期末数学押题卷 1
九年级数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：浙教版九年级上册第1—4章。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（2023上·山东济南·九年级统考期中）围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有2个黑色棋子和1个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同．从中随机摸出一个棋子，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个棋子，则两次摸到相同颜色的棋子的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率等知识点，先画树状图展示所有9种等可能的结果，再找出两次摸到相同颜色的棋子的结果数，然后根据概率公式计算，熟练掌握其画图或列表得出所有可能结果数是解决此题的关键．
【详解】画树状图为：
共有9种等可能的结果，其中两次摸到相同颜色的棋子的结果数为5种，
∴两次摸到相同颜色的棋子的概率，故选：C．
2．（河南省南阳市桐柏县2023-2024学年九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，将以原点为位似中心放大后得到，若，，则与的面积的比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了位似变换，勾股定理，由勾股定理求出、的值，从而得到相似比，再根据相似三角形的性质即可得到答案．
【详解】解：，，，，
以原点为位似中心放大后得到，
与的相似比是：，
与的面积的比是，故选：C．
3．（2023上·江西吉安·九年级校联考期中）某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，则符合这一结果的实验最有可能的是（）
A．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球
B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6
C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
D．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
【答案】B
【分析】本题主要考查概率的计算和频率估计概率思想，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定．
分别计算出每个事件的概率，其值约为0.17的即符合题意；
【详解】由图可知实验事件的概率值约为0.17.
A、袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球的概率为，不符合题意；
B、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率为，符合题意；
C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，不符合题意；
D、掷一枚质地均匀的硬子，落地时结果是“正面向上”的概率为，不符合题意；故选：B．
4．（2022·北京海淀·人大附中校考模拟预测）左老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题，操作学具时，点在轨道槽上运动，点既能在以为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．
有以下结论：
①当，时，可得到形状唯一确定的；
②当，时，可得到形状唯一确定的；
③当，时，可得到形状唯一确定的；
④当，时，可得到形状唯一确定的；
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①④ B．②③ C．②④ D．②③④
【答案】D
【分析】分别在以上四种情况下以为圆心，的长度为半径画弧，观察弧与直线的交点即为点，作出后可得答案．
【详解】解：如图，当，时，以为圆心，的长度为半径画弧，弧与直线有两个交点，作出，发现两个位置的都符合题意，故不唯一，故①错误，不符合题意，
；
如图，当，时，以为圆心，的长度为半径画弧，弧与直线有两个交点，作出，发现左边位置的不符合题意，故唯一，故②正确，符合题意，
；
如图，当，时，以为圆心，的长度为半径画弧，弧与直线有两个交点，作出，发现两个位置的都符合题意，但是此时两个三角形全等，故形状相同，故唯一，故③正确，符合题意，
；
如图，当，时，以为圆心，的长度为半径画弧，弧与直线有两个交点，作出，发现左边位置的不符合题意，故唯一，故④正确，符合题意，
；
综上所述，结论正确的是②③④，故选：D．
【点睛】本题考查圆的基本性质，关键确定以为圆心，的长度为半径画弧，弧与直线的交点个数．
5．（2023上·湖北襄阳·九年级统考期中）已知二次函数的图像上有三点，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数解析式得出，开口向上，对称轴为直线，再根据二次函数的增减性判断即可得到答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：二次函数，，开口向上，对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，，，
，，，，，故选：B．
6．（2023上·浙江台州·九年级统考期末）如图，扇形中，，，点为的中点，将扇形绕点顺时针旋转，得到扇形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点作于点，过点作交的延长线于点，设交于点，交于点，根据题意得出，进而根据即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作交的延长线于点，设交于点，交于点，
∵ 则四边形是正方形，
，∴，，，
，在中，，
，，
，∴，
，，
，，故选：B．
【点睛】本题考查了求扇形面积，旋转的性质，正方形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．
7.（2022上·浙江绍兴·九年级统考期末）如图，一段抛物线：，记为，它与轴交于点；将绕点顺时针旋转得到；…如此进行下去，得到一条连续的曲线，若点在这条曲线上，则的值为（ ）
A．4 B．3 C． D．
【答案】D
【分析】根据抛物线与轴的交点问题得到，图象与轴交点坐标为: ，，再利用旋转的性质图象与轴交点坐标为: ，，则抛物线:，于是可推出抛物线：，由于，则有在抛物线上，然后根据二次函数图象上点的坐标特征计算的值即可．
【详解】∵如图抛物线：，∴图象与轴交点坐标为: ，，
∵将绕点旋转得，交轴于点，∴抛物线:，
∴将绕点旋转得，交轴于点，…，如此进行下去，
∴抛物线：，
∵，∴在抛物线上，
∴当时，，故选：．
【点睛】此题考查了二次函数与几何变换，正确记忆旋转的特点，找到图形变换的规律是解题关键．
8．（广东省深圳市2023-2024学年九年级期中）如图，是等边三角形，点D、E分别在、上，且，，、相交于点F，连接，则下列结论：①；②；③；④，正确的结论有（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质．
根据等边三角形的性质可证得，得到，从而利用三角形外角的性质得到，据此可判断①；
从上截取，连接，则是等边三角形，从而有，，根据等边三角形的性质和边的关系可得，从而，根据等腰三角形的“等边对顶角”和三角形外角的性质求得，从而判断②；
易证，根据相似三角形的性质即可判断③；
易证，根据相似三角形的性质即可判断④．
【详解】∵是等边三角形
∴，
∵，∴∴∴，
∵∴
∵是的外角∴∴①正确；
如图，从上截取，连接，则是等边三角形
∴，
∵，，，∴，
∴点D，点M是线段的三等分点，∴，∴，∴，
∵，∴，
∴∴，∴②正确；
∵，∴，又∴
∴∴∴∴③正确；
∵，是公共角∴
∴，∴，
∵∴∴④正确．故选：D．
9．（2023上·浙江宁波·九年级校联考期中）已知二次函数的图象如图所示抛物线的顶点坐标是，有下列结论；④若点在该抛物线上，则．其中正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征．根据二次函数的性质和函数图象，可以判断各个小题是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：∵抛物线开口向上，∴，故①正确；
∵抛物线与x轴没有交点，∴，故②错误；
由抛物线的顶点坐标是，可设抛物线为，
∵过点，∴，解得，
∵，∴，∴，故③正确，
∵抛物线的最低点是，∴若点在该抛物线上，则，故④正确．故选：C．
10．（2023上·江苏无锡·九年级校考阶段练习）如图，是等边的外接圆，点D是弧上一动点（不与A，C重合），下列结论：①；②当最长时，；③；④当，时，；⑤当时，四边形最大面积是．其中一定正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】由是等边三角形，及同弧所对圆周角相等可得，即可判断①正确；根据最长时，为直径，可判定②正确；在上取一点E，使，可得是等边三角形，从而，有，可判断③正确；过点A作于点，根据直角三角形的性质以及勾股定理，即可判断④是错误的；把绕点逆时针转，使得与重合，点与点是对应点，因为，则，再结合②，即可作答．
【详解】解：∵是等边三角形，∴，
∵，，∴，，
∴，故①正确；因为当最长时，则为的直径，∴，
∵，∴，∴，故②正确；
在上取一点E，使，如图：
∵，∴是等边三角形，∴，，
∵，∴，
∵，∴，∴，
∴，故③正确；
由③知，则，
过点A作于点，如图所示：
在中，，则，
因为所以
在中，，
∵是等边三角形，，故④是错误的；
把绕点逆时针转，使得与重合，点与点是对应点，如图所示：
因为，所以是等边三角形，
易知所以则
要使四边形最大面积，则最大此时为的直径
由②知，则所以
因为 所以在，那么
则，故⑤是正确的；
∴正确的有①②③⑤，共4个，故选：C．
【点睛】本题考查等边三角形及外接圆，涉及三角形全等的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识内容，解题的关键是正确作辅助线，构造三角形全等解决问题．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分，答案写在答题卡上）
11．（2023上·河南周口·九年级统考阶段练习）如图，小明在玩游戏，脱手镖游戏板是由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚脱手镖，击中空白区域的概率是 ．
【答案】
【分析】本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率，计算方法是长度比、面积比、体积比等．直接利用黑色区域的面积除以游戏板的面积即可；
【详解】设每个小正方形格子的长度都是1，
∴ 空白区域的面积，游戏板的面积，
所以击中空白区域的概率为．故答案为：．
12．（2023上·江苏镇江·九年级统考期中）如图，内接于，，，则的半径为 ．
【答案】
【分析】此题考查了圆周角定理，连接，，利用“一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半”得出，再用勾股定理即可求解，解题的关键是熟练掌握圆周角定理和勾股定理得应用．
【详解】解：如图，连接，
∴，∴，
在中，由勾股定理得：，
∵，∴，故答案为：．
13．（2023上·江西赣州·九年级校联考期中）大型客机是我国首次按照国际通行适航标准自行研制，具有自主知识产权的喷气式干线客机，如图1，在某次大型客机过水门仪式中，两条水柱从两辆消防车中斜向上射出，形似抛物线，以两车所连水平直线的中点为坐标原点，平行于的直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，其函数关系式为，当两辆消防车喷射口位置的水平距高为m时，“水门”最高点距离喷射口的竖直高度为 m．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的实际应用，先求出点的坐标，把点B的横坐标代入解析式可得点B的纵坐标，即点C的纵坐标，用减去点的纵坐标即可．
【详解】解：在中，当时，，∴，
∵，∴，∴将代入，
解得，∴，∴(m)．故答案为：
14．（湖南省郴州市汝城县2023-2024学年九年级期中）如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了黄金分割点的概念，根据“较长部分与全长之比等于较短部分与较长部分之比，比值为”，进行计算即可，熟记黄金分割的比值是解此题的关键．
【详解】解：，支撑点是靠近点的黄金分割点，
，故答案为：．
15．（2023年河南省新乡市三模）如图，在中，，，．按以下步骤作图：
①以点B为圆心、的长为半径作弧，交于点E；②分别以点A，E为圆心、大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线；③连接交于点O．则的长为 ．
【答案】/
【分析】过点A作于点F，、交于点G，根据平行四边形的性质和已知作图得出，求出，根据等腰三角形的性质得出，，根据三角函数求出，根据，得出，求出即可．
【详解】解：过点A作于点F，、交于点G，如图所示：
∵四边形为平行四边形，∴，，，
∴，根据作图可知，平分，
∴，∴，∴，
∵，∴，，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解直角三角形，平行线分线段成比例，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，求出．
16．（2023上·江苏盐城·九年级统考期中）如图，在中，点C是劣弧的中点，点P在劣弧上，且，于H，当，则 ．
【答案】
【分析】在上截取，连接，可以证明，得到，由，得到，由圆周角定理得到，因此，得到，即可求解．
【详解】在上截取，连接，
∵C是的中点，∴，
∵，∴，∴，∴，
∵，∴，∵，∴，
∴，∵，，
∴，，∴，
∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识点，关键是通过作辅助线构造全等三角形．
17．（2023上·河南周口·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，点在线段上，则的最小值是 ．
【答案】5
【分析】先求出，，，过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两线交于点T，连接，证明四边形是正方形，且，即有点O与点T关于直线对称，则有，当A、P、T三点共线时最小，即最小，最小值为，问题随之得解．
【详解】解：在中，当时，，∴，则；
当时，，解得：，，
∴，，则，；
过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两线交于点T，连接，如图，
∴，，∵，，
∴四边形是正方形，且，∴点O与点T关于直线对称，
∴，∴，
∴当A、P、T三点共线时最小，即最小，最小值为，
∵，，∴的最小值，故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合，考查了二次函数与坐标轴交点的问题，轴对称的性质，勾股定理，正方形的判定与性质等知识，证明四边形是正方形，且，得出点O与点T关于直线对称，是解题的关键．
18．（四川省成都市金牛区2022-2023学年九年级上期末）如图，在矩形中，，，动点从点出发沿运动，同时，点从点出发沿运动．连接，过点作于点，连接，若点的运动速度是点的倍，则在点从点运动到点的过程个，线段的最小值是 ．
【答案】
【分析】如图，延长交的延长线于，证明，，可得，由，可得在以为直径的圆上运动，而，设的中点为，则，过作，由，则在上，可得，，，当，，三点共线时，最小，从而可得答案．
【详解】解：如图，延长交的延长线于，
∵点的运动速度是点的倍，∴，
∵矩形，∴，∴，
∴，，，
又在以为直径的圆上运动，而，
设的中点为，则，
过作，由，则在上，∴，
则，，，
当，，三点共线时，最小，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查的是矩形的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，垂径定理的应用，证明在以为直径的圆上运动是解本题的关键．
三、解答题（本题共8小题，共66分。其中：19-20题7分，21-24题每题8分，25-26题每题10分，答案写在答题卡上）
19．（安徽省阜阳市2023-2024学年九年级期中）如图，在平面直角坐标系内三个顶点的坐标分别为，，．
(1)以点B为位似中心，在点B的下方画出，使与位似且相似比为；
(2)点的坐标为______，点的坐标为______．
【答案】(1)见解析(2)，
【分析】本题考查了位似作图，图形与坐标，掌握位似的性质是解题的关键．
（1）在网格中作出，连接即可得到；
（2）根据点的位置写出、的坐标即可．
【详解】（1）即为所作；
（2）点的坐标为，点的坐标为，
故答案为：，．
20．（2023上·四川绵阳·九年级统考期末）一个不透明的箱子中装有1张白色的卡片和若干张红色的卡片，这些卡片除颜色外，大小、形状、厚度等均相同．某学习小组做试验：将卡片搅匀后从中任意摸出1张卡片，记下颜色后放回；搅匀后再摸一张卡片，记下颜色后放回；不断重复上述过程，获得数据如下：
摸卡的次数
摸到白色卡片的频数
摸到白色卡片的频率
(1)根据上表估计，任意摸一次为白色卡片的概率为（精确到），求红色卡片有多少张？
(2)现从该箱子中先后各摸出1张卡片，求恰好两张卡片颜色相同的概率．
【答案】(1)红色卡片有3张(2)恰好两张卡片颜色相同的概率为
【分析】（1）利用白色卡片的数量除以任意摸一次为白色卡片的概率为，即可求出总的卡片数量，再减去白色卡片数量即可求解；
（2）由于白色卡片只有1张，因此相同颜色的两张卡片只能是红色，再根据不放回试验的特点分别求出两次摸出红色卡片的概率，接着将这两个概率相乘即可求解；或者用列表法求概率．
【详解】（1）总的卡片张数：（张），
则红色的卡片张数为：（张），答：红色卡片有3张；
（2）由于白色卡片只有1张，因此相同颜色的两张卡片只能是红色，
第一次摸出红色卡片的概率为：，
摸出一张红色卡片之后，剩余红色卡片为2张，盒中卡片总张数为：3张，
则第二次摸出红色卡片的概率为：，
即：两张卡片均为是红色的概率为：，
答：恰好两张卡片颜色相同的概率为．
列表如下，
白 红1 红2 红3
白 白，红1 白，红2 白，红3
红1 红1，白 红1，红2 红1，红3
红2 红2，白 红2，红1 红2，红3
红3 红3，白 红3，红1 红3，红2
共有12种等可能结果，其中符合题意的有6种，∴恰好两张卡片颜色相同的概率为
【点睛】本题考查了根据概率求解总数以及求解不放回试验中事件的概率的知识，掌握不放回试验的特点，是解答本题的关键．
21．（2022秋·四川绵阳·九年级统考期中）已知二次函数．
(1)用配方法把这个二次函数的解析式化为的形式；
(2)写出这个二次函数图象的开口方向，顶点坐标和对称轴；
(3)将该抛物线向左平移个单位，使经过点，求值．
【答案】(1)(2)开口方向向下，，对称轴为直线(3)
【分析】（1）根据配方法的操作整理即可得解；
（2）根据小于0确定出抛物线开口向下，根据顶点式解析式写出顶点坐标和对称轴．
（3）根据平移规律即可得到，代入点，即可解得．
【详解】（1）解：，即；
（2）∵，∴该抛物线的开口方向向下，
由知，抛物线的顶点坐标是，对称轴为直线；
（3）将该抛物线向左平移个单位得到，
平移后的抛物线经过点，，解得或，
，．
【点睛】本题考查了二次函数的三种形式的转化，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，熟练掌握配方法的操作以及根据顶点式形式写出对称轴和顶点坐标的方法是解题的关键．
22．（上海市闵行区六校联考2023-2024学年九年级期中）如图，已知在中，点E、F在边上．
(1)如果是等边三角形，且，求证：；
(2)如果，，求证：．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是：
（1）先根据等边三角形的性质得，进而可得出，根据，得，再根据三角形的外角定理可得，由此得，据此可得出结论；
（2）过点A作于H，先由得，进而可判定，从而，进而得，再证，由此可判定相似，从而得，然后根据三角形的面积公式得，，则，据此可得出结论．
【详解】（1）解：证明：是等边三角形，，
，，，
在中，，，
，；
（2）过点A作于H，如图2所示：
∵，∵，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
又∵，∴，
又∵，∴，∴，
∴，，∴，∴．
23．（2023上·安徽滁州·九年级统考期中）在一次足球训练中，小明从球门正前方的处射门，球射向球门的路线呈抛物线，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离底面．已知球门高为，现以为原点，建立如图所示直角坐标系．
(1)求抛物线的表达式；(2)通过计算判断球能否进球门；(3)若抛物线的形状、最大高度均保持不变，且抛物线恰好经过点正上方处，则该抛物线应向右平移几个单位？
【答案】(1)(2)球不能进球门，理由见解析(3)抛物线应向右平移1个单位
【分析】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，
（1）利用待定系数法求解即可；（2）令，得到即可判断；（3）设平移后抛物线为，把点代入求出，得到平移后抛物线顶点为，进而求解即可．
读懂题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
【详解】（1）设抛物线为，
把代入得 解得， ∴抛物线表达式为：；
（2）当时，，∴球不能进球门；
（3）设平移后抛物线为，
把点代入得，， 整理得，，
解得 （舍去）或，∴平移后抛物线顶点为，
∴抛物线应向右平移1个单位．
24．（2023上·江苏徐州·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B是y轴、x轴上的两个定点，经过A、B两点且与x轴正半轴、y轴负半轴分别交于D、C两点，过点O作于点E，交于点F．(1)若，则______°；(2)求证：点F是的中点；
(3)若、，其中a、b是方程的两个根，连接，当圆心M运动时，的长度是否发生变化？若不变，求出的长度；若变化，求出MF的取值范围．
【答案】(1)(2)见解析(3)的长度不变，
【分析】1）利用角度等量代换得到，由同弧所对的圆周角相等即可求解．
（2）利用角度等量代换得到两个等腰三角形即可求解．
（3）过M作圆的直径，由直径所对的圆周角等于得出，圆周角相等即所对的弦也相等，解一元二次方程求出A、B坐标即可知线段的长，最后利用中位线的性质即可求解．
【详解】（1）解：，，，
，
，，故．
（2）证明：，
，，，
，，，，
同理：，，F点是的中点．
（3）如图：过作直径，连接，
点F是的中点，M点是中点，，
是圆M的直径，，
，，
，，，，
解方程得，，，由题意可知：，，
，，．当圆心M运动时，的长度不变，．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，解一元二次方程，中位线的性质，勾股定理等，熟悉圆中各种的基本性质是解题关键．
25．（四川省成都市简阳市2022-2023学年九年级下学期开学学业质量检测数学试题）如图，在矩形中，，点E是边上一动点（点E不与A，D重合），连接，以为边在直线的右侧作矩形，使得矩形矩形交直线于点H．
【尝试初探】(1)在点E的运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由；
【深入探究】(2)随着E点位置的变化，H点的位置也随之发生变化，当B，C，G共线时，连接，求的数量关系；
【拓展延伸】(3)连接，当的长度为时，求的最小值（用含n和的代数式表示）．
【答案】(1)见解析(2)(3)
【分析】（1）先说明，再说明即可证明结论；
（2）由可得，再证明可得即，然后易证可得，代入即可证明结论；（3）如图，连接BD，BG，再分别说明和可得即，易得进而得到，最后在中运用勾股定理即可解答．
【详解】（1）解：∵四边形和四边形是矩形，∴，
∴，∴，
∵矩形矩形，∴，∴，
∴在点E的运动过程中，与始终保持相似关系．
（2）解：如图，∵，∴，D、C、F三点共线，即F点在DC的延长线上，∴，
在和中，，∴，
又∵，∴，
∴，∴，易证，∴，∴．
（3）解：如图，连接BD，BG，∵矩形矩形，∴，
∴，∴，
∵矩形矩形，∴，∴，
∴，即恒等于90°，
∴当时，有最小值，易证，∴，∴，
在中，由勾股定理得，∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关判定定理是解题的关键．
26．（2023上·四川绵阳·九年级统考期末）如图，抛物线的图像与x轴交于A，B两点，，对称轴是直线，与y轴交于点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，矩形的边在x轴上，顶点F，G在x轴上方的抛物线上，设点D的横坐标为d，当矩形的周长取最大值时，求d，并求矩形的周长的最大值；(3)在（2）的结论下，直线上是否存在点M，使得，若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)当时，矩形的周长的最大，最大值为．
(3)不存在点M，使得，理由见解析
【分析】（1）利用交点式设出二次函数解析式，再代入点即可求出；
（2）根据矩形的周长等于（）的2倍，把的关系式找到，利用二次函数的最值求法，将其转化为顶点式即可得出答案；
（3）连接交于点，根据外角的性质以及已知条件得，由、点的坐标可得直线解析式，从而求出的长，利用的正切值验证是否为，即可说明．
【详解】（1）∵抛物线的图像与x轴交于A，B两点，，对称轴是直线，∴
设，把点代入得：，
解得，∴．
（2）由题意可知：、关于对称轴对称，
∵∴，∴，
∵，∴，∴，
要使矩形的周长最大，即的值最大，
∴
∵，∴当时，取最大值，
此时矩形的周长为：2（）=，
即当时，矩形的周长的最大，最大值为．
（3）不存在，理由如下，∵，即，∴，
∵，∴，，
∵，∴、关于对称
连接交于点，则，
∴，，
∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴
设直线解析式为，
则，解得，∴，
当时，，∴，，∴，
∵∴，∴不存在点M，使得．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式、最值问题以及综合应用，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合的思想求解是关键．期末数学押题卷01（浙教版）
九年级数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：浙教版九年级上册第1—4章。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（2023上·山东济南·九年级统考期中）围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有2个黑色棋子和1个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同．从中随机摸出一个棋子，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个棋子，则两次摸到相同颜色的棋子的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．（河南省南阳市桐柏县2023-2024学年九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，将以原点为位似中心放大后得到，若，，则与的面积的比是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·江西吉安·九年级校联考期中）某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，则符合这一结果的实验最有可能的是（）
A．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球
B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6
C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
D．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
4．（2022·北京海淀·人大附中校考模拟预测）左老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题，操作学具时，点在轨道槽上运动，点既能在以为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．
有以下结论：
①当，时，可得到形状唯一确定的；
②当，时，可得到形状唯一确定的；
③当，时，可得到形状唯一确定的；
④当，时，可得到形状唯一确定的；
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①④ B．②③ C．②④ D．②③④
5．（2023上·湖北襄阳·九年级统考期中）已知二次函数的图像上有三点，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023上·浙江台州·九年级统考期末）如图，扇形中，，，点为的中点，将扇形绕点顺时针旋转，得到扇形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
7.（2022上·浙江绍兴·九年级统考期末）如图，一段抛物线：，记为，它与轴交于点；将绕点顺时针旋转得到；…如此进行下去，得到一条连续的曲线，若点在这条曲线上，则的值为（ ）
A．4 B．3 C． D．
8．（广东省深圳市2023-2024学年九年级期中）如图，是等边三角形，点D、E分别在、上，且，，、相交于点F，连接，则下列结论：①；②；③；④，正确的结论有（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
9．（2023上·浙江宁波·九年级校联考期中）已知二次函数的图象如图所示抛物线的顶点坐标是，有下列结论；④若点在该抛物线上，则．其中正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2023上·江苏无锡·九年级校考阶段练习）如图，是等边的外接圆，点D是弧上一动点（不与A，C重合），下列结论：①；②当最长时，；③；④当，时，；⑤当时，四边形最大面积是．其中一定正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分，答案写在答题卡上）
11．（2023上·河南周口·九年级统考阶段练习）如图，小明在玩游戏，脱手镖游戏板是由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚脱手镖，击中空白区域的概率是 ．
12．（2023上·江苏镇江·九年级统考期中）如图，内接于，，，则的半径为 ．
13．（2023上·江西赣州·九年级校联考期中）大型客机是我国首次按照国际通行适航标准自行研制，具有自主知识产权的喷气式干线客机，如图1，在某次大型客机过水门仪式中，两条水柱从两辆消防车中斜向上射出，形似抛物线，以两车所连水平直线的中点为坐标原点，平行于的直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，其函数关系式为，当两辆消防车喷射口位置的水平距高为m时，“水门”最高点距离喷射口的竖直高度为 m．
14．（湖南省郴州市汝城县2023-2024学年九年级期中）如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，则 ．
15．（2023年河南省新乡市三模）如图，在中，，，．按以下步骤作图：
①以点B为圆心、的长为半径作弧，交于点E；②分别以点A，E为圆心、大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线；③连接交于点O．则的长为 ．
16．（2023上·江苏盐城·九年级统考期中）如图，在中，点C是劣弧的中点，点P在劣弧上，且，于H，当，则 ．
17．（2023上·河南周口·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，点在线段上，则的最小值是 ．
18．（四川省成都市金牛区2022-2023学年九年级上期末）如图，在矩形中，，，动点从点出发沿运动，同时，点从点出发沿运动．连接，过点作于点，连接，若点的运动速度是点的倍，则在点从点运动到点的过程个，线段的最小值是 ．
三、解答题（本题共8小题，共66分。其中：19-20题7分，21-24题每题8分，25-26题每题10分，答案写在答题卡上）
19．（安徽省阜阳市2023-2024学年九年级期中）如图，在平面直角坐标系内三个顶点的坐标分别为，，．
(1)以点B为位似中心，在点B的下方画出，使与位似且相似比为；
(2)点的坐标为______，点的坐标为______．
20．（2023上·四川绵阳·九年级统考期末）一个不透明的箱子中装有1张白色的卡片和若干张红色的卡片，这些卡片除颜色外，大小、形状、厚度等均相同．某学习小组做试验：将卡片搅匀后从中任意摸出1张卡片，记下颜色后放回；搅匀后再摸一张卡片，记下颜色后放回；不断重复上述过程，获得数据如下：
摸卡的次数
摸到白色卡片的频数
摸到白色卡片的频率
(1)根据上表估计，任意摸一次为白色卡片的概率为（精确到），求红色卡片有多少张？
(2)现从该箱子中先后各摸出1张卡片，求恰好两张卡片颜色相同的概率．
21．（2022秋·四川绵阳·九年级统考期中）已知二次函数．
(1)用配方法把这个二次函数的解析式化为的形式；
(2)写出这个二次函数图象的开口方向，顶点坐标和对称轴；
(3)将该抛物线向左平移个单位，使经过点，求值．
22．（上海市闵行区六校联考2023-2024学年九年级期中）如图，已知在中，点E、F在边上．
(1)如果是等边三角形，且，求证：；
(2)如果，，求证：．
23．（2023上·安徽滁州·九年级统考期中）在一次足球训练中，小明从球门正前方的处射门，球射向球门的路线呈抛物线，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离底面．已知球门高为，现以为原点，建立如图所示直角坐标系．
(1)求抛物线的表达式；(2)通过计算判断球能否进球门；(3)若抛物线的形状、最大高度均保持不变，且抛物线恰好经过点正上方处，则该抛物线应向右平移几个单位？
24．（2023上·江苏徐州·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B是y轴、x轴上的两个定点，经过A、B两点且与x轴正半轴、y轴负半轴分别交于D、C两点，过点O作于点E，交于点F．(1)若，则______°；(2)求证：点F是的中点；
(3)若、，其中a、b是方程的两个根，连接，当圆心M运动时，的长度是否发生变化？若不变，求出的长度；若变化，求出MF的取值范围．
25．（四川省成都市简阳市2022-2023学年九年级下学期开学学业质量检测数学试题）如图，在矩形中，，点E是边上一动点（点E不与A，D重合），连接，以为边在直线的右侧作矩形，使得矩形矩形交直线于点H．
【尝试初探】(1)在点E的运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由；
【深入探究】(2)随着E点位置的变化，H点的位置也随之发生变化，当B，C，G共线时，连接，求的数量关系；
【拓展延伸】(3)连接，当的长度为时，求的最小值（用含n和的代数式表示）．
26．（2023上·四川绵阳·九年级统考期末）如图，抛物线的图像与x轴交于A，B两点，，对称轴是直线，与y轴交于点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，矩形的边在x轴上，顶点F，G在x轴上方的抛物线上，设点D的横坐标为d，当矩形的周长取最大值时，求d，并求矩形的周长的最大值；(3)在（2）的结论下，直线上是否存在点M，使得，若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由．
