律得出f(n+1)-f(n)=4n.………………………………… 8分
f(2)-f(1)=41, f(3)-f(2)=42, f(4)-f(3)=43, f(n-1)-f(n-2)=4·(n-2),www-2-1-cnjy-com
f(n)-f(n-1)=4·(n-1) …………………………… 10分
f(n)-f(1)=4[1+2+…+（n-2）+（n-1)]=2(n-1)·n,
f(n)=2n2-2n+1 ……………………………… 12分
22.（12）本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、椭圆的参数方程等基础知识，
考查运算求解能力，考查化归与转化思想。
解：（I）把极坐标系下的点化为直角坐标，得P（0，4）。 ……2分
因为点P的直角坐标（0，4）满足直线的方程，
所以点P在直线上. ………………………4分
（II）因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为，……5分
从而点Q到直线的距离为
， …6分
由此得，当时，d取得最小值，且最小值为
当时，d取得最大值，且最大值为 ……8分
（Ⅲ）设平行线m方程：x-y+n = 0 ……9分
椭圆与直线方程联立再由弦长公式的
设O到直线m的距离为d，则 ……………10分
经验证均满足题意
所以满足题意直线m有4条，方程为：............12分
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