2024年1月广东高中学业水平考试数学模拟试卷
一．选择题:（本大题共12小题，每小题6分，共72分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、已知A＝{2，4，5}，B＝{3，5，7}，则A∪B＝( )
A．{5} B．{2，4，5} C．{3，5，7} D．{2，3，4，5，7}
2、下列函数定义域为R的是（ ）
A． B． C． D．
3、复数z在复平面内对应的点的坐标为，则（ ）
A． B．
C． D．
4．设命题p： x>0，log2x<2x＋3，则p为( )
A． x>0，log2x≥2x＋3 B． x0>0，log2x0≥2x0＋3
C． x0>0，log2x0<2x0＋3 D． x>0，log2x>2x＋3
5．已知α是第四象限角，cos α＝，则tan(π＋α)等于( )
A． B．－ C． D．－
6、若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为，则a＋b＝( )．
A．1 B．-12 C．-28 D．-14
7．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒到19秒之间，下图是这次测试成绩的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y，则x和y分别为( )
A．10%，45 B．90%，45 C．10%，35 D．90%，35
8、已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A B”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．函数，（且）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
10、为了得到函数y＝2sin的图象，可以将函数y＝2sin 2x的图象( )
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
11、幂函数在x（0，+∞）上是减函数，则m＝（ ）
A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．1
12、sin 27°cos 18°＋cos 27°sin 18°的值为( )
A． B． C． D．1
填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分。）
13.已知，则= .
14．若a＞1，则a＋的最小值是 .
15．甲，乙，丙三名学生随机站成一排，则甲站在边上的概率为__________.
16、向量的夹角为，，则__________.
17、甲、乙两人进行射击10次，它们的平均成绩均为7环，10次射击成绩的方差分别是：s＝3，s＝1.2，成绩较为稳定的是 ．(填“甲”或“乙”)
18、在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是 ．
三、解答题（本大题共4小题，19、20、21题各10分，第22题12分。满分42分.解答需写出文字说明，证明过程和演算步骤.）
19、已知x＞0，向量＝（1，x），＝（﹣3，1）．
（1）当实数x为何值时，2+与﹣2垂直．
（2）若x＝2，求在上的投影．
20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，c＝5，cos B＝．
（1）求b的值；
（2）求sin C的值．
21、已知复数，.
(1)若是实数，求的值；
(2)若是纯虚数，求的值；
(3)若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围.
22、如图，在四棱锥中，底面是正方形， 平面，且，点为线段的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面.2024年1月广东高中学业水平考试数学模拟试卷
一．选择题:（本大题共12小题，每小题6分，共72分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、已知A＝{2，4，5}，B＝{3，5，7}，则A∪B＝( )
A．{5} B．{2，4，5} C．{3，5，7} D．{2，3，4，5，7}
答案：D [A∪B＝{2，3，4，5，7}，故选D．]
2、下列函数定义域为R的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】A：函数的定义域为，故A不符合题意；
B：函数的定义域为，故B不符合题意；
C：函数的定义域为R，故C符合题意；
D：函数的定义域为，故D不符合题意；故选：C
3、复数z在复平面内对应的点的坐标为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
依题意.
故选：D
4．设命题p： x>0，log2x<2x＋3，则p为( )
A． x>0，log2x≥2x＋3 B． x0>0，log2x0≥2x0＋3
C． x0>0，log2x0<2x0＋3 D． x>0，log2x>2x＋3
解析：选B 该命题含有量词“ ”，故该命题是一个全称命题，其否定是一个特称命题，故p为： x0>0，log2x0≥2x0＋3．
5．已知α是第四象限角，cos α＝，则tan(π＋α)等于( )
A． B．－ C． D．－
解析 因为α是第四象限角，cos α＝，所以sin α＝－，故tan(π＋α)＝tan α＝＝－．选D
6、若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为，则a＋b＝( )．
A．1 B．-12 C．-28 D．-14
解析：D 由题意知x1＝－，x2＝是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，
则解得(经检验知满足题意)．
∴a＋b＝－14．
7．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒到19秒之间，下图是这次测试成绩的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y，则x和y分别为( )
A．10%，45 B．90%，45 C．10%，35 D．90%，35
【答案】D
【解析】由频率分布直方图可知成绩小于17秒的学生人数占百分比为：
1-0.06-0.04=0.9，
故x=0.9。成绩大于等于15秒且小于17秒的学生的频率为：0.36+0.34=0.7。
故大于等于15秒且小于17秒的学生的人数为：，故选D
8、已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A B”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
9．函数，（且）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：令，解得，所以当时，，
所以函数过定点.故选：B
10、为了得到函数y＝2sin的图象，可以将函数y＝2sin 2x的图象( )
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
解析：选A 函数y＝2sin＝2sin，可由函数y＝2sin 2x的图象向右平移个单位长度得到．故选A．
11、幂函数在x（0，+∞）上是减函数，则m＝（ ）
A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．1
【答案】A
【详解】∵幂函数，
∴m2﹣m﹣1＝1，
解得m＝2，或m＝﹣1；
又x（0，+∞）时f（x）为减函数，
∴当m＝2时，m2+m﹣3＝3，幂函数为y＝x3，不满足题意；
当m＝﹣1时，m2+m﹣3＝﹣3，幂函数为，满足题意；
综上，．
故选：A．
12、sin 27°cos 18°＋cos 27°sin 18°的值为( )
A． B． C． D．1
解析：A [sin 27°cos 18°＋cos 27°sin 18°＝sin(27°＋18°)＝sin 45°＝．故选A．]
填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分。）
13.已知，则=
解析：因为，所以
14．若a＞1，则a＋的最小值是 ．
答案：3 [原式＝a－1＋＋1≥2＋1＝3．]
15．甲，乙，丙三名学生随机站成一排，则甲站在边上的概率为__________.
答案： [甲，乙，丙三名学生随机站成一排，共有6种结果：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，其中甲站在边上的结果有4个，故所求的概率为＝．]
16、向量的夹角为，，则__________.
【答案】
17、甲、乙两人进行射击10次，它们的平均成绩均为7环，10次射击成绩的方差分别是：s＝3，s＝1.2，成绩较为稳定的是 ．(填“甲”或“乙”)
答案：乙 [因为甲的方差为3，乙的方差为1．2，所以方差较小的为乙，成绩比较稳定的是乙，故答案为乙．]
18、在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是 、 ．
答案：45 46 [由茎叶图知甲组数据的中位数是45，乙组数据的中位数是46．]
三、解答题（本大题共4小题，19、20、21题各10分，第22题12分。满分42分.解答需写出文字说明，证明过程和演算步骤.）
19、已知x＞0，向量＝（1，x），＝（﹣3，1）．
（1）当实数x为何值时，2+与﹣2垂直．
（2）若x＝2，求在上的投影．
【解析】（1）∵x＞0，向量＝（1，x），＝（﹣3，1）．
∵2+与﹣2垂直，
∴（2+） （﹣2）＝22﹣3﹣2＝2（1+x2）﹣3（x﹣3）﹣2×10＝0，可得2x2﹣3x﹣9＝0，
∴解得x＝3，或﹣（舍去）．
（2）若x＝2，则＝（1，2），＝（﹣3，1），可得||＝，
可得在上的投影为＝＝﹣．
20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，c＝5，cos B＝．
（1）求b的值；
（2）求sin C的值．
[解] (1)∵b2＝a2＋c2－2accos B＝4＋25－2×2×5×＝17，∴b＝．
(2)∵cos B＝，∴sin B＝，由正弦定理＝，得＝，∴sin C＝．
21、已知复数，.
(1)若是实数，求的值；
(2)若是纯虚数，求的值；
(3)若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围.
解：（1），且是实数，，
解得或；
（2）是纯虚数，，解得；
（3）在复平面内对应的点在第四象限，，解得.
22、如图，在四棱锥中，底面是正方形， 平面，且，点为线段的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面.
详解】
试题分析：（1）连接BD交AC于点O，连结，通过中位线的性质得到，由线面平行判定定理得结果；（2）通过线面垂直得到 ，通过等腰三角形得到 ，由线面垂直判定定理可得平面.
试题解析：（1）证明：连接BD交AC于点O，连结，∵四边形为正方形，∴
为的中点，又∵为中点，∴为的中位线
∴ ，又∵ 平面.
（2）∵四边形为正方形，∴ ，，∴ 面
∴ ，又∵，为中点
∴ ，∴面.
点睛：本题主要考查了线面平行的判定，面面平行的判定，属于基础题；主要通过线线平行得到线面平行，常见的形式有：1、利用三角形的中位线（或相似三角形）；2、构造平行四边形；3、利用面面平行等；垂直关系中应始终抓住线线垂直这一主线.
