4.2.1等差数列的概念 课件（共16张PPT）

(共16张PPT)
第四章 数列
4.2.1等差数列的概念（1）
我们知道，数列是一种特殊的函数。在函数的研究中，我们在理解了函数的一般概念，了解了函数变化规律的研究内容（如单调性、奇偶性等）后，通过研究基本初等函数，不仅加深了对函数的理解，而且掌握了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等非常有用的函数模型。类似地，在了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列，建立它们的通项公式和前n项和公式，并运用它们解决实际问题和数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用。下面，我们从一类取值规律比较简单的数列入手。
【学习目标】
(1)经历等差数列概念的形成过程，能够描述等差数列的定义，会用定义判断一个数列是否为等差数列；
(2)学会利用等差数列的定义推导等差中项；
(3)理解等差数列通项公式的推导过程，并会应用其解决相关问题；
(4)通过对比等差数列与一元一次函数，感受数列与函数的共性与差异，体会数学的整体性.
任务一：创设情境，引入等差数列概念
观察下面几个实例：
1.北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为：
9,18,27,36,45,54,63,72,81 ①
2.S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是：
38,40,42,44,46,48 ②
3.某地从距离地面20m起每升高100m处的大气温度（单位：℃）依次为：
25.0,24.4,23.8,23.2,22.6 ③
4.某人向银行贷款a万元，如果个人贷款利率为r，那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金b万元，每月支付给银行的利息（单位：万元）依次为：
ar，ar-br，ar-2br，ar-3br，… ④
① 9，18，27，36，45，54，63，72，81.
② 38，40，42，44，46，48.
③ 25，24，23，22，21.
④ ar, ar-br, ar-2br, ar-3br……
如果用{an}表示数列① ，
这表明，数列①有这样的取值规律：
从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数。
对于实例1 ，我们发现： 18-9=9，27-18=9....81-72=9.
2.邻项比较，归纳发现
1.抽象概括，建立模型
问：②-④也有相同的取值规律吗？你可以用{an}表示一下吗？
那么有a2-a1=9，a3- a2 =9，...a9-a8=9.
等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，就称这个数列为等差数列，这个常数就称为等差数列的公差，用d来表示。
追问1：①-④中的首项和公差分别是什么？
追问2：公差可以是0吗？公差的取值范围是什么？
追问3：能否用符号语言表示等差数列的定义？
等差数列的符号语言：
an－an-1 = d (d是常数, n≥2且n∈N*)或an+1－an = d (d是常数, n∈N*)
概念辨析
练习: 判断下列数列是否为等差数列，若是，求出首项和公差.
（1） 95，82，69，56，43，30 ;
（2） 1，1.1，1.11，1.111，1.1111;
（3） 1，－2，3，－4，5，－6;
（4） 1, , , , .
注意：
1. 判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行判断，即判定an+1-an 是不是同一个常数.
2. 公差d是每一项(从第2项起)与它的前一项的差，而且公差可以是正数，负数，也可以为0.
任务二：等差中项
问：观察如下几组数，在两数中插入什么数后，三个数就会成为一个等差数列？
①2， ，4；②-1， ，5；③0， ，0；④a， ，b
追问1：第2项与第1项，第2项与第3项之间的关系是什么？
追问2：对于④，设在a，b中插入数A，如何将A用a，b来表示？
可以设插入的数为x，既然这组数列是等差数列，一定会有x-2=4-x，所以2x=4+2，即x=3。其它数列以此类推。
设插入的数为A，既然这组数列是等差数列，一定会有A-a=b-A，所以2A=a+b，即A=
A叫做a与b的等差中项
任务三：归纳猜想，探究等差数列通项公式
设一个等差数列{an}的首项为a1, 公差为d, 根据等差数列的定义, 可得
an+1－an = d
于是 a2= a1＋d，
a3= a2＋d = (a1＋d)＋d = a1＋2d ，
a4= a3＋d = (a1＋2d)＋d = a1＋3d ，

an= a1＋(n－1)d，(n≥2)
当n=1时，a1= a1＋(1－1)d = a1 ，也就是说，上式当n=1时也成立.
这时，我们把an= a1＋(n－1)d称为等差数列{an}的通项公式.
an - a1 = (n－1)d，(n≥2)
即：an =a1 + (n－1)d，(n≥2)
方法一：
方法二：
（不完全归纳法）
（累加法）
探究： 你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？
首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为
等差数列的通项公式的一般形式：an＝am＋(n－m)d
等差数列的通项公式
a1,an,n,d 知三求一
am=a1 +(m-1)d
an-am =(n-m) d
am=
an-am =
思考
任务四：深入探究，理解等差数列与函数的关系
①公差d≠0的等差数列{an}的图象是点(n,an)组成的集合，这些点均匀分布在直线f(x)＝dx＋(a1－d)上.
(k＋b)
k
an＝a1＋(n－1)d=dn＋(a1－d)
思考：我们知道数列是自变量为n的函数，你认为等差数列与我们熟悉的哪一类函数有关？
等差数列与一次函数的关系
1
2
5
a1
x
f(x)
O
3
4
6
a1－d
a2
a3
a4
a5
a6
f(x)＝dx＋(a1－d)
②任给一次函数f(x)＝kx＋b (k,b为常数)，则f(1)＝k＋b,
f(2)＝2k＋b, …, f(n)＝nk＋b，构成一个等差数列{nk＋b}，
其首项为________，公差为____.
1
2
a1
x
f(x)
O
3
4
5
6
a1－d
a2
a3
a4
a5
a6
f(x)＝dx＋(a1－d)
1
2
a6
x
f(x)
O
3
4
5
6
a1－d
a5
a4
a3
a2
a1
f(x)＝dx＋(a1－d)
结论：当d＞0时，数列{an}单调递增; 当d＜0时，数列{an}单调递减；当d＝0时，等差数列{an}为常数列.
探究：可以从函数的角度，研究等差数列的单调性吗？
任务五：理解应用，利用等差数列解决问题
例1 (1) 已知等差数列{an}的通项公式为an＝5－2n，求{an}公差和首项;
(2) 求等差数列 8，5，2，···的第20项.
解: (1)当n≥2时，由{an}的通项公式为an＝5－2n，可得
an－1＝5－2(n－1) ＝7－2n.
于是 d＝an－an-1＝5－2n－(7－2n)＝－2， a1＝5－2＝3.
∴{an}公差为－2，首项为3.
(2) 由已知条件，得 d＝5－8＝－3，a1＝8.
∴an＝ a1＋ (n－1)d ＝8－3(n－1)＝－3n＋11.
∴a20 ＝－3×20＋11＝－49.
知三求一
例2 －401是不是等差数列 －5,－9,－13,…的项？如果是，是第几项？
分析：先求出数列的通项公式，它是一个关于n的方程，再看－401是否能使这个方程有正整数解.
解：由a1=－5，d=－9－(－5)=－4，
所以数列的通项公式为an=－5－4(n－1)=－4n－1.
令－4n－1=－401，解得n=100.
所以，－401是这个数列的项，是第100项。
已知在等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝ 12. 求a4.
当堂检测
1 等差数列的概念
(1) 等差数列及等差中项的定义；
(2) 等差数列的通项公式；
归纳法、累加法.
(3) 通项公式的应用.
函数与方程.
2 研究方法
递推公式
应用
通项公式
回顾本节课的探究过程，你学到了什么？
函数与方程
的思想
课堂小结