陕西省西安市部分学校百师联盟2023-2024学年高三上册数学（文科）开学联考试卷
一、单选题
1．（2023高三上·西安开学考）设集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由题意可得 .
故答案为：B.
【分析】根据交集运算求解.
2．（2023高三上·西安开学考）已知复数是虚数单位，则复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示；共轭复数
【解析】【解答】解：由题意可得： ，
对应的点为，位于第三象限.
故答案为：C.
【分析】根据共轭复数的概念以及复数的几何意义分析判断.
3．（2023高三上·西安开学考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】诱导公式；辅助角公式
【解析】【解答】解：由辅助角公式得，
所以.
故答案为：B.
【分析】直接利用辅助角公式计算化简即得.
4．（2023高三上·西安开学考）函数为自然对数的底数在的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：由题，f(x)的定义域为R，，
所以f(x)是偶函数，故排除AC，
又，故排除D.
故答案为：B.
【分析】利用函数的奇偶性结合特殊点的函数值判断即可.
5．（2023高三上·西安开学考）如图，在棱长为的正方体中，点在对角线上移动，异面直线与所成角为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】解：因为，可知 异面直线与所成角为（或其补角），
又因为平面，可得，
在中， ，
可知当M与重合时，最大，即 最大，最大为.
故答案为：C.
【分析】分析可知 异面直线与所成角为（或其补角），根据正方体的性质可得当M与重合时， 最大，运算求解即可.
6．（2023高三上·西安开学考）已知椭圆的焦点在轴上，若焦距为，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由题意，，解得，
又焦距为4，，
所以，解得，
所以椭圆的离心率为.
故答案为：B.
【分析】由题得到，结合焦距为4可得t的值，再利用离心率公式计算可得答案.
7．（2023高三上·西安开学考）在中，，在边上，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由题意可知，
因为，
则，
即，解得.
故答案为：C.
【分析】因为，结合面积公式运算求解.
8．（2023高三上·西安开学考）已知函数，，若直线与和的图象分别交于点，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：由题意可知： ，，，则 ，
构建，则，
令，解得；令，解得；
可知在上单调递减，在上单调递增，则，
可得，
所以 的最小值为 1.
故答案为：A.
【分析】分析可知，构建，利用导数判断其单调性和最值，进而可得 的最小值 .
9．（2023高三上·西安开学考）“三分损益法”是古代中国发明的制定音律时所用的生律法例如：假设能发出第一个基准音的乐器的长度为，那么能发出第二个基准音的乐器的长度为，能发出第三个基准音的乐器的长度为，，也就是依次先减少三分之一，后增加三分之一，以此类推现有一兴趣小组采用此规律构造了一个共项的数列用来研究数据的变化，已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】解：由题意，，解得，
，解得，
，解得
故答案为：A.
【分析】根据题意，倒着依次计算即可.
10．（2023高三上·西安开学考）已知实数，满足，，则下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,B
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质；幂函数的图象与性质；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：对于A：因为指数函数是减函数，，所以，
又在上递增，，所以，所以 ，故A正确；
对于B：因为，所以，又在上递增，所以 ，故B正确；
对于C：当时，，故C错误；
对于D： 当时，，，不满足 故D错误；
故答案为：AB.
【分析】利用幂函数及指数函数的单调性可判断A，利用正弦函数的单调性可判断B，举特殊值可判断CD.
11．（2023高三上·西安开学考）已知函数，若关于的方程有个不同的实根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：当时，单调递增，则；
当时，，则，
令，解得；令，解得；
可知在上单调递增，在上单调递减，则，
据此，可得函数的图象如图所示，
方程 ，解得或，
由题意可知： 关于的方程和共有 个不同的实根 ，
即直线和与函数的图象共有个不同的实根 ，所以 实数的取值范围为 .
故答案为：D.
【分析】根据指数函数以及导数作出函数的图象，分析可知直线和与函数的图象共有个不同的实根 ，数形结合分析求解.
12．（2023高三上·西安开学考）已知在三棱锥中，，，平面，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；球的体积和表面积；球内接多面体
【解析】【解答】解：如图，将 三棱锥 补成长方体，
可知 三棱锥的外接球直径 即为长方体的体对角线，
则，当且仅当时，等号成立，
所以 三棱锥的外接球表面积的最小值为.
故答案为：C.
【分析】将三棱锥 补成长方体，可知棱锥的外接球直径 即为长方体的体对角线，根据长方体的性质、球的表面积公式结合基本不等式运算求解.
二、填空题
13．（2023高三上·西安开学考）已知为实数，，，则向量在向量方向上的投影向量为 ．
【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为，
所以向量在向量方向上的投影向量为.
故答案为：.
【分析】先计算出，再利用投影向量的定义可得答案.
14．（2023高三上·西安开学考）若实数，满足不等式组则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】简单线性规划的应用；平面内两点间的距离公式；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解： 作出不等式组 所表示的平面区域，如图所示，
因为 表示动点到定点之间的距离的平方，
如图，点到直线的距离为，
所以 的最小值为.
故答案为： .
【分析】作出不等式组 所表示的平面区域，可知 表示动点到定点之间的距离的平方，结合点到直线的距离运算求解.
15．（2023高三上·西安开学考）已知双曲线的一个焦点为，点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的标准方程是
【答案】或
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：当焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程为
因为渐近线方程为，所以，
又焦点到的距离为1，所以，注意到，
解得，所以双曲线标准方程为
当焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程为
因为渐近线方程为，所以，
又焦点到的距离为1，所以，注意到，
解得，所以双曲线标准方程为
故答案为：或.
【分析】分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，结合渐近线的斜率和焦点到渐近线的距离分别算出a，b，可得其方程.
16．（2023高三上·西安开学考）已知函数，设数列的通项公式为，则 ．
【答案】18
【知识点】奇偶函数图象的对称性；等差数列的性质
【解析】【解答】解： 因为
因为是奇函数，对称中心为，
可知曲线的对称中心为，可得，
又因为 ，则数列{an}为等差数列，且，
则，
可得，
所以 .
故答案为：18.
【分析】根据题意分析可知，结合等差数列的性质，运算求解.
三、非选择题
17．（2023高三上·西安开学考）某高校课程的教师为了解本学期选修该课程的学生的情况，随机调查了名选该课程的学生的一些情况，具体数据如下表：
本专业 非本专业 合计
始生
男生
合计
（1）根据已知条件完成上面的列联表，并判断是否有的把握认为选修课程的是否为本专业学生与学生性别有关；
（2）从样本中为“非本专业”的学生中，先按性别比例用分层抽样的方法抽出人，再从这人中随机抽取人，求人都是男生的概率．
参考公式：，其中参考数据：
【答案】（1）解：由题可知学生共人，则男生人数为人，本专业男生人数为人，非本专业女生人数为人．
故列联表如下：
本专业 非本专业 合计
女生
男生
合计
所以．
因为，
所以有的把握认为选修课程的是否为本专业学生与学生性别有关，
（2）解：样本中为“非本专业”的学生有人，男、女人数之比为：．
故用分层抽样方法从中抽出人，男生有人，记为，，，，女生有人，记为，
从这人中再随机抽取人，有，，，，，，，，，共个结果，
其中人都是男生的结果有个，
所以人都是男生的概率为．
【知识点】分层抽样方法；独立性检验的应用；古典概型及其概率计算公式；2×2列联表
【解析】【分析】 (1) 根据题意完善 列联表 ，进而求 ，并与临界值对比分析；
(2) 根据分层抽样求各层人数，利用利用列举法结合古典概型运算求解.
18．（2023高三上·西安开学考）如图，在四棱锥中，底面四边形为矩形，平面平面，，，，点为的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明：平面平面，，平面平面，
平面，又平面，
．
又，，，平面，
平面，平面，即．
在中，，为的中点，
，
又，，平面，
平面，
又平面，
平面平面．
（2）解：作于点，易知平面，
在中，，
则，
点为的中点，
点到平面的距离等于点到平面的距离，
即．
又点到平面的距离等于点到平面的距离的一半，即，
，
所以，
所以三棱锥的体积为．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质
【解析】【分析】 (1) 根据面面垂直的性质可得 平面，进而可得 ，再证 平面，可得 ，结合题意可证 平面，结合面面垂直分析证明；
(2)作于点， 可得 平面， 分析可知 点到平面的距离， 利用转换顶点法求三棱锥体积.
19．（2023高三上·西安开学考）已知数列满足，且有．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）证明：由，即，
得，
又，是以为首项，为公比的等比数列；
（2）解：由知，，，
，
，
两式相减得，
，
即．
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】 (1) 根据题意结合等比数列定义分析证明；
(2) 根据等比数列通项公式可得 ，利用错位相减法运算求解.
20．（2023高三上·西安开学考）已知点为抛物线：的焦点，点，，且．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若正方形的顶点、在直线：上，顶点、在抛物线上，求．
【答案】（1）解：由题点为抛物线：的焦点，点，，
可得，则，，
又，故，整理得，即．
所以抛物线的方程为．
（2）解：正方形的顶点、在直线：上，顶点、在抛物线上，
因为是正方形，所以，直线与之间的距离等于，
设直线的方程为：，与联立，消去得：，
由，得，
设，，则，，
所以，
直线与间的距离为，
所以，整理得：，
由于，故解得，
所以，
故．
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1) 根据题意可知 ， 根据题意结合两点间距离公式运算求解；
(2)设直线的方程为：， 分析可知 直线与之间的距离等于， 利用弦长公式和点到直线的距离公式运算求解.
21．（2023高三上·西安开学考）已知函数，．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求的最小值．
【答案】（1）解：当时，，
则，
所以，
又，
所以切线方程为，化简得；
（2）解：由，可得，
令，，
则，
当时，，
设，易知在上单调递增，
又，，
则存在，使得，即，，
当时，，，单调递增，
当时，，，单调递减，
，
在上单调递增，
，
又对任意恒成立，，
所以，即的最小值为．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用；直线的点斜式方程
【解析】【分析】 (1) 求导，根据导数的几何意义结合直线的点斜式方程运算求解；
(2) 根据题意分析可知 ，令，， 求导，利用导数判断原函数的单调性和最值，根据恒成立问题结合零点代换分析求解.
22．（2023高三上·西安开学考）在平面直角坐标系中，射线的方程为，曲线的方程为以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求射线和曲线的极坐标方程；
（2）若射线与曲线交于点，将射线绕极点按逆时针方向旋转交于点，求的面积．
【答案】（1）解：将，代入得，
所以，所以射线的极坐标方程为，
将，代入得，
所以曲线的极坐标方程为；
（2）解：由题意可设点的极坐标为，点的极坐标为，
则，，
因为，，
所以，
所以．
【知识点】极坐标系；点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】【分析】（1）利用直角坐标转化为极坐标公式，代入化简即可；
（2）将代入中可得P的极径，将代入中可得Q的极径，再利用计算即可得到答案.
23．（2023高三上·西安开学考）设函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，，的最小值为，且，求证：．
【答案】（1）解：当时，函数，
当时，由得；
当时，由无解；
当时，由得．
综上，不等式的解集为．
（2）证明：因为，
当且仅当时，等号成立，故取到最小值，
所以，即．
所以
，
当且仅当时，即，等号成立，即成立．
【知识点】其他不等式的解法；基本不等式；不等式的证明
【解析】【分析】(1)利用零点分段法将x分为，，三种情况讨论即可；
（2）由三角不等式得到m=a+2，从而有，将改写成，利用基本不等式中“1”的替换可得证明.
1 / 1陕西省西安市部分学校百师联盟2023-2024学年高三上册数学（文科）开学联考试卷
一、单选题
1．（2023高三上·西安开学考）设集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023高三上·西安开学考）已知复数是虚数单位，则复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2023高三上·西安开学考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023高三上·西安开学考）函数为自然对数的底数在的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023高三上·西安开学考）如图，在棱长为的正方体中，点在对角线上移动，异面直线与所成角为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023高三上·西安开学考）已知椭圆的焦点在轴上，若焦距为，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023高三上·西安开学考）在中，，在边上，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2023高三上·西安开学考）已知函数，，若直线与和的图象分别交于点，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023高三上·西安开学考）“三分损益法”是古代中国发明的制定音律时所用的生律法例如：假设能发出第一个基准音的乐器的长度为，那么能发出第二个基准音的乐器的长度为，能发出第三个基准音的乐器的长度为，，也就是依次先减少三分之一，后增加三分之一，以此类推现有一兴趣小组采用此规律构造了一个共项的数列用来研究数据的变化，已知，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2023高三上·西安开学考）已知实数，满足，，则下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2023高三上·西安开学考）已知函数，若关于的方程有个不同的实根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023高三上·西安开学考）已知在三棱锥中，，，平面，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2023高三上·西安开学考）已知为实数，，，则向量在向量方向上的投影向量为 ．
14．（2023高三上·西安开学考）若实数，满足不等式组则的最小值为 ．
15．（2023高三上·西安开学考）已知双曲线的一个焦点为，点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的标准方程是
16．（2023高三上·西安开学考）已知函数，设数列的通项公式为，则 ．
三、非选择题
17．（2023高三上·西安开学考）某高校课程的教师为了解本学期选修该课程的学生的情况，随机调查了名选该课程的学生的一些情况，具体数据如下表：
本专业 非本专业 合计
始生
男生
合计
（1）根据已知条件完成上面的列联表，并判断是否有的把握认为选修课程的是否为本专业学生与学生性别有关；
（2）从样本中为“非本专业”的学生中，先按性别比例用分层抽样的方法抽出人，再从这人中随机抽取人，求人都是男生的概率．
参考公式：，其中参考数据：
18．（2023高三上·西安开学考）如图，在四棱锥中，底面四边形为矩形，平面平面，，，，点为的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求三棱锥的体积．
19．（2023高三上·西安开学考）已知数列满足，且有．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的前项和．
20．（2023高三上·西安开学考）已知点为抛物线：的焦点，点，，且．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若正方形的顶点、在直线：上，顶点、在抛物线上，求．
21．（2023高三上·西安开学考）已知函数，．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求的最小值．
22．（2023高三上·西安开学考）在平面直角坐标系中，射线的方程为，曲线的方程为以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求射线和曲线的极坐标方程；
（2）若射线与曲线交于点，将射线绕极点按逆时针方向旋转交于点，求的面积．
23．（2023高三上·西安开学考）设函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，，的最小值为，且，求证：．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由题意可得 .
故答案为：B.
【分析】根据交集运算求解.
2．【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示；共轭复数
【解析】【解答】解：由题意可得： ，
对应的点为，位于第三象限.
故答案为：C.
【分析】根据共轭复数的概念以及复数的几何意义分析判断.
3．【答案】B
【知识点】诱导公式；辅助角公式
【解析】【解答】解：由辅助角公式得，
所以.
故答案为：B.
【分析】直接利用辅助角公式计算化简即得.
4．【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：由题，f(x)的定义域为R，，
所以f(x)是偶函数，故排除AC，
又，故排除D.
故答案为：B.
【分析】利用函数的奇偶性结合特殊点的函数值判断即可.
5．【答案】C
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】解：因为，可知 异面直线与所成角为（或其补角），
又因为平面，可得，
在中， ，
可知当M与重合时，最大，即 最大，最大为.
故答案为：C.
【分析】分析可知 异面直线与所成角为（或其补角），根据正方体的性质可得当M与重合时， 最大，运算求解即可.
6．【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由题意，，解得，
又焦距为4，，
所以，解得，
所以椭圆的离心率为.
故答案为：B.
【分析】由题得到，结合焦距为4可得t的值，再利用离心率公式计算可得答案.
7．【答案】C
【知识点】解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由题意可知，
因为，
则，
即，解得.
故答案为：C.
【分析】因为，结合面积公式运算求解.
8．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：由题意可知： ，，，则 ，
构建，则，
令，解得；令，解得；
可知在上单调递减，在上单调递增，则，
可得，
所以 的最小值为 1.
故答案为：A.
【分析】分析可知，构建，利用导数判断其单调性和最值，进而可得 的最小值 .
9．【答案】A
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】解：由题意，，解得，
，解得，
，解得
故答案为：A.
【分析】根据题意，倒着依次计算即可.
10．【答案】A,B
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质；幂函数的图象与性质；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：对于A：因为指数函数是减函数，，所以，
又在上递增，，所以，所以 ，故A正确；
对于B：因为，所以，又在上递增，所以 ，故B正确；
对于C：当时，，故C错误；
对于D： 当时，，，不满足 故D错误；
故答案为：AB.
【分析】利用幂函数及指数函数的单调性可判断A，利用正弦函数的单调性可判断B，举特殊值可判断CD.
11．【答案】D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：当时，单调递增，则；
当时，，则，
令，解得；令，解得；
可知在上单调递增，在上单调递减，则，
据此，可得函数的图象如图所示，
方程 ，解得或，
由题意可知： 关于的方程和共有 个不同的实根 ，
即直线和与函数的图象共有个不同的实根 ，所以 实数的取值范围为 .
故答案为：D.
【分析】根据指数函数以及导数作出函数的图象，分析可知直线和与函数的图象共有个不同的实根 ，数形结合分析求解.
12．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；球的体积和表面积；球内接多面体
【解析】【解答】解：如图，将 三棱锥 补成长方体，
可知 三棱锥的外接球直径 即为长方体的体对角线，
则，当且仅当时，等号成立，
所以 三棱锥的外接球表面积的最小值为.
故答案为：C.
【分析】将三棱锥 补成长方体，可知棱锥的外接球直径 即为长方体的体对角线，根据长方体的性质、球的表面积公式结合基本不等式运算求解.
13．【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为，
所以向量在向量方向上的投影向量为.
故答案为：.
【分析】先计算出，再利用投影向量的定义可得答案.
14．【答案】
【知识点】简单线性规划的应用；平面内两点间的距离公式；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解： 作出不等式组 所表示的平面区域，如图所示，
因为 表示动点到定点之间的距离的平方，
如图，点到直线的距离为，
所以 的最小值为.
故答案为： .
【分析】作出不等式组 所表示的平面区域，可知 表示动点到定点之间的距离的平方，结合点到直线的距离运算求解.
15．【答案】或
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：当焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程为
因为渐近线方程为，所以，
又焦点到的距离为1，所以，注意到，
解得，所以双曲线标准方程为
当焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程为
因为渐近线方程为，所以，
又焦点到的距离为1，所以，注意到，
解得，所以双曲线标准方程为
故答案为：或.
【分析】分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，结合渐近线的斜率和焦点到渐近线的距离分别算出a，b，可得其方程.
16．【答案】18
【知识点】奇偶函数图象的对称性；等差数列的性质
【解析】【解答】解： 因为
因为是奇函数，对称中心为，
可知曲线的对称中心为，可得，
又因为 ，则数列{an}为等差数列，且，
则，
可得，
所以 .
故答案为：18.
【分析】根据题意分析可知，结合等差数列的性质，运算求解.
17．【答案】（1）解：由题可知学生共人，则男生人数为人，本专业男生人数为人，非本专业女生人数为人．
故列联表如下：
本专业 非本专业 合计
女生
男生
合计
所以．
因为，
所以有的把握认为选修课程的是否为本专业学生与学生性别有关，
（2）解：样本中为“非本专业”的学生有人，男、女人数之比为：．
故用分层抽样方法从中抽出人，男生有人，记为，，，，女生有人，记为，
从这人中再随机抽取人，有，，，，，，，，，共个结果，
其中人都是男生的结果有个，
所以人都是男生的概率为．
【知识点】分层抽样方法；独立性检验的应用；古典概型及其概率计算公式；2×2列联表
【解析】【分析】 (1) 根据题意完善 列联表 ，进而求 ，并与临界值对比分析；
(2) 根据分层抽样求各层人数，利用利用列举法结合古典概型运算求解.
18．【答案】（1）证明：平面平面，，平面平面，
平面，又平面，
．
又，，，平面，
平面，平面，即．
在中，，为的中点，
，
又，，平面，
平面，
又平面，
平面平面．
（2）解：作于点，易知平面，
在中，，
则，
点为的中点，
点到平面的距离等于点到平面的距离，
即．
又点到平面的距离等于点到平面的距离的一半，即，
，
所以，
所以三棱锥的体积为．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质
【解析】【分析】 (1) 根据面面垂直的性质可得 平面，进而可得 ，再证 平面，可得 ，结合题意可证 平面，结合面面垂直分析证明；
(2)作于点， 可得 平面， 分析可知 点到平面的距离， 利用转换顶点法求三棱锥体积.
19．【答案】（1）证明：由，即，
得，
又，是以为首项，为公比的等比数列；
（2）解：由知，，，
，
，
两式相减得，
，
即．
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】 (1) 根据题意结合等比数列定义分析证明；
(2) 根据等比数列通项公式可得 ，利用错位相减法运算求解.
20．【答案】（1）解：由题点为抛物线：的焦点，点，，
可得，则，，
又，故，整理得，即．
所以抛物线的方程为．
（2）解：正方形的顶点、在直线：上，顶点、在抛物线上，
因为是正方形，所以，直线与之间的距离等于，
设直线的方程为：，与联立，消去得：，
由，得，
设，，则，，
所以，
直线与间的距离为，
所以，整理得：，
由于，故解得，
所以，
故．
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1) 根据题意可知 ， 根据题意结合两点间距离公式运算求解；
(2)设直线的方程为：， 分析可知 直线与之间的距离等于， 利用弦长公式和点到直线的距离公式运算求解.
21．【答案】（1）解：当时，，
则，
所以，
又，
所以切线方程为，化简得；
（2）解：由，可得，
令，，
则，
当时，，
设，易知在上单调递增，
又，，
则存在，使得，即，，
当时，，，单调递增，
当时，，，单调递减，
，
在上单调递增，
，
又对任意恒成立，，
所以，即的最小值为．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用；直线的点斜式方程
【解析】【分析】 (1) 求导，根据导数的几何意义结合直线的点斜式方程运算求解；
(2) 根据题意分析可知 ，令，， 求导，利用导数判断原函数的单调性和最值，根据恒成立问题结合零点代换分析求解.
22．【答案】（1）解：将，代入得，
所以，所以射线的极坐标方程为，
将，代入得，
所以曲线的极坐标方程为；
（2）解：由题意可设点的极坐标为，点的极坐标为，
则，，
因为，，
所以，
所以．
【知识点】极坐标系；点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】【分析】（1）利用直角坐标转化为极坐标公式，代入化简即可；
（2）将代入中可得P的极径，将代入中可得Q的极径，再利用计算即可得到答案.
23．【答案】（1）解：当时，函数，
当时，由得；
当时，由无解；
当时，由得．
综上，不等式的解集为．
（2）证明：因为，
当且仅当时，等号成立，故取到最小值，
所以，即．
所以
，
当且仅当时，即，等号成立，即成立．
【知识点】其他不等式的解法；基本不等式；不等式的证明
【解析】【分析】(1)利用零点分段法将x分为，，三种情况讨论即可；
（2）由三角不等式得到m=a+2，从而有，将改写成，利用基本不等式中“1”的替换可得证明.
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