2023-2024学年河南省洛阳市高二上学期期中联考数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年河南省洛阳市高二上学期期中联考数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 512.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-12 00:10:46 | ||
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文档简介
2023-2024学年河南省洛阳市高二上学期期中联考数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.直线的一个方向向量是
( )
A. B. C. D.
2.在正方体中，点为上底面的中心，若，则，的值是
A. ， B. ， C. ， D. ，
3.“”是“直线与直线垂直”成立的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.如图，一座圆拱桥，当拱顶离水面米时，水面宽米，则当水面下降米后，水面宽为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
5.若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为
( )
A. B. C. D.
6.已知直线，则的倾斜角的取值范围是
( )
A. B.
C. D.
7.已知直线分别与轴交于两点，若直线上存在一点，使最小，则点的坐标为
( )
A. B. C. D.
8.如图，二面角的棱上有两点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，则二面角的大小为
( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.在正方体中，分别是侧面，底面的中心，则下列结论正确的是
( )
A. B. 平面
C. 异面直线与所成的角为 D. 直线与平面所成的角为
10.直线与曲线恰有一个交点，则实数可以为
( )
A. B. C. D.
11.已知点，、为圆上的动点，且，若圆上存在点，使得，则的值可以是
( )
A. B. C. D.
12.已知圆心为的圆与圆心为的圆相交于两点，则下列说法正确的是
( )
A. 直线 的 方程为
B. 四个点在同一个圆上
C. 四边形的面积为．
D. 圆与圆围成的公共部分的面积为
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.若圆关于直线对称，则__________．
14.直线在轴和轴上的截距相等，则的值是 ．
15.如图，已知平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱长为，且，则__．
16.如图，四边形和均为正方形，且，平面平面分别为 的 中点，为线段上的动点，则异面直线与所成角的余弦值最大时，__________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知直线和直线交于点，求满足下列条件的直线的方程．
直线经过点，点；
，且与两坐标轴围成的三角形的面积为．
18.本小题分
在棱长为的正四面体中，．
设用，，表示；
若求．
19.本小题分
已知的三个顶点分别是，圆是的外接圆．
求圆的方程；
求过点且与圆相切的直线的方程．
20.本小题分
在四棱柱中，底面，底面为平行四边形，．
证明：平面；
求与平面所成角的正弦值．
21.本小题分
已知动点与两定点的距离之比为
求动点的轨迹的方程；
过点作两条直线分别与轨迹相交于两点，若直线与的斜率之积为，试问线段的中点是否在定直线上，若在定直线上，请求出直线的方程；若不在定直线上，请说明理由．
22.本小题分
在正方体中，点分别为底面内一动点，为的中点．
如图，若为的中点，求平面与平面的夹角的余弦值；
如图，若平面，求证：平面．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】根据题意，由直线的 方向向量的定义，即可得到结果．
解：因为直线 的斜率为 ，
对比选项检验可知：该直线的一个方向向量是 ．
故选：
2.【答案】
【解析】【分析】空间向量的分解．
解：根据题意，结合正方体的性质，可知 ，所以有 ， ，故选A．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了充分条件、必要条件、充要条件的判断和两直线垂直的充要条件，属于基础题．
由“直线与直线垂直”和两直线垂直的充要条件，可求得：，即可得“”是“直线与直线垂直”成立的充要条件．
【解答】
解：当“直线与直线垂直时，
由两直线垂直的充要条件得：，
得：．
即“”“直线与直线垂直”．
即“”是“直线与直线垂直”成立的充要条件．
故选C．
4.【答案】
【解析】【分析】根据题意，建立直角坐标系，设圆的半径为 ，求得圆的方程为 ，结合圆的方程，即可求解．
解：以圆拱桥的顶点为坐标原点，以过拱顶顶点的竖直线为 轴，建立直角坐标系，
设圆心为 ，水面所在弦的端点为 ，则由已知可得 ，
再设圆的半径为 ，则圆心 ，即圆的方程为 ，
将点 代入圆的方程，可得 ，即圆的方程为 ，
当水面下降米后，可得 ，
代入圆的方程，可得 ，所以当水面下降米后，水面宽度为 米．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】设圆心坐标，由题意表示出圆的方程，将点 代入方程求出，利用点到直线的距离公式计算即可求解．
解：由题意知圆心在第一象限，设圆心为 ，则圆的半径为 ，
圆的方程为 ，
由圆过点 ，得 ，解得 或，
当 时，圆心为 ，到直线 的距离为 ；
当 时，圆心为 ，到直线 的距离为 ，
所以圆心到直线 的距离为 ．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】当 时，可得倾斜角为 ，当 时，由直线方程可得斜率 ，然后由余弦函数和正切函数的性质分析求解．
解：当 时，方程变为 ，其斜率不存在，倾斜角为 ；
当 时，由直线方程可得斜率 ，
因为 且 ，
则 ，即 ，
又因为 ， ；
综上所述：倾斜角的范围是 ．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】作点 关于直线 对称的点 ，连接 交直线 于点 ，求出 坐标即可．
解：
由题直线 分别与 轴交于 两点，
则 ，
设点 关于直线 对称的点为 ，
则 ，所以 ，
则直线 ，
联立 ，
所以 ．
故选：
8.【答案】
【解析】【分析】设 ，则二面角 的大小为 ，根据 ，展开计算可得 ，即可求解．
解：设 ，则二面角 的大小为 ，
由题意， ，则 ，
所以 ，
即 ，得 ，所以 ，
即二面角 的大小为 ．
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】根据空间线线、线面的位置关系和所成角大小即可逐项判断．
解：
如图，在 中， 为中位线，所以 ，
对于，因为在正方体中 平面 ，所以 ，
平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，所以 ，A正确；
对于， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，B正确；
对于，因为 ，所以直线 与 所成角为异面直线 与 所成的角，即 ，
因为 为正三角形，所以 ，故C正确；
对于，因为 ，所以直线 与平面 所成的角为直线 与平面 所成的角，
又因为 平面 ，
所以直线 与平面 所成的角为 ，
易得 ，故D错误；
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】画出图像，结合图像确定一个公共点时的位置，求出相应的 的值，数形结合可得答案．
解：
曲线 表示圆心在原点，半径为 的圆的上半部分，
如图所示，由图可知，当直线 在 和 之间移动或与半圆相切，即处于 的位置时，直线与圆恰好有一个公共点，
当直线 在 时，经过点 ，所以 ，
当直线 在 时，经过点 ，所以 ，
当直线与半圆相切时， ，
所以 ，或者 舍，
故 或者 ．
故选：
11.【答案】
【解析】【分析】解本题的关键在于求出点 的轨迹方程，利用点与圆的位置关系求出 的取值范围，即可转化为 的取值范围即可．
取 中点为 ，连接 ，得到 ，由 得到 ，再由 、 为圆 上的两动点，且 ，得到 ，设 ，求出点 的轨迹，再由点与圆位置关系，求出 的取值范围，即可求出结果．
解：取 中点为 ，连接 ，
则 ，
则 ，
又圆 上存在点 ，使得 ，
所以 ，
因此 ，即 ，
因为 、 为圆 上的两动点，且 ，
所以 ，
设 ，则 ，
即 即为动点 的轨迹方程，
所以 表示圆 上的点 与定点 之间的距离，
又因为 ，则点 在圆 外，
因此 ，即 ．
当且仅当 为线段 与圆 的 交点时， 取最小值 ，
当且仅当 为射线 与圆 的交点时， 取最大值 ，
即 ．
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】本题选项D解题关键是分别求出两圆的弓形面积，相加可得答案．
直接两圆方程作差判断；计算 可判断；求出四边形 的面积判断；求出圆 与圆 围成的公共部分的面积判断．
解：对于：将圆 与圆 的方程作差可得
，即 ，A正确；
对于：圆心为 的圆 ，即 ，圆心 ，半径 ，
圆心为 的圆 ，圆心 ，半径 ，
则 ，
所以
所以 以及 均为直角三角形，故 四个点在同一个圆上，B正确；
对于：四边形 的面积为 ，C错误；
对于：在 中， ，所以 ，
即 ，
在圆 中，扇形 的面积 ，
，
在圆 中，扇形 的面积 ，
，
所以圆 与圆 围成的公共部分的面积为 ，D正确．
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】根据题意，得到圆心在直线 上，代入即可求解．
解：由圆 关于直线 对称，
即圆心 在直线 ，可得 ，解得 ．
故答案为： ．
14.【答案】或
【解析】【分析】
本题考查直线的截距，属于基础题．
当时，求出直线在轴，轴的截距，相等即可得答案．
【解答】
解：易知，令，则
令，则．
由，可得或．
故答案为或．
15.【答案】
【解析】【分析】由空间向量的加法法则有 ，然后平方，转化为数量积运算可得．
解：平行六面体 中， ，
．
故答案为： ．
16.【答案】
【解析】【分析】根据题意建立空间直角坐标系，求出异面直线 与 所成角的余弦值最大时点 位置，进而求出 大小．
解：
由题可以 为原点，建立空间直角坐标系如图所示：
则 ，设 ，
则 ，
设异面直线 与 所成角为 ，
则 ，
令 ，
则 ，
当 时， ，
当 时， ，
令 ，则 ，
因为 ，
当 时， 有最小值 ，
此时 有最大值 ，
由 得 ， ，
则异面直线 与 所成角的 余弦值最大时 ，
即 ， ，
所以 ．
故答案为：
17.【答案】解：因为点 在直线 和直线 上，
所以 ，解得 ．
故所求直线 经过点 ，点 ，
其斜率为 ，点斜式方程为 ，
即所求直线 的方程为 ．
由知，直线 的方程为 ，而 ，
故 的直线方程可设为 ，
令 ，可得 ，令 ，可得 ，
则直线 与两坐标轴的交点分别为
因为直线 与两坐标轴围成的三角形的面积为，所以 ，解得 ，
故所求直线 的方程为 或 ．
【解析】【分析】根据两直线交点坐标求出 ，再由 两点坐标写出直线方程；
利用两直线平行设出直线方程，再由三角形面积求出参数即得．
18.【答案】解：因为 ，所以 ，
则 ，
所以 ．
解：因为 ，所以 ，
在棱长为的正四面体 中， ，
所以 ，
解得 ．
【解析】【分析】根据向量的线性运算法则，结合题意，求得 ，再由 ，即可求解；
由 ，得到 ，结合向量的数量积列出方程，即可求解．
19.【答案】解：设圆 的方程为 ，
因为 在圆 上，所以它们的坐标都满足圆 的方程，
可得的 ，解得 ，
所以圆 的方程为 ．
由知圆 的标准方程为 ，
故圆心 的坐标为 ，半径为 ，
当直线斜率不存在时，直线方程为 ，圆心到直线的距离 ，
此时直线和圆相切，符合题意；
当直线斜率存在时，设切线方程为 ，即 ，
则圆心到直线的距离 ，解得 ，
此时切线方程为 ，
综上，过点 且与圆 相切的直线方程为 或 ．
【解析】【分析】设圆 的方程为 ，将 代入圆方程，得出方程组，求得 的值，即可求解；
由知圆 的标准方程为 ，分直线斜率不存在和斜率存在两种情况讨论，结合直线与圆的位置关系，列出方程，即可求解．
20.【答案】证明：平行四边形 中，
，
则 ．
在 中， ．
由余弦定理知 ，
则 ，即 ．
又因为 底面 底面 ，所以 ，
又 平面 ，
所以 平面 ．
解：
因为 底面 底面 ，
所以 ，
由知 ，
以 为原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，
建立如图所示空间直角坐标系 ．
则 ，
，
因此 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，所以 ，
所以 ，取 ，则 ，
于是平面 的一个法向量为 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，
则 ，
即 与平面 所成的角的正弦值为 ．
【解析】【分析】首先求解三角形，证明 ，再根据线面垂直的性质定理和判断定理，即可证明；
根据的结合，以点 为原点，建立空间直角坐标系，求平面 的法向量，再根据线面角的向量公式，即可求解．
21.【答案】解：设点 的坐标为 ，由题意知 ，
即 ，
平方整理得 ，
即动点 的轨迹 的方程为 ．
设直线 的方程为： ，代入 ，
整理得 ，
因为点 都在圆 上，
所以 ，即 ，
此时 ．
因为直线 与 的斜率之积为，
同理可得 ，
．
设 的中点为 ，此时 ，则 ．
故线段 的中点在定直线 上．
【解析】【分析】设点 的坐标为 ，由题意知 ，代入点的坐标整理计算即可；
设直线 的方程为： ，与圆的方程联立，求出点 坐标，同理求出点 的坐标，进而可求出中点坐标得到答案．
22.【答案】解：
以 为原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系 ．
设正方体棱长为 ，则 ，
因为 为 的中点，所以 ．
则 ．
设平面 的法向量为 ，则 ，
所以 ，
所以 ，取 ，则 ．
于是平面 的一个法向量为 ．
因为 ，则 平面 ，
所以平面 的一个法向量为 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ．
设 ，由 知，
，解得 ．
即 ，此时 ．
则 ．
由 知， 是共面向量，
又 平面 ，则 平面 ．
【解析】【分析】建立空间直角坐标系，再求出两个平面的法向量，进而求出平面 与平面 的夹角的余弦值．
根据 求出点 所在直线，求得 是共面向量，又 平面 ，所以得证．
第1页，共18页
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.直线的一个方向向量是
( )
A. B. C. D.
2.在正方体中，点为上底面的中心，若，则，的值是
A. ， B. ， C. ， D. ，
3.“”是“直线与直线垂直”成立的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.如图，一座圆拱桥，当拱顶离水面米时，水面宽米，则当水面下降米后，水面宽为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
5.若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为
( )
A. B. C. D.
6.已知直线，则的倾斜角的取值范围是
( )
A. B.
C. D.
7.已知直线分别与轴交于两点，若直线上存在一点，使最小，则点的坐标为
( )
A. B. C. D.
8.如图，二面角的棱上有两点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，则二面角的大小为
( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.在正方体中，分别是侧面，底面的中心，则下列结论正确的是
( )
A. B. 平面
C. 异面直线与所成的角为 D. 直线与平面所成的角为
10.直线与曲线恰有一个交点，则实数可以为
( )
A. B. C. D.
11.已知点，、为圆上的动点，且，若圆上存在点，使得，则的值可以是
( )
A. B. C. D.
12.已知圆心为的圆与圆心为的圆相交于两点，则下列说法正确的是
( )
A. 直线 的 方程为
B. 四个点在同一个圆上
C. 四边形的面积为．
D. 圆与圆围成的公共部分的面积为
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.若圆关于直线对称，则__________．
14.直线在轴和轴上的截距相等，则的值是 ．
15.如图，已知平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱长为，且，则__．
16.如图，四边形和均为正方形，且，平面平面分别为 的 中点，为线段上的动点，则异面直线与所成角的余弦值最大时，__________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知直线和直线交于点，求满足下列条件的直线的方程．
直线经过点，点；
，且与两坐标轴围成的三角形的面积为．
18.本小题分
在棱长为的正四面体中，．
设用，，表示；
若求．
19.本小题分
已知的三个顶点分别是，圆是的外接圆．
求圆的方程；
求过点且与圆相切的直线的方程．
20.本小题分
在四棱柱中，底面，底面为平行四边形，．
证明：平面；
求与平面所成角的正弦值．
21.本小题分
已知动点与两定点的距离之比为
求动点的轨迹的方程；
过点作两条直线分别与轨迹相交于两点，若直线与的斜率之积为，试问线段的中点是否在定直线上，若在定直线上，请求出直线的方程；若不在定直线上，请说明理由．
22.本小题分
在正方体中，点分别为底面内一动点，为的中点．
如图，若为的中点，求平面与平面的夹角的余弦值；
如图，若平面，求证：平面．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】根据题意，由直线的 方向向量的定义，即可得到结果．
解：因为直线 的斜率为 ，
对比选项检验可知：该直线的一个方向向量是 ．
故选：
2.【答案】
【解析】【分析】空间向量的分解．
解：根据题意，结合正方体的性质，可知 ，所以有 ， ，故选A．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了充分条件、必要条件、充要条件的判断和两直线垂直的充要条件，属于基础题．
由“直线与直线垂直”和两直线垂直的充要条件，可求得：，即可得“”是“直线与直线垂直”成立的充要条件．
【解答】
解：当“直线与直线垂直时，
由两直线垂直的充要条件得：，
得：．
即“”“直线与直线垂直”．
即“”是“直线与直线垂直”成立的充要条件．
故选C．
4.【答案】
【解析】【分析】根据题意，建立直角坐标系，设圆的半径为 ，求得圆的方程为 ，结合圆的方程，即可求解．
解：以圆拱桥的顶点为坐标原点，以过拱顶顶点的竖直线为 轴，建立直角坐标系，
设圆心为 ，水面所在弦的端点为 ，则由已知可得 ，
再设圆的半径为 ，则圆心 ，即圆的方程为 ，
将点 代入圆的方程，可得 ，即圆的方程为 ，
当水面下降米后，可得 ，
代入圆的方程，可得 ，所以当水面下降米后，水面宽度为 米．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】设圆心坐标，由题意表示出圆的方程，将点 代入方程求出，利用点到直线的距离公式计算即可求解．
解：由题意知圆心在第一象限，设圆心为 ，则圆的半径为 ，
圆的方程为 ，
由圆过点 ，得 ，解得 或，
当 时，圆心为 ，到直线 的距离为 ；
当 时，圆心为 ，到直线 的距离为 ，
所以圆心到直线 的距离为 ．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】当 时，可得倾斜角为 ，当 时，由直线方程可得斜率 ，然后由余弦函数和正切函数的性质分析求解．
解：当 时，方程变为 ，其斜率不存在，倾斜角为 ；
当 时，由直线方程可得斜率 ，
因为 且 ，
则 ，即 ，
又因为 ， ；
综上所述：倾斜角的范围是 ．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】作点 关于直线 对称的点 ，连接 交直线 于点 ，求出 坐标即可．
解：
由题直线 分别与 轴交于 两点，
则 ，
设点 关于直线 对称的点为 ，
则 ，所以 ，
则直线 ，
联立 ，
所以 ．
故选：
8.【答案】
【解析】【分析】设 ，则二面角 的大小为 ，根据 ，展开计算可得 ，即可求解．
解：设 ，则二面角 的大小为 ，
由题意， ，则 ，
所以 ，
即 ，得 ，所以 ，
即二面角 的大小为 ．
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】根据空间线线、线面的位置关系和所成角大小即可逐项判断．
解：
如图，在 中， 为中位线，所以 ，
对于，因为在正方体中 平面 ，所以 ，
平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，所以 ，A正确；
对于， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，B正确；
对于，因为 ，所以直线 与 所成角为异面直线 与 所成的角，即 ，
因为 为正三角形，所以 ，故C正确；
对于，因为 ，所以直线 与平面 所成的角为直线 与平面 所成的角，
又因为 平面 ，
所以直线 与平面 所成的角为 ，
易得 ，故D错误；
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】画出图像，结合图像确定一个公共点时的位置，求出相应的 的值，数形结合可得答案．
解：
曲线 表示圆心在原点，半径为 的圆的上半部分，
如图所示，由图可知，当直线 在 和 之间移动或与半圆相切，即处于 的位置时，直线与圆恰好有一个公共点，
当直线 在 时，经过点 ，所以 ，
当直线 在 时，经过点 ，所以 ，
当直线与半圆相切时， ，
所以 ，或者 舍，
故 或者 ．
故选：
11.【答案】
【解析】【分析】解本题的关键在于求出点 的轨迹方程，利用点与圆的位置关系求出 的取值范围，即可转化为 的取值范围即可．
取 中点为 ，连接 ，得到 ，由 得到 ，再由 、 为圆 上的两动点，且 ，得到 ，设 ，求出点 的轨迹，再由点与圆位置关系，求出 的取值范围，即可求出结果．
解：取 中点为 ，连接 ，
则 ，
则 ，
又圆 上存在点 ，使得 ，
所以 ，
因此 ，即 ，
因为 、 为圆 上的两动点，且 ，
所以 ，
设 ，则 ，
即 即为动点 的轨迹方程，
所以 表示圆 上的点 与定点 之间的距离，
又因为 ，则点 在圆 外，
因此 ，即 ．
当且仅当 为线段 与圆 的 交点时， 取最小值 ，
当且仅当 为射线 与圆 的交点时， 取最大值 ，
即 ．
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】本题选项D解题关键是分别求出两圆的弓形面积，相加可得答案．
直接两圆方程作差判断；计算 可判断；求出四边形 的面积判断；求出圆 与圆 围成的公共部分的面积判断．
解：对于：将圆 与圆 的方程作差可得
，即 ，A正确；
对于：圆心为 的圆 ，即 ，圆心 ，半径 ，
圆心为 的圆 ，圆心 ，半径 ，
则 ，
所以
所以 以及 均为直角三角形，故 四个点在同一个圆上，B正确；
对于：四边形 的面积为 ，C错误；
对于：在 中， ，所以 ，
即 ，
在圆 中，扇形 的面积 ，
，
在圆 中，扇形 的面积 ，
，
所以圆 与圆 围成的公共部分的面积为 ，D正确．
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】根据题意，得到圆心在直线 上，代入即可求解．
解：由圆 关于直线 对称，
即圆心 在直线 ，可得 ，解得 ．
故答案为： ．
14.【答案】或
【解析】【分析】
本题考查直线的截距，属于基础题．
当时，求出直线在轴，轴的截距，相等即可得答案．
【解答】
解：易知，令，则
令，则．
由，可得或．
故答案为或．
15.【答案】
【解析】【分析】由空间向量的加法法则有 ，然后平方，转化为数量积运算可得．
解：平行六面体 中， ，
．
故答案为： ．
16.【答案】
【解析】【分析】根据题意建立空间直角坐标系，求出异面直线 与 所成角的余弦值最大时点 位置，进而求出 大小．
解：
由题可以 为原点，建立空间直角坐标系如图所示：
则 ，设 ，
则 ，
设异面直线 与 所成角为 ，
则 ，
令 ，
则 ，
当 时， ，
当 时， ，
令 ，则 ，
因为 ，
当 时， 有最小值 ，
此时 有最大值 ，
由 得 ， ，
则异面直线 与 所成角的 余弦值最大时 ，
即 ， ，
所以 ．
故答案为：
17.【答案】解：因为点 在直线 和直线 上，
所以 ，解得 ．
故所求直线 经过点 ，点 ，
其斜率为 ，点斜式方程为 ，
即所求直线 的方程为 ．
由知，直线 的方程为 ，而 ，
故 的直线方程可设为 ，
令 ，可得 ，令 ，可得 ，
则直线 与两坐标轴的交点分别为
因为直线 与两坐标轴围成的三角形的面积为，所以 ，解得 ，
故所求直线 的方程为 或 ．
【解析】【分析】根据两直线交点坐标求出 ，再由 两点坐标写出直线方程；
利用两直线平行设出直线方程，再由三角形面积求出参数即得．
18.【答案】解：因为 ，所以 ，
则 ，
所以 ．
解：因为 ，所以 ，
在棱长为的正四面体 中， ，
所以 ，
解得 ．
【解析】【分析】根据向量的线性运算法则，结合题意，求得 ，再由 ，即可求解；
由 ，得到 ，结合向量的数量积列出方程，即可求解．
19.【答案】解：设圆 的方程为 ，
因为 在圆 上，所以它们的坐标都满足圆 的方程，
可得的 ，解得 ，
所以圆 的方程为 ．
由知圆 的标准方程为 ，
故圆心 的坐标为 ，半径为 ，
当直线斜率不存在时，直线方程为 ，圆心到直线的距离 ，
此时直线和圆相切，符合题意；
当直线斜率存在时，设切线方程为 ，即 ，
则圆心到直线的距离 ，解得 ，
此时切线方程为 ，
综上，过点 且与圆 相切的直线方程为 或 ．
【解析】【分析】设圆 的方程为 ，将 代入圆方程，得出方程组，求得 的值，即可求解；
由知圆 的标准方程为 ，分直线斜率不存在和斜率存在两种情况讨论，结合直线与圆的位置关系，列出方程，即可求解．
20.【答案】证明：平行四边形 中，
，
则 ．
在 中， ．
由余弦定理知 ，
则 ，即 ．
又因为 底面 底面 ，所以 ，
又 平面 ，
所以 平面 ．
解：
因为 底面 底面 ，
所以 ，
由知 ，
以 为原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，
建立如图所示空间直角坐标系 ．
则 ，
，
因此 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，所以 ，
所以 ，取 ，则 ，
于是平面 的一个法向量为 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，
则 ，
即 与平面 所成的角的正弦值为 ．
【解析】【分析】首先求解三角形，证明 ，再根据线面垂直的性质定理和判断定理，即可证明；
根据的结合，以点 为原点，建立空间直角坐标系，求平面 的法向量，再根据线面角的向量公式，即可求解．
21.【答案】解：设点 的坐标为 ，由题意知 ，
即 ，
平方整理得 ，
即动点 的轨迹 的方程为 ．
设直线 的方程为： ，代入 ，
整理得 ，
因为点 都在圆 上，
所以 ，即 ，
此时 ．
因为直线 与 的斜率之积为，
同理可得 ，
．
设 的中点为 ，此时 ，则 ．
故线段 的中点在定直线 上．
【解析】【分析】设点 的坐标为 ，由题意知 ，代入点的坐标整理计算即可；
设直线 的方程为： ，与圆的方程联立，求出点 坐标，同理求出点 的坐标，进而可求出中点坐标得到答案．
22.【答案】解：
以 为原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系 ．
设正方体棱长为 ，则 ，
因为 为 的中点，所以 ．
则 ．
设平面 的法向量为 ，则 ，
所以 ，
所以 ，取 ，则 ．
于是平面 的一个法向量为 ．
因为 ，则 平面 ，
所以平面 的一个法向量为 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ．
设 ，由 知，
，解得 ．
即 ，此时 ．
则 ．
由 知， 是共面向量，
又 平面 ，则 平面 ．
【解析】【分析】建立空间直角坐标系，再求出两个平面的法向量，进而求出平面 与平面 的夹角的余弦值．
根据 求出点 所在直线，求得 是共面向量，又 平面 ，所以得证．
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