湖北省武汉市部分重点中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学（文）试题

武汉市部分重点中学2014-2015学年度下学期高二期中测试
数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）命题“任意，都有＞0”的否定为（ ）
A.对任意，都有≤0　　B.不存在，都有≤0
C.存在，使得＞0　　D.存在，使得≤0
（2）已知命题对任意，总有； 是方程的根，则下列命题为真命题的是 ( )
（3）设条件p：；条件q：，那么p是q的 （ ）
A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
（4）抛物线的准线方程是（ ）
A. B. C. D.
（5）双曲线C:的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（ ）
A. 2 B. C.4 D.
（6）已知椭圆C：的左右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C与A、B两点，若△AF1B的周长为，则C的方程为（ ）
A. B. C. D.
（7）过双曲线的右顶点作轴的垂线与的一条渐近线相交于，若以的右焦点为圆心、半径为4的圆经过则双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
（8）已知是R上的单调增函数，则的取值范围是 （ ）
A. 　 B. C. 　　　D.
（9）已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）
A.3 B. C. D.
（10）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），其导函数在（a，b）内的图象如下图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有( )极值点
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（11）定义域为的可导函数的导函数为，满足，且则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
(12)已知二次函数图象的顶点坐标为，与x轴的交点P、Q位于y轴的两侧，以线段PQ为直径的圆与y轴交于（0,4）和（0,-4），则点（b,c）所在曲线为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）命题“若，则”的否命题是 .
（14）函数的递增区间是 .
（15）已知椭圆E：的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为 .
（16）若函数在其定义域内的一个子区间内存在极值，则实数的取值范围 ．
三、解答题：解答应写出文字说明过程或演算步骤。
（17）（本题满分10分）直线与抛物线交于A、B两点，F为抛物线的焦点，求△ABF的面积。
（18）（本题满分12分）已知命题p: ，若非p是q的充分不必要条件，求a的取值范围。
（19）（本小题满分12分）已知函数，在点处的切线方程为．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）若对于区间上任意两个自变量的值，都有，求实数的最小值；
（20）（本小题满分12分）已知A（-2，0），B（2，0）为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，△APB面积的最大值为2．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线AP的倾斜角为，且与椭圆在点B处的切线交于点D，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．
（21）（本小题满分12分）
已知椭圆C：，若椭圆C上的一动点到右焦点的最短距离为，且右焦点到直线的距离等于短半轴的长，已知P,过P的直线与椭圆交于M、N两点
（Ⅰ）求椭圆C的方程 （Ⅱ）求的取值范围
（22）（本小题满分12分）已知函数， ．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ），使不等式成立，求a的取值范围．
武汉市部分重点中学2014-2015学年度下学期高二期中测试
数学试卷（文科）答案
一．选择题
DABC CAAD BCBB
二．填空题
13. 若，则 14. 填也给满分
15. 16.
三．解答题
17．解：设A(x1,y1)、B(x2,y2)，
直线交x轴于C(4,0)点，知F(1,0)， …………2分
解 得 y2-4y-16=0 ……………… 4分
得|y2-y1|=4 ……………… 8分
S△ABF==34＝6 ……… 10分
其他方法酌情给分
18.
解：对于p： |4-x|≤6，∴|x-4|≤6，∴-6≤x-4≤6，解得-2≤x≤10
∴ p：A={x|x＞10，或x＜-2}…………2分
对于q：-2x+1-≥0，解得x≥1+a，或x≤1-a，
记B={x|x≥1+a，或x≤1-a}…………5分
∵ p是q的充分不必要条件，∴
∴ 解得a≤3，又a>0，∴0＜a≤3．
∴a的取值范围为 …………10分
19. 解（I） …………2分
根据题意，得 即
解得 …………6分
（2）令，解得
，
时， …………10分
则对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值，都有
所以所以的最小值为4。 …………12分
20. 解：（I）由题意可设椭圆的方程为，．
由题意知解得． ………… 2分
故椭圆的方程为． ………… 4分
（2）以为直径的圆与直线相切．
证明如下：由题意可知，，，直线的方程为．
则点坐标为，中点的坐标为，圆的半径 ………… 6分
由得．
设点P的坐标为 ，则 ．…………10分
因为点F坐标为（1,0），直线PF的斜率为 ，直线PF的方程为4x-3y-4=0，
点E到直线PF的距离为
所以d=r，故以BD为直径的圆与PF相切．…………12分
21.解：
解：（Ⅰ）由题意知， 解得，
故椭圆的方程．……………………………………………………分
（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为．
由 得．
……………………………………………………6分
设点，，
，………10 分
即 ． ……………………………………………………12分
22.解（1）∵ ………… 1分
当a≤0时，恒成立，f（x）在R上单调递减； ………… 3分
当a>0时，令 ，解得x=lna，
由得f（x）的单调递增区间为 ；
由得f（x）的单调递减区间为 ………… 5分
（2）因为 ，使不等式 ，则 ，即 ，
设 ，则问题转化为 ， ………… 8分
由，令，则，
当x在区间内变化时，变化情况如下表：
x
+ 0 -
h（x）
由上表可得，当x=时，函数h（x）有最大值，且最大值为，
所以a≤ ………… 12分