广东省江门市广雅中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学B卷试题（含解析）

江门市广雅中学2023-2024学年第一学期期中考试高二B卷
高二数学B卷
一、单选题
1．已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．设直线、的方向向量分别为，，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．已知双曲线的焦距为，则的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
4．过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知抛物线的焦点为F，点，若点A为抛物线任意一点，当取最小值时，点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．已知双曲线是直线上任意一点，若圆与双曲线的右支没有公共点.则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在三棱柱中，底面是边长为的正三角形，，顶点在底面的射影为底面正三角形的中心，P，Q分别是异面直线上的动点，则P，Q两点间距离的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
8．已知椭圆：的离心率为，左顶点是A，左、右焦点分别是，，是在第一象限上的一点，直线与的另一个交点为．若，且的周长为，则直线的斜率为（ ）．
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知空间中三点，，，则（ ）
A．与是共线向量
B．与同方向的单位向量是
C．与夹角的余弦值是
D．平面ABC的一个法向量是
10．椭圆以x轴和y轴为对称轴，经过点，长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程可能为（ ）
A． B．
C． D．
11．已知的顶点在圆上，顶点在圆上.若，则（ ）
A．的面积的最大值为
B．直线被圆截得的弦长的最小值为
C．有且仅有一个点，使得为等边三角形
D．有且仅有一个点，使得直线，都是圆的切线
12．如图，双曲线的左 右焦点分别为，过向圆作一条切线与渐近线和分别交于点（恰好为切点，且是渐近线与圆的交点），设双曲线的离心率为.当时，下列结论正确的是（ ）

A．
B．
C．当点在第一象限时，
D．当点在第三象限时，
第II卷（非选择题）
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三、填空题
13．直线与圆O：的位置关系是 ．
14．已知，，，，若，，，四点共面，则 ．
15．已知线段AB是抛物线的一条弦，且AB中点M在上，则点A横坐标最大值为
16．如图，椭圆的中心在原点，长轴在x轴上．以、为焦点的双曲线交椭圆于C、D、、四点，且．椭圆的一条弦AC交双曲线于E，设，当时，双曲线的离心率的取值范围为 ．

四、解答题
17．如图，在四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，分别为的中点.

(1)求直线与平面所成角的正弦值.
(2)求点到面的距离.
18．已知点，，动点满足．
(1)求动点的轨迹方程；
(2)直线过点且与点的轨迹只有一个公共点，求直线的方程．
19．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的长为2，宽为1，，边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合，将矩形折叠，使点落在线段上，设此点为.
（1）若折痕的斜率为-1，求折痕所在的直线的方程；
（2）若折痕所在直线的斜率为，（为常数），试用表示点的坐标，并求折痕所在的直线的方程；
（3）当时，求折痕长的最大值.
20．四棱锥中，四边形为梯形，其中，，，平面平面．
(1)证明：；
(2)若，且与平面所成角的正弦值为，点在线段上且满足，求二面角的余弦值．
21．已知抛物线经过点，直线与交于，两点（异于坐标原点）．
(1)若，证明：直线过定点．
(2)已知，直线在直线的右侧，，与之间的距离，交于，两点，试问是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
22．关于椭圆有如下结论：“若点在椭圆上，则过点的椭圆的切线方程为”设椭圆的离心率为，左、右顶点分别为和，动点在椭圆位于第一象限的部分上，过点作椭圆的切线分别与过和的椭圆的切线相交于点和，且．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知坐标原点和点，直线交椭圆于、两点，直线、分别与轴交于、两点，证明：为定值．
参考答案：
1．D
【分析】先由方程求出直线的斜率，再求出直线倾斜角即可.
【详解】因为直线的方程为：，
即，
所以直线的斜率为，
又且
所以直线的倾斜角为，
故选：D.
2．B
【解析】由可得出，利用空间向量数量积的坐标运算可得出关于实数的等式，由此可解得实数的值.
【详解】由于，则，解得.
故选：B.
3．A
【分析】根据双曲线的性质得到，，即可解得，从而求得答案.
【详解】由题意得：，解得：，
即双曲线的方程为，所以的渐近线方程是.
故选：A.
4．C
【分析】圆的方程化为，求出圆心和半径，利用直角三角形求出，由二倍角公式可得的值．
【详解】圆可化为，则圆心，半径为；

设，切线为、，则，
中，，所以．
故选：C．
5．B
【分析】设点A在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义把问题转化为求取得最小值，数形结合求解即可.
【详解】设点A在准线上的射影为D，如图，

则根据抛物线的定义可知，
求的最小值，即求的最小值，
显然当D，B，A三点共线时最小，
此时点的横坐标为1，代入抛物线方程可知.
故选：B.
6．B
【分析】由直线与渐近线的距离得到圆心到直线的距离为，再根据圆与双曲线C的右支没有公共点，由求解.
【详解】双曲线的一条渐近线方程为，
因为点是直线上任意一点，
又直线与直线的距离为：
，
即圆心到直线的距离为：,
因为圆与双曲线C的右支没有公共点，
所以，即，又,
所以双曲线的离心率的取值范围为.
故选：B
【点睛】本题考查求解双曲线离心率的范围，对学生的理解与转化能力要求较高，难度较难.涉及到和双曲线某一支的交点个数问题，注意借助双曲线的渐近线进行分析.解题的关键在于将问题转化为渐近线与直线的距离大于等于圆的半径.
7．D
【分析】设是底面正的中心，平面，，以直线为轴，为轴，过平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，P，Q两点间距离的最小值即为异面直线与间的距离用空间向量法求异面直线的距离．
【详解】如图，是底面正的中心，平面，平面，则，
，则，又，，
，直线交于点，，
以直线为轴，为轴，过平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
，，，
，
设与和都垂直，
则，取，则，，
P，Q两点间距离的最小值即为异面直线与间的距离等于．
故选：D．
8．D
【分析】由平行关系得出对应线段成比例，结合椭圆定义，表示出长度，利用余弦定理求出，得出结果.
【详解】因为椭圆：的离心率为，则，
又因为，即，
则，可得，
所以，①
又因为，可得，②
又因为，③
由①②③知，，
在中，由余弦定理可得，
可得为锐角，则，
所以，即的斜率为．
故答案为：D
【点睛】方法点睛：1．椭圆离心率(离心率范围)的求法
求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值．
2．焦点三角形的作用
在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．
9．BCD
【分析】根据向量的坐标结合共线向量的概念可判断A；求得的模，即可求出与同方向的单位向量判断B；根据向量的夹角公式判断C；根据平面法向量的含义可判断D.
【详解】由题意知空间中三点，，，
则，则，即两向量没有倍数关系，
故与不是共线向量，A错误；
，故与同方向的单位向量是，B正确；
又，故，C正确；
记，则，
，即，，
又平面ABC，所以平面ABC，
故平面ABC的一个法向量是，D正确，
故选：BCD
10．AC
【分析】根据题意可得，分类讨论焦点所在的位置，运算求解即可.
【详解】设长轴长为，短轴长为，
因为长轴长是短轴长的2倍，则，即，
又因为椭圆经过点，则有：
若椭圆的焦点在x轴上，可知，椭圆的标准方程为；
若椭圆的焦点在y轴上，可知，椭圆的标准方程为；
综上所述：椭圆的标准方程为或.
故选：AC.
11．ACD
【分析】设点到直线的距离为，由求得的最大值判断A，利用直线和圆的位置关系判断B，利用为等边三角形，则需，判断C，利用射影定理可得进而判断D.
【详解】设线段的中点为，因为圆的半径为2，，
所以，且，

对于A选项，设点到直线的距离为，则，
所以当且仅当四点共线时，点到直线距离的最大值为15，所以的面积的最大值为，故A正确；
对于B选项，点到直线的距离小于等于，当时，等号成立，又的最大值为7，
所以点到直线的距离的最大值为7，这时直线被圆截得的弦长的最小值为，故B错误；
对于C选项，若为等边三角形，则需，，因为，
所以点的轨迹是以为圆心的单位圆，所以，又的最小值为4，所以，
当且仅当四点共线时成立，因此有且仅有一个点，使得为等边三角形，故C正确；
对于D选项，若直线，都是圆的切线，则，由射影定理，可得，
同上，当且仅当三点共线时，，因此有且仅有一个点，使得直线，都是圆的切线，故D正确；
故选：ACD
12．BC
【分析】依据题意确定切点不在双曲线上，根据勾股定理可计算，故可判断出不正确，正确；画出图象，根据图象观察可求出渐进性的斜率，进一步计算离心率即可判断出
【详解】因为且，所以，切点不在双曲线上，不正确，正确；
若，在中，，
当分别在一二象限时（如图1），，设的倾斜角为，
则；
当分别在二 三象限时（如图2），设的倾斜角为，
则，
正确，错误.

故选：
13．相交
【分析】根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离和半径比较大小即可．
【详解】因为圆的方程为．所以圆心为，半径为1，
直线化为，
又因为圆心到直线的距离，所以相交．
故答案为：相交.
14．2
【分析】由四点共面易知，结合题设各点坐标、空间向量线性运算的坐标表示即可求参数.
【详解】设，且，
∴，
∴．
故答案为：2
15．2
【分析】由题意，可知当点A在原点时横坐标有最小值0，由于AB中点M在上，从而最大值为2.
【详解】
由题意，设
由抛物线范围可知，，
所以如图1，当点A在原点时横坐标有最小值，为0，
由AB中点M在上，可知，即，
所以，
即如图2，当点B在原点时,点A横坐标有最大值，为2.
16．
【分析】由题意设，则可设，根据向量的共线求得点坐标，代入双曲线的方程，结合离心率化简可得，求出的表达式，结合条件可列不等式，即可求得答案.
【详解】设，则设，(其中为双曲线的半焦距，为C.到轴的距离)，
，则，即，
，
即点坐标为，
设双曲线的方程为，将代入方程，得①，
将，E代入①式，整理得，
消去，得，所以，
由于.所以，故，
故答案为：
17．(1)
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量的夹角即可求解，
（2）根据点面距离公式，即可由法向量求解.
【详解】（1）因为平面，平面，
所以.
因为底面是正方形，所以.
如图建立空间直角坐标系.

因为，底面为边长为2的正方形，所以，.,
设平面法向量，由可得,
令，则，所以,
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
（2）设点到平面的距离为
，由（2）可得 为平面的一个法向量，
所以，所以点到面的距离为.
18．(1)；
(2)或.
【分析】（1）设，应用两点距离公式及已知条件，整理化简求轨迹方程；
（2）由题意，直线与相切，讨论所求直线斜率，设直线方程，根据圆心与直线距离求参数求直线方程.
【详解】（1）设，由条件，则，
整理：，即点的轨迹方程为.
（2）过点的直线与点的轨迹只有一个公共点，即直线与相切，

当直线的斜率存在时，不妨设，
则圆心到直线的距离，得：，此时；
当的斜率不存在时，直线此时直线与圆相切；
综上所述，满足题意得直线的方程为：或
19．（1）；（2）；(3).
【详解】试题分析：（1）若折痕的斜率为时，由于点落在线段上，可得折痕必过点，即可得出；（2）当时，此时点与点重合，折痕所在的直线方程，当时，将矩形折叠后点落在线段上的点记为，可知与关于折痕所在的直线对称，有，故点坐标为，从而折痕所在的直线与的交点坐标即线段的中点为，即可得出；（3）当时，折痕为2，当时，折痕所在直线交于点，交轴于，利用两点之间的距离公式、二次函数的单调性即可得出．
试题解析：（1）∵折痕的斜率为时，点落在线段上
∴折痕必过点
∴直线方程为
（2）①当时，此时点与点重合，折痕所在的直线方程.
②当时，将矩形折叠后点落在线段上的点记为，
则与关于折痕所在的直线对称，有，即．
∴点坐标为
从而折痕所在的直线与的交点坐标即线段的中点为，折痕所在的直线方程，即．
综上所述，由①②得折痕所在的直线方程为：．
（3）当时，折痕长为2．
当时，折痕所在直线交于点，交轴于．
∵ ，
∴折痕长的最大值为.
∴综上所述，折痕长度的最大值为
点睛：本题考查了关于折叠问题转化为轴对称问题，考查了直线的方程、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、两点之间的距离公式、二次函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于难题
20．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）由题设可得，利用面面垂直的性质可得面，再由线面垂直的性质证；
（2）若为中点，连接，首先求证，两两垂直，构建空间直角坐标系，确定相关点坐标并令且，根据线面角及向量夹角的坐标表示求参数m，进而可得，再求面、面的法向量，应用向量夹角的坐标运算求二面角余弦值.
（1）
由题设，△为等边三角形，则，
又四边形为梯形，，则，
在△中，，即，
面面，面面，面，则面，
又面，故.
（2）
若为中点，，则，
面面，面面，面，则面，
连接，则，且面，故，
综上，，两两垂直，
构建以为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，
所以，，，，若且，则，
而面的一个法向量为，，
所以，可得，故，
所以，，，
若是面的一个法向量，则，
取，
若是面的一个法向量，则，取，
所以，
由图知：锐二面角的余弦值.
21．(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）将点代入抛物线方程求出，直线与抛物线联立方程组，由，利用向量数量积和韦达定理，求出，可得直线所过定点.
（2）设两条直线与的方程，分别与抛物线方程联立，求出弦长，由和 ，求的值.
【详解】（1）证明：将点代入，得，即．
联立得，

由，设，，则，．
因为，所以恒成立，则，
所以的方程为，故直线过定点．
（2）联立得，则
且，即，
，
设，同理可得．

因为直线在的右侧，所以，则，即．
所以，即，解得，
因为，所以满足条件的存在，.
【点睛】方法点睛：
解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件；强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
22．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设，其中，，求出点、的坐标，根据可得出的值，再结合椭圆的离心率可得出的值，由此可得出椭圆的方程；
（2）设点、，联立直线与椭圆的方程，列出韦达定理，写出直线的方程，求出点的横坐标，同理可得出点的横坐标，结合韦达定理可求得的值.
【详解】（1）解：设，其中，，则过点的椭圆的切线方程为．
联立可得，则，同理可得．
所以，即．
又，所以，所以．
所以椭圆的标准方程为．
（2）解：联立直线和椭圆的方程得，消去得．
由，可得．
设、，则，．
由题易知，，，，
所以直线的方程为，令，得，同理．
所以
．
故为定值．
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
答案第16页，共17页