数学人教A版（2019）必修第一册5.2.2同角三角函数的基本关系（共20张ppt）

(共20张PPT)
5.2 三角函数的概念
5.2.2 同角三角函数的基本关系
复习导入
上节课的学习中，我们得到了公式一，即终边相同的角的同一三角函数值相等.
公式一
其中
思考1：那么，终边相同的角的三个三角函数值之间是否也有某种关系呢？
因为三个三角函数值都是由角的终边与单位圆交点所唯一确定的，所以终边相同的角的三个三角函数值一定有内在联系.由公式一可知，我们不妨讨论同一个角的三个三角函数值之间的关系.
新知探索
如图，设点是角的终边与单位圆的交点.过作轴的垂线，交轴于，则是直角三角形，而且
由勾股定理有：因此，即
显然，当的终边与坐标轴重合时，这个公式也成立.
根据三角函数的定义，当时，有：
这就是说，同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切.
例析
教材例6.已知求的值.
解：因为,所以是第三象限角或第四象限角.
由得：
如果是第三象限角，那么于是，
从而
如果是第四象限角，那么于是，
从而
例析
教材例7.求证：.
证法1：由，知，所以
于是左边
右边.
所以，原式成立.
今后，除特殊注明外，我们假定三角恒等式是在使两边都有意义的情况下的恒等式.
例析
教材例7.求证：.
证法2：因为
且，，
所以.
【例1】（2023·全国·高一课时练习）已知是第二象限角，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】任意角的三角函数
∵，
∴，
，是第二象限角
∴．
故选：A
题型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值
【对点训练1】（2023·全国·高一课时练习）已知角的终边在直线上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题设知：，
即，且，
所以，而终边在第二或四象限，
所以．
故选：C
题型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值
【对点训练2】（2023·贵州·凯里一中高一期中）若，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由得，∴或，
因为，，所以．
由及得，∴，所以．
故选：A
【方法技巧与总结】
利用同角三角函数基本关系式求值的常用技巧：
（1）巧用“1”进行变形，如等．
（2）平方关系式需开方时，应慎重考虑符号的选取．
题型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值
【例2】（2023·全国·高一课时练习）若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，
所以
．
故选：A
题型二：已知的值，求关于、的齐次式的值问题
【对点训练3】（2023·辽宁·凌源市实验中学高一阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为
故
故选：C．
题型二：已知的值，求关于、的齐次式的值问题
【对点训练4】（2023·陕西汉中·高一期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得．
故选：C．
【方法技巧与总结】
①减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切，如涉及、的齐次分式问题，常采用分子分母同除以（），这样可以将被求式化为关于的式子，从而完成被求式的求值；
②在求形如的值，注意将分母的1化为代入，转化为关于的表达式后再求值．
题型二：已知的值，求关于、的齐次式的值问题
【例3】（2023·全国·高一课时练习）已知，，则______．
【答案】
【解析】，解得．
因为，，
所以．
所以，
又，所以．
故答案为：
题型三：与关系的应用
【对点训练5】（2023·上海南汇中学高一阶段练习）已知，则的值为_____．
【答案】
【解析】因，
则，
即，
而，，于是有，
所以
．
故答案为：
题型三：与关系的应用
【对点训练6】（2023·吉林·梅河口市第五中学高一期中）已知，则_________．
【答案】
【解析】由题意得 ，
所以，所以
因为，所以，
所以，又，解得，
所以．故答案为：
【方法技巧与总结】
三角函数求值中常见的变形公式（1），，三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们的关系是：
；
．
（2）求或的值，要根据的范围注意判断它们的符号．
题型三：与关系的应用
【例4】（2023·安徽省舒城中学高一开学考试）化简
（1）
（2）
（3）
【解析】（1）
；
（2）；
（3）
．
题型四：利用同角关系化简三角函数式
【对点训练7】（2023·全国·高一课时练习）化简：．
【解析】
．
【方法技巧与总结】化简要求:
（1）项数尽量少；
（2）次数尽量低；
（3）分母、根式中尽量不含三角函数；
（4）尽量不含根式；
（5）能求值的尽可能求值．
题型四：利用同角关系化简三角函数式
【例5】（2023·全国·高一课时练习）求证：
（1）
（2）
【解析】（1）根据同角的三角函数关系进行转化证明即可．
（1）左边右边．
即证．
（2）左边
右边．
即证：．
题型五：利用同角关系证明三角恒等式
【对点训练8】（2023·全国·高一课时练习）求证：＝．
【解析】证明：∵右边＝＝＝
＝＝＝左边，
∴＝．
【方法技巧与总结】
证明三角恒等式时，可以从左边推到右边，也可以从右边推到左边，本着化繁就简的原则，即从较繁的一边推向较简的一边；还可以将左、右两边同时推向一个中间结果；有时候改证其等价命题更为方便．但是，不管采取哪一种方式，证明时都要“盯住目标，据果变形”．化简证明过程中常用的技巧有：弦切互化，运用分式的基本性质变形，分解因式，回归定义等．
题型五：利用同角关系证明三角恒等式
课堂小结&作业
课堂小结：
(1)同角三角函数的基本关系式；
(2)化简求值过程中常用的处理方法.
作业：
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P184的练习15题.