2023-2024学年河南省南阳市高一上学期期中联考数学试题（含解析）

2023-2024学年河南省南阳市高一上学期期中联考数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“方程有一个根是偶数”的否定是
( )
A. 方程有一个根不是偶数
B. 方程至少有一个根不是偶数
C. 方程至多有一个根不是偶数
D. 方程的每一个根都不是偶数
3.若函数的图象如图所示，则的解析式可能是
( )
A. B. C. D.
4.我国古代数学家李善兰在对数探源中利用尖锥术理论来制作对数表，他通过“对数积”求得，，由此可知的近似值为
( )
A. B. C. D.
5.已知，，，则
( )
A. B. C. D.
6.通过北师大版必修一教材页的详细介绍，我们把称为取整函数．那么“”是“”的
条件( )
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
7.若关于的不等式的解集是，则下列式子中错误的是
( )
A. B. C. ， D. ，
8.已知函数，若存在三个不相等的实数，，使得，则的取值范围是
( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.满足函数在区间上不单调的实数的值可能是
( )
A. B. C. D.
10.下列函数中，具备奇偶性的函数是( )
A. B.
C. D.
11.已知二次函数满足，且对，，都有，则下列结论正确的有
( )
A. B.
C. D.
12.已知，，，则下列结论成立的是
( )
A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.幂函数的图象经过点，则______．
14.若函数的定义域是，则函数的定义域是______．
15.已知，则不等式的解集是______．
16.如图，已知等腰三角形中一腰上的中线长为，则该等腰三角形的面积最大值为______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知，求是值
计算：．
18.本小题分
已知函数．
判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明；
求函数的值域．
19.本小题分
已知集合，．
若且，求实数的取值范围；
设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
20.本小题分
为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．大学毕业生袁阳按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件元，出厂价为每件元，每月的销售量单位：件与销售单价单位：元之间的关系近似满足一次函数：．
设袁阳每月获得的利润为单位：元，写出每月获得的利润与销售单价的函数关系；
物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于元．如果袁阳想要每月获得的利润不小于元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少元？
21.本小题分
已知，，其中．
求实数，的值；
若函数在定义域上为增函数，求实数的取值范围．
22.本小题分
已知函数的定义域为当时，，．
若函数为奇函数，求函数的表达式；
若函数是奇函数且在上单调，求实数的取值范围；
在的条件下，若关于的方程有三个不等的实数根，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】根据运算先求出集合 ，再利用交集运算求解即可．
解：因为集合 ， ，
所以 ，
故选：
2.【答案】
【解析】【分析】根据命题的否定的定义判断．
解：命题“方程 有一个根是偶数”的否定是：方程 没有一个根是偶数，只有符合．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】根据图象上特殊点 检验即可得解．
解：对于， ，与图象不相符，故错误；
对于， 无意义，与图象不相符，故错误；
对于， 无意义，与图象不相符，故错误；
对于，函数定义域为 ， ， ，函数为奇函数，符合图象，故C正确．
故选：
4.【答案】
【解析】【分析】根据对数的运算性质及所给数据计算可得．
解：因为 ， ，
所以 ，则 ．
故选：
5.【答案】
【解析】【分析】利用指数函数与幂函数的单调性判断．
解： ，又 ，指数函数 是增函数，所以 ，即 ，
，而 ，幂函数 是增函数，所以 ，即 ，
所以 ，
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】根据给定的信息，结合充分条件、必要条件的定义判断作答．
解：若 ，则可设 ，则 ， ，其中 ，
，而 ， ，即“ ”能推出“ ”；
但当 时， 不一定相等，
例如 ， ，满足 ，但 ，
即“ ”推不出“ ”，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】解不等式，根据不等式的解集确定 的值．
解：不等式 可化为 ，
若 ，则不等式化为 ，解集不可能是 ，因此 ，A正确；
不等式化为 ，由题意 中一个为，一个为，而 ，因此有 ，均正确，D错误．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】作出函数图象，由图象得出 具有的关系、范围，从而再由函数的单调性得出结论．
解：作出函数 的图象，如图，在 上它关于直线 对称，
时， ，且 为增函数，
，则 ， ，
， ，所以 ，
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】根据二次函数的性质得到不等式，解出即可．
解：由题得 ，解得 ，则符合题意，D错误．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义，先求出定义域，定义域符合条件再判断 的关系得解．
解：对于， 的定义域 ，不关于原点对称，故函数是非奇非偶函数，故错误；
对于， 定义域为 ，关于原点对称，
又 ，
所以函数 为奇函数，故B正确；
因为 的定义域为 ，关于原点对称，
当 时，则 ， ，
当 时，则 ， ，
当 时， ，
综上，当 时，都有 ，故函数 偶函数，故C正确；
因为 ，所以 ，解得 且 ，
所以函数定义域为 ，关于原点对称，
由定义域可知 ，所以 ，故函数为奇函数，故D正确．
故选：
11.【答案】
【解析】【分析】可以知道二次函数 是以 为对称轴，且在区间 上为增函数，从而在 上为减函数，根据单调性可判断的真假，根据离对称轴越近，所对应的函数值越大，可判断的真假，因为无法确定 的符号，所以无法判定．
解： 为二次函数，
由 得函数的对称轴为 ，即： ，故B正确；
由对任意 ，都有 ，所以 在 上为增函数，
从而在 上为减函数，因为： ，所以 ，故A正确；
又因为： ，所以 ，故C正确；
因为没有条件涉及 ，所以 的符号无法判断，故D无法判断真假．
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】由基本不等式判断，利用函数的单调性判断．
解： ，则
由题意 ，所以 ，当且仅当 时等号成立，即 的最大值是 ，
，A正确；
，B正确；
，函数 在 时是减函数，因此它没有最小值也没有最大值，C错误；
，而函数 在 上是减函数，没有最小值也没有最大值，错．
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】根据幂函数的定义可求出 的值，再由 可求出 的值，由此可得出 的值．
解：因为幂函数 的图象经过点 ，
则 ，即 ，可得 ，则 ，
又因为 ，解得 ，因此， ．
故答案为： ．
14.【答案】
【解析】【分析】由已知求得 的定义域，再由分母中根式内部的代数式大于求解．
解：函数 的定义域是 ，所以 ，即 ，
所以 的定义域为 ，
所以函数 有意义需满足 ，
解得 ，
即数 的定义域为 ，
故答案为 ： ．
15.【答案】
【解析】【分析】将 改写成分段函数，然后根据分段函数的解析式，分 和 两种情况讨论求解
解：对于 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 ，
当 时，即 时，不等式 可化为 ，
即 ，解得 ，所以 ；
当 时，即 时，不等式 可化为 ，
即 ，解得 ，所以 ；
综上，不等式 的解集为 ，
故答案为： ．
16.【答案】
【解析】【分析】作 于 ， 于 ，设 ， ，故 ，得到 ， ，利用均值不等式计算得到答案．
解：如图所示：作 于 ， 于 ，则 ， ，
设 ， ，故 ，
在 中： ，即 ，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立， ．
故答案为： ．
17.【答案】解：由于 ，因为 ，所以
原式
，
．

【解析】【分析】由指数幂的运算性质运算即可得解；
利用指数和对数的运算性质求解．
18.【答案】解： 在 上是增函数，证明如下：
任取 ， ，且 ，
， ，且 ， ， ，
即 ，
函数 在 上是增函数．
令 ，则 ，
于是 的值域即为求 的值域，
由知函数 在 是单调递增的，
所以当 时，即 ，即 时， 取最小值 ，
所以 ，
所以函数 的值域为

【解析】【分析】根据单调性的定义证明即可．
令 ，换元法结合单调性求函数的值域．
19.【答案】解：依题意， ，解得 ，
所以 的取值范围为 ．
由 是 的必要不充分条件，得 真包含于 ，而 ，
不等式 ，
显然 ，即 ，解得 ，则 ，因此 ，
于是 ，解得 ，
所以 的取值范围为 ．

【解析】【分析】利用元素与集合的关系列出不等式组，求解不等式组即得．
由必要不充分条件的定义，利用集合的包含关系列式求解即得．
20.【答案】解：依题意可知每件的销售利润为 元，每月的销售量为 件，
所以每月获得的利润 与销售单价 的函数关系为
由每月获得的利润不小于 元，得：
化简，得 ．
解得 ．
又因为这种节能灯的销售单价不得高于 元，所以 ．
设政府每个月为他承担的总差价为 元，则
．
由 ，得 ．
故政府每个月为他承担的总差价的取值范围为 元．

【解析】【分析】每件的销售利润乘以每月的销售量即为利润，据此列方程即可；
设政府每个月为他承担的总差价为 元，根据一次函数的性质求出总差价的最小值．
21.【答案】解：设 ，则 ，因为 ，所以 ，则 ．
又 ，所以 ，即 ，
又 ，解得 ， ．
由得 ，令 ， ，
则 ， ．
为使 在 上为增函数，
则 或 或 ，
解得 或 或 ，
综上， 的取值范围为

【解析】【分析】根据题意，令 ，利用 ，求出 关系，结合 ，求出 ， 的值．
将 ， 的值代入，换元令 ，转换为 在指定区间为增函数问题，分类讨论即可．
22.【答案】解：当 时， ；
当 时， ；
故
当 时， 是单调增函数， 在 上单调，则 必为 上的单调增函数，
只须满足 ，得 ，即 ．
， 或 ，
若 是单调函数，最多有两个解，不满足，故 ，画出函数图像，如图所示：
方程有三个不等的实数根，而 ，
故只须 且 ，解得 且 ，
综上所述： 的取值范围为 ．

【解析】【分析】确定 ，当 时， ，得到答案．
确定函数单调递增，得到 ，解得答案
确定 或 ，函数不单调，画出函数图像，根据图像得到 且 ，解得答案．
第1页，共13页