2023-2024学年北师大版（2012）版八年级下册第一章三角形的证明单元测试卷(含解析)

2023-2024学年 北师大版（2012）版八年级下册 第一章 三角形的证明 单元测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题
1．等腰三角形的两边a、b满足，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．9 B．14 C．19 D．14或19
2．如图，中，，是的角平分线，延长至E，使得，连接．下列判断：①；②；③平分；④，不一定成立的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．如图，在中，，过点作，分别为线段和射线上的点，且．若以为顶点的三角形与以为顶点的三角形全等，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．以上答案都不对
4．如图，在四边形中，，对角线恰好平分，点在边上．连接，使得，若，则一定等于（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知中，，，，在所在平面内一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为的等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）
A．条 B．条 C．条 D．条
6．如图，在中，的垂直平分线相交于点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点使为等腰三角形，符合条件的点有（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
8．如图，在平面直角坐标系中，点，，，和，，，分别在直线和x轴上，，，，都是等腰直角三角形，如果点，那么的纵坐标是（ ）

A． B． C． D．
9．如图，已知中，，，边的垂直平分线分别交，于点，，点为直线上一点，则的周长最小值为（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
10．如图是一副直角三角板放置，点C在的延长线上，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
评卷人得分
二、填空题
11．如图，在等腰中，，延长至点，使得．，过点作，垂足为，延长至点，连接，若，则 ．
12．如图，中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，连接，若，则 ．

13．若a、b、c是的三边，且，则最大边上的高是 ．
14．如图，中，，平分，，则的面积是 ．
15．如图，在中，，于点，的平分线交于点，交于点，于，的延长线交于点，下列四个结论：①；②；③；④连接，若，则，其中正确的结论有 ．
16．如图是我们画圆（或画弧）使用的圆规，已知圆规两脚．画圆或画弧时要调整圆规两脚张开的角度，若圆规两脚张开的角度为时，A，B两点的距离为 ．

评卷人得分
三、问答题
17．如图，在等腰直角三角形中，，点为上一点，过点作于点，点为轴上一动点，点关于的对称点为点，连接、、．

(1)点的坐标为______；
(2)若点的坐标为，延长交于点．当时，求点的坐标．
(3)若点为轴上一动点，是否存在以、、为顶点且以为斜边的三角形为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由．
评卷人得分
四、证明题
18．如图，在中，，是的平分线，，交于点E，且．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)求和的度数．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】本题考查非负式子和为0，它们分别等于0，三角形的三边关系，解题的关键是注意三角形三边关系．根据非负数的性质求出a，b的值，再求周长即可．
【详解】解：∵，，，
∴，，
解得：，，
∵，
∴为腰，3为底，
∴周长，
故选C．
2．D
【分析】如图，延长交于，是等腰三角形，则是线段的垂直平分线，是边上的中线，即，进而可判断①；由中线可知为中线交点，则，进而可判断②；是边上中线的一部分，则与不一定相等，进而可判断③；由，即，进而可判断④．
【详解】解：如图，延长交于，
∵，
∴，即是等腰三角形，
∵是的角平分线，
∴是线段的垂直平分线，是边上的中线，
∴，①一定成立，故不符合要求；
∵是底边上的中线，
∴为中线交点，则，②一定成立，故不符合要求；
∴是边上中线的一部分，
∴与不一定相等，即不一定平分；③不一定成立，故符合要求；
∵，，
∴，即，④一定成立，故不符合要求；
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，中线的性质，角平分线等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
3．C
【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，分两种情况：当时，；当点运动到与点重合时，，，分别证明三角形全等即可得到答案，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键．
【详解】解：当时，，
在和中，
，
，
即；
当点运动到与点重合时，，，
在和中，
，
，
即；
综上所述，或，
故选：C．
4．D
【分析】本题主要考查角平分线的性质定理及全等三角形的性质与判定，熟练掌握角平分线的性质定理及全等三角形的性质与判定是解题的关键；
过点D作于点H，由题意易得，则可证，然后问题可求解．
【详解】解：过点D作于点H，如图所示：
∵恰好平分，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
故选D．
5．C
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，正确利用图形分类讨论，得出等腰三角形是解答本题的关键．
根据等腰三角形的性质，分两种情况讨论：当以为等腰三角形的腰时，当以为等腰三角形的底时，找出满足题意的直线，得到答案．
【详解】解：根据题意，
当以为等腰三角形的腰时：
如图，
如图，
如图，
当以为等腰三角形的底时：
如图，，
综上，有，，，四条直线满足题意，
故选：．
6．C
【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理．连接，根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理计算是解题的关键．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵、的垂直平分线交于点O，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
7．C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定，根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中，等边对等角）”分三种情况解答即可．构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作出等腰三角形来，思考要全面，做到不重不漏．
【详解】解：如图，
①以A为圆心，为半径画圆，交直线有二点，，交有一点，（此时）；
②以B为圆心，为半径画圆，交直线有二点，，交有一点（此时）．
③的垂直平分线交一点（），交直线于点；
∴符合条件的点有8个．
故选：C．
8．A
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形以及规律型：点的坐标，通过运算发现纵坐标的规律是解题的关键．设点，，，…，坐标，结合函数解析式，寻找纵坐标规律，进而解题．
【详解】解：过作轴于，过作轴于，过作轴于，…
如图，

∵在直线上，
∴，
∴，
∴，
设，，，…， ，
则有 ，
，
…
又∵，，…都是等腰直角三角形，轴，轴，轴…，
∴，
，
…
∴，
，
…
，
将点坐标依次代入直线解析式得到：
，
∴ ，
同理 ，
，
…
，
又∵ ，
∴，
，
，
…
，
故选：A．
9．C
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，如图所示，连接，根据线段垂直平分线的性质得到，由三角形周长公式得到的周长，故当A、D、C三点共线时，最小，即此时的周长最小，此时点D与点F重合，最小值即为的长，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵边的垂直平分线分别交，于点，，
∴，
∴的周长，
∴当A、D、C三点共线时，最小，即此时的周长最小，此时点D与点F重合，最小值即为的长，
∴的周长的最小值为，
故选C．
10．B
【分析】本题考查了勾股定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，平行线的性质．过点B作于点M，求出，在中求出，推出，即可求得答案．
【详解】解：过点B作于点M，
在中，，
∴，，
∵，
∴．
∴，，
在中，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
故选：B．
11．24
【分析】过点A作于点G，过点B作于点H，设，根据三角形内角和定理求出的度数，的度数，于是求出的度数，根据即可求出的度数，根据周角的定义求出，于是可求出的度数，从而得出是等腰三角形，再证和全等得出，根据的面积求出的长，于是得出的长，再根据等腰三角形三线合一即可求出的长．
【详解】解：如图，过点A作于点G，过点B作于点H，
∵，
∴，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴
∵，
∴
∴，
在中，，
∴，
∴，
即是等腰三角形，
由等腰三角形三线合一的性质得
∵，，，
∴，
在和中，，，，
∴，
∴，
∵，，
∴
∴，
∴，
∵是等腰三角形，，
∴，
故答案为：24．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，三角形面积公式等知识，熟练掌握这些图形的性质是解题的关键．
12．3
【分析】由三角形内角和定理可得，由垂直平分线的性质得，，则，，根据，计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，垂直平分线的性质，等边对等角，含的直角三角形．熟练掌握垂直平分线的性质，含的直角三角形是解题的关键．
13．
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，等面积法求三角形的高．熟练掌握勾股定理的逆定理判断三角形的形状是解题的关键．由勾股定理的逆定理可求是直角三角形，，设最大边上的高为，依题意得，，即，计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴是直角三角形，，
设最大边上的高为，
依题意得，，即，
解得，，
故答案为：．
14．5
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积求解，过点D作于E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到，再根据三角形面积计算公式求解即可．
【详解】解：如图所示，过点D作于E，
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：5．
15．①③/③①
【分析】证明，可得，故①正确；根据题意无法确定、的大小关系，则无法得到，故②错误；由，可得，再证明为等腰三角形，从而得到，进而得到，可得，进而证明，故③正确；结合三角形中线的性质可得，，进而可得，故④错误．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故①正确；
根据题意无法确定的大小、的大小关系，
∴无法得到，故②错误；
∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，故③正确；
∵，
∴，，
∴，
即，
又∵，
∴，故④错误．
综上所述，正确的有①③．
故答案为：①③．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、直角两锐角互余、等腰三角形的判定与性质、三角形中线的性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键．
16．8
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质．熟练掌握有一个角为的等腰三角形是等边三角形是解题的关键．
如图，连接，证明是等边三角形，然后作答即可．
【详解】解：如图，连接，

由题意知，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
故答案为：8．
17．(1)
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，以及点的坐标，求出的长，即可得到点的坐标；
（2）对称，得到，进而得到，同角的余角相等，得到，推出，证明，得到，得到的长，进而求出的长，即可得出点坐标；
（3）分点在轴正半轴和负半轴，两种情况，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
（2）∵点关于的对称点为点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）存在，
①当点在轴正半轴上时，如图，过点作轴，则：，

∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
②当点在轴的负半轴上时，如图：

同法可得：∴，
∴，
∴；
综上：或．
【点睛】本题考查坐标与图形，等腰三角形的判定和性质，成轴对称图形的性质，全等三角形的判定和性质．本题的综合性较强，难度较大，正确的识图，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
18．(1)见解析
(2)的度数为，的度数为
【分析】（1）由角平分线，可得，由平行线，三角形外角的性质可得，，即，进而结论得证；
（2）由题意知，，则，根据，计算求解即可．
【详解】（1）证明：∵是的平分线，
∴ ，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的度数为，的度数为．
【点睛】本题考查了角平分线，平行线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质．明确角度之间的数量关系是解题的关键．
答案第1页，共2页
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