湖北省武汉市部分重点中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学（理）试题

武汉市部分重点中学2014—2015学年度下学期高二期中测试
数 学 理 科 试 卷
命题人：武汉十二中，曹光华 审题人：段玉慧
一．选择题 （本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题所给的四个选项中只有一个正确答案，请在答题卡上相应地方用2B铅笔涂黑）
1.“x > 1”是 “ ”的 （ ）
A. 充要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 既非充分又非必要条件
2. 下列命题中为假命题是 （ ）
A． B.
C． D.
3. 过原点的直线与圆相交于A,B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程为 （ ）
A. B. C. D.
4. 空间四边形ABCD中，若向量，，
点E,F分别为线段BC,AD的中点，则的坐标为 （ ）
A, B.
C. D.
5. 已知点是椭圆的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么的最小值为 （ ）
A, 0 B. 1 C. 2 D. 2
6. 已知定义在R上的函数，则函数在点处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知圆M经过双曲线C： 的一个顶点和一个焦点，圆心M在双曲线C上，则圆心M到双曲线中心距离为
A． 或 B. 或 C. D.
8. 设抛物线的焦点为F，经过点P (1 , 0)直线与抛物线交于A, B两点，且向量
则AF+BF= （ ）
A. B. C. 8 D.
9. PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB = 2，E为PB的中点，，
若以如图所示建立空间直角坐标系，则E点坐标为 （ ）
A． B. C. D.
10. 函数f (x)的图像如图所示，是f (x)的导函数，则下列数字排列正确是 （ ）
A．
B.
C.
D.
11. 函数在（2 ，3）上总存在极值，则实数m的取值范围为
A. B. C. D.
12. 已知分别为双曲线的左右焦点，若在双曲线右支上存在点A，使得点到直线的距离为2a, 则双曲线的离心率 取值范围为
A. B. C. D.
二．填空题 （本大题4题，每小题5分，共20分，把每题答案填在答题卡相应地方）
13. 已知命题P：，若命题P是假命题，则实数a取值范围______
14. 设函数，则取值范围______
15. P为正方体的对角线上的一点，且，则下列结论正确是________________
① ② 若⊥平面PAC，则 ③ 若△PAC为钝角三角形，则
④ 若,则△PAC为锐角三角形
16. 已知椭圆和抛物线，斜率为的直线与椭圆相切且与抛物线相交于A , B两点，则=______
三．解答题 （本大题共6小题，共70分，解答题要写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. （本题满分10分）已知p：，q: ,若是的充分条件，求实数a的取值范围
18. （本题满分12分）已知空间三点A,B ，C (1) 求以AB,AC为邻边的平行四边形面积 （2）求平面ABC一个法向量 （3）若向量分别与垂直，且
求的坐标
19. （本题满分12分）已知离心率为的椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，双曲线以椭圆长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为 （1）求椭圆及双曲线方程 （2）设椭圆左右顶点分别为A, B，在第二象限内取双曲线上一点P, 连BP交椭圆于M，若，求三角形ABM的面积
20. （本题满分12分）如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，=AB=AC=1,
AB⊥AC, M , N分别为，BC的中点，点P为直线上一点，且满足，
（1）时，求直线PN与平面ABC所成角的正弦值 （2）若平面PMN与平面ABC所成锐二面角为，求的值
21. （本题满分12）
在平面直角坐标系xoy中，直线与抛物线相交于A,B两点 （1）求证：“如果直线过点
T（3，0），那么”是真命题（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由
22 （本题满分12）已知曲线在点（1，f (1)）处切线与y轴垂直，
（1）求k的值及F（x）的单调区间 （2）已知对于任意总存在
，使得，求实数a的取值范围
武汉市部分重点中学2014—2015学年度下学期高二期中测试数学试卷参考答案
一．选择题 B D D B C B D D C B B C
二．填空题 13. （0， 1） 14 [-2, 2] 15. ① ② ④ 16.3
三． 解答题
17. 由p: 1≤x<3 q:
∴ 得 q是p的子集， ∴ ∴
18. （1）
(2) 设平面ABC的一个法向量为，由 令 ∴
(3) ∥
或
19. （1）设椭圆方程为 双曲线方程为
椭圆方程 双曲线方程
(2) A (–5, 0) B (5, 0) 设M（x, y）为椭圆上点，P（2x – 5, 2y）代入
（舍去）
20. （1）建立以A点为空间坐标系原点，AB, AC, AA1所在直线为x轴,y轴, z轴，
A (0,0,0) B (1 , 0 , 0) C (0 , 1 , 0) A1(0 , 0, 1) B1 (1 , 0 , 1) C1 (0, 1 , 1)
M (0 , 1 , ) N （, ， 0） = , P (，0，1) =（0，, – 1）
ABC法向量为 AA1=（0，0，1）
设 = (,–,–) =(–,,– 1）
设平面PMN法向量为 令
ABC法向量为（0，0，1）
∴
21. 解：设过点T(3，0)的直线交抛物线于点A (x1 , y1 ) ,B(x2 , y2 )当直线斜率不存在时 的方程为 x = 3 A (3, ) B (3, –)
当直线斜率存在时 的方程为 y=k(x – 3) (k≠0)
又
综上所述，命题 “如果直线交抛物线于A , B两点，那么”是真命题
（2）逆命题：设直线交抛物线于A , B两点，如果，那么直线过点T(3,0)该命题是假命题 取抛物线上点A (2,2), B (,1)此时, 直线方程为，这时直线不过T(3,0)
22. 解： ∴ k=1
定义域（0，+）
∴ F （x）在上增函数，在上为减函数
（2） 由题意知 又
g(x)= – (x – a)2+a2, ① 0② 时
∴ 综合 ①②