浙江省台州市重点中学2023-2024学年高一上学期12月测试数学试题（含解析）

台州市重点中学2023-2024学年高一上学期12月测试数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.下列角中与终边相同的是( )
A. B. C. D.
2.设扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是( )
A. B. C. D.
3.已知，则的值是( )
A. B. C. D.
4.若是的根，则( )
A. B. C. D.
5.函数在区间内为减函数，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
6.已知集合，集合，则“且”是“”成立的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
7.已知，满足，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.若关于的不等式在区间内有解，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下面命题中是假命题的有( )
A. 若，则
B. 若，则是第一象限角或第二象限角
C. 若一个扇形所在圆的半径为，其圆心角为弧度，则扇形的周长为
D. 若角的顶点是原点，始边是轴的非负半轴，终边过点，且，则
10.下列四个命题，其中不正确命题的是( )
A. 函数在上单调递增，在上单调递增，则在上是增函数
B. 函数的零点是，
C. 设，，则“，”是“”充分不必要条件
D. 和表示同一个函数
11.已知，，，则下列正确的是( )
A. 的最小值为 B. 的取值范围为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
12.已知，，且，下面选项正确的是 ( )
A. B. 或
C. D.
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.如果角的终边经过点，那么 ．
14.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是 ．
15.函数，的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则的取值范围是 ．
16.已知实数，满足，，则 ．
四、解答题（本大题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知集合，．
Ⅰ求集合
Ⅱ若，求实数的取值范围．
18.本小题分
用“五点法”画函数的简图．
19.本小题分
已知
化简；
若，求的值．
20.本小题分
已知函数的定义域为，且对任意的正实数、都有，且当时，，．
求证：
求
解不等式
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查终边相同的角的集合问题，属于基础题．
写出与角终边相同的角的集合，取值即可得答案．
【解答】
解：与角终边相同的角的集合为，
当时，．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查扇形的周长与扇形的面积公式的应用，属于基础题．
设出扇形的弧长，半径，通过扇形的周长与面积列方程求出扇形的弧长与半径，即可得到扇形圆心角的弧度数．
【解答】
解：设扇形的弧长为，半径为，
所以，，
所以，，
所以扇形的圆心角的弧度数是：；
故本题选C．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了诱导公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
由已知及诱导公式即可计算求值．
【解答】
解：
，
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查诱导公式，同角三角函数基本关系，属于中档题．
先求出方程的根，根据的范围确定其值，进而根据诱导公式及同角三角函数关系化简所求式子代值即可得解．
【解答】
解：是方程的根，
或舍，
则
故选B．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查对数函数、二次函数的性质，复合函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于基础题．
设，则函数在区间上是递减函数，且，再利用二次函数的性质求得实数的取值范围．
【解答】
解：设，
则函数在区间上是递减函数，且．
，求得：，
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查充要条件关系的判断，属于基础题．
【解答】
解：若且，则，反之，若，则且成立．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查二次函数的值域最值问题，属中档题．
【解答】
解：由，
得，故选D．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查从函数观点看一元二次不等式，不等式的存在性问题．
分离参变量，将问题化为最值问题求解即可．
【解答】
解：由，得，，，
由题意，，，选D．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查弧长公式、象限角与轴线角、求任意角的三角函数值，属于中档题．
【解答】
解：选项A令，则，则有，故A错误；
选项B：当时，，为轴线角，故B错误；
选项C：设扇形的弧长为，半径为，圆心角为，则扇形的周长，故C正确；
选项D：，则，则，故D错误．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数单调性、零点，充分必要条件的判断，同一个函数，属于中档题．
【解答】
解：对于，如函数，满足题目条件，但是，所以不正确；
对于，由函数零点的定义知，函数的零点为函数图象与轴交点的横坐标或方程的根，所以 不正确；
对于，由可推出，
但若，不一定有，，如，所以 正确；
对于，，显然它们的对应关系不一样，故D不正确，
综上，不正确的有．
故选ABD．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用基本不等式求最值，涉及不等式的性质，属中档题．
【解答】
解：，是正数，
，
，当且仅当时取等号，
故A不正确；
由得，，由得，
又故的取值范围为，
故B正确；
，
当且仅当时取等号，故C正确；
若，的最小值为，故D错误．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查同角三角函数的基本关系 ，属于中档题．
利用同角三角函数的基本关系 ，以及三角函数的符号，转化逐项求解即可．
【解答】
解：，，
可得，
，
，
解得或．
， ，
经检验，当时， ，不合题意，
，
此时 ， ，
．
故A项正确，项错误，，项正确．
故选ACD
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查三角函数的定义，属于中档题．
根据角 的终边经过点 ，求得该点到原点的距离，再利用余弦函数的定义求解．
【解答】
解：因为角 的终边经过点 ，
所以点到原点的距离为 ，
所以 ．
故答案为：
14.【答案】
【解析】【分析】
由已知结合一次函数及指数函数，分段函数单调性建立关于的不等式组，解不等式可求的取值范围．
本题主要考查了分段函数单调性的应用，属于中档题．
【解答】
解：因为在上单调递减，
所以，
解得，，
故的取值范围为．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查正弦函数的图象，属于基础题．
由解析式画出函数的图象，结合图象确定的取值范围．
【解答】
解：，，
即
作出函数和函数的图象，如图所示．
因为函数，的图象与直线有且仅有两个不同的交点，
则的取值范围是，
故答案为．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数单调性，构造函数处理，难题．
【解答】
解：由题意得，，，
则，
知是单调递增函数，所以，，
得．
17.【答案】解：Ⅰ
故A．
Ⅱ，，
由得或，解得或

【解析】本题主要考查含参数的集合关系问题，考查绝对值不等式的求解，属于基础题．
18.【答案】解：
列表
如图所示，描点并将它们用光滑的曲线连接起来

【解析】本题主要考查“五点法”作函数的图象．
利用五点作图法作出函数图象即可．
19.【答案】解：
．
若，可得，
．
【解析】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用．
由题意利用诱导公式，化简所给的式子可得结果．
由题意利用同角三角函数的基本关系，求得式子的值．
20.【答案】解：令，，则，又，
，
，
设、且，于是，
，
又，，即，
在上为增函数，
又，
，解得，
原不等式的解集为．

【解析】本题考查了求抽象函数的函数值，判断函数的单调性，利用函数的单调性解不等式，属于基础题．
令，，由此可求出答案
令，可求得，再令，，可求得
先求出函数在上的单调性，根据条件将原不等式化为，结合单调性即可求出答案．