九年级数学下册试题 第五章《二次函数》单元复习-苏科版（含答案）

第五章《二次函数》单元复习
一．选择题
1． 抛物线y＝x2+ax+3的对称轴为直线x＝1．若关于x的方程x2+ax+3﹣t＝0（t为实数）在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（　　）
A．6＜t＜11 B．t≥2 C．2≤t＜11 D．2≤t＜6
2． 已知函数y＝ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（　　）
A．当a＝﹣2时，函数图象与x轴没有交点
B．若a＜0，函数图象的顶点始终在x轴的下方
C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小
D．不论a为何值，函数图象必经过（2，﹣1）
3． 对于函数y＝ax2﹣（2a+1）x﹣3a+1（a是常数），有下列说法：
①函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；
②当x＜1时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；
③若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数．
其中错误的说法是（　　）
A．① B．①② C．②③ D．①③
4． 二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：（1）b＜2a；（2）a+c﹣b＞0；（3）b＞c＞a；（4）b2+2ac＜3ab．其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5． 已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x＝1，其图象的一部分如图所示，下列说法中：①abc＜0；②2a+b＝0；③当﹣1＜x＜3时，y＞0；④a﹣b+c＜0；⑤2c﹣3b＞0．其中正确结论的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
6． 一条抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），若点M、N的坐标分别为（﹣1，﹣2）、（1，﹣2），抛物线顶点P在线段MN上移动．点B的横坐标的最大值为3，则点A的横坐标的最小值为（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
7． 关于x的二次函数y＝﹣2x2+4x+m2+2m，下列说法正确的是（　　）
A．该二次函数的图象与x轴始终有两个交点
B．当x＞0时，y随x的增大而增大
C．当该二次函数的图象经过原点时，m＝﹣2
D．该二次函数的顶点的纵坐标无最小值
8． 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣1（m＞0）与x轴的交点为A，B．若横、纵坐标都是整数的点叫做整点，当抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，可得m的取值范围为（　　）
A．m B．m C．0＜m D．0＜m
9． 如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点在B（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1，下列结论不正确的是（　　）
A．9a+3b+c＝0 B．4b﹣3c＞0 C．4ac﹣b2＜﹣4a D．a
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴交于A，B两点，顶点P（m，n）给出下列结论：①2a+c＜0；②若（，y1），（，y2），（，y3）在抛物线上，则y1＞y2＞y3；③关于x的方程ax2+bx+k＝0有实数解，则k＞c﹣n；④当n时，△ABP为等腰直角三角形，其中正确的结论是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
11．已知函数f（x）＝x2﹣2ax+5，当x≤2时，函数值随x增大而减小，且对任意的1≤x1≤a+1和1≤x2≤a+1，x1，x2相应的函数值y1，y2总满足|y1﹣y2|≤4，则实数a的取值范围是（　　）
A．﹣1≤a≤3 B．﹣1≤a≤2 C．2≤a≤3 D．2≤a≤4
12．对于一个函数：当自变量x取a时，其函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．若二次函数y＝x2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，则c的取值范围是（　　）
A．c＜﹣3 B．﹣3＜c＜﹣2 C．﹣2＜c D．c
13．已知二次函数y＝x2﹣bx+a﹣3的图象与x轴有交点，对称轴位于y轴左侧，则当关于a，b的代数式（a﹣6）2+b2有最小值时，该二次函数的顶点坐标为（　　）
A．（1，0） B．（1，2） C．（﹣1，0） D．（﹣1，2）
14．已知抛物线y＝（x﹣m）2﹣（x﹣m），其中m是常数，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．给出下列4个结论：①不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；②不论m为何值，该抛物线与y轴一定交于正半轴；③抛物线上有一个动点P，满足S△PAB＝n的点有3个时，则n；④若0＜x时y＜0，则m＜0；其中，正确的结论个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题
15．飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）与滑行的时间t（单位：秒）之间的函数关系式是s＝96t﹣1.2t2，那么飞机着陆后滑行　 　米停下．
16．二次函数y＝﹣（x+1）2﹣2的最大值是　 　．
17．当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，则m＝　 　．
18．若实数x，y满足x+y2＝3，设s＝x2+8y2，则s的取值范围是　 　．
19．已知点A（0，2）与点B（2，4）的坐标，抛物线y＝ax2﹣6ax+9a+1与线段AB有交点，则a的取值范围是　 　．
20．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2）．若抛物线y（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CDAB，则k的值为　 　．
21．抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，3），B（2，3），则关于x的一元二次方程a（x﹣2）2﹣3＝2b﹣bx﹣c的解为　 　．
22．若整数a使关于x的二次函数y＝（a﹣1）x2﹣（2a+3）x+a+2的图象在x轴的下方，且使关于x的分式方程2有负整数解，则所有满足条件的整数a的和为　 　．
23．已知二次函数y＝ax2+bx﹣6（a＞0）的图象与x轴的交点A坐标为（n，0），顶点D的坐标为（m，t），若m+n＝0，则t＝　 　
24．已知抛物线y＝x2+mx+n经过点（2，﹣1），且与x轴交于A（a，0），B（b，0）两点，若点P为该抛物线的顶点，则使△PAB面积最小时抛物线的解析式为　 　．
25．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当﹣1≤x≤1时，﹣1≤y≤1，则称这个函数为“闭函数”．例如：y＝x，y＝﹣x均是“闭函数”．已知y＝ax2+bx+c（a≠0）是“闭函数”，且抛物线经过点A（1，﹣1）和点B（﹣1，1），则a的取值范围是　 　．
三．解答题
26．学校计划购买一批钢笔和笔记本，用以奖励优秀学生，获得一、二等奖的学生分别奖励一支钢笔、一本笔记本；已知购买2支钢笔和3本笔记本共38元，购买4支钢笔和5本笔记本共70元．
（1）钢笔、笔记本的单价分别为多少元？
（2）经与商家协商，购买钢笔超过30支时，每增加1支，单价降低0.1元，笔记本按原价销售，学校计划奖励一、二等奖学生共计100人，其中一等奖的人数不少于30人，且不超过50人，当这次奖励一等奖学生多少人时，购买奖品总金额最少，最少为多少元？
27．饮料厂生产某品牌的饮料成本是每瓶5元，每天的生产量不超过9000瓶．根据市场调查，以单价8元批发给经销商，经销商每天愿意经销5000瓶，并且表示单价每降价0.1元，经销商每天愿意多经销500瓶．
（1）求出饮料厂每天的利润y（元）与批发单价x（元）之间的函数关系式；
（2）批发单价定为多少元时，饮料厂每天的利润最大，最大利润是多少元？
（3）如果该饮料厂要使每天的利润不低于18750元，且每天的总成本不超过42500元，那么批发单价应控制在什么范围？（每天的总成本＝每瓶的成本×每天的经销量）
28．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于点A（1，0）和B（3，0），与y轴交于点C．D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，在抛物线的对称轴DE上求作一点M，使△AMC的周长最小，并求出点M的坐标和周长的最小值．
（3）如图2，点P是x轴上的动点，过P点作x轴的垂线分别交抛物线和直线BC于F、G．设点P的横坐标为m．是否存在点P，使△FCG是等腰三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
29．某地摊上的一种玩具，已知其进价为50元/个，试销阶段发现将售价定为80元/个时，每天可销售20个，后来为了扩大销售量，适当降低了售价，销售量y（个）与降价x（元）的关系如图所示．
（1）求销量y与降价x之间的关系式；
（2）该玩具每个降价多少元，可以恰好获得750元的利润？
（3）若要使得平均每天销售这种玩具的利润W最大，则每个玩具应该降价多少元？最大的利润W为多少元？
30．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线y＝ax2+2x+c的解析式；
（2）点D为抛物线上对称轴右侧、x轴上方一点，DE⊥x轴于点E，DF∥AC交抛物线对称轴于点F，求DE+DF的最大值；
（3）①在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点的三角形，是以AC为直角边的直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②点Q在抛物线对称轴上，其纵坐标为t，请直接写出△ACQ为锐角三角形时t的取值范围．
31．如图（1），抛物线y＝ax2+bx经过A和B（3，﹣3）两点，点A在x轴的正半轴，且OA＝4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线上一动点，且在直线OB的下方（不与O、B重合），过M作MK⊥x轴，交直线BO于点N，过M作MP∥x轴，交直线BO于点P，求出△MNP周长的最大值及周长取得最大值时点M的坐标；
（3）如图（2），过B作BD⊥y轴于点D，交抛物线于点C，连接OC，在抛物线上是否存在点Q使得S△OCD：S△OCQ＝3：2，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
32．已知抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）、B（3，0），与y轴交于点C（0，4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是抛物线上位于第一象限内的一点，当四边形ABPC的面积最大时，求出四边形ABPC的面积最大值及此时点P的坐标．
（3）如图2，将抛物线向右平移个单位，再向下平移2个单位．记平移后的抛物线为y'，若抛物线y'与原抛物线对称轴交于点Q．点E是新抛物线y'对称轴上一动点，在（2）的条件下，当△PQE是等腰三角形时，求点E的坐标．
答案
一．选择题
C．D．B．B．B．A．A．A．D．D．C．C．C．B．
二．填空题
15．1920．
16．﹣2．
17．10．
18．s≥9．
19．a≤3．
20．k．
21．1或4．
22．﹣16．
23．﹣8．
24．y＝x2﹣4x+3．
25．a＜0或0＜a．
三．解答题
26．（1）设钢笔、笔记本的单价分别为x元、y元，根据题意，得，
解这个方程组，得，
所以钢笔、笔记本的单价分别为10元、6元；
（2）这次奖励一等奖的学生为a人，购买奖品总余额为w元，
则w＝a[10﹣0.1（a﹣30）]+6（100﹣a）＝﹣0.1a2+7a+600＝﹣0.1（a﹣35）2+722.5，
∵30≤a≤50
∴a＝50时w＝﹣0.1×（50﹣35）2+722.5＝700（元）最少，
所以这次奖励学生一等奖为50人时，购买奖品总额最少，最少为700元．
27．（1）根据题意，得：5000x2+70000x﹣225000＝﹣5000（x﹣7）2+20000，
答：y与x的函数关系式为y＝﹣5000x2+70000x﹣225000；
（2）由题意，得，
解得x≥7.2，
∵a＝﹣5000＜0，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝7，
∵x≥7.2，
∴此时函数图象在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
∴x＝7.2（元）时，y取得最大值，ymax＝19800（元）；
答：当批发单价为7.2元时，饮料厂每天的利润最大，最大利润是19800元；
（3）根据题意得﹣5000x2+70000x﹣225000＝18750，
解得：x1＝6.5，x2＝7.5，
∵抛物线开口向下，
∴当6.5≤x≤7.5时，每天的利润不低于18700元，
∵每天的总成本不超过42500元，
∴，
解得x≥7.3，
∴7.3≤x≤7.5，
答：批发单价应控制在7.3元到7.5元之间．
28．（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，
解得，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x﹣3；
（2）如下图，连接BC交DE于点M，此时MA+MC最小，
又因为AC是定值，所以此时△AMC的周长最小．
由题意可知OB＝OC＝3，OA＝1，
∴BC3，同理AC，
∴此时△AMC的周长＝AC+AM+MC＝AC+BC3；
∵DE是抛物线的对称轴，与x轴交点A（1，0）和B（3，0），
∴AE＝BE＝1，对称轴为 x＝2，
由OB＝OC，∠BOC＝90°得∠OBC＝45°，
∴EB＝EM＝1，
又∵点M在第四象限，在抛物线的对称轴上，
∴M（2，﹣1）；
（3）存在这样的点P，使△FCG是等腰三角形．
∵点P的横坐标为m，故点F（m，﹣m2+4m﹣3），点G（m，m﹣3），
则FG2＝（﹣m2+4m﹣3）2，CF2＝（m2﹣3m）2，GC2＝2m2，
当FG＝FC时，则（﹣m2+4m﹣3）2＝（m2﹣3m）2，解得m＝0（舍去）或4；
当GF＝GC时，同理可得m＝0（舍去）或3；
当FC＝GC时，同理可得m＝0（舍去）或5，
综上，m＝5或m＝4或或3．
29．（1）设销量y与降价x之间的关系式y＝kx+b，
将点（2，24）、（4，28）代入上式得，解得，
故销量y与降价x之间的关系式y＝2x+20；
（2）由题意得：（80﹣x﹣50）（2x+20）＝750，
解得x＝5或15（元），
故该玩具每个降价5元或15元，可以恰好获得750元的利润；
（3）由题意得：W＝（80﹣x﹣50）（2x+20）＝﹣2（x﹣10）2+800，
∵﹣2＜0，
故当x＝10（元）时，W的最大值为800（元）．
30．（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
即y＝ax2﹣2ax﹣3a，
∴﹣2a＝2，解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，则C（0，3），
设直线AC的解析式为y＝px+q，把A（﹣1，0），
C（0，3）代入得，解得，
∴直线AC的解析式为y＝3x+3，
如图1，过D作DG垂直抛物线对称轴于点G，设D（x，﹣x2+2x+3），
∵DF∥AC，
∴∠DFG＝∠ACO，
而抛物线对称轴为x＝1，
∴DG＝x﹣1，DF（x﹣1），
∴DE+DF＝﹣x2+2x+3（x﹣1）＝﹣x2+（2）x+3（x）2，
∵﹣1＜0，
∴当x，DE+DF有最大值为；
（3）①存在；
如图2，过点C作AC的垂线交抛物线于点P1，
∵直线AC的解析式为y＝3x+3，
则直线AC倾斜角的正切值为3，则直线P1C倾斜角的正切值为，
∴直线P1C的解析式可设为yx+m，把C（0，3）代入得m＝3，
∴直线P1C的解析式为yx+3，解方程组，
解得，
则此时P1点坐标为（，）；
过点A作AC的垂线交抛物线于P2，
同理可设直线AP2的解析式可设为yx+n，
把A（﹣1，0）代入上式并解得n，
∴直线PC的解析式为yx，
解方程组，解得，
则此时P2点坐标为（，），
综上所述，符合条件的点P的坐标为（，）或（，）；
②答：t＜1或2＜t．
如图3，抛物线y＝﹣x2+2x+3对称轴为直线x＝1，过点C作CQ1⊥AC交对称轴于Q1，过点A作AQ2⊥AC交对称轴于Q2，
∵A（﹣1，0），C（0，3），
∴直线AC解析式为y＝3x+3，
∵CQ1⊥AC，
∴直线CQ1解析式为yx+3，
令x＝1，得y1+3，
∴Q1（1，）；
∵AQ2⊥AC，
∴直线AQ2解析式为y═x，令x＝1，得y1，
∵∠AQC＝90°时，AQ2+CQ2＝AC2，
∴（﹣1﹣1）2+t2+（1﹣0）2+（t﹣3）2＝（）2，解得：t1＝1，t2＝2，
∴当1≤t≤2时，∠AQC≥90°，
∵△ACQ为锐角三角形，点Q（1，t）必须在线段Q1Q2上（不含端点Q1、Q2），
∴t＜1或2＜t．
31．（1）∵点A在x轴的正半轴，且OA＝4，
∴点A（4，0），
∵抛物线y＝ax2+bx经过A（4，0），B（3，﹣3），
∴，
解得，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣4x；
（2）∵点B（3，﹣3），
∴直线OB解析式为y＝﹣x，
设点M（m，m2﹣4m），
∴点N（m，﹣m），K（m，0），
∴OK＝KN，
∴∠KON＝∠KNO＝45°，
∵MP∥x轴，
∴∠MPN＝∠KON＝45°，
∴∠MPN＝∠KNO＝∠MNP＝45°，
∴MP＝MN，
∴NPMN，
∵△MNP的周长＝MN+MP+NP＝2MNMN＝2（4m﹣m2﹣m）（4m﹣m2﹣m）＝（2）（3m﹣m2）＝﹣（2）[（m）2]，
∴当m时，△MNP的周长的最大值为，
此时点M坐标为（，）；
（3）存在点Q使得S△OCD：S△OCQ＝3：2，
理由如下：
如图（2），在线段CB上截取CE，连接OE，过点E作OC的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，
∵S△OCECE×OD3＝1，且OC∥QE，
∴S△OCQ＝1，
∵BD⊥y轴，
∴OD＝3，点C纵坐标为﹣3，
∴﹣3＝x2﹣4x，
∴x1＝1，x2＝3，
∴点C（1，﹣3），
∴CD＝1，
∴S△OCD1×3，
∴S△OCD：S△OCQ＝3：2，
∵点O（0，0），点C（1，﹣3），
∴直线OC解析式为：y＝﹣3x，
∵CE，
∴点E（，﹣3），
∵OC∥EQ，
∴设EQ的解析式为：y＝﹣3x+b，
∴﹣3＝﹣3b，
∴b＝2，
∴EQ的解析式为：y＝﹣3x+2，
联立方程组可得，
∴，，
∴点Q坐标为（﹣1，5）或（2，﹣4）．
32．（1）∵抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）、B（3，0），
∴可设抛物线的解析式为：y＝a（x+2）（x﹣3）（a≠0），
把C（0，4）代入y＝a（x+2）（x﹣3）（a≠0）中，得
4＝﹣6a，
∴a，
∴抛物线的解析式为：y，
即y；
（2）设P点的坐标为（t，），过点P作PM⊥x轴，与BC交于点M，如图1，
设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），则
，
解得，
∴直线BC的解析式为：y，
∴M（t，），
∴，
∴t2+3t，
，
，
∴S四边形ABPC＝S△AOC+S△BOC+S△BPC，
∴当t时，S四边形ABPC取最大值，
∴此时P点的坐标为（，）；
（3）∵将抛物线向右平移个单位，再向下平移2个单位．记平移后的抛物线为y'，
∴y′的解析式为y，即y，
∴抛物线y′的对称轴为x＝1，
∵抛物线y，
∴抛物线y的对称轴为直线x，
把x代入y中，得y＝2，
∴Q点的坐标为（，2），
设E的坐标为（1，n）
①当PE＝QE时，则PE2＝QE2，
即，
解得，n，
∴E（1，），
②当PQ＝QE时，则PQ2＝QE2，
即，
解得，n＝2±，
∴E点的坐标为（1，2）或（1，2）；
③当PQ＝PE时，则PQ2＝PE2，
即，
解得，n，
∴点E的坐标为（1，）或（1，）．
综上，当△PQE是等腰三角形时，点E的坐标为（1，）或（1，2）或（1，2）或（1，）或（1，）．