台湾台中市国立台中第一高级中学2023-2024学年高一上学期学术性向资赋优异（数理类）学生入班鉴定数学试卷（PDF版无答案）

臺中市立臺中第一高級中等學校 112 學年度
學術性向資賦優異【數理類】學生入班鑑定安置計畫
數學實作 試題卷
第壹部分：填充題（每題 6 分，共 78 分，答案請填於答案卷對應題號的格子中，圖形僅供參考，未必精確)
1. 已知a、b均為整數且滿足下列條件：(1) a是最接近 3 2023的整數 (2) 2023 b為整數，
則a2 b2的最大值為______________。
2. 在直角三角形 ABC中，已知 C 90 且 AD、 BE分別為 BC、 AC上的中線。若 BE 15 ， AD 6 5 ，則 ABC
的外接圓直徑為_________。
3. 小叡暑假與家人到鹿港老街出遊，剛好肚子有點餓，看到路邊一台攤車賣烤香腸且招牌說明如下：一、香腸單買
40 元。二、可花 20 元跟老闆玩遊戲贏得香腸。遊戲玩法：老闆和顧客兩人依序輪流擲兩顆公正骰子，若顧客的
骰子點數和大於老闆的骰子點數和，則可贏得香腸；若顧客的骰子點數和小於或等於老闆的骰子點數和，則老闆
贏得 20 元。已知老闆先擲了 1 顆 2 點，1 顆 4 點，試問小叡花 20 元就可贏得香腸的機率為_____________。
4. 如圖， ABCD為長方形， BC之中點為O，以 BC為直徑作一半圓(落在長方形 ABCD內部)，
點 E在CD上，且直線 AE與此半圓相切，已知 AO 40 ，OE 30，則 BC為_____________。
5. 偉偉和任任玩擲骰子遊戲，一局擲三次骰子，若第一次擲出 a點，第二次擲出 b點，第三次擲出 c點，則一局得
分N 4a 4b 4c ，得分高的贏得比賽。若偉偉這局的得分N 為一個三位數，則有_________個不同大小的N 滿
足條件。
6. 將 1,2,3,4,5,6,7,8,9 填入3 3的九宮格內，若已確定 1 的位置如圖，則剩下的 8 個數
有__________種填法，可使每行、每列及每條對角線上 3 個數字的平均都至少是 5。 1
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2 2
7. 設 f (x) x2 bx c滿足 f (x ) f (x) f ( ) ，若M f (312 ) f ( 312 )，則M 之最大質因數為____________。
x x
8. 若a1 2023且在n 2時，an 100an 1 112。由以上條件可知：a2 100 2023 112 202412，
a3 100 202412 112 20241312，a4 100 20241312 112 2024131312，…。若第 k項 ak 為 33 的倍數，則 k
之最小值為____________。
9. 有一正八邊形 ABCDEFGH，若 P在六邊形 ABCDGH內部，且 PAB的面積為 150， PGD的面積為 50，則正八
邊形的面積為___________。
10. 如圖，正三角形 ABC的外接圓上有一點 P (位於 B C上)，直線 AC與直線 BP交於點 E，
直線 AB與直線 CP交於點 F 。若 AE 28 ， AF 21，則 ABC的面積為____________。
2 2
11. ΔPQR中 PQ PR 20，QR 10，若 S在 PQR內且 PQS PRS 90 ， QS RS 81，則 PS 長為
__________。
2x yz 15

12. 若 x, y, z皆為實數且 2y zx 15，令 S x2 y2 z2 ，則所有不同 S的總和為________。

2z xy 15
13. 若a1 , a2 , a3 ,…, a9 為 9 個相異的正整數且 a1 , 2a2 ,3a3 ,…,9a9 這 9 個數恰好呈等差數列，則 | a9 a1 |之最小值為
___________。
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第貳部分：計算與證明題（共 22 分，請標註題號並將詳細過程寫在答案卷的計算證明題空格中)
一、 A、B為兩個整數，若它們除以正整數n所得的餘數相等，則稱 A、B對於模n同餘，記作 A B(mod n)。例如
11 1(mod10) ， 1 9(mod10) 。
若 a,b,c,d 均為整數， n為正整數且 a b(mod n)， c d (mod n) ，
以下證明 a c b d (mod n) ：
由 a b(mod n)， c d (mod n)
可得a b nq1， c d nq2 (其中q1 ,q2 均為整數)
因此a b c d nq1 nq2
∴ (a c) (b d ) n(q1 q2 )
又q1 q2 為整數 a c b d (mod n)
試證明或計算下列問題：
1. 若 a,b,c,d 均為整數， n為正整數且 a b(mod n)， c d (mod n) ，則 ac bd (mod n) 。(3 分)
2. 1 3 5 2019 2021+2 4 6 +2020 2022可以被 2023 整除。(4 分)
3. 求 20232 +(2023 2024)2 +20242 除以 100 的餘數。(4 分)
二、給定坐標平面上一正三角形 ABC，其中 A(0,0)、B(2,0)、C(1, 3)及任意半徑 r之圓，定義「覆蓋率」為「圓覆
蓋於 ABC的面積」除以「 ABC面積」。由定義可知覆蓋率 1。以下就半徑 r的狀況，討論當覆蓋率最大時，
圓心所在的位置或範圍。
舉例說明如下：
1
若 r
扇形面積
= 時，當圓心在 A時，如圖一，則圓覆蓋於 ABC的範圍為扇形，此時覆蓋率 ，但當圓心平移
2 ABC面積
圓形面積
至 P點時，如圖二，則圓覆蓋於 ABC的範圍為圓，覆蓋率 ，此時有最大覆蓋率。(注意 P點位置
ABC面積
不唯一)
圖一 圖二 圖三
試回答以下問題：
1. 若 r為 ABC內切圓的半徑，如圖三所示，當覆蓋率最大時，圓心在內心 I的位置時。請求出內心的坐標及最大覆
蓋率。(3 分)
1
2. 若 r 時，已知當覆蓋率最大時，圓心在某一三角形的邊界及內部，請求出此三角形的頂點坐標及最大覆蓋率。
3
(4 分)
3. 若 r 2時，當覆蓋率最大時，請畫出此時圓心所在的位置或範圍及求出最大覆蓋率，並說明原因。(4 分)
試題結束
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