2023-2024学年北师大版（2012）版八年级上册第一章勾股定理单元测试卷(含答案)

2023-2024学年 北师大版（2012）版八年级上册 第一章 勾股定理 单元测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题
1．在中，，，高，则的长是（ ）
A． B． C．或 D．或
2．如图，已知中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线，，上，且，之间的距离为1，，之间的距离为3，则的长是（ ）
A．5 B．9 C．13 D．17
3．如图，中，，，．分别以、、为边在的同侧作正方形、、，四块阴影部分的面积分别为、、、．则等于（ ）

A．18 B．20 C．22 D．24
4．在中，斜边，则的值为（ ）
A．15 B．25 C．50 D．无法计算
5．若直角三角形的三边长分别为、、，其中，，则的值为（ ）
A．15 B．225 C．63 D．225或63
6．有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．设这根芦苇的长度为x尺，则可列方程（ ）
A． B． C． D．
7．如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索的长度为米，若将它沿水平方向向前推进米（即米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
8．如图，在中，于，则的长是（ ）
A．10 B． C． D．
9．《九章算术》是古代东方数学代表作，汇集了我国历代学者的劳动和智慧，被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”．其中记录了这样一个问题，如图，这个问题的大意是：有一个水池，水面是一边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面．则这根芦苇的长度为( )
A．10尺 B．12尺 C．13尺 D．14尺
10．如图，分别以的三边为直径向外作半圆，斜边，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
评卷人得分
二、填空题
11．如图，将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则h的最小值是 ．
12．如图①，用一个平面截长方体，得到如图②的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”．若长方体的长、宽、高分别为5，2，3，则图①中截面的面积为 ．
13．如图，在中，，过点作，点在点右侧，且，连接，则的值为 ．
14．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形．如图，“垂美”四边形，对角线、交于点O．若，，则的值为 ．
15．如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，则的值为 ．
16．如图，在四边形中，，，，，E是上的一点．若沿折叠，使B，D两点重合，则的面积为 ．
评卷人得分
三、问答题
17．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格顶点为格点．
(1)求的长；
(2)求的面积S；
(3)求边上的高h．
评卷人得分
四、应用题
18．如图，一艘轮船先从A地出发行驶到B地，又从B地行驶到C地，B地在A地南偏西的方向，距离A地80海里，C地在B地北偏西的方向，距离B地100海里．

(1)表示出B地相对于C地的位置；
(2)求A，C两地之间的距离．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】本题主要考查了勾股定理的运用，分当高在的内部时当高在的外部时，然后由勾股定理即可求解，解题的关键是熟练掌握勾股定理的应用及分类讨论思想．
【详解】当高在的内部时，如图，
∵边上的高，，
∴，
在中，，根据勾股定理得，，
在中，，根据勾股定理得， ，
∴；
当高在的外部时，如图，
∵边上的高,
∴，
在中，，根据勾股定理得， ，
在中，，根据勾股定理得，
∴，
综上所述，的长为或，
故选：．
2．A
【分析】本题主要考查勾股定理、三角形的全等与性质等知识点．作于D，作于E，再证明，因此可得，再结合勾股定理即可求解．
【详解】解：如图：作于D，作于E，

∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理，得：，
故选：A．
3．A
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，矩形的判定，勾股定理．过F作于D，先证明得到，再证明，得到，进一步证明，，则可证明，由此求解即可．
【详解】解：过F作于D，连接，

∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
同理可证，
∴．

由可得：，
∴，
∵，即，且，，
∴，又，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴平行四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∵，
∴，
∴
；
故选：A．
4．C
【分析】本题考查了勾股定理，先由勾股定理求得，即可求得的值．
【详解】解：∵在中，斜边，
∴，
∴，
故选：C．
5．D
【分析】此题考查勾股定理，关键是分12是直角边和斜边两种利用勾股定理解答．分12是直角边和斜边两种利用勾股定理解答即可．
【详解】解：当是直角边时，的值，
当是斜边时，的值，
故选：D．
6．C
【分析】本题考查的是勾股定理的实际应用；由芦苇长为尺，可得水深为尺，再利用两条直角边的平方和等于斜边建立方程即可解答．
【详解】解：如图，
设芦苇长为尺，则水深为尺，
由题意得，，
故选：C．
7．A
【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确作辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．
过点作于点，得到，再利用勾股定理求出的长，由此得到答案．
【详解】如图，过点作于点，
则，四边形为矩形，
米，
米，
米，
米，
此时木马上升的高度为米，
故选：．
8．D
【分析】本题考查了勾股定理，根据“直角三角形两直角边平方和等于斜边平方”求出，再用等面积法即可求出．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
故选：D．
9．C
【分析】本题考查了勾股定理的应用，设这根芦苇的长度为尺，在中，由勾股定理得出方程求解即可得出结果．
【详解】解：设这根芦苇的长度为尺，
由题意知，尺，尺，尺，
在中，由勾股定理得，
，
即，
解得，
这根芦苇的长度为尺，
故选：C．
10．A
【分析】本题主要是考查勾股定理的应用，比较简单，解题的关键是将图中阴影部分的面积转化为的形式．
利用勾股定理和圆的面积公式解答．
【详解】解：根据题意知：
图中阴影部分的面积
故选：A．
11．
【分析】此题将勾股定理与实际问题相结合，考查了同学们的观察力和由具体到抽象的推理能力，有一定难度．
先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可．
【详解】解：当筷子与杯底垂直时最大，最大．
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时最小，
如图所示：
此时，，
故．
故的最小值是．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了用一个平面截几何体的截面面积，勾股定理，解题关键是找到截面的形状．
截面是一个矩形，已知长方体的长宽高，就可以根据勾股定理求出的长，就可以求出矩形的面积．
【详解】解：图①中的截面即矩形的面积，
∵为直角三角形，
由勾股定理得：，
∴面积为：．
故答案为：．
13．22
【分析】此题主要考查勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质、勾股定理．作，交延长线于E点，连接，得到是等腰直角三角形，求出，，再证明，得到，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：作，交延长线于E点，连接，
∵，
∴是等腰直角三角形
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴在中，
故答案为：22．
14．52
【分析】本题考查了勾股定理，由题意可得，即可求解．
【详解】解：由题意可得：，
∴，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面积的变化找出变化规律“”是解题的关键．根据题意求出面积标记为的正方形的边长，得到，同理求出，得到规律，根据规律解答．
【详解】解：
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍，
∵正方形的边长为2，
，
∴面积标记为的正方形边长为，
则，
面积标记为的正方形边长为，
则，
面积标记为的正方形的边长为，
则，
……，
，
则的值为：，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的面积，勾股定理，设，由折叠的性质得到，根据勾股定理列方程求得，于是得到的面积．熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
【详解】解：设，由折叠的性质得到，
∵，
∴，
即，
解得：，
∴，
∴的面积
故答案为：．
17．(1)；；
(2)
(3)
【分析】本题考查了勾股定理和面积计算，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
（1）由勾股定理可求出答案；
（2）根据可求出答案；
（3）过点作于点，由三角形的面积可求出答案．
【详解】（1）由图可知：，
，
故答案为；；；．
（2）如图，
（3）过点作于点，
边上的高为．
18．(1)B地在C地南偏东的方向，距离C地100海里
(2)海里
【分析】本题考查了方向角，勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）结合图形观察即可求解；
（2）判断，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：如图，

∵C地在B地北偏西的方向，距离B地100海里
∴B地在C地南偏东的方向，距离C地100海里；
（2）解：根据题意，得，
∴海里，
即A，C两地之间的距离海里．
答案第1页，共2页
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