2023-2024学年 华东师大版数学九年级下册27.3 圆中的计算问题 课件(共30张PPT)
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年 华东师大版数学九年级下册27.3 圆中的计算问题 课件(共30张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-12 14:49:14 | ||
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文档简介
(共30张PPT)
27.3 圆中的计算问题
第27章 圆
逐点
学练
本节小结
作业提升
本节要点
1
学习流程
2
弧长公式
扇形
圆锥
知识点
弧长公式
1
1. 弧长公式 在半径为R 的圆中，n°的圆心角所对的弧长l 的计算公式为l=.
特别提醒
1. 公式中，n表示1°的n倍，180表示1°的180倍，n，180 不带单位.
2. 题目若没有写明精确度，可以用含“π”的式子表示弧长.
3. 在弧长公式中，已知l，n，R中任意两个量，都可求出第三个量.
2. 弧、弧长、弧的度数之间的关系
(1)弧相等表示弧长、弧的度数都相等；
(2)度数相等的弧，弧长不一定相等；
(3)弧长相等的弧，弧的度数不一定相等；只有在同圆或等圆中，弧长相等的弧才是等弧.
例 1
[中考·沈阳] 如图27.3-1，正方形ABCD 内接于⊙ O，
AB=2，则AB的长是( )
A. π B. π
C. 2π D. π
解题秘方：紧扣“弧长公式”进行解答.
︵
解：如图27.3-1，连结OA，OB，
∵正方形ABCD 内接于⊙ O，
∴∠ AOB=×360° =90°.
在Rt △ AOB 中，由勾股定理得2AO2=(2)2，
解得AO=2.∴AB的长是=π.
︵
答案：A
1-1. [中考·武威] 如图，一条公路(公路的宽度忽略不计)的转弯处是一段圆弧(AB)，点O是这段弧所在圆的圆心，半径OA=90 m， 圆心角∠ AOB=80°，则这段弯路(AB)的长度为( )
A. 20πm B. 30πm
C. 40πm D. 50πm
C
︵
︵
知识点
扇形
2
1. 定义 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.
2. 面积公式 (1)已知半径r 和n°的圆心角，则S扇形= .
(2)已知弧长l 和半径r，则S 扇形=lr
(推导过程：S扇形= =· ·r=lr).
特别提醒
●扇形面积公式中的n与弧长公式中的n一样，应该理解为1°的n 倍，不带单位.
●根据扇形面积公式和弧长公式，已知S扇形，l，n，r 四个量中的任意两个，都可以求出另外两个.
3. 弓形的面积 (1)当弓形的弧小于半圆时，它的面积等于扇形面积与三角形面积的差，即S弓形=S扇形－S三角形；
(2)当弓形的弧大于半圆时，它的面积等于扇形面积与三角形面积的和，即S弓形=S扇形+S三角形.
如图27.3-2，已知扇形OAB 的半径为2，圆心角为
90°，连结AB，则图中阴影部分的面积是( )
π－2
2π－4
4π－2
4π－4
例2
答案：A
解题秘方：用弓形面积公式计算.
解：S阴影=S扇形OAB－S△OAB
= －×2×2=π－2.
2-1. 如图，AB 为⊙ O的直径，点C，D 在⊙ O上， 且BC= 6 cm，AC=8 cm，∠ ABD=45° .
(1)求BD 的长；
(2)求图中阴影部分的面积.
如图27.3-3，AC 是汽车挡风玻璃前的雨刷器，如果AO =45 cm，CO =5 cm，当AC 绕点O 顺时针旋转90°时，求雨刷器AC 扫过的面积.
例 3
解：∵△ A′C′O 是△ ACO 绕点O 旋转90°得到的，
∴△ AOC ≌△ A′OC′.
∴雨刷器AC 扫过的面积= 扇形OAA′的面积－扇形OCC′
的面积= －= ×π=500π(cm2).
解题秘方：利用旋转，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积，利用扇形面积公式计算.
3-1. 如图，C 为半圆形内一点，O 为圆心，直径AB 长为2cm，∠ BOC=60°，∠ BCO=90°，将△ BOC 绕圆心O 逆时针旋转至△ B′OC′，点C ′ 在OA 上， 则边BC 扫过区域(图中阴影部分)的面积为_____cm2.
知识点
圆锥
3
1. 与圆锥有关的概念
(1)圆锥：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体(如图27.3-4)，圆锥可以看作是一个直角
三角形绕它的一条直角边所在的直线旋
转一周所形成的图形，这条直线叫做圆
锥的轴.
(2)圆锥的母线：圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线.
(3)圆锥的高：连结圆锥顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高.
2. 圆锥的侧面积和全面积
沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形. 设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，因此S侧=S扇形=×2πr×l=πrl，S全=S侧+S底=πrl+ πr2=πr(l+r).
特别提醒
1. 圆锥的轴通过底面的圆心，并且垂直于底面；
2. 圆锥的母线长都相等；
3. 圆锥的母线l、高h及底面圆的半径r构成直角三角形，有l2=h2+r2，已知l ，h和r中任意两个量都可以求出第三个量.
如图27.3 -5，在△ ABC 中，∠ C= 90°，AC=6，
BC=8.
例4
解题秘方：所得旋转体是一个圆锥，其全面积等于侧面展开图的扇形的面积与底面圆的面积之和.
(1)将△ ABC 以BC 所在直线为轴旋转一周，求所得旋转体的全面积；
解：∵∠ C=90°，AC=6，BC=8，
∴ AB= =10.
∴ S底=πAC2=36π，S侧=π×6×10=60π.
∴ S全=S底+S侧=96π.
(2)将△ ABC 以AC 所在直线为轴旋转一周，求所得旋转体的全面积.
解：S底=πBC2=64π，S侧=π×8×10=80π，
∴ S全=S底+S侧=144π.
4-1. [中考·宁波] 已知圆锥的底面圆的半径为4 cm，母线长为6 cm，则圆锥的侧面积为( )
A. 36πcm2
B. 24πcm2
C. 16πcm2
D. 12πcm2
B
圆中的计算问题
与圆有关的计算
弧长
公式
扇形的
面积
圆锥的
侧面积
圆锥的
全面积
请完成教材课后习题
作业提升
27.3 圆中的计算问题
第27章 圆
逐点
学练
本节小结
作业提升
本节要点
1
学习流程
2
弧长公式
扇形
圆锥
知识点
弧长公式
1
1. 弧长公式 在半径为R 的圆中，n°的圆心角所对的弧长l 的计算公式为l=.
特别提醒
1. 公式中，n表示1°的n倍，180表示1°的180倍，n，180 不带单位.
2. 题目若没有写明精确度，可以用含“π”的式子表示弧长.
3. 在弧长公式中，已知l，n，R中任意两个量，都可求出第三个量.
2. 弧、弧长、弧的度数之间的关系
(1)弧相等表示弧长、弧的度数都相等；
(2)度数相等的弧，弧长不一定相等；
(3)弧长相等的弧，弧的度数不一定相等；只有在同圆或等圆中，弧长相等的弧才是等弧.
例 1
[中考·沈阳] 如图27.3-1，正方形ABCD 内接于⊙ O，
AB=2，则AB的长是( )
A. π B. π
C. 2π D. π
解题秘方：紧扣“弧长公式”进行解答.
︵
解：如图27.3-1，连结OA，OB，
∵正方形ABCD 内接于⊙ O，
∴∠ AOB=×360° =90°.
在Rt △ AOB 中，由勾股定理得2AO2=(2)2，
解得AO=2.∴AB的长是=π.
︵
答案：A
1-1. [中考·武威] 如图，一条公路(公路的宽度忽略不计)的转弯处是一段圆弧(AB)，点O是这段弧所在圆的圆心，半径OA=90 m， 圆心角∠ AOB=80°，则这段弯路(AB)的长度为( )
A. 20πm B. 30πm
C. 40πm D. 50πm
C
︵
︵
知识点
扇形
2
1. 定义 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.
2. 面积公式 (1)已知半径r 和n°的圆心角，则S扇形= .
(2)已知弧长l 和半径r，则S 扇形=lr
(推导过程：S扇形= =· ·r=lr).
特别提醒
●扇形面积公式中的n与弧长公式中的n一样，应该理解为1°的n 倍，不带单位.
●根据扇形面积公式和弧长公式，已知S扇形，l，n，r 四个量中的任意两个，都可以求出另外两个.
3. 弓形的面积 (1)当弓形的弧小于半圆时，它的面积等于扇形面积与三角形面积的差，即S弓形=S扇形－S三角形；
(2)当弓形的弧大于半圆时，它的面积等于扇形面积与三角形面积的和，即S弓形=S扇形+S三角形.
如图27.3-2，已知扇形OAB 的半径为2，圆心角为
90°，连结AB，则图中阴影部分的面积是( )
π－2
2π－4
4π－2
4π－4
例2
答案：A
解题秘方：用弓形面积公式计算.
解：S阴影=S扇形OAB－S△OAB
= －×2×2=π－2.
2-1. 如图，AB 为⊙ O的直径，点C，D 在⊙ O上， 且BC= 6 cm，AC=8 cm，∠ ABD=45° .
(1)求BD 的长；
(2)求图中阴影部分的面积.
如图27.3-3，AC 是汽车挡风玻璃前的雨刷器，如果AO =45 cm，CO =5 cm，当AC 绕点O 顺时针旋转90°时，求雨刷器AC 扫过的面积.
例 3
解：∵△ A′C′O 是△ ACO 绕点O 旋转90°得到的，
∴△ AOC ≌△ A′OC′.
∴雨刷器AC 扫过的面积= 扇形OAA′的面积－扇形OCC′
的面积= －= ×π=500π(cm2).
解题秘方：利用旋转，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积，利用扇形面积公式计算.
3-1. 如图，C 为半圆形内一点，O 为圆心，直径AB 长为2cm，∠ BOC=60°，∠ BCO=90°，将△ BOC 绕圆心O 逆时针旋转至△ B′OC′，点C ′ 在OA 上， 则边BC 扫过区域(图中阴影部分)的面积为_____cm2.
知识点
圆锥
3
1. 与圆锥有关的概念
(1)圆锥：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体(如图27.3-4)，圆锥可以看作是一个直角
三角形绕它的一条直角边所在的直线旋
转一周所形成的图形，这条直线叫做圆
锥的轴.
(2)圆锥的母线：圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线.
(3)圆锥的高：连结圆锥顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高.
2. 圆锥的侧面积和全面积
沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形. 设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，因此S侧=S扇形=×2πr×l=πrl，S全=S侧+S底=πrl+ πr2=πr(l+r).
特别提醒
1. 圆锥的轴通过底面的圆心，并且垂直于底面；
2. 圆锥的母线长都相等；
3. 圆锥的母线l、高h及底面圆的半径r构成直角三角形，有l2=h2+r2，已知l ，h和r中任意两个量都可以求出第三个量.
如图27.3 -5，在△ ABC 中，∠ C= 90°，AC=6，
BC=8.
例4
解题秘方：所得旋转体是一个圆锥，其全面积等于侧面展开图的扇形的面积与底面圆的面积之和.
(1)将△ ABC 以BC 所在直线为轴旋转一周，求所得旋转体的全面积；
解：∵∠ C=90°，AC=6，BC=8，
∴ AB= =10.
∴ S底=πAC2=36π，S侧=π×6×10=60π.
∴ S全=S底+S侧=96π.
(2)将△ ABC 以AC 所在直线为轴旋转一周，求所得旋转体的全面积.
解：S底=πBC2=64π，S侧=π×8×10=80π，
∴ S全=S底+S侧=144π.
4-1. [中考·宁波] 已知圆锥的底面圆的半径为4 cm，母线长为6 cm，则圆锥的侧面积为( )
A. 36πcm2
B. 24πcm2
C. 16πcm2
D. 12πcm2
B
圆中的计算问题
与圆有关的计算
弧长
公式
扇形的
面积
圆锥的
侧面积
圆锥的
全面积
请完成教材课后习题
作业提升