河南省南阳市淅川县2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 河南省南阳市淅川县2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 814.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-12 10:36:55 | ||
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文档简介
淅川县2023-2024学年高一上学期12月月考
数学
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每道题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的）
1．已知函数，则（ ）
A．是奇函数，且在上是减函数 B．是奇函数，且在上是增函数
C．是偶函数，且在上是减函数 D．是偶函数，且在上是增函数
2．函数的定义域为
A． B．
C． D．
3．下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
4．设函数在区间上的值域为（ ）
A． B． C． D．
5．在今年的全国政协、人大两会上，代表们呼吁政府切实关心老百姓看病贵的问题，国家决定对某药品分两次降价，假设平均每次降价的百分率为x.已知该药品的原价是m元，降价后的价格是y元，则y与x的函数关系是（ ）
A．y＝m(1－x)2 B．y＝m(1＋x)2 C．y＝2m(1－x) D．y＝2m(1＋x)
6．已知，，，则，，的大小关系为
A． B． C． D．
7．已知，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
8．若两个正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．或
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）
9．下列说法正确的有（ ）
A．已知集合，全集，若，则实数的集合为
B．“”是“”的必要不充分条件
C．命题，成立的充要条件是
D．“”是“”的充分必要条件
10．以下结论正确的是（ ）
A．函数的最小值是2；
B．若且，则；
C．的最小值是2；
D．函数的最大值为0．
11．已知函数．若存在，使得，则下列结论正确的有（ ）
A． B．的最大值为9
C．的取值范围是 D．的取值范围是
12．设正实数满足，则（ ）
A．有最大值 B．有最大值
C．有最大值 D．有最小值
三、填空题（本大题有4小题,每小题5分,共20分)
13．用二分法研究函数的零点，第一次经计算，则第二次计算的的值为 ．
14．已知正实数x，y满足，则最小值为 ．
15．已知_____________．
16．已知函数的定义域为，满足，，且当时，，则当时，的值域为 .
四、解答题（本大题有6小题，共70分，其中第17题10分，第18-22题每题12分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．已知函数.
(1)判断函数的奇偶性并加以证明；
(2)，不等式成立，求实数的取值范围.
18．设函数.
(1)若不等式的解集为，求a，b的值；
(2)若时，，求的最小值；
(3)若，求不等式的解集.
19．某种股票类理财产品在过去的一个月内（以30天计，包括第30天），第天每份的交易价格（元）满足，第天的日交易量（万份）的部分数据如下表所示：
第（天） 1 2 5 10
（万份） 20 15 12 11
(1)给出以下两种函数模型：①，②.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述该股票类理财产品日交易量（万份）与时间第天的函数关系（简要说明理由），并求出该函数的关系式；
(2)根据（1）的结论求出该股票类理财产品在过去一个月内第天的日交易额的函数关系式，并求其最小值．
20．已知函数.
(1)若满足，求实数的值；
(2)在（1）的条件下，判断函数在上是否有零点，并说明理由；
(3)若函数在上有零点，求的取值范围.
21．已知函数，且．
(1)求证：函数有两个不同的零点；
(2)设，是函数的两个不同的零点，求的取值范围．
22．已知函数图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为.
（1）求和的值；
（2）求函数在，上的单调递减区间.
参考答案：
1．D
【分析】首先判断函数的奇偶性，再结合对数函数的性质说明函数在上的单调性，即可判断.
【详解】函数定义域为，
且，所以为偶函数，函数图象关于轴对称，
当时，因为与在上单调递增，
所以在上单调递增.
故选：D
2．D
【分析】可看出，要使得该函数有意义，则需满足，解出x的范围即可．
【详解】解：要使函数有意义，则：；
解得，且；
该函数的定义域为：．
故选D．
【点睛】考查函数定义域的概念及求法，以及对数函数的定义域．函数的定义域主要由以下方面考虑来求解：一个是分数的分母不能为零，二个是偶次方根的被开方数为非负数，第三是对数的真数要大于零，第四个是零次方的底数不能为零.最终取每个需要满足条件的交集来求得函数的定义域.
3．B
【解析】求出各选项中两个函数的定义域，并化简函数解析式，利用函数相等的定义判断可得出结论.
【详解】对于A选项，函数的定义域为，函数的定义域为，
A选项中的两个函数不相等；
对于B选项，函数与的定义域均为，
且，，B选项中的两个函数相等；
对于C选项，函数与的定义域均为，且，
C选项中的两个函数不相等；
对于D选项，函数的定义域为，函数的定义域为，
D选项中的两个函数不相等.
故选：B.
4．A
【解析】分析二次函数在区间上的单调性，进而可求得该函数的值域.
【详解】，
所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，则，
，，.
因此，函数在区间上的值域为.
故选：A.
5．A
【解析】根据指数函数模型列式求解．
【详解】第一次降价后价格为，第二次降价后价格变为．
故选：A．
【点睛】本题考查指数函数模型的应用，平行增长率问题．属于基础题．
6．A
【分析】 ，，，再比较的大小.
【详解】，，，，故选A.
【点睛】本题考查了指对数比较大小，属于简单题型，同底的对数，指数可利用单调性比较大小，同指数不同底数，按照幂函数的单调性比较大小，或是和中间值比较大小.
7．D
【分析】令，利用换元法求出函数，从而直接代入即可求出的解析式.
【详解】因为，所以令，则，
所以，
所以，
因为，所以，即，
所以.
故选：D.
8．A
【分析】由题意，利用基本不等式求出的最小值，问题等价于，求出不等式的解集即可．
【详解】若两个正实数，满足，则，
，当且仅当时取得等号，
不等式恒成立，等价为，
则，解得．
故选：A．
【点睛】本题考查了不等式恒成立问题和利用基本不等式求最值问题，难度不大，正确转化恒成立为求最值问题是解决此题的关键．
9．BD
【分析】对A，先化简集合，然后根据条件来解即可；
对B， 根据充分必要条件的定义来判断即可；
对C， 问题转化为求在区间有解即可；
对D， 由化简即可判断.
【详解】对A， ，若，则，
当时，，当时，由或，或，故实数的集合为，故A不正确；
对B， “”不一定有“”，而“”一定有“”，“”是“”的必要不充分条件，故B正确；
对C，，成立，则化为：在区间有解，而在区间上的最小值为， ，故C不正确；
对D， ，且，“”是“”的充分必要条件，故D正确.
故选：BD
10．BD
【分析】根据判断A，由均值不等式可判断B，利用对勾函数判断C，根据均值不等式判断D.
【详解】对于A，当时，结论显然不成立，故错误；
对于B，由知，根据均值不等式可得，故正确；
对于C，令，则单调递增，故最小值为，故C错误；
对于D，由可知，，当且仅当时取等号，故D正确.
故选：BD
11．ACD
【分析】作出函数图象，结合图形一一判定选项即可.
【详解】作出图象如图所示，易知，结合二次函数对称性可知，故A正确；
由，又，所以等号不成立，故B错误；
由图象及函数的值域可知，，且，
则，故C正确；
因为，由，故，
故．故D正确．
故选：ACD
12．BD
【分析】对于B，直接由即可判断B正确，对于A，由B中结论可得，从而判断A错误，对于C，利用将变形为结合可判断C错误，对于D，利用结合立方差公式将变形为，结合即可判断D正确.
【详解】正实数满足，即有，可得，B正确，
而，即有最大值，当且仅当时等号成立，A错误，
由，当且仅当时等号成立，C错误，
由，当且仅当时等号成立，D正确.
故选：BD.
13．/-0.484375
【分析】根据零点存在定理确定零点所在区间，第二次计算区间中点处的函数值
【详解】解：因为，所以第二次应计算，
所以，
故答案为：
14．9
【分析】利用基本不等式的性质直接求解即可.
【详解】正数，满足：，
，
当且仅当，即，时 “”成立，
故答案为：.
15．
【分析】令，求出后可求的值.
【详解】令,则,所以.
故答案为：.
【点睛】本题考查复合函数中外函数的函数值，可用整体思想来处理即令，求出的值可得，本题属于基础题.
16．
【分析】由，得到函数的周期为6，把时的值域，转化为时的值域，结合时，函数，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.
【详解】由题意，函数满足，可得，
可得函数的周期为6，所以时的值域，
即时的值域，即时的值域，
当时，函数，可得，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，且，，
又因为，所以在上的值域为，
在上的值域为.
综上可得在上的值域为.
故答案为：.
【点睛】解决函数极值、最值综合问题的策略：
1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；
2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论；
3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.
17．(1)为奇函数，证明见解析
(2)
【分析】（1）首先求出函数的定义域，再只要检验与的关系即可判断；
（2）首先判断函数的单调性，再结合函数的单调性及奇偶性将函数不等式转化为自变量的不等式，然后结合二次不等式的恒成立问题进行求解．
【详解】（1）解：函数为奇函数，证明如下：
函数的定义域，
因为，
所以为上的奇函数；
（2）解：因为，因为在定义域上单调递增，且，又在上单调递增，
所以在上单调递增，
则不等式恒成立，即恒成立，
即恒成立，
所以恒成立，即恒成立，
所以，解得，
所以的范围为．
18．(1)，
(2)
(3)详见解析.
【分析】（1）根据方程的两个根，代入原方程即可求和；
（2）利用“”与基本不等式即可求得最小值；
（3）对分类讨论，再根据一元二次不等式的性质求解即可.
【详解】（1）由题知：的两个根分别是，
代入方程得：，解得：.
（2）时，，即，所以有：，
那么=
=，
此时，且，
即时，有最小值.
（3）若，则，
，即，
①当时，即，解得：，
不等式解集为：
当时，令，解得：，
②当时， 若，不等式解集为：；
若，不等式解集为：
若，不等式解集为：
③当时，不等式解集为：
19．(1)选择②，，理由见解析；
(2)，最小值为元.
【分析】（1）运用待定系数法求出函数解析式再进行选择；
（2）根据题意求出分段函数的表达式，然后进行分类讨论出两部分的最小值，比较之后较小的满足题意.
【详解】（1）对于函数，根据题意，把点，代入可求得，
此时，点、均不在函数的图象上；
对于函数，根据题意，把点，代入可求得，
此时，点、均在函数的图象上；
所以，．
（2）依题意得，
所以，
当时，，
当且仅当时等号成立；
当时，函数单调递减，
此时，
综上所述，当时，该产品在过去一个月内的日交易额最小值为元．
20．(1)；
(2)有，理由见解析；
(3).
【分析】（1）由化简可得，从而可求解；
（2）可判断在上单调递增，且，从而可求解；
（3）分离参数可得方程在上有实数根，根据单调性求出的取值范围，从而可得实数的取值范围.
【详解】（1）∵，
且，
∴，解得.
（2）∵，∴
∵是上的减函数，∴是上的增函数.
∵，，，
∴在上有唯一零点.
（3）,
∵函数在上有零点，
∴方程在上有实数根.
∵上是减函数，,
∴,
由此可得，当时，方程在上有实数根.
综上所述，若函数在上有零点，的取值范围是.
21．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据可得，再代入证明判别式大于0即可；
（2）根据韦达定理化简可得，进而求得范围即可.
【详解】（1）∵，∴．
∴．
对于方程，，
∴恒成立．
又，∴函数有两个不同的零点．
（2）由，是函数的两个不同的零点，得，是方程的两个根．
∴，．
∴．
∴的取值范围是．
22．（1），；（2）单调递减区间为，.
【分析】（1）由最高点坐标求得，由周期求得；
（2）利用正弦函数的单调性求减区间．
【详解】解：（1）函数图象上最高点的纵坐标为2，
，.
且图象上相邻两个最高点的距离为，，.
（2）对于，令，
求得，故函数的单调减区间为，，，
再结合，，
可得函数在，上的单调递减区间为，.
数学
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每道题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的）
1．已知函数，则（ ）
A．是奇函数，且在上是减函数 B．是奇函数，且在上是增函数
C．是偶函数，且在上是减函数 D．是偶函数，且在上是增函数
2．函数的定义域为
A． B．
C． D．
3．下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
4．设函数在区间上的值域为（ ）
A． B． C． D．
5．在今年的全国政协、人大两会上，代表们呼吁政府切实关心老百姓看病贵的问题，国家决定对某药品分两次降价，假设平均每次降价的百分率为x.已知该药品的原价是m元，降价后的价格是y元，则y与x的函数关系是（ ）
A．y＝m(1－x)2 B．y＝m(1＋x)2 C．y＝2m(1－x) D．y＝2m(1＋x)
6．已知，，，则，，的大小关系为
A． B． C． D．
7．已知，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
8．若两个正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．或
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）
9．下列说法正确的有（ ）
A．已知集合，全集，若，则实数的集合为
B．“”是“”的必要不充分条件
C．命题，成立的充要条件是
D．“”是“”的充分必要条件
10．以下结论正确的是（ ）
A．函数的最小值是2；
B．若且，则；
C．的最小值是2；
D．函数的最大值为0．
11．已知函数．若存在，使得，则下列结论正确的有（ ）
A． B．的最大值为9
C．的取值范围是 D．的取值范围是
12．设正实数满足，则（ ）
A．有最大值 B．有最大值
C．有最大值 D．有最小值
三、填空题（本大题有4小题,每小题5分,共20分)
13．用二分法研究函数的零点，第一次经计算，则第二次计算的的值为 ．
14．已知正实数x，y满足，则最小值为 ．
15．已知_____________．
16．已知函数的定义域为，满足，，且当时，，则当时，的值域为 .
四、解答题（本大题有6小题，共70分，其中第17题10分，第18-22题每题12分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．已知函数.
(1)判断函数的奇偶性并加以证明；
(2)，不等式成立，求实数的取值范围.
18．设函数.
(1)若不等式的解集为，求a，b的值；
(2)若时，，求的最小值；
(3)若，求不等式的解集.
19．某种股票类理财产品在过去的一个月内（以30天计，包括第30天），第天每份的交易价格（元）满足，第天的日交易量（万份）的部分数据如下表所示：
第（天） 1 2 5 10
（万份） 20 15 12 11
(1)给出以下两种函数模型：①，②.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述该股票类理财产品日交易量（万份）与时间第天的函数关系（简要说明理由），并求出该函数的关系式；
(2)根据（1）的结论求出该股票类理财产品在过去一个月内第天的日交易额的函数关系式，并求其最小值．
20．已知函数.
(1)若满足，求实数的值；
(2)在（1）的条件下，判断函数在上是否有零点，并说明理由；
(3)若函数在上有零点，求的取值范围.
21．已知函数，且．
(1)求证：函数有两个不同的零点；
(2)设，是函数的两个不同的零点，求的取值范围．
22．已知函数图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为.
（1）求和的值；
（2）求函数在，上的单调递减区间.
参考答案：
1．D
【分析】首先判断函数的奇偶性，再结合对数函数的性质说明函数在上的单调性，即可判断.
【详解】函数定义域为，
且，所以为偶函数，函数图象关于轴对称，
当时，因为与在上单调递增，
所以在上单调递增.
故选：D
2．D
【分析】可看出，要使得该函数有意义，则需满足，解出x的范围即可．
【详解】解：要使函数有意义，则：；
解得，且；
该函数的定义域为：．
故选D．
【点睛】考查函数定义域的概念及求法，以及对数函数的定义域．函数的定义域主要由以下方面考虑来求解：一个是分数的分母不能为零，二个是偶次方根的被开方数为非负数，第三是对数的真数要大于零，第四个是零次方的底数不能为零.最终取每个需要满足条件的交集来求得函数的定义域.
3．B
【解析】求出各选项中两个函数的定义域，并化简函数解析式，利用函数相等的定义判断可得出结论.
【详解】对于A选项，函数的定义域为，函数的定义域为，
A选项中的两个函数不相等；
对于B选项，函数与的定义域均为，
且，，B选项中的两个函数相等；
对于C选项，函数与的定义域均为，且，
C选项中的两个函数不相等；
对于D选项，函数的定义域为，函数的定义域为，
D选项中的两个函数不相等.
故选：B.
4．A
【解析】分析二次函数在区间上的单调性，进而可求得该函数的值域.
【详解】，
所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，则，
，，.
因此，函数在区间上的值域为.
故选：A.
5．A
【解析】根据指数函数模型列式求解．
【详解】第一次降价后价格为，第二次降价后价格变为．
故选：A．
【点睛】本题考查指数函数模型的应用，平行增长率问题．属于基础题．
6．A
【分析】 ，，，再比较的大小.
【详解】，，，，故选A.
【点睛】本题考查了指对数比较大小，属于简单题型，同底的对数，指数可利用单调性比较大小，同指数不同底数，按照幂函数的单调性比较大小，或是和中间值比较大小.
7．D
【分析】令，利用换元法求出函数，从而直接代入即可求出的解析式.
【详解】因为，所以令，则，
所以，
所以，
因为，所以，即，
所以.
故选：D.
8．A
【分析】由题意，利用基本不等式求出的最小值，问题等价于，求出不等式的解集即可．
【详解】若两个正实数，满足，则，
，当且仅当时取得等号，
不等式恒成立，等价为，
则，解得．
故选：A．
【点睛】本题考查了不等式恒成立问题和利用基本不等式求最值问题，难度不大，正确转化恒成立为求最值问题是解决此题的关键．
9．BD
【分析】对A，先化简集合，然后根据条件来解即可；
对B， 根据充分必要条件的定义来判断即可；
对C， 问题转化为求在区间有解即可；
对D， 由化简即可判断.
【详解】对A， ，若，则，
当时，，当时，由或，或，故实数的集合为，故A不正确；
对B， “”不一定有“”，而“”一定有“”，“”是“”的必要不充分条件，故B正确；
对C，，成立，则化为：在区间有解，而在区间上的最小值为， ，故C不正确；
对D， ，且，“”是“”的充分必要条件，故D正确.
故选：BD
10．BD
【分析】根据判断A，由均值不等式可判断B，利用对勾函数判断C，根据均值不等式判断D.
【详解】对于A，当时，结论显然不成立，故错误；
对于B，由知，根据均值不等式可得，故正确；
对于C，令，则单调递增，故最小值为，故C错误；
对于D，由可知，，当且仅当时取等号，故D正确.
故选：BD
11．ACD
【分析】作出函数图象，结合图形一一判定选项即可.
【详解】作出图象如图所示，易知，结合二次函数对称性可知，故A正确；
由，又，所以等号不成立，故B错误；
由图象及函数的值域可知，，且，
则，故C正确；
因为，由，故，
故．故D正确．
故选：ACD
12．BD
【分析】对于B，直接由即可判断B正确，对于A，由B中结论可得，从而判断A错误，对于C，利用将变形为结合可判断C错误，对于D，利用结合立方差公式将变形为，结合即可判断D正确.
【详解】正实数满足，即有，可得，B正确，
而，即有最大值，当且仅当时等号成立，A错误，
由，当且仅当时等号成立，C错误，
由，当且仅当时等号成立，D正确.
故选：BD.
13．/-0.484375
【分析】根据零点存在定理确定零点所在区间，第二次计算区间中点处的函数值
【详解】解：因为，所以第二次应计算，
所以，
故答案为：
14．9
【分析】利用基本不等式的性质直接求解即可.
【详解】正数，满足：，
，
当且仅当，即，时 “”成立，
故答案为：.
15．
【分析】令，求出后可求的值.
【详解】令,则,所以.
故答案为：.
【点睛】本题考查复合函数中外函数的函数值，可用整体思想来处理即令，求出的值可得，本题属于基础题.
16．
【分析】由，得到函数的周期为6，把时的值域，转化为时的值域，结合时，函数，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.
【详解】由题意，函数满足，可得，
可得函数的周期为6，所以时的值域，
即时的值域，即时的值域，
当时，函数，可得，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，且，，
又因为，所以在上的值域为，
在上的值域为.
综上可得在上的值域为.
故答案为：.
【点睛】解决函数极值、最值综合问题的策略：
1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；
2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论；
3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.
17．(1)为奇函数，证明见解析
(2)
【分析】（1）首先求出函数的定义域，再只要检验与的关系即可判断；
（2）首先判断函数的单调性，再结合函数的单调性及奇偶性将函数不等式转化为自变量的不等式，然后结合二次不等式的恒成立问题进行求解．
【详解】（1）解：函数为奇函数，证明如下：
函数的定义域，
因为，
所以为上的奇函数；
（2）解：因为，因为在定义域上单调递增，且，又在上单调递增，
所以在上单调递增，
则不等式恒成立，即恒成立，
即恒成立，
所以恒成立，即恒成立，
所以，解得，
所以的范围为．
18．(1)，
(2)
(3)详见解析.
【分析】（1）根据方程的两个根，代入原方程即可求和；
（2）利用“”与基本不等式即可求得最小值；
（3）对分类讨论，再根据一元二次不等式的性质求解即可.
【详解】（1）由题知：的两个根分别是，
代入方程得：，解得：.
（2）时，，即，所以有：，
那么=
=，
此时，且，
即时，有最小值.
（3）若，则，
，即，
①当时，即，解得：，
不等式解集为：
当时，令，解得：，
②当时， 若，不等式解集为：；
若，不等式解集为：
若，不等式解集为：
③当时，不等式解集为：
19．(1)选择②，，理由见解析；
(2)，最小值为元.
【分析】（1）运用待定系数法求出函数解析式再进行选择；
（2）根据题意求出分段函数的表达式，然后进行分类讨论出两部分的最小值，比较之后较小的满足题意.
【详解】（1）对于函数，根据题意，把点，代入可求得，
此时，点、均不在函数的图象上；
对于函数，根据题意，把点，代入可求得，
此时，点、均在函数的图象上；
所以，．
（2）依题意得，
所以，
当时，，
当且仅当时等号成立；
当时，函数单调递减，
此时，
综上所述，当时，该产品在过去一个月内的日交易额最小值为元．
20．(1)；
(2)有，理由见解析；
(3).
【分析】（1）由化简可得，从而可求解；
（2）可判断在上单调递增，且，从而可求解；
（3）分离参数可得方程在上有实数根，根据单调性求出的取值范围，从而可得实数的取值范围.
【详解】（1）∵，
且，
∴，解得.
（2）∵，∴
∵是上的减函数，∴是上的增函数.
∵，，，
∴在上有唯一零点.
（3）,
∵函数在上有零点，
∴方程在上有实数根.
∵上是减函数，,
∴,
由此可得，当时，方程在上有实数根.
综上所述，若函数在上有零点，的取值范围是.
21．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据可得，再代入证明判别式大于0即可；
（2）根据韦达定理化简可得，进而求得范围即可.
【详解】（1）∵，∴．
∴．
对于方程，，
∴恒成立．
又，∴函数有两个不同的零点．
（2）由，是函数的两个不同的零点，得，是方程的两个根．
∴，．
∴．
∴的取值范围是．
22．（1），；（2）单调递减区间为，.
【分析】（1）由最高点坐标求得，由周期求得；
（2）利用正弦函数的单调性求减区间．
【详解】解：（1）函数图象上最高点的纵坐标为2，
，.
且图象上相邻两个最高点的距离为，，.
（2）对于，令，
求得，故函数的单调减区间为，，，
再结合，，
可得函数在，上的单调递减区间为，.
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