山西省浮山中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学（理）试题

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2014-2015学年度山西浮山中学高二期中试题（理数）
考试范围：选修2-2；选修4-4；考试时间：120分钟
题号
一
二
三
总分
得分
第I卷（选择题）
评卷人
得分
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．设，（i为虚数单位），则的值为( )
A. 0 B. 2 C.3 D. 4
2．若复数满足，则复数等于
A．1+ B．1- C． D．2
3．直线为参数)的倾斜角等于
A． B． C． D．
4．在极坐标系中，圆的圆心的极坐标为（ ）
A. B. C. D.
5．演绎推理“因为对数函数是增函数，而函数是对数函数，所以是增函数”所得结论错误的原因是（ ）
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．大前提和小前提都错误
6．用反证法证明“若a，b，c<3，则a，b，c中至少有一个小于1”时，“假设”应为
A.假设a，b，c至少有一个大于1 B.假设a，b，c都大于1
C.假设a，b，c至少有两个大于1 D.假设a，b，c都不小于1
7．用数学归纳法证明时，由的假设到证明时，等式左边应添加的式子是（ ）
A、 B、
C、 D、
8．水以匀速注入如图容器中，试找出与容器对应的水的高度与时间的函数关系图象（　　）
9．函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
10．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(2－x)f′(x)的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)
A．函数f(x)有极大值f(1)和极小值f(－1)
B．函数f(x)有极大值f(1)和极小值f(2)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
D．函数f(x)有极大值f(－1)和极小值f(2)
11．若点P是曲线上任意一点,则点P到直线y=x+3的最小距离为( )
A.1 B. C. D.
12．四个小动物换座位，开始是猴、兔、猫、鼠分别坐在1、2、3、4号位置上(如图)，第1次前后排动物互换位置，第2次左右列互换座位，……这样交替进行下去，那么第2014次互换座位后，小兔的位置对应的是(　　)
A．编号1 (开始) B．编号2 （第1次） C．编号3 （第2次） D．编号4（第3次）

第II卷（非选择题）
评卷人
得分
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．若函数在R上无极值点，则实数m的取值范围是____.
14．dx＝________.
15．.如图5，在平面上，用一条直线截正方形的一个角则截下一个直角三角形按图所标边长，由勾股定理得.设想正方形换成正方体,把截线换成如图的截面,这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥,若用表示三个侧面面积,表示截面面积,你类比得到的结论是 .
16．曲线y=在点（0，2）处的切线方程为_______.
评卷人
得分
三、解答题（共70分）
17．（10分）求证：(1); (2) +>+。
18．（12分）设函数f（x）=x3﹣x2﹣2x﹣．
（1）求函数f（x）的单调递增、递减区间；
（2）当x∈[﹣1，1]时，f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．
19．（ 12分）
已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴非负半轴重合．直线的参数方程为：（为参数），曲线的极坐标方程为：．
（1）写出曲线的直角坐标方程，并指明是什么曲线；
（2）设直线与曲线相交于两点，求的值．
20．（12分）在数列中，，，。
（Ⅰ）计算，，的值；
（Ⅱ）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明.
21．（12分）某商品每件成本5元，售价14元，每星期卖出75件.如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值（单位：元，）的平方成正比，已知商品单价降低1元时，一星期多卖出5件.
（1）将一星期的商品销售利润表示成的函数；
（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
22．（12 分）
已知函数
① 当b=-1时，求f(x)的极值。
② 若f(x)在区间（0，）上单调递增，求b的取值范围。
③ 试判断f(x)在定义域上的单调性
2014-2015学年度山西浮山中学高二期中试题（理数）
参考答案
1．B
【解析】
试题分析：因为，，所以，=3-1=2，故选B。
考点：复数的代数运算，复数的概念。
点评：简单题，复数的实部、虚部分别相等，则复数相等。
2．A
【解析】本题考查复数的运算
由得
则正确答案为A
3．A
【解析】
试题分析：根据题意，由于直线为参数），那么可知消去参数t，得到的为，可知斜率为-1，因此可知倾斜角为，故选A.
考点：直线的参数方程
点评：主要是考查了直线的参数方程的简单运用，属于基础题。
4．D.
【解析】
试题分析：把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心的直角坐标，再把它化为极坐标．
考点：简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．
5．A
【解析】
试题分析：大前提错误，对数函数当时，为增函数，当时，为减函数．
考点：演绎推理，对数函数的性质．
6．D
【解析】
试题分析：“a，b，c中至少有一个小于1”的反面是“假设a，b，c都不小于1”，故选D。
考点：反证法
点评：本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
反证法的步骤是：
（1）假设结论不成立；
（2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
7．B
【解析】根据等式左边的特点，各数是先递增再递减,由于n=k，左边=12+22+…+（k-1）2+k2+（k-1）2+…+22+12,n=k+1时，左边=12+22+…+（k-1）2+k2+（k+1）2+k2+（k-1）2+…+22+12,比较两式，从而等式左边应添加的式子是（k+1）2+k2,故答案为（k+1）2+k2,选B.
8．A
【解析】
试题分析：由于容器上细下粗，所以水以横速注入水，开始阶段高度增加的慢，以后高度增加的越来越快，因此与图象越来越陡峭，原来越大，选
考点：函数的单调性与导数的关系.
9．A
【解析】
试题分析：根据题意，由于x>0,则根据函数 ，可知当x 导数大于零，可知递增，当x,导数小于零，函数递减，故可知函数在x=e出取得最大值为，故选A.
考点：导数的运用
点评：主要是考查了函数的最值的运用，属于基础题。
10．A
【解析】由函数y＝(2－x)f′(x)的图像可知，方程f′(x)＝0有两个实根x＝－1，x＝1，且在(－∞，－1)上f′(x)<0，在(－1，1)上f′(x)>0，在(1，2)上f′(x)<0，在(2，＋∞)上f′(x)<0.所以函数f(x)有极大值f(1)和极小值f(－1)．
11．C
【解析】设P(x,y),则,当时，此时点P到直线y=x+3的距离最小.
所以，所以此时P（1，1），最小距离为.
12．C
【解析】由已知和图形得，小兔自第1次交换位置后依次坐在④→③→①→②→④…，得到每4次一个循环．因为2014÷4的余数为2，所以第2014次交换位置后，小兔的位置和第2次交换的位置相同，即编号为3.
13．
【解析】
14．π
【解析】设y＝，则x2＋y2＝4(y≥0)，由定积分的几何意义知dx的值等于半径为2的圆的面积的.∴dx＝4π＝π.
15．
【解析】略
16．x+y－2=0
【解析】
试题分析：根据题意，由于曲线y=，,则由点斜式方程可知y-2=-(x-0),切线方程为x+y－2=0，故答案为x+y－2=0。
考点：导数的几何意义
点评：解决的关键是得到函数的导函数，然后代点得到切线的斜率，属于基础题。
17．（1）根据均值不等式来得到证明，根据，，相加得到。
（2）利用分析法两边平方，结合有理数的大小来判定。
【解析】
试题分析：证明：（1） ∵,，将此三式相加得
,∴原式成立 5分
（2）要证原不等式成立，只需证（+）>（2+）
即证。∵上式显然成立, ∴原不等式成立. 10分
考点：分析法和综合法
点评：主要是考查了不等式证明，运用分析法和综合法来加以证明，属于基础题。
18．（1）f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣]和[1，+∞），单调减区间为[﹣，1]; （2）m＞．
【解析】
试题分析：（1）首先应求导数，利用导数的为正或为负，解对应不等式可得函数的单调增（减）区间；
（2）由不等式恒成立问题可通过分离参数等价转化成f（x）max＜m,求函数f（x）的最大值即可．
试题解析：（1）f′（x）=3x2﹣x﹣2=0，得x=1，﹣．
在（﹣∞，﹣）和[1，+∞）上f′（x）＞0，f（x）为增函数；
在（﹣，1）上f′（x）＜0，f（x）为减函数．
所以所求f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣]和[1，+∞），单调减区间为[﹣，1]．
（2）由（1）知，当x∈[﹣1，﹣]时，f′（x）＞0，[﹣，1]时，f′（x）＜0
∴f（x）≤f（﹣）=．
∵当x∈[﹣1，1]时，f（x）＜m恒成立，
∴m＞．
考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.不等式的恒成立问题．
19．（1），它是以（2,0）为圆心，半径为2的圆．（2）
【解析】
试题分析：（1）∵，∴
由，得
所以曲线C的直角坐标方程为 ．
它是以（2,0）为圆心，半径为2的圆．
（2）把代入，整理得
设其两根分别为则，
所以
考点：本题考查参数方程化为普通方程，把极坐标方程化为直角坐标方程
点评：解决本题的关键是掌握参数的几何意义
20．（Ⅰ）解：由题意，得，
（Ⅱ）解：由，猜想
以下用数学归纳法证明：对任何的。
证明：①当时，由已知，左边，右边，等式成立。
②假设当时，成立，
则时，
所以当时，猜想也成立。
根据①和②，可知猜想对于任何都成立。
【解析】本试题主要是考查了数列的通项公式的求解和数学归纳法证明的运用。
（1）利用一种的递推关系可知得到前几项，然后归纳猜想其通项公式。
（2）运用数学归纳法证明的时候注意n=k和n=k+1之间的变换，以及假设的运用。
21．（1）；（2）当即商品每件定价为9元时，可使一个星期的商品销售利润最大.
【解析】
试题分析：（1）先写出多卖的商品数，则可计算出商品在一个星期的获利数，再依题意：“商品单价降低1元时，一星期多卖出5件”求出比例系数，即可得一个星期的商品销售利润表示成的函数；（2）根据（1）中得到的函数，利用导数研究其极值，也就是求出函数的极大值，从而得出定价为多少元时，能使一个星期的商品销售利润最大.
试题解析：（1）依题意，设，由已知有，从而


（2）
由得，由得或
可知函数在上递减，在递增，在上递减
从而函数取得最大值的可能位置为或是
，
当时，
答：商品每件定价为9元时，可使一个星期的商品销售利润最大
考点：1.函数模型及其应用；2.导数的实际应用.
22．解：
（1）当b=-1时，定义域为。 当时<0，当>0时，所以，当x=0时取得极小值f(0)=-1，无极大值。
（2）,当时< 0，故5x+3b-20，从而， 恒成立,设g(x)= ,，即 g()，解得
（3），定义域为
当b=时，在上单调递减；
当时，f(x)在内单调递减，在内单调递增；
当时，f(x)在内单调递减，在内单调递增,在 内单调递减；
当时，f(x) 在内单调递减，在内单调递增；在内单调递减