第二十四章圆 复习课课件(共35张PPT)2023-2024学年人教版九年级数学上册

(共35张PPT)
第二十四章 圆
复习课
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
知识梳理
1.会利用垂径定理及其推论进行计算和证明.
2.知道弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系,并能应用它们之间的关系进行推理和证明.
3.知道点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系,并能判断这些位置关系,知道切线的性质和判定定理及切线长定理,并能应用其进行推理和计算.
典型例题
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学习目标
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知识梳理
4.会画三角形的外接圆和内切圆,知道三角形内心和外心的性质,知道圆内接多边形并会相关计算.
5.知道弧长和扇形面积的计算公式,并能用这些公式进行相关计算.
典型例题
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1
圆的有关概念及性质
1.定义:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆.
2.有关概念:
(1)弦、直径(圆中最长的弦)
(2)弧、优弧、劣弧、等弧
(3)弦心距
．
O
3.不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
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2
圆的对称性
1.圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.圆有无数条对称轴.
2.圆是中心对称图形,并且绕圆心旋转任何一个角度都能与自身重合,即圆具有旋转不变性.
．
典型例题
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3.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
4.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
典型例题
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3
圆周角和圆心角的关系
1.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的　 　.
2.同弧或等弧所对的圆周角　 　.
3.直径所对的圆周角是　 　;90°的圆周角所对的弦是　 　.
4.圆内接四边形的对角　 　.
一半
相等
直角
直径
互补
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例1.在图中，BC是☉O的直径，AD⊥BC,若∠D=36°,则∠BAD的度数是（ ）
A. 72° B.54° C. 45° D.36 °
A
B
C
D
B
解：设直径BC与弦AD交于点E
∵∠D=36°，∴∠ABC=36°
∵AD⊥BC，
∴在直角三角形ABE中，∠BAD=90°-36°=54°
E
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例2.如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC.
(1)若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；(2)求证明：∠1=∠2.
解：(1)∵BC=DC，
∴∠CBD=∠CDB=39°，
∵∠BAC=∠CDB=39°， ∠CAD=∠CBD=39°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=39°+39°=78°；
(2)证明：∵EC=BC，
∴∠CEB=∠CBE，
而∠CEB=∠2+∠BAE，∠CBE=∠1+∠CBD，
∴∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，
∵∠BAE=∠CBD，
∴∠1=∠2.
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1.下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　)
A
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2.如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝130°，则∠BOD的度数是多少？
解：在优弧BD上任取一点A(不与点B，D重合)，连接AB，AD.
因为四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
所以∠A＋∠BCD＝180°.
因为∠BCD＝130°，所以∠A＝50°.
因为∠A与∠BOD都对着劣弧BD，
所以∠BOD＝2∠A＝2×50°＝100°.
︵
︵
A
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4
垂径定理及推论
A
B
C
D
M└
③AM=BM,
若 ① CD是直径
② CD⊥AB
可推得
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
⌒
⌒
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
●O
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②CD⊥AB,
由 ① CD是直径
③ AM=BM
可推得
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
⌒
⌒
●O
C
D
●
A
B
┗
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
M
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例3.工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm,测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm,如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为 mm.
8mm
A
B
8
C
D
O
解析:设圆心为O，连接AO,作出过点O的弓形高CD，垂足为D,可AO=5mm,OD=3mm
利用勾股定理进行计算，AD=4mm，
所以AB=8mm.
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A
O
B
C
E
F
3.如图，点C是扇形OAB上的AB的任意一点，OA=2,连接AC,BC,过点O作OE ⊥AC,OF ⊥BC，垂足分别为E,F，连接EF，则EF的长度等于 .
（
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●A
●B
●C
点与圆的位置关系 点到圆心的距离d与圆的半径r之间关系
点在圆外
点在圆上
点在圆内
●O
d
r
d﹥r
d=r
d﹤r
5
与圆的位置关系
1.点和圆的位置关系
典型例题
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直线与圆位的置关系 圆心与直线的距离d与圆的半径r的关系 直线名称
直线与圆的交点个数
相离
相切
相交
●
l
d
r
0
切线
d﹤r
割线
2
d﹥r
—
d=r
1
2.直线和圆的位置关系
典型例题
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例4.2019年某企业将地处A，B两地的两个小厂合并成一个大工厂，为了方便A，B两地职工的联系，企业准备在相距2km的A，B两地之间修筑一条笔直公路(即图中的线段AB)，经测量，在A地的北偏东60°方向，B地的西偏北45°方向的C处有一半径为0.7km的公园，问：修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？
解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，
∵∠B＝45°，∴∠BCD＝45°，CD＝BD.
设CD＝x，则BD＝x，
由∠A＝30°知，AC＝2x，AD
∴ x＋x＝2，即x＝ －1，即CD＝ －1≈0.732(km)＞0.7km，
∴以C为圆心，0.7km为半径的圆与AB相离，即计划修筑的这条公路不会穿过公园.
D
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4.已知矩形ABCD的边AB＝15，BC＝20，以点B为圆心作圆，使A，C，D三点至少有一点在⊙B内，且至少有一点在⊙B外，则⊙B的半径r的取值范围是(　　)
A. r≥15 B. 15＜r≤20
C. 15＜r＜25 D. 20≤r＜25
C
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5.如图，⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB于点P，O1O2＝8.若将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O1与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现(　　)
A. 3次 B. 5次 C. 6次 D. 7次
B
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1.切线的判定一般有三种方法：
a.定义法：和圆有唯一的一个公共点
b.距离法： d=r
c.判定定理：过半径的外端且垂直于半径
6
切线的性质与判定
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切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
切线长：
从圆外一点引圆的切线，这个点与切点间的线段的长称为切线长.
2.切线长及切线长定理
典型例题
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例5.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，弦BD=BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E．
（1）求证：∠1=∠BAD；（2）求证：BE是⊙O的切线．
证明：（1）∵BD=BA，∴∠BDA=∠BAD，
∵∠1=∠BDA，∴∠1=∠BAD；
（2）连接BO，∵∠ABC=90°，
又∵∠BAD+∠BCD=180°，∴∠BCO+∠BCD=180°，
∵OB=OC，∴∠BCO=∠CBO，∴∠CBO+∠BCD=180°，∴OB∥DE，
∵BE⊥DE，∴EB⊥OB，
∵OB是⊙O的半径，∴BE是⊙O的切线．
典型例题
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6.如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于A，BC交⊙O于点D，若∠C=70°，则∠AOD的度数为（　　）
A．70° B．35°
C．20° D．40°
解：∵AC是圆O的切线，AB是圆O的直径，
∴AB⊥AC．∴∠CAB=90°．
又∵∠C=70°，∴∠CBA=20°
∴∠DOA=40°．故选：D．
D
典型例题
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7.如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，点M在PB上，且OM∥AP，MN⊥AP，垂足为N.
(1)求证：OM＝AN；(2)若⊙O的半径R＝3，PA＝9，求OM的长.
解：(1)证明：连接OA，则OA⊥AP.∵MN⊥AP
∴MN∥OA.∵OM∥AP，∴四边形ANMO是矩形.∴OM＝AN.
(2)连接OB，则OB⊥BP.∵OA＝MN，OA＝OB，OM∥AP，
∴OB＝MN，∠OMB＝∠NPM.∴Rt△OBM≌Rt△MNP，∴OM＝MP，
设OM＝x，则NP＝9－x.
在Rt△MNP中，有x2＝32＋(9－x)2.∴x＝5即OM＝5.
典型例题
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1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.
3.这个三角形叫做圆的外切三角形.
4.三角形的内心就是三角形的三个内角角平分线的交点.
F
┐
A
C
I
┐
┐
D
E
三角形的内心到三角形的三边的距离相等.
7
三角形的内切圆及内心
典型例题
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8
正多边形和圆
外接圆的圆心
正多边形的中心
外接圆的半径
正多边形的半径
每一条边所
对的圆心角
正多边形的中心角
边心距
正多边形的边心距
计算公式：①正多边形的内角和=
②中心角=
典型例题
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例6.如图，在正五边形ABCDE中，CA与DB相交于点F，若AB＝1，求BF的长度．
解：在正五边形ABCDE中，
∵∠ABC＝∠DCB＝108°，BC＝BA＝CD，
∴∠BAC＝∠BCA＝∠CDB＝∠CBD＝36°，
∴∠ABF＝72°，
∴∠AFB＝∠CBD+∠ACB＝72°，
∴∠AFB＝∠ABF，∠FCB＝∠FBC，
∴AF＝AB＝1，FB＝CF，设FB＝FC＝x，
∵∠BCF＝∠BCA，∠CBF＝∠CAB，
∴△BCF∽△ACB，∴CB2＝CF CA，
∴x（x+1）＝1，
∴x＝ 或 （舍去），
∴BF＝ ．
典型例题
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解：∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAC＝2∠IAC，∠ACB＝2∠ICA，
∴∠B＝180°－(∠BAC＋∠ACB)
＝180°－2(∠IAC＋∠ICA)
＝180°－2(180°－∠AIC)＝68°.
又四边形ABCD内接于⊙O，∴∠CDE＝∠B＝68°.
8.如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为(　　)
A．56° B．62° C．68° D．78°
C
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9.如图，用八根长为4cm的铁丝，首尾相接围成一个正八边形（接点不固定）要将它的四边按图中的方式向内等距离移动acm，同时去掉另外四根长为4cm的铁丝（虚线部分）得到一个正方形，则a的值为（　　）
A．4cm B．2cm C． cm D． cm
C
典型例题
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10.如图，已知正六边形ABCDEF的边长为 ，点G，H，I，J，K，L依次在正六边形的六条边上，且AG＝BH＝CI＝DJ＝EK＝FL，顺次连结G，I，K，和H，J，L，求图中阴影部分的周长C的取值范围.
解：根据对称性可知，△GKI，△HLJ是等边三角形．阴影部分是正六边形，边长为GK的 ．
∵GK的最大值为3，GK的最小值为 ，
∴阴影部分的正六边形的边长的最大值为1，最小值为 ，
∴图中阴影部分的周长C的取值范围为：3 ≤C≤6．
典型例题
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9
弧长及扇形的面积
（1）弧长公式：
（2）扇形面积公式：
典型例题
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例7.如图，四边形OABC为菱形，点B、C在以点O为圆心的圆上, OA=1,∠AOC=120°，∠1=∠2，求扇形OEF的面积.
解：∵四边形OABC为菱形
∴OC=OA=1
∵ ∠AOC=120°，∠1=∠2
∴ ∠FOE=120°
又∵点C在以点O为圆心的圆上
典型例题
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11.如图，在正方形ABCD内有一条折线段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，已知AE=6，EF=8，FC=10，求图中阴影部分的面积.
解：将线段FC平移到直线AE上，此时点F与点E重合，
点C到达点C'的位置.连接AC，如图所示.
根据平移的方法可知，四边形EFCC'是矩形.
∴ AC'=AE+EC'=AE+FC=16，CC'=EF=8.
在Rt△AC'C中，得
∴正方形ABCD外接圆的半径为
∴正方形ABCD的边长为
典型例题
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圆
圆的有关性质
与圆有关的位置关系
与圆有关的计算
垂径定理
添加辅助线
连半径，作弦心距，构造直角三角形
圆周角定理
添加辅助线
作弦，构造直径所对的圆周角
点与圆的位置关系
点在圆环内：r ＜d ＜R
直线与圆的位置的关系
添加辅助
线证切线
有公共点，连半径，证垂直；无公共点，作垂直，证半径；见切点，连半径，得垂直.
正多边形和圆
转化
直角三角形
弧长和扇形
灵活使用公式