第22章 二次根式导学案
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第22章 《二次根式》
第1课时 二次根式的概念及其应用
【学习目标】了解二次根式的概念及其应用．
【学习重点】二次根式有意义的条件及其应用．
【学习过程】
一、学习准备
1．概念复习
（1）如果x2 = a，那么a的平方根表示为 .
一个正数有 个平方根，它们的关系是 ；0的平方根是 ；负数
平方根.
一个非负数a的 叫算术平方根，表示为 .0的算术平方根为 .
2.课前练习
（1）4的平方根为 ，4的算术平方根为 ；12的平方根为 ，2的算术平方根为 .
（2）面积为5的正方形的边长为 ； 面积为S的正方形的边长为 .
（3）已知反比例函数，那么它的图象在第一象限内横、纵坐标相等的点的坐标是_______．
（4）在直角三角形ABC中，AC = 3，BC = 1，∠C = 90°，那么AB边的长是__________．
二、教材解读
很明显、、、，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根式子，我们就把它称二次根式．
一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．其中，a可以是一个数，也可以是一个代数式.
二次根式的特征：①有二次根号；②被开方数a是非负数，即a≥0.若a＜0时，我们称无意义. ③结果是非负数，即都≥0. （双重非负性）
即时练习1：
（1）判断下列各式，哪些是二次根式？
，，，，，，，，（x≥0，y≤0）．
是二次根式的有：
（2）要修建一个面积为6.28平方米的圆形喷水池，它的半径为 .
（3）甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的标准差S =_________．
例1，当x是多少时，代数式+在实数范围内有意义？
分析：这个代数式由两部分组成，第一部分是二次根式，第二部分是分式. 代数式要有意义，则二次根式的被开方数必须是非负数，分式的分母不能为0，且两个条件必须同时满足.
解： 由题意得：且，
解之得：且.
即：当且时，代数式+在实数范围内有意义.
例2，已知+＝0，求x - y的值.
分析：因为二次根式的结果都是非负数，而题中是两个二次根式的和为0，故两个根式的值都必须为0，结果才等于是0. 于是把二次根式的问题转化为方程的问题.
解：由题意得：，，
解之得：，
当时，，则；
当时，，则.
即时练习2：
（1）x取何值时，下列各二次根式有意义？
①； ②；
③； ④ ；
（2）在式子中，x的取值范围是 ____________.
（3）若有意义，则a的值为___________．
变式：已知y =++5，求的值.
（4）若+ HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 = 0，求a2012＋b2012的值．
三、当堂反思小结
二次根式的特征：①从形式上看，应含有 ；②被开方数a的取值范围是 ；
③运算结果的取值是范围 . （双重非负性）
本课时达标检测
一、基础巩固
1.已知,则x为( ).
A. x＞-3 B. x＜-3 C.x = -3 D. x的值不能确定
2.下列式子中，是二次根式的是（ ）.
A. - B. C. D. x
3. 下列式子中，不是二次根式的是（ ）.
A. B. C. D.
4．写出使下列二次根式有意义的x的取值范围.
（1）； （2）；
（3）； （4）.
5.当x = 时，代数式有最小值，其最小值是 .
6. 某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？
二、知识拓展
7.当x取 值时， HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ＋x2在实数范围内有意义.
8. 若，则 = .
9.已知y＝+,则= _____________.
三、能力提升
10．若＋有意义，则= .
11. 在实数范围内分解因式：
（1）x2 – 9 = x2 - （ ）2 =
（2） x2 - 3 = x2 - ( ) 2 = (x＋ _____) (x － _____)
（3）x4 – 16 = ( ) 2 - ( ) 2 =
12. 已知a、b为实数，且＋2 HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 = b＋4，求、的值．
第2课时 二次根式的性质
【学习目标】理解二次根式的两个性质：（；，并化简二次根式.
【学习重点】理解并掌握二次根式性质=，并运用于化简中.
【学习过程】
一、学习准备
1.二次根式的特征有哪些？ .
2.二次根式有意义，则x的取值范围是 .
二、教材解读
1.二次根式的性质1
计算： = ； = ； = ；
由上述练习可得二次根式的性质1：
（≥0）； 反之，当≥0时，.
例1，计算：（1）（3）2； （2）； （3）.
解：（1）（3）2 = 9（）2 = 9×5 = 45；
（2） = .
（3） = .
即时练习1：
（1）计算： ； ； ；
； ； .
（2）计算：① ； ② ； ③ .
2. 二次根式的性质2
探究一：根据算术平方根的意义计算.
； ； ； ； .
观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当 .
探究二：根据算术平方根的意义计算.
； ； ； .
观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当 .
由以上两次探究，可得二次根式的性质2：=或.
例2：当时，化简：- ( http: / / / )．
解：∵，∴,
由，运用不等式的性质可以得：
,，.即：.
∴原式 = （运用二次根式的性质，去根号得绝对值）
= （去绝对值，若绝对值内小于零则去掉绝对值时变为相反数）
=
即时练习2：
（1） ；= ；－= ； （）.
（2）化简下列各式：
①= ； ②= ； ③= ；
④= （x＜- 2）； ⑤ .
（3）若二次根式有意义，化简 .
（4）若a、b为实数，且，求代数式的值.
三、反思小结
二次根式的两个重要性质是：
本课时达标检测
一、基础巩固
1.计算 ： = ； = ； = ；
= ； ( http: / / / )= .
2. 先化简再求值：当= 9时，求a + ( http: / / / )的值，甲乙两人的解答如下：
甲的解答为：原式 = +=+（1-）= 1；
乙的解答为：原式 = +=+（-1）= 2-1 = 17．
两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是 .
3.已知2＜ x ＜3，化简： .
二、知识拓展
4. 若是一个正整数，则正整数m的最小值是________．
5.填空：（1）-=_________；（2）= ；
（3）a、b、c为三角形的三条边，则 ____________.
6. 若-3≤≤2时，试化简 ++ ( http: / / / ).
7. 边长为a的正方形桌面，正中间有一个边长为的正方形方孔．若沿图中虚线锯开，可以拼成一个新的正方形桌面．你会拼吗？试求出新的正方形边长．
三、能力提升
8.把的根号外的适当变形后移入根号内，得（ ）.
A. B. C. D.
9. 已知－1＜x＜1，化简：－.(注意分段讨论)
第3～4课时 二次根式的乘法
【学习目标】理解和掌握·＝或=·（a≥0，b≥0）,并把二次根式化为
最简.
【学习重点】利用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的对二次根式进行化简.
【学习过程】
一、学习准备
1.二次根式的性质： （； =
2.先计算，再比较两式的大小.
（1）×= ，= ，故× .
（2） × = ， = ，故× .
（3） × =_______， =_______，故× .
二、教材解读
1.二次根式的乘法法则
通过学习准备中的计算，我们发现二次根式的乘法规律：
·＝（a≥0，b≥0）.（即：算术平方根的积等于积的算术平方根）
特别提示一：其中的a、 b都必须是正数.
错误应用：. 应怎样计算？
特别提示二：两个二次根式之间是乘法关系.
错误应用：.应怎样计算？
错误应用：.应怎样计算？
例1，计算：
（1）×； （2）×； （3）×； （4）×；
解：（1）×； （2）× ；
（3）× ； （4）×= .
解题反思：对于被开方数是小数、分数、带分数的二次根式运算，运用乘法法则可以简化运算.
即时练习1：
（1）指出下列计算中的错误：×=××=2×=2.
你的计算是：
（2）计算：
①×； ②2×3； ③·； ④·· .
2.积的算术平方根在化简中的应用
对于等式·＝，反过来也是成立的，即：
=·（注意：a≥0，b≥0）.（即：积的算术平方根等于各因式算术平方根的积.）
推广形式：如果，则.
利用这个性质，可以对二次根式进行化简.
我们在运用勾股定理计算边长以及方差的计算时，我们经常会得到形如、这样的结果，如果还要作进一步的运算，如×，会产生大数，运算量较大.能不能有更好的计算方法呢？
例2，化简：（1）； （2）； （3）； （4）.
解：（1）=；
（2）；
（3）；
（4）.
解题反思：①以上计算实际上是对二次根式进行化简，使得结果变为较简单的形式，如果进一步进行二次根式的加减乘除运算，会减小运算量. ②化解形如的二次根式时，被开方数可能有多种分解形式，记住一条原则：先分解出能开方的因数.
即时练习2：计算或化简.
（1）； （2）； （3）； （4）； （5）.
3.最简二次根式
当被开方数中不含有分母，并且被开方数中所有因数（或因式）幂的指数都小于2，这样的二次根式称为最简二次根式.
例3，计算：（1）×； （2）×； （3）.
解：（1）×；
（2）×；
（3）方法一：，
方法二：
（方法二运用了平方差公式，将被开方数进行分解，避免了大数的运算，很好的方法！）
解题反思：
①当我们运算熟练后，化简二次根式的有些步骤就可以省略了.如= 2.
②当二次根式相乘后，有时还需要对二次根式进一步进行化简，结果要为最简二次根式.
如.
即时练习3：计算或化简.
（1）； （2）×； （3）3×2；
例4，化简：（1）； （2）； （3）；
解：（1）=；
（2）=；
（3）=.
解题反思：二次根式的化简，可以先乘后化简，也可以先化简后乘，方法多样.
特别应注意的是：哪些数和字母能开方出来，哪些不能，能开出多少，还剩多少.开方后一定要检查一遍，是否漏写数或字母.
即时练习4：化简.
（1）； （2）； （3）.
三、反思小结
1．二次根式的乘法公式是：
·＝ 或= （a≥0，b≥0）.
2．二次根式的运算结果，一般都要化为 .
3.二次根式的乘法运算，你总结了哪些注意事项？
本课时达标检测
一、基础巩固
1. 下列二次根式中，最简二次根式( ).
A. B. C. D.
2.下列各等式成立的是（ ）.
A.4×2= 8 B.5×4= 20
C.4×3= 7 D.5×4= 20
3.二次根式的计算结果是 .
4.计算或化简：
（1）； （2）； （3）；
（4）6×（-2）； （5）； （6）.
二、知识拓展
5. 若直角三角形两条直角边的边长分别为cm和cm，那么此直角三角形斜边长是
.
6.下列各式的计算中，不正确的是（ ）.
A. ；
B. ；
C. =（-2）×（-4）=8；；
D.
7.计算：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （4）； （4）.
三、能力提升
8.若，求的值.
第5课时 二次根式的除法
【学习目标】理解二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质，能熟练进行二次根式的除法运
算及化简.
【学习重点】 掌握和应用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质.
【学习过程】
一、学习准备
1.知识回顾：
（1）二次根式的性质：= .
（2）二次根式的乘法法则： ·＝ （a≥0，b≥0）.
（3）积的算术平方根的性质：= （a≥0，b≥0）.
（4）最简二次根式：二次根式的被开方数中不含 ，被开方数（或式）中所有因数（或因式）的指数都 .
2.计算： （1）3×（-4）； （2）；
二、教材解读
1.算一算，比较大小，找规律：
（1）=_______，==_______ ，∴ ；
（2）=________，==________，∴ ；
（3）=_______， ==_______ ，∴ ；
2.二次根式的除法法则
一般地，有： ，其中a≥0，b＞0. （两个二次根式相除，可以先把被开方数相除.）
上述公式逆用也成立.
商的算术平方根：，（a≥0，b＞0）.（商的二次根式，等于二次根式的商）
例1，计算或化简：
（1）； （2）； （3）； （4）.
解：（1）=； （2）=；
（3）=， 对比运算：=.
（4）.
解题反思：二次根式的乘法和除法的运算法则，都可以帮助我们化简二次根式. 根据需要可以把根号合在一起算，也可以把根号分开来算.方法多样，要灵活运用.
即时练习1：
（1）计算：=______ ； =_______ ； = _______ ； = ；
（2）计算.张林同学是这样算的：，他的做法对吗？
（3）计算：① ； ② ； ③ ； ④
3．分母有理化
在计算时，小强是这样计算的：=；
小英这是样计算的：=.
小华认为小英的结果不对，你觉得呢？
在二次根式的计算中，我们常常会遇到小英那样的问题，即分母中出现了根式. 这时一般要进一步化简，去掉分母中的根式，这个过程我们称为分母有理化.
例2，化简：（1）； （2）； （3） .
解：（1）=；
（利用分式的基本性质，分子和分母同乘一个不为0的数，分式的值不变）
（2）=，（原来小英的计算也是对的，不过步骤还差一点点！）
（3） =.
(利用了平方差公式，去掉分母的根号)
解题反思：对于二次根式的运算结果，含根号的要化成最简二次根式；且二次根式中有分母，或者分母中有二次根式的，还要进一步分母有理化.
即时练习2：
（1）计算：=_______； =______； =_________； =_________
（2）化简：①； ② ； ③.
（3） 已知x、y都是实数，且，求的值.
三、反思小结
1.二次根式的乘除运算，有时需要把二个根号合在一个根号中来算，有时需要把一个根式分成两个根号来算，其目的都是为了化简二次根式.
2.化简二次根式达到的要求：
（1）凡根式都是最简二次根式；
（2）分母中有根号或根号内有分母的都要分母有理化.
本课时达标检测
一、基础巩固
1.化简的结果是（ ）. A． B． C． D．
2.计算或化简：
（1）； （2）； （3）； （4）-3；
（5） ； （6） ； （7）； （8）.
3．某液晶显示屏的对角线长为36cm，其长与宽之比为4：3，求该液晶显示器的面积.
二、知识拓展
4.计算：（1）； （2）； （3）.
5.如果，，用含a、b的代数式表示和.
三、能力提升
6．化简二次根式的结果是 .
7.计算：（1）； （2）（a＞0,b＞0）.
8．求（……+）（）的值.
第6课时 二次根式的加减法
【学习目标】1.了解同类二次根式的定义. 2.能熟练进行二次根式的加减运算.
【学习重点】二次根式加减法的运算.
【学习过程】
一、学习准备
1.什么是同类项？
2.计算：（1）2x - 3x＋5x ； （2）2x2 - 3x2＋5x2； （3）.
二、教材解读
1.同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.
注意：判断一组式子是否为同类二次根式，只需看化为最简二次根式后的被开方数是否相同，与最简二次式前面的因式及符号无关.
如、、是同类二次根式；、、是同类二次根式.
例1，判定下列各组式子是否为同类二次根式.
（1）； （2）.
解：（1），
∴是同类二次根式.
（2），
∴是同类二次根式.
即时练习1：
（1）试观察下列各组式子，哪些是同类二次根式：
① ； ② ； ③； ④.
⑤与； ⑥与； ⑦与.
（2）下列各数：其中：
与是同类二次根式的有： ；
与是同类二次根式的有： ；
与是同类二次根式的有： .
2.二次根式的加减
同类二次根式可以合并同类项，利用这个特征，我们可以对二次根式进行加减运算.
同类二次根式的合并方法：把根号外系数或字母相加减，根指数和被开方数不变.
注意：不是同类二次根式不能合并. 典型错误：.
例2，计算：
（1）； （2）； （3）.
解：（1）=；
（2）= = ；
（3）=.
即时练习2：计算.
（1）2+3 ； （2）2-3+5； （3）；
（4）+； （5）3-9+3.
三、当堂反思小结
1.判断是否同类二次根式时，一定要先化成最简二次根式后再判断.
2.二次根式的加减分三个步骤：
①化——化成最简二次根式； ②找——找出同类二次根式；
③合——合并同类二次根式，不是同类二次根式的不能合并.
本课时达标测试
一、基础巩固
1.下列二次根式中：①；②；③；④，与是同类二次根式的是（ ）. A.①和② B.②和③ C.①和④ D.③和④
2.下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）．
A.与 B.与 C.与 D.与
3.计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）+2+3.
二、知识拓展
4．计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
三、能力提升
5．已知最简根式 与 是同类二次根式，则满足条件的 a，b的值（ ）.
A．不存在 B．有一组 C．有二组 D．多于二组
6. 如图所示，面积为48cm2的正方形的四个角是面积为3cm2的小正方形，现将这四个角剪掉，制作一个无盖的长方体盒子，求：
（1）这个长方体的高和底面边长分别是多少？
（2）这个纸盒的容积是多少？
第7课时 二次根式的混合运算
【学习目标】熟练应用二次根式的加减乘除法法、乘法公式进行二次根式的混合运算.
【学习重点】熟练进行二次根式的混合运算.
【学习过程】
一、知识回顾
（1）二次根式的两个重要运算性质是： ,
（2）二次根式的乘法法则: , .
（3）二次根式的除法法则: , .
（4）二次根式的加减运算方法：先把各个二次根式 ，再将 合并.
二次根式的运算结果，根式都要求化成 ，根号内有分母或分母中有根号的要求结果要 .
2．计算：
（1） ； （2）（2x2y＋3xy2）÷xy；
（3）（2x＋3y）（2x -3y）； （4）（2x＋1）2 ＋（2x－1）2.
二、教材解读
1.二次根式的混合运算
整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．
例1，计算：
（1）（+）× ； （2）（+6）（3-）；
（3）； （4）.
解：（1）（+）×=；
（2）（+6）（3-）=；
（3）=；（平方差公式同样适用）
（4）=
（完全平方公式也适用）
即时练习1：计算.
（1）（4-3）÷2； （2）； （3）.
（4）··； （5）（＋2）（-2）；
2.综合应用
例2，如果最简二次根式 与 是同类二次根式，求m、n 的值.
解：由同次二次根式的定义，它们的被开方数相同，根指数相同，故得：
得：，解之得： .
即时练习2：
已知二次根式与是同类二次根式，试写出三个a的可能值.
（提示：，m是不为0的任何有理数）
例3，化简：.
分析：我们学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，
如3 =（）2，5 =（）2，而
，反之， ，
∴ =-1.
即时练习3：
化简：.
本课时达标测试
一、基础巩固
1.计算：
（1） ； （2）（）×； （3）；
（4）； （5）；
二、知识拓展
2．计算：
（1） ； （2）（a＞0,b＞0）
3.已知，求的值.
4. 若最简二次根式 与 是同类二次根式，求m、n的值.
三、能力提升
5.计算： . 6．化简：.
7．如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边
以1厘米/秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以
2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后PBQ的面积为35平方厘米？
PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）
A
A
7题图
P
Q
C
B
（7题图）
PAGE
20
第1课时 二次根式的概念及其应用
【学习目标】了解二次根式的概念及其应用．
【学习重点】二次根式有意义的条件及其应用．
【学习过程】
一、学习准备
1．概念复习
（1）如果x2 = a，那么a的平方根表示为 .
一个正数有 个平方根，它们的关系是 ；0的平方根是 ；负数
平方根.
一个非负数a的 叫算术平方根，表示为 .0的算术平方根为 .
2.课前练习
（1）4的平方根为 ，4的算术平方根为 ；12的平方根为 ，2的算术平方根为 .
（2）面积为5的正方形的边长为 ； 面积为S的正方形的边长为 .
（3）已知反比例函数，那么它的图象在第一象限内横、纵坐标相等的点的坐标是_______．
（4）在直角三角形ABC中，AC = 3，BC = 1，∠C = 90°，那么AB边的长是__________．
二、教材解读
很明显、、、，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根式子，我们就把它称二次根式．
一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．其中，a可以是一个数，也可以是一个代数式.
二次根式的特征：①有二次根号；②被开方数a是非负数，即a≥0.若a＜0时，我们称无意义. ③结果是非负数，即都≥0. （双重非负性）
即时练习1：
（1）判断下列各式，哪些是二次根式？
，，，，，，，，（x≥0，y≤0）．
是二次根式的有：
（2）要修建一个面积为6.28平方米的圆形喷水池，它的半径为 .
（3）甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的标准差S =_________．
例1，当x是多少时，代数式+在实数范围内有意义？
分析：这个代数式由两部分组成，第一部分是二次根式，第二部分是分式. 代数式要有意义，则二次根式的被开方数必须是非负数，分式的分母不能为0，且两个条件必须同时满足.
解： 由题意得：且，
解之得：且.
即：当且时，代数式+在实数范围内有意义.
例2，已知+＝0，求x - y的值.
分析：因为二次根式的结果都是非负数，而题中是两个二次根式的和为0，故两个根式的值都必须为0，结果才等于是0. 于是把二次根式的问题转化为方程的问题.
解：由题意得：，，
解之得：，
当时，，则；
当时，，则.
即时练习2：
（1）x取何值时，下列各二次根式有意义？
①； ②；
③； ④ ；
（2）在式子中，x的取值范围是 ____________.
（3）若有意义，则a的值为___________．
变式：已知y =++5，求的值.
（4）若+ HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 = 0，求a2012＋b2012的值．
三、当堂反思小结
二次根式的特征：①从形式上看，应含有 ；②被开方数a的取值范围是 ；
③运算结果的取值是范围 . （双重非负性）
本课时达标检测
一、基础巩固
1.已知,则x为( ).
A. x＞-3 B. x＜-3 C.x = -3 D. x的值不能确定
2.下列式子中，是二次根式的是（ ）.
A. - B. C. D. x
3. 下列式子中，不是二次根式的是（ ）.
A. B. C. D.
4．写出使下列二次根式有意义的x的取值范围.
（1）； （2）；
（3）； （4）.
5.当x = 时，代数式有最小值，其最小值是 .
6. 某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？
二、知识拓展
7.当x取 值时， HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ＋x2在实数范围内有意义.
8. 若，则 = .
9.已知y＝+,则= _____________.
三、能力提升
10．若＋有意义，则= .
11. 在实数范围内分解因式：
（1）x2 – 9 = x2 - （ ）2 =
（2） x2 - 3 = x2 - ( ) 2 = (x＋ _____) (x － _____)
（3）x4 – 16 = ( ) 2 - ( ) 2 =
12. 已知a、b为实数，且＋2 HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 = b＋4，求、的值．
第2课时 二次根式的性质
【学习目标】理解二次根式的两个性质：（；，并化简二次根式.
【学习重点】理解并掌握二次根式性质=，并运用于化简中.
【学习过程】
一、学习准备
1.二次根式的特征有哪些？ .
2.二次根式有意义，则x的取值范围是 .
二、教材解读
1.二次根式的性质1
计算： = ； = ； = ；
由上述练习可得二次根式的性质1：
（≥0）； 反之，当≥0时，.
例1，计算：（1）（3）2； （2）； （3）.
解：（1）（3）2 = 9（）2 = 9×5 = 45；
（2） = .
（3） = .
即时练习1：
（1）计算： ； ； ；
； ； .
（2）计算：① ； ② ； ③ .
2. 二次根式的性质2
探究一：根据算术平方根的意义计算.
； ； ； ； .
观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当 .
探究二：根据算术平方根的意义计算.
； ； ； .
观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当 .
由以上两次探究，可得二次根式的性质2：=或.
例2：当时，化简：- ( http: / / / )．
解：∵，∴,
由，运用不等式的性质可以得：
,，.即：.
∴原式 = （运用二次根式的性质，去根号得绝对值）
= （去绝对值，若绝对值内小于零则去掉绝对值时变为相反数）
=
即时练习2：
（1） ；= ；－= ； （）.
（2）化简下列各式：
①= ； ②= ； ③= ；
④= （x＜- 2）； ⑤ .
（3）若二次根式有意义，化简 .
（4）若a、b为实数，且，求代数式的值.
三、反思小结
二次根式的两个重要性质是：
本课时达标检测
一、基础巩固
1.计算 ： = ； = ； = ；
= ； ( http: / / / )= .
2. 先化简再求值：当= 9时，求a + ( http: / / / )的值，甲乙两人的解答如下：
甲的解答为：原式 = +=+（1-）= 1；
乙的解答为：原式 = +=+（-1）= 2-1 = 17．
两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是 .
3.已知2＜ x ＜3，化简： .
二、知识拓展
4. 若是一个正整数，则正整数m的最小值是________．
5.填空：（1）-=_________；（2）= ；
（3）a、b、c为三角形的三条边，则 ____________.
6. 若-3≤≤2时，试化简 ++ ( http: / / / ).
7. 边长为a的正方形桌面，正中间有一个边长为的正方形方孔．若沿图中虚线锯开，可以拼成一个新的正方形桌面．你会拼吗？试求出新的正方形边长．
三、能力提升
8.把的根号外的适当变形后移入根号内，得（ ）.
A. B. C. D.
9. 已知－1＜x＜1，化简：－.(注意分段讨论)
第3～4课时 二次根式的乘法
【学习目标】理解和掌握·＝或=·（a≥0，b≥0）,并把二次根式化为
最简.
【学习重点】利用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的对二次根式进行化简.
【学习过程】
一、学习准备
1.二次根式的性质： （； =
2.先计算，再比较两式的大小.
（1）×= ，= ，故× .
（2） × = ， = ，故× .
（3） × =_______， =_______，故× .
二、教材解读
1.二次根式的乘法法则
通过学习准备中的计算，我们发现二次根式的乘法规律：
·＝（a≥0，b≥0）.（即：算术平方根的积等于积的算术平方根）
特别提示一：其中的a、 b都必须是正数.
错误应用：. 应怎样计算？
特别提示二：两个二次根式之间是乘法关系.
错误应用：.应怎样计算？
错误应用：.应怎样计算？
例1，计算：
（1）×； （2）×； （3）×； （4）×；
解：（1）×； （2）× ；
（3）× ； （4）×= .
解题反思：对于被开方数是小数、分数、带分数的二次根式运算，运用乘法法则可以简化运算.
即时练习1：
（1）指出下列计算中的错误：×=××=2×=2.
你的计算是：
（2）计算：
①×； ②2×3； ③·； ④·· .
2.积的算术平方根在化简中的应用
对于等式·＝，反过来也是成立的，即：
=·（注意：a≥0，b≥0）.（即：积的算术平方根等于各因式算术平方根的积.）
推广形式：如果，则.
利用这个性质，可以对二次根式进行化简.
我们在运用勾股定理计算边长以及方差的计算时，我们经常会得到形如、这样的结果，如果还要作进一步的运算，如×，会产生大数，运算量较大.能不能有更好的计算方法呢？
例2，化简：（1）； （2）； （3）； （4）.
解：（1）=；
（2）；
（3）；
（4）.
解题反思：①以上计算实际上是对二次根式进行化简，使得结果变为较简单的形式，如果进一步进行二次根式的加减乘除运算，会减小运算量. ②化解形如的二次根式时，被开方数可能有多种分解形式，记住一条原则：先分解出能开方的因数.
即时练习2：计算或化简.
（1）； （2）； （3）； （4）； （5）.
3.最简二次根式
当被开方数中不含有分母，并且被开方数中所有因数（或因式）幂的指数都小于2，这样的二次根式称为最简二次根式.
例3，计算：（1）×； （2）×； （3）.
解：（1）×；
（2）×；
（3）方法一：，
方法二：
（方法二运用了平方差公式，将被开方数进行分解，避免了大数的运算，很好的方法！）
解题反思：
①当我们运算熟练后，化简二次根式的有些步骤就可以省略了.如= 2.
②当二次根式相乘后，有时还需要对二次根式进一步进行化简，结果要为最简二次根式.
如.
即时练习3：计算或化简.
（1）； （2）×； （3）3×2；
例4，化简：（1）； （2）； （3）；
解：（1）=；
（2）=；
（3）=.
解题反思：二次根式的化简，可以先乘后化简，也可以先化简后乘，方法多样.
特别应注意的是：哪些数和字母能开方出来，哪些不能，能开出多少，还剩多少.开方后一定要检查一遍，是否漏写数或字母.
即时练习4：化简.
（1）； （2）； （3）.
三、反思小结
1．二次根式的乘法公式是：
·＝ 或= （a≥0，b≥0）.
2．二次根式的运算结果，一般都要化为 .
3.二次根式的乘法运算，你总结了哪些注意事项？
本课时达标检测
一、基础巩固
1. 下列二次根式中，最简二次根式( ).
A. B. C. D.
2.下列各等式成立的是（ ）.
A.4×2= 8 B.5×4= 20
C.4×3= 7 D.5×4= 20
3.二次根式的计算结果是 .
4.计算或化简：
（1）； （2）； （3）；
（4）6×（-2）； （5）； （6）.
二、知识拓展
5. 若直角三角形两条直角边的边长分别为cm和cm，那么此直角三角形斜边长是
.
6.下列各式的计算中，不正确的是（ ）.
A. ；
B. ；
C. =（-2）×（-4）=8；；
D.
7.计算：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （4）； （4）.
三、能力提升
8.若，求的值.
第5课时 二次根式的除法
【学习目标】理解二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质，能熟练进行二次根式的除法运
算及化简.
【学习重点】 掌握和应用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质.
【学习过程】
一、学习准备
1.知识回顾：
（1）二次根式的性质：= .
（2）二次根式的乘法法则： ·＝ （a≥0，b≥0）.
（3）积的算术平方根的性质：= （a≥0，b≥0）.
（4）最简二次根式：二次根式的被开方数中不含 ，被开方数（或式）中所有因数（或因式）的指数都 .
2.计算： （1）3×（-4）； （2）；
二、教材解读
1.算一算，比较大小，找规律：
（1）=_______，==_______ ，∴ ；
（2）=________，==________，∴ ；
（3）=_______， ==_______ ，∴ ；
2.二次根式的除法法则
一般地，有： ，其中a≥0，b＞0. （两个二次根式相除，可以先把被开方数相除.）
上述公式逆用也成立.
商的算术平方根：，（a≥0，b＞0）.（商的二次根式，等于二次根式的商）
例1，计算或化简：
（1）； （2）； （3）； （4）.
解：（1）=； （2）=；
（3）=， 对比运算：=.
（4）.
解题反思：二次根式的乘法和除法的运算法则，都可以帮助我们化简二次根式. 根据需要可以把根号合在一起算，也可以把根号分开来算.方法多样，要灵活运用.
即时练习1：
（1）计算：=______ ； =_______ ； = _______ ； = ；
（2）计算.张林同学是这样算的：，他的做法对吗？
（3）计算：① ； ② ； ③ ； ④
3．分母有理化
在计算时，小强是这样计算的：=；
小英这是样计算的：=.
小华认为小英的结果不对，你觉得呢？
在二次根式的计算中，我们常常会遇到小英那样的问题，即分母中出现了根式. 这时一般要进一步化简，去掉分母中的根式，这个过程我们称为分母有理化.
例2，化简：（1）； （2）； （3） .
解：（1）=；
（利用分式的基本性质，分子和分母同乘一个不为0的数，分式的值不变）
（2）=，（原来小英的计算也是对的，不过步骤还差一点点！）
（3） =.
(利用了平方差公式，去掉分母的根号)
解题反思：对于二次根式的运算结果，含根号的要化成最简二次根式；且二次根式中有分母，或者分母中有二次根式的，还要进一步分母有理化.
即时练习2：
（1）计算：=_______； =______； =_________； =_________
（2）化简：①； ② ； ③.
（3） 已知x、y都是实数，且，求的值.
三、反思小结
1.二次根式的乘除运算，有时需要把二个根号合在一个根号中来算，有时需要把一个根式分成两个根号来算，其目的都是为了化简二次根式.
2.化简二次根式达到的要求：
（1）凡根式都是最简二次根式；
（2）分母中有根号或根号内有分母的都要分母有理化.
本课时达标检测
一、基础巩固
1.化简的结果是（ ）. A． B． C． D．
2.计算或化简：
（1）； （2）； （3）； （4）-3；
（5） ； （6） ； （7）； （8）.
3．某液晶显示屏的对角线长为36cm，其长与宽之比为4：3，求该液晶显示器的面积.
二、知识拓展
4.计算：（1）； （2）； （3）.
5.如果，，用含a、b的代数式表示和.
三、能力提升
6．化简二次根式的结果是 .
7.计算：（1）； （2）（a＞0,b＞0）.
8．求（……+）（）的值.
第6课时 二次根式的加减法
【学习目标】1.了解同类二次根式的定义. 2.能熟练进行二次根式的加减运算.
【学习重点】二次根式加减法的运算.
【学习过程】
一、学习准备
1.什么是同类项？
2.计算：（1）2x - 3x＋5x ； （2）2x2 - 3x2＋5x2； （3）.
二、教材解读
1.同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.
注意：判断一组式子是否为同类二次根式，只需看化为最简二次根式后的被开方数是否相同，与最简二次式前面的因式及符号无关.
如、、是同类二次根式；、、是同类二次根式.
例1，判定下列各组式子是否为同类二次根式.
（1）； （2）.
解：（1），
∴是同类二次根式.
（2），
∴是同类二次根式.
即时练习1：
（1）试观察下列各组式子，哪些是同类二次根式：
① ； ② ； ③； ④.
⑤与； ⑥与； ⑦与.
（2）下列各数：其中：
与是同类二次根式的有： ；
与是同类二次根式的有： ；
与是同类二次根式的有： .
2.二次根式的加减
同类二次根式可以合并同类项，利用这个特征，我们可以对二次根式进行加减运算.
同类二次根式的合并方法：把根号外系数或字母相加减，根指数和被开方数不变.
注意：不是同类二次根式不能合并. 典型错误：.
例2，计算：
（1）； （2）； （3）.
解：（1）=；
（2）= = ；
（3）=.
即时练习2：计算.
（1）2+3 ； （2）2-3+5； （3）；
（4）+； （5）3-9+3.
三、当堂反思小结
1.判断是否同类二次根式时，一定要先化成最简二次根式后再判断.
2.二次根式的加减分三个步骤：
①化——化成最简二次根式； ②找——找出同类二次根式；
③合——合并同类二次根式，不是同类二次根式的不能合并.
本课时达标测试
一、基础巩固
1.下列二次根式中：①；②；③；④，与是同类二次根式的是（ ）. A.①和② B.②和③ C.①和④ D.③和④
2.下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）．
A.与 B.与 C.与 D.与
3.计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）+2+3.
二、知识拓展
4．计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
三、能力提升
5．已知最简根式 与 是同类二次根式，则满足条件的 a，b的值（ ）.
A．不存在 B．有一组 C．有二组 D．多于二组
6. 如图所示，面积为48cm2的正方形的四个角是面积为3cm2的小正方形，现将这四个角剪掉，制作一个无盖的长方体盒子，求：
（1）这个长方体的高和底面边长分别是多少？
（2）这个纸盒的容积是多少？
第7课时 二次根式的混合运算
【学习目标】熟练应用二次根式的加减乘除法法、乘法公式进行二次根式的混合运算.
【学习重点】熟练进行二次根式的混合运算.
【学习过程】
一、知识回顾
（1）二次根式的两个重要运算性质是： ,
（2）二次根式的乘法法则: , .
（3）二次根式的除法法则: , .
（4）二次根式的加减运算方法：先把各个二次根式 ，再将 合并.
二次根式的运算结果，根式都要求化成 ，根号内有分母或分母中有根号的要求结果要 .
2．计算：
（1） ； （2）（2x2y＋3xy2）÷xy；
（3）（2x＋3y）（2x -3y）； （4）（2x＋1）2 ＋（2x－1）2.
二、教材解读
1.二次根式的混合运算
整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．
例1，计算：
（1）（+）× ； （2）（+6）（3-）；
（3）； （4）.
解：（1）（+）×=；
（2）（+6）（3-）=；
（3）=；（平方差公式同样适用）
（4）=
（完全平方公式也适用）
即时练习1：计算.
（1）（4-3）÷2； （2）； （3）.
（4）··； （5）（＋2）（-2）；
2.综合应用
例2，如果最简二次根式 与 是同类二次根式，求m、n 的值.
解：由同次二次根式的定义，它们的被开方数相同，根指数相同，故得：
得：，解之得： .
即时练习2：
已知二次根式与是同类二次根式，试写出三个a的可能值.
（提示：，m是不为0的任何有理数）
例3，化简：.
分析：我们学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，
如3 =（）2，5 =（）2，而
，反之， ，
∴ =-1.
即时练习3：
化简：.
本课时达标测试
一、基础巩固
1.计算：
（1） ； （2）（）×； （3）；
（4）； （5）；
二、知识拓展
2．计算：
（1） ； （2）（a＞0,b＞0）
3.已知，求的值.
4. 若最简二次根式 与 是同类二次根式，求m、n的值.
三、能力提升
5.计算： . 6．化简：.
7．如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边
以1厘米/秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以
2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后PBQ的面积为35平方厘米？
PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）
A
A
7题图
P
Q
C
B
（7题图）
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