2023-2024学年广东省东莞市七校高二上学期期中联考数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年广东省东莞市七校高二上学期期中联考数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 565.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-12 00:17:16 | ||
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文档简介
2023-2024学年广东省东莞市七校高二上学期期中联考数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，直线的倾斜角为
( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，满足，则的值为
( )
A. B. C. D.
3.已知圆的一条直径的端点分别为，，则此圆的标准方程是
( )
A. B.
C. D.
4.抛物线的准线方程是
A. B. C. D.
5.直线与直线平行，那么该两平行线之间距离是
( )
A. B. C. D.
6.如图，四边形为平行四边形，，，若，则的值为
( )
A. B. C. D.
7.明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆已知图、、中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为、、，设图、、中椭圆的离心率分别为、、，则
．( )
A. B. C. D.
8.如图，正方体的棱长为，点为正方形内的动点，满足直线与下底面所成角为的点的轨迹长度为
( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知双曲线，则下列关于双曲线的结论正确的是
( )
A. 实轴长为 B. 焦距为
C. 离心率为 D. 焦点到渐近线的距离为
10.已知空间中三点，，，则下列说法正确的是
( )
A. 与是共线向量
B. 与同向的单位向量是
C. 和夹角的余弦值是
D. 平面的一个法向量是
11.设圆：，点，若圆上存在两点到的距离为，则的可能取值( )
A. B. C. D.
12.在正三棱柱中，，，与交于点，点是线段上的动点，则下列结论正确的是( )
A.
B. 存在点，使得
C. 三棱锥的体积为
D. 直线与平面所成角的余弦值为
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.若方程表示的曲线为焦点在轴上双曲线，则的取值范围为______．
14.已知分别是平面的法向量，且，则__________．
15.设半径为的圆被直线截得的弦的中点为，且弦长，则圆的标准方程__________．
16.已知实数，满足，则代数式的最大值为______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
在菱形中，对角线与轴平行，，，点是线段的中点．
求点的坐标；
求过点且与直线垂直的直线．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，，，为的中点．
证明：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
已知双曲线的渐近线方程为，且点在该双曲线上．
求双曲线方程；
若点，分别是双曲线的左、右焦点，且双曲线上一点满足，求的面积．
20.本小题分
党的二十大报告提出要加快建设交通强国在我国万平方千米的大地之下拥有超过座，总长接近赤道长度的隧道约千米这些隧道样式多种多样，它们或傍山而过，上方构筑顶棚形成“明洞”或挂于峭壁，每隔一段开出“天窗”形成挂壁公路但是更多时候它们都隐伏于山体之中，只露出窄窄的出入口洞门、佛山某学生学过圆的知识后受此启发，为山体隧道设计了一个圆弧形洞门样式，如图所示，路宽为米，洞门最高处距路面米
建立适当的平面直角坐标系，求圆弧的方程．
为使双向行驶的车辆更加安全，该同学进一步优化了设计方案，在路中间建立了米宽的隔墙某货车装满货物后整体呈长方体状，宽米，高米，则此货车能否通过该洞门并说明理由．
21.本小题分
在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面底面，，且，分别为，的中点．
证明：平面；
若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
22.本小题分
已知椭圆：的两焦点，，且椭圆过．
求椭圆的标准方程；
过点作不与坐标轴垂直的直线交椭圆于，两点，线段的垂直平分线与轴负半轴交于点，若点的纵坐标的最大值为，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】根据倾斜角的定义分析运算．
解：由题意可知：直线的倾斜角为的补角，即为．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】直接利用空间向量垂直的公式计算即可．
解：，，
，
解得
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】求出圆心坐标以及圆的半径，即可得出该圆的标准方程．
解：由题意可知，圆心为线段的中点，则圆心为，
圆的半径为，
故所求圆的方程为．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】抛物线的几何性质．
解：由题意得，抛物线可化为，则，所以准线方程为，故选 C．
5.【答案】
【解析】【分析】根据两直线平行得到方程与不等式，得到，再利用两平行直线间的距离公式求出答案．
解：且，解得，
两直线方程为与直线，
即与
故两平行线之间的距离为．
故选：
6.【答案】
【解析】【分析】选取、为基底，利用向量的减法得到，再利用向量的加法与数乘将化为，根据向量、不共线可得，．
解：选取、为基底，则，
由知，，所以．
由向量加法法则可得，，，
又，
所以，
又向量，不共线，所以．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查求椭圆的离心率或取值范围，属于基础题．
根据长轴长与短轴长的定义，结合的等量关系以及离心率的计算公式，通过比较大小，可得答案．
【解答】
解：设椭圆标准方程为，则，
可知椭圆的长轴长与短轴长的比值为，
故离心率，
则，，，
由，则．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】作出辅助线，得到的轨迹为以为圆心，为半径，位于平面内的圆的，求出轨迹长度．
解：直线与下底面所成角等于直线与上底面所成角，
连接，因为平面，平面，
所以，故为直线与上底面所成角，
则，
因为，所以，
故点的轨迹为以为圆心，为半径，位于平面内的圆的，
故轨迹长度为．
故选：
9.【答案】
【解析】【分析】根据题意，结合双曲线的几何性质，逐项判定，即可求解．
解：由双曲线，可得，则，
可得双曲线的实轴长为，焦距为，离心率为，
所以A正确，、不正确；
又由双曲线的渐近线方程为，即，且焦点，
不妨设右焦点，渐近线为，则焦点到渐近线的距离为，所以 D正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
利用空面向量坐标运算法则、共线向量、向量夹角公式、法向量直接求解．
本题考查命题真假的判断，考查空面向量坐标运算法则、共线向量、向量夹角公式、法向量等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
【解答】
解：空间中三点，，，
对于，，，
与不是共线向量，故A错误；
对于，，，故B正确；
对于，，，
和夹角的余弦值是：
，故C错误；
对于，，，
设平面的法向量，
则，取，得，故D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆与圆的位置关系，注意将原问题转化为两圆相交的问题，属于一般题．
根据题意，设以为圆心，半径为的圆为圆，分析圆的圆心、半径，求出圆心距，分析可得圆与圆相交，据此可得，解可得的取值范围，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，设以为圆心，半径为的圆为圆，
圆：，其圆心为，半径为，
则，
若圆：上存在两点到的距离为，则圆与圆相交，
则有，解可得，即的取值范围为；
故选BCD．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了空间向量线性运算，立体几何线面位置关系，棱锥的体积和直线与平面所成的角，属于较难题．
利用空间向量运算求解判断；利用空间向量运算求解判断；利用等体积法求解判断；利用线面角的求解判断．
【解答】
解：
对于，，故正确；
对于，假设存在，设，，
所以，
因为，
所以
，
解得，故错误；
对于，因为正三棱柱，
所以，
所以，
所以，故正确；
对于，设中点为，在正三角形中，，又三棱柱是正三棱柱，，，，，所以平面，
所以即与平面所成的角，
，故错误；
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】根据双曲线的性质即可求解．
解：由题意可得，解得，
故答案为：
14.【答案】
【解析】【分析】利用平面法向量的定义以及面面平行的性质可知，再由向量平行的坐标表示即可得．
解：根据题意可知，若则可知，
又可得，即可得．
故答案为：
15.【答案】或
【解析】【分析】设所求的圆的方程，根据弦心距和弦的中点，建立方程，即可求得圆的方程．
解：由题意设所求的圆的方程为：．
圆心到直线的距离为，
圆被直线：截得的弦的中点为，，
解得或，
即所求的圆的方程为：或．
故答案为：或．
16.【答案】
【解析】【分析】根据两变量满足的方程，求解关于两变量解析式的范围或最值的题型，关键在于对方程的理解，如果满足熟知的点的轨迹，则可以利用定义得出轨迹方程，再通过参数方程求出，将其转化为单变量问题求解．
先根据方程判断点的轨迹方程，再将其转化为参数方程，代入所求式，利用正弦型函数的有界性求解即得．
解：因实数，满足，，
故可知点的轨迹是以为两焦点的椭圆，轨迹方程为：，
故可设该椭圆的参数方程为：为参数
则，
故当时，取得最大值为
故答案为：
17.【答案】解：
四边形为菱形，轴，轴，可设，
，，
解得：舍或，．
，中点坐标为，
由于，且是中点，点坐标为，
，，由中点坐标公式得，
又，，
则过点且与直线垂直的直线斜率为：，
所求直线方程为：，即．
【解析】【分析】根据题意可设，利用，求的坐标，利用中点坐标公式求出，
先求得，再利用两直线垂直，斜率之积为求出直线斜率，进而可得到答案．
18.【答案】解：
，所以得，
又，所以，
又，，平面，所以平面，
知，，
以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
则，，，
设平面的一个法向量，
则有，令，则有，，
平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】【分析】利用勾股定理得，进而证平面，
以为原点建立如图所示空间直角坐标系，求出平面的法向量，以及的方向向量，可求直线与平面所成角的正弦值．
19.【答案】解：
由题知，解得，
所以双曲线的方程为：
根据双曲线的定义得，
解方程得，
【解析】【分析】考查双曲线方程求解及焦点三角形的面积求解，属基础题．
根据双曲线渐近线方程得，根据点在双曲线上列方程，最后解方程组得出双曲线的方程；
根据双曲线定义和列方程组求解，再根据三角形面积公式计算面积可得出答案．
20.【答案】
解：以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则点、，由圆的对称性可知，圆心在轴上，
设圆心坐标为，设圆的半径为，则圆弧所在圆的方程为，
因为点、在圆上，则，解得，。
所以，圆弧所在圆的方程为，
因此，圆弧的方程为．
解：此火车不能通过该路口，
由题意可知，隔墙在轴右侧米，车宽米，车高米，
所以货车右侧的最高点的坐标为，
因为，因此，该货车不能通过该路口．
【解析】【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，分析可知圆心在轴上，设圆心坐标为，设圆的半径为，将点、的坐标代入圆的方程，求出、的值，结合图形可得出圆弧的方程；
求出货车右侧的最高点的坐标，代入圆弧的方程，可得出结论．
21.【答案】解：证明：取中点，连接，，
为的中点，，
又，
，，
四边形为平行四边形，，
平面，平面，
平面；
平面平面，平面平面，
平面，，平面，
取中点，连接，，则，平面，
，，
，
又，，
，，
如图以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
，，，
，，
设平面的一个法向量，
，，
取，则，
平面的一个法向量可取，
设平面与平面所成锐二面角为，
，
即平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
【解析】本题主要考查平面与平面所成角的向量求法，以及线面平行判定，线面角的几何求法，利用向量法是解决本题的关键，是中档题．
取中点，证明，根据线面平行的判定定理即可证明结论；
建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，求出平面和平面的法向量，根据向量的夹角公式即可求得答案．
22.【答案】解：
由题意可得：，解得
所以椭圆的方程为：；
因为左焦点，
由题意可得直线的斜率存在且不为，
设直线的方程为为不等于的实数，，，
由，可得，
则，，，
所以，
所以 的中点为，
所以线段的中垂线方程为：，
令，则，即点纵坐标为，
又因为是与轴交于负半轴，所以，，
又因为点的纵坐标的最大值为，
所以，解得，
又因为
，
因为，
令，，由于函数在单调递增，
所以在上单调递增，
所以，，
所以，
即的取值范围为：．
【解析】【分析】圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
由题意列出方程组，求解即可；
设直线的方程为为不等于的实数，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理可得中点坐标，进而得线段的中垂线方程，求出的纵坐标，结合题意求得，由弦长公式可得，令，，根据函数的单调性求出其值域即得答案．
第1页，共17页
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，直线的倾斜角为
( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，满足，则的值为
( )
A. B. C. D.
3.已知圆的一条直径的端点分别为，，则此圆的标准方程是
( )
A. B.
C. D.
4.抛物线的准线方程是
A. B. C. D.
5.直线与直线平行，那么该两平行线之间距离是
( )
A. B. C. D.
6.如图，四边形为平行四边形，，，若，则的值为
( )
A. B. C. D.
7.明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆已知图、、中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为、、，设图、、中椭圆的离心率分别为、、，则
．( )
A. B. C. D.
8.如图，正方体的棱长为，点为正方形内的动点，满足直线与下底面所成角为的点的轨迹长度为
( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知双曲线，则下列关于双曲线的结论正确的是
( )
A. 实轴长为 B. 焦距为
C. 离心率为 D. 焦点到渐近线的距离为
10.已知空间中三点，，，则下列说法正确的是
( )
A. 与是共线向量
B. 与同向的单位向量是
C. 和夹角的余弦值是
D. 平面的一个法向量是
11.设圆：，点，若圆上存在两点到的距离为，则的可能取值( )
A. B. C. D.
12.在正三棱柱中，，，与交于点，点是线段上的动点，则下列结论正确的是( )
A.
B. 存在点，使得
C. 三棱锥的体积为
D. 直线与平面所成角的余弦值为
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.若方程表示的曲线为焦点在轴上双曲线，则的取值范围为______．
14.已知分别是平面的法向量，且，则__________．
15.设半径为的圆被直线截得的弦的中点为，且弦长，则圆的标准方程__________．
16.已知实数，满足，则代数式的最大值为______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
在菱形中，对角线与轴平行，，，点是线段的中点．
求点的坐标；
求过点且与直线垂直的直线．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，，，为的中点．
证明：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
已知双曲线的渐近线方程为，且点在该双曲线上．
求双曲线方程；
若点，分别是双曲线的左、右焦点，且双曲线上一点满足，求的面积．
20.本小题分
党的二十大报告提出要加快建设交通强国在我国万平方千米的大地之下拥有超过座，总长接近赤道长度的隧道约千米这些隧道样式多种多样，它们或傍山而过，上方构筑顶棚形成“明洞”或挂于峭壁，每隔一段开出“天窗”形成挂壁公路但是更多时候它们都隐伏于山体之中，只露出窄窄的出入口洞门、佛山某学生学过圆的知识后受此启发，为山体隧道设计了一个圆弧形洞门样式，如图所示，路宽为米，洞门最高处距路面米
建立适当的平面直角坐标系，求圆弧的方程．
为使双向行驶的车辆更加安全，该同学进一步优化了设计方案，在路中间建立了米宽的隔墙某货车装满货物后整体呈长方体状，宽米，高米，则此货车能否通过该洞门并说明理由．
21.本小题分
在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面底面，，且，分别为，的中点．
证明：平面；
若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
22.本小题分
已知椭圆：的两焦点，，且椭圆过．
求椭圆的标准方程；
过点作不与坐标轴垂直的直线交椭圆于，两点，线段的垂直平分线与轴负半轴交于点，若点的纵坐标的最大值为，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】根据倾斜角的定义分析运算．
解：由题意可知：直线的倾斜角为的补角，即为．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】直接利用空间向量垂直的公式计算即可．
解：，，
，
解得
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】求出圆心坐标以及圆的半径，即可得出该圆的标准方程．
解：由题意可知，圆心为线段的中点，则圆心为，
圆的半径为，
故所求圆的方程为．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】抛物线的几何性质．
解：由题意得，抛物线可化为，则，所以准线方程为，故选 C．
5.【答案】
【解析】【分析】根据两直线平行得到方程与不等式，得到，再利用两平行直线间的距离公式求出答案．
解：且，解得，
两直线方程为与直线，
即与
故两平行线之间的距离为．
故选：
6.【答案】
【解析】【分析】选取、为基底，利用向量的减法得到，再利用向量的加法与数乘将化为，根据向量、不共线可得，．
解：选取、为基底，则，
由知，，所以．
由向量加法法则可得，，，
又，
所以，
又向量，不共线，所以．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查求椭圆的离心率或取值范围，属于基础题．
根据长轴长与短轴长的定义，结合的等量关系以及离心率的计算公式，通过比较大小，可得答案．
【解答】
解：设椭圆标准方程为，则，
可知椭圆的长轴长与短轴长的比值为，
故离心率，
则，，，
由，则．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】作出辅助线，得到的轨迹为以为圆心，为半径，位于平面内的圆的，求出轨迹长度．
解：直线与下底面所成角等于直线与上底面所成角，
连接，因为平面，平面，
所以，故为直线与上底面所成角，
则，
因为，所以，
故点的轨迹为以为圆心，为半径，位于平面内的圆的，
故轨迹长度为．
故选：
9.【答案】
【解析】【分析】根据题意，结合双曲线的几何性质，逐项判定，即可求解．
解：由双曲线，可得，则，
可得双曲线的实轴长为，焦距为，离心率为，
所以A正确，、不正确；
又由双曲线的渐近线方程为，即，且焦点，
不妨设右焦点，渐近线为，则焦点到渐近线的距离为，所以 D正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
利用空面向量坐标运算法则、共线向量、向量夹角公式、法向量直接求解．
本题考查命题真假的判断，考查空面向量坐标运算法则、共线向量、向量夹角公式、法向量等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
【解答】
解：空间中三点，，，
对于，，，
与不是共线向量，故A错误；
对于，，，故B正确；
对于，，，
和夹角的余弦值是：
，故C错误；
对于，，，
设平面的法向量，
则，取，得，故D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆与圆的位置关系，注意将原问题转化为两圆相交的问题，属于一般题．
根据题意，设以为圆心，半径为的圆为圆，分析圆的圆心、半径，求出圆心距，分析可得圆与圆相交，据此可得，解可得的取值范围，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，设以为圆心，半径为的圆为圆，
圆：，其圆心为，半径为，
则，
若圆：上存在两点到的距离为，则圆与圆相交，
则有，解可得，即的取值范围为；
故选BCD．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了空间向量线性运算，立体几何线面位置关系，棱锥的体积和直线与平面所成的角，属于较难题．
利用空间向量运算求解判断；利用空间向量运算求解判断；利用等体积法求解判断；利用线面角的求解判断．
【解答】
解：
对于，，故正确；
对于，假设存在，设，，
所以，
因为，
所以
，
解得，故错误；
对于，因为正三棱柱，
所以，
所以，
所以，故正确；
对于，设中点为，在正三角形中，，又三棱柱是正三棱柱，，，，，所以平面，
所以即与平面所成的角，
，故错误；
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】根据双曲线的性质即可求解．
解：由题意可得，解得，
故答案为：
14.【答案】
【解析】【分析】利用平面法向量的定义以及面面平行的性质可知，再由向量平行的坐标表示即可得．
解：根据题意可知，若则可知，
又可得，即可得．
故答案为：
15.【答案】或
【解析】【分析】设所求的圆的方程，根据弦心距和弦的中点，建立方程，即可求得圆的方程．
解：由题意设所求的圆的方程为：．
圆心到直线的距离为，
圆被直线：截得的弦的中点为，，
解得或，
即所求的圆的方程为：或．
故答案为：或．
16.【答案】
【解析】【分析】根据两变量满足的方程，求解关于两变量解析式的范围或最值的题型，关键在于对方程的理解，如果满足熟知的点的轨迹，则可以利用定义得出轨迹方程，再通过参数方程求出，将其转化为单变量问题求解．
先根据方程判断点的轨迹方程，再将其转化为参数方程，代入所求式，利用正弦型函数的有界性求解即得．
解：因实数，满足，，
故可知点的轨迹是以为两焦点的椭圆，轨迹方程为：，
故可设该椭圆的参数方程为：为参数
则，
故当时，取得最大值为
故答案为：
17.【答案】解：
四边形为菱形，轴，轴，可设，
，，
解得：舍或，．
，中点坐标为，
由于，且是中点，点坐标为，
，，由中点坐标公式得，
又，，
则过点且与直线垂直的直线斜率为：，
所求直线方程为：，即．
【解析】【分析】根据题意可设，利用，求的坐标，利用中点坐标公式求出，
先求得，再利用两直线垂直，斜率之积为求出直线斜率，进而可得到答案．
18.【答案】解：
，所以得，
又，所以，
又，，平面，所以平面，
知，，
以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
则，，，
设平面的一个法向量，
则有，令，则有，，
平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】【分析】利用勾股定理得，进而证平面，
以为原点建立如图所示空间直角坐标系，求出平面的法向量，以及的方向向量，可求直线与平面所成角的正弦值．
19.【答案】解：
由题知，解得，
所以双曲线的方程为：
根据双曲线的定义得，
解方程得，
【解析】【分析】考查双曲线方程求解及焦点三角形的面积求解，属基础题．
根据双曲线渐近线方程得，根据点在双曲线上列方程，最后解方程组得出双曲线的方程；
根据双曲线定义和列方程组求解，再根据三角形面积公式计算面积可得出答案．
20.【答案】
解：以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则点、，由圆的对称性可知，圆心在轴上，
设圆心坐标为，设圆的半径为，则圆弧所在圆的方程为，
因为点、在圆上，则，解得，。
所以，圆弧所在圆的方程为，
因此，圆弧的方程为．
解：此火车不能通过该路口，
由题意可知，隔墙在轴右侧米，车宽米，车高米，
所以货车右侧的最高点的坐标为，
因为，因此，该货车不能通过该路口．
【解析】【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，分析可知圆心在轴上，设圆心坐标为，设圆的半径为，将点、的坐标代入圆的方程，求出、的值，结合图形可得出圆弧的方程；
求出货车右侧的最高点的坐标，代入圆弧的方程，可得出结论．
21.【答案】解：证明：取中点，连接，，
为的中点，，
又，
，，
四边形为平行四边形，，
平面，平面，
平面；
平面平面，平面平面，
平面，，平面，
取中点，连接，，则，平面，
，，
，
又，，
，，
如图以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
，，，
，，
设平面的一个法向量，
，，
取，则，
平面的一个法向量可取，
设平面与平面所成锐二面角为，
，
即平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
【解析】本题主要考查平面与平面所成角的向量求法，以及线面平行判定，线面角的几何求法，利用向量法是解决本题的关键，是中档题．
取中点，证明，根据线面平行的判定定理即可证明结论；
建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，求出平面和平面的法向量，根据向量的夹角公式即可求得答案．
22.【答案】解：
由题意可得：，解得
所以椭圆的方程为：；
因为左焦点，
由题意可得直线的斜率存在且不为，
设直线的方程为为不等于的实数，，，
由，可得，
则，，，
所以，
所以 的中点为，
所以线段的中垂线方程为：，
令，则，即点纵坐标为，
又因为是与轴交于负半轴，所以，，
又因为点的纵坐标的最大值为，
所以，解得，
又因为
，
因为，
令，，由于函数在单调递增，
所以在上单调递增，
所以，，
所以，
即的取值范围为：．
【解析】【分析】圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
由题意列出方程组，求解即可；
设直线的方程为为不等于的实数，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理可得中点坐标，进而得线段的中垂线方程，求出的纵坐标，结合题意求得，由弦长公式可得，令，，根据函数的单调性求出其值域即得答案．
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