2023-2024学年湖南省岳阳市岳汨联考高一上学期11月期中联考数学试题（含解析）

2023-2024学年湖南省岳阳市岳汨联考高一上学期11月期中联考数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是
( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.下列命题为真命题的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
4.已知函数，则( )
A. B. C. D.
5.已知，则“”是“关于的一元二次方程没有实数根”的
( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知函数，则函数单调递增区间为
( )
A. B. C. D.
7.已知奇函数在上单调递增，且正数，满足，则的最小值为
( )
A. B. C. D.
8.设定义在上的奇函数满足，对任意、，且，都有，且，则不等式的解集为
( )
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.设，，则下列结论正确的是
( )
A. B. C. D.
10.下列命题中正确的是( )
A. “”是“”的充分不必要条件
B. 方程有一正一负根充要条件是“”
C. “幂函数为反比例函数”的充要条件是“”
D. “函数在区间上不单调”的一个必要不充分条件是“”
11.已知，，，则下列结论正确的是
( )
A.
B. 若，则的最小值是
C. 的最小值为
D. 若，则的最大值为
12.已知函数，若满足，则下列结论正确的是 ( )
A. 若方程有三个不同的实根，则的取值范围为
B. 若方程有一个实根，则的取值范围为
C. 若，则( )的取值范围为
D. 若，则的取值范围为( )
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.函数，且的图象过定点，则点的坐标为_____________．
14.命题“”为真命题，则的取值范围为______．
15.已知关于的不等式的解集为或，不等式的解集为______．
16.已知定义域为的函数在上单调递减，且是偶函数，则，，的大小关系是______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知集合，集合．
若，求和；
若，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知指数函数在定义域内单调递减，二次函数的图象顶点的横坐标．
求的取值范围；
比较与的大小．
19.本小题分
已知函数是奇函数，且．
求实数和的值；
判断函数在上的单调性，并加以证明．
20.本小题分
已知函数．
当时，求关于的不等式的解集；
若对，不等式恒成立，求实数的取值范围．
21.本小题分
某公司生产某种电子仪器的固定成本为元，每生产一台仪器需增加投入元，已知总收入单位：元关于月产量单位：台满足函数：
将利润单位：元表示为月产量的函数
当月产量为何值时，公司所获利润最大最大利润为多少元总收入总成本利润
22.本小题分
已知函数，，，且函数有三个零点．
Ⅰ求的取值范围
Ⅱ若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围。
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查集合的并集运算，属于基础题．
根据并集定义进行解答即可．
【解答】
解：因为，，
则
故选D．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题．
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
【解答】
解：命题为存在量词命题，
则命题“，”的否定，．
故答案选：．
3.【答案】
【解析】【分析】根据不等式性质判断各命题的真假即可．
解：：若 时， 不成立，假命题；
：由不等式性质知 ，则 ，真命题；
：若 ，则 ，假命题；
：若 ，则 ，假命题；
故选：
4.【答案】
【解析】【分析】根据函数的解析式的求法和根式的运算求解．
解： ，所以 ，
所以 ，
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了必要条件与充分条件的概念，属于基础题．
求出“关于的一元二次方程没有实数根”的充要条件，根据必要条件与充分条件的概念即可判断．
【解答】
解：“关于的一元二次方程没有实数根”的充要条件为
，解得，
因为，
所以”是“关于的一元二次方程没有实数根”的必要不充分条件．
故选B．
6.【答案】
【解析】【分析】利用指数型复合函数的单调性求解．
解：令 在 单调递增， 单调递减，
所以函数 在 单调递减， 单调递增，
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】根据奇偶性以及单调性可得 ，即可根据不等式求解．
解：由于奇函数 在上单调递增，且正数，满足，
所以 ，
由于 ，所以 ，
当且仅当 ，即 等号成立，
故选：
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查抽象函数的奇偶性、单调性，属于中档题．
构造函数，可知函数为奇函数，并推导出函数在上为减函数，由此可知函数在上也为减函数，且有，然后分和两种情况解不等式，即可得解．
【解答】
解：构造函数，对任意、，且，不妨设，
由可得，即，
所以，，所以，函数在上单调递减，
函数的定义域为，由于函数为奇函数，
则，
所以，函数为奇函数，
所以，函数在上也为减函数．
，
，从而．
当时，由可得，即，解得；
当时，由可得，即，解得．
综上所述，不等式的解集为．
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】根据对数的运算求解．
解：对，， A正确；
对，， B正确；
对，， C正确；
对，， D错误；
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】根据集合间的关系可判断；由一元二次方程根的分布结合韦达定理判断；根据幂函数的性质及反比例函数的定义即可判断；根据二次函数的单调性即可判断．
解：对于，由可得，故充分性成立，
由可得，故必要性成立，所以“”是“”的充要条件，故 A错误；
对于，方程的有一正一负根，设为，
则，解得，满足充分性，
当时，，则方程有一正一负根，满足必要性，
所以方程有一正一负根充要条件是“”，故 B正确；
对于，若幂函数为反比例函数，则，解得，满足充分性，
当时，函数为幂函数，也为反比例函数，满足必要性，
所以“幂函数为反比例函数”的充要条件是“”，故 C正确；
对于：若函数在区间上不单调，则，
所以“函数在区间上不单调”的一个必要不充分条件是“”，故 D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】根据不等式以及等号成立的条件结合选项逐一求解．
解：对于选项A：由，得，则，当且仅当，即时等号成立，所以， A正确；
对于选项C，当且仅当，即时等号成立，又，所以不能等于，选项C错误；
对于选项B：由，得，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是，选项B正确；
对于选项D：根据题意可得，，又，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为，选项D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】作出函数的图象，观察直线与的相交情况即可判断；记，观察图象求出的范围，结合对称性化简，利用二次函数性质即可求和的范围，判断．( )
解：作出函数的图象如图，
由图可知，当或时，直线与有三个交点，
即方程有三个不同的实根，故 A正确；
当或时，直线与有一个交点，
即方程有一个实根，故 B错误；
记，则，( )
由对称性可知，，所以，
令得，结合图象可知，，，
所以，
由二次函数性质可得， C正确；
由上可知，，
由二次函数可得，， D正确．
故选：
13.【答案】
【解析】【分析】根据指数函数的性质确定函数所过的定点．
解：由指数函数性质知：当时，，故定点．
故答案为：
14.【答案】
【解析】【分析】利用基本不等式求解．
解：由题，命题“”为真命题，即，
因为，所以
所以，
当且仅当，即取得等号，
所以，所以，
故答案为：．
15.【答案】
【解析】【分析】根据不等式解集知，利用韦达定理得，代入目标不等式求解即可．
解：因为不等式的解集为或，
所以，且和为方程的两根，
故，得，
又，所以，解得，
所以不等式的解集为．
故答案为：
16.【答案】
【解析】【分析】由题干分析函数是关于对称的函数，且在上单调递减，上单调递增再通过距离对称轴的远近来比较函数值的大小即可．
解：由于是偶函数，则是关于对称的函数，
又因为是定义域为，且在上单调递减，
所以函数的上单调递增则根据增减性的特点，分析得到距离对称轴越近，函数值越大由于
所以．
故答案为：
17.【答案】解：当时，集合，
集合，
，，
，，
当时，则，解得；
当时，则，解得，
综上所述，或
即实数的取值范围是

【解析】【分析】解一元二次不等式化简集合，再由交并运算可得；
由，得，分类讨论是否为，由包含关系建立不等式组求解可得．
18.【答案】解：由题在定义域上单调递减，，
又因为二次函数顶点的横坐标，
，，
的取值范围为．
由题
又，同号且，所以
当时，
当时，．

【解析】【分析】根据指数函数的单调性以及二次函数的性质、不等式的性质求解；
作差法比较大小．
19.【答案】解：是奇函数，．
即，
比较得，．
又，，解得，
函数在上为增函数．
证明如下：由知，
设，
则，
，，，
，，
即函数在上为增函数．

【解析】本题主要考查了函数奇偶性的应用，函数单调性的定义法证明，属于中档题．
根据奇函数有可得，再由可得；
根据函数单调性定义法证明即可．
20.【答案】解：当时，即，
即，令，则，
解得，故，
所以关于的不等式的解集为；
对，不等式恒成立，
即恒成立，
令，则恒成立，
需满足，即，
而函数是单调递增函数，且时，，
故由可知：，
即求实数的取值范围为．

【解析】【分析】利用换元法，解一元二次不等式，可得答案
换元，将不等式变为一元二次不等式在给定区间上恒成立的问题，列出相应的不等式组，求得答案．
21.【答案】解：，
当时，，
当时，
当时，，
，月产量为台时，公司所获利润最大，最大利润为元．
【解析】本题考查的是函数的实际应用以及分段函数，属于基础题．
由题意月利润生产仪器增加投入固定成本，因为是分段函数，故分别计算，时的解析式；
因为利润函数是分段函数，所以要分别在，时，计算的最大值，通过比较得出在其定义域上的最大值．
22.【答案】解：Ⅰ设，
有三个零点，即与有三个不同的交点，如图所示，
则，即．
Ⅱ 对任意的，总存在，使得成立，
，
，
函数有三个零点，由，得，
在上递增，
，
若，即，则
，，故
若，即，则，
恒成立，．
若，即，则，
，
，，
所以，综上可得：．
【解析】本题考查方程的零点及不等式恒成立问题，考查函数的单调性及最值，属于较难题．
Ⅰ设，有三个零点，可得与有三个不同的交点，结合图象可求得的取值范围
Ⅱ由条件可得，结合函数、的单调性求最值，即可得关于的不等式，求解即可．
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