江西省九江市彭泽县第二高级中学2014—2015学年高二下学期期中考试数学（理）试题

彭泽二中2014～2015学年度下学期期中考试
高二数学试卷（理）
命题人：刘剑 审题人：计海明
第Ⅰ卷（共80分）
一、选择题（共12题，每小题5分，计60分）
1.设，若，则为 （ ）
A. 2 B. C. 3 D.
2.已知复数是虚数单位，则复数的虚部是 （ ）
A. B. C. D.
3.曲线在点（1，-3）处的切线倾斜角为 （ ）
A. B. C. D.
4.已知函数的导函数为，则实数的值为 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
下列函数中，在上为增函数的是 （ ）
A. B. C. D.
6.设，且，则的最小值为 （ ）
A.14 B. 16 C. 17 D.18
7.设，那么等于 （ ）
A. B. C. D.
8.设函数 ，则的值为 ( )
A.　 B.　 C.　 D.
甲乙丙3位志愿者被安排在周一至周五的5天中参加某项志愿活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排另外2位的前面，则不同的安排方法共有 （ ）
A. 20种 B. 30种 C. 40种 D. 50种
设曲线在点处的切线的斜率为，则函数的部分图像可以为 （ ）
11.定义在R上的函数，满足>4，则有 ( )
A. B. C. D.不确定
若函数的导数是，则函数的单调减区间是 ( )
A B C D
二、填空题（共4小题，每题5分，计20分）
13.将由直线与直线以及轴围成的封闭图形绕轴旋转一周形成的几何体的体积为 .
公共汽车上有4位乘客，其中任意两人都不在同一车站下车，汽车沿途停靠6个车站，那这4位乘客不同的
下车方式共有 种.
椭圆中心在坐标原点，为左焦点，为右顶点，为上顶点，当时，其离心率为，称
此类椭圆为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推出“黄金双曲线” 的离心率等于 .
16. 函数在[2，4]上是增函数的充要条件是 .
第Ⅱ卷（共计70分）
三、解答题（共6小题）
17.（12分）如图，求直线与抛物线所围成的图形的面积.
18.（12分）已知函数.
(1)求曲线在点(2，)处的切线方程；
(2)求经过点A(2，－2)的曲线的切线方程．
19.（12分）现有一批货物用轮船从上海运往青岛，已知该船航行的最大速度为35海里/时，上海至青岛的航行
距离为500海里，每小时运输成本由燃料费用和其余费用组成.轮船每小时的燃料费用与轮船速度的平方成
正比（比例系数为0.6），其余费用每小时960元.
(1)把全程运输费用(元)表示为速度(海里/时)的函数；
(2)为了使全程运输成本最低，轮船应以多大速度行驶？
20.（12分）已知数列，，且满足 .
(1)求，，的值；
(2)试猜想数列的通项公式，并证明你的猜想.
21.（12分）设,函数.
(1)当时，求函数的增区间；
(2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
22.（10分）已知非零向量，,且，求证：
彭泽二中2014—2015学年度下学期期中考试
高二理科数学答案及评分标准
选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A D A B B D D A A A B A
二、填空题
三、计算题（请将综合题答案写在试题规定的位置，不要超出框外。）
17、(12分)
解：或 ........................4分
........................12分
18、(12分)
解：（1） ，而.................3分
故切线方程为：........................5分
设切点为，则.........6分
故切线方程为.........8分
将点代入
解得或 .........10分
切线方程为或.........12分
19、(12分)
解（1）依题意知，每小时燃料费用为
.........6分
故，函数在上为减函数
当海里/时时，航船所须成本最低..........12分
20、(12分)
解：（1）；； .........3分
猜想得：. ........6分
①由（1）知当时，猜想显然成立；
②假设当猜想成立，即 . ........8分
EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT
EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT
当时猜想也成立
综合①②得数列的通项公式为 .........12分
22.（10分）
证明：设，，依题意得.........2分
要证 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT
即 显然成立；故原命题得证. .........12分
21、(12分)
解：（1）当时， .........1分
①当时，恒成立，此时增区间为.........3分
②当时， ，此时增区间为.........5分
综合：函数的增区间为
EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT
（Ⅰ）当时，，恒成立,故
此时，.........6分
（Ⅱ）当时，
①当即时，在上递增函数
恒成立，此时........7分
②当即时,
在上递减函数，在上递增函数
EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 此时，.......9分
③当即时，在上递减函数
，舍去.......11分
综合Ⅰ、Ⅱ：的取值范围为 .......12分