天津市红桥区2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题(含答案)

高三数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共9小题，每小题5分，共45分。
参考公式：
柱体体积公式：，其中表示柱体底面积，表示柱体的高．
锥体体积公式：，其中表示锥体底面积，表示锥体的高．
球体表面积公式：， 其中表示球体的半径．
球体体积公式：，其中表示球体的半径．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）设集合A={ x |}，B={ x |0＜x＜3}，那么“xA”是“xB”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
（2）设集合A，B=，且AB=，则
A．4 B．2
C．2 D．4
（3）已知 ，，若 ，则 的值为
A． B．
C． D．
（4）将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是
A． B．
C． D．
（5） ， ， ，则
A． B．
C． D．
（6）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为
A． B．12
C． D．4
（7）已知等差数列满足，，等比数列满足，，则
A．32 B．128
C．64 D．256
（8）设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是

A．有两个极值点 B．有两个极小值
C．为函数的极小值 D．为的极小值
（9）已知函数
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．
（10）已知函数 在 上有增区间，则 的取值范围是 ．
（11）已知数列 是公差不为零的等差数列，，若 成等比数列，则 = ．
（12）如图，在△ABC中，∠C＝90°，且AC＝BC＝3，点M满足
＝2，则·＝________．
已知函数，则 的最小正周期为 ；在区间
上的取值范围是 ．
（14）已知向量 ，，，若，则 ；若与的夹角为钝角，则 的取值范围为 ．
（15）若两个正实数x，y满足 ，且任意的x，y 使不等式+ >恒成立，则实数m的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（16）（本小题满分14分）
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值．
（17）（本小题满分15分）
如图所示，在三棱柱中，侧棱底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点．，BC＝6．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求二面角C1-BD-C的余弦值．
（18）（本小题满分15分）
已知 为数列 的前 项和，（），且 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求数列 的通项公式；
（19）（本小题满分15分）
已知函数．
（Ⅰ）当时，求关于x的不等式的解集；
（Ⅱ）求关于x的不等式的解集；
（Ⅲ）若在区间上恒成立，求实数a的范围．
（20）（本小题满分16分）
已知函数．
（Ⅰ）若的单调递增区间为，求的值．
（Ⅱ）求在上的最小值．
高三数学答案
一、选择题（每小题5分，共45分）
题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9）
答案 A C D B D A C B C
二、填空题（每小题5分，共30分）
（10） （11） (12) 3 (13)
（14） （15）
三、解答题（本大题共5小题，共75分）
（16）（本小题满分14分）
解：（Ⅰ） bsinA=acosB，由正弦定理 ………………2
可得，即得，…………5
（Ⅱ）sinC=2sinA，由正弦定理得 ………7
由余弦定理………………9
，解得…………12
……………………………14
（17）（本小题满分15分）
（Ⅰ）证明1：连接交于点，连接，………2
因为四边形为矩形，所以为的中点，
D为AC的中点， 所以∥………….5
又因为平面，平面
所以平面……………………….8
（Ⅰ）证明2：如图建立空间直角坐标系，A（0，4，4），B（0，4，0），C（6，4，0），D（3，4，2），C1（6，0，0），
，，………………..2
设平面的法向量为，则 ……………………4
即 令x=2，则y=3，z=-3，则 …………………..6
因为平面，平面
所以平面…………………………………………8
（Ⅱ）由（Ⅰ）知BB1平面，故平面的法向量可取为…….10
则……………………….14
又二面角为锐二面角，所以二面角C1-BD-C的余弦值．………….15
（18）（本小题满分15分）
（Ⅰ） 由 和 可得 ．………2
（Ⅱ） 方法一：当 时，由 ，…………………………………3
得 ，
所以 ，
所以 ．………………………………………………6
所以数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，
所以 ．…………………………………………………8
方法二：当 时，由 …………3
可得 ，
所以 ………………………………………6
所以数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，
所以 ，即 ．
所以 ．……………………………………………………………………8
（Ⅲ） 证明：由（Ⅱ）知 ………………………10
因为
…………………………12
所以命题得证． ………………………………15
（19）（本小题满分15分）
（Ⅰ）当时，则………………………………….2
由，得
原不等式的解集为……………………………………4
（Ⅱ）由……………………………6
当时，原不等式的解集为
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为……………………………………9
（Ⅲ）由即在上恒成立，得……….11
令，则………………..14
当且仅当 ，即时取等号
则，.故实数a的范围是…………………..15
（20）（本小题满分16分）
（Ⅰ）函数定义域为…………………………………………………………..2
由于函数的单调增区间为，且，故………….6
当时，，故函数的单调递增区间为
即可得，则a=8……………………………………..8
（Ⅱ），
①当时，，则在上单调递增，所以………..10
②当，，，则在上单调递减
时，，则在单调递增…………………………………12
（i）当，即时，在单调递增，此时，
（ii）当，即时，在上单调递减，在上单调递增
此时
综上所述：当时，；当时，…………………..16