数学人教A版（2019）必修第一册4.4.2对数函数的图象和性质（共20张ppt）

(共20张PPT)
4.4.2 对数函数的图象和性质
一般地，函数y = loga x (a＞0,且a≠ 1)叫做对数函数.
其中 x是自变量,即对数的真数，而a就是对数的底数，
函数的定义域是（ 0 , +∞）
对数函数的概念
注意：
知识回顾
学习函数的一般方法
解析式（定义）
图像
性质
应用
①定义域
②值域
③单调性
⑤奇偶性
④最值
数形结合
对数函数的图象
作图步骤:
①列表,
②描点,
③用平滑曲线连接。
完成下列表格，并用描图法画出y = log2x的图像．
x y = log2x
0.5
1
2
4
6
8
16
-1
0
1
2
2.6
3
4
2
1
-1
-2
1
2
4
0
y
x
3
探究：底数互为倒数的两个指数函数的图象关于轴对称．
对于底数互为倒数的两个对数函数， 比如 和 ,它们的图象是否也有某种对称关系呢？
y = log2x
x y = log2x y = log x
0.5
1
2
4
8
16
…… ……
1
0
-1
-2
-3
-4
……
-1
0
1
2
3
4
……
两个图像关于x轴对称
y = log x
y=log2x
P(x, y)
y= =-log2x
P1(x, -y)
关于x轴对称的点
结论：底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.
P1(x, -y)
y = log2x
y = log x
P(x, y)
选取底数a（a>0,且a）的若干不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的对数函数的图像，观察图象的位置、公共点和变化趋势。
发现对数函数的图象按底数a的取值，可分为01两种类型。
函数 y = log a x ( a＞0 且 a≠1 ) 底数 0 ＜ a ＜ 1 a＞ 1
图象
定义域 值域 定点 单调性
值分布
1
x
y
o
1
x
y
o
( 0 , + ∞ )
R
过定点( 1 , 0 )，即x=1时，y=0
当 x＞1 时，y＞0
当 0＜x ＜1 时， y＜0
当 x＞1 时，y＜0
当 0＜x＜1 时，y＞0
增函数
减函数
与图象关于x轴对称
练习：对数函数 ① y＝logax，② y＝logbx， ③ y＝logcx，④ y＝logdx 的图象如图所示,则a,b,c,d及1的大小关系是 .
c作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，自左向右，对数函数的底数逐渐变大（底大图右）
对数函数图像在第一象限越往右底越大（底大图右）
题型一 比较大小
例题：比较下列各题中两个值的大小：
(1) log23.4 , log28.5 ; (2) log0.31.8 , log0.32.7 ;
(3) loga5.1 , loga5.9 (a>0 , 且a≠1) .
解：
(1)log23.4和log28.5可看作函数y=log2x的两个函数值.
因为底数2>1 ,对数函数y=log2x是增函数，且3.4<8.5，
所以
log23.4 < log28.5 .
(2) log0.31.8和log0.32.7可看作函数y=log0.3x的两个函数值.
因为底数0<0.3<1 ,对数函数y=log0.3x是减函数, 且1.8<2.7, 所以
log0.31.8 > log0.32.7 .
解：
(3) loga5.1 和 loga5.9可看作函数y=logax的两个函数值.
对数函数的单调性取决于底数a是大于1还是小于1，因此需要对底数a进行讨论.
①当a>1时,对数函数y=logax是增函数,且5.1<5.9,所以
loga5.1 < loga5.9.
②当0loga5.1 > loga5.9.
(1)同底数比较大小时构造对数函数，根据其单调性比较.
(2)真数相同底数不同时分别画出不同底数的对数函数图象，当x取相同真数时可观察出函数值的大小.
(3)底数、真数都不相同时，取与其中一底数相同与另一真数相同的对数与两数比较，或借助特殊数值与两数比较.
(4)当底数含参数时，要按底数>1和0<<1两种情况分类讨论.
比较对数的大小的方法
练习：比较下列各组数的大小.
（2）
解：(中间值法)∵
∴.
（1）
解：方法一：由于，，
又对数函数在上单 调递增，
且
∴即.
方法二：“底大图右”也可以直接判断
题型二 过定点
(3,1)
1.函数的f(x)=loga(x－2)(a>0,且a≠1)的图象必经过定点 　　 .
对数不等式的三种考查类型：
1.形如的不等式，借助对数函数的单调性求解.
2.形如的不等式，应将化为以为底的对数式的形式
，再借助的单调性求解.
3.形如的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解.
注：底数中若含有参数，一定要注意底数的范围，并进行分类讨论.
题型三 对数不等式
例题：解下列不等式：
(1)
解：(1)据题意得： 解得
即不等式的解集为
(2)
解得即不等式的解集为
综上，当时，解集为；当时，解集为
即不等式的解集为
(2)
题型四 实际应用
例题：溶液酸碱度是通过pH计量的.pH的计算公式为pH=-lg[H+]，其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.
（1）根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；
(2)已知纯净水中氢离子的浓度为[H+]=10-7摩尔/升，计算纯净水的pH.
解：
(1)根据对数的运算性质,有
,
在上,随着的增大, 减小，相应地，减小.
所以,随着的增大, 减小.即溶液中氢离子的浓度越大,溶液的酸性就越强.
(2)当[H+]=10-7时,pH=-=7.
所以,纯净水的是.
探究: 对于指数函数y=2x，你能利用指数与对数之间的关系，得到对应的对数函数？它们的定义域，值域有什么关系？
y=log2x
y=2x
x=log2y
x改为y,
y改为x
x∈R
y∈(0,+∞)
x∈(0,+∞)
y∈R
根据运算性质可以由一个推导出另外一个，并且一个函数的定义域和值域分别是另外一个函数的值域和定义域的，我们就称它们互为反函数．
一般地，指数函数与对数函数互为反函数，它们的定义域与值域正好互换.
求反函数的步骤：
(1)交换x,y的位置； (2)反解出y；
(3)求出原函数的值域，作为反函数的定义域.
题型五 求反函数
练习：求出下列函数的反函数：
(1)函数的反函数是 ；
(2)函数的反函数是 ;
(3)函数的反函数是 ;
(4)函数的反函数是 .