浙江省丽水市2022-2023学年高二下学期期末数学试题

浙江省丽水市2022-2023学年高二下学期期末数学试题
一、单选题
1．（2020·北京）已知集合 ， ，则 （　　）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】 ，
故答案为：D.
【分析】根据交集定义直接得结果.
2．在中，角所对的边分别为，已知，，，则角（　　）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】，即，
所以 ，
那么或.
当时，，
所以，
故选A.
【分析】根据正弦定理求出A角的正弦值，从而求出A的大小. 注意三角形内角和为.
3．已知，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
【答案】C
【知识点】幂函数的图象与性质；幂函数图象及其与指数的关系
【解析】【解答】解：由 得
取，可得，推不出 ；
取，可得，推不出 ；
故“”是“”的既不充分也不必要条件.
故答案为：C.
【分析】由 得，利用赋值法结合充分条件、必要条件的定义可得答案.
4．在平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，角的终边与圆心在坐标原点的单位圆交于点，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：由题意可知：，则，
故，，
则
故答案为：D.
【分析】 由已知根据三角函数的定义求出sina，cosa的值，再根据余弦二倍角公式，即可求出答案.
5．已知函数是奇函数，是偶函数，当时，，则下列选项不正确的是（　　）
A．在区间上单调递减 B．的图象关于直线对称
C．的最大值是1 D．当时恒有
【答案】B
【知识点】函数单调性的判断与证明；奇函数与偶函数的性质；奇偶函数图象的对称性；函数的图象；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：由函数 是奇函数，可得f(x)的图象关于点(1，0)对称，即f(-x)=-f(2+x)，
由f (x+2)是偶函数，可得f (x)的图象关于直线x=2对称，即 f(-x)= f(4 +x)，
即f(4+x)=-f(2 +x)=f(x)，故f(x)周期为4.
由f (x)的图象关于点(1，0)对称，且关于直线x=2对称，可得(3，0)也是f (x)的对称中心，
当x∈[2，3]时，f(x)= 3-x，则f(6-x)=3-(6-x)=x-3，
根据函数的对称性可知，f(x)=-f(6-x)=3-x.
当x∈[2，4]时，f(x)= 3-x单调递减，又f (x)的图象关于点(1，0)对称，可得f (x)在区间(-2， 0)上单调递减，故A正确；
由f (x)的图象关于点(3，0)对称，f (x)周期为4，可得f (x)的图象关于点(-1，0)对称，故B不正确；
当x∈[2，4]时，f(x)=3-x，则-1≤f(x)≤1；当x∈[0，2]时，-1≤f(x)≤1，则f (x)的最大值是1，故C正确；
当x∈[2，3)时，f(x)=3-x>0，当x∈(1，2]时， f(x)>0，即当x∈(1，3)时，f(x)>0恒成立，
又f (x)的图象关于点(1， 0)对称，当x∈(-1，1)时，恒有f(x)<0，故D正确.
故答案为： B.
【分析】根据已知结合函数图象平移伸缩变换可得，可得f (x)的图象关于点(1， 0)对称， 且关于直线x=2对称，进而得出f (x)周期为4，根据f (x)在[2， 3]上的解析式，结合函数的对称性可得出f (x)在[2， 4]上的解析式以及单调性，根据对称性可判断A、B；求出f (x)在[2， 4]上的值域，根据对称性可得f (x)的最大值，即可判断C、D.
6．已知中，，，，过点作垂直于点，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】共线（平行）向量；平面向量加法运算；向量加法的三角形法则；平面向量的共线定理
【解析】【解答】解：如图所示： 过点作垂直于点，则
设 ， ，，
则
解得，
故
故答案为：B.
【分析】由题意设 ，再根据列出关于m的方程，求解可得m的值，可得答案.
7．如图，在三棱柱中，底面，，，，在上底面（包括边界）上运动，则三棱锥的外接球体积的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】棱锥的结构特征；球的体积和表面积；空间中直线与平面之间的位置关系；球内接多面体；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】由 ， ，可得△ABC的外接圆的圆心为AB的中点O1，且AO1=BO1=，
取A1B1的中点E，连接O1E，则O1E// AA1，可得O1E⊥平面ABC，
设三棱锥 的外接球的球心为O，则O在O1E上，
设，球半径为r，即OA=OD=r，
则，即
由可得
故
即外接球半径的最大值为
故三棱锥的外接球的体积的最大值为
故答案为： C.
【分析】 先确定球心的位置，结合勾股定理得出外接球半径，进而求出外接球半径的最大值，进而可求外接球的体积的最大值.
8．函数，已知点为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，且在区间上单调递减，则满足条件的所有的值的和为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的单调性；正弦函数的零点与最值
【解析】【解答】解： 由f (x)在区间 上单调递减 ，可得，即
由点为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，可得
根据正弦函数的图象可知
当时，T=5π，故， ，由于f(x)在x=π处取得最大值，故
，即，又，可得，符合题意；
当时，T=，故， ，由于f(x)在x=π处取得最大值，故
，即，又，可得无解，不符合题意；
当时，T=π，故， ，由于f(x)在x=π处取得最大值，故
，即，又，可得，符合题意；
故或
故满足条件的所有的值的和为
故答案为： C.
【分析】根据已知条件结合正弦函数的性质，即可得出T≥π，再根据 在区间上单调递减 可得，分情况求解，即可求出答案.
二、多选题
9．已知向量，，则（　　）
A． B．在上的投影向量是
C． D．与的夹角是
【答案】B,C
【知识点】向量的模；数量积表示两个向量的夹角；平面向量的投影向量；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：由向量，可得， ，则 ，故A不正确；
，则 在上的投影向量是，故B正确；
，则 ，故C正确；
，又，可得，故D不正确.
故答案为： BC.
【分析】 根据向量模的坐标运算，可判断A；根据投影向量的定义，可判断B；根据数量积的运算判断垂直，可判断C；根据向量夹角的坐标运算求解，可判断D.
10．抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），观察两枚骰子落地时朝上的面的点数，表示事件“Ⅰ号点数为1”，表示事件“Ⅱ号点数是2”，表示事件“两枚点数之和是8”，表示事件“两枚点数之和是7”，则（　　）
A． B．
C．与相互独立 D．与相互独立
【答案】A,B,D
【知识点】相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由题可知试验结果一共有36种可能情况，可得，故A正确；
C表示的事件包含(2，6)，(3，5)，(4， 4)，(5， 3)，(6，2)共5种情况，可得，
故B正确；
P(AC)=0，P(A)P(C)=，则P(AC)≠P(A)P(C)，故A与C不相互独立，故C不正确；
， D表示的事件包含(1， 6)， (2，5)，(3，4)， (4，3)，(5， 2)， (6， 1)共6种情况，可得， BD表示的事件包含(5，2)共1种情况，则P(BD)= ，， P(BD)=P(B)P(D)，故B与D相互独立，故D正确.
故答案为： ABD.
【分析】 根据古典概型与事件独立的乘法公式，逐项进行判断，可得答案.
11．已知非零实数，满足，实数，满足，则下列可能成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】指数函数的图象与性质；指数函数单调性的应用
【解析】【解答】构建，则，
令，解得；令，解得；
则在上单调递减，在上单调递增，
可知.
且，
所以有2个零点，即，
可知与有2个交点，如图1所示
对于A：由图2可知，存在，满足，故A正确；
对于BC：由图3可知，当时，若 成立，
则 ，故B错误，C正确；
对于D：由图4可知：当时，若 成立，
则，故D正确；
故答案为：ACD.
【分析】构建，利用导数分析其零点分布，即为与的交点分布，结合与的图象逐项分析判断.
12．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马中，侧棱底面，且，分别为的中点，则（　　）
A．四面体是鳖臑
B．与所成角的余弦值是
C．点到平面的距离为
D．过点的平面截四棱锥的截面面积为
【答案】A,B,D
【知识点】棱锥的结构特征；简单组合体的结构特征；异面直线及其所成的角；异面直线；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：以点D为原点建立空间直角坐标系如图所示：
则A(2，0，0)， B(2，2，0)， C(0， 2， 0)，P(0， 0， 2)，D(0，0，0)， M (1， 0，1)， N (0，1，1)，G(1，1，1)，，，，
，，，即，，
即DN⊥BN，DN⊥CN， DC⊥CB，
故四面体 的四个面都为直角三角形，即四面体 是鳖孺，故A正确；
，，则CG与MN所成角的余弦值为
，故B正确；
，，
设平面PAC的法向量为，由可得
则点G到平面PAC的距离为
，故C错误；
设过点M， N，B的平面与线段PD的交点为Q (0，0，m)，则
，，
由已知得，即
即，解得
则
由可得MN⊥BQ，
，
故过点M， N， B的平面截四棱锥P- ABCD的截面面积为： ，故D正确.
故答案为： ABD.
【分析】以点D为原点建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标，利用向量数量积的坐标表示结合鳖儒的定义，可判断A；利用向量夹角的余弦公式，可判断B；利向量法求出点到平面的距离，可判断C；利用向量的线性运算结合向量数量积的坐标运算可得MN，BQ的值，进而求出四棱锥P- ABCD的截面面积，可判断D.
三、填空题
13．已知复数满足（为虚数单位），则=　 　．
【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由 可得
故答案为： .
【分析】把已知等式变形，再利用复数的乘除运算化简可得答案.
14．如图，两座建筑物，的高度分别是和，从建筑物的顶部看建筑物的张角，则这两座建筑物和的底部之间的距离　 　.
【答案】24
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解： 过点A作AE⊥CD，设BD=m，
则
即
即，解得：或（舍去）
故答案为： 24.
【分析】 首先通过过点A作AE⊥CD，设BD=m，在直角三角形中利用解三角形知识的应用求出m的值，进而可得BD的长.
15．在中，，为边上的动点，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】解： 以A为原点， AC为x轴，AB为y轴，建立直角坐标系如图所示：
则 A(0， 0)， B (0，4)， C(3， 0)，故，，
设
，
则
当时， 取得最小值
故答案为： .
【分析】以A为原点， AC为x轴，AB为y轴，建立直角坐标系，求出所需点的坐标，再利用向量的线性运算和向量数量积的运算，结合二次函数的性质可求出 的最小值 .
16．已知实数满足，则的最大值为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次不等式及其解法；基本不等式；不等式的综合
【解析】【解答】解： 由 可得 ，即
由，可得
当时，有最大值 ，当且仅当a =b时，等号成立.
故 的最大值为.
故答案为：.
【分析】 根据已知得出，求出c的范围，结合基本不等式得到关于c的二次函数，再根据二次函数的性质，即可得出 的最大值 .
四、解答题
17．某市政府为了节约生活用水，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度，即确定每户月人均用水量标准M（单位：立方米），月人均用水量不超过M的部分按平价收费，超出M的部分按议价收费．现随机抽取200户进行调查，抽取的用户月人均用水量的频率分布直方图如图所示．
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）如果希望的用户月人均用水量不超过标准M，那么标准M定为多少比较合理？
（3）若从月人均用水量在，，三组的用户中采用按比例分层抽样的方法选取6户参加节水座谈会，再从6户中随机地抽2户发言，求发言的2户来自不同组的概率．
【答案】（1）解：因为图中所有矩形面积之和为1，
所以，
解得.
（2）解：由图象可知，月人均用水量低于2立方米的居民占比为
，
月人均用水量低于立方米的居民占比为
，
根据分位数的含义可知，，
且，解得.
（3）解：由图象可知，内的频率为，内的频率为，内的频率为，
所以，根据分层抽样知，应从中抽3户，记作，中抽2户，记作，中抽1户，记作.
则从这6户中抽取2户有，，，，，，，，，，，，，，，共包含个等可能的样本点，
满足发言的2户来自不同组的有，，，，，，，，，，共包含个样本点，
根据古典概型可知，发言的2户来自不同组的概率.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【分析】 ( 1 )根据频率分布直方图中小矩形面积之和为1，列出方程，求解即可得 的值；
( 2 )利用百分位数的概念列出方程，求解即可得出M的值；
( 3 )求出3个区间内的频率，根据分层抽样得出每个区间应该抽取的人数，然后列举出所有的点，再根据古典概型概率公式，即可求出发言的2户来自不同组的概率．
18．已知函数，．
（1）求的最小正周期和单调递增区间；
（2）将的图象向左平移个单位，得到的图象，求，的值域．
【答案】（1）解：由题，周期，
令，
得，
所以的单调递增区间是.
（2）解：由已知可得，.
因为，所以.
因为在上单调递增，在上单调递减，
且，，，
所以，，所以，
所以所求值域为.
【知识点】正弦函数的性质；正弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的周期性
【解析】【分析】 (1)利用辅助角公式化简可得 ，再根据正弦函数的周期性和单调性， 即可求出 的最小正周期和单调递增区间；
(2) 由已知可得， ，然后利用辅助角公式化简可得 .根据正弦函数的单调性即可求出 的值域．
19．已知函数是偶函数．
（1）若，求的值；
（2）若实数满足，求的取值范围．
【答案】（1）解：由已知可得，.
因为是偶函数，
所以对任意恒成立，
即对任意恒成立，
所以，所以，
所以.
由可得，，
化简可得，即，
所以，，解得．
（2）解：.
令，，则，
根据对勾函数的单调性可知，在上单调递增.
又单调递增，
根据复合函数的单调性可知，在上单调递增.
又函数单调递增，
根据复合函数的单调性可知，在上单调递增.
又因为函数为偶函数，
所以有，.
所以，由即可得出，
所以，.
平方整理可得，，
解得或．
【知识点】函数单调性的性质；偶函数；函数的奇偶性
【解析】【分析】(1)根据对数的运算性质化简可得 ，再根据偶函数的性质得到关于m的方程，求解即可得出m的值，可得f(x)的解析式，再根据f(x)=1，结合指对互化，求解可得 的值；
(2)化简可得 ，然后根据对勾函数以及复合函数的单调性，可得 ，，再根据偶函数的性质可得 ， 再根据函数的单调性即可得出 ，求解可得 的取值范围．
20．已知的内角所对的边分别为，且.
（1）求角A的大小；
（2）若点满足，且，求的最小值．
【答案】（1）解：由正弦定理得，，
即，
整理可得.
因为，
所以，即.
又因为，所以，
所以，即.
（2）解：如图，
由可知，，即.
在中，由正弦定理可得，；
在中，由正弦定理可得，.
所以，，即
因为，所以，
所以.
又，所以.
又，所以.
由得，，
即，
整理可得，即.
所以，
当且仅当，即时，取到最小值．
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用；运用诱导公式化简求值；正弦定理；正弦定理的应用
【解析】【分析】 (1)根据正弦定理边化角可得 ，再根据辅助角公式得出 ，再结合 ，即可求出角A的大小；
(2) 由 可得 ，再根据正弦定理可得 ，再由 可得 ，利用乘“1”法结合基本不等式即可求出 的最小值．
21．在四棱锥中，为正三角形，四边形为等腰梯形，为棱的中点，且，.
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）证明：如图1，分别延长相交于点，取中点，连接交于点，
连接.
因为四边形为等腰梯形，，
所以，，
所以，
所以，
所以为正三角形，且分别为的中点，为的中点.
又因为为棱的中点，所以，所以.
因为，所以.
又为正三角形，所以，所以.
因为为的中点，所以.
又因为为正三角形，所以，
所以，所以.
又因为，，
所以，所以.
因为为的中点，所以.
又，面，
所以平面，而平面，
所以平面平面.
（2）解：如图2，取的中点，
由（1）知，平面平面，且.
因为为的中点，所以，，
所以为平面与平面所成二面角的平面角.
又因为，所以，.
在中，，
故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1） 取中点，连接交于点，连接，由四边形为等腰梯形可得，， 由中位线的性质可得 ，推出 ， ，再根据线面垂直的判定定理可得 平面 ，进而推出平面平面；
（2）先推出 ，， 可得 为平面与平面所成二面角的平面角，再根据余弦定理可求出平面与平面所成锐二面角的余弦值.
22．已知函数.
（1）当时，求的零点；
（2）若关于的方程区间上有三个不同的解，且，求的取值范围；
（3）当时，若在上存在2023个不同的实数，，使得，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：当时，令，
当时，，解得或（舍去）；
当时，，解得或（舍去）；
所以的零点是
（2）解：令，
且，可得，
记，
作出的图像，如图所示，
由的图像得，且，
注意到是方程的两根，即方程的两根，可得，
所以.
（3）解：因为，
①当，即时，在上单调递减，
则，
可得
，
所以，得；
②当，即时，则在单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
不妨设，其中，
则，
可得
，
因为，所以，不满足条件；
所以实数的取值范围为．
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象；二次函数的性质；函数的零点与方程根的关系；函数的零点
【解析】【分析】 (1)当a=1时， 令，分 和 两种情况求解可得 的零点；
(2)利用参数分离法分离参数可得 ， 构造函数 ，利用函数与方程的关系转化为 是方程的两根 ，利用根与系数的关系可求出 的取值范围；
(3)分 ， 两种情况讨论对称轴的位置，再利用放缩法进行求解，即可得实数的取值范围．
1 / 1浙江省丽水市2022-2023学年高二下学期期末数学试题
一、单选题
1．（2020·北京）已知集合 ， ，则 （　　）．
A． B． C． D．
2．在中，角所对的边分别为，已知，，，则角（　　）
A． B． C．或 D．或
3．已知，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
4．在平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，角的终边与圆心在坐标原点的单位圆交于点，则（　　）
A． B． C． D．
5．已知函数是奇函数，是偶函数，当时，，则下列选项不正确的是（　　）
A．在区间上单调递减 B．的图象关于直线对称
C．的最大值是1 D．当时恒有
6．已知中，，，，过点作垂直于点，则（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，在三棱柱中，底面，，，，在上底面（包括边界）上运动，则三棱锥的外接球体积的最大值为（　　）
A． B． C． D．
8．函数，已知点为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，且在区间上单调递减，则满足条件的所有的值的和为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知向量，，则（　　）
A． B．在上的投影向量是
C． D．与的夹角是
10．抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），观察两枚骰子落地时朝上的面的点数，表示事件“Ⅰ号点数为1”，表示事件“Ⅱ号点数是2”，表示事件“两枚点数之和是8”，表示事件“两枚点数之和是7”，则（　　）
A． B．
C．与相互独立 D．与相互独立
11．已知非零实数，满足，实数，满足，则下列可能成立的是（　　）
A． B． C． D．
12．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马中，侧棱底面，且，分别为的中点，则（　　）
A．四面体是鳖臑
B．与所成角的余弦值是
C．点到平面的距离为
D．过点的平面截四棱锥的截面面积为
三、填空题
13．已知复数满足（为虚数单位），则=　 　．
14．如图，两座建筑物，的高度分别是和，从建筑物的顶部看建筑物的张角，则这两座建筑物和的底部之间的距离　 　.
15．在中，，为边上的动点，则的最小值为　 　．
16．已知实数满足，则的最大值为　 　．
四、解答题
17．某市政府为了节约生活用水，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度，即确定每户月人均用水量标准M（单位：立方米），月人均用水量不超过M的部分按平价收费，超出M的部分按议价收费．现随机抽取200户进行调查，抽取的用户月人均用水量的频率分布直方图如图所示．
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）如果希望的用户月人均用水量不超过标准M，那么标准M定为多少比较合理？
（3）若从月人均用水量在，，三组的用户中采用按比例分层抽样的方法选取6户参加节水座谈会，再从6户中随机地抽2户发言，求发言的2户来自不同组的概率．
18．已知函数，．
（1）求的最小正周期和单调递增区间；
（2）将的图象向左平移个单位，得到的图象，求，的值域．
19．已知函数是偶函数．
（1）若，求的值；
（2）若实数满足，求的取值范围．
20．已知的内角所对的边分别为，且.
（1）求角A的大小；
（2）若点满足，且，求的最小值．
21．在四棱锥中，为正三角形，四边形为等腰梯形，为棱的中点，且，.
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
22．已知函数.
（1）当时，求的零点；
（2）若关于的方程区间上有三个不同的解，且，求的取值范围；
（3）当时，若在上存在2023个不同的实数，，使得，求实数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】 ，
故答案为：D.
【分析】根据交集定义直接得结果.
2．【答案】A
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】，即，
所以 ，
那么或.
当时，，
所以，
故选A.
【分析】根据正弦定理求出A角的正弦值，从而求出A的大小. 注意三角形内角和为.
3．【答案】C
【知识点】幂函数的图象与性质；幂函数图象及其与指数的关系
【解析】【解答】解：由 得
取，可得，推不出 ；
取，可得，推不出 ；
故“”是“”的既不充分也不必要条件.
故答案为：C.
【分析】由 得，利用赋值法结合充分条件、必要条件的定义可得答案.
4．【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：由题意可知：，则，
故，，
则
故答案为：D.
【分析】 由已知根据三角函数的定义求出sina，cosa的值，再根据余弦二倍角公式，即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】函数单调性的判断与证明；奇函数与偶函数的性质；奇偶函数图象的对称性；函数的图象；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：由函数 是奇函数，可得f(x)的图象关于点(1，0)对称，即f(-x)=-f(2+x)，
由f (x+2)是偶函数，可得f (x)的图象关于直线x=2对称，即 f(-x)= f(4 +x)，
即f(4+x)=-f(2 +x)=f(x)，故f(x)周期为4.
由f (x)的图象关于点(1，0)对称，且关于直线x=2对称，可得(3，0)也是f (x)的对称中心，
当x∈[2，3]时，f(x)= 3-x，则f(6-x)=3-(6-x)=x-3，
根据函数的对称性可知，f(x)=-f(6-x)=3-x.
当x∈[2，4]时，f(x)= 3-x单调递减，又f (x)的图象关于点(1，0)对称，可得f (x)在区间(-2， 0)上单调递减，故A正确；
由f (x)的图象关于点(3，0)对称，f (x)周期为4，可得f (x)的图象关于点(-1，0)对称，故B不正确；
当x∈[2，4]时，f(x)=3-x，则-1≤f(x)≤1；当x∈[0，2]时，-1≤f(x)≤1，则f (x)的最大值是1，故C正确；
当x∈[2，3)时，f(x)=3-x>0，当x∈(1，2]时， f(x)>0，即当x∈(1，3)时，f(x)>0恒成立，
又f (x)的图象关于点(1， 0)对称，当x∈(-1，1)时，恒有f(x)<0，故D正确.
故答案为： B.
【分析】根据已知结合函数图象平移伸缩变换可得，可得f (x)的图象关于点(1， 0)对称， 且关于直线x=2对称，进而得出f (x)周期为4，根据f (x)在[2， 3]上的解析式，结合函数的对称性可得出f (x)在[2， 4]上的解析式以及单调性，根据对称性可判断A、B；求出f (x)在[2， 4]上的值域，根据对称性可得f (x)的最大值，即可判断C、D.
6．【答案】B
【知识点】共线（平行）向量；平面向量加法运算；向量加法的三角形法则；平面向量的共线定理
【解析】【解答】解：如图所示： 过点作垂直于点，则
设 ， ，，
则
解得，
故
故答案为：B.
【分析】由题意设 ，再根据列出关于m的方程，求解可得m的值，可得答案.
7．【答案】C
【知识点】棱锥的结构特征；球的体积和表面积；空间中直线与平面之间的位置关系；球内接多面体；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】由 ， ，可得△ABC的外接圆的圆心为AB的中点O1，且AO1=BO1=，
取A1B1的中点E，连接O1E，则O1E// AA1，可得O1E⊥平面ABC，
设三棱锥 的外接球的球心为O，则O在O1E上，
设，球半径为r，即OA=OD=r，
则，即
由可得
故
即外接球半径的最大值为
故三棱锥的外接球的体积的最大值为
故答案为： C.
【分析】 先确定球心的位置，结合勾股定理得出外接球半径，进而求出外接球半径的最大值，进而可求外接球的体积的最大值.
8．【答案】C
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的单调性；正弦函数的零点与最值
【解析】【解答】解： 由f (x)在区间 上单调递减 ，可得，即
由点为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，可得
根据正弦函数的图象可知
当时，T=5π，故， ，由于f(x)在x=π处取得最大值，故
，即，又，可得，符合题意；
当时，T=，故， ，由于f(x)在x=π处取得最大值，故
，即，又，可得无解，不符合题意；
当时，T=π，故， ，由于f(x)在x=π处取得最大值，故
，即，又，可得，符合题意；
故或
故满足条件的所有的值的和为
故答案为： C.
【分析】根据已知条件结合正弦函数的性质，即可得出T≥π，再根据 在区间上单调递减 可得，分情况求解，即可求出答案.
9．【答案】B,C
【知识点】向量的模；数量积表示两个向量的夹角；平面向量的投影向量；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：由向量，可得， ，则 ，故A不正确；
，则 在上的投影向量是，故B正确；
，则 ，故C正确；
，又，可得，故D不正确.
故答案为： BC.
【分析】 根据向量模的坐标运算，可判断A；根据投影向量的定义，可判断B；根据数量积的运算判断垂直，可判断C；根据向量夹角的坐标运算求解，可判断D.
10．【答案】A,B,D
【知识点】相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由题可知试验结果一共有36种可能情况，可得，故A正确；
C表示的事件包含(2，6)，(3，5)，(4， 4)，(5， 3)，(6，2)共5种情况，可得，
故B正确；
P(AC)=0，P(A)P(C)=，则P(AC)≠P(A)P(C)，故A与C不相互独立，故C不正确；
， D表示的事件包含(1， 6)， (2，5)，(3，4)， (4，3)，(5， 2)， (6， 1)共6种情况，可得， BD表示的事件包含(5，2)共1种情况，则P(BD)= ，， P(BD)=P(B)P(D)，故B与D相互独立，故D正确.
故答案为： ABD.
【分析】 根据古典概型与事件独立的乘法公式，逐项进行判断，可得答案.
11．【答案】A,C,D
【知识点】指数函数的图象与性质；指数函数单调性的应用
【解析】【解答】构建，则，
令，解得；令，解得；
则在上单调递减，在上单调递增，
可知.
且，
所以有2个零点，即，
可知与有2个交点，如图1所示
对于A：由图2可知，存在，满足，故A正确；
对于BC：由图3可知，当时，若 成立，
则 ，故B错误，C正确；
对于D：由图4可知：当时，若 成立，
则，故D正确；
故答案为：ACD.
【分析】构建，利用导数分析其零点分布，即为与的交点分布，结合与的图象逐项分析判断.
12．【答案】A,B,D
【知识点】棱锥的结构特征；简单组合体的结构特征；异面直线及其所成的角；异面直线；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：以点D为原点建立空间直角坐标系如图所示：
则A(2，0，0)， B(2，2，0)， C(0， 2， 0)，P(0， 0， 2)，D(0，0，0)， M (1， 0，1)， N (0，1，1)，G(1，1，1)，，，，
，，，即，，
即DN⊥BN，DN⊥CN， DC⊥CB，
故四面体 的四个面都为直角三角形，即四面体 是鳖孺，故A正确；
，，则CG与MN所成角的余弦值为
，故B正确；
，，
设平面PAC的法向量为，由可得
则点G到平面PAC的距离为
，故C错误；
设过点M， N，B的平面与线段PD的交点为Q (0，0，m)，则
，，
由已知得，即
即，解得
则
由可得MN⊥BQ，
，
故过点M， N， B的平面截四棱锥P- ABCD的截面面积为： ，故D正确.
故答案为： ABD.
【分析】以点D为原点建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标，利用向量数量积的坐标表示结合鳖儒的定义，可判断A；利用向量夹角的余弦公式，可判断B；利向量法求出点到平面的距离，可判断C；利用向量的线性运算结合向量数量积的坐标运算可得MN，BQ的值，进而求出四棱锥P- ABCD的截面面积，可判断D.
13．【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由 可得
故答案为： .
【分析】把已知等式变形，再利用复数的乘除运算化简可得答案.
14．【答案】24
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解： 过点A作AE⊥CD，设BD=m，
则
即
即，解得：或（舍去）
故答案为： 24.
【分析】 首先通过过点A作AE⊥CD，设BD=m，在直角三角形中利用解三角形知识的应用求出m的值，进而可得BD的长.
15．【答案】
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】解： 以A为原点， AC为x轴，AB为y轴，建立直角坐标系如图所示：
则 A(0， 0)， B (0，4)， C(3， 0)，故，，
设
，
则
当时， 取得最小值
故答案为： .
【分析】以A为原点， AC为x轴，AB为y轴，建立直角坐标系，求出所需点的坐标，再利用向量的线性运算和向量数量积的运算，结合二次函数的性质可求出 的最小值 .
16．【答案】
【知识点】一元二次不等式及其解法；基本不等式；不等式的综合
【解析】【解答】解： 由 可得 ，即
由，可得
当时，有最大值 ，当且仅当a =b时，等号成立.
故 的最大值为.
故答案为：.
【分析】 根据已知得出，求出c的范围，结合基本不等式得到关于c的二次函数，再根据二次函数的性质，即可得出 的最大值 .
17．【答案】（1）解：因为图中所有矩形面积之和为1，
所以，
解得.
（2）解：由图象可知，月人均用水量低于2立方米的居民占比为
，
月人均用水量低于立方米的居民占比为
，
根据分位数的含义可知，，
且，解得.
（3）解：由图象可知，内的频率为，内的频率为，内的频率为，
所以，根据分层抽样知，应从中抽3户，记作，中抽2户，记作，中抽1户，记作.
则从这6户中抽取2户有，，，，，，，，，，，，，，，共包含个等可能的样本点，
满足发言的2户来自不同组的有，，，，，，，，，，共包含个样本点，
根据古典概型可知，发言的2户来自不同组的概率.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【分析】 ( 1 )根据频率分布直方图中小矩形面积之和为1，列出方程，求解即可得 的值；
( 2 )利用百分位数的概念列出方程，求解即可得出M的值；
( 3 )求出3个区间内的频率，根据分层抽样得出每个区间应该抽取的人数，然后列举出所有的点，再根据古典概型概率公式，即可求出发言的2户来自不同组的概率．
18．【答案】（1）解：由题，周期，
令，
得，
所以的单调递增区间是.
（2）解：由已知可得，.
因为，所以.
因为在上单调递增，在上单调递减，
且，，，
所以，，所以，
所以所求值域为.
【知识点】正弦函数的性质；正弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的周期性
【解析】【分析】 (1)利用辅助角公式化简可得 ，再根据正弦函数的周期性和单调性， 即可求出 的最小正周期和单调递增区间；
(2) 由已知可得， ，然后利用辅助角公式化简可得 .根据正弦函数的单调性即可求出 的值域．
19．【答案】（1）解：由已知可得，.
因为是偶函数，
所以对任意恒成立，
即对任意恒成立，
所以，所以，
所以.
由可得，，
化简可得，即，
所以，，解得．
（2）解：.
令，，则，
根据对勾函数的单调性可知，在上单调递增.
又单调递增，
根据复合函数的单调性可知，在上单调递增.
又函数单调递增，
根据复合函数的单调性可知，在上单调递增.
又因为函数为偶函数，
所以有，.
所以，由即可得出，
所以，.
平方整理可得，，
解得或．
【知识点】函数单调性的性质；偶函数；函数的奇偶性
【解析】【分析】(1)根据对数的运算性质化简可得 ，再根据偶函数的性质得到关于m的方程，求解即可得出m的值，可得f(x)的解析式，再根据f(x)=1，结合指对互化，求解可得 的值；
(2)化简可得 ，然后根据对勾函数以及复合函数的单调性，可得 ，，再根据偶函数的性质可得 ， 再根据函数的单调性即可得出 ，求解可得 的取值范围．
20．【答案】（1）解：由正弦定理得，，
即，
整理可得.
因为，
所以，即.
又因为，所以，
所以，即.
（2）解：如图，
由可知，，即.
在中，由正弦定理可得，；
在中，由正弦定理可得，.
所以，，即
因为，所以，
所以.
又，所以.
又，所以.
由得，，
即，
整理可得，即.
所以，
当且仅当，即时，取到最小值．
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用；运用诱导公式化简求值；正弦定理；正弦定理的应用
【解析】【分析】 (1)根据正弦定理边化角可得 ，再根据辅助角公式得出 ，再结合 ，即可求出角A的大小；
(2) 由 可得 ，再根据正弦定理可得 ，再由 可得 ，利用乘“1”法结合基本不等式即可求出 的最小值．
21．【答案】（1）证明：如图1，分别延长相交于点，取中点，连接交于点，
连接.
因为四边形为等腰梯形，，
所以，，
所以，
所以，
所以为正三角形，且分别为的中点，为的中点.
又因为为棱的中点，所以，所以.
因为，所以.
又为正三角形，所以，所以.
因为为的中点，所以.
又因为为正三角形，所以，
所以，所以.
又因为，，
所以，所以.
因为为的中点，所以.
又，面，
所以平面，而平面，
所以平面平面.
（2）解：如图2，取的中点，
由（1）知，平面平面，且.
因为为的中点，所以，，
所以为平面与平面所成二面角的平面角.
又因为，所以，.
在中，，
故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1） 取中点，连接交于点，连接，由四边形为等腰梯形可得，， 由中位线的性质可得 ，推出 ， ，再根据线面垂直的判定定理可得 平面 ，进而推出平面平面；
（2）先推出 ，， 可得 为平面与平面所成二面角的平面角，再根据余弦定理可求出平面与平面所成锐二面角的余弦值.
22．【答案】（1）解：当时，令，
当时，，解得或（舍去）；
当时，，解得或（舍去）；
所以的零点是
（2）解：令，
且，可得，
记，
作出的图像，如图所示，
由的图像得，且，
注意到是方程的两根，即方程的两根，可得，
所以.
（3）解：因为，
①当，即时，在上单调递减，
则，
可得
，
所以，得；
②当，即时，则在单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
不妨设，其中，
则，
可得
，
因为，所以，不满足条件；
所以实数的取值范围为．
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象；二次函数的性质；函数的零点与方程根的关系；函数的零点
【解析】【分析】 (1)当a=1时， 令，分 和 两种情况求解可得 的零点；
(2)利用参数分离法分离参数可得 ， 构造函数 ，利用函数与方程的关系转化为 是方程的两根 ，利用根与系数的关系可求出 的取值范围；
(3)分 ， 两种情况讨论对称轴的位置，再利用放缩法进行求解，即可得实数的取值范围．
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