5.5用二次函数解决问题
一.选择题
1.三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形,两小孔形状、大小完全相同.当水面刚好淹没小孔时,大孔水面宽度为10米,孔顶离水面1.5米;当水位下降,大孔水面宽度为14米时,单个小孔的水面宽度为4米,若大孔水面宽度为20米,则单个小孔的水面宽度为( )
A.4米 B.5米 C.2米 D.7米
2. 竖直上抛物体离地面的高度h(m)与运动时间t(s)之间的关系可以近似地用公式h=﹣5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是物体抛出时离地面的高度,v0(m/s)是物体抛出时的速度.某人将一个小球从距地面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出,小球达到的离地面的最大高度为( )
A.23.5m B.22.5m C.21.5m D.20.5m
3. 某农场拟建一间矩形种牛饲养室,饲养室的一面靠现有墙(墙足够长),并在如图所示位置留2m宽的门,已知计划中的建筑材料可建围墙(不包括门)的总长度为50m.设饲养室长为xm,占地面积为ym2,则y关于x的函数表达式是( )
A.y=﹣x2+50x B.yx2+24x
C.yx2+25x D.yx2+26x
4. 向上抛出的小球离地面的高度是其运动时间的二次函数,小甬相隔2秒依次抛出两个小球,假设两个小球出手时离地面高度相同,在各自抛出后1.2秒时达到相同的离地面最大高度.若第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球离地面高度相同,则t=( )
A.2.2 B.2.5 C.2.6 D.2.7
5. 如图1所示的是山西大同北都桥的照片,桥上面的部分是以抛物线为模型设计而成的,从正面观察该桥的上面部分是一条抛物线,如图2,若AB=60,OC=15,以AB所在直线为x轴,抛物线的顶点C在y轴上建立平面直角坐标系,则此桥上半部分所在抛物线的解析式为( )
A.y15 B.y15
C.y15 D.y15
6. 小悦乘座中国最高的摩天轮“南昌之星”,从最低点开始旋转一圈,她离地面的高度y(米)与旋转时间x(分)之间的关系可以近似地用二次函数来刻画.经测试得出部分数据如表.根据函数模型和数据,可推断出南昌之星旋转一圈的时间大约是( )
x(分) … 13.5 14.7 16.0 …
y(米) … 156.25 159.85 158.33 …
A.32分 B.30分 C.15分 D.13分
7. 记某商品销售单价为x元,商家销售此种商品每月获得的销售利润为y元,且y是关于x的二次函数.已知当商家将此种商品销售单价分别定为55元或75元时,他每月均可获得销售利润1800元;当商家将此种商品销售单价定为80元时,他每月可获得销售利润1550元,则y与x的函数关系式是( )
A.y=﹣(x﹣60)2+1825 B.y=﹣2(x﹣60)2+1850
C.y=﹣(x﹣65)2+1900 D.y=﹣2(x﹣65)2+2000
8. 如图是抛物线形拱桥,当拱顶高离水面2m时,水面宽4m,水面下降2.5m,水面宽度增加( )
A.1 m B.2 m C.3 m D.6 m
9. 设等边三角形的边长为x(x>0),面积为y,则y与x的函数关系式是( )
A.yx2 B.y C.y D.y
10.在西宁市中考体考前,某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析,发现实心球飞行高度y(米)与水平距离x(米)之间满足函数解析式yx2x,由此可知该生此次实心球训练的成绩为( )
A.6米 B.8米 C.10米 D.12米
11.从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球运动时间t(单位:s)之间的函数关系如图所示.下列结论:
①小球在空中经过的路程是40m;
②小球运动的时间为6s;
③小球抛出3秒时,速度为0;
④当t=1.5s时,小球的高度h=30m.
其中正确的是( )
A.①④ B.①② C.②③④ D.②④
12.某广场有一个小型喷泉,水流从垂直于地面的水管OA喷出,OA长为1.5m.水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上,某方向上抛物线路径的形状如图所示,落点B到O的距离为3m.建立平面直角坐标系,水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间近似满足函数关系y=ax2+x+c(a≠0),则水流喷出的最大高度为( )
A.1米 B.米 C.2米 D.米
13.如图是王阿姨晚饭后步行的路程S(单位:m)与时间t(单位:min)的函数图象,其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分.下列说法不正确的是( )
A.25min~50min,王阿姨步行的路程为800m
B.线段CD的函数解析式为S=32t+400(25≤t≤50)
C.5min~20min,王阿姨步行速度由慢到快
D.曲线段AB的函数解析式为S=﹣3(t﹣20)2+1200(5≤t≤20)
二.填空题
14.已知某商品每箱盈利10元.现每天可售出50箱,如果每箱商品每涨价1元,日销售量就减少2箱.设每箱涨价x元时(其中x为正整数),每天的总利润为y元,则y与x之间的关系式为 .
15.某商店销售一批头盔,售价为每顶80元,每月可售出200顶.在“创建文明城市”期间,计划将头盔降价销售,经调查发现:每降价1元,每月可多售出20顶.已知头盔的进价为每顶50元,则该商店每月获得最大利润时,每顶头盔的售价为 元.
16.如图,有一个矩形苗圃园、其中一边靠墙(墙长为15m),另外三边用长为16m的篱笆围成,则这个苗圃园面积的最大值为 .
17.如图,有一座抛物线拱桥,在正常水位时水面AB的宽为20m,如果水位上升3m达到警戒水位时,水面CD的宽是10米,建立如图所示的平面直角坐标系,O为坐标原点,如果水位以0.2m/h的速度匀速上涨,那么达到警戒水位后,再过 h水位达到桥拱最高点O.
18.若把一根长200cm的铁丝分成两部分,分别围成两个正方形,则这两个正方形的面积的和最小值为 .
19.如图,某大桥有一段抛物线形的拱梁,抛物线的解析式为y=ax2+bx,小强骑自行车从拱梁一端O匀速穿过拱梁部分的桥面OC,当小强骑自行车行驶到6分钟和14分钟时拱梁的高度相同,则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需 分钟.
20.某公司新产品上市30天全部售完,图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系,图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系,则最大日销售利润是 元.
21.如图,要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管,在水管的顶端A点安一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为3m处达到最高,高度为5m,水柱落地处离池中心距离为9m,则水管的长度OA是 m.
22.抗击疫情,我们每个人都要做到讲卫生,勤洗手,科学消毒,如右图(1)是一瓶消毒洗手液.图(2)是它的示意图,当手按住顶部A下压时,洗手液瞬间从喷口B流出,路线从抛物线经过C,E两点.瓶子上部分是由弧和弧组成,其圆心分别为D,C.下部分的是矩形CGHD的视图,CG=8cm,GH=10cm,点E到台面GH的距离为14cm,点B到台面的距离为20cm,且B,D,H三点共线.若手心距DH的水平距离为2cm时刚好接洗手液,此时手心距水平台面的高度为 cm.
23.某旅社有客房144间,每间房的日租金为200元时,每天都客满,经市场调查发现,如果每间房的日租金每增加10元时,则每天客房出租数会减少6间,不考虑其他因素,旅社将每间客房的日租金提高到 元时,客房的日租金总收入最高.
24.某超市销售某种玩具,进货价为20元.根据市场调查:在一段时间内,销售单价是30元时,销售量是400件,而销售单价每上涨1元,就会少售出10件玩具,超市要完成不少于300件的销售任务,又要获得最大利润,则销售单价应定为 元.
三.解答题
25.某经销店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源,待货物售出后再进行结算,未售出的由厂家负责处理).当每吨售价为260元时,月销售量为45吨.该经销店为提高经营利润,准备采取降价的方式进行促销.经市场调查发现:当每吨售价每降低10元时,月销售量就会增加7.5吨.综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元.
(1)当每吨售价为x元时,月销售量为y吨,求出y与x之间的函数解析式;
(2)在遵循“薄利多销”的原则下,问每吨材料售价为多少时,该经销店的月利润为9000元;
(3)若在规定每吨售价不得超过320元的情况下,当每吨售价定为多少元时,经销店的月利润最大?
26.小红经营的网店以销售文具为主,其中一款笔记本进价为每本10元,该网店在试销售期间发现,每周销售数量y(本)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系,三对对应值如下表:
销售单价x(元) 12 14 16
每周的销售量y(本) 500 400 300
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)通过与其他网店对比,小红将这款笔记本的单价定为x元(12≤x≤15,且x为整数),设每周销售该款笔记本所获利润为w元,当销售单价定为多少元时每周所获利润最大,最大利润是多少元?
27.网络销售已经成为一种热门的销售方式,为了减少农产品的库存,我市市长亲自在某网络平台上进行直播销售大别山牌板栗,为提高大家购买的积极性,直播时,板栗公司每天拿出2000元现金,作为红包发给购买者.已知该板栗的成本价格为6元/kg,每日销售量y(kg)与销售单价x(元/kg)满足关系式:y=﹣100x+5000.经销售发现,销售单价不低于成本价且不高于30元/kg.当每日销售量不低于4000kg时,每千克成本将降低1元,设板栗公司销售该板栗的日获利为w(元).
(1)请求出日获利w与销售单价x之间的函数关系式;
(2)当销售单价定为多少时,销售这种板栗日获利最大?最大利润为多少元?
(3)当w≥40000元时,网络平台将向板栗公司收取a元/kg(a<4)的相关费用,若此时日获利的最大值为42100元,求a的值.
28.如图,直线yx+c与x轴交于点B(4,0),与y轴交于点C,抛物线ybx+c经过点B,C,与x轴的另一个交点为A.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是直线BC下方抛物线上一动点,求四边形ACPB面积最大时点P的坐标;
(3)若M是抛物线上一点,且∠MCB=∠ABC,请直接写出点M的坐标.
29.某一农家计划利用已有的一堵长为8m的墙,用篱笆圈成一个面积为12m2的矩形ABCD花园,现在可用的篱笆总长为11m.
(1)若设AB=x,BC=y.请写出y关于x的函数表达式;
(2)若要使11m的篱笆全部用完,能否围成面积为15m2的花园?若能,请求出长和宽;若不能,请说明理由;
(3)若要使11m的篱笆全部用完,请写出y关于x的第二种函数解析式.请在坐标系中画出两个函数的图象,观察图象,满足条件的围法有几种?请说明理由.
30.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点A(1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,OC=3.
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点,当△PBC面积最大时,求点P的坐标;
(3)若点Q为线段OC上的一动点,问:AQQC是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由.
答案
一.选择题
B.C.D.A.A.B.D.B.D.C.C.C.C.
二.填空题
14.y=﹣2x2+30x+500(x为正整数).
15.70.
16.32m2.
17.5.
18.1250cm2.
19.20.
20.1800.
21..
22.17.
23.220.
24.40.
三.解答题
25.(1)当售价定为每吨x元时,月销量,
即yx+240;
(2)由题意得:(x﹣100))(457.5)=9000,
化简得x2﹣420x+44000=0,
解得x1=200,x2=220,
因为要遵循“薄利多销”的原则,
所以x=200(元),
答:每吨材料售价为200元;
(3)设当每吨原料售价为x元时,月利润为W元,
根据题意得:,
∵,开口向下,
∴W有最大值,
∴当x=210时,W的值最大,
∵210<320,
∴每吨售价定为210元符合要求.
答:当每吨售价定为210元时,经销店的月利润最大.
26.(1)设y与x之间的函数关系式是y=kx+b(k≠0),
,得,
即y与x之间的函数关系式为y=﹣50x+1100;
(2)由题意可得,
w=(x﹣10)y=(x﹣10)(﹣50x+1100)=﹣50(x﹣16)2+1800,
∵a=﹣50<0
∴w有最大值
∴当x<16时,w随x的增大而增大,
∵12≤x≤15,x为整数,
∴当x=15时,w有最大值,此时,w=﹣50(15﹣16)2+1800=1750,
答:销售单价为15元时,每周获利最大,最大利润是1750元.
27.(1)当y≥4000,即﹣100x+5000≥4000,
∴x≤10,
∴当6≤x≤10时,w=(x﹣6+1)(﹣100x+5000)﹣2000=﹣100x2+5500x﹣27000,
当10<x≤30时,w=(x﹣6)(﹣100x+5000)﹣2000=﹣100x2+5600x﹣32000,
综上所述:w;
(2)当6≤x≤10时,w=﹣100x2+5500x﹣27000=﹣100(x)2+48625,
∵a=﹣100<0,对称轴为x,
∴当6≤x≤10时,y随x的增大而增大,即当x=10时,w最大值=18000元,
当10<x≤30时,w=﹣100x2+5600x﹣32000=﹣100(x﹣28)2+46400,
∵a=﹣100<0,对称轴为x=28,
∴当x=28时,w有最大值为46400元,
∵46400>18000,
∴当销售单价定为28时,销售这种板栗日获利最大,最大利润为46400元;
(3)∵40000>18000,
∴10<x≤30,
∴w=﹣100x2+5600x﹣32000,
当w=40000元时,40000=﹣100x2+5600x﹣32000,
∴x1=20,x2=36,
∴当20≤x≤36时,w≥40000,
又∵10<x≤30,
∴20≤x≤30,
此时:日获利w1=(x﹣6﹣a)(﹣100x+5000)﹣2000=﹣100x2+(5600+100a)x﹣32000﹣5000a,
∴对称轴为直线x28a,
∵a<4,
∴28a<30,
∴当x=28a时,日获利的最大值为42100元
∴(28a﹣6﹣a)[﹣100×(28a)+5000]﹣2000=42100,
∴a1=2,a2=86,
∵a<4,
∴a=2.
28.(1)直线yx+c与x轴交于点B(4,0),
∴04+c,
∴c=﹣2,
∴点C(0,﹣2),
∵抛物线ybx+c经过点B,C,
∴,
∴,
∴抛物线的解析式为:yx﹣2;
(2)如图1,过点P作PE⊥AB交BC于点E,
∵抛物线yx﹣2与x轴的交点为A、B,
∴0x﹣2,
∴x1=4,x2=﹣1,
∴点A(﹣1,0),
设点P(a,a2a﹣2),则点E(a,a﹣2),
∴PEa﹣2﹣(a2a﹣2)a2+2a,
∵四边形ACPB面积(4+1)×2(a2+2a)×4=﹣(a﹣2)2+9,
∴当a=2时,四边形ACPB面积有最大值,
此时点P(2,﹣3);
(3)如图2,当点M在BC上方时,设CM交AB于点H,
∵∠MCB=∠ABC,
∴CH=BH,
∵CH2=AC2+OH2,
∴BH2=4+(4﹣BH)2,
∴BH,
∴OH,
∴点H(,0),
∵点C(0,﹣2),点H(,0),
∴直线CH解析式为:yx﹣2,
联立方程组可得,
解得:或,
∴点M(,),
当点M'在BC下方时,
∵∠M'CB=∠ABC,
∴M'C∥AB,
∴点M'的纵坐标为﹣2,
∴点M'的坐标为(3,﹣2);
综上所述:点M(,)或(3,﹣2).
29.(1)由题意得:xy=12,即y,
故y关于x的函数表达式为y;
(2)能,理由:
设AB=x,则BC=11﹣2x,
由题意得:x(11﹣2x)=15,解得x=2.5或3;
即长为6m宽为2.5m或长为5m宽为3m.
(3)设AB=x,BC=y,
则y=11﹣2x,
画出2个函数的图象如下:
从图象看,两个函数的交点的横坐标为x=1.5和4,即同时满足题干条件,
故满足条件的围法有2种.
30.(1)函数的表达式为:y=a(x﹣1)(x﹣3)=a(x2﹣4x+3),
即:3a=3,解得:a=1,
故抛物线的表达式为:y=x2﹣4x+3,
则顶点D(2,﹣1).
(2)将点B、C的坐标代入一次函数表达式:y=mx+n并解得:
直线BC的表达式为:y=﹣x+3,
过点P作y轴的平行线交BC于点H,
设点P(x,x2﹣4x+3),则点H(x,﹣x+3),
则S△PBC PH×OB(﹣x+3﹣x2+4x﹣3)(﹣x2+3x),
∵0,故S△PBC有最大值,此时x,
故点P(,).
(3)存在,理由:
如上图,过点C作与y轴夹角为30°的直线CG,作QH⊥GH,垂足为G,
则GQCQ,
AQQC最小值=AQ+GQ=AG,
直线GC所在表达式中的k值为,直线GC的表达式为:yx+3…①,
则直线AG所在表达式中的k值为,
则直线AG的表达式为:yx+s,将点A的坐标代入yx+s并解得:s,
则直线AG的表达式为:yx②,
联立①②并解得:x,
故点G(,),而点A(1,0),
则AG,
即:AQQC的最小值为.