福建省漳浦县三校2014-2015学年高二下学期期中联考数学（理）试卷

2014-2015学年度漳浦县期中考试高二年三校联考
(理科)数学试题
命题人:陈锦山 审核人:李添泉
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.为虚数单位，则（1－）的虚部为（ ）
A、2 B、-2 C、2 D、
2．已知函数的图象如右图所示，则其导函数的图象可能是

A B C D
A.A B B C.C 　　 D.D
3.函数的递增区间是( ).
． ． ． ．
4．设函数，满足，则的展开式中的系数为( )
A．－360 　 B．360 C．－60 　 D．60
5. 4名同学从跑步、跳高、跳远三个项目中任意选报比赛项目，每人报且只能报一项，共有
（ ）种报名的方法。
A．81 B．64 C. 4 D.24
6.证明：，当时，中间式子等于
A. B. C. D.
7.已知点在曲线上移动，设点处切线的倾斜角为，则的取值范围是( )
．[0，] ．[0，]∪ ．[，π] ．[0，)∪[，π)
8. 若展开式中只有第6项系数最大，则展开式的常数项是 （ ）
A．210 B．120 C. 461 D.416
9.设、、，那么关于、、这三个数正确的结论是
A.都不大于2 B.都不小于2
C.至少有一个不大于2 D.至少有一个不小于2
10．，则二项式展开式中的常数项为（ ）
A.15 B.20 C.25 D.70
11. 已知函数的图像与轴恰好有三个不同的公共点，则实数的取值范围是（ ）
? ? ? ? ? ? ? ?
12．设．过点且平行于轴的直线与曲线的交点为，曲线过点的切线交轴于点，则的面积的最小值是
A．1 B． C． D．
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在相应位置.
13．计算是积分__________.
14.在复平面内，复数Z满足，则=___________.
15．三对夫妻排成一排照相，仅有一对夫妻相邻的排法种数为 ．
16.在平面几何中有如下结论：正△ABC的内切圆面积为，外接圆面积为，则。推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体ABCD的内切球体积为，外接球体积为，则___________.
三．解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.
17. （本小题满分12分）已知函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)求函数的图象在点处的切线方程．
18.（本小题满分12分）
设令.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.
19．（本小题满分12分）
福建师大附中高二年级将于4月中旬进行年级辩论赛，每个班将派出6名同学分别担任一辩、二辩、三辩、四辩、五辩和六辩。现某班已有3名男生和3名女生组成了辩论队，按下列要求，能分别安排出多少种不同的辩论顺序？（要求：先列式，再计算，最后用数字作答）
（1）三名男生和三名女生各自排在一起；
（2）男生甲不担任第一辩，女生乙不担任第六辩；
（3）男生甲必须排在第一辩或第六辩，3位女生中有且只有两位排在一起。
20．(本小题满分12分)现有一批货物从海上由A地运往B地，已知货船的最大航行速度为35海里/时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元．
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数；
(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？
21．(本小题满分12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；
②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；
③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos (-48°)；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos (-55°).
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
22.（本小题满分14分）
已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值？
2014-2015学年度漳浦县期中考试高二年三校联考
(理科)数学答案
一、选择题：（每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
D
D
A
D
D
A
D
A
C
B
二、填空题：（每小题4分，共16分）
13._________ 14.___________
15.__192_________ 16. 1/8
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.
17. （本小题满分12分）已知函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)求函数的图象在点处的切线方程．
解析：(1)由x∈(0，π)及f′(x)＝cos x－>0，解得x∈(0，)，
∴函数f(x)的单调递增区间为(0，)．……………….6分
(2)f()＝sin －＝－，切线的斜率k＝f′()＝cos －＝0，
∴所求切线方程为y＝－…………………………..12分
18.（本小题满分12分）
设令.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.
解：（1）∵∴，
………………………………….4分
（2）猜想：……………………………6分
下面用数学归纳法证明：
当时，，猜想成立；
假设当时猜想成立，即：
则

∴当时猜想也成立.
由①，②可知，对任意都有成立…………….12分
19．（本小题满分12分）
福建师大附中高二年级将于4月中旬进行年级辩论赛，每个班将派出6名同学分别担任一辩、二辩、三辩、四辩、五辩和六辩。现某班已有3名男生和3名女生组成了辩论队，按下列要求，能分别安排出多少种不同的辩论顺序？（要求：先列式，再计算，最后用数字作答）
（1）三名男生和三名女生各自排在一起；
（2）男生甲不担任第一辩，女生乙不担任第六辩；
（3）男生甲必须排在第一辩或第六辩，3位女生中有且只有两位排在一起。
解：（1)72; (2)504 (3)144 各4分
20．(本小题满分12分)现有一批货物从海上由A地运往B地，已知货船的最大航行速度为35海里/时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元．
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数；
(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？
解：(1)依题意得y＝(960＋0.6x2)＝＋300x，且由题意知，函数的定义域为(0,35]，
即y＝＋300x(0＜x≤35)．………….5分
(2)由(1)知，y′＝－＋300，
令y′＝0，
解得x＝40或x＝－40(舍去)．……………7分
因为函数的定义域为(0,35]，
所以函数在定义域内没有极值点．
又当0＜x≤35时，y′＜0，
所以y＝＋300x在(0,35]上单调递减，………………10分
故当x＝35时，
函数y＝＋300x取得最小值．
故为了使全程运输成本最小，轮船应以35海里/时的速度行驶…………….12分
21．(本小题满分12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；
②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；
③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos (-48°)；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos (-55°).
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
解析：　方法一：(1)选择②式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°
＝1－sin 30°＝1－＝……………4分
(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)
＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α －sin2α
＝sin2α＋cos2α＝………………………12分
方法二：(1)同方法一．
(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝＋－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)
＝－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－sin αcos α－sin2α
＝－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α)
＝1－cos 2α－＋cos 2α＝…………………12分
22.（本小题满分14分）
已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值？
解：（Ι）由知：
当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；
当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；
当时，函数是常数函数，无单调区间. ………………………5分
（Ⅱ）
由,
∴，. ………………………7分
故，
∴,
∵ 函数在区间上总存在极值，
∴ 函数在区间上总存在零点， ………………………9分
又∵函数是开口向上的二次函数，且
∴ ………………………11分
由，令，则，
所以在上单调递减，所以；
由，解得；
综上得：
所以当在内取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值. ………………………14分
2014-2015学年度漳浦县期中考试高二年三校联考(理科)数学答题卡
一、选择题：（每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题：（每小题4分，共16分）
13._________ 14.___________
15.___________ 16.
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.
17.已知函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)求函数的图象在点处的切线方程．
18. 设令.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.
19.福建师大附中高二年级将于4月中旬进行年级辩论赛，每个班将派出6名同学分别担任一辩、二辩、三辩、四辩、五辩和六辩。现某班已有3名男生和3名女生组成了辩论队，按下列要求，能分别安排出多少种不同的辩论顺序？（要求：先列式，再计算，最后用数字作答）
（1）三名男生和三名女生各自排在一起；
（2）男生甲不担任第一辩，女生乙不担任第六辩；
（3）男生甲必须排在第一辩或第六辩，3位女生中有且只有两位排在一起
20. 现有一批货物从海上由A地运往B地，已知货船的最大航行速度为35海里/时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元．
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数；
(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？
21. 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；
②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；
③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos (-48°)；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos (-55°).
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论
22. 已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值？