2023-2024学年福建省莆田市五校联盟高一上学期期中数学试题（含解析）

2023-2024学年福建省莆田市五校联盟高一上学期期中数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.下列图象可以表示以为定义域，以为值域的函数的是( )
A. B.
C. D.
2.命题“，”的否定是
( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知：正整数能被整除，，则是的
( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象．数学黑洞：无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样．目前已经发现的数字黑洞有“黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等．定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知所有一位正整数的自恋数组成集合，集合，则的子集个数为
( )
A. B. C. D.
5.已知函数，若，则实数的值是
( )
A. 或 B. 或 C. D. 或或
6.函数的图象是( )
A. B.
C. D.
7.一家商店使用一架两臂不等长的天平秤黄金，一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平的左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡最后将两次秤得的黄金交给顾客，你认为顾客购得的黄金是
( )
A. 大于 B. 大于等于 C. 小于 D. 小于等于
8.函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.若，则下列结论正确的是
( )
A. B. C. D.
10.已知函数，关于函数的结论正确的是
( )
A. 的定义域为 B. 的值域为
C. 若，则的值是 D. 的解集为
11.下列命题中，为假命题的是( )
A. ，都有
B. 函数的最小值为
C. 对任意非零实数，，都有
D. ，使得
12.定义在上的函数若满足：，，都有对任意，都有，则称函数为“轴对称函数”，其中称为函数的对称轴．已知函数是以为对称轴的“轴对称函数”，则使得不等式成立的的取值可能是
( )
A. B. C. D.
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.函数的定义域是 ．
14.函数的零点为 ．
15.已知一次函数满足，则的解析式为_________．
16.已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是_____________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知集合，集合．
求；
设集合，若，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数．
在同一坐标系中画出函数，的图象；
定义：对，表示与中的较小者，记为，分别用函数图象法和解析法表示函数，并写出的单调区间和值域不需要证明．
19.本小题分
已知不等式的解集为或．
求的值；
为何值时，的解集为．
20.本小题分
已知函数，且，．
求实数的值；
若函数，求的最小值并指出此时的取值．
21.本小题分
通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲授开始时，学生的兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散分析结果和实验表明：讲课开始时，学生注意力集中度的值的值越大，表示学生的注意力越集中与的关系如下：
讲课开始时和讲课开始时比较，何时学生的注意力更集中？
讲课开始多少分钟时，学生的注意力最集中，能持续多久？
一道数学难题，需要讲解，并且要求学生的注意力集中度至少达到，那么老师能否在学生达到所需状态下讲授完这道题目？请说明理由．
22.本小题分
已知函数是定义在上的奇函数，且．
求实数，的值；
判断在上的单调性，并用定义证明；
设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】本题考查了函数图像的识别，意在考查学生对于函数图像的理解．
依次判断每个选项：值域不满足；定义域不满足；满足；不是函数，得到答案．
解：根据图像观察知：值域不满足；定义域不满足；满足；不是函数
故选：
2.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查含有全称量词的命题的否定，属于基础题．
根据全称量词命题的否定为存在量词命题可得答案．
【解答】
解：由于全称量词命题的否定为存在量词命题，
所以命题“，”的否定为：“，”．
故选D．
3.【答案】
【解析】【分析】分析出命题表示正整数能被整除，根据能被整除的正整数一定能被整除，反之不成立，即可得到答案．
解：由题知在命题表示正整数能被整除，
而能被整除的正整数一定能被整除，故前者能够推出后者，
而能被整除的正整数不一定能被整除，如，故后者无法推出前者，
故是的充分不必要条件．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查对新定义的理解能力，属于基础题．
根据题意可得所有的一位正整数都是自恋数，从而可解．
【解答】
解：根据题意，根据“自恋数”的定义可知，所有的一位正整数都是自恋数，
即，
又，
则，该集合中的元素有个，
则的子集个数为，故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】本题考查分段函数的求值问题，关键是要对进行分类讨论．
根据题意，需要对进行分类讨论，若，则；若，则，进而求得结果．
解：(ⅰ)若，则，
，舍去；
(ⅱ)若，则
．
综上，或．
故选B．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数图象的识别，属于基础题．
方法一，由函数图象过定点，代入选项验证即可；方法二，将函数化为，利用函数图象的变换可得．
【解答】
解：方法一：代入选项验证即可，时，，故此函数的图像过点，
结合图像可知项符合．
方法二：，此函数图像由函数的图像向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到，
结合选项可知项符合．
故选B．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查基本不等式的实际应用，属于中档题．
【解答】
解：由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为，右臂长为，则，
再设先称得黄金为，后称得黄金为，则，，
，，
，
当且仅当，即时等号成立，但，等号不成立，即，
因此，顾客购得的黄金大于．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的单调性，函数的奇偶性，属于基础题．
由题干中函数的单调性及奇偶性，可将不等式化为，即可解得答案．
【解答】解：由函数为奇函数，
得：若，则，
则，即，
又函数在上单调递减，
，
解得：，
的取值范围是．
故选D．
9.【答案】
【解析】【分析】由不等式性质判断、、，特殊值判断即可．
解：由，则，即，，故 A、、D正确；
当时，故 B错误．
故选：
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查分段函数的定义域、值域的求法，考查不等式的解法，是中档题．
求解分段函数的定义域及值域判断与；由函数值求解值判断；求解函数不等式判断．
【解答】解： 函数的定义域是，故A错误；
当时，，值域为，当时，，值域为，故的值域为，故B正确；
当时，令，无解，当时，令，得到，故C正确；
当时，令，解得，当时，令，
解得，故的解集为，故D错误．
故选BC．
11.【答案】
【解析】【分析】取特值判断选项A，；利用对勾函数性质求出最小值判断；利用存在量词命题真假判断方法判断作答．
解：对于，当时，不等式不成立，是假命题；
对于，原函数化为，令，显然函数在上单调递增，
因此当，即时，，是假命题；
对于，当实数，异号时，，是假命题；
对于，当时，，即，使得，是真命题．
故选：
12.【答案】
【解析】【分析】根据已知条件求得为偶函数，结合其单调性，求解不等式即可求得参数范围．
解：函数是以为对称轴的“轴对称函数”，
则以为对称轴的函数，即函数是偶函数，
又在上是增函数，
不等式，故，解得，
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查求函数的定义域，属于基础题．
结合题意求解即可．
【解答】
解：依题意解得．
14.【答案】和
【解析】【分析】
本题考查二次函数零点的求解，属于基础题．
由题意，根据零点的定义，列方程，可得答案．
【解答】
解：由题意，令，
即，
解得或，
故函数的零点为和．
故答案为和．
15.【答案】或
【解析】【分析】本题考查已知函数形式求函数解析式，属于基础题
设一次函数，代入中，利用待定系数法求得，即可得到解析式
解：设，
则，
所以
解得或
所以或
故答案为：或
16.【答案】
【解析】【分析】将与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，即可得出实数的取值范围．
解：因为，，且，
所以，，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为．
因为恒成立，所以，．
故答案为：．
17.【答案】解：
由得或，所以或，
由得，解得，所以，
，所以；
因为，所以，
所以或，解得或．

【解析】【分析】求函数定义域得集合，解不等式得集合，然后由集合的运算法则计算；
由得，然后由集合的包含关系求解．
18.【答案】解：
如图所示：
函数的图像如图所示：
解析式为
函数单调增区间为和；
单调减区间为和，值域为．

【解析】【分析】直接作图即可；
根据的定义作出图象，结合图象求出的解析式，即可求出的单调区间和值域．
19.【答案】解：
不等式的解集为或，
所以和是方程的实数根，
方程可化为，
由根与系数的关系知，
解得．
由知：不等式为，
令，解得，
所以当时，不等式的解集为．

【解析】【分析】由一元二次不等式解集的端点就是一元二次方程的根，可以列出关于的方程组，求解即可．
当时，若不等式的解集为，则需满足，然后解不等式即可．
20.【答案】解：
因为，且，，
所以，解得；
由可得，
所以
因为，
所以，当且仅当，即时取得等号，
所以的最小值为，此时．

【解析】【分析】根据条件建立方程组求解即可；
的解析式可变形为，然后利用基本不等式求解即可．
21.【答案】解：
由题意得，，
所以讲课开始后学生注意力更集中．
当时，，
在时单调递增，最大值为．
当时，；当时，函数为减函数，且．
因此开讲分钟后，学生的接受能力最强为，能维持分钟．
当时，令，解得或舍去；
当时，令，解得，
可得学生一直达到所需接受能力的状态的时间，
因此老师不能及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题．

【解析】【分析】由题意得，，即可得到答案；
分析函数的单调性，根据函数单调性求函数最值，即可求出；
分别求解当和时，不等式的解集，求出满足条件的时长，即可得到结论．
22.【答案】解：因为函数是定义在上的奇函数，所以；
又
所以，经检验，该函数为奇函数；
在上单调递增，
证明如下：任取，
，其中，，
所以，即，故在上单调递增；
由于对任意的，总存在，使得成立，
所以的值域为的值域的子集
而由知：，
当时，在上递增，，
所以，即，
当时，在上递减，，
所以，即．
综上所述，．
【解析】本题考查函数恒成立问题，着重考查函数基本性质的综合应用，涉及分类讨论思想与转化与化归思想的应用，考查逻辑推理与运算求解能力，属于较难题．
是定义在上的奇函数，由可求得，注意检验；
在上单调递增，用定义证明，任取，作差后化积，分析符号，可证得结论成立；
依题意知，的值域为的值域的子集，由知：，分与讨论，分析可求得实数的取值范围．
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