九年级数学下册试题 5.2二次函数的图像和性质同步练习-苏科版（含答案）

5.2二次函数的图像和性质
一．选择题
1． 将抛物线y＝3（x+2）2﹣1向右平移2个单位长度再向上平移3个单位长度，所得到的抛物线为（　　）
A．y＝3x2+2 B．y＝3（x+4）2+2
C．y＝3（x+5）2﹣3 D．y＝3x2﹣4
2． 点M（2，9）在二次函数y＝ax2+bx+3的图象上，则2a+b的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3． 点P1（﹣2，y1），P2（2，y2），P3（4，y3）均在二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y2＞y3＞y1 B．y2＞y1＝y3 C．y1＝y3＞y2 D．y1＝y2＞y3
4． 在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax﹣a的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
5． 如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为x，且经过点（2，0）．下列说法：①abc＜0；②﹣2b+c＝0；③4a+2b+c＜0：④若（，y1），（，y2）都在抛物线上，则y1＜y2；⑤ab＞m（am+b）（其中m）．其中说法正确的是（　　）
A．①②④⑤ B．③④ C．①③ D．①②⑤
6． 在平面直角坐标系中，将函数y＝﹣x2的图象先向右平移1个单位，再向上平移5个单位后，得到的图象的函数表达式是（　　）
A．y＝﹣（x+1）2+5 B．y＝﹣（x﹣1）2+5
C．y＝﹣（x+1）2﹣5 D．y＝﹣（x﹣1）2﹣5
7． 已知抛物线y＝x2+（2m﹣6）x+m2﹣3与y轴交于点A，与直线x＝4交于点B，当x＞2时，y值随x值的增大而增大．记抛物线在线段AB下方的部分为G（包含A、B两点），M为G上任意一点，设M的纵坐标为t，若t≥﹣3，则m的取值范围是（　　）
A．m B．m≤3 C．m≥3 D．1≤m≤3
8． 已知二次函数y＝x2+（a+2）x+a（a为常数）的图象顶点为P（m，n），下列说法正确的是（　　）
A．点P可以在任意一个象限内
B．点P只能在第四象限
C．n可以等于
D．n≤﹣1
9． 已知抛物线y＝a（x﹣h）2﹣7，点A（1，﹣5）、B（7，﹣5）、C（m，y1）、D（n，y2）均在此抛物线上，且|m﹣h|＞|n﹣h|，则y1与y2的大小关系是（　　）
A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．不能确定
10．已知抛物线y＝﹣x2+mx+2m，当x＜1时，y随x的增大而增大，则抛物线的顶点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
11．已知二次函数y＝x2，当a≤x≤b时m≤y≤n，则下列说法正确的是（　　）
A．当n﹣m＝1时，b﹣a有最小值
B．当n﹣m＝1时，b﹣a有最大值
C．当b﹣a＝1时，n﹣m无最小值
D．当b﹣a＝1时，n﹣m有最大值
12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x，有下列结论：①abc＞0； ②b+2c＞0；③a+5b+2c＜0．其中，正确结论的个数是（　　）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
13．已知点A（a﹣m，y1），B（a﹣n，y2），C（a+b，y3）都在二次函数y＝x2﹣2ax+1的图象上，若0＜m＜b＜n，则y1、y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1
14．在平面直角坐标系xOy中，已知点M，N的坐标分别为（﹣1，2），（2，1），若抛物线y＝ax2﹣x+2（a≠0）与线段MN有两个不同的交点，则a的取值范围是（　　）
A．a≤﹣1或 B．﹣1≤a＜0或
C．或 D．a≤﹣1或
15．已知二次函数y＝（x+m﹣2）（x﹣m）+2，点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）是其图象上两点，（　　）
A．若x1+x2＞2，则y1＞y2 B．若x1+x2＜2，则y1＞y2
C．若x1+x2＞﹣2，则y1＞y2 D．若x1+x2＜﹣2，则y1＜y2
二．填空题
16．已知两点A（﹣2，y1）、B（4，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点，若y0＞y1＞y2，则x0的取值范围是　 　．
17．函数y＝2x2﹣3x+1的对称轴是　 　，有最　 　值．
18．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣x2﹣2x+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为　 　．
19．已知抛物线y＝ax2+bx与直线y＝mx+n相交于点A（，10），B（1，3），则关于x的方程ax2+bx＝mx+n的解为　 　．
20．把抛物线y＝x2向上平移2个单位，所得的抛物线的函数关系式为　 　．
21．将抛物线y＝2x2的图象向上平移1个单位长度后，所得抛物线的解析式为　 　．
22．当m﹣2≤x≤m时，函数y＝x2﹣4x+4的最小值为4，则m的值为　 　．
23．二次函数y＝﹣（x+1）2﹣2的最大值是　 　．
24．若实数x，y满足x+y2＝3，设s＝x2+8y2，则s的取值范围是　 　．
25．将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后，经过点（﹣2，5），则8a﹣4b﹣11的值是　 　．
26．二次函数y＝ax2﹣3ax+3的图象过点A（6，0），且与y轴交于点B，点M在该抛物线的对称轴上，若△ABM是以AB为直角边的直角三角形，则点M的坐标为　 　．
27．抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过点（﹣2，0）和点（0，﹣6），且顶点在第四象限，则a的取值范围是　 　．
三．解答题
28．已知二次函数y＝2（x﹣1）2﹣3．
（1）写出二次函数图象的开口方向和对称轴；
（2）函数y有最大值还是最小值？并求出这个最大（小）值．
29．已知是关于x的二次函数．
（1）求满足条件的k的值；
（2）k为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点．当x为何值时，y的值随x值的增大而增大？
（3）k为何值时，函数有最大值？最大值是多少？当x为何值时，y的值随x值的增大而减小？
30．已知抛物线C：y＝x2+mx+n（m，n为常数）．
（1）如图，若抛物线C的顶点坐标为P（1，2），求m，n的值；
（2）在（1）的条件下，设点Q（a，b）在抛物线C上，且点Q离y轴的距离不大于2，直接写出b的取值范围；
（3）将抛物线C向左平移2个单位得到抛物线C1，将抛物线C向右平移2个单位得到抛物线C2，若C1与C2的交点坐标为（1，3），求抛物线C的函数解析式．
31．已知抛物线y＝ax2﹣4ax﹣5（a＞0）．
（1）当a＝1时，求抛物线的顶点坐标及对称轴；
（2）①试说明无论a为何值，抛物线一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；
②将该抛物线沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线C1，直接写出C1的解析式；
（3）若（2）中抛物线C1的顶点到x轴的距离为2，求a的值．
32．二次函数y＝ax2+bx+c，其图象都在x轴及其上方，设t，则t的最值为多少？
33．已知抛物线y＝﹣2x2+（m﹣2）x+（n﹣2020）（m，n为常数）．
（1）若抛物线的的对称轴为直线x＝1，且经过点（0，﹣1），求m，n的值；
（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求n的取值范围；
（3）在（1）的条件下，存在正实数a，b（a＜b），当a≤x≤b时，恰好有y，请直接写出a，b的值．
34．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线ybx+c过点A（0，4）和C（8，0），P（t，0）是x轴正半轴上的一个动点，M是线段AP的中点，将线段MP绕点P顺时针旋转90°得线段PB，过点B作x轴的垂线，过点A作y轴的垂线，两直线交于点D．
（1）求b、c的值；
（2）当t为何值时，点D落在抛物线上．
答案
一．选择题
A．C．B．A．A．B．A．D．B．A．B．A．B．A．B．
二．填空题
16．x0＜1．
17．x，小．
18．y1＞y2＞y3．
19．x1，x2＝1．
20．y＝x2+2．
21．y＝2x2+1．
22．0或6．
23．﹣2．
24．s≥9．
25．﹣5．
26．（，﹣9）或（，6）．
27．0＜a．
三．解答题
28．（1）在y＝2（x﹣1）2﹣3中，
∵a＝2＞0，
∴二次函数的图象开口向上，且对称轴为直线x＝1；
（2）∵二次函数开口向上，
∴函数y有最小值，
∵其顶点坐标为（1，﹣3），
∴y的最小值为﹣3．
29．（1）根据二次函数的定义得，
解得k＝±2．
∴当k＝±2时，原函数是二次函数．
（2）根据抛物线有最低点，可得抛物线的开口向上，
∴k+1＞0，即k＞﹣1，
根据第（1）问得，k＝2．
∴该抛物线的解析式为y＝3x2，
∴抛物线的最低点为（0，0），
∴当x＞0时，y随x的增大而增大，
故当k＝2时，抛物线有最低点，其最低点坐标为（0，0），当x＞0时，y随x的增大而增大；
（3）根据二次函数有最大值，可得抛物线的开口向下，
∴k+1＜0，即k＜﹣1，
根据第（1）问得：k＝﹣2．
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2，
其函数最大值为0，
∴当k＝﹣2时，函数有最大值为0．当x＞0时，y随x的增大而减小．
故当k＝﹣2时，抛物线有最大值，其最大值为0，当x＞0时，y随x的增大而减小．
30．（1）∵抛物线C：y＝x2+mx+n（m，n为常数）顶点坐标为P（1，2），
∴1，2，
解得m＝﹣2，n＝3；
（2）在（1）的条件下，抛物线C为：y＝x2﹣2x+3，
∵点Q（a，b）在抛物线C上，且离y轴的距离不大于2，
∴﹣2≤xQ≤2，
由图象可知，2≤yQ≤11
即2≤b≤11．
（3）将抛物线C向左平移2个单位得到抛物线C1为y＝（x+2）2+m（x+2）+n；将抛物线C向右平移2个单位得到抛物线C2为y＝（x﹣2）2+m（x﹣2）+n；
由（x+2）2+m（x+2）+n＝（x﹣2）2+m（x﹣2）+n，解得xm，
∴若C1与C2的交点坐标为（1，3），
∴m＝1，解得m＝﹣2，
把点（1，3）代入y＝（x+2）2﹣2（x+2）+n得3＝9﹣6+n，
∴n＝0，
∴抛物线C的函数解析式为y＝x2﹣2x．
31．（1）当a＝1时，抛物线解析式为y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，
∴顶点为（2，﹣9），对称轴为x＝2；
（2）①抛物线C1解析式为：y＝ax2﹣4ax﹣5，
整理得：y＝ax（x﹣4）﹣5；
∵当ax（x﹣4）＝0时，y恒定为﹣5；
∴抛物线C1一定经过两个定点（0，﹣5），（4，﹣5）；
②这两个点连线为y＝﹣5；
将抛物线C1沿y＝﹣5翻折，得到抛物线C2，开口方向变了，但是对称轴没变；
∴抛物线C2解析式为：y＝﹣ax2+4ax﹣5，
（3）抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，
则x＝2时，y＝2或者﹣2；
当y＝2时，2＝﹣4a+8a﹣5，解得，a；
当y＝﹣2时，﹣2＝﹣4a+8a﹣5，解得，a；
∴a或．
32．由题意得：a＞0且△＝b2﹣4ac≤0，
即（）2，
故t113（）2＝3（）2，
当且仅当时等号成立，
而（）2，无最大值，故t无最大值，
故t最小值为，无最大值．
33．（1）根据题意得，1，n﹣2020＝﹣1，
∴m＝6，n＝2019；
（2）设抛物线线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是（x0，y0），（﹣x0，﹣y0），
代入解析式可得：，
∴两式相加可得：﹣4x02+2（n﹣2020）＝0．
∴n＝2x02+2020，
∴n的取值范围为：n＞2020；
（3）由（1）可知抛物线为y＝﹣2x2+4x﹣1＝﹣2（x﹣1）2+1，
∴y≤1，
∵0＜a＜b，当a≤x≤b时，恰好有y，
∴1，即a≥1．
∴1≤a＜b．
∵抛物线的对称轴是x＝1，且开口向下，
∴当a≤x≤b时，y随x的增大而减小．
∴当x＝a时，y最大值＝﹣2a2+4a﹣1．
当x＝b时，y最小值＝﹣2b2+4b﹣1．
又y，
∴．
将①整理，得2b3﹣4b2+b+1＝0，
变形，得2b2（b﹣1）﹣（2b+1）（b﹣1）＝0．
∴（b﹣1）（2b2﹣2b﹣1）＝0．
∵b＞1，
∴2b2﹣2b﹣1＝0．
解得b1（舍去），b2．
同理，由②得到：（a﹣1）（2a2﹣2a﹣1）＝0．
∵1≤a＜b，
∴2a2﹣2a﹣1＝0．
解得a1＝1，a2（舍去），a3（舍去）．
综上所述，a＝1，b．
34．（1）把A（0，4）和C（8，0）代入ybx+c得，
解得b，c＝4；
（2）作MN⊥x轴于点N，如图，
∵M是线段AP的中点，
∴MN＝2，
∵AD⊥BE，BE⊥x轴，
∴DE＝OA＝4，
∵线段MP绕点P顺时针旋转90°得线段PB，
∴PM＝PB，∠MPB＝90°，
∵∠MPN+∠BPE＝90°，∠MPN+∠PMN＝90°，
∴∠PMN＝∠BPE，
在△PMN和△BPE中
，
∴△PMN≌△BPE，
∴PE＝MN＝2，
∴OE＝2+t，
∴D（2+t，4），
∵抛物线的对称轴为直线x，
而点A、点D为对称点，
∴D点坐标为（5，4），
∴2+t＝5，解得t＝3，
即当t为3时，点D落在抛物线上．