2023-2024学年重庆市乌江新高考协作体高一上学期期中学业质量联合调研抽测数学试题（含解析）

2023-2024学年重庆市乌江新高考协作体高一上学期期中学业质量联合调研抽测数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.“”是“”的
．( )
A. 必要条件 B. 充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
2.已知全集，集合，，则集合等于．( )
A. B. C. D.
3.若函数对任意实数都有，那么
( )
A. B.
C. D.
4.函数在区间上的最大值是
( )
A. B. C. D.
5.已知，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.设，与是的子集，若，则称为一个“理想配集”规定与是两个不同的“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”的个数是
( )
A. B. C. D.
7.已知函数，其中，记为的最小值，则当时，的取值范围为
( )
A. B. C. D.
8.设是定义在上的偶函数，在上单调递增若，，，则，，的大小关系是
( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知命题：，为真命题，则实数的取值可以是( )
A. B. C. D.
10.下列各组函数是同一函数的是( )
A. 与；
B. 与；
C. 与；
D. 与．
11.下列命题正确的是( )
A. 若，，则；
B. 若正数、满足，则；
C. 若，则的最大值是；
D. 若，，，则的最小值是；
12.设函数是定义在上的减函数，并且同时满足下列两个条件：对，都有；；则下列结论正确的是
( )
A.
B. 不等式的解集为
C.
D. 使关于的不等式有解的所有正数的集合为
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知集合，，则__．
14.设集合，，则_____．
15.若在上是减函数，则________填“”或“”或“”或“”．
16.对任意的正实数，，，满足，则的最小值为_____________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知命题：，使得是真命题，求实数的取值范围．
18.本小题分
某地居民用电采用阶梯电价，其标准如下：每户每月用电量不超过千瓦时的部分，每千瓦时电费是元；每户每月用电量超过千瓦时，但不超过千瓦时的部分，每千瓦时电费是元；每户每月用电量超过千瓦时的部分，每千瓦时电费是元．某月某户居民交电费元，已知该户居民该月用电量为千瓦时．
求关于的函数关系式；
若该户居民该月交电费元，求该户居民该月的用电量．
19.本小题分
设集合，．
当时，求；
若，求实数的取值范围．
20.本小题分
运货卡车以每小时千米的速度匀速行驶千米，按交通法规限制单位：千米时假设汽油的价格是每升元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时元．
求这次行车总费用关于的表达式；
当为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．
21.本小题分
已知函数是上的奇函数，当时，．
当时，求的解析式；
若，求实数的取值范围．
22.本小题分
设函数且是定义域为的奇函数．
求的值；
若，试判断的单调性不需证明，并求不等式恒成立的的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可得解．
解：当时，，
当时，且，
所以“”是“”的必要不充分条件，
即“”是“”的必要条件．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了集合的化简与运算，属于基础题．
由补集的定义知或，再求．
【解答】
解：，或，．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查二次函数的单调性和对称性，属于简单题．
首先根据题意得到函数 的开口向上，对称轴为，再依次判断选项即可得到答案．
解：因为函数对任意实数都有，
所以函数的对称轴为．
又因为，函数的开口向上，所以．
故选：
4.【答案】
【解析】【分析】根据指数函数的单调性计算可得．
解：函数在区间上单调递增，
所以．
故选：
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题．
直接利用基本不等式求解即可，注意取等条件．
【解答】
解：，
，
当且仅当，即，时等号成立，
故最小值为．
故选：
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是集合中的新定义的题目，考查集合的交集运算．
对子集分，，，四种情况讨论，列出所有符合题意的集合即可求解．
【解答】
解：，与是的子集，，
对子集分情况讨论：
当时，，，，，有种情况；
当时，，，有种情况；
当时，，，有种情况；
当时，，有种情况；
所以共有种，
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】本题考查根据函数单调性求函数最值，考查分类讨论思想方法，属较难题．
根据讨论函数单调性，再根据单调性确定函数最值，最后根据最值确定的取值范围．
解：当时，在上单调递增，
所以，因此满足题意；( )
当时，在上单调递增，在上单调递减
因此当时，在上单调递增，所以
，( )
或或
当时，在上单调递增，在上单调递减，
所以；
综上，的取值范围为，
故选：
8.【答案】
【解析】【分析】此题考查函数奇偶性和单调性的综合应用，根据单调性和奇偶性比较函数值的大小，关键在于准确得出对数的大小关系．
根据对数性质比较大小，结合函数单调性和奇偶性即可得解．
解：因为，，且函数为偶函数，
所以，，．
易知，
且函数在增函数，所以．
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】
根据一元二次方程根与判别式之间的关系进行求解．
本题主要考查存在量词命题的应用，利用判别式进行求解是解决本题的关键．
【解答】
解：若：，为真命题，
则判别式，
即，
解得，
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】根据同一函数的定义，结合函数的定义域与对应法则，逐项判定，即可求解．
解：对于中，函数与的对应法则不同，所以不是同一函数；
对于中，函数与的对应法则不同，所以不是同一函数；
对于中，函数与的定义域和对应法则都相同，所以是同一函数；
对于中，函数与的定义域和对应法则都相同，所以是同一函数．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】选项用作差法即可，，，选项都是利用基本不等式判断．
解：对于选项A，，
因为，，所以，
，即，故，所以 A错误；
对于选项B，因为，所以，

当且仅当，即时，等号成立，故 B正确；
对于选项C，因为，，当且仅当即时，等号成立，所以，故 C正确；
对于选项D，因为，所以，
所以，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值是，故D错误．
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】问题解决的关键在于通过赋值法求函数值，利用已知关系及函数单调性化简不等式．
利用赋值法判断选项A，，根据函数的单调性化简不等式，求其解，即可判断，根据函数的单调性化简不等式，根据不等式有解列不等式求的范围判断．
解：因为对，都有，
令，即，则，故选项 A正确；
令，则，又，所以，故选项 C正确；
令，则，所以，
所以，，可化为，
故，所以
因为函数在上单调递减，所以，且，
解得：，所以的取值范围为，故选项 B错误；
不等式可化为，
故，所以且，，
得，此不等式有解，等价于，
在的范围内，由基本不等式，当且仅当，即时等号成立，，，故即为所求范围，故选项 D正确，
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】直接由集合的交集运算得出答案．
解：由集合的交集运算直接可得：，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】本题考查集合的交集运算，属于基础题
先将集合中取值范围求出，再根据交集定义求解即可
解：集合中应满足：，即，集合中应满足：，则
故答案为
15.【答案】
【解析】【分析】利用函数的单调性比较抽象函数的大小是除“作差法”、“作商法”外比较大小问题中又一常用方法之一．
由减函数的定义可得．
解：在上是减函数，
对任意，若均有．
又，
．
16.【答案】
【解析】【分析】解答本题的关键在于，利用条件将变形成，再整理成，再利用均值不等式即可求出结果．
根据条件，得到，利用基本不等式得到，再通过构造，二次运用基本不等式即可求出结果．
解：因为
，当且仅当时取等号．
故答案为：．
17.【答案】解：若命题：，使得是真命题，则只需当时，成立，即，得．
【解析】只需当时，成立，然后求解的取值范围．
本题根据全称量词命题的真假求解参数的取值范围，考查不等式的恒成立问题，属于简单题．
18.【答案】解：由题意得
当时，，
当时，，
当时，．
因为，所以，
则，解得．
即该户居民该月的用电量为千瓦时．

【解析】【分析】根据题意求得关于的函数关系式．
根据关于的函数关系式，求得该户居民该月的用电量．
19.【答案】解：时，，，
则；
若，则，
时，可得 解得；
时，可得，解得．
综上所述，．
即实数的取值范围：．
【解析】本题考查集合的交集运算，考查含参数的交集运算问题，以及分类讨论思想方法，考查运算能力，属于中档题．
求得，再由交集的定义即可得到所求集合；
若，则，讨论是否为空集，可得的不等式组，解不等式组即可得到所求范围．
20.【答案】解：设所用时间为，
则由题意知，．
所以这次行车总费用关于的表达式是，；
，
当且仅当，即时等号成立．
故当千米时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为元

【解析】本题考查函数模型及其应用，由基本不等式求最值，属于中档题．
先确定所用时间，再乘以每小时耗油与每小时工资的和得到总费用表达式；
利用基本不等式求最值即得结果．
21.【答案】解：根据题意，当时，，
则，
又由是上的奇函数，
则，
故；
当时，，
则在上为增函数，
又由是上的奇函数，
则在上也为增函数，
由于函数在处连续，
故在上为增函数，
由可得，
，解得．
因此，实数的取值范围是．
【解析】本题重点考查函数的奇偶性和单调性，属于中档题．
根据题意，当时，，求出的表达式，结合函数的奇偶性的解析式，即可得答案；
根据题意，分析函数在上的单调性，则原不等式等价于，进而可得，解可得的取值范围，即可得答案．
22.【答案】解：是定义域为的奇函数．
，且．
又，且而在上单调递减，在上单调递增，
故判断在上单调递减．
不等式化为，所以即恒成立，
又，所以，而，所以，解得．

【解析】【分析】本题主要考查奇函数的性质及其应用，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于较难题．
利用奇函数的性质，即可求得实数的值为．
由题意可得在上单调递减结合函数的单调性和函数的奇偶性可得的取值范围．
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