2023-2024学年第一学期江苏省南京市九年级数学期末模拟训练试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
1． 一元二次方程x2＝x的根是（ ）
A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝0，x2＝﹣1 C．x1＝x2＝0 D．x1＝x2＝1
为筹备班级联欢会，班长对全班同学爱吃哪几种水果做了民意调查，
然后决定买什么水果，最值得关注的应该是统计调查数据的（ ）
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差
3． 抛物线的顶点在第几象限（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4 . 寒假即将来临，小明和小亮每人要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，
那么小明和小亮选到同一社区参加实践活动的概率为（ ）
A． B． C． D．
5． 如图，是的弦，，，则的直径等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，
再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，
连接．以下结论不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，）
7. 如图，转盘中6个扇形的面积都相等．任意转动转盘一次，
当转盘停止转动时，指针指向偶数的概率是__________
8. 若，则 ．
9. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和若干个白色棋子，
每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，
则盒子中棋子的总个数是_________．
10．如图，直线，分别交直线于点、、，交直线于点、、，
若，，，那么线段的长等于 _____ ．
若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm，圆心角为扇形，则该圆锥的侧面面积为 ．
12． 如图，ABCD是⊙O的内接四边形，AD为直径，∠C=130°，则∠ADB的度数为 _____ ．
13. 某商品经过两次连续提价，每件售价由原来的100元上涨到了121元．
设平均每次涨价的百分率为x，则x是 ．
如图，ABC是⊙O的内接三角形，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径，且AE=4，
若CD=1，AD=3，则AB的长为 _____ ．
如图，将二次函数的图像在x轴下方的部分沿x轴翻折，图像的其余部分不变，
即得到的图像．根据图像，若关于x的方程有四个不相等的实数根，
则k的取值范围是_____________．
如图，在矩形纸片ABCD中，将AB沿BM翻折，使点A落在BC上的点N处，BM为折痕，
连接MN；再将CD沿CE翻折，使点D恰好落在MN上的点F处，CE为折痕，
连接EF并延长交BM于点P，若AD=8，AB=5，则线段PE的长等于_________ ．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解方程：
(1)；
(2)．
18.如图，在正方形网格中，点均在格点上，以为位似中心，
把按相似比缩小．（仅用无刻度的直尺，按要求画图，保留画图痕迹）
19. 王老师为了选拔一名学生参加数学比赛，对两名备赛选手进行了10次测验，成绩如下（单位：分）：
甲：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10
乙：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10
选手 平均数 中位数 众数 方差
甲 7 a 6
乙 b 7 c d
（1）以上成绩统计分析表中_______，________，______；
（2）d______（填“＞”、＜或“＝”）：
（3）根据以上信息，你认为王老师应该选哪位同学参加比赛，请说明理由．
20．若关于x的方程有两个相等的实数根
（1）求b的值；
（2）当b取正数时，求此时方程的根，
某校在开展“网络安全知识教育周”期间，在九年级随机抽取了20名学生分成甲、乙两组，
每组各10人，进行“网络安全”现场知识竞赛，把甲、乙两组的成绩进行整理分析（满分100分，
竞赛得分用表示：为网络安全意识非常强，为网络安全意识强，
为网络安全意识一般）．收集整理的数据制成如下两幅统计图：
分析数据：
平均数 中位数 众数
甲组 83 80
乙组 90
根据以上信息回答下列问题：
(1)填空：________，________，________；
(2)已知该校九年级有1200人，估计九年级网络安全意识非常强的人数一共是多少？
(3)现在准备从甲乙两组满分的同学中抽取两名同学参加校级比赛，
求抽取的两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率．
22．如图是二次函数的图像．
(1)求该二次函数的关系式及顶点坐标；
(2)当时的取值范围是___________；
23．如图，在中，，．求证：
(1)；
(2)若，，求的长．
某乡镇农贸公司新开设了一家网店，销售当地农产品，其中一种当地特产在网上试销售，
其成本为每千克元．公司在试销售期间，调查发现，每天销售量（kg）与销售单价（元）
满足如图所示的函数关系（其中）．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
如图，点M为内切圆的圆心，是的外接圆，的延长线交AC于点N，
交于点D，连接，过点D作直线，使．
(1)求证：直线是的切线；
(2)求证：；
(3)若，求的长．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，
与y轴交于点C，点D为的中点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点G是该抛物线对称轴上的动点，若有最小值，求此时点G的坐标；
(3)若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值；
27. （1）问题
如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，
求证：．
（2）探究
若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
（3）应用
如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．
点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长．2023-2024学年第一学期江苏省南京市九年级数学期末模拟训练试卷解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
1．一元二次方程x2＝x的根是（ ）
A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝0，x2＝﹣1 C．x1＝x2＝0 D．x1＝x2＝1
【答案】A
【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】解：x2＝x，
x2﹣x＝0，
x（x﹣1）＝0，
x＝0，x﹣1＝0，
x1＝0，x2＝1，
故选：A．
为筹备班级联欢会，班长对全班同学爱吃哪几种水果做了民意调查，
然后决定买什么水果，最值得关注的应该是统计调查数据的（ ）
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差
【答案】C
【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的意义进行分析选择．
【详解】解：平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．既然是为筹备班级的初中毕业联欢会做准备，那么买的水果肯定是大多数人爱吃的才行，故最值得关注的是众数．
故选：C．
3．抛物线的顶点在第几象限（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】直接根据二次函数的顶点式求出顶点坐标，再判断顶点所在的象限．
【详解】解：抛物线的顶点为，
顶点在第三象限．
故选：C．
4 .寒假即将来临，小明和小亮每人要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，
那么小明和小亮选到同一社区参加实践活动的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，小明和小亮选到同一社区参加实践活动的有3种情况，
∴小明和小亮选到同一社区参加实践活动的概率为：
故选B
5．如图，是的弦，，，则的直径等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【分析】作直径，连接，根据圆周角定理得到，，根据直角三角形的性质解答．
【详解】解：作直径，连接，
由圆周角定理得，，，
∴，
故选：C．
6.如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，
再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，
连接．以下结论不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意得，，平分，根据三角形内角和及角平分线判断A即可；
由角平分线求出，得到，根据三角形内角和求出，
得到，即可判断B；证明，得到，
设，则，求出x，即可判断C；
过点E作于G，于H，由角平分线的性质定理推出，
即可根据三角形面积公式判断D．
【详解】解：由题意得，，平分，
∵在中，，，
∴
∵平分，
∴，故A正确；
∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，故B正确；
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，故C错误；
过点E作于G，于H，
∵平分，，，
∴
∴，故D正确；
故选：C．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，）
7. 如图，转盘中6个扇形的面积都相等．任意转动转盘一次，
当转盘停止转动时，指针指向偶数的概率是__________
【答案】
【解析】
【分析】让偶数的个数除以数的总数即可得出答案．
【详解】图中共有6个相等的区域，含偶数的有2，4，6共3个，
转盘停止时指针指向偶数概率是＝．
故答案为：．
8. 若，则 ．
【答案】
【分析】根据等式性质，在两边都加上1，则问题可解．
【详解】解：根据等式的性质，两边都加上1，
即可得，通分得．
故答案为：．
9.围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和若干个白色棋子，
每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，
则盒子中棋子的总个数是_________．
【答案】
【解析】
【分析】利用概率公式，得出黑色棋子的数量除以对应概率，即可算出棋子的总数．
【详解】解：，
∴盒子中棋子的总个数是．
故答案为：．
10．如图，直线，分别交直线于点、、，交直线于点、、，
若，，，那么线段的长等于 _____ ．
【答案】9
【分析】利用平行线分线段成比例定理得到，
利用比例的性质得到，从而可计算出DE的长．
【详解】解：，
∴，即，
，即，
∴．
故答案为：9．
11．若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm，圆心角为扇形，则该圆锥的侧面面积为 ．
【答案】
【分析】由于圆锥的侧面展开图是扇形，直接根据扇形的面积公式计算即可．
【详解】解：该圆锥的侧面面积为，
故答案为：．
12．如图，ABCD是⊙O的内接四边形，AD为直径，∠C=130°，则∠ADB的度数为 _____ ．
【答案】40°．
【分析】由AD是直径，可得∠ABD＝90°，又由ABCD是⊙O的内接四边形，∠C＝130°，可求得∠A的度数，根据三角形内角和定理，即可求得答案．
【详解】解：∵AD是直径，
∴∠ABD＝90°，
又∵ABCD是⊙O的内接四边形，∠C＝130°，
∴∠A＝180°﹣130°＝50°，
∴∠ADB＝180°﹣90°﹣50°＝40°．
故答案为40°．
13. 某商品经过两次连续提价，每件售价由原来的100元上涨到了121元．
设平均每次涨价的百分率为x，则x是 ．
【答案】10%
【分析】设平均每次涨价的百分率为x，根据题意列一元二次方程，解方程求解即可．
【详解】设平均每次涨价的百分率为x，根据题意得，
解得（舍）
平均每次涨价的百分率为
故答案为：
如图，ABC是⊙O的内接三角形，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径，且AE=4，
若CD=1，AD=3，则AB的长为 _____ ．
【答案】
【分析】利用勾股定理求出AC，证明△ABE∽△ADC，推出，由此即可解决问题．
【详解】解：∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC=90°，
∴，
∵AE是直径，
∴∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠ADC，
∵∠E=∠C，
∴△ABE∽△ADC，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
如图，将二次函数的图像在x轴下方的部分沿x轴翻折，图像的其余部分不变，
即得到的图像．根据图像，若关于x的方程有四个不相等的实数根，
则k的取值范围是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】把关于的方程有四个不相等的实数根转化为图象的交点，
利用数形结合的思想解答即可．
【详解】解：若关于的方程有四个不相等的实数根，
则函数的图象与的图象有四个交点，如图：
由函数图象可知，的取值范围是，
故答案为：．
16.如图，在矩形纸片ABCD中，将AB沿BM翻折，使点A落在BC上的点N处，BM为折痕，
连接MN；再将CD沿CE翻折，使点D恰好落在MN上的点F处，CE为折痕，
连接EF并延长交BM于点P，若AD=8，AB=5，则线段PE的长等于_________ ．
【答案】
【分析】根据折叠可得四边形ABNM是正方形，CD=CF=5，∠D=∠CFE=90°，ED=EF，
可求出三角形FNC的三边为3，4，5，在中，由勾股定理可以求出三边的长，
通过作辅助线，可证，可得三边的比为3：4：5，
设FG=3m，则PG=4m，PF=5m，通过PG=HN，列方程解方程，
进而求出PF的长，从而可求PE的长．
【详解】解：过点P作PG⊥FN，PH⊥BN，垂足为G、H，
由折叠得：
四边形ABNM是正方形，AB=BN=NM=MA=5， CD=CF=5，∠D=∠CFE=90°，ED=EF，
∴NC=MD=8-5=3，
在中，
∴MF=5-4=1，
在中，设EF=x，则ME=3-x，
由勾股定理得， ，
解得：，
∵∠CFN+∠PFG=90°，∠PFG+∠FPG=90°，
∴∠CFN=∠FPG，
又∵∠FGP=∠CNF=90°
∴，
∴FG：PG：PF=NC：FN：FC=3：4：5，
设FG=3m，则PG=4m，PF=5m，
四边形ABNM是正方形，
∴GN=PH=BH=4-3m，HN=5-（4-3m）=1+3m=PG=4m，
解得：m=1，
∴PF=5m=5，
∴PE=PF+FE=，
故答案为：．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）先移项，再利用提公因式分解法解一元二次方程即可；
（2）根据配方法求解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：，
，
，
或，
，．
（2）解：，
，
，
，
，
，．
18.如图，在正方形网格中，点均在格点上，以为位似中心，
把按相似比缩小．（仅用无刻度的直尺，按要求画图，保留画图痕迹）
【答案】见解析
【解析】
【分析】分别连接、、，再结合网格找出、、的中点，顺次连接即可求解．
【详解】解：如图所示，即为所求；
19. 王老师为了选拔一名学生参加数学比赛，对两名备赛选手进行了10次测验，成绩如下（单位：分）：
甲：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10
乙：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10
选手 平均数 中位数 众数 方差
甲 7 a 6
乙 b 7 c d
（1）以上成绩统计分析表中_______，________，______；
（2）d______（填“＞”、＜或“＝”）：
（3）根据以上信息，你认为王老师应该选哪位同学参加比赛，请说明理由．
【答案】（1）6，7，7
（2）
（3）乙同学，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据平均数、众数、中位数的定义即可求出结果；
（2）根据平均数和方差的计算结果求出答案；
（3）比较出甲、乙两位同学的中位数、众数和方差即可．
【小问1详解】
解：甲数据从小到大排列，第5、6位都6，故中位数为；
乙的平均数，
乙的数据中7最多有4个，所以众数，
故答案为：6，7，7；
【小问2详解】
，
，
故答案为：；
【小问3详解】
选择乙同学，
理由：乙同学的中位数和众数都比甲的大，并且乙的方差比甲小，成绩比较稳定．
20．若关于x的方程有两个相等的实数根
（1）求b的值；
（2）当b取正数时，求此时方程的根，
【答案】（1）b=2或b=；（2）x1=x2=-2；
【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案．
（2）由（1）可知b=2，根据一元二次方程的解法即可求出答案．
【详解】解：（1）由题意可知：△=（b+2）2-4（6-b）=0，
∴
解得：b=2或b=．
（2）当b=2时，
此时x2+4x+4=0，
∴，
∴x1=x2=-2；
21．某校在开展“网络安全知识教育周”期间，在九年级随机抽取了20名学生分成甲、乙两组，每组各10人，进行“网络安全”现场知识竞赛，把甲、乙两组的成绩进行整理分析（满分100分，竞赛得分用表示：为网络安全意识非常强，为网络安全意识强，为网络安全意识一般）．
收集整理的数据制成如下两幅统计图：
分析数据：
平均数 中位数 众数
甲组 83 80
乙组 90
根据以上信息回答下列问题：
(1)填空：________，________，________；
(2)已知该校九年级有1200人，估计九年级网络安全意识非常强的人数一共是多少？
(3)现在准备从甲乙两组满分的同学中抽取两名同学参加校级比赛，
求抽取的两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率．
【答案】(1)85，90，80
(2)估计九年级网络安全意识非常强的大约有540人；
(3)两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率为．
【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的定义进行计算即可；
求出样本中，网络安全意识强的所占的百分比即可估计总体中的百分比，
进而计算出相应的人数；
（3）列举出所有可能出现的结果情况，再根据概率的定义进行计算即可．
【详解】（1）解：甲组10名同学成绩出现次数最多的是80分，共出现6次，
因此众数是80分，即，
乙组的平均数（分），
将乙组的10名同学的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为（分），
即中位数，
故答案为：85，90，80；
（2）解：（人），
答：该校九年级有1200人，估计九年级网络安全意识非常强的大约有540人；
（3）解：甲组1名，乙组2名满分的同学中任意选取2名，所有可能出现的结果如下：
甲 乙 乙
甲 乙甲 乙甲
乙 甲乙 乙乙
乙 甲乙 乙乙
共有6种可能出现的结果，其中两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的有4种，
所以两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率为．
22．如图是二次函数的图像．
(1)求该二次函数的关系式及顶点坐标；
(2)当时的取值范围是___________；
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据图象得出抛物线与坐标轴交点坐标，代入解析式求解即可；
（2）求出抛物线与x轴交点坐标，根据图象即可求出取值范围；
【详解】（1）解：由图象可知，抛物线经过，，代入得，
，
解得，，
抛物线解析式为，
化成顶点式为，
抛物线顶点坐标为；
（2）解：当时，
解得，，，
抛物线与x轴另一个交点坐标为，
当时的取值范围是；
故答案为：
23．如图，在中，，．求证：
(1)；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)的长为3
【分析】（1）根据等边对等角，以及两组对应角相等的三角形相似，即可得证；
（2）根据，推出，再根据，利用对应边对应成比例，求出，进而求出．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
；
（2）解：，
设，
，，
，
，
，
，
的长为3．
某乡镇农贸公司新开设了一家网店，销售当地农产品，其中一种当地特产在网上试销售，
其成本为每千克元．公司在试销售期间，调查发现，每天销售量（kg）与销售单价（元）
满足如图所示的函数关系（其中）．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）；（2）当销售单价为元时，
每天的销售利润最大，最大利润是元．
【分析】1）运用待定系数法计算即可；
（2）列出二次函数解析式，计算最值即可．
【详解】（1）当时，；
当时，设，把，代入得：
，解得，
，
综上，与之间的函数关系式为：
（2）设每天的销售利润为元，
当时，，
随的增大而增大
当时，（元）
当时，
抛物线开口向下对称轴为直线，
当时，随的增大而增大
当时，（元）
时，最大
答：当销售单价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元．
如图，点M为内切圆的圆心，是的外接圆，的延长线交AC于点N，
交于点D，连接，过点D作直线，使．
(1)求证：直线是的切线；
(2)求证：；
(3)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接，交于点F，由内心的定义得到则，
进而可证再证明得到即可证明结论；
（2）连接，同理可得先证明由三角形外角的性质证明即可证明结论；
（3）证明得到，进而求出由此即可得到答案．
【详解】（1）证明：连接，交于点F，
点M为内切圆的圆心，
平分，
，
，
是的半径，
直线是的切线；
（2）证明：连接，
点M为内切圆的圆心，
平分，
；
（3）解：
，
，
∴的长为．
26.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，
与y轴交于点C，点D为的中点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点G是该抛物线对称轴上的动点，若有最小值，求此时点G的坐标；
(3)若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值；
【答案】(1)
(2)
(3)面积的最大值为2
【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）根据对称轴得出当点G正好在直线与抛物线对称轴的交点上时最小，
求出直线的解析式，求出抛物线的对称轴为直线，
把代入求出点G的坐标即可；
（3）连接，过点P作轴，交于点Q，根据点D是的中点，得出，
当面积最大时，面积最大，设，则，用m表示出，
求出其最大值，即可得出答案．
【详解】（1）解：把代入抛物线得：
，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：∵点G是该抛物线对称轴上的动点，
∴，
∴，
∴当点G正好在直线与抛物线对称轴的交点上时最小，
把代入得：，
∴点C的坐标为：，
设直线的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
∴ 直线的解析式为：，
抛物线的对称轴为直线，
把代入得：，
∴点G的坐标为：；
（3）解：连接，过点P作轴，交于点Q，如图所示：
∵点D是的中点，
∴，
∴当面积最大时，面积最大，
设，则，
，
，
∴当时，面积取最大值4，
∴面积的最大值为．
27. （1）问题
如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，
求证：．
（2）探究
若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
（3）应用
如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．
点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）5
【分析】（1）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（2）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（3）证明,求出，再证,可求,进而解答即可．
【详解】解：（1）证明：如图1，
，
，
，
又
，
；
（2）结论仍成立；
理由：如图2，
，
又，
，
，
，
又，
，
；
（3）,
,
,
是等腰直角三角形
是等腰直角三角形
又
即
解得．
