山东省淄博市两所中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷（含答案）

淄博市两所中学2023-2024学年高二上学期期中考试 数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1．若经过点和的直线的斜率为2，则（ ）
A． B．1 C．2 D．4
2．双曲线的焦距为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，且，则实数t的值为（ ）
A． B．3 C．4 D．5
4．抛掷两枚硬币，设事件A=“第一枚正面朝上”，B=“第二枚反面朝上”，则（ ）
A．事件A和B互斥 B．事件A和B相互对立 C．事件A和B相互独立 D．事件A和B相等
5．圆与圆的公切线有（ ）条
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，, D，E分别为SO，SB的中点，点C是底面圆周上一点（不同于A, B）且，则直线AD与直线CE所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知右焦点为F的椭圆E：上的三点A，B，C满足直线AB过坐标原点，若于点F，且，则E的离心率是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分。
9．设A，B为两个互斥的事件，且P(A)>0，P(B)>0，则下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10. 设，分别为椭圆的左、右焦点，直线过且交椭圆于A，B两点，则以下说法正确的是（ ）
A．的周长为定值8 B．的最大值4
C．|AB|的最小值为 D．若面积为1，则
11．已知圆与直线相交于两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线过定点 B．若，则
C．的最小值为 D．的面积的最大值为2
12. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，下列说法正确的有（ ）
A．当点是中点时，直线平面
B．直线到平面的距离是
C．存在点，使得
D．面积的最小值是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 已知，，，则 ．
14．如图，二面角的棱上有两个点A，B，线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱.若，，，，则平面与的夹角是 ．
15．一条光线从点A(-4，0)射出，经直线x+y-1=0反射到圆C:上，则光线经过的最短路径的长度为 ．
16. 已知椭圆，过点的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，O为坐标原点，若点O在以AB为直径的圆外，则直线l的斜率k的取值范围为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. （本小题10分）已知的顶点，边上的高BH所在直线为，边上的中线AD所在直线方程为．
（1）求顶点A的坐标；（2）求直线的方程.（结果用一般式方程表示）．
18.（本小题12分） 如图，在正四棱锥中，，，分别是的中点.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面的夹角.
19．（本小题12分）甲、乙两位同学进行跳绳比赛，比赛规则如下：进行两轮跳绳比赛，每人每轮比赛在规定时间内跳绳200次及以上得1分，跳绳不够200次得0分，两轮结束总得分高的为跳绳王，得分相同则进行加赛直至有一方胜出为止.根据以往成绩分析，已知甲在规定时间内跳绳200次及以上的概率为，乙在规定时间内跳绳200次及以上的概率为，且每轮比赛中甲、乙两人跳绳的成绩互不影响.
(1)求两轮比赛结束乙得分为1分的概率；
(2)求不进行加赛甲就获得跳绳王的概率.
20. （本小题12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点P(2，1)，且离心率e＝.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知直线l：与椭圆C交于A，B两点，若△PAB的面积为2，求的值.
21. （本小题12分）如图1，梯形ABCD中，，过A，B分别作，，垂足分别为E，F.，，已知，将梯形ABCD沿AE，BF同侧折起，得空间几何体，如图2 .
(1) 若，证明：平面；
若，，线段AB上存在一点P，满足CP与平面ACD所成角的正弦值为，求的值.
（本小题12分）已知动点与两个定点的距离的比为
（1）求动点的轨迹；
(2)过点作直线，交曲线于两点，不在轴上．
①过点作与直线垂直的直线，交曲线于两点，记四边形的面积为，求的取值范围：
②已知，设直线相交于点，试讨论点是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．
淄博市两所中学2023-2024学年高二上学期期中考试
数 学 参考答案
1-8: CADCBADB 9-12: BCD AB ABD AC
12.【详解】对于A，由是中点，，得点是的中点，连接，显然也是的中点，连接，
于是，而平面，平面，所以直线平面，A正确；
对于B，分别是棱的中点，则，平面，平面，于是平面，
因此直线到平面的距离等于点到平面的距离h，
，
，，，
由，得，B错误；
以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，,
对于C，设，则，，，，
由，得，解得，
由于，因此存在点，使得，C正确；
对于D，由选项C得在的投影点为，
则P到的距离，
面积为 ，所以当时，取得最小值为，D错误. 故选：AC
13．0.6 14. 15. 16.
16．【详解】由题意，直线l斜率存在，设方程为，，
联立方程，得，
∴，∵为锐角，则，即，
∴
，解得，又∵，
∴．故答案为：．
解：（1） 即：
由得： 所以
设,则
即解得： 即
即：
18.（1）证明：取的中点，连
分别是的中点
又是的中点
是平行四边形
又 平面
（2）连，设，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，（建系不唯一）如图
设平面的一个法向量为，则
，即，
令，得
又 平面的一个法向量为
所以平面与平面的夹角为
19．（1）【详解】（1）设“甲第轮得一分”，设“乙第i轮得一分”，
设“两轮比赛甲得分”，设“两轮比赛乙得分”，
==
所以两轮比赛结束乙得分为1分的概率为；
（2）设“不进行加赛甲就获得跳绳王”.
=
=++=
所以不进行加赛甲就获得跳绳王的概率为.
解　(1)因为e2＝＝＝，所以a2＝4b2.
又椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点P(2，1)，
所以＋＝1.所以a2＝8，b2＝2.
故所求椭圆方程为＋＝1.
(2)设l的方程为y＝x＋m，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y
整理得x2＋2mx＋2m2－4＝0.
所以x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4.
又直线l与椭圆相交，所以Δ＝4m2－8m2＋16>0，解得|m|<2.
则|AB|＝×＝.
点P到直线l的距离d＝＝.
所以S△PAB＝d|AB|＝××＝=2
解得：m＝±.
【详解】（1）证明：连接，由于，，，，
故四边形为正方形，所以，

又，平面，
故平面，而平面，故，
又，平面，
故平面；
（2）由于，，平面，
故平面，
，则，，故四边形为梯形，
作，交于M，连接CE，
则，，
而，则，故，
因为，则，则，
则，即为正三角形，
过点E作交于G，故两两垂直，
以E为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，
设，则，则，
设CP与平面所成角为，
则，
解得，即，
故线段AB上存在一点P，满足CP与平面ACD所成角的正弦值为，且.
【详解】（1）设则，于是，整理得，
曲线的方程
（2）①设直线的方程为，即．则圆心到直线的距离
（i）若，则直线为轴，此时，
则，
若，则直线为，
令，由于，则，，于是
由于，所以，因此，即时，取得最大值，最大值为7。
。
综上所述：
（2）②设，联立方程组可得：
直线方程为，直线方程为，
联立可得
由①可知，代入上式得
，所以
点在定直线上.