(全)锐角三角函数知识点归纳及专项练习（无答案）
文档属性
| 名称 | (全)锐角三角函数知识点归纳及专项练习（无答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 3.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-11 19:56:30 | ||
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文档简介
锐角三角函数知识点归纳及专项练习
一．问题：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡与水平面所成角的度数是，为使出水口的高度为，求需要准备多长的水管？
探究：如图，与中，，，探究与的关系
结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比是一个固定值.
※在中，，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦.记作
如图， 同理：
二．例题与练习：
1.例题：如图，在中, ，求和的值.
2.练习：
1.三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则的值是﹙ ﹚
A． B． C． D．
2.如图，在中, ，若，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3.在中，，，，则边的长是( )
A． B．3 C． D．
4．如图，已知是⊙的直径，点、在⊙上，且，．
则 = ； = .
5．在中，，于点.已知，，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
三．在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的邻边与斜边的比是一个固定值，∠A的对边与邻边的比是一个固定值，
※在中，，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦.记作
如图， 同理：
※在中，，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切.记作
如图， 同理：
四．例题与练习：
例题：如图，在中，，，，求，的值.
练习：1.分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值
2.如图，在中，，，，求、的值
五．课后作业：
1.在中，，，，分别是、、的对边，则有（ ?）
A．? B．? C．? D．
本题主要考查锐解三角函数的定义，同学们只要依据的图形，不难写出，从而可判断C正确.
2. 在中，，如果，那么的值为（? ）
A．? B．? C．? D．
分析 本题主要考查锐解三角函数及三角变换知识。其思路是：依据条件，可求出；再由，可求出，从而，故应选D.
3．如图：是的边上一点，且点的坐标为（3，4）， 则=______.
4.分别求出图中、的正弦值、余弦值和正切值
（B层）在中，，，，求的面积（用含有字母，，的式子表示）
三 角 函 数（2）
一．探究：如图，在中，.
⑴如图1，，求、、的值；
⑵如图1，，求、、的值；
⑶如图2，，求、、的值；
二．结论：1.完成表格：
2.⑴的正弦值随着的角度的增大而 .
⑵的余弦值随着的角度的增大而 .
⑶的正切值随着的角度的增大而 .
三．例题与练习：
例题1：求下列各式的值：
⑴ ⑵
例题2：⑴如图1, 在中，,，，求的度数.
⑵如图2，已知圆锥的高等于圆锥的底面半径的倍,求.
练习：1.求下列各式的值：
⑴ ⑵ ⑶
2. 在中，,，，求、的度数.
四．课堂检测：计算：
1.将改写成下列形式的式子，其中错误的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 在中，,，则的值是（ ）
A. B. C. D.
3.在中，、都是锐角，且，，则的形状为（ ）
A. 直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定
4.化简的结果为（ ）
A. B. C. D.
5.已知，则锐角的度数为 .
6.已知是锐角，若，则的值为 .
7. 在中，,，则的值为 .
8.已知，则锐角的度数为 .
9. 求下列各式的值：
⑴ ⑵
10. 在中，,，且，求、的长.
11.如图，一块为的空地，，，，现在这块空地上种植每平方米元的草皮，求购买这种草皮至少需要多少钱？
（B层）12.如图，，两地之间有一座山，汽车原来从地到地须经地沿折线→→行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线行驶.已知，，，求开通隧道后，汽车从地到地比原来少走多少千米？（结果保留根号）
锐角三角函数（3）
一．例题与练习：
例题1：用计算器计算下列锐角三角函数值（精确到0.0001）
⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹
由⑴→⑷你能得到的猜想为 ，请利用下图验证你的猜想
练习：用计算器计算下列锐角三角函数值（精确到0.0001）
⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹
例题2：已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角
⑴ ⑵ ⑶
练习：⑴ ⑵ ⑶
⑷ ⑸ ⑹
例题3：如图，要焊接一个高，底角为的人字形钢架，约需要多长的钢材（结果保留小数点后两位）
练习：如图，一块平行四边形木板的两条邻边、的长分别为和，它们之间的夹角为，求这块木板的面积（结果保留小数点后两位）
二．课堂检测：
1.求下列锐角三角函数值（精确到0.0001）：
⑴= ； ⑵= ； = .
2. 已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角
⑴，= ；⑵，= ；⑶，= ；
三．课后练习：
1．计算的值为（ ）
A． B． C． D．
2．在中，各边的长度都扩大4倍，那么锐角的正切值（ ）
A．扩大4倍 B．扩大2倍 C．保持不变 D．缩小4倍
3．已知为锐角，，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．如果等腰三角形的底角为，腰长为6，那么这个三角形的面积为（ ）
A．4.5 B． C． D．36
5．中，，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
6.已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7.已知，则 ；若，则 ；若，则 ；
8.某人沿倾斜角为的斜坡前行了100，则他上升的最大高度为 （精确到0.01）
9．计算：⑴ ⑵
10. 已知：如图，在中，，是高，，，求、、．（精确到1）
（B层）1.要求的值，可构造如图所示的直角三角形进行计算：作，使，斜边，直角边，那么，，，在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，可求出的值，请简要写出你添加的辅助线和求出的值．
2.如图，把矩形纸片放入平面直角坐标系中，使、分别落在轴、轴上，连接，将纸片沿折叠，使点落在点的位置，若，，求点的坐标
锐角三角函数（4）
一．问题：如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足，现有一个长的梯子，问：
⑴使用这个梯子最高可以攀上多高的墙（结果保留小数点后一位）？
⑵当梯子底端距离墙面时，这个人是否能够安全使用这个梯子？
二．解直角三角形：在中，，由 得 或由 得
三．例题与练习：
例题1：如图，在中，，，，解这个直角三角形.
练习：如上图，在中，，，，解这个直角三角形.
例题2：如图，在中，，，，解这个直角三角形（结果保留小数点后一位）.
练习：如上图，在中，，，，解这个直角三角形（结果保留小数点后一位）.
四．课堂检测：在中，，、、的对边分别为、和，若，，解这个直角三角形
五．课后作业：
1．在中，，、、的对边分别为、和，根据下列条件解直角三角形.
⑴， ⑵， ⑶，
2．在中，于点，且，
⑴若，求的长 ⑵若=15，求的长
3．为了测量塔高，小龙在距塔的中心点50米的处，用测角器量得仰角为，已知测角器的高度为1.52米，求塔高的长.（精确到0.1米）
4.如图所示，在离铁塔150米的处用测角仪测得塔顶仰角，已知仪器高米，求铁塔高.（精确到0.1米）
5．如图所示，从某海岛上的观察所测得海上某船只的俯角为，若观察所与海面的垂直高度米，求船只到观察所的水平距离。（精确到0.1米）
锐角三角函数（5）
一．例题与练习：
例题1：2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变轨后，就在离地球表面350的圆形轨道运行.如图，当飞船运行到地球表面上点的正上方时，从飞船能直接看到的地球最远的点在什么位置？这样的最远点与点的路程是多少？（地球半径约为6400，结果保留小数点后一位）
练习：如图为半径500圆形湖泊，在湖泊⊙正东方的湖岸有一抽水房，在抽水房的正西方2000处的小明想到抽水房维修机器，请你在图中画出他走的最短路线，并求出最短路程是多少？（结果保留小数点后一位）
例题2：热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋高楼底部的俯角为，热气球与高楼的水平距离为120，求这栋高楼的高度（结果保留小数点后一位）
练习：某塔上有一旗杆，由距40的处观察旗杆顶部的仰角为，观察旗杆底部的仰角为，求旗杆的高度. （结果保留小数点后一位）
二．课堂检测：某校数学兴趣小组为了测量学校（）的高度，利用附近的一座古塔（）作为参照物，用测角仪在学校的底部处测得塔顶处的仰角，爬到楼顶的处测得塔顶处的仰角，已知学校到古塔的距离是120米，求学校的高度.（精确到0.1米）
--9--
三．课后作业：
1．如图，河旁有一座小山，从山顶处测得河对岸点的俯角为，测得岸边点的俯角为，又知河宽为50米.现需要从山顶到河对岸拉一条笔直的缆绳，求缆绳的长（答案可带根号）
2．某学校学生到旅顺白云山游玩，同时对白云塔的高度进行了测量.如图，他们在处测得塔顶的仰角为，再向塔的方向直行80步（1步=0.8）到达处，又测得塔顶的仰角为，请你用以上数据计算塔高（学生的身高忽略不计）
3．如图所示为住宅区内的两幢楼，它们的高，两幢楼间的距离，现需要了解甲楼对乙楼采光的影响情况，当太阳光线与水平线的夹角为36 时，求甲楼的影子在乙楼上有多高？（精确到0.1米）
4．如图所示，某工程队修建高速公路时，需要打通东西走向的穿山隧道，为了测得的长，工程队在山的南面选取一点，用测量仪器测得，，，请你利用所学知识求出的长.（精确到1米）
5．如图所示，直升机在跨河大桥的上方点处.此时飞机离地面的高度，且、、三点在同一直线上，测得大桥两端的俯角分别为，，求大桥的长（精确到0.1米）
锐角三角函数（6）
一．例题与练习：
例题1：如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔80海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向的处，这时海轮所在的处距离灯塔有多远？（结果保留小数点后一位）
练习：如图，海中有一个小岛，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点测得小岛在北偏东方向上，航行12海里到达点，这时测得小岛在北偏东方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？
例题2：如图所示的梯形是水库大坝的横断面图形，斜坡的坡度，斜坡的坡度，坝顶，坝高为25.
⑴求大坝的下底宽（精确到0.1米）；
⑵求斜坡的坡角的度数（精确到分）.
练习：如图，拦水坝的横截面为梯形，高，斜坡的坡度，斜坡的坡度.
⑴求坡角和；
⑵求斜坡的长（结果保留小数点后一位）
二．课堂检测：如图所示的梯形是水库大坝的横断面图形，坝顶宽，斜坡，坝高8米，斜坡的坡度，求坝底宽.（精确到0.1米）
三．课后作业：
1.某城市将地处、两地的两所大学合并成一所综合性大学，为了方便两地师生来往，学校准备在相距的、两地之间修建一条笔直的公路（如图），经测量在地北偏东方向、地北偏西的处有一个半径为的公园.问计划修建的公路能否穿过公园？
2．如图，某处海面上，一艘军舰正在基地的正东方向且距地40海里的处训练，突然接到基地命令，要该舰前往岛，接送一名病重的渔民到基地医院救治.已知岛在的北偏东方向，且在的北偏西方向，军舰从处出发，平均每小时行驶20海里，需要多长时间才能把患者送到基地医院？（精确到0.1小时）
3．今年入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断下降，达到历史最低水位。一条船在松花江某水段自西向东沿直线航行，在处测得航标在北偏东60 方向上，前进100米到达处，又测得航标在北偏东45 方向上。且知在以航标为圆心，120米长半径的圆形区内有浅滩。如果这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？
4．如图所示的燕尾槽的横断面是等腰梯形，其中的坡度为，外口宽毫米，燕尾槽的深度是毫米，求它的里口宽（精确到1毫米）。
（B层）5．如图，在笔直的海岸线上有、、三个码头，海中有一个小岛，已知点在点的北偏东的方向，点在点的北偏东的方向，点在点的正北方向，且点到点的距离为100，现有人在码头，有急事要到小岛，现知道，船的速度为，车的速度为，为此有人设计了三种方案：
⑴方案一：由码头直接坐船到小岛
⑵方案二：由码头坐车到码头，再坐船到小岛
⑶方案三：由码头坐车到码头，再坐船到小岛
假设途中周转的时间忽略不计，请你通过计算说明哪种设计方案最好？
锐角三角函数（7）
一．测量高度的方案设计：
1.可达到被测物体底部的方案：
方案一：在有阳光的日子里，为旗杆的影子，然后竖直立起一根标杆，为标杆的影子.
探究原理：光的特征（太阳光是平行光线） 相似三角形的特征.
提供选用的测量工具有：①皮尺 ②标杆
⑴你需要得测此示意图中哪些数据？并分别用、、来表示测得数据.
⑵写出旗杆高度的计算式：= .
方案二：将标杆竖直立在地面上，人在所在直线上移动，用视线使、、三点在同一直线上.
探究原理：光沿直线传播 相似三角形的特征.
提供选用的测量工具有：①皮尺 ②标杆
⑴你需要得测此示意图中哪些数据？并分别用、、来表示测得
数据.
⑵写出旗杆高度的计算式：=
方案三：在距旗杆一定距离的地面上放一个平面镜，人在所在直线上移动，直到恰好在镜子里看见旗杆顶点为止.
探究原理：光的反射定律 相似三角形的特征.
提供选用的测量工具有：①皮尺 ②平面镜
⑴你需要得测此示意图中哪些数据？并分别用、、来表示测得数据.
⑵写出旗杆高度的计算式：= .
方案四：将测角仪竖直立在地面上.
提供选用的测量工具有：①皮尺 ②测角仪
⑴写出测量步骤.及你需要得测此示意图中的数据.并长度分别用、、，角度用、…来表示测得数据.
⑵写出旗杆高度的计算式：= .
2.不可达到被测物体底部的方案：
方案一：测量工具有：①皮尺 ②测角仪
⑴写出测量步骤.及你需要得测此示意图中的数据.并长度分别用、、，角度用、…来表示测得数据.
⑵写出山的高度的计算式：= .
方案二.如图，、是两栋地平高度相等、隔岸相望的楼房，由于建筑物密集，在的周围没有开阔地带，为了测量的高度，只能从分利用楼的空间，楼的各层都可到达并且都能看到，现仅有的测量工具为皮尺和测角器.
⑴请你设计一个测量楼高度的方案，要求写出测量步骤和必须的测量数据（用字母表示），线段长用、、…表示，角用、、…表示，并画出测量图形.
⑵用你测量的数据（用字母表示）写出计算楼高度的表达式.
二．测量宽度的方案设计：
方案一：在河的对岸选定一个目标作为点，再在河的这一边选点和，使，然后再选一点，使，用视线确定和的交点.
提供选用的测量工具有：①皮尺 ②教学用三角板
⑴你需要得测此示意图中哪些数据？并分别用、、来表示测得数据.
⑵写出河宽的计算式：=
方案二：在河的对岸选定一个目标作为点，再在河的这一边选点和，使得、、三点在一条直线上，且与河岸垂直，然后确定一点，使，用视线确定与河岸的交点.
提供选用的测量工具有：①皮尺 ②教学用三角板
⑴你需要得测此示意图中哪些数据？并分别用、、来表示测得数据.
⑵写出河宽的计算式：= .
方案三：如图，为测量小河的宽度，先在河岸边上任意取一点，再在河的另一岸取两点、，测得，，量得.
⑴求小河的宽度；
⑵请你再设计一种测量河宽度的方案，画出设计草图并作简要说明.
锐角三角函数（单元）
例题：1．如图，某校学习小组进行测量小山高度的实践活动.部分学生在山脚点测得山腰上一点的仰角为，并测得的长为180米；另一部分同学在山顶点测得山脚点的俯角为，山腰点的俯角为，请你帮助他们计算出小山的高度.（结果保留根号）
2．如图，小红面对黑板坐在凳子上，若把黑板看成一个矩形，其上的一个字看作点，过点的该矩形的高为，把小红的眼睛看作点.现测得：，视线恰好与水平线平行，视线与的夹角为，视线与的夹角为.求与的长.（精确到0.1米）
一．选择题：
1．在中，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．若，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
3．如图，在把易拉罐中的水倒入一个圆水杯的过程中，若水杯中的水在点与易拉罐刚好接触，则此时水杯中的水深为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．某人沿着倾斜角为的斜坡前进了米，则他上升的高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
5．如图，在中，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．在中，斜边是直角边的4倍，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．菱形的对角线，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图的方格中，则与的正切值最接近的是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题：
9．如果是等边三角形的一个内角，那么的值为 .
10．中，，，，那么的长为 .
11．在中，，，的周长为60，那么的面积为 .
12.若式子无意义，则的值为 .
13．一个等腰三角形的两边长分别为5和8，则这个等腰三角形底角的正弦值为 .
14．某人沿着山坡从山脚到山顶共走1000米，他上升的高度为500米，则这个山坡的坡度为 .
15．如图，四个边长为的小正方形，则的值为 .
16．中，若，，则的度数为_______．
17．一等腰三角形的两边长分别为4和6，则其底角的余弦值为________．
18． 中，，，若的平分线长为，则 =_____， =_______．
19．如图，在中，，，，则的长为________．
20．中，，若，，则的长为_______
三．解答题：
21.计算下面各式：
⑴ ⑵
22．在锐角中，，，求：⑴的值；⑵的值．
23．一次函数与轴、轴的交点分别为 、，若的周长为（为坐标原点），求的值．
24．某片绿地的形状如图所示，其中，，，，，求、的长（精确到1）
25．某船以每小时36海里的速度向正东方向航行，在点测得某岛在北偏东方向上，航行半小时后到达点，测得该岛在北偏东方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁.
⑴试说明点是否在暗礁区域外？
⑵若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由.
26．如图为某一风景区的步行台阶，为了安全着想，准备将台阶进行改善，把倾角由减至，已知原台阶的长为5米（所在地面为水平面）
⑴改善后的台阶会加长多少？（精确到0.01米）
⑵改善后的台阶会躲占多长一段地面？（精确到0.01米）
27．如图，已知某小区的两幢19层住宅楼的距离为，由地面向上依次为第1层、第2层、…、第10层，每层高度为.假设某一时刻甲楼在乙楼侧面的影长，太阳光与水平线的夹角为.
⑴用含的式子表示；
⑵当时，甲楼楼顶点的影子落在乙楼的第几层？若每小时增加，从此时起几小时后甲楼的影子刚好不影响乙楼采光？
28．如图，某人在山坡坡脚处测得某塔塔顶的仰角为，沿山坡向上走到点再测得点的仰角为，已知米，山坡的坡度为.
求塔高以及此人所在位置点的铅直高度.
29．如图，小红同学想测量河对岸一塔的高度，她先在点处测得塔顶的仰角为，这时她再往正前方前进20米到点，又测得塔顶的仰角为，求塔高
30．如图，河边有一条笔直的公路，公路两侧是平坦的草地，在一次数学活动课上，老师要求测量河对岸点到公路的距离，请你设计一个测量方案.要求：
⑴列出你测量使用的测量工具；
⑵画出测量示意图，写出测量步骤；
⑶用字母表示测得的数据，求出点到公路的距离.
31．如图，在某气象站附近海面有一台风，据监测，当台风中心位于气象站的东偏南方向100千米的海面处，并以20千米/小时的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径20千米，并以10千米/小时的速度不断增大，已知，问：
⑴台风中心几小时移动到气象站的正南方向处，此时气象站是否受到台风侵袭？
⑵几小时后该气象站开始受到台风侵袭？
32.如图，小岛在港口的南偏西45°方向，距离港口81海里处，甲船从出发，沿方向以9海里/时的速度驶向港口，乙船从港口出发，沿南偏东60°方向，以18海里/时的速度驶离港口．现两船同时出发．
⑴出发后几小时两船与港口的距离相等？
⑵出发后几小时乙船在甲船的正东方向？（结果精确到0.1小时）
一．问题：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡与水平面所成角的度数是，为使出水口的高度为，求需要准备多长的水管？
探究：如图，与中，，，探究与的关系
结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比是一个固定值.
※在中，，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦.记作
如图， 同理：
二．例题与练习：
1.例题：如图，在中, ，求和的值.
2.练习：
1.三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则的值是﹙ ﹚
A． B． C． D．
2.如图，在中, ，若，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3.在中，，，，则边的长是( )
A． B．3 C． D．
4．如图，已知是⊙的直径，点、在⊙上，且，．
则 = ； = .
5．在中，，于点.已知，，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
三．在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的邻边与斜边的比是一个固定值，∠A的对边与邻边的比是一个固定值，
※在中，，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦.记作
如图， 同理：
※在中，，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切.记作
如图， 同理：
四．例题与练习：
例题：如图，在中，，，，求，的值.
练习：1.分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值
2.如图，在中，，，，求、的值
五．课后作业：
1.在中，，，，分别是、、的对边，则有（ ?）
A．? B．? C．? D．
本题主要考查锐解三角函数的定义，同学们只要依据的图形，不难写出，从而可判断C正确.
2. 在中，，如果，那么的值为（? ）
A．? B．? C．? D．
分析 本题主要考查锐解三角函数及三角变换知识。其思路是：依据条件，可求出；再由，可求出，从而，故应选D.
3．如图：是的边上一点，且点的坐标为（3，4）， 则=______.
4.分别求出图中、的正弦值、余弦值和正切值
（B层）在中，，，，求的面积（用含有字母，，的式子表示）
三 角 函 数（2）
一．探究：如图，在中，.
⑴如图1，，求、、的值；
⑵如图1，，求、、的值；
⑶如图2，，求、、的值；
二．结论：1.完成表格：
2.⑴的正弦值随着的角度的增大而 .
⑵的余弦值随着的角度的增大而 .
⑶的正切值随着的角度的增大而 .
三．例题与练习：
例题1：求下列各式的值：
⑴ ⑵
例题2：⑴如图1, 在中，,，，求的度数.
⑵如图2，已知圆锥的高等于圆锥的底面半径的倍,求.
练习：1.求下列各式的值：
⑴ ⑵ ⑶
2. 在中，,，，求、的度数.
四．课堂检测：计算：
1.将改写成下列形式的式子，其中错误的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 在中，,，则的值是（ ）
A. B. C. D.
3.在中，、都是锐角，且，，则的形状为（ ）
A. 直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定
4.化简的结果为（ ）
A. B. C. D.
5.已知，则锐角的度数为 .
6.已知是锐角，若，则的值为 .
7. 在中，,，则的值为 .
8.已知，则锐角的度数为 .
9. 求下列各式的值：
⑴ ⑵
10. 在中，,，且，求、的长.
11.如图，一块为的空地，，，，现在这块空地上种植每平方米元的草皮，求购买这种草皮至少需要多少钱？
（B层）12.如图，，两地之间有一座山，汽车原来从地到地须经地沿折线→→行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线行驶.已知，，，求开通隧道后，汽车从地到地比原来少走多少千米？（结果保留根号）
锐角三角函数（3）
一．例题与练习：
例题1：用计算器计算下列锐角三角函数值（精确到0.0001）
⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹
由⑴→⑷你能得到的猜想为 ，请利用下图验证你的猜想
练习：用计算器计算下列锐角三角函数值（精确到0.0001）
⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹
例题2：已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角
⑴ ⑵ ⑶
练习：⑴ ⑵ ⑶
⑷ ⑸ ⑹
例题3：如图，要焊接一个高，底角为的人字形钢架，约需要多长的钢材（结果保留小数点后两位）
练习：如图，一块平行四边形木板的两条邻边、的长分别为和，它们之间的夹角为，求这块木板的面积（结果保留小数点后两位）
二．课堂检测：
1.求下列锐角三角函数值（精确到0.0001）：
⑴= ； ⑵= ； = .
2. 已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角
⑴，= ；⑵，= ；⑶，= ；
三．课后练习：
1．计算的值为（ ）
A． B． C． D．
2．在中，各边的长度都扩大4倍，那么锐角的正切值（ ）
A．扩大4倍 B．扩大2倍 C．保持不变 D．缩小4倍
3．已知为锐角，，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．如果等腰三角形的底角为，腰长为6，那么这个三角形的面积为（ ）
A．4.5 B． C． D．36
5．中，，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
6.已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7.已知，则 ；若，则 ；若，则 ；
8.某人沿倾斜角为的斜坡前行了100，则他上升的最大高度为 （精确到0.01）
9．计算：⑴ ⑵
10. 已知：如图，在中，，是高，，，求、、．（精确到1）
（B层）1.要求的值，可构造如图所示的直角三角形进行计算：作，使，斜边，直角边，那么，，，在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，可求出的值，请简要写出你添加的辅助线和求出的值．
2.如图，把矩形纸片放入平面直角坐标系中，使、分别落在轴、轴上，连接，将纸片沿折叠，使点落在点的位置，若，，求点的坐标
锐角三角函数（4）
一．问题：如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足，现有一个长的梯子，问：
⑴使用这个梯子最高可以攀上多高的墙（结果保留小数点后一位）？
⑵当梯子底端距离墙面时，这个人是否能够安全使用这个梯子？
二．解直角三角形：在中，，由 得 或由 得
三．例题与练习：
例题1：如图，在中，，，，解这个直角三角形.
练习：如上图，在中，，，，解这个直角三角形.
例题2：如图，在中，，，，解这个直角三角形（结果保留小数点后一位）.
练习：如上图，在中，，，，解这个直角三角形（结果保留小数点后一位）.
四．课堂检测：在中，，、、的对边分别为、和，若，，解这个直角三角形
五．课后作业：
1．在中，，、、的对边分别为、和，根据下列条件解直角三角形.
⑴， ⑵， ⑶，
2．在中，于点，且，
⑴若，求的长 ⑵若=15，求的长
3．为了测量塔高，小龙在距塔的中心点50米的处，用测角器量得仰角为，已知测角器的高度为1.52米，求塔高的长.（精确到0.1米）
4.如图所示，在离铁塔150米的处用测角仪测得塔顶仰角，已知仪器高米，求铁塔高.（精确到0.1米）
5．如图所示，从某海岛上的观察所测得海上某船只的俯角为，若观察所与海面的垂直高度米，求船只到观察所的水平距离。（精确到0.1米）
锐角三角函数（5）
一．例题与练习：
例题1：2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变轨后，就在离地球表面350的圆形轨道运行.如图，当飞船运行到地球表面上点的正上方时，从飞船能直接看到的地球最远的点在什么位置？这样的最远点与点的路程是多少？（地球半径约为6400，结果保留小数点后一位）
练习：如图为半径500圆形湖泊，在湖泊⊙正东方的湖岸有一抽水房，在抽水房的正西方2000处的小明想到抽水房维修机器，请你在图中画出他走的最短路线，并求出最短路程是多少？（结果保留小数点后一位）
例题2：热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋高楼底部的俯角为，热气球与高楼的水平距离为120，求这栋高楼的高度（结果保留小数点后一位）
练习：某塔上有一旗杆，由距40的处观察旗杆顶部的仰角为，观察旗杆底部的仰角为，求旗杆的高度. （结果保留小数点后一位）
二．课堂检测：某校数学兴趣小组为了测量学校（）的高度，利用附近的一座古塔（）作为参照物，用测角仪在学校的底部处测得塔顶处的仰角，爬到楼顶的处测得塔顶处的仰角，已知学校到古塔的距离是120米，求学校的高度.（精确到0.1米）
--9--
三．课后作业：
1．如图，河旁有一座小山，从山顶处测得河对岸点的俯角为，测得岸边点的俯角为，又知河宽为50米.现需要从山顶到河对岸拉一条笔直的缆绳，求缆绳的长（答案可带根号）
2．某学校学生到旅顺白云山游玩，同时对白云塔的高度进行了测量.如图，他们在处测得塔顶的仰角为，再向塔的方向直行80步（1步=0.8）到达处，又测得塔顶的仰角为，请你用以上数据计算塔高（学生的身高忽略不计）
3．如图所示为住宅区内的两幢楼，它们的高，两幢楼间的距离，现需要了解甲楼对乙楼采光的影响情况，当太阳光线与水平线的夹角为36 时，求甲楼的影子在乙楼上有多高？（精确到0.1米）
4．如图所示，某工程队修建高速公路时，需要打通东西走向的穿山隧道，为了测得的长，工程队在山的南面选取一点，用测量仪器测得，，，请你利用所学知识求出的长.（精确到1米）
5．如图所示，直升机在跨河大桥的上方点处.此时飞机离地面的高度，且、、三点在同一直线上，测得大桥两端的俯角分别为，，求大桥的长（精确到0.1米）
锐角三角函数（6）
一．例题与练习：
例题1：如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔80海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向的处，这时海轮所在的处距离灯塔有多远？（结果保留小数点后一位）
练习：如图，海中有一个小岛，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点测得小岛在北偏东方向上，航行12海里到达点，这时测得小岛在北偏东方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？
例题2：如图所示的梯形是水库大坝的横断面图形，斜坡的坡度，斜坡的坡度，坝顶，坝高为25.
⑴求大坝的下底宽（精确到0.1米）；
⑵求斜坡的坡角的度数（精确到分）.
练习：如图，拦水坝的横截面为梯形，高，斜坡的坡度，斜坡的坡度.
⑴求坡角和；
⑵求斜坡的长（结果保留小数点后一位）
二．课堂检测：如图所示的梯形是水库大坝的横断面图形，坝顶宽，斜坡，坝高8米，斜坡的坡度，求坝底宽.（精确到0.1米）
三．课后作业：
1.某城市将地处、两地的两所大学合并成一所综合性大学，为了方便两地师生来往，学校准备在相距的、两地之间修建一条笔直的公路（如图），经测量在地北偏东方向、地北偏西的处有一个半径为的公园.问计划修建的公路能否穿过公园？
2．如图，某处海面上，一艘军舰正在基地的正东方向且距地40海里的处训练，突然接到基地命令，要该舰前往岛，接送一名病重的渔民到基地医院救治.已知岛在的北偏东方向，且在的北偏西方向，军舰从处出发，平均每小时行驶20海里，需要多长时间才能把患者送到基地医院？（精确到0.1小时）
3．今年入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断下降，达到历史最低水位。一条船在松花江某水段自西向东沿直线航行，在处测得航标在北偏东60 方向上，前进100米到达处，又测得航标在北偏东45 方向上。且知在以航标为圆心，120米长半径的圆形区内有浅滩。如果这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？
4．如图所示的燕尾槽的横断面是等腰梯形，其中的坡度为，外口宽毫米，燕尾槽的深度是毫米，求它的里口宽（精确到1毫米）。
（B层）5．如图，在笔直的海岸线上有、、三个码头，海中有一个小岛，已知点在点的北偏东的方向，点在点的北偏东的方向，点在点的正北方向，且点到点的距离为100，现有人在码头，有急事要到小岛，现知道，船的速度为，车的速度为，为此有人设计了三种方案：
⑴方案一：由码头直接坐船到小岛
⑵方案二：由码头坐车到码头，再坐船到小岛
⑶方案三：由码头坐车到码头，再坐船到小岛
假设途中周转的时间忽略不计，请你通过计算说明哪种设计方案最好？
锐角三角函数（7）
一．测量高度的方案设计：
1.可达到被测物体底部的方案：
方案一：在有阳光的日子里，为旗杆的影子，然后竖直立起一根标杆，为标杆的影子.
探究原理：光的特征（太阳光是平行光线） 相似三角形的特征.
提供选用的测量工具有：①皮尺 ②标杆
⑴你需要得测此示意图中哪些数据？并分别用、、来表示测得数据.
⑵写出旗杆高度的计算式：= .
方案二：将标杆竖直立在地面上，人在所在直线上移动，用视线使、、三点在同一直线上.
探究原理：光沿直线传播 相似三角形的特征.
提供选用的测量工具有：①皮尺 ②标杆
⑴你需要得测此示意图中哪些数据？并分别用、、来表示测得
数据.
⑵写出旗杆高度的计算式：=
方案三：在距旗杆一定距离的地面上放一个平面镜，人在所在直线上移动，直到恰好在镜子里看见旗杆顶点为止.
探究原理：光的反射定律 相似三角形的特征.
提供选用的测量工具有：①皮尺 ②平面镜
⑴你需要得测此示意图中哪些数据？并分别用、、来表示测得数据.
⑵写出旗杆高度的计算式：= .
方案四：将测角仪竖直立在地面上.
提供选用的测量工具有：①皮尺 ②测角仪
⑴写出测量步骤.及你需要得测此示意图中的数据.并长度分别用、、，角度用、…来表示测得数据.
⑵写出旗杆高度的计算式：= .
2.不可达到被测物体底部的方案：
方案一：测量工具有：①皮尺 ②测角仪
⑴写出测量步骤.及你需要得测此示意图中的数据.并长度分别用、、，角度用、…来表示测得数据.
⑵写出山的高度的计算式：= .
方案二.如图，、是两栋地平高度相等、隔岸相望的楼房，由于建筑物密集，在的周围没有开阔地带，为了测量的高度，只能从分利用楼的空间，楼的各层都可到达并且都能看到，现仅有的测量工具为皮尺和测角器.
⑴请你设计一个测量楼高度的方案，要求写出测量步骤和必须的测量数据（用字母表示），线段长用、、…表示，角用、、…表示，并画出测量图形.
⑵用你测量的数据（用字母表示）写出计算楼高度的表达式.
二．测量宽度的方案设计：
方案一：在河的对岸选定一个目标作为点，再在河的这一边选点和，使，然后再选一点，使，用视线确定和的交点.
提供选用的测量工具有：①皮尺 ②教学用三角板
⑴你需要得测此示意图中哪些数据？并分别用、、来表示测得数据.
⑵写出河宽的计算式：=
方案二：在河的对岸选定一个目标作为点，再在河的这一边选点和，使得、、三点在一条直线上，且与河岸垂直，然后确定一点，使，用视线确定与河岸的交点.
提供选用的测量工具有：①皮尺 ②教学用三角板
⑴你需要得测此示意图中哪些数据？并分别用、、来表示测得数据.
⑵写出河宽的计算式：= .
方案三：如图，为测量小河的宽度，先在河岸边上任意取一点，再在河的另一岸取两点、，测得，，量得.
⑴求小河的宽度；
⑵请你再设计一种测量河宽度的方案，画出设计草图并作简要说明.
锐角三角函数（单元）
例题：1．如图，某校学习小组进行测量小山高度的实践活动.部分学生在山脚点测得山腰上一点的仰角为，并测得的长为180米；另一部分同学在山顶点测得山脚点的俯角为，山腰点的俯角为，请你帮助他们计算出小山的高度.（结果保留根号）
2．如图，小红面对黑板坐在凳子上，若把黑板看成一个矩形，其上的一个字看作点，过点的该矩形的高为，把小红的眼睛看作点.现测得：，视线恰好与水平线平行，视线与的夹角为，视线与的夹角为.求与的长.（精确到0.1米）
一．选择题：
1．在中，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．若，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
3．如图，在把易拉罐中的水倒入一个圆水杯的过程中，若水杯中的水在点与易拉罐刚好接触，则此时水杯中的水深为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．某人沿着倾斜角为的斜坡前进了米，则他上升的高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
5．如图，在中，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．在中，斜边是直角边的4倍，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．菱形的对角线，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图的方格中，则与的正切值最接近的是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题：
9．如果是等边三角形的一个内角，那么的值为 .
10．中，，，，那么的长为 .
11．在中，，，的周长为60，那么的面积为 .
12.若式子无意义，则的值为 .
13．一个等腰三角形的两边长分别为5和8，则这个等腰三角形底角的正弦值为 .
14．某人沿着山坡从山脚到山顶共走1000米，他上升的高度为500米，则这个山坡的坡度为 .
15．如图，四个边长为的小正方形，则的值为 .
16．中，若，，则的度数为_______．
17．一等腰三角形的两边长分别为4和6，则其底角的余弦值为________．
18． 中，，，若的平分线长为，则 =_____， =_______．
19．如图，在中，，，，则的长为________．
20．中，，若，，则的长为_______
三．解答题：
21.计算下面各式：
⑴ ⑵
22．在锐角中，，，求：⑴的值；⑵的值．
23．一次函数与轴、轴的交点分别为 、，若的周长为（为坐标原点），求的值．
24．某片绿地的形状如图所示，其中，，，，，求、的长（精确到1）
25．某船以每小时36海里的速度向正东方向航行，在点测得某岛在北偏东方向上，航行半小时后到达点，测得该岛在北偏东方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁.
⑴试说明点是否在暗礁区域外？
⑵若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由.
26．如图为某一风景区的步行台阶，为了安全着想，准备将台阶进行改善，把倾角由减至，已知原台阶的长为5米（所在地面为水平面）
⑴改善后的台阶会加长多少？（精确到0.01米）
⑵改善后的台阶会躲占多长一段地面？（精确到0.01米）
27．如图，已知某小区的两幢19层住宅楼的距离为，由地面向上依次为第1层、第2层、…、第10层，每层高度为.假设某一时刻甲楼在乙楼侧面的影长，太阳光与水平线的夹角为.
⑴用含的式子表示；
⑵当时，甲楼楼顶点的影子落在乙楼的第几层？若每小时增加，从此时起几小时后甲楼的影子刚好不影响乙楼采光？
28．如图，某人在山坡坡脚处测得某塔塔顶的仰角为，沿山坡向上走到点再测得点的仰角为，已知米，山坡的坡度为.
求塔高以及此人所在位置点的铅直高度.
29．如图，小红同学想测量河对岸一塔的高度，她先在点处测得塔顶的仰角为，这时她再往正前方前进20米到点，又测得塔顶的仰角为，求塔高
30．如图，河边有一条笔直的公路，公路两侧是平坦的草地，在一次数学活动课上，老师要求测量河对岸点到公路的距离，请你设计一个测量方案.要求：
⑴列出你测量使用的测量工具；
⑵画出测量示意图，写出测量步骤；
⑶用字母表示测得的数据，求出点到公路的距离.
31．如图，在某气象站附近海面有一台风，据监测，当台风中心位于气象站的东偏南方向100千米的海面处，并以20千米/小时的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径20千米，并以10千米/小时的速度不断增大，已知，问：
⑴台风中心几小时移动到气象站的正南方向处，此时气象站是否受到台风侵袭？
⑵几小时后该气象站开始受到台风侵袭？
32.如图，小岛在港口的南偏西45°方向，距离港口81海里处，甲船从出发，沿方向以9海里/时的速度驶向港口，乙船从港口出发，沿南偏东60°方向，以18海里/时的速度驶离港口．现两船同时出发．
⑴出发后几小时两船与港口的距离相等？
⑵出发后几小时乙船在甲船的正东方向？（结果精确到0.1小时）