数学人教A版（2019）必修第一册4.4.2对数函数的图象和性质（共39张ppt）

(共39张PPT)
4.4.2 对数函数的图像和性质
第四章 指数函数与对数函数
学习目标
1.通过具体对数函数图像，掌握对数函数的图像和性质
特征，并能解决问题。
2.知道同底的对数函数与指数函数互为反函数。
我们该如何去研究对数函数的性质呢？
提出问题
列表
x 1/4 1/2 1 2 4
2 1 0 -1 -2
-2 -1 0 1 2
…
…
…
…
…
…
作图步骤：
1. 列表 2. 描点 3. 连线
问题1. 画出函数 和 的图象。
问题探究
描点
连线
2
1
-1
-2
1
2
4
0
y
x
3
y=log2x
x 1/4 1/2 1 2 4
-2 -1 0 1 2
2 1 0 -1 -2
…
…
…
…
…
…
列表
问题探究
问题2：我们知道，底数互为倒数的两个指数函数的图象关
于 y轴对称．对于底数互为倒数的两个对数函数，
比如 和 ，它们的图象是否也有某种对称关系呢？可否利用其中一个函数的图象画出另一个函数的图象？
描点
连线
2
1
-1
-2
1
2
4
0
y
x
3
y=log1/2x
y=log2x
x 1/4 1/2 1 2 4
…
…
…
…
…
…
-2 -1 0 1 2
2 1 0 -1 -2
列表
这两个函数的图象有什么关系呢？
关于x轴对称
问题3：底数a（a＞０，且a≠１）的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的对数函数的图象．观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？
由此你能概括出对数函数 （a＞０，且a≠１）的值域和性质吗？
问题探究
问题探究
y=logax（a>1）的图象
x
o
(1,0)
x =1
y = log x (a>1)
a
y
问题探究
y=logax（0x
y
x = 1
(1,0)
y = log x
(0a
o
问题探究

a＞1 0＜a＜1
图 象
性 质 ⑴定义域： ⑵值域： ⑶过特殊点： ⑷单调性 ： ⑷单调性：
（0，+∞）
R
过点（1，0），即x=1时y=0
在（0，+∞）上是增函数
在（0，+∞）上是减函数
x
o
(1,0)
x =1
y
x
y
x = 1
(1,0)
o
当 x > 1 时，y > 0;
当 0 < x < 1 时， y < 0.
当 x > 1 时，y < 0;
当 0 < x < 1 时， y > 0.
对数函数的图象和性质
对数函数的性质的助记口诀:
对数增减有思路, 函数图象看底数;
底数只能大于0, 等于1来也不行;
底数若是大于1, 图象从下往上增;
底数0到1之间, 图象从上往下减;
无论函数增和减, 图象都过(1,0)点.
记忆口诀
问题探究
【即时训练】
1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）对数函数 与 的图象关于 轴对称.( )
×
（2）对数函数的图象都过定点 .( )
×
（3）若函数 是减函数，则 .( )
√
2.函数 ，且 恒过定点______.

解析：当 时， ，故恒过定点 .
知识点二 反函数
1.定义：一般地,指数函数 ,且 与对数函数__________
,且 互为反函数.
2.性质：
（1）互为反函数的两个函数图象关于直线______对称.
（2）反函数的定义域是原函数的______，反函数的值域是原函数的_____
___.


值域
定义域
【即时训练】
1.若函数 是函数 的反函数，则 的值为 ( )
A. B. C.1 D.
解析：选B.依题意，函数 是函数 的反函数，所以
， .故选B.
√
2.函数 ，且 的反函数的图象过点 ，则 的
值为__.

解析：由函数 ，且 的反函数为 ，且
，所以函数 的图象过点 ，即 ，则 .
考点一 比较对数值的大小
例1 比较下列各组值的大小：
（1） ， ；
【解】因为函数 在 上是减函数，且 ，所以
.
（2） ， ;
【解】 因为函数 在 上是增函数，且 ,所以
.
（3） 　　　　　　　　, .
【解】 因为 , ，所以 .
比较对数值大小常用的四种方法
（1）同底数的利用对数函数的单调性.
（2）同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.
（3）底数和真数都不同，找中间量.
（4）若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.
［注意］ 比较数的大小时先利用性质比较出与0或1的大小.
【跟踪训练】
1.已知实数 ， ， ，则( )
A. B. C. D.
解析：选A.因为 ， ，
，所以 .故选A.
√
2.若 ， ， ，则 ， ， 从大到小的顺序为
__________.

解析：由于 ，即 .
由 ，即 .所以 .
考点二 解对数型不等式
例2 解下列不等式：
（1） ；
【解】由对数函数的单调性和定义域，可得 解得
，所以不等式的解集为 .
（2） ；
【解】 因为 为减函数，所以
，
解得 ，所以不等式的解集为 .
（3） .
【解】 因为 或
所以原不等式的解集为 .
两类对数不等式的解法
（1）形如 的不等式.
①当 时，可转化为 ;
②当 时，可转化为 .
（2）形如 的不等式可变形为 .
①当 时，可转化为 ;
②当 时，可转化为 .
［注意］ 解决与对数函数相关的问题时要遵循定义域优先原则.
【跟踪训练】
1.已知 ，那么 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
√
解析：选 ，
当 时， 为增函数，故 ；
当 时， 为减函数，故 ，
即 .
所以 的取值范围是 .故选D.
2.不等式 的解集为________.

解析：由 ，有 ，根据对数函数的单调性有 ，即 .
考点三 作对数（型）函数的图象
例3 画出下列函数的图象，并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调性：
（1） ;
【解】函数 的图象如图①.其定义域为 ，值域为 ，
在区间 上是增函数.
图①
（2） .
图②
【解】 其图象如图②.
其定义域为 ,值域为 ,在 上单调递减，在 上单调递增.
（1）对数型函数的图象一般以函数 的图象为基础，通过平移、
对称变换得到.
（2）两种常见的对称变换：
①含有绝对值的函数的图象变换，一般地, 的图象是保留
的图象在 轴上方的部分，并把 轴下方的部分以 轴为对称轴
翻折到 轴上方得到；
的图象与 的图象关于 轴对称， 的图象
与 的图象关于 轴对称.
【跟踪训练】
已知 ,且 满足 ,试画出函数 的
图象.
解：因为 ,所以 ,即 ，
故
所以函数 的图象如图所示.
1.函数 的大致图象为( )
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
解析：选A.由对数函数性质知 为增函数，故排除B、D；当
时， ，即函数过点 ，排除C. 故选A.
√
2.已知函数 的反函数为 ，则 的值为( )
A. B.1 C.16 D.2
解析：选A.由于函数 的反函数为 ，则 ，因此， .故选A.
√
3.已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为
( )
A. B. C. D.
解析：选B.因为 ， ， ，所以 .故选B.
√
4.函数 ,且 恒过定点 ，则
___.
2
解析：由题意知 恒成立，解得 .
5.不等式 的解集是______.

解析：因为 在 上是增函数， ，所以 ，解得 .