22.1.1 二次函数 课件(共20张PPT) 2023-2024学年人教版数学九年级上册

(共20张PPT)
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图像和性质
22.1.1 二次函数
1.知道二次函数的概念，会判断一个函数是否是二次函数；(重点)
2.会表示一个变化过程中的二次函数关系.(难点)
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
回顾：
什么叫函数？我们已经学过哪些函数？
在某变化过程中的两个变量x、y，当变量x在某个范围内取一个确定的值，
另一个变量y总有唯一的值与它对应.
这样的两个变量之间的关系我们把它叫做函数关系.
对于上述变量x 、y，我们把y叫x的函数. x叫自变量， y叫因变量.
我们已经学过一次函数：y=kx+b(k≠0).
那什么是二次函数呢？
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
我们先通过几个问题来了解二次函数．
问题1：一个正方体的棱长为x，设该正方体的表面积为y，探讨x与y的关系．
显然，显然对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数．
它们之间的具体关系可以表示为y=6x2．
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
问题2：某次会议有n个人参加，会议开始前每两人需要握一次手．总握手次
数m与人数n之间有什么关系？
每个人要和其他(n-1)个人各握手一次，A和B的握手，与B和A的握手是同一
次握手，所以总握手次数是
m= n(n-1)．
即
m= n2- n．
上式表示总握手次数m与人数n之间的关系，对于n的每一个值，m都
有一个对应值，即m是n的函数．
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
问题3：为了响应公益环保活动，某单位组织员工植树；今年一共植树200棵，计划今后两年增加棵数.如果每年都比上一年的棵数增加x倍，那么后年该公司植棵数为y，y与x之间的关系应怎样表示？
明年植树棵数为200(1+x)，后年植树棵数为200(1+x)2.
∴y=200(1+x)2，
对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数．
即y=200x2+400x+200.
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
观察：观察以上出现的三个函数解析式，填写下表.
函数解析式 常数 自变量 函数
m= n2- n
y=6x2
y=200x2+400x+200
无
无
y
200
n
x
m
y
x
思考：通过观察函数解析式，你发现这些函数有什么特点？
这些函数自变量的最高次项都是二次.
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
总结：
一般形式： y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）.
如果函数解析式是关于自变量的二次多项式，这样的函数叫二次函数.
二次函数的定义
其中，x是自变量， ax2是二次项，a是二次向系数；
bx是一次项，b是一次项系数；
c是常数项.
1. 自变量的最高次数是2.
3. 二次项的系数a不能为0.
2. 二次函数解析式必须是整式.
注意：
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
讨论：二次函数y=ax2+bx+c，二次项的系数a为什么不能为0？
当a=0时，函数解析式y=ax2+bx+c变为y=bx+c；这时它就是一次函数.
一次项系数b、常数项c可以为0吗？
当b=0时，函数解析式y=ax2+bx+c变为y=ax2+c；
当C=0时，函数解析式y=ax2+bx+c变为y=ax2+bx；
这时函数仍然满足二次函数的定义；所以b、c可以为0.
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
例1.判断下列的函数是否为二次函数.
(1)y=x2
(4)y=x3+x2+x
(3)y=22+x
(5)s=2-t2
(6)s=πr2
(2)y=x2+1
(7)y=
(8)y=(x+1)2-x2
是
是
是
是
否
否
否
否
(3)中自变量最高次项为1，(4)中自变量最高次项为3，
(7)中解析式不是整式，(8)中化简后自变量最高次项为1.
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
y=ax +bx+c有几种不同的表示形式:
(1)y=ax (a≠0,b=0,c=0,).
(2)y=ax +c(a≠0,b=0,c≠0).
(3)y=ax +bx(a≠0,b≠0,c=0).
总结：
典型例题
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学习目标
课堂总结
概念剖析
1.下列函数中,哪些是二次函数.
(1)y=x2
(2)y=
(3)y=x(3+x)
(4)y=2(x-1)2 -2x2
是
否
否
是
注意：对于无法直接进行判断的函数，要先进行化简.
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
2.在二次函数y=(x+1)2中，自变量是 ，一次项系数是 ，二次项
系数是 ，常数项是 .
x
1
2
1
典型例题
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学习目标
课堂总结
概念剖析
例2.根据下面的条件列出函数解析式，并判断列出的函数是否为二次函数.
(1)两个数中，一个比另一个大5，这两个数的乘积p是较大的数m的函数；
解：（2）剩余的面积S（cm2）与方孔边长x（cm）的函数关系为：
S=100π-4x2，是二次函数；
解：（1）这两个数的乘积p与较大的数m的函数关系为：
p=m（m-5）=m2-5m，是二次函数；
(2)一个半径为10cm的圆上，挖掉4个大小相同的正方形孔，剩余的面积S
（cm2）是方孔边长x（cm）的函数；
典型例题
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学习目标
课堂总结
概念剖析
(3)有一块长为60m、宽为40m的矩形绿地，计划在它的四周相同的宽度内种
植阔叶草，中间种郁金香，那么郁金香的种植面积S（m2）是草坪宽度a（m）的函数．
解：（3）郁金香的种植面积S（cm2）与草坪宽度a（m）的函数关系为：
S=（60-2a）（40-2a）=4a2-200a+2400，是二次函数．
典型例题
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学习目标
课堂总结
概念剖析
3.下列函数关系中，是二次函数的是（　　）
A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系
B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系
C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系
D．圆面积S与半径R之间的关系
D
解：A:y=kx+b，B:t=s/v,C:C=3a,D:S=πR2．
只有D选项是二次函数，故选D．
典型例题
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学习目标
课堂总结
概念剖析
例3.若y=(m-1)x 是关于x的二次函数，则m的值为
则m2+m=2且m-1≠0．
解得：m=-2．
故m的值为-2.
m2+m
分析：由题意得，m需满足m2+m=2且m-1≠0.
解：若y=（m+1）x 是关于x的二次函数，
m2+m
典型例题
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学习目标
课堂总结
概念剖析
4.如果y=（k-3）x2+k（x-3）是二次函数，那么k需满足的条件是 .
k≠3
分析：由二次函数的定义得二次项系数不能为0，故k-3≠0.
典型例题
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学习目标
课堂总结
概念剖析
5.已知函数y=（m2-m）x2+mx-2（m为常数），根据下列条件求m的值：
（1）y是x的一次函数；
（2）y是x的二次函数．
解：（1）y是x的一次函数，则可以知道，m2-m=0，
解得：m=1或m=0，又因为m≠0，所以，m=1．
（2）y是x的二次函数，只须m2-m≠0，
∴m≠1和m≠0．
典型例题
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学习目标
课堂总结
概念剖析
1.定义：一般地,形如y=ax +bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做
二次函数.
典型例题
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学习目标
课堂总结
概念剖析
2.y=ax +bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式:
(1)y=ax (a≠0,b=0,c=0,).
(2)y=ax +c(a≠0,b=0,c≠0).
(3)y=ax +bx(a≠0,b≠0,c=0).