22.1.2 二次函数y=ax?的图象和性质课件(共23张PPT)2023-2024学年人教版九年级数学上册

(共23张PPT)
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图像和性质
22.1.2二次函数y=ax 的图象和性质
1.会作二次函数y=ax2的图象；(重点)
2.能从二次函数y=ax2的图象中总结出其性质.(重点、难点)
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
观察：找出下面四幅图中共同的元素．
曲线
思考:你能将这些优美的线条和函数联系起来吗？
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
之前我们已经学习一次函数的概念，研究了它的图像与性质．像研究
一次函数一样，现在我们来研究二次函数的图像和性质.结合图像讨论性质
是数形结合研究函数的重要方法.
我们先从最简单的二次函数y=x2和y=-x2开始，逐步深入地讨论一般二
次函数的图像和性质.
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
试一试1：画出二次函数y=x2的图像.
步骤1：列表
x
y=x2
以0为中心取7个x值，并计算出对应y的值.
-1
...
...
...
...
-3
-2
3
2
1
0
1
9
4
9
4
1
0
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
x
y=x2
-1
...
...
...
...
-3
-2
3
2
1
0
1
9
4
9
4
1
0
步骤2：描点
步骤3：连线
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
根据表中的数值在坐标系中描点
用平滑的曲线顺次连接各点，
得到图像即为y=x2的图像.
观察：观察y=x2的图像，你发现了它的哪些特点？
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
试一试2：画出二次函数y=-x2的图像.
步骤1：列表
x
y=-x2
以0为中心取7个x值，并计算出对应y的值.
-1
...
...
...
...
-3
-2
3
2
1
0
-1
-9
-4
-9
-4
-1
0
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
x
y=-x2
-1
...
...
...
...
-3
-2
3
2
1
0
-1
-9
-4
-9
-4
-1
0
步骤2：描点
步骤3：连线
根据表中的数值在坐标系中描点
用平滑的曲线顺次连接各点，
得到图像即为y=-x2的图像.
观察：观察y=-x2的图像，你发现了它的哪些特点？
-9
1
2
3
4
5
x
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
x
y
o
从图像可以看出,二次函数y=x2和y=-x2的图像是一条线,
它的形状类似于前面图片中投篮时球在空中所经过的路线.
这两条曲线就叫抛物线y=x2、抛物线y=-x2.
实际上二次函数的图像都是抛物线，它们的开口向上或者向下.
x
y
o
一般地，二次函数y=ax2+bx+c的图像叫做抛物线y=ax2+bx+c.
我们前面看到的优美的曲线可能就和某个二次函数
的图像一样.
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
我们还可以看出,二次函数y=x2和y=-x2的图像都是轴
对称图形,y轴是它的对称轴.
抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点.
抛物线y=x2的顶点是(0,0).
抛物线y=-x2的顶点也是(0,0).
x
y
o
x
y
o
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
问题1：观察y=x2,y=-x2的图象,说出它们的开口方向和
顶点坐标及其规律？
x
y
o
x
y
o
1.抛物线y=x2的图象开口向上,
抛物线y=-x2的图象开口向下.
2.y=x2的顶点是图象的最低点,
y=-x2的顶点是图象的最高点.
延伸：当a＞0时，抛物线y=ax2开口向上，顶点是最低点；
当a＜0时，抛物线y=ax2开口向下，顶点是最高点.
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
问题2：观察函数图像；在函数y=x2中，随着x的值变化，
y的值怎样变化？在函数y=-x2中还是这样吗？
x
y
o
x
y
o
1.在y=x2图像中，
当x＜0:y随x的增大而减小；
当x＞0:y随x的增大而增大.
2.在y=-x2图像中，
当x＜0:y随x的增大而增大；
当x＞0:y随x的增大而减小.
思考：如果将二次函数y=x2变成y=2x2，那函数图像会发生什么变化？
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
试一试3：在同一个直角坐标系中画出二次函数y=0.5x2和y=2x2的图像.
步骤1：列表
x
y=0.5x2
x
y=2x2
-1
4
-4
-3
-2
3
2
1
0
-0.5
2
-2
-1.5
-1
1.5
1
0.5
0
0.5
4.5
2
4.5
2
0.5
0
8
8
0.5
4.5
2
4.5
2
0.5
0
8
8
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
a＞0时，a的值越大，抛物线y=ax2开口越大
观察：对比y=2x2和y=0.5x2的图像以及y=x2
的图像，你发现了什么？
步骤2：描点
步骤3：连线
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
x
y=0.5x2
x
y=2x2
-1
4
-4
-3
-2
3
2
1
0
0.5
4.5
2
4.5
2
0.5
0
8
8
-0.5
2
-2
-1.5
-1
1.5
1
0.5
0
0.5
4.5
2
4.5
2
0.5
0
8
8
y=2x2
y=0.5x2
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
试一试4：在同一个直角坐标系中画出二次函数y=-0.5x2和y=-2x2的图像.
步骤1：列表
x
y=-0.5x2
x
y=-2x2
-1
4
-4
-3
-2
3
2
1
0
-0.5
2
-2
-1.5
-1
1.5
1
0.5
0
-0.5
-4.5
-2
-4.5
-2
-0.5
0
-8
-8
-0.5
-4.5
-2
-4.5
-2
-0.5
0
-8
-8
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
步骤2：描点
步骤3：连线
x
y=0.5x2
x
y=2x2
-1
4
-4
-3
-2
3
2
1
0
-0.5
-4.5
-2
-4.5
-2
-0.5
0
-8
-8
-0.5
2
-2
-1.5
-1
1.5
1
0.5
0
-0.5
-4.5
-2
-4.5
-2
-0.5
0
-8
-8
观察：对比y=-2x2和y=-0.5x2的图像以及y=x2
的图像，你发现了什么？
a＜0时，a的值越大，抛物线y=ax2开口越小
-9
2
3
4
5
x
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
y
-2
-3
-4
-5
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
总结：
二次函数y=ax2的图象的性质
1.顶点都在原点，对称轴为y轴(直线x=0);
当a>0时，开口向上；
当a<0时，开口向下．
3.｜a｜越大，则开口越小；｜a｜越小，则开口越大.
4. a＞0时，在y轴左侧(x＜0):y随x的增大而减小；
在y轴右侧(x＞0):y随x的增大而增大.
a＜0时，在y轴左侧(x＜0):y随x的增大而增大；
在y轴右侧(x＞0):y随x的增大而减小.
x
y
o
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
例1.说出下列抛物线的开口方向，对称轴以及顶点.
(1)y=2x2
(3)y=0.3x2
(2)y=-3x2
分析：在抛物线y=ax2中：顶点是(0,0)，对称轴为y轴；
当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下.
解：(1)开口方向：向上，对称轴：y轴，顶点：(0,0)；
(2)开口方向：向下，对称轴：y轴，顶点：(0,0)；
(3)开口方向：向上，对称轴：y轴，顶点：(0,0)；
(4)开口方向：向下，对称轴：y轴，顶点：(0,0).
(4)y=- x2
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
1.填空
(1)函数y=3x2的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ；
在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增
大而 ；
(2)函数y=-3x2的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ；
在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增
大而 ；
向上
y轴
(0,0)
减小
增大
向下
y轴
(0,0)
减小
增大
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
2.下列函数图像中，开口最大的是( )
A.y=2x2 B.y=-1.5x2 C.y=0.5x2 D.y=3x2
C
注意：抛物线y=ax2的开口大小与a的正负无关，｜a｜越大开口就越大；
另外如果两抛物线｜a｜相等，比如y=2x2和y=-2x2；它们的开口
大小是相同的.
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
例2.已知y =(m+1)x 是二次函数且其图象开口向下
（1）求m的值和函数解析式；
（2）x在什么范围内，y随x的增大而增大 y随x的增大而减小
m2+m
x
y
o
解：(1)根据题意得：m2+m=2且m+1＜0，
解得m=-2；
这时函数解析式为：y=-x2
(2)当x＜0时，y随x的增大而增大；
当x＞0时，y随x的增大而减小.
分析：由函数为二次函数得：m2+m=2，由函数图像开口向下得：m+1＜0.
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
3.已知y=（k+2）x 是二次函数，且当x>0时，y随x增大而增大，
则k= .
k2+k-4
分析：根据题意得：k2+k-4=2且k+2＞0，解得k=2.
2
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
y=ax2 顶点 对称轴 开口 图象 左侧 右侧 x y x y
a＞0
a＜0
增大
(0,0)
最低点
(0,0)
最高点
y轴
y轴
向上
向下
增大
减小
增大
增大
增大
减小
增大
二次函数y=ax2的图象的性质
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析