银川市西夏区2023-2024学年高一上学期12月月考
数学试卷
(试卷满分150分，考试时间为120分钟)
一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分）
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知角的终边在直线上，则( )
A. B. C. D.
3.已知实数，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
4.集合中的角所表示的范围阴影部分是( )
A. B. C. D.
5.下列说法不正确的是( )
A. 已知方程的解在内，则
B. 函数的零点是，
C. 函数，的图像关于对称
D. 用二分法求方程在内的近似解的过程中得到，，，则方程的根落在区间上
6.下列说法正确的有( )
A. 与的终边相同 B. 小于的角是锐角
C. 若为第二象限角，则为第一象限角 D. 钝角的终边在第一象限
7.已知为第二象限角，则
A. B. C. D.
8.工业废水中的某稀有金属对环境有污染，甲企业经过数年攻关，成功开发出了针对该金属的“废水微循环处理利用技术”，废水每通过一次该技术处理，可回收的金属若当废水中该金属含量低于最原始的时，至少需要循环使用该技术的次数为参考数据：( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，每题5分，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知且，函数在同一坐标系中的图象不可能是( )
A. B. C. D.
10.已知函数，若函数恰有个零点，则的取值可能为( )
A. B. C. D.
11.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 在上为减函数 B. 在上为增函数
C. 函数定义域为 D. 函数的增区间为
12.给出下列结论，其中正确的结论是( )
A. 函数的最小值为；
B. 已知函数且在上是减函数，则实数的取值范围是；
C. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称；
D. 若，，为正数，且，则．
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知扇形的半径为，圆心角为，则扇形的弧长为 ；面积为 ．
14.当时，不等式恒成立，则实数的最大值为
15.已知，，则 ．
16.已知为锐角，且，则 ．
四、解答题（本大题共6小题，第17小题10分，18-22题每题12分，共70分。）
17.本小题分
计算化简：；
．
18.本小题分化简或求值：
；
化简
19.本小题分已知集合．
分别求；
已知集合，设命题：，命题： 已知是的必要不充分条件，求实数的取值围．
本小题分已知函数．
Ⅰ化简；
Ⅱ若，求的值．
21.本小题分
已知实数，且满足不等式
解不等式；
若函数在区间上有最小值，求实数的值．
22.本小题分
为践行“绿水青山，就是金山银山”的理念，我省决定净化闽江上游水域的水质省环保局于年年底在闽江上游水域投入一些蒲草，这些蒲草在水中的蔓延速度越来越快，年月底测得蒲草覆盖面积为，年月底测得蒲草覆盖面积为，蒲草覆盖面积单位：与月份单位：月的关系有两个函数模型与可供选择．
分别求出两个函数模型的解析式；
若年年底测得蒲草覆盖面积为，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，试估算至少到哪一年的几月底蒲草覆盖面积能达到？参考数据：银川市西夏区2023-2024学年高一上学期12月月考
数学试卷答案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
8. 9. 10. 11. 12.
13.
14.
15.
16.
17. 解：原式
．
原式
．
18. 解：
原式
解：原式
19. 解：因为，
．
所以．
从而或；
由题意，
当时，，即，
当时，则即，
综上，实数的取值范围是或．
20. 解：Ⅰ
．
Ⅱ若，
可得，即，
所以，
所以
．
21. 解：由题意得：，
，
解得
，
令，当时，，，
，
．
，
的对数函数在定义域内递减，
，
22. 解：若选择模型，
则，解得，，
故函数模型为．
若选择模型，
则，解得，，
故函数模型为．
把代入，可得，
把代入，可得，可知与相差比较大，
故选择模型更合适．
令，可得，
两边取对数可得，
即，
所以，
至少到年月底蒲草覆盖面积能达到．
【解析】
1. 【分析】
本题考查交并补集的混合运算，考查不含参的一元二次不等式的解法以及利用对数函数的性质解不等式，属于基础题．
先解出集合，，求出集合在上的补集，再求交集．
【解答】
解：，
，
，
所以．
故选B．
2. 【分析】
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
由条件利用任意角的三角函数的定义，即可得出，进而得出的值．
【解答】
解：因为角的终边在直线上，
角的终边在第一象限时，
在终边上任取一点，
则该点到原点的距离为．
所以，
所以；
角的终边在第三象限时，
在终边上任取一点，
则该点到原点的距离为．
所以，
所以．
综上所述：．
故选A．
3. 【分析】
本题主要考查了对数函数的性质的运用和计算能力．学会利用中间值比较大小是关键．属于基础题．
利用对数函数的性质和借用中间值进行比较可得答案．
【解答】
解：由题意可得，
所以，
故选A．
4. 【分析】
本题考查终边相同的角，以及象限角，是基础题．
分别画出为奇数和偶数时所表示的区域，然后合并即可．
【解答】
解：当是奇数时， 表示的范围是
，
当是偶数时， 表示的范围是
，
所以 中的角表示的范围是
．
5. 【分析】
本题考查零点判断定理、零点的定义、反函数和二分法求求方程的近似解，属于基础题．
利用零点判断定理、零点的定义、反函数和二分法对选项逐个判断即可．
【解答】
解：对于选项A，令，
因为在上是增函数，且，
所以方程的解在，所以，故A正确；
对于选项B，令得或，故函数的零点为和，故B错误；
对于选项C，函数与函数互为反函数，所以它们的图像关于对称，故C正确；
对于选项D，由于，所以由零点存在性定理可得方程的根落在区间上，故D正确．
故选B．
6. 【分析】
本题考查了终边相同角的概念和象限角，属于基础题．
利用终边相同的角的概念可判断选项的正误，利用特殊值法可判断选项的正误，利用钝角范围可判断选项的正误．
【解答】
解：：因为 ，所以 与 的终边相同，因此本说法正确；
： 显然小于 ，而 不是锐角，因此本说法不正确；
：因为 为第二象限角，
所以 ，所以 为第一象限角或第三象限，因此本说法不正确；
：大于 小于 的角为钝角，所以钝角的终边在第二象限，因此本说法不正确，
故选：
7. 【分析】本题考查象限角，三角函数的符号，属于简单题．
根据题意，求得，，再逐项判断即可．
【解答】解：因为为第二象限角，所以，，则，
，，的取值不确定故选C．
8. 【分析】
本题考查对数函数模型得实际应用，属于基础题．
设至少需要经过该装置的次数为，则，解不等式即可．
【解答】
解：设至少需要经过该装置的次数为，废水中该金属含量为，
则，即，
又，
．
9. 【分析】
本题主要考查了指、对数函数的图象及性质，属于基础题．
分和分别讨论，即可得解．
【解答】
解：当时，单调递减，单调递增，与轴交点的纵坐标大于，，，，均不满足
当时，单调递增，单调递减，与轴交点的纵坐标介于和之间，可知只有满足．
故选ACD．
10. 【分析】
本题考查了函数的零点与函数图象的关系，属于基础题．
作出的函数图象，根据图象判断的值．
【解答】
解：恰好有个零点，
等价于有三个不等实根，如图，
作出的图象，可得当时，的图象与有三个交点．
故选：．
11. 【分析】
本题考查复合函数的单调性，考查对数函数的性质，考查函数的定义域，属于基础题．
令真数大于零，解不等式即可得到定义域，令，得到，结合复合函数的单调性即可分析出剩余选项．
【解答】
解：令解得，即函数的定义域为，故C选项正确，
令，则，
根据对数函数的单调性，关于单调递减，
而函数在上关于是增函数，在上关于是减函数；
由复合函数单调性可知，在上是减函数，在上是增函数，
故AB正确，D错误．
故选：
12. 【分析】
本题考查了指数函数与对数函数的性质与应用问题，属于中档题．
：根据指数函数的单调性与二次函数的最值，求得的最大值为
：根据对数函数的图象与性质，求得的取值范围是
：同一坐标系中，函数与的图象关于直线对称
：由对数运算性质即可判断．
【解答】
解：对于，函数的最小值为，
的最大值为，
故A错误；
对于，函数且在上是减函数，
，解得的取值范围是，故B正确；
对于，在同一坐标系中，函数与互为反函数，
两个函数的图象关于轴对称，故C正确；
对于，，
则，，故D正确．
故选BCD．
13. 【分析】
此题主要考查了扇形的弧长计算公式与扇形的面积计算公式，正确的代入数据并进行正确的计算，非常关键．
因为扇形的圆心角为，半径为，可直接根据扇形的弧长计算公式，和扇形的面积公式，代入求出即可．
【解答】
解：扇形的圆心角为，半径为，
扇形的弧长计算公式，
扇形的面积公式
故答案为：；．
14. 【分析】
本题主要考查了基本不等式求最值，以及恒成立问题，同时考查了转化的思想和运算求解的能力，属于中档题．
要使不等式在上恒成立，只需的最小值大于等于即可，然后利用基本不等式求出的最值，即可求出的取值范围，从而求出所求．
【解答】
解：由题在上恒成立，
可知只需的最小值大于等于即可．
，
当且仅当时等号成立，即，所以的最大值为．
故答案为．
15. 【分析】
本题考查了同角三角函数的基本关系式的应用，属于基础题．
利用同角三角函数的基本关系，把两边平方，可解得的值，进而可求的值，代入中求解即可．
【解答】
解：，
两边平方可得，
即，
，
又，则，，
则，
，
故答案为：．
16. 【分析】
本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用．
由题意，可得为钝角，利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得要求式子的值．
【解答】
解：已知为锐角，且，
为钝角，
则
，
故答案为：．
17. 本题主要考查了有理数指数幂的运算性质和对数的运算性质，是中档题．
利用有理数指数幂的运算性质求解．
利用对数的运算性质求解．
18. 本题考查了三角函数的化简求值，属于较易题目．
利用诱导公式化简，然后根据特殊角三角函数值求解；
根据同角三角函数关系以及诱导公式化简即可．
19. 本题考查集合的交集运算以及充分、必要条件的应用，属于中档题．
先解不等式，化简集合，，再根据交集的定义计算即可；
由题意，再对集合分类讨论，得到的不等式组，解得的取值范围．
20. 本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
Ⅰ利用诱导公式即可化简求解．
Ⅱ由Ⅰ利用诱导公式，同角三角函数基本关系式可求的值，进而根据诱导公式，同角三角函数基本关系式即可求解．
21. 本题考查指数不等式、对数不等式的解法，对数函数的最值，考查指数函数、对数函数的性质，属于中档题．
由为增函数，化不等式得到，再利用对数函数的性质解原不等式为，解不等式组即可解答；
，令，则 利用在定义域内递减，可求最小值即可解答．
22. 本题考查了待定系数法求函数解析式，函数模型选择与应用，属于中档题．
分别选两模型，利用待定系数法求出函数解析式；
分别计算两模型的误差，选出更好的函数模型，再进行计算．
