2023-2024学年高中数学人教A版必修二 8.3 简单几何体的表面积和体积 同步练习
一、选择题
1.(2023高二上·芜湖开学考)正四棱台上、下底面边长分别为,侧棱长,则棱台的侧面积为( )
A. B. C. D.
2.(2023高三上·成都开学考)庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式,分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶.单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊,前后左右都有斜坡(如图①)(如图②),若四边形ABCD是矩形,AB∥EF,且AB=CD=2EF=2BC=4,EA=ED=FB=FC=3,则五面体FE﹣ABCD的表面积为( )
A.48 B. C. D.
3.(2023高二上·重庆市开学考)如图,圆锥的底面直径和高均是4,过的中点作平行于底面的截面,以该截面为底面挖去一个圆柱,则剩下几何体的表面积为( )
A. B. C. D.
4.(2023高二上·长沙开学考)已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为r的半圆,且该圆锥的体积为,则r=( )
A. B. C. D.3
5.(2023高一下·湖州期末)阿基米德是伟大的古希腊数学家,他和高斯、牛顿并列为世界三大数学家,他一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理,即圆柱容器里放了一个球,该球顶天立地,四周碰边(即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切),球的体积是圆柱体积的三分之二,球的表面积也是圆柱表面积的三分之二.今有一“圆柱容球”模型,其圆柱表面积为,则该模型中圆柱的体积与球的体积之和为( )
A. B. C. D.
6.(2023高二上·青冈开学考)已知正四面体的表面积为,且、、,四点都在球的球面上,则球的体积为( )
A. B. C. D.
7.(2023高二下·湖南期末)已知长方体的底面是边长为2的正方形,,,分别为,的中点,则三棱锥的体积为( )
A. B.4 C. D.6
8.(2023高一下·荔湾期末)已知母线长为a的圆锥的侧面展开图为半圆,在该圆锥内放置一个圆柱,则当圆柱的侧面积最大时,圆柱的体积为( )
A. B. C. D.
9.(2023高一下·台州期中)如图,已知一个直四棱柱的侧棱长为,底面是对角线长分别是和的菱形,则这个四棱柱的侧面积是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
10.(2023高一下·长春期中)已知圆台的上底半径为1,下底半径为3,球O与圆台的两个底面和侧面都相切,则( )
A.圆台的母线长为4 B.圆台的高为4
C.圆台的表面积为 D.球O的体积为
11.(2023高二上·衢州期末)已知圆锥的底面半径为2,其侧面展开图为一个半圆,则下列说法正确的是( )
A.圆锥的高是 B.圆锥的母线长是4
C.圆锥的表面积是 D.圆锥的体积是
12.(2023高三上·茂名月考)已知圆柱的轴截面的周长为12,圆柱的体积为,圆柱的外接球的表面积为,则下列结论正确的是( )
A.圆柱的外接球的表面积有最大值,最大值为
B.圆柱的外接球的表面积有最小值,最小值为
C.圆柱的体积有最大值,最大值为
D.圆柱的体积有最小值,最小值为
13.(2022高三上·湖南开学考)在正四棱台中,,,则( )
A.该棱台的高为 B.该棱台的表面积为
C.该棱台的体积为 D.该棱台外接球的表面积为
14.(2022高一下·鄂州期末)用平行于棱锥底面的平面去截棱锥,得到上 下两部分空间图形且上 下两部分的高之比为,则关于上 下两部分空间图形的说法正确的是( ).
A.侧面积之比为 B.侧面积之比为
C.体积之比为 D.体积之比为
15.(2022高一下·江岸期末)某班级到一工厂参加社会实践劳动,加工出如图所示的圆台,在轴截面ABCD中,,且,下列说法正确的有( )
A.
B.该圆台轴截面ABCD面积为
C.该圆台的体积为
D.沿着该圆台表面,从点C到AD中点的最短距离为5cm
16.(2022高一下·南宁期末)已知某圆锥的母线长为3,其侧面展开图是面积为的扇形,则( )
A.该扇形的弧长为 B.该扇形的圆心角为
C.该圆锥的底面半径为1 D.该圆锥的体积为
17.(2022高一下·常熟期中)圆柱的侧面展开图是长6cm,宽4cm的矩形,则这个圆柱的体积可能是( )
A. B. C. D.
18.(2022·武昌模拟)一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等,下列结论正确的是( )
A.圆柱的侧面积为
B.圆锥的侧面积为
C.圆柱的侧面积与球的表面积相等
D.球的体积是圆锥体积的两倍
三、填空题
19.已知圆锥底面半径为2,母线长为3,则圆锥的表面积为 .
20.(2023高三上·北京市期中)已知正四棱锥,底面边长为2,体积为,则这个四棱锥的侧棱长为 .
21.把长和宽分别为6和3的矩形卷成一个圆柱的侧面,则该圆柱的体积为 .
22.(2023高一下·惠州期末)侧面均为面积为4的正方形的正三棱柱的表面积为 .
23.(2023高一下·房山期末)一个圆锥的侧面展开图是一个扇形,已知扇形的半径为3,圆心角为,则扇形的弧长等于 ;该圆锥的体积等于 .
24.(2023高一下·金华期末)已知圆锥表面积为,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥底面半径是 .
25.(2023高二下·长春期中)一个圆锥母线长为,侧面积,则这个圆锥的外接球体积为 .
26.(2023高一下·太原期中)如图所示的图案,是由圆柱、球和圆锥组成,已知球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等,圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心,圆锥的底面是圆柱的下底面,则图案中圆锥、球、圆柱的体积 .
四、解答题
27.(2023高一下·莲湖期末)如图,某铁质零件由一个正三棱台和一个正三棱柱组成,已知正三棱柱的底面边长与高均为1cm,正三棱台的下底面边长为2cm,且正三棱台的高为1cm,现有一盒这种零件共重(不包含盒子的质量),取铁的密度为.
(1)试问该盒中有多少个这样的零件?
(2)如果要给这盒零件的每个零件表面涂上一种特殊的材料,试问共需涂多少的材料?
28.(2023高一下·深圳期中)正六棱台玻璃容器的两底面棱长分别为,,高为,如图水平放置,盛有水深为.
(1)求玻璃容器的体积;
(2)将一根长度为的搅棒置入玻璃容器中,的一端置于点处,另一端置于侧棱上,求没入水中部分的长度.容器厚度,搅棒粗细均忽略不计
29.(2023高一下·河北期中)据《黑鞑事略》记载:“穹庐有二样:燕京之制,用柳木为骨,正如南方罘思,可以卷舒,面前开门,上如伞骨,顶开一窍,谓之天窗,皆以毡为衣,马上可载.草地之制,以柳木组定成硬圈,径用毡挞定,不可卷舒,车上载行.”随着畜牧业经济的发展和牧民生活的改善,穹庐或毡帐逐渐被蒙古包代替.如图1,一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合体.如图2,已知该圆锥的高为3米,圆柱的高为4米,底面直径为8米.求该蒙古包的侧面积.
30.(2023高一下·宁波期中)如图所示,以线段AB为直径的半圆上有一点C,满足:,,若将图中阴影部分绕直线AB旋转180°得到一个几何体.
(1)求阴影部分形成的几何体的体积;
(2)求阴影部分形成的几何体的表面积.
答案解析部分
1.【答案】A
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】解: 正四棱台上、下底面边长分别为,侧棱长, 可得正四棱台的斜高为,结合棱台的侧面积公公式得
故答案为:.
【分析】先求出正四棱台的斜高,再代入侧面积公式,计算求解即可.
2.【答案】D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【分析】解:在五面体FE-ABCD中,底面四边形ABCD为矩形,且AB=CD=2EF=2BC=4,
五面体的表面积:
故答案为:D.
【分析】将五面体的五个面分为底面矩形、2个梯形、2个三角形,然后根据矩形、梯形、三角形的面积公式进行计算即可.
3.【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】解:由已知可得圆锥的母线长r=,底面周长l=4π
原圆锥的底面积S1=4 π ,侧面积S2==
挖去如图圆柱体后,几何体表面积实际增加的部分为圆柱体的侧面积S3=2
则几何体的表面积为S1+S2+S3=(6+)π
故答案为:B
【分析】本题考查基本几何体表面积,先算出整个圆锥的表面积,挖去圆柱体后几何体表面积为原圆锥表面积加上圆柱体的侧面积。
4.【答案】C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解:令圆锥底面圆半径为,,解得,由勾股定理得圆锥的高,所以圆锥的体积,解得
故答案为:C.
【分析】根据题意,圆锥底面圆的半径和高分别用表示,再代入圆锥体积公式计算求解即可.
5.【答案】C
【知识点】旋转体(圆柱/圆锥/圆台/球)的结构特征;球的体积和表面积
【解析】【解答】由题意知圆柱高等于底面直径,设底面半径为,
圆柱表面积为,,解得,
圆柱体积为,
由题意知该模型中球的表面积也是圆柱表面积的三分之二为,
圆柱的体积与球的体积之和为。
故答案为:C
【分析】由题意知圆柱高等于底面直径,进而通过圆柱表面积计算圆柱体积,再根据题意计算圆柱的体积与球的体积之和。
6.【答案】A
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】解:设正四面体的棱长为,因正四面体各个面都是全等的等边三角形,所以正四面体的表面积为,解得,将正四面体补全成正方体,正方体的棱长为1,体对角线为,即外接球的直径为,所以球的体积为.
故答案为:A.
【分析】设正四面体的棱长为,因正四面体各个面都是全等的等边三角形,由正方体的表面积求出正方体的棱长,将正四面体补全为正方体从而求得体对角线长,即球的直径,最后求体积即可.
7.【答案】C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解:因为,为棱,的中点,长方体的底面是边长为2的正方形,,所以,则三棱锥是正四面体。设的中心为,连接,有,,所以三棱锥的体积为.
故答案为:C.
【分析】根据已知条件可得三棱锥为正四面体,再结合正四面体的性质以及棱锥的体积公司求解即可.
8.【答案】B
【知识点】旋转体(圆柱/圆锥/圆台/球)的结构特征;棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】设圆锥底面半径为R,高为H,
因为 圆锥的侧面展开图为半圆, 则,解得,可得,
设圆柱底面半径为r,高为h,如图所示,
因为,解得,
则圆柱的侧面积,
当且仅当,即时,等号成立,可得,
所以圆柱的体积为.
故答案为:B.
【分析】设圆锥底面半径为R,高为H, 根据题意结合 侧面展开图为半圆可得,设圆柱底面半径为r,高为h,再结合圆锥的结构特征可得,进而根据圆柱的侧面积以及基本不等式可得当时, 圆柱的侧面积最大 ,进而可求圆柱的体积.
9.【答案】D
【知识点】棱柱的结构特征;棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】根据题意,直四棱柱的底面是对角线长分别是9和13的菱形,
菱形的边长为
又直四棱柱的侧棱长为
则这个四棱柱的侧面积
故选:D.
【分析】 根据题意,由菱形的性质求出直四棱柱的底面边长,结合直四棱柱的侧面积公式计算可得答案.
10.【答案】A,C
【知识点】旋转体(圆柱/圆锥/圆台/球)的结构特征;球的体积和表面积
【解析】【解答】画出圆台的轴截面图如下:
A、B、C、D:设上下底面圆心分别为,, 半径分别为,,球与母线切点为,则,,,
连接,易证得,,,,
圆台的母线,A正确;
圆台的高为,B错误;
球O 的半径为,球O的体积为,D错误;
圆台的表面积为,C正确。
故答案为:AC
【分析】利用圆台的定义性质逐一分析选项。
11.【答案】B,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积;棱柱、棱锥、棱台的体积;扇形的弧长与面积
【解析】【解答】设圆锥母线为,高为,
侧面展开图的弧长与底面圆周长相等,由弧长公式得,即;
所以圆锥的母线长是4,即B符合题意;
高为,所以A不符合题意;
圆锥的表面积是,C不符合题意;
圆锥的体积是,即D符合题意.
故答案为:BD
【分析】设圆锥母线为,高为,由圆锥的底面圆周长等于半圆的弧长求得,然后求高,再由表面积公式与体积公式求解圆锥的表面积与体积,逐项进行判断,可得答案.
12.【答案】B,C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积;球的体积和表面积
【解析】【解答】如图,设圆柱的底面半径为,高为,圆柱的外接球的半径为,
由,得,
又,,
圆柱的体积为,
则,
当时,,当时,,
故函数在上单调递增,在上单调递减,
所以时,取最大值,所以,
圆柱的外接球的表面积,
函数在上单调递减,在上单调递增,
所以时,取最小值,所以.
故答案为:BC.
【分析】设圆柱的底面半径为,高为,圆柱的外接球的半径为,由题意可得,,三者之间的关系,根据圆柱的表面积和体积公式结合导数分别求出其最值即可得出答案.
13.【答案】A,B,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积;棱柱、棱锥、棱台的体积;球的体积和表面积
【解析】【解答】由题可知,,
所以正四棱台的高,A符合题意,
正四棱台的斜高,
所以正四棱台的侧面积为,
上、下底面的面积分别为4,16,即正四棱台的表面积,B符合题意,
正四棱台的体积,C不符合题意,
设该棱台外接球的球心为,半径为,点到上底面的距离为,
所以,解得,
所以该棱台外接球的表面积为,D符合题意.
故答案为:ABD.
【分析】由题意可知,,则可求出正四棱台的高,斜高,即可求出其们面积、表面积、体积,设该棱台外接球的球心为,半径为,点到上底面的距离为,则可列出方程组,即可解出,则可求出外接球的表面积.
14.【答案】B,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积;棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】依题意知,上部分为小棱锥,下部分为棱台,所以小棱锥与原棱锥的底面边长之比为,高之比为,所以小棱锥与原棱锥的侧面积之比为,体积之比为,即小棱锥与棱台的侧面积之比为,体积之比为.
故答案为:BD.
【分析】利用平行于棱锥底面的平面去截棱锥,得到上 下两部分的高、底面边长对应比值相等,上下底面面积之比等于对应高的平方比,进行判断求解.
15.【答案】B,C,D
【知识点】棱台的结构特征;棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积;棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】A:由已知及题图知:且,故,错误;
B:由A易知:圆台高为,所以圆台轴截面ABCD面积,正确;
C:圆台的体积,正确;
D:将圆台一半侧面展开,如下图中且为中点,而圆台对应的圆锥体侧面展开为且,又,所以在△中,即C到AD中点的最短距离为5cm,正确.
故答案为:BCD
【分析】 由圆台轴截面的性质求母线与底面直线所成角的大小即可判断A;应用梯形面积公式求轴截面面积可判断B;利用圆台的体积公式求体积可判断C;将圆台侧面展开,结合对应圆锥侧面展开图性质及勾股定理求两点最短距离,判断D.
16.【答案】B,C,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积;扇形的弧长与面积
【解析】【解答】由题意得,该扇形的弧长为,圆心角为,该圆锥的底面半径为,该圆锥的高为,体积为.
故答案为:BCD.
【分析】首先由圆心角公式计算出圆锥的半径,再由勾股定理计算出高的取值,把结果代入到圆锥的体积公式由此计算出结果。
17.【答案】A,C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】因为圆柱的侧面展开图是长6cm,宽4cm的矩形,
所以当圆柱的高为4cm,则底面周长为6cm,设底面半径为,则
,得,
所以此时圆柱的体积为,
当圆柱的高为6cm,则底面周长为4cm,设底面半径为,则
,得,
所以此时圆柱的体积为,
综上,圆柱的体积可能为或,
故答案为:AC
【分析】分圆柱的底面周长为6cm和圆柱的底面周长为4cm,分别求出底面半径和高,由体积公式求解即可得答案.
18.【答案】A,C,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积;棱柱、棱锥、棱台的体积;球的体积和表面积
【解析】【解答】解:对于A,
圆柱的底面直径和高都等于
,
圆柱的侧面积
故 A符合题意;
对于B,
圆锥的底面直径和高等于
,
圆锥的侧面积为
,B不符合题意;
对于C,
圆柱的侧面积为
,
球的表面积
,即圆柱的侧面积与球的表面积相等,C符合题意;
对于D,球的体积为
,圆锥的体积为
,
即球的体积是圆锥体积的两倍,D符合题意.
故答案为:ACD.
【分析】 根据题意,分别求出圆柱、圆锥、球的表面积和体积,然后逐一判断四个选项得答案.
19.【答案】10π
【知识点】旋转体(圆柱/圆锥/圆台/球)的结构特征;棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】解:因为 圆锥底面半径为2, 则圆锥的底面积:,底面圆的周长为:,
圆的侧面展开图为扇形,且扇形的弧长等于底面圆的周长即:扇形弧长,在根据扇形的面积公式:(R为扇形的半径即等于母线长3)则,
则圆锥的表面积为:.
故答案为:.
【分析】根据圆锥底面圆的半径即可算出底面积及底面圆的周长,在再结合圆的侧面展开图为扇形,及扇形的面积公式即可求解.
20.【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】解:因为 正四棱锥,底面边长为2 ,所以正四棱锥底面积为:,
设正四棱锥的高为h,由棱锥的体积公式有:,解得,
故根据勾股定理得四棱锥的侧棱长:.
故答案为:.
【分析】先算出棱锥的底面积,再根据棱锥的体积公式:,解出,再利用勾股定理求解即可.
21.【答案】
【知识点】旋转体(圆柱/圆锥/圆台/球)的结构特征;棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解:(1)设以矩形的宽为圆柱的高,则圆柱的底面圆的周长为6,则底面圆的半径,
则圆柱的体积:;
(2)设以矩形的长为圆柱的高,则圆柱的底面圆的周长为3,则底面圆的半径,
则圆柱的体积:
故答案为:.
【分析】根据题意分圆柱的高为长或宽两种情况进行分类讨论在,结合圆柱的体积公式进行计算即可.
22.【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】解:如图所示:由题可知四边形为正方形边长为2,是边长为2的等边三角形,所以正三棱锥的表面积为.
故答案为:.
【分析】根据题意可知该正三棱锥时由3个边长为2的正方形和2个边长为2的等边三角形构成,从而求正三棱锥的表面积即可.
23.【答案】;
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积;扇形的弧长与面积
【解析】【解答】由扇形的半径为3,圆心角为 ,则扇形的弧长等于,
设圆锥的底面半径为R(R> 0),则,即,
则圆锥的高为
故圆锥的体积为 .
故答案为:2π ; .
【分析】 利用扇形的弧长公式可得扇形的弧长;求出圆锥的底面半径和高,利用圆锥的体积公式可求出圆锥的体积.
24.【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】设圆锥的底面半径为r,母线长为,
由圆锥表面积为 ,得πr+πr2=6π,即r+r2=6,
又圆锥的侧面展开图是一个半圆,得r=2πr,即= 2r,
故(cm),
故答案为:
【分析】 根据圆锥的表面积及圆锥的侧面展开图是一个半圆,联立方程,求解可得圆锥底面半径 .
25.【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积;球的体积和表面积
【解析】【解答】设圆锥的底面半径为r,
由圆锥母线长为,侧面积,得 ,解得,
则圆锥的高,
设球半径为R,球心为O,其过圆锥的轴截面如图所示:
由题意可得(h-R)2 +r2=R2,即,则,解得
故.
故答案为:.
【分析】 由圆锥的侧面积得出圆锥的底面半径,设出球的半径,根据题意得出关系式求出球的半径,再根据球的体积公式求出答案.
26.【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】设底面圆的半径为,则圆柱的高为,球的半径为,
所以,圆锥的体积,,,
所以,图案中圆锥、球、圆柱的体积.
故答案为:.
【分析】利用圆锥、球和圆柱的体积公式求解,可得答案.
27.【答案】(1)解:设等边三角形的边长为,则由三角形面积公式可得该三角形面积为,
故正三棱柱的体积,
正三棱台的体积,
所以该零件的质量为,
所以该盒中共有零件个
(2)解:如图,设D,分别为三棱台所在棱的中点,O,分别为三棱台上、下底面的中心,连接,OD,,.
因为,所以,
同理可得,
所以,
所以三棱台的侧面积为,
所以一个零件的表面积为.
因为,
所以共需涂的材料.
【知识点】棱柱的结构特征;棱台的结构特征;棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积;棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】(1)先利用公式求出正三棱台和正三棱柱的体积,利用质量和体积的关系公式求出每个零件的质量即可求解.
(2)先求出正三台的侧面积,即可求出该零件的表面积,再乘以该盒子中零件的数量即可求解.
28.【答案】(1)解:由题意可知,下底面面积为,
上底面的面积,又台体的高为,
所以正六棱台的体积
(2)解:设搅棒在上的点为,则,搅棒与水面的交点为,在平面中,过点作,交于点,过点作,交于点,
为正六棱台,,,,
为等腰梯形,画出平面的平面图,
,,,,
,
由勾股定理得:,
,,,
根据正弦定理得:,,
,
,
.
搅棒没入水中部分的长度为.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积;正弦定理
【解析】【分析】 (1)求解出下底面面积,上底面的面积,结合台体的高,求解出正六棱台的体积;
(2)设搅棒在上的点为,则,搅棒与水面的交点为,在平面中,过点作,交于点,过点作,交于点,画出平面的平面图,求解E1Q,E1E,结合正弦定理求解出sin∠EMG,cos∠EMG,然后转化求解即可得 没入水中部分的长度.
29.【答案】解:
由题意可知米,米,米,
则米.
圆锥的侧面积平方米,
圆柱的侧面积平方米,
所以该蒙古包的侧面积平方米.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【分析】运用圆锥、圆柱的侧面积公式计算即可.
30.【答案】(1)解:过点C作,垂足为点,旋转180°所得几何体为半个球挖掉两个半圆锥.
,,,,
以直线AB为轴,旋转一周得到一个半圆锥,体积为,
以直线AB为轴,旋转一周得到一个半圆锥,体积为,
,
半圆面以直线AB为轴,旋转一周得到一个半球体,体积为,
.
(2)解:以直线AB为轴,旋转一周得到一个半圆锥,侧面积为
,
以直线AB为轴,旋转一周得到一个半圆锥,侧面积为
,
ACB以直线AB为轴,旋转一周得到一个半球面,表面积为,
正面为一个圆减掉两个三角形,即图中阴影部分:,
.
【知识点】旋转体(圆柱/圆锥/圆台/球)的结构特征;简单组合体的结构特征;球的体积和表面积
【解析】【分析】(1) 过点C作,垂足为点,旋转180°所得几何体为半个球挖掉两个半圆锥,再利用,,,,再结合圆锥的体积公式得出以直线AB为轴,旋转一周得到一个半圆锥的体积和以直线AB为轴,旋转一周得到一个半圆锥,体积,进而得出,再结合球的体积公式得出半圆面以直线AB为轴,旋转一周得到一个半球体的体积, 再利用作差法得出阴影部分形成的几何体的体积。
(2) 利用已知条件结合圆锥的侧面积的面积公式得出以直线AB为轴,旋转一周得到一个半圆锥的侧面积和以直线AB为轴,旋转一周得到一个半圆锥的侧面积,再结合球的表面积公式得出ACB以直线AB为轴,旋转一周得到一个半球面的表面积, 再利用正面为一个圆减掉两个三角形,从而结合圆的面积公式和三角形的面积公式,进而得出图中阴影部分,再结合求和法得出 阴影部分形成的几何体的表面积。
1 / 12023-2024学年高中数学人教A版必修二 8.3 简单几何体的表面积和体积 同步练习
一、选择题
1.(2023高二上·芜湖开学考)正四棱台上、下底面边长分别为,侧棱长,则棱台的侧面积为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】解: 正四棱台上、下底面边长分别为,侧棱长, 可得正四棱台的斜高为,结合棱台的侧面积公公式得
故答案为:.
【分析】先求出正四棱台的斜高,再代入侧面积公式,计算求解即可.
2.(2023高三上·成都开学考)庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式,分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶.单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊,前后左右都有斜坡(如图①)(如图②),若四边形ABCD是矩形,AB∥EF,且AB=CD=2EF=2BC=4,EA=ED=FB=FC=3,则五面体FE﹣ABCD的表面积为( )
A.48 B. C. D.
【答案】D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【分析】解:在五面体FE-ABCD中,底面四边形ABCD为矩形,且AB=CD=2EF=2BC=4,
五面体的表面积:
故答案为:D.
【分析】将五面体的五个面分为底面矩形、2个梯形、2个三角形,然后根据矩形、梯形、三角形的面积公式进行计算即可.
3.(2023高二上·重庆市开学考)如图,圆锥的底面直径和高均是4,过的中点作平行于底面的截面,以该截面为底面挖去一个圆柱,则剩下几何体的表面积为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】解:由已知可得圆锥的母线长r=,底面周长l=4π
原圆锥的底面积S1=4 π ,侧面积S2==
挖去如图圆柱体后,几何体表面积实际增加的部分为圆柱体的侧面积S3=2
则几何体的表面积为S1+S2+S3=(6+)π
故答案为:B
【分析】本题考查基本几何体表面积,先算出整个圆锥的表面积,挖去圆柱体后几何体表面积为原圆锥表面积加上圆柱体的侧面积。
4.(2023高二上·长沙开学考)已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为r的半圆,且该圆锥的体积为,则r=( )
A. B. C. D.3
【答案】C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解:令圆锥底面圆半径为,,解得,由勾股定理得圆锥的高,所以圆锥的体积,解得
故答案为:C.
【分析】根据题意,圆锥底面圆的半径和高分别用表示,再代入圆锥体积公式计算求解即可.
5.(2023高一下·湖州期末)阿基米德是伟大的古希腊数学家,他和高斯、牛顿并列为世界三大数学家,他一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理,即圆柱容器里放了一个球,该球顶天立地,四周碰边(即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切),球的体积是圆柱体积的三分之二,球的表面积也是圆柱表面积的三分之二.今有一“圆柱容球”模型,其圆柱表面积为,则该模型中圆柱的体积与球的体积之和为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】旋转体(圆柱/圆锥/圆台/球)的结构特征;球的体积和表面积
【解析】【解答】由题意知圆柱高等于底面直径,设底面半径为,
圆柱表面积为,,解得,
圆柱体积为,
由题意知该模型中球的表面积也是圆柱表面积的三分之二为,
圆柱的体积与球的体积之和为。
故答案为:C
【分析】由题意知圆柱高等于底面直径,进而通过圆柱表面积计算圆柱体积,再根据题意计算圆柱的体积与球的体积之和。
6.(2023高二上·青冈开学考)已知正四面体的表面积为,且、、,四点都在球的球面上,则球的体积为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】解:设正四面体的棱长为,因正四面体各个面都是全等的等边三角形,所以正四面体的表面积为,解得,将正四面体补全成正方体,正方体的棱长为1,体对角线为,即外接球的直径为,所以球的体积为.
故答案为:A.
【分析】设正四面体的棱长为,因正四面体各个面都是全等的等边三角形,由正方体的表面积求出正方体的棱长,将正四面体补全为正方体从而求得体对角线长,即球的直径,最后求体积即可.
7.(2023高二下·湖南期末)已知长方体的底面是边长为2的正方形,,,分别为,的中点,则三棱锥的体积为( )
A. B.4 C. D.6
【答案】C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解:因为,为棱,的中点,长方体的底面是边长为2的正方形,,所以,则三棱锥是正四面体。设的中心为,连接,有,,所以三棱锥的体积为.
故答案为:C.
【分析】根据已知条件可得三棱锥为正四面体,再结合正四面体的性质以及棱锥的体积公司求解即可.
8.(2023高一下·荔湾期末)已知母线长为a的圆锥的侧面展开图为半圆,在该圆锥内放置一个圆柱,则当圆柱的侧面积最大时,圆柱的体积为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】旋转体(圆柱/圆锥/圆台/球)的结构特征;棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】设圆锥底面半径为R,高为H,
因为 圆锥的侧面展开图为半圆, 则,解得,可得,
设圆柱底面半径为r,高为h,如图所示,
因为,解得,
则圆柱的侧面积,
当且仅当,即时,等号成立,可得,
所以圆柱的体积为.
故答案为:B.
【分析】设圆锥底面半径为R,高为H, 根据题意结合 侧面展开图为半圆可得,设圆柱底面半径为r,高为h,再结合圆锥的结构特征可得,进而根据圆柱的侧面积以及基本不等式可得当时, 圆柱的侧面积最大 ,进而可求圆柱的体积.
9.(2023高一下·台州期中)如图,已知一个直四棱柱的侧棱长为,底面是对角线长分别是和的菱形,则这个四棱柱的侧面积是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【知识点】棱柱的结构特征;棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】根据题意,直四棱柱的底面是对角线长分别是9和13的菱形,
菱形的边长为
又直四棱柱的侧棱长为
则这个四棱柱的侧面积
故选:D.
【分析】 根据题意,由菱形的性质求出直四棱柱的底面边长,结合直四棱柱的侧面积公式计算可得答案.
二、多项选择题
10.(2023高一下·长春期中)已知圆台的上底半径为1,下底半径为3,球O与圆台的两个底面和侧面都相切,则( )
A.圆台的母线长为4 B.圆台的高为4
C.圆台的表面积为 D.球O的体积为
【答案】A,C
【知识点】旋转体(圆柱/圆锥/圆台/球)的结构特征;球的体积和表面积
【解析】【解答】画出圆台的轴截面图如下:
A、B、C、D:设上下底面圆心分别为,, 半径分别为,,球与母线切点为,则,,,
连接,易证得,,,,
圆台的母线,A正确;
圆台的高为,B错误;
球O 的半径为,球O的体积为,D错误;
圆台的表面积为,C正确。
故答案为:AC
【分析】利用圆台的定义性质逐一分析选项。
11.(2023高二上·衢州期末)已知圆锥的底面半径为2,其侧面展开图为一个半圆,则下列说法正确的是( )
A.圆锥的高是 B.圆锥的母线长是4
C.圆锥的表面积是 D.圆锥的体积是
【答案】B,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积;棱柱、棱锥、棱台的体积;扇形的弧长与面积
【解析】【解答】设圆锥母线为,高为,
侧面展开图的弧长与底面圆周长相等,由弧长公式得,即;
所以圆锥的母线长是4,即B符合题意;
高为,所以A不符合题意;
圆锥的表面积是,C不符合题意;
圆锥的体积是,即D符合题意.
故答案为:BD
【分析】设圆锥母线为,高为,由圆锥的底面圆周长等于半圆的弧长求得,然后求高,再由表面积公式与体积公式求解圆锥的表面积与体积,逐项进行判断,可得答案.
12.(2023高三上·茂名月考)已知圆柱的轴截面的周长为12,圆柱的体积为,圆柱的外接球的表面积为,则下列结论正确的是( )
A.圆柱的外接球的表面积有最大值,最大值为
B.圆柱的外接球的表面积有最小值,最小值为
C.圆柱的体积有最大值,最大值为
D.圆柱的体积有最小值,最小值为
【答案】B,C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积;球的体积和表面积
【解析】【解答】如图,设圆柱的底面半径为,高为,圆柱的外接球的半径为,
由,得,
又,,
圆柱的体积为,
则,
当时,,当时,,
故函数在上单调递增,在上单调递减,
所以时,取最大值,所以,
圆柱的外接球的表面积,
函数在上单调递减,在上单调递增,
所以时,取最小值,所以.
故答案为:BC.
【分析】设圆柱的底面半径为,高为,圆柱的外接球的半径为,由题意可得,,三者之间的关系,根据圆柱的表面积和体积公式结合导数分别求出其最值即可得出答案.
13.(2022高三上·湖南开学考)在正四棱台中,,,则( )
A.该棱台的高为 B.该棱台的表面积为
C.该棱台的体积为 D.该棱台外接球的表面积为
【答案】A,B,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积;棱柱、棱锥、棱台的体积;球的体积和表面积
【解析】【解答】由题可知,,
所以正四棱台的高,A符合题意,
正四棱台的斜高,
所以正四棱台的侧面积为,
上、下底面的面积分别为4,16,即正四棱台的表面积,B符合题意,
正四棱台的体积,C不符合题意,
设该棱台外接球的球心为,半径为,点到上底面的距离为,
所以,解得,
所以该棱台外接球的表面积为,D符合题意.
故答案为:ABD.
【分析】由题意可知,,则可求出正四棱台的高,斜高,即可求出其们面积、表面积、体积,设该棱台外接球的球心为,半径为,点到上底面的距离为,则可列出方程组,即可解出,则可求出外接球的表面积.
14.(2022高一下·鄂州期末)用平行于棱锥底面的平面去截棱锥,得到上 下两部分空间图形且上 下两部分的高之比为,则关于上 下两部分空间图形的说法正确的是( ).
A.侧面积之比为 B.侧面积之比为
C.体积之比为 D.体积之比为
【答案】B,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积;棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】依题意知,上部分为小棱锥,下部分为棱台,所以小棱锥与原棱锥的底面边长之比为,高之比为,所以小棱锥与原棱锥的侧面积之比为,体积之比为,即小棱锥与棱台的侧面积之比为,体积之比为.
故答案为:BD.
【分析】利用平行于棱锥底面的平面去截棱锥,得到上 下两部分的高、底面边长对应比值相等,上下底面面积之比等于对应高的平方比,进行判断求解.
15.(2022高一下·江岸期末)某班级到一工厂参加社会实践劳动,加工出如图所示的圆台,在轴截面ABCD中,,且,下列说法正确的有( )
A.
B.该圆台轴截面ABCD面积为
C.该圆台的体积为
D.沿着该圆台表面,从点C到AD中点的最短距离为5cm
【答案】B,C,D
【知识点】棱台的结构特征;棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积;棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】A:由已知及题图知:且,故,错误;
B:由A易知:圆台高为,所以圆台轴截面ABCD面积,正确;
C:圆台的体积,正确;
D:将圆台一半侧面展开,如下图中且为中点,而圆台对应的圆锥体侧面展开为且,又,所以在△中,即C到AD中点的最短距离为5cm,正确.
故答案为:BCD
【分析】 由圆台轴截面的性质求母线与底面直线所成角的大小即可判断A;应用梯形面积公式求轴截面面积可判断B;利用圆台的体积公式求体积可判断C;将圆台侧面展开,结合对应圆锥侧面展开图性质及勾股定理求两点最短距离,判断D.
16.(2022高一下·南宁期末)已知某圆锥的母线长为3,其侧面展开图是面积为的扇形,则( )
A.该扇形的弧长为 B.该扇形的圆心角为
C.该圆锥的底面半径为1 D.该圆锥的体积为
【答案】B,C,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积;扇形的弧长与面积
【解析】【解答】由题意得,该扇形的弧长为,圆心角为,该圆锥的底面半径为,该圆锥的高为,体积为.
故答案为:BCD.
【分析】首先由圆心角公式计算出圆锥的半径,再由勾股定理计算出高的取值,把结果代入到圆锥的体积公式由此计算出结果。
17.(2022高一下·常熟期中)圆柱的侧面展开图是长6cm,宽4cm的矩形,则这个圆柱的体积可能是( )
A. B. C. D.
【答案】A,C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】因为圆柱的侧面展开图是长6cm,宽4cm的矩形,
所以当圆柱的高为4cm,则底面周长为6cm,设底面半径为,则
,得,
所以此时圆柱的体积为,
当圆柱的高为6cm,则底面周长为4cm,设底面半径为,则
,得,
所以此时圆柱的体积为,
综上,圆柱的体积可能为或,
故答案为:AC
【分析】分圆柱的底面周长为6cm和圆柱的底面周长为4cm,分别求出底面半径和高,由体积公式求解即可得答案.
18.(2022·武昌模拟)一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等,下列结论正确的是( )
A.圆柱的侧面积为
B.圆锥的侧面积为
C.圆柱的侧面积与球的表面积相等
D.球的体积是圆锥体积的两倍
【答案】A,C,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积;棱柱、棱锥、棱台的体积;球的体积和表面积
【解析】【解答】解:对于A,
圆柱的底面直径和高都等于
,
圆柱的侧面积
故 A符合题意;
对于B,
圆锥的底面直径和高等于
,
圆锥的侧面积为
,B不符合题意;
对于C,
圆柱的侧面积为
,
球的表面积
,即圆柱的侧面积与球的表面积相等,C符合题意;
对于D,球的体积为
,圆锥的体积为
,
即球的体积是圆锥体积的两倍,D符合题意.
故答案为:ACD.
【分析】 根据题意,分别求出圆柱、圆锥、球的表面积和体积,然后逐一判断四个选项得答案.
三、填空题
19.已知圆锥底面半径为2,母线长为3,则圆锥的表面积为 .
【答案】10π
【知识点】旋转体(圆柱/圆锥/圆台/球)的结构特征;棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】解:因为 圆锥底面半径为2, 则圆锥的底面积:,底面圆的周长为:,
圆的侧面展开图为扇形,且扇形的弧长等于底面圆的周长即:扇形弧长,在根据扇形的面积公式:(R为扇形的半径即等于母线长3)则,
则圆锥的表面积为:.
故答案为:.
【分析】根据圆锥底面圆的半径即可算出底面积及底面圆的周长,在再结合圆的侧面展开图为扇形,及扇形的面积公式即可求解.
20.(2023高三上·北京市期中)已知正四棱锥,底面边长为2,体积为,则这个四棱锥的侧棱长为 .
【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】解:因为 正四棱锥,底面边长为2 ,所以正四棱锥底面积为:,
设正四棱锥的高为h,由棱锥的体积公式有:,解得,
故根据勾股定理得四棱锥的侧棱长:.
故答案为:.
【分析】先算出棱锥的底面积,再根据棱锥的体积公式:,解出,再利用勾股定理求解即可.
21.把长和宽分别为6和3的矩形卷成一个圆柱的侧面,则该圆柱的体积为 .
【答案】
【知识点】旋转体(圆柱/圆锥/圆台/球)的结构特征;棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解:(1)设以矩形的宽为圆柱的高,则圆柱的底面圆的周长为6,则底面圆的半径,
则圆柱的体积:;
(2)设以矩形的长为圆柱的高,则圆柱的底面圆的周长为3,则底面圆的半径,
则圆柱的体积:
故答案为:.
【分析】根据题意分圆柱的高为长或宽两种情况进行分类讨论在,结合圆柱的体积公式进行计算即可.
22.(2023高一下·惠州期末)侧面均为面积为4的正方形的正三棱柱的表面积为 .
【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】解:如图所示:由题可知四边形为正方形边长为2,是边长为2的等边三角形,所以正三棱锥的表面积为.
故答案为:.
【分析】根据题意可知该正三棱锥时由3个边长为2的正方形和2个边长为2的等边三角形构成,从而求正三棱锥的表面积即可.
23.(2023高一下·房山期末)一个圆锥的侧面展开图是一个扇形,已知扇形的半径为3,圆心角为,则扇形的弧长等于 ;该圆锥的体积等于 .
【答案】;
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积;扇形的弧长与面积
【解析】【解答】由扇形的半径为3,圆心角为 ,则扇形的弧长等于,
设圆锥的底面半径为R(R> 0),则,即,
则圆锥的高为
故圆锥的体积为 .
故答案为:2π ; .
【分析】 利用扇形的弧长公式可得扇形的弧长;求出圆锥的底面半径和高,利用圆锥的体积公式可求出圆锥的体积.
24.(2023高一下·金华期末)已知圆锥表面积为,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥底面半径是 .
【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】设圆锥的底面半径为r,母线长为,
由圆锥表面积为 ,得πr+πr2=6π,即r+r2=6,
又圆锥的侧面展开图是一个半圆,得r=2πr,即= 2r,
故(cm),
故答案为:
【分析】 根据圆锥的表面积及圆锥的侧面展开图是一个半圆,联立方程,求解可得圆锥底面半径 .
25.(2023高二下·长春期中)一个圆锥母线长为,侧面积,则这个圆锥的外接球体积为 .
【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积;球的体积和表面积
【解析】【解答】设圆锥的底面半径为r,
由圆锥母线长为,侧面积,得 ,解得,
则圆锥的高,
设球半径为R,球心为O,其过圆锥的轴截面如图所示:
由题意可得(h-R)2 +r2=R2,即,则,解得
故.
故答案为:.
【分析】 由圆锥的侧面积得出圆锥的底面半径,设出球的半径,根据题意得出关系式求出球的半径,再根据球的体积公式求出答案.
26.(2023高一下·太原期中)如图所示的图案,是由圆柱、球和圆锥组成,已知球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等,圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心,圆锥的底面是圆柱的下底面,则图案中圆锥、球、圆柱的体积 .
【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】设底面圆的半径为,则圆柱的高为,球的半径为,
所以,圆锥的体积,,,
所以,图案中圆锥、球、圆柱的体积.
故答案为:.
【分析】利用圆锥、球和圆柱的体积公式求解,可得答案.
四、解答题
27.(2023高一下·莲湖期末)如图,某铁质零件由一个正三棱台和一个正三棱柱组成,已知正三棱柱的底面边长与高均为1cm,正三棱台的下底面边长为2cm,且正三棱台的高为1cm,现有一盒这种零件共重(不包含盒子的质量),取铁的密度为.
(1)试问该盒中有多少个这样的零件?
(2)如果要给这盒零件的每个零件表面涂上一种特殊的材料,试问共需涂多少的材料?
【答案】(1)解:设等边三角形的边长为,则由三角形面积公式可得该三角形面积为,
故正三棱柱的体积,
正三棱台的体积,
所以该零件的质量为,
所以该盒中共有零件个
(2)解:如图,设D,分别为三棱台所在棱的中点,O,分别为三棱台上、下底面的中心,连接,OD,,.
因为,所以,
同理可得,
所以,
所以三棱台的侧面积为,
所以一个零件的表面积为.
因为,
所以共需涂的材料.
【知识点】棱柱的结构特征;棱台的结构特征;棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积;棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】(1)先利用公式求出正三棱台和正三棱柱的体积,利用质量和体积的关系公式求出每个零件的质量即可求解.
(2)先求出正三台的侧面积,即可求出该零件的表面积,再乘以该盒子中零件的数量即可求解.
28.(2023高一下·深圳期中)正六棱台玻璃容器的两底面棱长分别为,,高为,如图水平放置,盛有水深为.
(1)求玻璃容器的体积;
(2)将一根长度为的搅棒置入玻璃容器中,的一端置于点处,另一端置于侧棱上,求没入水中部分的长度.容器厚度,搅棒粗细均忽略不计
【答案】(1)解:由题意可知,下底面面积为,
上底面的面积,又台体的高为,
所以正六棱台的体积
(2)解:设搅棒在上的点为,则,搅棒与水面的交点为,在平面中,过点作,交于点,过点作,交于点,
为正六棱台,,,,
为等腰梯形,画出平面的平面图,
,,,,
,
由勾股定理得:,
,,,
根据正弦定理得:,,
,
,
.
搅棒没入水中部分的长度为.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积;正弦定理
【解析】【分析】 (1)求解出下底面面积,上底面的面积,结合台体的高,求解出正六棱台的体积;
(2)设搅棒在上的点为,则,搅棒与水面的交点为,在平面中,过点作,交于点,过点作,交于点,画出平面的平面图,求解E1Q,E1E,结合正弦定理求解出sin∠EMG,cos∠EMG,然后转化求解即可得 没入水中部分的长度.
29.(2023高一下·河北期中)据《黑鞑事略》记载:“穹庐有二样:燕京之制,用柳木为骨,正如南方罘思,可以卷舒,面前开门,上如伞骨,顶开一窍,谓之天窗,皆以毡为衣,马上可载.草地之制,以柳木组定成硬圈,径用毡挞定,不可卷舒,车上载行.”随着畜牧业经济的发展和牧民生活的改善,穹庐或毡帐逐渐被蒙古包代替.如图1,一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合体.如图2,已知该圆锥的高为3米,圆柱的高为4米,底面直径为8米.求该蒙古包的侧面积.
【答案】解:
由题意可知米,米,米,
则米.
圆锥的侧面积平方米,
圆柱的侧面积平方米,
所以该蒙古包的侧面积平方米.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【分析】运用圆锥、圆柱的侧面积公式计算即可.
30.(2023高一下·宁波期中)如图所示,以线段AB为直径的半圆上有一点C,满足:,,若将图中阴影部分绕直线AB旋转180°得到一个几何体.
(1)求阴影部分形成的几何体的体积;
(2)求阴影部分形成的几何体的表面积.
【答案】(1)解:过点C作,垂足为点,旋转180°所得几何体为半个球挖掉两个半圆锥.
,,,,
以直线AB为轴,旋转一周得到一个半圆锥,体积为,
以直线AB为轴,旋转一周得到一个半圆锥,体积为,
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半圆面以直线AB为轴,旋转一周得到一个半球体,体积为,
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(2)解:以直线AB为轴,旋转一周得到一个半圆锥,侧面积为
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以直线AB为轴,旋转一周得到一个半圆锥,侧面积为
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ACB以直线AB为轴,旋转一周得到一个半球面,表面积为,
正面为一个圆减掉两个三角形,即图中阴影部分:,
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【知识点】旋转体(圆柱/圆锥/圆台/球)的结构特征;简单组合体的结构特征;球的体积和表面积
【解析】【分析】(1) 过点C作,垂足为点,旋转180°所得几何体为半个球挖掉两个半圆锥,再利用,,,,再结合圆锥的体积公式得出以直线AB为轴,旋转一周得到一个半圆锥的体积和以直线AB为轴,旋转一周得到一个半圆锥,体积,进而得出,再结合球的体积公式得出半圆面以直线AB为轴,旋转一周得到一个半球体的体积, 再利用作差法得出阴影部分形成的几何体的体积。
(2) 利用已知条件结合圆锥的侧面积的面积公式得出以直线AB为轴,旋转一周得到一个半圆锥的侧面积和以直线AB为轴,旋转一周得到一个半圆锥的侧面积,再结合球的表面积公式得出ACB以直线AB为轴,旋转一周得到一个半球面的表面积, 再利用正面为一个圆减掉两个三角形,从而结合圆的面积公式和三角形的面积公式,进而得出图中阴影部分,再结合求和法得出 阴影部分形成的几何体的表面积。
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