第27章 相似三角形 综合提升 练习 人教版九年级数学下册（含解析）
文档属性
| 名称 | 第27章 相似三角形 综合提升 练习 人教版九年级数学下册（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 696.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-12 10:08:33 | ||
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文档简介
第27章 相似三角形（综合提升）
一．选择题
1．如图是老师画出的△ABC，已标出三边的长度．下面四位同学画出的三角形与老师画出的△ABC不一定相似的是（ ）
A．B． C．D．
2．如图，一壁厚均匀的容器外径为18cm，用一个交叉卡错（两条尺长AC和BD相等）可测量容器的内部直径．如果OA：OC＝OB：OD＝3：1，且量得CD＝5.8cm，则零件的厚度x为（ ）
A．0.25cm B．0.3cm C．0.35cm D．0.4cm
3．如图，在△ABC中，点D在AB上，BD＝2AD，DE∥BC交AC于点E，则下列结论正确的是（ ）
A．BC＝2DE B． C． D．CE＝2AE
4．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，BE与CD相交于F，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，AC，BD相交于点O，AB∥DC，M是AB的中点，MN∥AC，交BD于点N，若DO：OB＝1：2，AC＝12，则MN的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．如图，图1是可折叠的熨衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，AD与CB相交于点O，AB∥CD，根据图2中的数据可得x的值为（ ）
A．0.4 B．0.8 C．1 D．1.6
7．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE＝2：3，连结AE，BD交于点F，若△DEF的面积为4，则四边形CEFB的面积等于（ ）
A．50 B．35 C．31 D．20
8．如图，在△ABC中，点D、F在AB上，点E在AC上，DE∥BC，EF∥DC．那么下列比例式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图．四边形ABCD是平行四边形．点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD、CD于点G、H，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，点B、C是线段AD上的点，△ABE、△BCF、△CDG都是等边三角形，且AB＝4，BC＝6，已知△ABE与△CDG的相似比为2：5．则图中阴影部分面积为（ ）
A．2 B． C． D．
二．填空题
11．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝4，DB＝2，AE＝6，则EC的长为 ．
12．如图，中，，两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形△，并把的边长放大到原来的2倍．设点的对应点的横坐标是2，则点的横坐标是 ．
13．如图．等边的边长为5，点、、分别在三边、、上，且，，，则的长为 ．
14．如图所示，设G是△ABC的重心，过G的直线分别交AB，AC于点P，Q两点，则＝ ．
15．已知， ABCD面积为40，点M为AD的三等分点，且AM＝AD，N为BC的中点，MN交对角线BD于点O，则阴影部分的面积为 ．
16．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG＝4，则△CEF的周长为 ．
三．解答题
17．如图，在△ABC中，AD与BE相交于点G，且＝4，＝．
（1）求的值；
（2）若CE＝5cm，则AC的长．
18．如图，△ABC中，D是AC的中点，E在AB上，BD、CE交于O点．已知：OB：OD＝1：2，求值．
19．如图，在 ABCD中，点E在AB上，AE＝AB，ED和AC相交于点F，过点F作FG∥AB，交AD于点G．
（1）求FG：AE的值．
（2）若AB：AC＝：2，
①求证：∠AEF＝∠ACB．
②求证：DF2＝DG DA．
20．如图，AB为⊙O的直径，CB⊥AB于点B，连接OC，弦AD∥OC，连接CD，连接BD交OC于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）请连接AE并延长交BC于点F，若AB＝10，cos∠ABD＝，求FB的长．
21．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC．点A，C落在⊙O上，AB的延长线交⊙O于点D，作直径DF交BC于点E，CG切⊙O于点C，交AF的延长线于点G．
（1）求证：四边形ECGF为平行四边形．
（2）若AB＝6，BD＝2，求FG的长．
22．如图，AB、CD为⊙O的直径，AB⊥CD，点E为上一点，点F为EC延长线上一点，∠FAC＝∠AEF．连接ED，交AB于点G．
（1）证明：AF为⊙O的切线；
（2）证明：AF＝AG；
（3）若⊙O的半径为2，G为OB的中点，AE的长．
23．已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，连接BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线BC上方抛物线上取一点P，过点P作PQ⊥x轴交BC边于点Q，求PQ的最大值；
（3）在直线BC上方抛物线上取一点D，连接OD，CD．OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF＝3：2时，求点D的坐标．
24．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，点D为射线AB上一动点，且BD＜AD，点B关于直线CD的对称点为点E，射线AE与射线CD交于点F．
（1）当点D在边AB上时，
①求证：∠AFC＝45°；
②延长AF与边CB的延长线相交于点G，如果△EBG与△BDC相似，求线段BD的长；
（2）联结CE、BE，如果S△ACE＝12，求S△ABE的值．
第27章 相似三角形（综合提升）
一．选择题
1．如图是老师画出的△ABC，已标出三边的长度．下面四位同学画出的三角形与老师画出的△ABC不一定相似的是（ ）
A．B． C．D．
【解答】解：A、D、由两组角相等的两个三角形相似可得画出来的三角形和△ABC相似，故选项A、D不符合题意；
B、因为＝，且γ＝γ，则可得画出来的三角形和△ABC相似，故选项B不符合题意；
故选：C．
2．如图，一壁厚均匀的容器外径为18cm，用一个交叉卡错（两条尺长AC和BD相等）可测量容器的内部直径．如果OA：OC＝OB：OD＝3：1，且量得CD＝5.8cm，则零件的厚度x为（ ）
A．0.25cm B．0.3cm C．0.35cm D．0.4cm
【解答】解：∵OA：OC＝OB：OD＝3：1，∠COD＝∠AOB，
∴△COD∽△AOB，
∴AB：CD＝3：1，
∵CD＝5.8cm，
∴AB＝17.4cm，
∵某零件的外径为18cm，
∴零件的厚度x为：（18﹣17.4）÷2＝0.3（cm）．
故选：B．
3．如图，在△ABC中，点D在AB上，BD＝2AD，DE∥BC交AC于点E，则下列结论正确的是（ ）
A．BC＝2DE B． C． D．CE＝2AE
【解答】解：∵BD＝2AD，AB＝AD+BD，
∴AB＝3AD，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝＝，
∴BC＝3DE，＝＝，＝
∴CE＝AC﹣AE＝3AE﹣AE＝2AE，
的值无法求解，
故选：D．
4．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，BE与CD相交于F，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，故A不正确，B正确，
∵DE∥BC，
∴△DEF∽△CBF，
∴，故C、D不正确，
故选：B．
5．如图，AC，BD相交于点O，AB∥DC，M是AB的中点，MN∥AC，交BD于点N，若DO：OB＝1：2，AC＝12，则MN的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【解答】解：∵AB∥DC，
∴△CDO∽△ABO，
∴，
∵DO：OB＝1：2，
∴＝，
∴OC＝OA，
∵AC＝OA+OC＝12，
∴OA+OA＝12，
∴OA＝8，
∵MN∥AC，M是AB的中点，
∴MN为△AOB的中位线，
∴MN＝OA＝＝4．
故选：B．
6．如图，图1是可折叠的熨衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，AD与CB相交于点O，AB∥CD，根据图2中的数据可得x的值为（ ）
A．0.4 B．0.8 C．1 D．1.6
【解答】解：∵AB∥CD，
∴△COD∽△BOA，
∴，
∴，
∴x＝0.4，
故选：A．
7．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE＝2：3，连结AE，BD交于点F，若△DEF的面积为4，则四边形CEFB的面积等于（ ）
A．50 B．35 C．31 D．20
【解答】解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，CD＝AB．
∴△DFE∽△BFA，
∴S△DEF：S△BAF＝DE2：AB2，，
∵DE：EC＝2：3，
∴DE：DC＝DE：AB＝2：5，
∴S△DEF：S△ABF＝4：25，
∵△DEF的面积为4，
∴S△ABF＝25，
∵△DEF和△ADF的高相等，且，
∴S△ADF＝S△DEF＝×4＝10，
∴S△ABD＝S△BAF+S△ADF＝25+10＝35，
∴S△BCD＝35，
∴四边形EFBC的面积＝S△BCD﹣S△DEF＝35﹣4＝31，
故选：C．
8．如图，在△ABC中，点D、F在AB上，点E在AC上，DE∥BC，EF∥DC．那么下列比例式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵EF∥DC，DE∥BC，
∴∠BDC＝∠DFE，∠B＝∠FDE，
∴△BDC∽△DFE，
∴＝＝，
所以选项C正确，
故选：C．
9．如图．四边形ABCD是平行四边形．点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD、CD于点G、H，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，AD∥BC，
A．∵AG∥BF，∴，故选项A不合题意；
B．∵EB∥CH，∴故选项B不合题意；
C．∵AD∥BF，∴，又∵EB∥DC，
∴，∴，∴，故选项C不符合题意；
D．∵EA∥DH，∴故选项D符合题意；
故选：D．
10．如图，点B、C是线段AD上的点，△ABE、△BCF、△CDG都是等边三角形，且AB＝4，BC＝6，已知△ABE与△CDG的相似比为2：5．则图中阴影部分面积为（ ）
A．2 B． C． D．
【解答】解：如图，设AG与CF、BF分别相交于点M、N，
∵AC＝AB+BC＝4+6＝10，
∴AC＝CG，
∴∠CAG＝∠CGA，
又∵∠CAG+∠CGA＝∠DCG＝60°，
∴∠CGA＝30°，
∴∠AGD＝∠CGA+∠CGD＝30°+60°＝90°，
∴AG⊥GD，
∵∠BCF＝∠D＝60°，
∴CF∥DG，
∴△ACM∽△ADG，
∴MN⊥CF，，
即，
解得CM＝5，
所以，MF＝CF﹣CM＝6﹣5＝1，
∵∠F＝60°，
∴MN＝MF＝，
∴S△MNF＝MF MN＝×1×＝，
即阴影部分面积为．
故选：B．
二．填空题
11．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝4，DB＝2，AE＝6，则EC的长为 3 ．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴，即，
解得：EC＝3，
则EC的长是3．
故答案为：3．
12．如图，中，，两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形△，并把的边长放大到原来的2倍．设点的对应点的横坐标是2，则点的横坐标是 ．
【解答】解：过点、分别作轴于，轴于，
．
的位似图形是△，点、、在一条直线上，
，△．
，
又，，
又点的横坐标是2，点的坐标是，
，．，
点的横坐标为：．
13．如图．等边的边长为5，点、、分别在三边、、上，且，，，则的长为 ．
【解答】解：是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
过作于，
，，
，，
，
，
中，
，
故答案为：．
14．如图所示，设G是△ABC的重心，过G的直线分别交AB，AC于点P，Q两点，则＝ 1 ．
【解答】解：过点B、C作BE∥AD，CF∥AD，交直线PQ于点E、F，
∴四边形BEFC是梯形，
∵G是△ABC的重心，
∴AG＝2DG，点D是BC的中点，
∴BE+CF＝2DG，
∵BE∥GD，∴，
∵GD∥CF，∴，
∴＝+＝＝＝1，
故答案为：1．
15．已知， ABCD面积为40，点M为AD的三等分点，且AM＝AD，N为BC的中点，MN交对角线BD于点O，则阴影部分的面积为 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，
∵BD＝BD，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
∴△CDB的面积＝ ABCD的面积＝20，
∵N为BC的中点，
∴BN＝NC＝BC，
∴△DNC的面积＝△BND的面积＝△CBD的面积＝10，
∵AM＝AD，∴DM＝AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，∠DMN＝∠ANB，
∴△DMO∽△BNO，
∴＝＝＝，∴＝，
∴△DON的面积＝△BND的面积＝，
∴阴影部分的面积＝△DON的面积+△DNC的面积＝，
16．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG＝4，则△CEF的周长为 8 ．
【解答】解：∵在 ABCD中，AB＝CD＝6，AD＝BC＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠BAF＝∠DAF，
∵AB∥DF，
∴∠BAF＝∠F，
∴∠F＝∠DAF，
∴△ADF是等腰三角形，AD＝DF＝9；
∵AD∥BC，
∴△EFC是等腰三角形，且FC＝CE．
∴EC＝FC＝9﹣6＝3，
∴AB＝BE．
∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝6，BG＝，
可得：AG＝2，
又∵BG⊥AE，∴AE＝2AG＝4，
∴△ABE的周长等于16，
又∵ ABCD，
∴△CEF∽△BEA，相似比为1：2，
∴△CEF的周长为8．
三．解答题
17．如图，在△ABC中，AD与BE相交于点G，且＝4，＝．
（1）求的值；
（2）若CE＝5cm，则AC的长．
【解答】解：（1）过点D作DF∥BE交AC于点F，
∴，
∴AE＝4EF，
∵DF∥BE，
∴＝＝，
∴CE＝EF，
∴＝＝；
（2）∵＝，
∴＝，
解得，AE＝8，
∴AC＝AE+CE＝8+5＝13（cm）．
18．如图，△ABC中，D是AC的中点，E在AB上，BD、CE交于O点．已知：OB：OD＝1：2，求值．
【解答】解：取AE中点F，连DF，如图，
∵D是AC中点，F为AE的中点，
∴DF为△AEC的中位线，
∴DF∥CE，
∵OE∥DF，
∴＝＝，
∴＝．
19．如图，在 ABCD中，点E在AB上，AE＝AB，ED和AC相交于点F，过点F作FG∥AB，交AD于点G．
（1）求FG：AE的值．
（2）若AB：AC＝：2，
①求证：∠AEF＝∠ACB．
②求证：DF2＝DG DA．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵AE＝AB， ∴＝，
∵AB∥CD， ∴△AFE∽△CFD，
∴＝＝， ∴＝，
∵FG∥AB， ∴△DFG∽△DEA，
∴＝＝；
（2）证明：①设AC＝2a，则AB＝a，∴AE＝a，
由（1）可知，△AFE∽△CFD，
∴＝＝，∴AF＝a，∴＝＝，
∵∠EAF＝∠CAB，∴△EAF∽△CAB，
∴AEF＝∠ACB；
②∵GF∥AB，∴∠DFG＝∠DEA，
∵∠AEF＝∠ACB，∴∠DFG＝∠ACB，
∵AD∥AC，∴∠ACB＝∠FAD，∴∠DFG＝∠FAD，
∵∠FDG＝∠ADF，∴△DFG∽△DAF，
∴＝，
∴DF2＝DG DA．
20．如图，AB为⊙O的直径，CB⊥AB于点B，连接OC，弦AD∥OC，连接CD，连接BD交OC于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）请连接AE并延长交BC于点F，若AB＝10，cos∠ABD＝，求FB的长．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，
∵AD∥OC，
∴△BOE∽△BAD，
∴∠OEB＝∠ADB＝∠OED＝90°，即OC⊥BD，
∵OD＝OB，∴∠ODE＝∠OBE，
∴∠DOE＝∠BOE，
在△COD和△COB中，
，
∴△COD≌△COB（SAS），
∴∠ODC＝∠OBC，
∵CB⊥AB，
∴∠ODC＝∠OBC＝90°，
即CD是⊙O的切线；
（2）解：如图，过点E作EH⊥AB，交AB于点H，
由（1）可知，∠BEO＝90°，
∵cos∠ABD＝，AB＝10，
∴BO＝5，，
∴BE＝，
在Rt△BEO中，
BO＝5，BE＝，
∴OE＝＝＝，
，
∴＝5×EH，
∴EH＝2，
∴OH＝＝＝1，
∴AH＝AO+OH＝5+1＝6，
∵EH⊥AB，CB⊥AB，
∴EH∥CB，
∴△AEH∽△AFB，
∴，
∴FB＝＝＝．
21．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC．点A，C落在⊙O上，AB的延长线交⊙O于点D，作直径DF交BC于点E，CG切⊙O于点C，交AF的延长线于点G．
（1）求证：四边形ECGF为平行四边形．
（2）若AB＝6，BD＝2，求FG的长．
【解答】（1）证明：∵∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∴∠DOC＝2∠BAC＝90°，
∵CG与⊙O相切于点C，
∴∠OCG＝90°，
∴∠DOC＝∠OCG＝90°，
∴EF∥CG，
∵DF是⊙O的直径，
∴∠DAF＝90°，
∴∠DAF+∠ABC＝180°，
∴FG∥BC，
∴四边形ECGF为平行四边形；
（2）解：∵∠DBC＝∠DAF＝90°，∠D＝∠D，
∴△DBE∽△DAF，
∴＝＝＝，
∴DE＝DF，
∴DE＝OD，
∴DE＝OE，
设BE＝x，则CE＝BC﹣BE＝6﹣x，
在Rt△DBE中，DE2＝DB2+BE2＝4+x2，
∴OE2＝DE2＝4+x2，
∵OC＝OD＝2OE，
∴OC2＝（2OE）2＝4OE2＝16+4x2，
在Rt△EOC中，OE2+OC2＝EC2，
∴4+x2+16+4x2＝（6﹣x）2，
∴x＝1或x＝﹣4（舍去），
∴EC＝6﹣x＝5，
∵四边形ECGF为平行四边形，
∴FG＝EC＝5，
∴FG的长为5．
22．如图，AB、CD为⊙O的直径，AB⊥CD，点E为上一点，点F为EC延长线上一点，∠FAC＝∠AEF．连接ED，交AB于点G．
（1）证明：AF为⊙O的切线；
（2）证明：AF＝AG；
（3）若⊙O的半径为2，G为OB的中点，AE的长．
【解答】（1）证明：∵AB⊥CD，
∴∠AOC＝90°，
∴∠AEF＝∠AOC＝45°，
∵∠FAC＝∠AEF，
∴∠FAC＝45°，
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
∴∠OAF＝∠OAC+∠FAC＝90°，
∵OA是⊙O的半径，
∴AF为⊙O的切线；
（2）证明：∵四边形ADEC是圆内接四边形，
∴∠ADG+∠ACE＝180°，
∵∠ACE+∠ACF＝180°，
∴∠ACF＝∠ADG，
∵AB⊥CD，∴∠AOD＝∠AOC＝∠BOD＝90°，
∴AD＝AC，∠DAB＝∠BOD＝45°，
∴∠FAC＝∠DAB＝45°，
∴△ADG≌△ACF（ASA），
∴AG＝AF；
（3）解：连接BE，AD，
∵G为OB的中点，OB＝2，
∴OG＝GB＝OB＝1，
∵OA＝OD＝2，∠AOD＝90°，
∴AD＝OA＝2，
∵∠BOD＝90°，
∴BD＝＝＝，
∵∠DAB＝∠DEB，∠AGD＝∠BGE，
∴△ADG∽△EBG，
∴＝，
∴＝，
∴EB＝，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴AE＝＝＝，
∴AE的长为．
23．已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，连接BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线BC上方抛物线上取一点P，过点P作PQ⊥x轴交BC边于点Q，求PQ的最大值；
（3）在直线BC上方抛物线上取一点D，连接OD，CD．OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF＝3：2时，求点D的坐标．
【解答】解：（1）把点A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+3中可得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为：y＝kx+m，
把B（3，0），C（0，3）代入y＝kx+m中可得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，
过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，
设P点坐标为（x，﹣x2+2x+3），
则Q点坐标为（x，﹣x+3），
∴PQ＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）
＝﹣x2+2x+3+x﹣3
＝﹣x2+3x
＝﹣（x﹣）2+，
∴PQ的最大值是；
（3）∵S△COF：S△CDF＝3：2，
∴OF：DF＝3：2，
过点D作DG∥y轴交BC于点G，
∴∠OCF＝∠CGD，∠COF＝∠ODG，
∴△COF∽△GDF，
∴＝，
∵OC＝3，
∴DG＝2，
设点D坐标为（m，﹣m2+2m+3），则点G坐标为（m，﹣m+3），
∴DG＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）
＝﹣m2+3m，
∴﹣m2+3m＝2，
解得：m1＝1，m2＝2，
∴点D的坐标为（1，4）或（2，3）．
24．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，点D为射线AB上一动点，且BD＜AD，点B关于直线CD的对称点为点E，射线AE与射线CD交于点F．
（1）当点D在边AB上时，
①求证：∠AFC＝45°；
②延长AF与边CB的延长线相交于点G，如果△EBG与△BDC相似，求线段BD的长；
（2）联结CE、BE，如果S△ACE＝12，求S△ABE的值．
【解答】解：（1）①证明：如图1，连接CE，
∵点B关于直线CD的对称点为点E，
∴EC＝BC，∠ECF＝∠BCF，
设∠ECF＝∠BCF＝α，
则∠BCE＝2α，
∴∠ACE＝90°﹣2α，
∵AC＝BC，
∴AC＝EC，
∴∠AEC＝∠EAC＝[180°﹣（90°﹣2α）]＝45°+α，
∵∠AEC＝∠AFC+∠ECF＝∠AFC+α，
∴∠AFC＝45°；
②如图2，连接BE，CE，
∵B、E关于直线CF对称，
∴CF垂直平分BE，
由（1）知：∠AFC＝45°，
∴∠BEF＝45°，
∵△EBG与△BDC相似，∠BEG＝∠DBC＝45°，
∵∠EBG与∠BDC均为钝角，
∴△EBG∽△BDC，
∴∠G＝∠BCD＝∠BAG，
∵∠G+∠BAG＝∠ABC＝45°，
∴∠G＝∠BCD＝22.5°，
过点D作DH⊥AB交BC于点H，
则△BDH是等腰直角三角形，
∴DH＝BD，BH＝BD，∠BHD＝45°，
∵∠CDH＝∠BHD﹣∠BCD＝45°﹣22.5°＝22.5°＝∠BCD，
∴CH＝DH＝BD，
∵CH+BH＝BC＝5，
∴BD+BD＝5，
∴BD＝＝5﹣5，
∴线段BD的长为5﹣5；
（2）Ⅰ．当点D在AB上时，如图3，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，
∵AC＝EC＝BC＝5，∴AM＝EM＝AE，
∴①AM2+CM2＝AC2＝25，
∵S△ACE＝AE CM＝12，
∴②AM CM＝12，
①+②×2，得：（AM+CM）2＝49③，
①﹣②×2，得：（AM﹣CM）2＝49③，
∵CM＞AM＞0，
∴AM＝3，CM＝4，
∴AE＝6，
由（1）知：∠AFC＝45°，BE⊥CF，
∴∠BEF＝45°，
∵∠AFC＝∠ABC＝45°，∴A、C、B、F四点共圆，
∴∠AFB+∠ACB＝180°，∴∠AFB＝90°，
∴△BEF是等腰直角三角形，∴EF＝BF，
设EF＝BF＝x，则AE＝x+6，
在Rt△ABF中，AF2+BF2＝AB2，
∴（x+6）2+x2＝50，
解得：x＝1或x＝﹣7（舍去），
∴BF＝1，
∴S△ABE＝AE BF＝×6×1＝3；
Ⅱ．当点D在AB的延长线上时，如图4，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，
由（1）知：∠AFC＝45°，CF垂直平分BE，
∴∠BEF＝45°，BF＝EF，
∴∠EBF＝∠BEF＝45°，
∴∠BFE＝90°，
∵AC＝EC＝BC＝5，
∴AM＝EM＝AE，
与Ⅰ同理可得：AM＝EM＝4，CM＝3，AE＝8，
设BF＝EF＝y，则AF＝8﹣y，
在Rt△ABF中，AF2+BF2＝AB2，
∴（8﹣y）2+y2＝50，
解得：y＝1或y＝7（舍去），
∴BF＝1，
∴S△ABE＝AE BF＝×8×1＝4；
综上，S△ABE的值为3或4．
一．选择题
1．如图是老师画出的△ABC，已标出三边的长度．下面四位同学画出的三角形与老师画出的△ABC不一定相似的是（ ）
A．B． C．D．
2．如图，一壁厚均匀的容器外径为18cm，用一个交叉卡错（两条尺长AC和BD相等）可测量容器的内部直径．如果OA：OC＝OB：OD＝3：1，且量得CD＝5.8cm，则零件的厚度x为（ ）
A．0.25cm B．0.3cm C．0.35cm D．0.4cm
3．如图，在△ABC中，点D在AB上，BD＝2AD，DE∥BC交AC于点E，则下列结论正确的是（ ）
A．BC＝2DE B． C． D．CE＝2AE
4．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，BE与CD相交于F，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，AC，BD相交于点O，AB∥DC，M是AB的中点，MN∥AC，交BD于点N，若DO：OB＝1：2，AC＝12，则MN的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．如图，图1是可折叠的熨衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，AD与CB相交于点O，AB∥CD，根据图2中的数据可得x的值为（ ）
A．0.4 B．0.8 C．1 D．1.6
7．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE＝2：3，连结AE，BD交于点F，若△DEF的面积为4，则四边形CEFB的面积等于（ ）
A．50 B．35 C．31 D．20
8．如图，在△ABC中，点D、F在AB上，点E在AC上，DE∥BC，EF∥DC．那么下列比例式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图．四边形ABCD是平行四边形．点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD、CD于点G、H，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，点B、C是线段AD上的点，△ABE、△BCF、△CDG都是等边三角形，且AB＝4，BC＝6，已知△ABE与△CDG的相似比为2：5．则图中阴影部分面积为（ ）
A．2 B． C． D．
二．填空题
11．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝4，DB＝2，AE＝6，则EC的长为 ．
12．如图，中，，两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形△，并把的边长放大到原来的2倍．设点的对应点的横坐标是2，则点的横坐标是 ．
13．如图．等边的边长为5，点、、分别在三边、、上，且，，，则的长为 ．
14．如图所示，设G是△ABC的重心，过G的直线分别交AB，AC于点P，Q两点，则＝ ．
15．已知， ABCD面积为40，点M为AD的三等分点，且AM＝AD，N为BC的中点，MN交对角线BD于点O，则阴影部分的面积为 ．
16．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG＝4，则△CEF的周长为 ．
三．解答题
17．如图，在△ABC中，AD与BE相交于点G，且＝4，＝．
（1）求的值；
（2）若CE＝5cm，则AC的长．
18．如图，△ABC中，D是AC的中点，E在AB上，BD、CE交于O点．已知：OB：OD＝1：2，求值．
19．如图，在 ABCD中，点E在AB上，AE＝AB，ED和AC相交于点F，过点F作FG∥AB，交AD于点G．
（1）求FG：AE的值．
（2）若AB：AC＝：2，
①求证：∠AEF＝∠ACB．
②求证：DF2＝DG DA．
20．如图，AB为⊙O的直径，CB⊥AB于点B，连接OC，弦AD∥OC，连接CD，连接BD交OC于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）请连接AE并延长交BC于点F，若AB＝10，cos∠ABD＝，求FB的长．
21．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC．点A，C落在⊙O上，AB的延长线交⊙O于点D，作直径DF交BC于点E，CG切⊙O于点C，交AF的延长线于点G．
（1）求证：四边形ECGF为平行四边形．
（2）若AB＝6，BD＝2，求FG的长．
22．如图，AB、CD为⊙O的直径，AB⊥CD，点E为上一点，点F为EC延长线上一点，∠FAC＝∠AEF．连接ED，交AB于点G．
（1）证明：AF为⊙O的切线；
（2）证明：AF＝AG；
（3）若⊙O的半径为2，G为OB的中点，AE的长．
23．已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，连接BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线BC上方抛物线上取一点P，过点P作PQ⊥x轴交BC边于点Q，求PQ的最大值；
（3）在直线BC上方抛物线上取一点D，连接OD，CD．OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF＝3：2时，求点D的坐标．
24．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，点D为射线AB上一动点，且BD＜AD，点B关于直线CD的对称点为点E，射线AE与射线CD交于点F．
（1）当点D在边AB上时，
①求证：∠AFC＝45°；
②延长AF与边CB的延长线相交于点G，如果△EBG与△BDC相似，求线段BD的长；
（2）联结CE、BE，如果S△ACE＝12，求S△ABE的值．
第27章 相似三角形（综合提升）
一．选择题
1．如图是老师画出的△ABC，已标出三边的长度．下面四位同学画出的三角形与老师画出的△ABC不一定相似的是（ ）
A．B． C．D．
【解答】解：A、D、由两组角相等的两个三角形相似可得画出来的三角形和△ABC相似，故选项A、D不符合题意；
B、因为＝，且γ＝γ，则可得画出来的三角形和△ABC相似，故选项B不符合题意；
故选：C．
2．如图，一壁厚均匀的容器外径为18cm，用一个交叉卡错（两条尺长AC和BD相等）可测量容器的内部直径．如果OA：OC＝OB：OD＝3：1，且量得CD＝5.8cm，则零件的厚度x为（ ）
A．0.25cm B．0.3cm C．0.35cm D．0.4cm
【解答】解：∵OA：OC＝OB：OD＝3：1，∠COD＝∠AOB，
∴△COD∽△AOB，
∴AB：CD＝3：1，
∵CD＝5.8cm，
∴AB＝17.4cm，
∵某零件的外径为18cm，
∴零件的厚度x为：（18﹣17.4）÷2＝0.3（cm）．
故选：B．
3．如图，在△ABC中，点D在AB上，BD＝2AD，DE∥BC交AC于点E，则下列结论正确的是（ ）
A．BC＝2DE B． C． D．CE＝2AE
【解答】解：∵BD＝2AD，AB＝AD+BD，
∴AB＝3AD，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝＝，
∴BC＝3DE，＝＝，＝
∴CE＝AC﹣AE＝3AE﹣AE＝2AE，
的值无法求解，
故选：D．
4．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，BE与CD相交于F，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，故A不正确，B正确，
∵DE∥BC，
∴△DEF∽△CBF，
∴，故C、D不正确，
故选：B．
5．如图，AC，BD相交于点O，AB∥DC，M是AB的中点，MN∥AC，交BD于点N，若DO：OB＝1：2，AC＝12，则MN的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【解答】解：∵AB∥DC，
∴△CDO∽△ABO，
∴，
∵DO：OB＝1：2，
∴＝，
∴OC＝OA，
∵AC＝OA+OC＝12，
∴OA+OA＝12，
∴OA＝8，
∵MN∥AC，M是AB的中点，
∴MN为△AOB的中位线，
∴MN＝OA＝＝4．
故选：B．
6．如图，图1是可折叠的熨衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，AD与CB相交于点O，AB∥CD，根据图2中的数据可得x的值为（ ）
A．0.4 B．0.8 C．1 D．1.6
【解答】解：∵AB∥CD，
∴△COD∽△BOA，
∴，
∴，
∴x＝0.4，
故选：A．
7．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE＝2：3，连结AE，BD交于点F，若△DEF的面积为4，则四边形CEFB的面积等于（ ）
A．50 B．35 C．31 D．20
【解答】解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，CD＝AB．
∴△DFE∽△BFA，
∴S△DEF：S△BAF＝DE2：AB2，，
∵DE：EC＝2：3，
∴DE：DC＝DE：AB＝2：5，
∴S△DEF：S△ABF＝4：25，
∵△DEF的面积为4，
∴S△ABF＝25，
∵△DEF和△ADF的高相等，且，
∴S△ADF＝S△DEF＝×4＝10，
∴S△ABD＝S△BAF+S△ADF＝25+10＝35，
∴S△BCD＝35，
∴四边形EFBC的面积＝S△BCD﹣S△DEF＝35﹣4＝31，
故选：C．
8．如图，在△ABC中，点D、F在AB上，点E在AC上，DE∥BC，EF∥DC．那么下列比例式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵EF∥DC，DE∥BC，
∴∠BDC＝∠DFE，∠B＝∠FDE，
∴△BDC∽△DFE，
∴＝＝，
所以选项C正确，
故选：C．
9．如图．四边形ABCD是平行四边形．点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD、CD于点G、H，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，AD∥BC，
A．∵AG∥BF，∴，故选项A不合题意；
B．∵EB∥CH，∴故选项B不合题意；
C．∵AD∥BF，∴，又∵EB∥DC，
∴，∴，∴，故选项C不符合题意；
D．∵EA∥DH，∴故选项D符合题意；
故选：D．
10．如图，点B、C是线段AD上的点，△ABE、△BCF、△CDG都是等边三角形，且AB＝4，BC＝6，已知△ABE与△CDG的相似比为2：5．则图中阴影部分面积为（ ）
A．2 B． C． D．
【解答】解：如图，设AG与CF、BF分别相交于点M、N，
∵AC＝AB+BC＝4+6＝10，
∴AC＝CG，
∴∠CAG＝∠CGA，
又∵∠CAG+∠CGA＝∠DCG＝60°，
∴∠CGA＝30°，
∴∠AGD＝∠CGA+∠CGD＝30°+60°＝90°，
∴AG⊥GD，
∵∠BCF＝∠D＝60°，
∴CF∥DG，
∴△ACM∽△ADG，
∴MN⊥CF，，
即，
解得CM＝5，
所以，MF＝CF﹣CM＝6﹣5＝1，
∵∠F＝60°，
∴MN＝MF＝，
∴S△MNF＝MF MN＝×1×＝，
即阴影部分面积为．
故选：B．
二．填空题
11．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝4，DB＝2，AE＝6，则EC的长为 3 ．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴，即，
解得：EC＝3，
则EC的长是3．
故答案为：3．
12．如图，中，，两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形△，并把的边长放大到原来的2倍．设点的对应点的横坐标是2，则点的横坐标是 ．
【解答】解：过点、分别作轴于，轴于，
．
的位似图形是△，点、、在一条直线上，
，△．
，
又，，
又点的横坐标是2，点的坐标是，
，．，
点的横坐标为：．
13．如图．等边的边长为5，点、、分别在三边、、上，且，，，则的长为 ．
【解答】解：是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
过作于，
，，
，，
，
，
中，
，
故答案为：．
14．如图所示，设G是△ABC的重心，过G的直线分别交AB，AC于点P，Q两点，则＝ 1 ．
【解答】解：过点B、C作BE∥AD，CF∥AD，交直线PQ于点E、F，
∴四边形BEFC是梯形，
∵G是△ABC的重心，
∴AG＝2DG，点D是BC的中点，
∴BE+CF＝2DG，
∵BE∥GD，∴，
∵GD∥CF，∴，
∴＝+＝＝＝1，
故答案为：1．
15．已知， ABCD面积为40，点M为AD的三等分点，且AM＝AD，N为BC的中点，MN交对角线BD于点O，则阴影部分的面积为 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，
∵BD＝BD，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
∴△CDB的面积＝ ABCD的面积＝20，
∵N为BC的中点，
∴BN＝NC＝BC，
∴△DNC的面积＝△BND的面积＝△CBD的面积＝10，
∵AM＝AD，∴DM＝AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，∠DMN＝∠ANB，
∴△DMO∽△BNO，
∴＝＝＝，∴＝，
∴△DON的面积＝△BND的面积＝，
∴阴影部分的面积＝△DON的面积+△DNC的面积＝，
16．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG＝4，则△CEF的周长为 8 ．
【解答】解：∵在 ABCD中，AB＝CD＝6，AD＝BC＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠BAF＝∠DAF，
∵AB∥DF，
∴∠BAF＝∠F，
∴∠F＝∠DAF，
∴△ADF是等腰三角形，AD＝DF＝9；
∵AD∥BC，
∴△EFC是等腰三角形，且FC＝CE．
∴EC＝FC＝9﹣6＝3，
∴AB＝BE．
∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝6，BG＝，
可得：AG＝2，
又∵BG⊥AE，∴AE＝2AG＝4，
∴△ABE的周长等于16，
又∵ ABCD，
∴△CEF∽△BEA，相似比为1：2，
∴△CEF的周长为8．
三．解答题
17．如图，在△ABC中，AD与BE相交于点G，且＝4，＝．
（1）求的值；
（2）若CE＝5cm，则AC的长．
【解答】解：（1）过点D作DF∥BE交AC于点F，
∴，
∴AE＝4EF，
∵DF∥BE，
∴＝＝，
∴CE＝EF，
∴＝＝；
（2）∵＝，
∴＝，
解得，AE＝8，
∴AC＝AE+CE＝8+5＝13（cm）．
18．如图，△ABC中，D是AC的中点，E在AB上，BD、CE交于O点．已知：OB：OD＝1：2，求值．
【解答】解：取AE中点F，连DF，如图，
∵D是AC中点，F为AE的中点，
∴DF为△AEC的中位线，
∴DF∥CE，
∵OE∥DF，
∴＝＝，
∴＝．
19．如图，在 ABCD中，点E在AB上，AE＝AB，ED和AC相交于点F，过点F作FG∥AB，交AD于点G．
（1）求FG：AE的值．
（2）若AB：AC＝：2，
①求证：∠AEF＝∠ACB．
②求证：DF2＝DG DA．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵AE＝AB， ∴＝，
∵AB∥CD， ∴△AFE∽△CFD，
∴＝＝， ∴＝，
∵FG∥AB， ∴△DFG∽△DEA，
∴＝＝；
（2）证明：①设AC＝2a，则AB＝a，∴AE＝a，
由（1）可知，△AFE∽△CFD，
∴＝＝，∴AF＝a，∴＝＝，
∵∠EAF＝∠CAB，∴△EAF∽△CAB，
∴AEF＝∠ACB；
②∵GF∥AB，∴∠DFG＝∠DEA，
∵∠AEF＝∠ACB，∴∠DFG＝∠ACB，
∵AD∥AC，∴∠ACB＝∠FAD，∴∠DFG＝∠FAD，
∵∠FDG＝∠ADF，∴△DFG∽△DAF，
∴＝，
∴DF2＝DG DA．
20．如图，AB为⊙O的直径，CB⊥AB于点B，连接OC，弦AD∥OC，连接CD，连接BD交OC于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）请连接AE并延长交BC于点F，若AB＝10，cos∠ABD＝，求FB的长．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，
∵AD∥OC，
∴△BOE∽△BAD，
∴∠OEB＝∠ADB＝∠OED＝90°，即OC⊥BD，
∵OD＝OB，∴∠ODE＝∠OBE，
∴∠DOE＝∠BOE，
在△COD和△COB中，
，
∴△COD≌△COB（SAS），
∴∠ODC＝∠OBC，
∵CB⊥AB，
∴∠ODC＝∠OBC＝90°，
即CD是⊙O的切线；
（2）解：如图，过点E作EH⊥AB，交AB于点H，
由（1）可知，∠BEO＝90°，
∵cos∠ABD＝，AB＝10，
∴BO＝5，，
∴BE＝，
在Rt△BEO中，
BO＝5，BE＝，
∴OE＝＝＝，
，
∴＝5×EH，
∴EH＝2，
∴OH＝＝＝1，
∴AH＝AO+OH＝5+1＝6，
∵EH⊥AB，CB⊥AB，
∴EH∥CB，
∴△AEH∽△AFB，
∴，
∴FB＝＝＝．
21．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC．点A，C落在⊙O上，AB的延长线交⊙O于点D，作直径DF交BC于点E，CG切⊙O于点C，交AF的延长线于点G．
（1）求证：四边形ECGF为平行四边形．
（2）若AB＝6，BD＝2，求FG的长．
【解答】（1）证明：∵∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∴∠DOC＝2∠BAC＝90°，
∵CG与⊙O相切于点C，
∴∠OCG＝90°，
∴∠DOC＝∠OCG＝90°，
∴EF∥CG，
∵DF是⊙O的直径，
∴∠DAF＝90°，
∴∠DAF+∠ABC＝180°，
∴FG∥BC，
∴四边形ECGF为平行四边形；
（2）解：∵∠DBC＝∠DAF＝90°，∠D＝∠D，
∴△DBE∽△DAF，
∴＝＝＝，
∴DE＝DF，
∴DE＝OD，
∴DE＝OE，
设BE＝x，则CE＝BC﹣BE＝6﹣x，
在Rt△DBE中，DE2＝DB2+BE2＝4+x2，
∴OE2＝DE2＝4+x2，
∵OC＝OD＝2OE，
∴OC2＝（2OE）2＝4OE2＝16+4x2，
在Rt△EOC中，OE2+OC2＝EC2，
∴4+x2+16+4x2＝（6﹣x）2，
∴x＝1或x＝﹣4（舍去），
∴EC＝6﹣x＝5，
∵四边形ECGF为平行四边形，
∴FG＝EC＝5，
∴FG的长为5．
22．如图，AB、CD为⊙O的直径，AB⊥CD，点E为上一点，点F为EC延长线上一点，∠FAC＝∠AEF．连接ED，交AB于点G．
（1）证明：AF为⊙O的切线；
（2）证明：AF＝AG；
（3）若⊙O的半径为2，G为OB的中点，AE的长．
【解答】（1）证明：∵AB⊥CD，
∴∠AOC＝90°，
∴∠AEF＝∠AOC＝45°，
∵∠FAC＝∠AEF，
∴∠FAC＝45°，
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
∴∠OAF＝∠OAC+∠FAC＝90°，
∵OA是⊙O的半径，
∴AF为⊙O的切线；
（2）证明：∵四边形ADEC是圆内接四边形，
∴∠ADG+∠ACE＝180°，
∵∠ACE+∠ACF＝180°，
∴∠ACF＝∠ADG，
∵AB⊥CD，∴∠AOD＝∠AOC＝∠BOD＝90°，
∴AD＝AC，∠DAB＝∠BOD＝45°，
∴∠FAC＝∠DAB＝45°，
∴△ADG≌△ACF（ASA），
∴AG＝AF；
（3）解：连接BE，AD，
∵G为OB的中点，OB＝2，
∴OG＝GB＝OB＝1，
∵OA＝OD＝2，∠AOD＝90°，
∴AD＝OA＝2，
∵∠BOD＝90°，
∴BD＝＝＝，
∵∠DAB＝∠DEB，∠AGD＝∠BGE，
∴△ADG∽△EBG，
∴＝，
∴＝，
∴EB＝，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴AE＝＝＝，
∴AE的长为．
23．已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，连接BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线BC上方抛物线上取一点P，过点P作PQ⊥x轴交BC边于点Q，求PQ的最大值；
（3）在直线BC上方抛物线上取一点D，连接OD，CD．OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF＝3：2时，求点D的坐标．
【解答】解：（1）把点A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+3中可得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为：y＝kx+m，
把B（3，0），C（0，3）代入y＝kx+m中可得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，
过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，
设P点坐标为（x，﹣x2+2x+3），
则Q点坐标为（x，﹣x+3），
∴PQ＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）
＝﹣x2+2x+3+x﹣3
＝﹣x2+3x
＝﹣（x﹣）2+，
∴PQ的最大值是；
（3）∵S△COF：S△CDF＝3：2，
∴OF：DF＝3：2，
过点D作DG∥y轴交BC于点G，
∴∠OCF＝∠CGD，∠COF＝∠ODG，
∴△COF∽△GDF，
∴＝，
∵OC＝3，
∴DG＝2，
设点D坐标为（m，﹣m2+2m+3），则点G坐标为（m，﹣m+3），
∴DG＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）
＝﹣m2+3m，
∴﹣m2+3m＝2，
解得：m1＝1，m2＝2，
∴点D的坐标为（1，4）或（2，3）．
24．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，点D为射线AB上一动点，且BD＜AD，点B关于直线CD的对称点为点E，射线AE与射线CD交于点F．
（1）当点D在边AB上时，
①求证：∠AFC＝45°；
②延长AF与边CB的延长线相交于点G，如果△EBG与△BDC相似，求线段BD的长；
（2）联结CE、BE，如果S△ACE＝12，求S△ABE的值．
【解答】解：（1）①证明：如图1，连接CE，
∵点B关于直线CD的对称点为点E，
∴EC＝BC，∠ECF＝∠BCF，
设∠ECF＝∠BCF＝α，
则∠BCE＝2α，
∴∠ACE＝90°﹣2α，
∵AC＝BC，
∴AC＝EC，
∴∠AEC＝∠EAC＝[180°﹣（90°﹣2α）]＝45°+α，
∵∠AEC＝∠AFC+∠ECF＝∠AFC+α，
∴∠AFC＝45°；
②如图2，连接BE，CE，
∵B、E关于直线CF对称，
∴CF垂直平分BE，
由（1）知：∠AFC＝45°，
∴∠BEF＝45°，
∵△EBG与△BDC相似，∠BEG＝∠DBC＝45°，
∵∠EBG与∠BDC均为钝角，
∴△EBG∽△BDC，
∴∠G＝∠BCD＝∠BAG，
∵∠G+∠BAG＝∠ABC＝45°，
∴∠G＝∠BCD＝22.5°，
过点D作DH⊥AB交BC于点H，
则△BDH是等腰直角三角形，
∴DH＝BD，BH＝BD，∠BHD＝45°，
∵∠CDH＝∠BHD﹣∠BCD＝45°﹣22.5°＝22.5°＝∠BCD，
∴CH＝DH＝BD，
∵CH+BH＝BC＝5，
∴BD+BD＝5，
∴BD＝＝5﹣5，
∴线段BD的长为5﹣5；
（2）Ⅰ．当点D在AB上时，如图3，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，
∵AC＝EC＝BC＝5，∴AM＝EM＝AE，
∴①AM2+CM2＝AC2＝25，
∵S△ACE＝AE CM＝12，
∴②AM CM＝12，
①+②×2，得：（AM+CM）2＝49③，
①﹣②×2，得：（AM﹣CM）2＝49③，
∵CM＞AM＞0，
∴AM＝3，CM＝4，
∴AE＝6，
由（1）知：∠AFC＝45°，BE⊥CF，
∴∠BEF＝45°，
∵∠AFC＝∠ABC＝45°，∴A、C、B、F四点共圆，
∴∠AFB+∠ACB＝180°，∴∠AFB＝90°，
∴△BEF是等腰直角三角形，∴EF＝BF，
设EF＝BF＝x，则AE＝x+6，
在Rt△ABF中，AF2+BF2＝AB2，
∴（x+6）2+x2＝50，
解得：x＝1或x＝﹣7（舍去），
∴BF＝1，
∴S△ABE＝AE BF＝×6×1＝3；
Ⅱ．当点D在AB的延长线上时，如图4，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，
由（1）知：∠AFC＝45°，CF垂直平分BE，
∴∠BEF＝45°，BF＝EF，
∴∠EBF＝∠BEF＝45°，
∴∠BFE＝90°，
∵AC＝EC＝BC＝5，
∴AM＝EM＝AE，
与Ⅰ同理可得：AM＝EM＝4，CM＝3，AE＝8，
设BF＝EF＝y，则AF＝8﹣y，
在Rt△ABF中，AF2+BF2＝AB2，
∴（8﹣y）2+y2＝50，
解得：y＝1或y＝7（舍去），
∴BF＝1，
∴S△ABE＝AE BF＝×8×1＝4；
综上，S△ABE的值为3或4．