2022 级普通高中学科素养水平监测试卷
数学参考答案
一、选择题：
ADCBB DAC 9.ABD 10.ABC 11.BCD 12.BD
二、填空题：
1 7 1 1 3 10
13. 或 14．8 4π 15. a b c 16．8，
3 9 4 4 4 3
四、解答题：
17．解：（1）因为， a (x,1, 1)， b ( 2, y,1)， a//b，∴ a b，…………………1 分
x 2 1
∴ (x,1, 1) ( 2, y,1)
1 y ，即 ，解得 x 2 ，
1 y 1
∴ a (2,1, 1),b ( 2, 1,1)，…………………………………………………………3 分
又 b c，
∴ b c 4 3 z 0，故 z 1，
∴ c (2, 3,1) .…………………………………………………………………………5 分
（2）∵ a c (4, 2,0) , b c (0, 4,2)，…………………………………………6 分
(a+c) (b c)=8 ， |(a+c)|= 42+（-2)2 2 5 ， |b c|= ( 4)2 22 2 5 .……… 8 分
a c b c
∴ cos a c,b c
8 2
.…………………………………10 分
| a c | | b c | 2 5 2 5 5
18．解：（1）由△ ABC的边 AB , AC 所在直线的方程分别为 y 2， x y 3 0，
可知角 A不是直角，……………………………………………………………………1 分
①若角 B是直角，由点 P在边 BC上，
得边 BC所在直线的方程为 x 2；……………………………………………………3 分
②若角C是直角，由边 AC所在直线的方程为 x y 3 0，
得边 BC所在直线的斜率为 1，又点 P在边 BC上，
所以边 BC所在直线的方程为 y+1 1 x 2 ，即 x y 1 0．……………………6 分
（2）由题意可设 B m, 2 ，由 P为 BC的中点，得C 4 m,0 ，…………………7 分
将点C的坐标代入边 AC所在直线的方程 x y 3 0，
得 4 m +3 0，解得m 7，所以C 3,0 ，………………………………………8 分
BC k 0 2 1得边 所在直线的斜率为 ，………………………………………10 分
3 7 5
y 1所以边 BC所在直线的方程为 x+3 ，……………………………………11 分
5
即 x 5y+3 0．……………………………………………………………………12 分
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c
19．解：（1）因为 e 2，所以 c 2a，b2 c2 a2a 3a
2．
x2 y2
所以双曲线的方程为 1，即 3x2 y2 3a22 2 ．……………………………2 分a 3a
因为点M（ 2，3）在双曲线上，所以6 3 3a2，所以 a2 1．
2
所以所求双曲线的方程为 x2 y 1．……………………………………………4 分
3
（2）设直线 OP 的方程为 y kx k 0 ，……………………………………………5 分
1
∵OP OQ 0，则直线 OQ 的方程为 y x，……………………………………6 分
k
2 3
3x2
x
y2 3 3 k 2
由 ，得 2 ，…………………………………………………8 分
y kx y2 3k
3 k 2
2
所以 |OP |2 x 2 y 2 3（k 1） 2 ．…………………………………………………9 分3 k
1
3（1 ）
k 2 3 k 2 12
同理可得， |OQ | 1 2 ，……………………………………11 分3 3k 1
k 2
1 1 3 k 2 （3k 2 1） 2 2k 2 2
故
|OP |2
．
|OQ |2 3(k 2 1) 3(k 2 1) 3
1 1 2
∴ |OP |2 |OQ |2 是定值 .…………………………………………………………12 分3
20．解：（1）∵ ABCD A1B1C1D1 是正方体，设棱长为 1，如图建立空间直角坐标系.
∵CF DE a,
∴ E( 2 a, 2 a,o) F ( 2, a,1, 2 a),……………2 分
2 2 2 2
EF (0,1 2 a, 2 a) .
2 2
EF (1 B B a)2 ( a)2
2 2
= (a 2 )2 1 .………………………………3分
2 2
2 a |EF | |EF | 2当 时， 最小， 的最小值为 .…………………………………4 分
2 2
1 1 1 1
（2）由（1）知，当 |EF |最小时，点 E( , , 0)， F ( , 1, )，
2 2 2 2
C (0, 1, 0)，……………………………………………………………………………5 分
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EF (0, 1 , 1 ) DE (1 1
1
， , ,0) ，CF ( , 0,
1 )，…………………………6 分
2 2 2 2 2 2
设平面 EFD的法向量 n (x, y, z)，
1 1
DE n 0, x y 0,
x 1,
2 2 ∴ 即 = y 1,
EF n 0 1 y 1 z 0
z 1
2 2
∴ n (1, 1,1n) (1, 1,1) .………………………………………………………………8 分
设平面 EFC的法向量为m (x, y, z)，
1 x 1 z 0, x 1, CF m 0, 2 2 ∴ , ， y 1, ，
EF m 0 1 y 1 z 0
z 1 2 2
∴m (1,1, 1)，………………………………………………………………………10 分
设平面 EFD与平面 EFC的夹角为 ，
n m
cos 1 1 ,…………………………………………………11 分
n m 3 3 3
1
∴平面 EFD与平面 EFC的夹角的余弦值为 .…………………………………12 分
3
21．解：（1）点 P（4,1）关于 x轴的对称点为 P（ 4, 1），………………………………1 分
设过 P（ 4, 1）与圆C1（: x 2）
2 (y 1)2 8相切的直线方程： y 1 k (x 4)，
| 2k 1 4k 1|
由题意得 2 2 ，整理得： 7k 2 6k 1 0，
k 2 1
所 k 1 1； k （舍去），………………………………………………………3 分
7
故反射光线所在直线的方程： x y 3 0…………………………………………4 分
（2）设圆C的圆心为C（a, b），半径为 r，
∵圆 C 与 C 21 相外切，∴ (a+2) (b 1)2 2 2 r ，…… ①…………5 分
∵圆C与直线 x y 1 0相切于点 A（2，-1），
∴ k
b 1
AC 1，得 b a 3，……………②…………………………………6 分a 2
| a b 1|
因为圆C与直线 x y 1 0 相切，所以 r，………………………7 分
2
（I）当 a b 1 0时，a b 1 2r ③，
由②，③得 2a 4 2r， ④
将②代入①式，得： (a+2)2 (a 4)2 2 2 r， ⑥
由④，⑤两式得：a 5，代入②式得b 2，r 3 2 ；即 2a2 4a 20 2 2 r
故圆的方程为：C（: x 5）2 (y 2)2 18 .………………………………………9 分
（II）当 a b 1 0时， a b 1 2r，⑥
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由①②式解得： a 1，b 2， r 2，
故圆C（: x 1）2 (y 2)2 2 .………………………………………………………11 分
综上，所求圆的方程为：（x 1）2 (y 2)2 2或（x 5）2 (y 2)2 18 .………12
分
2a 2c 4 2 3 a c 2 3
22．解：（1）依题意，得 1 2 2 ，即 2c b b c 1 c b
2 1 ，…………………2 分
2 a a 4 a 2
a2 4 x2
解得 2 ，所以椭圆 E的方程为 y
2 1.………………………………………4 分
b 1 4
（2）依题意，可设直线 l的方程为 x ty 1，………………………………………5 分
x2
y2 1
联立方程 4 ，化简整理，得（t 2 4）y2 2ty 3 0 ，……………………6 分
x ty 1
易得Δ 0恒成立，
设C x1, y1 ,D x2 , y2 ，由韦达定理，
y1 y
2t
2 t 2 4 3
得 ，可得 ty1y3 2
y1 y2 ，………………………………………8 分
y y 1 2
2
t 2 4
k1 y1 x2 2
于是 k x 2 y …………………………………………………………………9 分2 1 2
x2 2 y1 （ty 2 1）y1
x1 2 y2 (ty1 3)y2
3
ty y y y1 y2 2 y1 1 2 1
ty y 3y 3 ……………………………………………………10 分1 2 2 y1 y2 2 3y2
1 y 3 1
2 1
y
2 2
y1 3y2 2 1 3 9 3 3 ，…………………………………………………11 分y
2 1
y y
2 2 2 1
3y2
1故存在实数 ，使得 k1 k2 恒成立.…………………………………………12 分3
第 4 页 共 4 页2022级普通高中学科素养水平监测试卷
数学
2023.11
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑
3.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，
写在本试卷上无效
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的
1.直线3x+2y-1=0的一个方向向量是
A.(2,-3)
B.(2,3)
C.(-3,2)
D.(3,2)
2已知双曲线c
x2
。6=1(a>0,b>0)的离心率为2，则其渐近线的倾斜角为
A
B.
6
或君
6
3.已知矩形ABCD中，AB=2,BC=23,将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面
ACD垂直，则|BD|=
A.5
B.6
C.√10
D.4
4.若两条不同的直线l1:(2a-4)x-2y-2=0与直线l2:3x+(a+2)y+1=0平行，则a的值为
A.-1
B.1
C.-1或1
D.0
5.过圆C:x2+y2=1外一点P(a-2,a)作圆C的切线，切点分别为A,B,则直线AB所在直线的
过定点
B(
6.已知过坐标原点的直线1的方向向量u=(1,1,1),则点P(1,2,3)到直线1的距离是
A.2
B.5
C.3
D.√2
x22
7.已知椭圆C:。=1(a>b>0),F为其左焦点，直线y=(k>0)与椭圆C交于点A,B,且
AF⊥FB.若∠ABF=30°，则椭圆C的离心率为
A.3-1
B.√2-1
C.3-√2
D.
2
数学试题第1页（共4页）》
8.我们都知道：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们
称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点A(4,2)和B(2,0),且该平面内的点P满足PA=
3Pg1,若点P的轨迹关于直线m-y-3=0(m>0,n>0)对称，则4+1的最小值是
m n
号
B.√3
C.3
D.9
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分
9.下列结论正确的有
A.过点A(1,3),B(-3,-1)的直线的倾斜角为45
B.若直线x+3y+6=0与直线ax-y+2=0垂直，则a=3
C.已知A(1,1),B(2,3)及x轴上的动点P,则PA+PB的最小值为5
D直线+2-4=0与直线2x+4y-3=0之间的距离为写
10.已知椭圆C:。+疗=1(a>b0)的左，右焦点分别为F,F,点P在桶圆C上，且PF,的最
大值为4，最小值为2，则
A椭圆C的离心率为)
B.△PF,F2的周长为8
C.若∠FPF,=90°，则△PF,F2的面积为8D.若PF,PF2=8,则∠F,PF,=60
11.在平面直角坐标系x0y中，圆C的方程为x2+y2-4x-4y+4=0.若直线y-2=k(x+1)上存在
一点P,使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值可以是
A.3
B.2
C.1
D.-2
12.如图，在棱长为2的正方体ABCD-AB,C1D中，E为边AD的中点，点P为线段DB上的
动点，设D1P=ADB,则
A.当入=】时，三棱锥A-PCE的体积？
3
B.当A=2时，EP/平面AB,C
C.当A=4,Ce平面CEP时
D.|PA+PC的最小值为4,6
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13.已知A(-3,-4),B(6,3)两点到直线：ax+y+1=0的距离相等，则a=
14.由曲线x2+y2=2x+2y围成的图形的面积为
数学试题第2页（共4页）
