专练66 高考大题专练(六) 概率与统计的综合运用
1．[2022·全国甲卷(理)，19]甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
2．[2021·全国甲卷]甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
一级品 二级品 合计
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附：K2＝，
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
3．[2022·全国乙卷(理)，19]某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m2)和材积量(单位：m3)，得到如下数据：
样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和
根部横截面积xi 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6
材积量yi 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9
并计算得＝0.038，＝1.615 8，iyi＝0.247 4.
(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)；
(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186 m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．
附：相关系数r＝，≈1.377.
4．[2022·江西鹰潭高三模拟]某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量y(g)与尺寸x(mm)之间近似满足关系式y＝c·xb(b、c为大于0的常数).按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间(，)≈(0.302，0.388)内时为优等品．现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：
尺寸 x(mm) 38 48 58 68 78 88
质量y(g) 16.8 18.8 20.7 22.4 24 25.5
质量与尺寸的比 0.442 0.392 0.357 0.329 0.308 0.290
(1)现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记ξ为取到优等品的件数，试求随机变量ξ的期望；
(2)根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如表：
(ln xi·ln yi) (ln xi) (ln yi) (ln xi)2
75.3 24.6 18.3 101.4
①根据所给统计量，求y关于x的回归方程；
②已知优等品的收益z(单位：千元)与x、y的关系为z＝2y－0.32x，则当优等品的尺寸x为何值时，收益z的预报值最大？
附：对于样本(vi，ui)(i＝1，2，…，n)，其回归直线u＝b·v＋a的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
＝＝，
＝u－v，e≈2.718 2.
5．[2022·河南省六市联考]在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，质检人员从某日所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140)，[140，150]，得到如下频率分布直方图．
(1)规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩，现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，求抽取的口罩至少有一个一级口罩的概率；
(2)在2021年“双十一”期间，某网络购物平台推出该型号口罩订单“秒杀”抢购活动，甲、乙、丙三人分别在该平台参加一次抢购活动，假定甲、乙、丙抢购成功的概率分别为0.1，0.2，0.3，记三人抢购成功的总次数为X，求X的分布列及数学期望E(X).专练32 数列求和
命题范围：数列求和常用的方法．
[基础强化]
一、选择题
1．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为( )
A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1
C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n－2
2．等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝( )
A．n(n＋1) B．n(n－1)
C． D．
3．数列1，，，…，，…的前n项和为( )
A． B．
C． D．
4．数列的前2 018项的和为( )
A．＋1 B．－1
C．＋1 D．－1
5．已知数列{an}满足an＋1＋(－1)n＋1an＝2，则其前100项和为( )
A.250 B．200
C．150 D．100
6．已知数列{an}满足：an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，a1＝1，a2＝2，Sn为数列{an}的前n项和，则S2018＝( )
A．3 B．2
C．1 D．0
7．[2022·陕西省西安中学三模]数列{an}，{bn}满足anbn＝1，an＝n2＋5n＋6，n∈N*，则{bn}的前10项之和为( )
A． B．
C． D．
8．已知数列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝则数列{an}的前20项和为( )
A．1 121 B．1 122
C．1 123 D．1 124
9．[2022·江苏模拟]已知等差数列{an}的前9项和为18，函数f(x)＝(x－2)3＋1，则f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a9)＝( )
A．7 B．8
C．9 D．10
二、填空题
10．设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＋a3＋a11＝6，则S9＝________．
11．设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列的前10项的和为________．
12．在等差数列{an}中，已知a1＋a3＝0，a2＋a4＝－2，则数列的前10项和是________.
[能力提升]
13．已知数列{an}满足2an＝an＋1＋an－1(n≥2，n∈N)，且a1＝1，a5＝9，bn＝C·an，则数列{bn}的前100项的和为( )
A．100×299 B．100×2100
C．50×299 D．50×2101
14．[2022·安徽省示范高中联考] 已知数列{an}为等比数列，公比q≠1，a1＝3，3a1，2a2，a3成等差数列，将数列{an}中的项按一定顺序排列成a1，a1，a2，a1，a2，a3，a1，a2，a3，a4，…的形式，记此数列为{bn}，数列{bn}的前n项和为Sn，则S24的值是( )
A．1 629 B．1 641
C．1 668 D．1 749
15．[2022·安徽省滁州市质检]已知数列{an}满足：a1＝1，a2＝4，4an＋1－3an－an＋2＝0，设bn＝，n∈N*.则b1＋b2＋…＋b2 022＝________．
16．[2022·江西省赣州市一模]数列{an}满足an＋an＋1＝n2·sin (n∈N*)，若数列{an}前n项和为Sn，则S40＝________．专练21 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
命题范围：两角和与差的正弦、余弦、正切公式．
[基础强化]
一、选择题
1．sin 20°cos 10°－cos 160° sin 10°＝( )
A．－ B．
C．－ D．
2．已知tan α＝2，则tan (α－)＝( )
A． B．
C． D．－3
3．若sin α＝，则cos 2α＝( )
A． B．
C．－ D．－
4．cos 105°－cos 15°＝( )
A． B．－
C． D．－
5.＝( )
A． B．
C． D．1
6．[2022·包头模拟]已知cos α＋cos (α－)＝1，则cos (α－)等于( )
A． B．
C． D．
7．已知A＋B＝45°，则(1＋tan A)(1＋tan B)的值是( )
A．16 B．8
C．4 D．2
8．已知cos α＝，cos (α－β)＝，且0<β<α<，则β等于( )
A． B．
C． D．π
9．[2020·全国卷Ⅲ]已知2tan θ－tan (θ＋)＝7，则tan θ＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
二、填空题
10．[2022·陕西宝鸡中学模拟]sin (θ＋75°)＋cos (θ＋45°)－cos (θ＋15°)＝________．
11．已知cos (α－)＋sin α＝，则sin (α＋)＝________．
12．[2022·甘肃、青海、宁夏联考]若tan (α＋2β)＝2，tan β＝－3，则tan (α＋β)＝________，tan α＝________．
[能力提升]
13．[2022·福建漳州三模]英国化学家、物理学家享利·卡文迪许被称为第一个能测出地球质量的人，卡文迪许是从小孩玩的游戏(用一面镜子将太阳光反射到墙面上，我们只要轻轻晃动一下手中的镜子，墙上的光斑就会出现大幅度的移动，如图1)得到灵感，设计了卡文迪许扭秤实验来测量万有引力，由此计算出地球质量，他在扭秤两端分别固定一个质量相同的铅球，中间用一根韧性很好的钢丝系在支架上，钢丝上有个小镜子，用激光照射镜子，激光反射到一个很远的地方，标记下此时激光所在的点，然后用两个质量一样的铅球同时分别吸引扭秤上的两个铅球(如图2)，由于万有引力作用，扭秤微微偏转，但激光所反射的点却移动了较大的距离，他用此计算出了万有引力公式中的常数G，从而计算出了地球的质量．在该实验中，光源位于刻度尺上点P处，从P出发的光线经过镜面(点M处)反射后，反射光线照射在刻度尺的点Q处，镜面绕M点顺时针旋转α角后，反射光线照射在刻度尺的点Q′处，若△PMQ是正三角形．PQ＝a，QQ′＝b(如图3)，则下列等式中成立的是( )
A.tan α＝ B．tan α＝
C．tan 2α＝ D．tan 2α＝
14．已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β等于( )
A． B．或
C． D．2kπ＋(k∈Z)
15．[2022·西北工业大学月考]已知cos β－3sin α＝2，sin β＋3cos α＝，则sin (β－α)等于( )
A．－ B．
C．－ D．
16．[2022·河北五校联考]已知x，y∈(0，)，sin (x＋y)＝2sin (x－y)，则x－y的最大值为( )
A． B．
C． D．专练58 统计图表、用样本估计总体
命题范围：频率分布直方图、茎叶图、众数、中位数、平均数、方差、标准差．
[基础强化]
一、选择题
1．[2022·全国甲卷(理)，2]某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：
则( )
A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%
B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%
C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
2．[2022·河南省高三质量预测]在成都市“高三第一次诊断性”考试后，各班级都有外出学习艺体的同学回归校园学习文化课．假设某位回归校园的同学的“一诊”数学成绩刚好是班级平均分，则对该班级的数学成绩，下列说法正确的是( )
A．平均分变大，方差不变
B．平均分变小，方差不变
C．平均分不变，方差变大
D．平均分不变，方差变小
3．某学校从高三甲、乙两个班中各选6名同学参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的平均分为81，则x＋y的值为( )
甲 乙
9 7 5 0 x 1 7 8 9 8 y 1 1 0 2
A.6 B．7 C．8 D．9
4．[2022·安徽省高三质检]2021年，全国居民人均可支配收入和消费支出均较上一年有所增长，结合如下统计图表，下列说法中错误的是( )
A．2017～2021年全国居民人均可支配收入逐年递增
B．2021年全国居民人均消费支出构成中教育文化娱乐占比低于交通通信占比
C．2020年全国居民人均可支配收入较前一年下降
D．2021年全国居民人均消费支出构成中食品烟酒和居住占比超过50%
5．[2022·吉林省长春质量监测]某区创建全国文明城市，指挥部办公室对所辖街道当月文明城市创建工作进行考评．工作人员在本区选取了甲、乙两个街道，并在这两个街道各随机抽取10个地点进行现场测评，下表是两个街道的测评分数(满分100分)，则下列说法正确的是( )
甲 75 79 82 84 86 87 90 91 93 98
乙 73 81 81 83 87 88 95 96 97 99
A.甲、乙两个街道的测评分数的极差相等
B.甲、乙两个街道的测评分数的平均数相等
C.街道乙的测评分数的众数为87
D.甲、乙两个街道测评分数的中位数中，乙的中位数较大
6．[2022·陕西省西安中学二模]某大学生暑假到工厂参加劳动，生产了100件产品，质检人员测量其长度(单位：厘米)，将所得数据分成6组：[90，91)，[91，92)，[92，93)，[93，94)，[94，95)，[95，96]，得到如图所示的频率分布直方图，则对这100件产品，下列说法中不正确的是( )
A.b＝0.25
B.长度落在区间[93，94)内的个数为35
C.长度的中位数一定落在区间[93，94)内
D.长度的众数一定落在区间[93，94)内
二、填空题
7．某电子商务公司对10 000名网络购物者2021年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．
(1)直方图中的a＝________；
(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为________．
8．已知甲，乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m，n的比值＝________．
甲组 乙组
7 9 m 2 3 n 2 4 8
[能力提升]
9．[2022·湖北九师联盟模拟]某企业2021年12个月的收入与支出数据的折线图如图，
已知：利润＝收入－支出，根据该折线图，下列说法不正确的是( )
A．该企业2021年1月至6月的总利润低于2021年7月至12月的总利润
B．该企业2021年1月至6月的平均收入低于2021年7月至12月的平均收入
C．该企业2021年8月至12月的支出持续增长
D．该企业2021年11月份的月利润最大
10．[2020·全国卷Ⅲ]在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且i＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是( )
A．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4
B．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1
C．p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3
D．p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2
11．已知一组正数x1，x2，x3的方差s2＝(x＋x＋x－12)，则数据x1＋1，x2＋1，x3＋1的平均数为________．
12．已知样本容量为200，在样本的频率分布直方图中，共有n个小矩形，若中间一个小矩形的面积等于其余(n－1)个小矩形面积和的，则该组的频数为________．专练14 导数与函数的极值、最值
命题范围：函数的极值最值及导数的应用．
[基础强化]
一、选择题
1．函数f(x)＝x2－ln x的最小值为( )
A． B．1
C．0 D．不存在
2．函数f(x)＝x3－4x＋4的极大值为( )
A． B．6
C． D．7
3．[2021·全国乙卷]设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则( )
A.a＜b B．a＞b
C．ab＜a2 D．ab＞a2
4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)等于( )
A．11或18 B．11
C．18 D．17或18
5．已知函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是( )
A.(－1，2)
B．(－∞，－3)∪(6，＋∞)
C.(－3，6)
D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
6．[2022·全国甲卷(理)，6]当x＝1时，函数f(x)＝a ln x＋取得最大值－2，则f′(2)＝( )
A．－1 B．－
C． D．1
7．若ex≥k＋x在R上恒成立，则实数k的取值范围是( )
A．(－∞，1] B．[1，＋∞)
C．(－∞，－1] D．[－1，＋∞)
8．[2022·江西鹰潭二模]已知函数f(x)＝x3＋ax2＋2bx＋c的极大值点x1∈(0，1)，极小值点x2∈(1，2)，则的取值范围是( )
A．(－，0)∪(0，)
B．(－∞，－3)∪(2，＋∞)
C. (－3，2)
D．(－，)
9．[2022·陕西省西安中学二模] 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有两个极值点x1，x2，若f(x1)＝x1，则关于x的方程f2(x)＋af(x)＋b＝0的不同实根个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
二、填空题
10．[2022·天津河西二模]若函数f(x)＝x3＋ax2－x－9在x＝－1处取得极值，则f(2)＝________．
11．[2022·湖南常德一模]设函数f(x)＝x(x＋1)·(x－2m)的两个极值点为x1，x2，若f(x1)＋f(x2)＞0，则实数m的取值范围是________．
12．[2022·广东茂名二模]已知函数f(x)＝，若存在实数t使得函数y＝[f(x)]2－(t＋2)f(x)＋2t有7个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
[能力提升]
13．[2022·江西省临川第一中学模拟]已知f(x)＝x2－2ax，g(x)＝3a2ln x－b，其中a＞0.设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在该点的切线相同，则实数b的最小值为( )
A． B．3e
C．－6e2 D．－
14．[2022·江西省南昌市模拟]已知函数f(x)＝ln x－ax(x≥1)，若f(x1)＝f(x2)＝m(x1＜x2)，且x2－x1＝1，则实数a的最大值为( )
A.2 B．
C．ln 2 D．e
15．[2022·河南省六市三模] 若不等式|x－a|－2ln x≥0恒成立，则a的取值范围是________．
16．[2022·全国乙卷(理)，16] 已知x＝x1和x＝x2分别是函数f(x)＝2ax－ex2(a>0且a≠1)的极小值点和极大值点．若x1
命题范围：合情推理(归纳和类比)、演绎推理．
[基础强化]
一、选择题
1．下面几种推理是演绎推理的是( )
A．在数列{an}中，a1＝1，an＝(an－1＋)(n≥2)由此归纳数列{an}的通项公式
B．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质
C．两直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行直线与第三条直线形成的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°
D．某校高二共10个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人
2．用三段论推理：“任何实数的绝对值大于0，因为a是实数，所以a的绝对值大于0”，你认为这个推理( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．是正确的
3．[2022·全国乙卷(理)，4]嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：b1＝1＋，b2＝1＋，b3＝1＋，…，依此类推，其中αk∈N*(k＝1，2，…).则( )
A．b1C．b64．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )
A．28 B．76 C．123 D．199
5．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则＝，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P－ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则＝( )
A． B． C． D．
6．[2022·陕西省西安中学四模]第24届冬季奥林匹克运动会，于2022年2月4日～2月20日在北京和张家口联合举行．为了更好地安排志愿者工作，需要了解每个志愿者掌握的外语情况，已知志愿者小明只会德、法、日、英四门外语中的一门．甲说，小明不会法语，也不会日语；乙说，小明会英语或法语；丙说，小明会德语．已知三人中只有一人说对了，由此可推断小明掌握的外语是( )
A．德语 B．法语 C．日语 D．英语
7．完成下列表格，据此可猜想多面体各面内角和的总和的表达式是( )
多面体 顶点数V 面数F 棱数E 各面内角和的总和
三棱锥 4 6
四棱锥 5 5
五棱锥 6
(说明：上述表格内，顶点数V指多面体的顶点数)
A.2(V－2)π B．(F－2)π
C．(E－2)π D．(V＋F－4)π
8．[2022·东北三省第三次联考]下列说法错误的是( )
A．由函数y＝x＋x－1的性质猜想函数y＝x－x－1的性质是类比推理
B．由ln 1≤0，ln 2＜1，ln 3＜2…猜想ln n≤n－1(n∈N*)是归纳推理
C．由锐角x满足sin x＜x及0＜＜，推出sin ＜是合情推理
D．“因为cos (－x)＝cos x恒成立，所以函数y＝cos x是偶函数”是省略大前提的三段论
9．[2022·黑龙江省第三次质检]以下四个命题中是假命题的是( )
A．“昆虫都是6条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有6条腿”此推理属于演绎推理
B．“在平面中，对于三条不同的直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c，将此结论放到空间中也成立”此推理属于合情推理
C．若命题“ p”与命题“p∨q”都是真命题，那么命题q一定是真命题
D．若x∈(0，]，则sin x＋的最小值为2
二、填空题
10．刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下：
甲说：“我们四人都没考好．”
乙说：“我们四人中有人考得好．”
丙说：“乙和丁至少有一人没考好．”
丁说：“我没考好．”
结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中的________两人说对了．
11．如图所示，将正整数排成三角形数阵，每阵的数称为一个群，从上到下顺次为第1群，第2群，……，第n群，……，第n群恰好有n个数，则第n群中n个数的和是________．
1
2 3
4 6 5
8 12 10 7
16 24 20 14 9
32 48 40 28 18 11
……
12．[2022·江西赣州二模]“n×n蛇形数阵”是指将从1开始到n2(n∈N*)的若干个连续的自然数按顺序顺时针排列在正方形数阵中，如图分别是3×3与4×4的蛇形数阵，在一个11×11的蛇形数阵，则该数阵的第6行第5列的数为________．
[能力提升]
13．[2022·安徽芜湖一中三模]一道单选题，现有甲、乙、丙、丁四位学生分别选择了A，B，C，D选项．他们的自述如下，甲：“我没选对”；乙：“甲选对了”；丙：“我没选对”；丁：“乙选对了”．其中有且仅有一位同学说了真话，则选对正确答案的同学是________.
14．[2022·重庆南开中学模拟]给定正整数n(n≥5)，按照如下规律构成三角形数表：第一行从左到右依次为1，2，3，…，n，从第二行开始，每项都是它正上方和右上方两数之和，依次类推，直到第n行只有一项，记第i行第j项为aij，如图所示．现给定n＝2 022，若ai4>2 022，则i的最小值为________．
15．[2022·安徽淮南二模]像，，等这样分子为1的分数在算术上称为“单位分数”，数学史上常称为“埃及分数”.1202年意大利数学家斐波那契在他的著作《算盘术》中提到，任何真分数均可表示为有限个埃及分数之和，如＝＋＋.该结论直到1880年才被英国数学家薛尔维斯特严格证明，实际上，任何真分数(a＜b，a∈N*，b∈N*)总可表示成＝＋ ①，这里x＝，即不超过的最大整数，反复利用①式即可将化为若干个“埃及分数”之和．请利用上面的方法将表示成3个互不相等的“埃及分数”之和，则＝________．
16．[2022·河南开封三模]在第24届北京冬奥会开幕式上，一朵朵六角雪花飘拂在国家体育场上空，畅想着“一起向未来”的美好愿景．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．若第1个图中的三角形的周长为1，则第4个图形的周长为________．专练13 导数与函数的单调性
命题范围：利用导数研究函数的单调性．
[基础强化]
一、选择题
1．函数f(x)＝3＋x ln x的单调递减区间是( )
A．(，e) B．(0，)
C．(－∞，) D．(，＋∞)
2．已知函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图像如图所示，则下面判断正确的是( )
A．在区间(－2，1)上f(x)是增函数
B．在(1，3)上f(x)是减函数
C．在(4，5)上f(x)是增函数
D．当x＝4时，f(x)取极大值
3．若函数f(x)的导函数f′(x)＝x2－4x＋3，则使得函数f(x－1)单调递减的一个充分不必要条件是x∈( )
A．[0，1] B．[3，5]
C．[2，3] D．[2，4]
4．[2022·安徽省高三月考]设a＝π－3，b＝sin 6，c＝sin 3，则a，b，c的大小关系是( )
A．b>a>c B．c>a>b
C．a>c>b D．a>b>c
5．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是( )
A．[－，]
B．(－，)
C．(－∞，－)∪(，＋∞)
D．(－∞，－)
6．已知函数f(x)＝x2－a ln x在(1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，1]
C．(－∞，2) D．(－∞，2]
7．若f(x)＝，0A．f(a)>f(b) B．f(a)＝f(b)
C．f(a)1
8．已知函数y＝f(x)满足f′(x)＝x2－3x－4，则y＝f(x＋3)的单调减区间为( )
A．(－4，1) B．(－1，4)
C．(－∞，－) D．(－∞，)
9．设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(0，1)
B．(－1，0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1，0)
D．(0，1)∪(1，＋∞)
二、填空题
10．[2022·江苏盐城三模]已知f′(x)为f(x)的导函数，且满足f(0)＝1，对任意的实数x总有2f′(x)－f(x)>2，则不等式f(x)＋2≥3e的解集为________．
11．已知定义在[－π，π]上的函数f(x)＝x sin x＋cos x，则f(x)的单调递增区间是________．
12．[2022·陕西渭南二模(理)]已知定义在R上的函数f(x)，满足以下条件：①当x∈(0，1)时，f′(x)>0，当x∈(1，2)时，f′(x)<0；②f(2－x)＝f(x)；③f(x)的图像关于原点对称．请写出函数f(x)的一个解析式为f(x)＝________．
[能力提升]
13．[2022·江西省九校联考]已知函数y＝f(x－1)的图像关于直线x＝1对称，且当x∈(－∞，0)，f(x)＋xf′(x)<0成立，若a＝21.5f(21.5)，b＝(ln 3)f(ln 3)，c＝(log)f(log)，则( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．b>c>a
14．[2022·东北三省三校高三二模]已知实数a，b，c满足a<2，a ln a－2ln 2＝a－2，b<.b ln b－ln ＝b－，c>，c ln c－ln ＝c－，则( )
A．cC．a15．[2022·安徽省滁州市高三质量检测]已知函数f(x)＝，关于x的不等式1－>0的解集中有且只有一个整数，则实数a的范围是( )
A．[，ln 2) B．[，)
C．[，ln 2) D．[，)
16．[2022·江西省赣州市期末]已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，都有不等式f(x)－xf′(x)＞0成立，若a＝4f(4－)，b＝f()，c＝log9f(log)，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．b＞a＞c D．a＞b＞c专练27 平面向量的数量积及其应用
命题范围：平面向量的数量积及其几何意义、平面向量数量积的应用．
[基础强化]
一、选择题
1．已知两个单位向量e1，e2的夹角为60°，向量m＝5e1－2e2，则|m|＝( )
A． B．
C．2 D．7
2．已知向量a＝(2，3)，b＝(x，1)，且a⊥b，则实数x的值为( )
A． B．－
C． D．－
3．已知＝(2，3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝( )
A．－3 B．－2
C．2 D．3
4．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( )
A．4 B．3
C．2 D．0
5．[2022·江西省九江市模拟]已知单位向量a、b满足|a－2b|＝，则a·b＝( )
A．1 B．－1
C． D．－
6．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos 〈m，n〉＝，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为( )
A．4 B．－4
C． D．－
7．已知x>0，y>0，a＝(x，1)，b＝(1，y－1)，若a⊥b，则＋的最小值为( )
A．4 B．9
D．8 D．10
8．已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A． B．
C． D．
9．[2022·江西省南昌市第十中学月考]已知△OAB，OA＝1，OB＝2，·＝－1，过点O作OD垂直AB于点D，点E满足＝，则·的值为( )
A．－ B．－
C．－ D．－
二、填空题
10．[2022·安徽省江南十校一模]已知向量a＝(t，2)，b＝(－t，1)，满足|a－b|＝|a＋b|，则t＝________.
11．[2022·全国甲卷(理)，13] 设向量a，b的夹角的余弦值为，且＝1，＝3，则·b＝________．
12．已知向量b为单位向量，向量a＝(1，1)，且|a－b|＝，则向量a，b的夹角为________．
[能力提升]
13．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是( )
A.|b|＝1 B．a⊥b
C．a·b＝1 D．(4a＋b)⊥
14．[2022·陕西省西安中学模拟]在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝2，点M，N是线段AC上的动点，且|MN|＝2，则·的最小值为( )
A．12 B．8
C．6 D．6
15．已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cos α＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cos β＝________．
16．[2022·江西省景德镇市质检]已知e1，e2是两个单位向量，设a＝λe1＋μe2，且满足λ＋μ＝4，若|e1－e2|＝|e2－a|＝|a－e1|，则|a|＝________．专练42 直线、平面平行的判定与性质
命题范围：直线、平面平行的定义，判定定理与性质定理及其简单应用．
[基础强化]
一、选择题
1．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的( )
A．一条直线不相交
B．两条直线不相交
C．无数条直线不相交
D．任意一条直线都不相交
2．[2022·宁波模拟]下列命题中正确的是( )
A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面
B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行
C．平行于同一条直线的两个平面平行
D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a α，b α，则b∥α
3．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m α，则“m∥β”是“α∥β”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列判断正确的是( )
A．平面BEM∥平面ACN
B．AF∥CN
C．BM∥平面EFD
D．BE与AN相交
5．在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则( )
A．BD∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形
B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形
C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形
D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形
6．[2022·杭州模拟]已知P为△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，且α交线段PA，PB，PC于点A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于( )
A．2∶3 B．2∶5
C．4∶9 D．4∶25
7．过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有( )
A．4条 B．6条 C．8条 D．12条
8．已知平面α∥平面β，P是α、β外一点，过点P的直线m与α、β分别交于点A、C，过点P的直线n与α、β分别交于点B、D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为( )
A．16 B．24或 C．14 D．20
9．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( )
二、填空题
10．[2021·福建泉州高三测试]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为________．
11．[2021·湖南高三测试]
如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．
12．如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)
[能力提升]
13．若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥中与平面α平行的棱有( )
A．0条 B．1条
C．2条 D．1条或2条
14．[2022·陕西省西安中学三模]如图，已知四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面为平行四边形，E，F，G分别为棱AA1，CC1，C1D1的中点，则下列各选项正确的是( )
A．直线BC1与平面EFG平行，直线BD1与平面EFG相交
B．直线BC1与平面EFG相交，直线BD1与平面EFG平行
C．直线BC1、BD1都与平面EFG平行
D．直线BC1、BD1都与平面EFG相交
15．[2022·福州检测]如图所示，正方体ABCD A1B1C1D1中，点E，F，G，P，Q分别为棱AB，C1D1，D1A1，D1D，C1C的中点，则下列叙述中正确的是( )
A．直线BQ∥平面EFG
B．直线A1B∥平面EFG
C．平面APC∥平面EFG
D．平面A1BQ∥平面EFG
16．[2022·合肥市第一中学模拟]正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，点M，N分别是棱BC，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1(包括边界)内运动，且PA1∥平面AMN，则PA1的长度范围为( )
A． B．
C． D．专练29 数列的概念与简单表示法
命题范围：数列的概念、数列的通项公式、数列的单调性、递推数列．
[基础强化]
一、选择题
1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( )
A．－1，－2，－3，－4，…
B．－1，－，－，－，…
C．－1，－2，－4，－8，…
D．1，，，，…，
2．已知an＝，那么数列{an}是( )
A．递减数列 B．递增数列
C．常数列 D．摆动数列
3．在数列1，2，，，，…中，2是这个数列的第( )
A．16项 B．24项
C．26项 D．28项
4．[2022·安徽省蚌埠市质检]已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝则a6＝( )
A．16 B．25
C．28 D．33
5．已知数列{an}，an＝－2n2＋λn.若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是( )
A．(－∞，6) B．(－∞，4]
C．(－∞，5) D．(－∞，3]
6．[2022·潍坊一模]已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足Sn＝n2＋4n＋1，则a1＋a3＋a5＝( )
A．27 B．28
C．29 D．30
7．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，an＋1＝Sn＋1，(n∈N*)，则S5＝( )
A．31 B．42
C．37 D．47
8．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln (1＋)，则an＝( )
A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n
C．2＋n ln n D．1＋n＋ln n
9．已知数列{an}满足an＝若对任意的n∈N*都有an＜an＋1成立，则实数a的取值范围为( )
A．(1，4) B．(2，5)
C．(1，6) D．(4，6)
二、填空题
10．设an＝(－1)n－1·n2，则a1＋a2＋a3＋…＋a51＝________．
11．设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝________．
12．数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1，则其通项公式为________．
[能力提升]
13．[2022·广东汕头三模]已知数列{an}中，a1＝－，当n>1时，an＝1－，则a2022＝( )
A．－ B．
C．5 D．－
14．[2022·山东济南二模]已知数列，，，，，，，，，，…，其中每一项的分子和分母均为正整数．第一项是分子与分母之和为2的有理数；接下来两项是分子与分母之和为3的有理数，并且从大到小排列；再接下来的三项是分子与分母之和为4的有理数，并且从大到小排列，依次类推．此数列第n项记为an，则满足an＝5且n≥20的n的最小值为( )
A．47 B．48
C．57 D．58
15．[2022·湖南衡阳二模]意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即F(1)＝F(2)＝1，F(n)＝F(n－1)＋F(n－2)(n≥3，n∈N*)，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用．若此数列的各项除以3的余数构成一个新数列{an}，则数列{an}的前2 022项的和为________．
16．[2022·北京质检]已知数列{an}满足21·a1＋22·a2＋23·a3＋…＋2n·an＝(n－1)·2n＋1＋2(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________．专练4 函数及其表示
命题范围：函数的概念及其表示、映射、函数的对应法则、函数的定义域、值域．
[基础强化]
一、选择题
1．已知集合A到集合B的映射f：(x，y)→(x＋2y，2x－y)，在映射f下对应集合B中元素(3，1)的A中元素为( )
A．(1，3) B．(1，1)
C．(3，1) D．(5，5)
2．下列各组函数中，表示同一函数的是( )
A．f(x)＝|x|，g(x)＝
B．f(x)＝，g(x)＝()2
C．f(x)＝，g(x)＝x＋1
D．f(x)＝·，g(x)＝
3．已知函数f(＋1)＝x＋1，则函数f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝x2
B．f(x)＝x2＋1(x≥1)
C．f(x)＝x2－2x＋2(x≥1)
D．f(x)＝x2－2x(x≥1)
4．[2022·濮阳模拟]函数y＝＋的定义域为( )
A．[－2，3]
B．[－2，1)∪(1，3]
C．(－∞，－2]∪[3，＋∞)
D．(－2，1)∪(1，3)
5．若函数y＝f(x)的定义域为[1，2 019]，则函数g(x)＝的定义域为( )
A．[0，2 018] B．[0，1)∪(1，2 018]
C．(1，2 018] D.[－1，1)∪(1，2 018]
6．[2022·江西省高三一模]设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x取值范围是( )
A．[－1，2] B．[0，2]
C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)
7．如图所表示的函数解析式为( )
A．y＝|x－1|，0≤x≤2
B．y＝－|x－1|，0≤x≤2
C.y＝－|x－1|，0≤x≤2
D．y＝1－|x－1|，0≤x≤2
8．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于( )
A．－4 B．－1
C．1 D．4
9．已知函数f(x)＝－x2＋4x，x∈[m，5]的值域是[－5，4]，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－1，2]
C．[－1，2] D．[2，5]
二、填空题
10．[2022·吉林省质量监测]已知f(x)＝，则f(3)的值为________．
11．已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，则f(6－a)＝________.
12．若函数y＝的定义域为R，则实数a的取值范围是________．
[能力提升]
13．[2022·吉林省高三质量监测] 已知函数f(x)满足f(x＋2)＝2f(x)，当x∈[0，2)时，f(x)＝x，那么f(21)＝( )
A．210 B．211
C．220 D．221
14．[2022·江西省一模]已知f(x)＝
若f(a－3)＝f(a＋2)，则f(a)＝( )
A.2 B．
C．1 D．0
15．设函数f(x)＝若f(f(a))＝－，则实数a＝________．
16．函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，f(x)＝ 则f(f(15))的值为________．专练45 空间向量的应用
命题范围：利用向量解决角和距离问题．
[基础强化]
一、选择题
1．若两不重合直线l1和l2的方向向量分别为V1＝(1，0，－1)，V2＝(－3，0，3)，则l1和l2的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．垂直 D．不确定
2．若a＝(2，－2，－2)，b＝(2，0，4)，则a与b的夹角的余弦值为( )
A． B．
C．－ D．0
3．若直线l的一个方向向量a＝(2，2，－2)，平面α的一个法向量b＝(1，1，－1)，则( )
A．l⊥α B．l∥α
C．l α D．A，C都有可能
4．在空间直角坐标系中，已知A(1，－2，1)，B(2，2，2)，点P在z轴上，且满足||＝||，则P点坐标为( )
A．(3，0，0) B．(0，3，0)
C．(0，0，3) D．(0，0，－3)
5．若平面α，β的法向量分别为m＝(2，－3，5)，n＝(－3，1，－4)，则( )
A．α∥β B．α⊥β
C．α，β相交，但不垂直 D．以上均不正确
6.
如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC＝( )
A．6 B．6
C．12 D．144
7.
如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与AB1夹角的余弦值为( )
A． B． C． D．
8．[2022·宁夏石嘴山三模]在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB＝BC＝CD，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为( )
A． B． C． D．
9．[2022·浙江温州二模]如图，在四面体ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，过EF的平面α分别交棱DA、BC于G、H(不同于A、B、C、D)，P、Q分别是棱BC、CD上的动点，则下列命题错误的是( )
A．存在平面α和点P，使得AP∥平面α
B．存在平面α和点Q，使得AQ∥平面 α
C．对任意的平面α，线段EF平分线段GH
D．对任意的平面α，线段GH平分线段EF
二、填空题
10．已知四边形ABCD为平行四边形，且A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C(3，7，－5)，则顶点D的坐标为________．
11．已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)，则以，为邻边的平行四边形的面积为________．
12．设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则D1点到平面A1BD的距离为________．
[能力提升]
13．[2022·湖北鄂南模拟预测]已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2.以D为坐标原点，以DA为x轴正半轴，DC为y轴正半轴，DD1为z轴正半轴建立空间直角坐标系，动点M(a，b，0)满足直线MD1与AA1所成夹角为，ab的最大值为( )
A． B． C．1 D．2
14．[2022·浙江嘉兴模拟预测]如图，在矩形ABCD中，AB＝BC，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，将△EBF，△GDH分别沿直线EF，HG翻折形成四棱锥B′ AEFC，D′ ACGH，下列说法正确的是( )
A.异面直线EB′，GD′所成角的取值范围是(0，]
B．异面直线EB′，GD′所成角的取值范围是(0，]
C．异面直线FB′，HD′所成角的取值范围是(0，]
D．异面直线FB′，HD′所成角的取值范围是(0，]
15．若平面α的一个法向量n＝(2，1，1)，直线l的一个方向向量为a＝(1，2，3)，则α与l所成角的正弦值为________．
16.
如图所示，四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC＝45°，BC＝2，AB＝2，SA＝SB＝.求直线SD与平面SAB所成角的正弦值为________.专练60 排列与组合
命题范围：分类加法计数原理与分步乘法计数原理、排列与组合．
[基础强化]
一、选择题
1．[2022·新高考Ⅱ卷，5]有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有( )
A．12种 B．24种
C．36种 D．48种
2．[2022·广东省深圳月考]为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奧会，某学校决定派小明和小李等共5名志愿者将两个吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装．若小明和小李必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为( )
A．8 B．10 C．12 D．14
3．[2022·广东省九师联盟4月联考]《长津湖》和《我和我的父辈》都是2021年国庆档的热门电影．某电影院的某放映厅在国庆节的白天可以放映6场，晚上可以放映4场电影．这两部影片只各放映一次，且两部电影不能连续放映(白天最后一场和晚上第一场视为不连续)，也不能都在白天放映，则放映这两部电影不同的安排方式共有( )
A．30种 B．54种 C．60种 D．64种
4．[2022·河北省高三联考]共有10级台阶，某人一步可跨一级台阶，也可跨两级台阶或三级台阶，则他恰好6步上完台阶的方法种数是( )
A．30 B．90 C．75 D．60
5．[2022·河北省石家庄一模]小小的火柴棒可以拼成几何图形，也可以拼成数字．如图所示，我们可以用火柴棒拼出1至9这9个数字比如：“1”需要2根火柴棒，“7”需要3根火柴棒．若用8根火柴棒以适当的方式全部放入表格中(没有放入火柴棒的空位表示数字“0”)，那么最多可以表示无重复数字的三位数的个数为( )
A．8 B．12 C．16 D．20
6．[2022·河南省五市联考]如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成(实线表示马路)，CD段马路由于正在维修，暂时不通，则从A到B的最短路径有( )
A．33种 B．23种 C．20种 D．13种
7．[2022·洛阳市高三统一考试]“迎冬奥，跨新年，向未来”，中国国家滑雪队将开展自由式滑雪项目中的空中技巧、雪上技巧、障碍追逐和U型场地技巧四个项目表演，现安排两名男队员和两名女队员组队参演，参演选手每人展示其中一个不同的项目，雪上技巧项目必须由女队员展示，则所有不同出场顺序与项目展示方案种数为( )
A．576 B．288 C．144 D．48
8．[2022·安徽省十校联考]志愿服务是办好2022年北京冬奥会的重要基础和保障，现有一冬奥服务站点需要连续六天有志愿者参加志愿服务，每天只需要一名志愿者，现有6名志愿者计划依次安排到该服务站点参加服务，要求志愿者甲不安排第一天，志愿者乙和丙不在相邻两天参加服务，则不同的安排方案共有( )
A．240种 B．408种 C．1 092种 D．1 120种
9．[2022·广西高三联考]某校安排甲、乙、丙三位老师担任五月一日至五月五日的值班工作，每天1人值班，每人不能连续两天值班，且每人都参与值班，则不同的安排方法共有( )
A．14种 B．16种 C．42种 D．48种
二、填空题
10．[2022·江苏省海安高级中学二模]某社区将招募的5名志愿者分成两组，要求每组至少两人，分别担任白天和夜间的网格员，则不同的分配方法种数为________．
11．[2022·重庆市高三质检]2022年3月以来，重庆出现新一轮由奥密克戎变异毒株引发的新冠疫情，有3个区域被判定为中风险地区，均在高新区．为了尽快控制疫情，重庆市政府决定派5名专员对这三个中风险地区的疫情防控工作进行指导．若每个中风险地区至少派一名专员且5人要派完，专员甲、乙需到同一中风险地区指导，则不同的专员分配方案总数为________．
12．[2022·江西省上饶六校联考]若从1，2，3，…，9这9个整数中取出4个不同的数排成一排，依次记为a，b，c，d，则使得a×b×c＋d为奇数的不同排列方法有________．
[能力提升]
13．[2022·郑州市第二次质检]某学校文艺汇演准备从舞蹈、小品、相声、音乐、魔术、朗诵6个节目中选取5个进行演出．要求舞蹈和小品必须同时参加，且他们的演出顺序必须满足舞蹈在前、小品在后．那么不同的演出顺序种数有( )
A．240种 B．480种
C．540种 D．720种
14．[2022·江西省上饶六校联考]新冠疫情期间，某市卫健委将6名调研员安排到本市4家核酸检测定点医院进行调研，要求每家医院至少安排1人，至多安排2人，则不同的安排方法有( )
A．4 320种 B．2 160种
C．1 080种 D．540种
15．[2022·江西省鹰潭模拟]2021年12月，南昌最美地铁4号线开通运营，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去观洲、人民公园、新洪城大市场三个地方游览，每人只能去一个地方，人民公园一定要有人去，则不同游览方案的种数为________．
16．[2022·陕西省渭南二模]2021年秋季，教育部明确要求在全国中小学全面推行课后延时服务，实行“5＋2”服务模式．某校开设了篮球、围棋和剪纸三门课后延时服务课程，某班的4个同学每人选择了其中的一门课程，若每门课程都有人选，则不同的选课方案种数为________．(用数字作答)专练24 高考大题专练(二) 三角函数与解三角形的综合运用
1．[2022·全国乙卷(理)，17]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C sin (A－B)＝sin B sin (C－A).
(1)证明：2a2＝b2＋c2；
(2)若a＝5，cos A＝，求△ABC的周长．
2．[2022·新高考Ⅱ卷，18] 记△ABC的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3，已知S1－S2＋S3＝，sin B＝.
(1)求△ABC的面积；
(2)若sin A sin C＝，求b.
3．[2022·新高考Ⅰ卷，18]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝.
(1)若C＝，求B；
(2)求的最小值．
4．[2020·全国卷Ⅱ]△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinB sin C.
(1)求A；
(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值．
5．[2022·江西省南昌市模拟]如图，锐角△OAB中，OA＝OB，延长BA到C，使得AC＝3，∠AOC＝，sin ∠OAC＝.
(1)求OC；
(2)求sin ∠BOC.
6．[2022·江西省重点中学盟校联考]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，从条件①：b sin ＝a sin B，条件②：b＝a cos C＋c，条件③：b tan A＝(2c－b)tan B这三个条件中选择一个作为已知条件．
(1)求角A；
(2)若·＝3，求a的最小值．专练59 变量的相关关系、统计案例
命题范围：散点图、变量的相关关系、回归直线方程、独立性检验及其应用．
[基础强化]
一、选择题
1．对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1，2，…，10)，得散点图(1)；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1，2，…，10)，得散点图(2).由这两个散点图可以判断( )
A.变量x与y线性相关，u与v非线性相关
B．变量x与y线性相关，u与v不相关
C．变量x与y线性相关，u与v线性相关
D．变量x与y不相关，u与v不相关
2．[2022·江西省南昌模拟]根据分类变量x与y的观察数据，计算得到K2＝2.974，依据下表给出的K2独立性检验中的小概率值和相应的临界值，作出下列判断，正确的是( )
P(K2≥k) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A. 有95%的把握认为变量x与y独立
B．有95%的把握认为变量x与y不独立
C．变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过10%
D．变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过10%
3．[2022·宝鸡模拟]蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x(每分钟鸣叫的次数)与气温y(单位：℃)存在着较强的线性相关关系．某地观测人员根据如表的观测数据，建立了y关于x的线性回归方程＝0.25x＋k，则下列说法不正确的是( )
x(次数/分钟) 20 30 40 50 60
y(℃) 25 27.5 29 32.5 36
A. k的值是20
B．变量x，y呈正相关关系
C．若x的值增加1，则y的值约增加0.25
D．当蟋蟀52次/分鸣叫时，该地当时的气温预测值为33.5 ℃
4．某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如下表：
使用智能手机 不使用智能手机 总计
学习成绩优秀 4 8 12
学习成绩不优秀 16 2 18
总计 20 10 30
附表：
P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
经计算K2的观测值k＝10，则下列选项正确的是( )
A．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响
B．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响
C．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响
D．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响
5．下表是一位母亲给儿子作的成长记录：
年龄/周岁 3 4 5 6 7 8 9
身高/cm 94.8 104.2 108.7 117.8 124.3 130.8 139.1
根据以上样本数据，她建立的身高y(cm)与年龄x(周岁)的线性回归方程为＝7.19x＋73.96，给出下列结论：
①y与x具有正的线性相关关系；
②回归直线过样本点的中心(42，117.1)；
③儿子10岁时的身高是145.86 cm；
④儿子年龄增加1周岁，身高约增加7.19 cm.
其中，正确结论的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
6．下列表格所示的五个散点，原本数据完整，且利用最小二乘法求得这五个散点的线性回归直线方程为＝0.8x－155，后因某未知原因使第5组数据的y值模糊不清，此位置数据记为m(如下表所示)，则利用回归方程可求得实数m的值为( )
x 196 197 200 203 204
y 1 3 6 7 m
A.8.3 B．8.2 C．8.1 D．8
二、填空题
7．如图是一组数据(x，y)的散点图，经最小二乘法估计公式计算，y与x之间的线性回归方程为＝x＋1，则＝________．
8．为了检验某套眼保健操预防学生近视的作用，把500名做该套眼保健操的学生与另外500名未做该套眼保健操的学生的视力情况作记录并比较，提出假设H0：“这套眼保健操不能起到预防近视的作用”，利用2×2列联表计算所得的K2≈3.918.经查对临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05.对此，四名同学得出了以下结论：
①有95%的把握认为“这套眼保健操能起到预防近视的作用”；②若某人未做该套眼保健操，那么他有95%的可能近视；③这套眼保健操预防近视的有效率为95%；④这套眼保健操预防近视的有效率为5%.
其中所有正确结论的序号是________．
9．为了解适龄公务员对放开生育三胎政策的态度，某部门随机调查了200位30～40岁之间的公务员，得到的情况如下表：
男公务员 女公务员
生三胎 80 40
不生三胎 40 40
则________(填“有”或“没有”)99%以上的把握认为“生三胎与性别有关”．
附：K2＝
P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
[能力提升]
10．[2020·全国卷Ⅰ]某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi，yi)(i＝1，2，…，20)得到下面的散点图：
由此散点图，在10 ℃至40 ℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是( )
A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx2
C．y＝a＋bex D．y＝a＋b ln x
11．[2022·青岛模拟]某驾驶员培训学校为对比了解“科目二”的培训过程采用大密度集中培训与周末分散培训两种方式的效果，调查了105名学员，统计结果为：接受大密度集中培训的55个学员中有45名学员一次考试通过，接受周末分散培训的学员一次考试通过的有30个．根据统计结果，认为“能否一次考试通过与是否集中培训有关”犯错误的概率不超过________．
附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d；
P(K2≥k0) 0.05 0.025 0.010 0.001
k0 3.841 5.024 6.635 10.828
12.某电子产品的成本价格由两部分组成，一是固定成本，二是可变成本，为确定该产品的成本，进行5次试验，收集到的数据如表：
产品数x个 10 20 30 40 50
产品总成本(元) 62 a 75 81 89
由最小二乘法得到回归方程＝0.67x＋54.9，则a＝________.专练53 抛物线
命题范围：抛物线的定义、标准方程与简单的几何性质．
[基础强化]
一、选择题
1．抛物线y＝x2的焦点到其准线的距离为( )
A．1 B．2
C． D．
2．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点(－1，1)，则该抛物线的焦点坐标为( )
A．(－1，0) B．(1，0)
C．(0，－1) D．(0，1)
3．动点M到点F(2，1)的距离和到直线l：3x＋4y－10＝0的距离相等，则动点M的轨迹为( )
A．抛物线 B．直线
C．线段 D．射线
4．[2022·江西省赣州摸底]已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，以F为圆心，半径为的圆与l交于A，B两点，则|AB|＝( )
A． B．2
C．2 D．4
5．[2022·全国乙卷(理)，5]设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3，0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝( )
A．2 B．2
C．3 D．3
6．若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝( )
A．2 B．3
C．4 D．8
7．如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则抛物线的方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝4x
C．y2＝2x D．y2＝x
8．设坐标原点为O，抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A，B两点，则·等于( )
A． B．－
C．3 D．－3
9．[2022·江西省景德镇质检]过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，且|AB|＝.若＝t(其中t＞1)，则t的值为( )
A． B．
C．2 D．3
二、填空题
10．[2022·河南省六市联考]抛物线y＝ax2经过点M(2，1)，则M到焦点F的距离为________．
11．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|PQ|＝________.
12．已知直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为________．
[能力提升]
13．[2022·成都石室中学“二诊模拟”]设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2x上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为( )
A．1 B．
C． D．
14．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点M(3，1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则△ABM的周长为( )
A．＋ B．9＋
C．9＋ D．＋
15．[2022·江西省赣州期末]抛物线E：y2＝4x的焦点为F，点A，B，C在E上，O是坐标原点，若点F为△ABC的重心，△OFA，△OFB，△OFC的面积分别为S1，S2，S3.则S＋S＋S＝________．
16．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为60°的直线，与抛物线分别交于A，B两点(点A在x轴上方)，则＝________.专练19 三角函数的图像与性质
命题范围：三角函数的图像、性质．
[基础强化]
一、选择题
1．[2022·安徽省蚌埠市质检] 已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)的图像如图所示，则ω的值为( )
A．2 B．1
C． D．
2．[2021·全国乙卷]函数f(x)＝sin ＋cos 最小正周期和最大值分别是( )
A．3π和 B．3π和2
C．6π和 D．6π和2
3．已知函数f(x)＝2a cos (2x－)(a≠0)的定义域为，最小值为－2，则a的值为( )
A．1 B．－1
C．－1或2 D．1或2
4．下列函数中最小正周期为π且图像关于直线x＝对称的是( )
A．y＝2sin (2x＋)
B．y＝2sin (2x－)
C．y＝2sin (＋)
D．y＝2sin (－)
5．[2020·全国卷Ⅰ]设函数f(x)＝cos (ωx＋)在[－π，π]的图像大致如图，则f(x)的最小正周期为( )
A. B．
C． D．
6．函数f(x)＝的最小正周期为( )
A． B．
C．π D．2π
7．已知函数f(x)＝sinx＋a cos x(a∈R)满足f(0)＝f()，则函数g(x)＝(－1)sin x＋f(x)的图像的一条对称轴方程是( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝－ D．x＝－
8．[2022·贵州省普通高等学校招生测试]2022年春节期间，G市某天从8～16时的温度变化曲线(如图)近似满足函数f(x)＝2cos (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π，x∈[8，16])的图像．下列说法正确的是( )
A．8～13时这段时间温度逐渐升高
B．8～16时最大温差不超过5 ℃
C．8～16时0 ℃以下的时长恰为3小时
D．16时温度为－2 ℃
9．下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是( )
A．f(x)＝|cos 2x| B．f(x)＝|sin 2x|
C．f(x)＝cos |x| D．f(x)＝sin |x|
二、填空题
10．函数f(x)＝2cos x＋sin x的最大值为________．
11．设函数f(x)＝cos (ωx－)(ω>0)，若f(x)≤f()对于任意的实数x都成立，则ω的最小值为________.
12．[2021·全国甲卷]已知函数f(x)＝2cos (ωx＋φ)的部分图像如图所示，则满足条件(f(x)－f(－))(f(x)－f())>0的最小正整数x为________．
[能力提升]
13．[2022·山西省高三模拟]已知函数f(x)＝sin (ωx＋)(ω>0)在[0，π]上恰有3个零点，则ω的取值范围是( )
A．[，) B．[，]
C．[，] D．[，)
14．[2022·江西省赣州市一模]已知函数f(x)＝sin (ωx－)(ω>0)在区间(0，π)上有且仅有2个不同的零点，给出下列三个结论：
①f(x)在区间[0，π]上有且仅有2条对称轴；
②f(x)在区间(0，)上单调递增；
③ω的取值范围是(，].
其中正确的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
15．[2022·广西桂林模拟]设函数y＝sin 在[t，t＋1]上的最大值为M(t)，最小值为N(t)，则M(t)－N(t)在≤t≤上最大值为________．
16．[2022·全国乙卷(理)，15] 记函数f(x)＝cos (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的最小正周期为T，若f(T)＝，x＝为f(x)的零点，则ω的最小值为________．专练31 等比数列及其前n项和
命题范围：等比数列的概念与性质、等比数列的通项公式、前n项和公式．
[基础强化]
一、选择题
1．等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若S6＝9S3，S5＝62，则a1＝( )
A． B．2
C． D．3
2．已知等比数列{an}满足a1＝，4a2a4＝4a3－1，则a2＝( )
A．± B．
C．± D．
3．[2022·江西省赣州市期末]已知等比数列{an}的各项均为正数，且a1·a6＝9，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a6＝( )
A．6 B．9
C．27 D．81
4．[2022·江西省南昌市模拟]数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，则a4＝( )
A．8 B．16
C．12 D．24
5．[2022·珠海模拟]在等比数列{an}中，a＝a9且a8＞a9，则使得an－>0的自然数n的最大值为( )
A．10 B．9
C．8 D．7
6．已知等比数列{an}的前n项积为Tn，若a1＝－24，a4＝－，则当Tn取得最大值时，n的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．6
7．[2022·江西省赣州市一模]等比数列{an}满足a8＋a10＝，a11＋a13＝1，则a20＋a22＝( )
A．8 B．4
C．－4 D．－8
8．[2022·全国乙卷(理)，8] 已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝( )
A．14 B．12
C．6 D. 3
9．[2022·陕西省西安中学三模]在等比数列{an}中，a7，a11是方程x2＋5x＋2＝0的两根，则的值为( )
A．－ B．－
C． D．－或
二、填空题
10．[2022·江西省南昌市月考]若等比数列{an}的前n项的和为Sn，且满足S2＝3，S3－S1＝6，则a6＝________．
11．若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________.
12．[2022·吉林省质量监测(三)]已知数列{an}是首项为3，公比为q的等比数列，Sn是其前n项的和，若a3a4＋a5＝0，则q＝________；S3＝________．
[能力提升]
13．[2022·北京模拟]《九章算术》中有述：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺，蒲生日自半，莞生日自倍．意思是：“今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．”请问当莞长高到长度是蒲的5倍时，需要经过的天数是(结果精确到0.1，参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)( )
A．2.9天 B．3.9天
C．4.9天 D．5.9天
14．[2022·浙江模拟]设{an}为等比数列，Sn和Tn分别为{an}的前n项和与前n项积，则下列选项错误的是( )
A．若S2 023≥S2 022，则{Sn}不一定是递增数列
B．若T2 024≥T2 023，则{Tn}不一定是递增数列
C.若{Sn}为递增数列，则可能存在a2 022D.若{Tn}是递增数列，则a2 022>a2 021一定成立
15．[2022·上海模拟]若数列{an}满足－＝0，则称{an}为“追梦数列”．已知数列{}为“追梦数列”，且b1＝2，则数列{bn}的通项公式bn＝________．
16．设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________．专练28 数系的扩充与复数的应用
命题范围：复数的实部、虚部、模的概念，复数的同则运算．
[基础强化]
一、选择题
1．[2022·全国乙卷(理)，2]已知z＝1－2i，且z＋a＋b＝0，其中a，b为实数，则( )
A．a＝1，b＝－2 B．a＝－1，b＝2
C．a＝1，b＝2 D．a＝－1，b＝－2
2．[2022·安徽省江淮十校联考]已知非零复数z满足z·(3＋2i)＝2|z|2(i为虚数单位)，则z＝( )
A．＋i B．－i
C．－i D．＋i
3．[2022·全国甲卷(理)，1]若z＝－1＋i，则＝( )
A．－1＋i B. －1－i
C．－＋i D．－－i
4．[2022·广西联考] 若z＝1＋2i，则＝( )
A．i B．－i
C．1 D．－1
5．[2022·安徽省蚌埠市质检] 非零复数z满足＝－zi，则复平面上表示复数z的点位于( )
A．实轴 B．虚轴
C．第一或第三象限 D．第二或第四象限
6．[2022·河北省石家庄市一模] 若复数z＝(1＋2i)(a－i)在复平面内对应的点位于第四象限，则实数a的取值范围是( )
A．(－，2)
B．(－2，)
C．(，2)
D．(－∞，－2)∪(，＋∞)
7．[2022·山西省一模]设复数z满足z＝iz，则z＝( )
A．－i B．－1
C．0或－1 D．0或－i
8．[2022·江西省八校联考]棣莫弗公式(cos x＋isin x)n＝cos nx＋isin nx(其中i为虚数单位)是由法国数学家棣莫弗(1667～1754年)发现的，根据棣莫弗公式可知，复数(cos ＋isin )7在复平面内所对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
9．[2022·福建省检测] 设复数z1，z2，z3满足z3≠0，且|z1|＝|z2|，则( )
A．z1＝±z2
B．z＝z
C．z1·z3＝z2·z3
D.|z1·z3|＝|z2·z3|
二、填空题
10．若(a，b∈R)与(2－i)2互为共轭复数，则a－b＝________．
11．i是虚数单位，复数＝________．
12．[2020·全国卷Ⅱ]设复数z1，z2 满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝＋i，则|z1－z2|＝________．
[能力提升]
13．[2022·陕西省西安四模]已知关于x的方程(x2＋mx)＋2xi＝－2－2i(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于( )
A．3＋i B．3－i
C．－3－i D．－3＋i
14．[2022·广东省四校联考] 已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，且z(1＋i3)＝2＋i，则a＋b＝( )
A. B．
C．1 D．2
15．[2022·海南省高等学校测试]已知复数z满足(z－2)(1＋i)＝1－3i，则复数z在复平面内所对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
16．[2022·河北省石家庄市二模]已知复数z满足z(1＋i)＝2＋3i，则在复平面内z对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限专练38 证明
命题范围：证明方法：分析法、综合法、反证法、数学归纳法．
[基础强化]
一、选择题
1．[2022·大庆联考]用反证法证明命题：“若a2＋b2＋c2＋d2＝0，则a，b，c，d都为0”．下列假设中正确的是( )
A．假设a，b，c，d都不为0
B．假设a，b，c，d至多有一个为0
C．假设a，b，c，d不都为0
D．假设a，b，c，d至少有两个为0
2．若a，b，c是不全相等的实数，求证：a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.
证明过程如下：
∵a、b、c∈R，∴a2＋b2≥2ab，
b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac.
又∵a，b，c不全相等，
∴以上三式至少有一个“＝”不成立．
∴将以上三式相加得2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac).
∴a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.
此证法是( )
A．分析法 B．综合法
C．分析法与综合法并用 D．反证法
3．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
4．如图是解决数学问题的思维过程的流程图：图中①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法相匹配是( )
A.①—分析法，②—综合法
B．①—综合法，②—分析法
C．①—综合法，②—反证法
D．①—分析法，②—反证法
5．在用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋2n＝2n2＋n(n∈N*)的第二步中，假设n＝k时原等式成立，那么在n＝k＋1时需要证明的等式为( )
A．1＋2＋3＋…＋2k＋2(k＋1)＝2k2＋k＋2(k＋1)2＋(k＋1)
B.1＋2＋3＋…＋2k＋2(k＋1)＝2(k＋1)2＋(k＋1)
C.1＋2＋3＋…＋2k＋2k＋1＋2(k＋1)＝2k2＋k＋2(k＋1)2＋(k＋1)
D．1＋2＋3＋…＋2k＋2k＋1＋2(k＋1)＝2(k＋1)2＋(k＋1)
6．在△ABC中，sin A sin CA．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
7．[2022·陕西省西北工业大学附中高三月考]用数学归纳法证明不等式“1＋＋＋…＋A．2k－1 B．2k－1
C．2k D．2k＋1
8．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证 A．a－b>0 B．a－c>0
C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0
9．设a，b，c都是正数，则a＋，b＋，c＋三个数( )
A．都大于2
B．都小于2
C．至少有一个不大于2
D．至少有一个不小于2
二、填空题
10．如果a＋b>a＋b，则a，b应满足的条件是____________．
11．用反证法证明“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1”时应假设__________________．
12．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系是______________．
[能力提升]
13．[2022·广东茂名模拟]一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…xn(n∈N*)，其中xk(k＝1，2，…，n)称为第k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0).已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组：，其中运算 定义为：0 0＝0，0 1＝1，1 0＝1，1 1＝0.已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1100001，那么用上述校验方程组可判断k等于( )
A．4 B．5 C．6 D．7
14．用反证法证明命题：“a，b∈N，若ab不能被5整除，则a与b都不能被5整除”时，假设的内容应为( )
A．a，b都能被5整除
B．a，b不都能被5整除
C．a，b至少有一个能被5整除
D．a，b至多有一个能被5整除
15．设a，b∈R，给出下列条件：
①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.
其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号).
16．[2022·山东昌乐二中模拟]已知向量a1＝(1，1)，bn＝(，0)，an＋1＝an－(an·bn＋1)bn＋1(n∈N*)，则＋＋…＋＝________．专练51 椭圆
命题范围：椭圆的定义、标准方程与简单的几何性质．
[基础强化]
一、选择题
1．椭圆＋＝1上一点M到其中一个焦点的距离为3，则点M到另一个焦点的距离为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
2．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC边上，则△ABC的周长为( )
A．2 B．4 C．6 D．12
3．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则( )
A．a2＝2b2 B．3a2＝4b2
C．a＝2b D．3a＝4b
4．动点P到两定点F1(－4，0)，F2(4，0)的距离之和为10，则动点P的轨迹方程是( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
5．已知椭圆的长轴长为8，离心率为，则此椭圆的标准方程是( )
A．＋＝1
B．＋＝1或＋＝1
C．＋＝1
D．＋＝1或＋＝1
6．曲线＋＝1与＋＝1(k<9)的( )
A．长轴长相等 B．短轴长相等
C．离心率相等 D．焦距相等
7．[2021·全国乙卷]设B是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是( )
A．[，1) B．[，1)
C．(0，] D．(0，]
8．[2022·西宁一中高三测试]设椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若△PF1F2为直角三角形，则△PF1F2的面积为( )
A．3 B．3或
C． D．6或3
9．[2022·陕西省高三三模]我们把由半椭圆＋＝1(x≥0)与半椭圆＋＝1(x＜0)合成的曲线称作“果圆”(其中a2＝b2＋c2，a＞b＞c＞0).如图所示，设点F0、F1、F2是相应椭圆的焦点，A1、A2和B1、B2是“果圆”与x轴和y轴的交点，若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为( )
A．，1 B．，1 C．5，3 D．5，4
二、填空题
10．[2021·全国甲卷]已知F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________．
11．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率为________．
12．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，则b＝________．
[能力提升]
13．[2022·全国甲卷(理)，10]椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为( )
A. B.
C. D.
14．[2022·江西省南昌市高三模拟]已知F1，F2，B分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点、右焦点、上顶点，连接BF2并延长交C于点P，若△PF1B为等腰三角形，则C的离心率为( )
A． B．
C． D．
15．F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是________．
16．[2022·安徽省蚌埠质检]已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，直线l与椭圆交于A，B两点，当AB的中点为M(1，1)时，直线l的方程为________．专练22 三角恒等变换
命题范围：二倍角公式、三角恒等变换．
[基础强化]
一、选择题
1．[2022·安徽安庆月考]已知cos x＝，则sin (－2x)＝( )
A．－ B．
C．－ D．
2．[2020·全国卷Ⅱ]若α为第四象限角，则( )
A．cos 2α>0 B．cos 2α<0
C．sin 2α>0 D．sin 2α<0
3．函数f(x)＝sin2x＋sinx·cos x在上的最小值为( )
A．1 B．
C．1＋ D．
4．[2022·广东汕头三模]已知α∈(0，π)，sin (－α)＝，则cos 2α＝( )
A． B．－
C．－ D．
5．若sin (－α)＝，则cos (＋2α)＝( )
A．－ B．－
C． D．
6．[2022·成都双流中学模拟]tan 67.5°－的值为( )
A．1 B．
C．2 D．4
7．若cos α＝－，α是第三象限角，则＝( )
A．－ B．
C．2 D．－2
8．已知向量a＝(sin θ，－2)，b＝(1，cos θ)，且a⊥b，则sin 2θ＋cos2θ的值为( )
A．1 B．2
C． D．3
9．[2021·全国甲卷]若α∈(0，)，tan2α＝，则tan α＝( )
A． B．
C． D．
二、填空题
10．已知sin α＋cos α＝2，则tan α＝________．
11．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝，则cos 4α＝________．
12．已知2cos2x＋sin2x＝A sin (ωx＋φ)＋b(A>0)，则A＝________，b＝________．
[能力提升]
13．[2022·重庆高三阶段练习]若函数f(x)＝sin x|cos x|，则下列说法正确的是( )
A．f(x)是偶函数
B．f(x)的最小正周期是π
C．f(x)在区间[－，]上单调递增
D．f(x)的图像关于直线x＝对称
14．[2022·陕西省西安中学模拟]当x＝θ时，f(x)＝6sin2＋2sincos －3取得最大值，则tan θ＝( )
A．3 B．－3
C． D．－
15．[2022·陕西省西安中学四模]已知<α<2π，则 ＋＝( )
A．－ B．
C．－ D．
16．[2022·四川眉山三模]已知函数f(x)＝，当πA．(－1，1) B．(0，1)
C．(－1，0) D．(－，0)专练33 高考大题专练(三) 数列的综合运用
1．[2021·全国乙卷]记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知＋＝2.
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求{an}的通项公式．
2．[2022·全国甲卷(理)，17]记Sn为数列的前n项和．已知＋n＝2an＋1.
(1)证明：是等差数列；
(2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值．
3．[2022·新高考Ⅰ卷，17] 记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，是公差为的等差数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)证明：＋＋…＋<2.
4．[2022·安徽省安庆市二模]已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝(n＋1)2an－3，n∈N＋.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若bn＝(2n＋3)(－1)nan，求{bn}的前n项和Tn.
5.[2022·云南省联考(二)])已知正项数列{an}的前n项和为Sn，满足4Sn＝a＋2an－8.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{(－1)n(Sn－3n)}的前n项和Tn.
6．[2022·江西省八所中学联考]已知函数f(x)＝，方程f(x)＝1在(0，＋∞)上的解按从小到大的顺序排成数列{pn}(n∈N*).
(1)求数列{pn}的通项公式；
(2)设qn＝，数列{qn}的前n项和为Tn，求证：Tn<.专练2 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
命题范围：逻辑联结词、复合命题的真假判断、量词及其否定．
[基础强化]
一、选择题
1．[2022·九江市高考模拟]已知命题p： x≥0，cos x≤ex，则 p为( )
A． x≥0，cos x>ex B． x0<0，cos x0>ex0
C． x<0，cos x>ex D． x0≥0，cos x0>ex0
2．[2022·山西省高三一模(理)]已知命题p： x∈(0，＋∞)，x－sin x>0；命题q： a∈R，f(x)＝log(a2＋2)x在定义域上是增函数．则下列命题中的真命题是( )
A．p∧q B． p∧q
C．p∧ q D． (p∨q)
3．[2022·新疆高三检测] 已知命题p： x∈N，x2<2x；命题q： x∈R，sin x＋cos x>1，下列命题中为假命题的是( )
A．p∨q B．( p)∧q
C．( p)∨( q) D．p∨( q)
4．[2022·江西省六校联考]下列结论错误的是( )
A．若“p∧q”为真命题，则p、q均为真命题
B．“ac2>bc2”是“a>b”的充分不必要条件
C．命题“若x＝4，则x2－2x－8＝0”的否命题是“若x≠4，则x2－2x－8≠0”
D．命题“ x≥0，都有3x≥1”的否定是“ x<0，使得3x<1”
5．[2022·江西省高三一模]已知命题p： x0∈R，sin x0<1；命题q：当α，β∈R时，“α＝β”是“sin α＝sin β”的充分不必要条件．则下列命题中的真命题是( )
A．p∧q B．( p)∧q
C．p∧( q) D． (p∨q)
6．[2022·广东省高三四校联考]已知命题p： x，y∈R，sin (x＋y)＝sin x＋sin y；命题q： x，y∈R，sin x·sin y≤1，则下列命题中为真命题的是( )
A．p∧q B． p∧q
C．p∧( q) D． (p∨q)
7．[2022·四川省质量监测(二)]下列结论错误的是( )
A．“x＝2”是“x2－4x＋4＝0”的充要条件
B．若m∈R，则方程x2＋x－m＝0一定有实根是假命题
C．在△ABC中，若“A>B”则“sin A>sin B”
D．命题p：“ x0∈R，x－2x0＋4>0”，则 p：“ x∈R，x2－2x＋4<0”
8．[2022·四川省高三二诊]已知命题p： x0∈R，ln x0＝1.命题q：某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，则该物理量在一次测量中落在(9.9，10.2)与落在(10，10.3)的概率相等．下列命题中的假命题是( )
A．p∧( q) B．p∨q
C．( p)∧( q) D．( p)∨( q)
9．[2022·四川五中二模(理)]已知命题p：在△ABC中，若cos A＝cos B, 则A＝B；命题q：向量a与向量b相等的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.下列四个命题是真命题的是( )
A．p∧( q) B．( p)∧( q)
C．( p)∧( q) D．p∧q
二、填空题
10．命题“ x∈(0，)，tan x>sin x”的否定是________．
11．[2022·江西省南昌市高三月考]若命题“ x0∈R，使得3x＋2ax0＋1＜0”是假命题，则实数a的取值范围是________．
12．[2022·衡水中学高三测试]已知命题p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的正实数根，命题q：方程4x2＋4(m＋2)x＋1＝0无实数根．若“p或q”为真命题，则实数m的取值范围是________．
[能力提升]
13．[2022·四川省二诊]已知不等式组，构成的平面区域为D.命题p：对 (x，y)∈D，都有3x－y≥0；命题q： (x，y)∈D，使得2x－y>2.下列命题中，为真命题的是( )
A．( p)∧( q) B．p∧q
C．( p)∧q D．p∧( q)
14．[2022·江西省高三一模]斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法画出：如图，在黄金矩形ABCD(其中＝)中作正方形ABFE，以F为圆心，AB长为半径作圆弧；然后在矩形CDEF中作正方形DEHG，以H为圆心，DE长为半径作圆弧；……；如此继续下去，这些圆弧就连成了斐波那契螺线．记圆弧，，的长度分别为l，m，n，给出以下两个命题：p：l＝m＋n，q：m2＝l·n.则下列选项为真命题的是( )
A．p∧q B．p∧( q)
C．( p)∧q D．( p)∧( q)
15．[2022·陕西宝鸡一模]若“ x0∈[－1，1]，x0＋2－a>0”为假命题，则实数a的最小值为________．
16．[2022·江西省高三模拟]命题“ x∈R，ex＋1命题范围：三角函数的解析式、三角函数的图像变换．
[基础强化]
一、选择题
1．要得到函数y＝sin (4x－)的图像，只需将函数y＝sin 4x的图像( )
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位
2．把函数y＝cos 2x＋1的图像上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是( )
3．将函数y＝sin (2x＋)的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数( )
A．在区间上单调递增
B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增
D．在区间上单调递减
4.
函数y＝A sin (ωx＋φ)的部分图像如图所示，则( )
A．y＝2sin (2x－)
B．y＝2sin (2x－)
C．y＝2sin (x＋)
D．y＝2sin (x＋)
5．[2022·江西省南昌市第十中学月考]将函数y＝sin 2x＋cos 2x的图像沿x轴向左平移φ(φ>0)个单位后，得到关于y轴对称的图像，则φ的最小值为( )
A． B． C． D．
6.
函数y＝2sin (ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的部分图像如图所示，则ω，φ的值分别是( )
A．2，－ B．2，－
C．4，－ D．4，
7．[2021·全国乙卷]把函数y＝f(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin (x－)的图像，则f(x)＝( )
A.sin (－) B. sin (＋)
C. sin (2x－) D. sin (2x＋)
8．已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin (2x＋)，则下面结论正确的是( )
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
9．[2022·安徽省示范高中皖北协作区联考]将函数f(x)＝2sin (2x－)的图像向右平移个单位后所得到的函数记为g(x)，则下列结论中正确的是( )
A．g(x)的对称中心为(＋，0)(k∈Z)
B．g(x)＝2sin (2x＋)
C．g(x)在(，)上单调递减
D．g(x)的图像关于x＝对称
二、填空题
10.
已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的一段图像如图所示，则函数f(x)的解析式为f(x)＝________．
11．[2022·南昌市模拟]已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图像与x轴在原点右侧的第一个交点为(1，0)，在y轴右侧的第一个最高点为(3，2)，则f(－1)＝________．
12．将函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0，－≤φ<)图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin x的图像，则f()＝________．
[能力提升]
13．[2022·安徽芜湖模拟]已知函数f(x)＝A cos (ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<)
的大致图像如图所示，将函数f(x)的图像上点的横坐标拉伸为原来的3倍后，再向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图像，则函数g(x)的单调递增区间为( )
A．[－＋3kπ，3kπ](k∈Z)
B．[3kπ，3kπ＋](k∈Z)
C. [－＋3kπ，－＋3kπ](k∈Z)
D．[－＋3kπ，＋3kπ](k∈Z)
14．[2022·陕西省西安中学模拟]已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图像如图所示，现将f(x)的图像向左平移个单位长度得到y＝g(x)的图像，则方程2g(x)＝在[0，2π]上实数解的个数为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
15．[2022·西南大学附中模拟]水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具．据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1 000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝R sin (ωt＋φ)(t≥0，ω>0，|φ|<)，则下列叙述正确的是( )
A．水斗作周期运动的初相为－
B．在水斗开始旋转的60秒(含)中，其高度不断增加
C．在水斗开始旋转的60秒(含)中，其最高点离平衡位置的纵向距离是3
D．当水斗旋转100秒时，其和初始点A的距离为6
16．[2022·全国甲卷(理)，11]设函数f(x)＝sin 在区间(0，π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是( )
A． B．
C． D．专练61 二项式定理
命题范围：二项式定理．
[基础强化]
一、选择题
1．[2022·江西省九师联考]若(－)n的展开式中第3项为常数项，则该展开式中各项系数的和为( )
A．729 B．64
C．1 D．－1
2．[2022·山西省高三一模](3x3－)4展开式中的常数项是( )
A．－ B．－
C． D．
3．[2022·四川省凉山诊断性检测](x－2y)5的展开式中x2y3的系数是( )
A．－20 B．－5
C．5 D．20
4．[2022·郑州市第二次质检](2x2－)(x－)4的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中的常数项为( )
A. －32 B．32
C．－64 D．64
5．[2022·皖北协作区联考]若(2x3＋y2)n的二项展开式中某项为bx6y6，则b＝( )
A.15 B．40
C．60 D．80
6．已知随机变量X～N(1，σ2)，且P(X<0)＝P(X≥a)，则二项式(x＋)10的展开式中有理项的个数为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
7．[2022·河南省濮阳模拟] 若(a＋2x2)(1＋x)n(n∈N*)的展开式中各项系数之和为256，且常数项为2，则该展开式中x4的系数为( )
A．30 B．45
C．60 D．81
8．[2022·山西省大庆模拟](－2)(x3－1)6的展开式中的常数项为( )
A．13 B．17
C．－13 D．－17
9．[2022·黑龙江省大庆质检]在(x＋)n的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，且所有项的系数和为0，则含x6的项系数为( )
A．45 B．－45
C．120 D．－120
二、填空题
10．[2022·泸州市诊断性考试](2x＋)6的展开式中的常数项为________(用数字作答).
11．[2022·新高考Ⅰ卷，13](1－)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答).
12．[2022·八省八校(T8联考)]在二项式(x＋)8展开式中，若前三项的系数成等差数列，则实数a＝________．
[能力提升]
13．[2022·安徽省高三适应性考试](x2－2x＋3y)5的展开式中x3y2的系数为________．
14．[2022·福建省名校联考]二项式(－)5的展开式中含x2的项的系数是________．(用数字作答)
15．[2022·海南省高三诊断性测试]若(2x－1)n的展开式中第5项的二项式系数最大，则n＝________．(写出一个即可)
16．[2022·嘉兴市模拟考试]已知多项式(a＋x)4＋(2x－1)5＝a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5(a∈R)，则a＝________，a4＋a5＝________．专练54 曲线与方程
命题范围：求轨迹方程的常用方法：直接法、定义法、相关点法等．
[基础强化]
一、选择题
1．已知平面内动点P满足|PA|＋|PB|＝4，其中|AB|＝4，则点P点轨迹是( )
A．直线 B．线段
C．圆 D．椭圆
2．已知点(0，0)，A(1，－2)，动点P满足|PA|＝3|PO|，则P点的轨迹方程是( )
A．8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0
B．8x2＋8y2－2x－4y－5＝0
C．8x2＋8y2＋2x＋4y－5＝0
D．8x2＋8y2－2x＋4y－5＝0
3．若M，N为两个定点，且|MN|＝6，动点P满足·＝0，则P点的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
4．[2022·黑龙江一模]在平面直角坐标系中，双曲线C过点P(1，1)，且其两条渐近线的方程分别为2x＋y＝0和2x－y＝0，则双曲线C的标准方程为( )
A. －＝1
B．－＝1
C．－＝1或－＝1
D．－＝1
5．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2，0)的距离小1，则点P的轨迹为( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
6．设P为双曲线－y2＝1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是( )
A．－＝1 B．x2－4y2＝1
C．－y2＝1 D．－2y2＝1
7．设A，B为椭圆＋y2＝1的左、右顶点，O为坐标原点，若|PO|是|PA|和|PB|的等比中项，则点P的轨迹方程为( )
A．x2－y2＝1 B．x2－y2＝2
C．y2－x2＝1 D．y2－x2＝2
8．[2022·广东省茂名五校联考]已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，点M是圆上的动点，AM与圆相切，且|AM|＝2，则点A的轨迹方程是( )
A. y2＝4x
B．x2＋y2－2x－2y－3＝0
C．x2＋y2－2y－3＝0
D．y2＝－4x
9．[2022·陕西省宝鸡三模]已知点A(－1，0)、B(1，0)，若过A、B 两点的动抛物线的准线始终与圆x2＋y2＝8相切，该抛物线焦点的轨迹是某圆锥曲线的一部分，则该圆锥曲线是( )
A．椭圆 B．圆
C．双曲线 D．抛物线
二、填空题
10．已知直线l过点(1，0)且垂直于x轴．若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________.
11．到点O(0，0)和A(1，0)的距离的平方和为1的轨迹方程为________．
12．设F是抛物线y＝x2的焦点，P是抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是________．
[能力提升]
13．[2022·云南省昆明“三诊一模”]已知椭圆M：＋＝1(a＞)，过焦点F的直线l与M交于A，B两点，坐标原点O在以AF为直径的圆上，若|AF|＝2|BF|，则M的方程为( )
A.＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
14．[2022·陕西省宝鸡二模]椭圆＋＝1中以点M(2，1)为中点的弦所在直线方程为( )
A. 4x＋9y－17＝0
B．4x－9y－17＝0
C．x＋3y－2－3＝0
D．x－3y－2＋3＝0
15．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(1，0)，B(2，2)，若点C满足＝＋t(－)，其中t∈R，则点C的轨迹方程是______________．
16．曲线y＝x－1与y＝kx＋1(k为参数)的交点的轨迹方程为______________．专练25 平面向量的概念及其线性运算
命题范围：平面向量的概念和几何表示、共线向量、向量的加减、数乘等线性运算．
[基础强化]
一、选择题
1．给出下列四个命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|，且a∥b.其中正确命题的序号是( )
A．②③ B．①②
C．③④ D．②④
2．设非零向量a、b满足|a＋b|＝|a－b|，则( )
A．|a|＝|b| B．a∥b
C．|a|>|b| D．a⊥b
3．[2022·新高考Ⅰ卷，3] 在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则＝( )
A．3m－2n B．－2m＋3n
C．3m＋2n D．2m＋3n
4．[2022·河北唐山三模]已知菱形ABCD的边长为2，·＝2，则||＝( )
A． B．2
C．1 D．2
5．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＝λ(＋)，则实数λ＝( )
A．－ B．
C．2 D．－2
6．[2022·江苏一模]平面内三个单位向量a，b，c满足a＋2b＋3c＝0，则( )
A．a，b方向相同
B．a，c方向相同
C．b，c方向相同
D．a，b，c两两互不共线
7．[2022·湖南怀化一模]已知平面向量a、b(a≠b)满足|a|＝3，且b与b－a的夹角为30°，则|b|的最大值为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
8．已知平面内一点P及△ABC，若＋＋＝，则点P与△ABC的位置关系是( )
A.点P在线段AB上
B．点P在线段BC上
C．点P在线段AC上
D．点P在△ABC内部
9．在△ABC中，点P满足＝2，过点P的直线与AB，AC所在直线分别交于点M，N，若＝m，＝n(m>0，n>0)，则m＋2n的最小值为( )
A．3 B．4
C． D．
二、填空题
10．在△ABC中，D是AB边上一点，＝3，且＝λ＋，则λ的值为________．
11．在△OAB中，点C满足＝－4，＝x＋y，则y－x＝________．
12．[2022·贵州省普通高等学校测试]在平行四边形ABCD中，＝2.若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________．
[能力提升]
13．已知点P是△ABC所在平面内一点，且满足3＋5＋2＝0，已知△ABC的面积为6，则△PAC的面积为( )
A． B．4
C．3 D．
14．如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且交其对角线AC于K，其中，＝，＝，＝λ，则λ的值为( )
A． B．
C． D．
15．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，给出下列命题：①＝a－b；②＝a＋b；③＝－a＋b；④＋＋＝0.其中正确命题的序号为________．
16．在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________．专练6 函数的奇偶性与周期性
命题范围：函数的奇偶性、函数的周期性．
[基础强化]
一、选择题
1．[2021·全国乙卷]设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是( )
A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1
C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1
2．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数
B．f(x)|g(x)|是奇函数
C．|f(x)|g(x)是奇函数
D．|f(x)g(x)|是奇函数
3．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则f(－8)＝( )
A. 3 B．
C．－ D．－3
4．[2022·安徽省高三质检] 已知定义域为R的偶函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，f()＝1，则f(－)＝( )
A．－ B．－1
C．1 D．
5．[2022·江西省高三联考]设函数f(x)＝ln ，则下列函数中为奇函数的是( )
A．f(x＋1)－f(1－x)
B．f(x－1)＋f(x＋1)
C．f(x＋1)＋1
D．f(x－1)－1
6．函数f(x)为奇函数，定义域为R，若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(2 016)＋f(2 017)＝( )
A．－2 B．－1
C．0 D．1
7．[2022·东北三省三校联考]定义域为R的奇函数f(x)满足f(x)＝f(－x＋2)，则f(2 022)＝( )
A．0 B．－1
C．1 D．不确定
8．[2022·安徽淮南二模] 对任意的x∈R，函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝4.若函数g(x)＝f(x)＋在区间[－2022，2 022]上既有最大值又有最小值，则函数g(x)的最大值与最小值之和为( )
A．0 B．2
C．4 D．8
9．[2022·河南省高三三模]已知f(x－1)为定义在R上的奇函数，f(1)＝0，且f(x)在[－1，0)上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减，则不等式f(2x－5)<0的解集为( )
A．(2，log26)
B．(－∞，1)∪(2，log26)
C．(log26，＋∞)
D．(1，2)∪(log26，＋∞)
二、填空题
10．[2022·四川省成都二诊]函数f(x)是定义在R上的奇函数，当－111．[2022·湘豫名校高三联考]已知函数f(x)＝3x－·3－x(a≠0)为奇函数，则a＝________．
12．[2022·贵州省适应性考试]已知定义在R上的函数f(x)满足f(1－x)＝－f(x)，且当x>时，f(x)＝x＋＋m，若f(x)的值域为R，则实数m的取值范围为________．
[能力提升]
13．[2022·全国乙卷(理)，12]已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f(x－4)＝7.若y＝g(x)的图像关于直线x＝2对称，g(2)＝4，则f(k)＝( )
A．－21 B．－22
C．－23 D．－24
14．[2022·江西省临川高三模拟]已知定义在R上的函数y＝f(x)满足f(－x)＝－f(x)，函数y＝f(x＋1)为偶函数，且当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(x＋a)，则f(2 022)＋f(2 023)＝( )
A．－1 B．1
C．504 D．无法确定
15．[2022·贵州省高三适应性测试] 函数y＝f(x)(x∈R)的图像关于点(0，0)与点(1，0)对称．当x∈(－1，0]时，f(x)＝－x2，则f()＝( )
A．－ B．－
C．－ D．－
16．[2022·陕西省西安中学高三三模]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝sin πx，且满足当x>1时，f(x)＝2f(x－2)，若对任意x∈[－m，m]，f(x)≤2成立，则m的最大值为( )
A． B．
C． D．专练15 定积分与微积分基本定理
命题范围：积分的概念与运算、微积分基本定理．
[基础强化]
一、选择题
1.(x－2)dx的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．－
2．若f(x)＝x2＋2f(x)dx，则f(x)dx＝( )
A.－1 B．－
C． D．1
3．直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )
A．2 B．4
C．2 D．4
4．若a＝x2dx，b＝x3dx，c＝sin xdx，则a，b，c的大小关系是( )
A．aC．c5.(＋sin x)dx＝( )
A． B．
C．π D．＋2
6．设k＝(sin x－cos x)dx，若(1－kx)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则a1＋a2＋…＋a8＝( )
A.－1 B．0
C．1 D．256
7．设f(x)＝则f(x)dx的值为( )
A.＋ B．＋3
C．＋ D．＋3
8．如图是函数y＝cos (2x－)在一个周期内的图像，则阴影部分的面积是( )
A． B．
C． D．－
9．已知等差数列{an}中，a5＋a7＝sin xdx，则a4＋2a6＋a8的值为( )
A．8 B．6
C．4 D．2
二、填空题
10．[2022·安徽滁州二模]设f(x)＝ex，则[f′(x)＋2x]dx________．
11．曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为________.
12．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图像如图所示，它与直线y＝0在原点处相切，此切线与函数图像所围区域(图中阴影部分)的面积为，则a的值为________.
13．[2022·西藏拉萨中学月考]由曲线y＝，直线y＝x－2及y轴所围成的平面图形的面积为________．
14．[2022·甘肃张掖期末]如图，在矩形ABDC中，AB＝1，AC＝2，O为AC中点，抛物线的一部分在矩形内，点O为抛物线顶点，点B，D在抛物线上，在矩形内随机地放一点，则此点落在阴影部分的概率为________．
15．[2022·宁夏石嘴山一模](ex＋|x|)dx＝________．
16．[2022·黑龙江一模]在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1的侧面ABB1A1内有一动点P到直线A1B1与直线BC的距离相等，则在侧面ABB1A1上动点P的轨迹与棱AB、BB1所围成的图形面积是________．专练36 基本不等式
命题范围：基本不等式及其应用．
[基础强化]
一、选择题
1．函数y＝2x＋的最小值为( )
A．1 B．2
C．2 D．4
2．若a>0，b>0且2a＋b＝4，则的最小值为( )
A．2 B．
C．4 D．
3．下列结论正确的是( )
A．当x>0且x≠1时，lg x＋≥2
B．当x∈(0，]时，sin x＋的最小值为4
C．当x>0时，＋≥2
D．当04．若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是( )
A．6＋2 B．7＋2
C．6＋4 D．7＋4
5．若x>0，y>0，x＋2y＝1，则的最大值为( )
A. B．
C． D．
6．[2022·福建宁德模拟]已知点E是△ABC的中线BD上的一点(不包括端点).若＝x＋y，则＋的最小值为( )
A．4 B．6
C．8 D．9
7．[2022·安徽淮北一模]函数f(x)＝loga(2x－1)＋1(a＞0，a≠1)的图像恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－2＝0上，其中m(n－1)＞0，则＋的最小值为( )
A．2 B．3
C．8 D．9
8．[2022·河南安阳模拟]已知a，b为正实数，且a＋b＝6＋＋，则a＋b的最小值为( )
A．6 B．8
C．9 D．12
9．[2022·安徽马鞍山三模]若a＞0，b＞0，lg a＋lg b＝lg (a＋3b)，则a＋b的最小值为( )
A．4 B．4＋2
C．6 D. 3＋3
二、填空题
10．已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为________.
11．[2022·江西九江一模]若a，b为正实数，直线2x＋(2a－4)y＋1＝0与直线2bx＋y－2＝0互相垂直，则ab的最大值为________．
12．[2022·浙江绍兴模拟]若直线ax－by－3＝0(a＞0，b＞0)过点(1，－1)，则＋的最大值为________．
[能力提升]
13．若a，b都是正数，则(1＋)(1＋)的最小值为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
14．若对于任意的x>0，不等式≤a恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．a≥ B．a>
C．a< D．a≤
15．[2022·宁夏石嘴山市三模]设复数z＝a＋bi(a，b＞0，a，b∈R)，若复数z(1＋i)对应的点在直线x＋3y－2＝0上， 则＋的最小值为________．
16．[2022·安徽淮南一模]我国在2020年9月22日在联合国大会提出，二氧化碳排放力争于2030年前实现碳达峰，争取在2060年前实现碳中和．为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y(单位：万元)与处理量x(单位：吨)(x∈[120，500])之间的函数关系可近似表示为
y＝，当处理量x等于多少吨时，每吨的平均处理成本最少( )
A．120 B．200
C．240 D．400专练23 正弦定理和余弦定理、解三角形
命题范围：正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、解三角形．
[基础强化]
一、选择题
1．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若a＝，b＝，B＝，则A＝( )
A． B．π
C． D．或π
2．在△ABC中，b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形解的情况是( )
A．有一解
B．有两解
C．无解
D．有解但解的个数不确定
3．[2022·安徽省江南十校一模]已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(2b－c)·cos A＝a cos C，则角A的大小为( )
A． B．
C． D．
4．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，bc＝4，则△ABC的面积为( )
A． B．1
C． D．2
5．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边．若b sin A＝3c sin B，a＝3，cos B＝，则b＝( )
A．14 B．6
C． D．
6．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
7．钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝( )
A．5 B．
C．2 D．1
8．如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为( )
A．50 m B．50 m
C．25 m D． m
9．[2022·陕西省西安中学模拟]△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b2＋c2－a2＝bc，b cos C＋c cos B＝2，则△ABC的面积的最大值为( )
A．1 B．
C．2 D．2
二、填空题
10．[2021·全国乙卷]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝____________．
11．[2022·安徽舒城中学模拟]托勒密(Ptolemy)是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知凸四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC，BD是其两条对角线，AB＝AD，∠BAD＝120°，AC＝6，则四边形ABCD的面积为________．
12．[2022·陕西省西安中学二模]△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，则C＝________．
[能力提升]
13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sin B(1＋2cos C)＝2sin A cos C＋cos A sin C，则下列等式成立的是( )
A．a＝2b B．b＝2a
C．A＝2B D．B＝2A
14．[2021·全国甲卷]2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B, C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为(≈1.732)( )
A.346 B．373
C．446 D．473
15．[2022·全国甲卷(理)，16]已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD.当取得最小值时，BD＝________．
16．[2022·江西省临川模拟]已知在四边形ABCD中，AB＝7，BC＝13，CD＝AD，且cos B＝，∠BAD＝2∠BCD.则AD＝________．专练34 不等式与一元二次不等式的解法
命题范围：不等式性质与一元二次不等式．
[基础强化]
一、选择题
1．如果a＜b＜0，那么下列各式一定成立的是( )
A．a－b＞0 B．ac＜bc
C．a2＞b2 D．＜
2．设a，b∈[0，＋∞)，p＝＋，q＝，则( )
A．p≥q B．p≤q
C．p＞q D．p＜q
3．对于实数a，b，c，有下列命题：
①若a＞b，则ac＜bc；②若ac2＞bc2，则a＞b；③若a＜b＜0，则a2＞b2；④若c＞a＞b＞0，则＞；⑤若a＞b，＞，则a＞0，b＜0.其中真命题的个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
4．[2022·四川绵阳一模]若0＜a＜b，则下列结论正确的是( )
A．ln a＞ln b B．b2＜a2
C．＜ D．()a＞()b
5．[2022·珠海模拟]已知a，b∈R，满足ab<0，a＋b>0，a>b，则( )
A．< B．＋>0
C．a2>b2 D．a<|b|
6．不等式ax2＋bx＋1＞0的解集为，则ab的值为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
7．若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．[－2，2]
C．(－2，2] D．(－∞，－2)
8．不等式|x2－2|<2的解集是( )
A．(－1，1) B．(－2，2)
C．(－1，0)∪(0，1) D．(－2，0)∪(0，2)
9．[2022·宿迁模拟]若不等式x2＋px>4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是( )
A. [－1，3]
B．(－∞，－1]
C．[3，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
二、填空题
10．不等式()x2－3<2－2x的解集是________．
11．[2022·山西省模拟]我们都知道一杯糖水中再加入一些糖，糖水会更甜．这句话用数学符号可表示为：＜，其中a＞b，且a，b，m∈R＋.据此可以判断两个分数的大小关系，比如________(填“＞”“＜”).
12．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．
[能力提升]
13．[2022·济宁模拟]已知x>y>z，x＋y＋z＝0，则下列不等式恒成立的是( )
A.xy>yz B．xy>xz
C．xz>yz D．x|y|>|y|z
14．[2022·安徽省蚌埠市质检] 设x＝ln 2，y＝lg 2，则( )
A．x－y＞xy＞tan (x＋y)
B．x－y＞tan (x＋y)＞xy
C．tan (x＋y)＞xy＞x－y
D．tan (x＋y)＞x－y＞xy
15．[2022·全国甲卷(理)，12] 已知a＝，b＝cos ，c＝4sin ，则( )
A．c>b>a B．b>a>c
C．a>b>c D．a>c>b
16．设函数f(x)＝则满足f(x)＋f(x－)＞1的x的取值范围是________．专练62 古典概型、几何概型和条件概率
命题范围：随机事件概率、古典概型、几何概型．
[基础强化]
一、选择题
1．[2021·全国乙卷]在区间(0，1)与(1，2)中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为( )
A． B． C． D．
2．[2022·安徽省皖北协作区联考]在区间(0，2]上随机取一个数，则使事件“log(3x－2)≥1”发生的概率为( )
A． B． C． D．
3．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现；红灯持续时间为40秒，若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )
A． B． C． D．
4．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )
A． B． C． D．
5．[2021·全国甲卷]将4个1和2个0随机排成一行，则2个0 不相邻的概率为( )
A． B． C． D．
6．[2022·内蒙古包头模拟]将4个A和2个B随机排成一行，则2个B相邻且不排在两端的概率为( )
A． B． C． D．
7．[2022·江西省景德镇质检]英国数学家贝叶斯(1701～1763)在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献．根据贝叶斯统计理论，事件A，B，(A的对立事件)存在如下关系：P(B)＝P(B|A)·P(A)＋P(B|)·P().若某地区一种疾病的患病率是0.01，现有一种试剂可以检验被检者是否患病．已知该试剂的准确率为99%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有99%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为10%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有10%的可能会误报阳性．现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为( )
A．0.01 B．0.009 9
C．0.108 9 D．0.1
8．俄罗斯某电视台记者，在莫斯科大学随机采访了7名大学生，其中有3名同学会说汉语，从这7人中任意选取2人进行深度采访，则这2人都会说汉语的概率为( )
A． B． C． D．
9．[2022·陕西省西安中学四模]某人准备到某接种点接种新冠疫苗加强针，该接种点在前一天已用完全部疫苗，新的疫苗将于当天上午8∶00～11∶00之间随机送达，若他在9∶00～12∶00之间随机到达该接种点，则他到达时疫苗已送达的概率是( )
A． B． C． D．
二、填空题
10．[2022·全国乙卷(理)，13]从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为________．
11．[2022·全国甲卷(理)，15]从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．
12．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________．
[能力提升]
13．[2022·西安工业大学附中模拟]新冠疫情期间，网上购物成为主流．因保管不善，五个快递ABCDE上送货地址模糊不清，但快递小哥记得这五个快递应分别送去甲乙丙丁戊五个地方，全部送错的概率是( )
A． B． C． D．
14．[2022·山西省临汾二模]第24届冬奥会开幕式于2022年2月4日在北京举行．本届冬奥会开幕式上的“大雪花”融合了中国诗词、中国结和剪纸技艺等中国传统文化元素，很好地将奥林匹克精神和中国人民的友谊传递到世界各个角落，获得了世界人民的普遍赞誉．为弘扬中国优秀传统文化，某艺术中心将举办一次以“雪花”为主题的剪纸比赛．要求参赛选手完成规定作品和创意设计作品各2幅，若选手共有不少于3幅作品入选，则该选手将获得“冰雪之韵”纪念品．某选手完成了规定作品和创意设计作品各6幅，指导教师评定其中规定作品4幅和创意设计作品3幅符合入选标准，现从这12幅作品中随机抽取规定作品和创意设计作品各2幅，则指导教师预测该选手获得“冰雪之韵”纪念品的概率是( )
A． B． C． D．
15．[2022·江西省南昌第十中学月考]设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一点，则此点到坐标原点的距离小于2的概率是( )
A． B．
C． D．
16．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束).根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________．专练8 指数与指数函数
命题范围：指数的意义与运算；指数函数的定义、图像与性质．
[基础强化]
一、选择题
1．函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有( )
A．a＝1或a＝2 B．a＝1
C．a＝2 D．a>0且a≠1
2．已知函数g(x)＝3x＋t的图像不经过第二象限，则t的取值范围为( )
A．(－∞，－1] B．(－∞，－1)
C．(－∞，－3] D．[－3，＋∞)
3．若a2x＝－1，则等于( )
A．2－1 B．2－2
C．2＋1 D．＋1
4．函数y＝ax(a>0且a≠1)在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则a＝( )
A． B．2
C．4 D．
5．函数f(x)＝ax－b的图像如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0 B．a>1，b>0
C．00 D．06．[2022·江西省景德镇市质检]设a＝log52，eb＝，c＝，则( )
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>b>c D．a>c>b
7．[2022·江西省高三二模]已知a＝log0.62，b＝sin 1，c＝20.6，则a，b，c的大小关系为( )
A．cC．a8．函数f(x)＝()1－x2的单调减区间为( )
A．(1，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－1，1)
9．[2020·全国卷Ⅲ]Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝，其中K为最大确诊病例数．当I(t*)＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln 19≈3)( )
A．60 B．63
C．66 D．69
二、填空题
10．(－)－＋(0.002)－－10(－2)－1＋(－)0的值为________.
11．[2022·福建省高三质检]某地在20年间经济高质量增长，GDP的值P(单位，亿元)与时间t(单位：年)之间的关系为P(t)＝P0(1＋10%)t，其中P0为t＝0时的P值．假定P0＝2，那么在t＝10时，GDP增长的速度大约是________．(单位：亿元/年，精确到0.01亿元/年)注：1.110≈2.59，当x取很小的正数时，ln (1＋x)≈x.
12．[2022·广东省高三三模]已知函数f(x)＝2x＋a·2－x的图像关于原点对称，若f(2x－1)>，则x的取值范围为________．
[能力提升]
13．[2022·广东省惠州市一模] 已知f(x)＝，则当x≥0时，f(2x)与f(x2)大小关系是( )
A．f(2x)≤f(x2) B．f(2x)≥f(x2)
C．f(2x)＝f(x2) D．不确定
14．[2022·海南省诊断性测试]设a＝2e－0.2，b＝e0.2，c＝1.2，则( )
A．aC．b15．已知常数a>0，函数f(x)＝的图像经过点P(p，)、Q(q，－).若2p＋q＝36pq，则a＝________.
16．已知函数y＝4x＋m·2x－2在区间[－2，2]上单调递增，则m的取值范围是________．专练68 高考大题专练(八) 不等式选讲
1．[2022·郑州模拟]已知函数f(x)＝|2x＋a|＋1.
(1)当a＝2时，解不等式f(x)＋x<2；
(2)若存在a∈，使得不等式f(x)≥b＋|2x＋a2|的解集非空，求b的取值范围．
2．[2022·江西省临川高三模拟]已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－a|(a＞0)，g(x)＝.
(1)当a＝1时，解关于x的不等式f(x)≥0；
(2)若函数f(x)与g(x)的图像可以围成一个四边形，求a的取值范围．
3．[2020·全国卷Ⅲ]设a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc＝1.
(1)证明：ab＋bc＋ca＜0；
(2)用max{a，b，c}表示a，b，c的最大值，证明：max{a，b，c}≥.
4．[2021·全国乙卷]已知函数f(x)＝|x－a|＋|x＋3|.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥6的解集；
(2)若f(x)>－a，求a的取值范围．
5．[2022·全国甲卷(理)，23]已知a，b，c均为正数，且a2＋b2＋4c2＝3，证明：
(1)a＋b＋2c≤3；
(2)若b＝2c，则＋≥3.
6．[2022·全国乙卷(理)，23] 已知a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝1，证明：
(1)abc≤；
(2)＋＋≤.专练67 高考大题专练(七) 坐标系与参数方程
1．[2022·贵阳市五校联考]以直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的参数方程为(t为参数)，直线l的极坐标方程为ρsin (θ－)＝－.
(1)已知点M(6，a)在曲线C上，求a的值；
(2)设点P为曲线C上一点，求点P到直线l距离的最小值．
2．[2022·全国甲卷(理)，22]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)，曲线C2的参数方程为(s为参数).
(1)写出C1的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为2cos θ－sin θ＝0，求C3与C1交点的直角坐标，及C3与C2交点的直角坐标．
3．[2022·安阳模拟]在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l过点M(1，0)且倾斜角为α.
(1)求出直线l的参数方程和曲线C的普通方程；
(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，且＝，求cos α的值．
4.[2021·全国甲卷]在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设点A的直角坐标为(1，0)，M为C上的动点，点P满足＝ ，写出 P的轨迹C1的参数方程，并判断C与C1是否有公共点．
5．[2022·石嘴山模拟]在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点A为曲线C1上的动点，点B在线段OA的延长线上且满足|OA|·|OB|＝8，点B的轨迹为C2.
(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；
(2)设点M的极坐标为(2，)，求△ABM面积的最小值．
6．[2022·全国乙卷(理)，22]在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρsin (θ＋)＋m＝0.
(1)写出l的直角坐标方程；
(2)若l与C有公共点，求m的取值范围．专练1 集合及其运算
命题范围：集合的概念、元素与集合之间的关系、集合的基本关系、集合的基本运算．
[基础强化]
一、选择题
1．[2022·全国乙卷(理)，1]设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M满足 UM＝{1，3}，则( )
A．2∈M B．3∈M
C．4 M D．5 M
2．[2022·全国甲卷(理)，3] 设全集U＝{－2，－1，0，1，2，3}，集合A＝{－1，2}，B＝，则 U(A∪B)＝( )
A．{1，3} B．{0，3}
C．{－2，1} D．{－2，0}
3．[2022·宁夏高三一模]已知集合A＝{x|2x≤，x∈N*}，B＝{x|log2(x－1)＝0}，则A∩B＝( )
A.{1，2} B．{2}
C． D．{0，1，2}
4．[2022·广东省五校联考]已知全集U＝Z，集合A＝{1，3，6，7，8}，B＝{0，1，2，3，4}，则图中阴影部分所表示的集合为( )
A．{0，2，4} B．{2，4}
C．{0，2，3，4} D．{1，3}
5．[2022·福建省高三检测]已知集合A＝{x||x|<3}，B＝{x|x＋1<0}，则A∩( RB)＝( )
A. {x|－2C．{x|－1≤x<3} D．{x|－2≤x<3}
6．[2022·八省八校T8联考]设集合A＝{x|log2(x－1)<2}，B＝{x|x<5}，则( )
A．A＝B B．B A
C．A B D．A∩B＝
7．[2022·广东省高三一模]集合A＝{x|x<1}，B＝{x|log3x<0}，则( )
A．A∩B＝{x|x<0}
B．A∪B＝{x|x<1}
C．A∩B＝
D．A∪B＝{x|x<0}
8．[2021·全国乙卷]已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝( )
A. B．S
C．T D．Z
9．[2022·陕西省高三二模(理)]已知全集为U，集合A，B为U的子集，若( UA)∩B＝ ，则A∩B＝( )
A． UB B． UA
C．B D．A
10．[2022·四川省质量监测(二)]已知集合
A＝{x||x－2|≤1}，B＝{y|y＝x2－2}，则( RA)∩B＝( )
A．[－2，＋∞)
B．[－2，1]∪[3，＋∞)
C．[－2，1)∪(3，＋∞)
D．[－2，1]∪(3，＋∞)
二、填空题
11．已知U＝{1，2，a2－2a－3}，A＝{|a－2|，2}， UA＝{0}，则a的值为________．
12．已知集合A＝{1，3，a}，B＝{1，a2－a＋1}.若B A，则实数a＝________．
13．若集合A＝{x|(k＋2)x2＋2kx＋1＝0}有且仅有2个子集，则实数k的值为________.
[能力提升]
14．[2022·江西省一模(理)]已知集合A＝，B＝{x|x2＋x－2>0}，则A∩B＝( )
A．(－∞，2) B．(－2，2)
C．(1，2) D．(－∞，1)
15．[2022·广东省高三三模]已知集合A＝{x|ex<1}，B＝{x|ln x<0}，则( )
A．A∪B＝{x|x<1}
B．A∩B＝
C．A B
D．B A
16．[2022·安徽省高三质检] 设集合M＝{x|x＝C，m∈N*，m≤5}，则M的子集个数为( )
A. 8 B．16
C．32 D．64
17．[2022·新疆高三检测] 已知集合A＝{a|a＝3n－1，n∈Z}，B＝{b|b＝3n＋1，n∈Z}，全集U＝Z，则A∩( UB)＝( )
A．A B．B
C． D．Z专练12 变化率与导数、导数的计算
命题范围：导数的概念与运算、导数的几何意义．
[基础强化]
一、选择题
1．若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)等于( )
A．2 B．0
C．－2 D．－4
2．[2022·陕西省西安中学高三模拟]某旅游者爬山的高度h(单位：m)是时间t(单位：h)的函数，关系式是h＝－100t2＋800t，则他在2 h这一时刻的高度变化的速度是( )
A．500 m/h B．1 000 m/h
C．400 m/h D．1 200 m/h
3．[2022·江西省九江市二模]曲线f(x)＝x3－1在x＝1处的切线倾斜角是( )
A． B．
C． D．
4．在等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)，则f′(0)＝( )
A．26 B．29
C．212 D．215
5．[2022·辽宁沈阳二中模拟]函数y＝f(x)的图像如图所示，下列不等关系正确的是( )
A．0B．0C．0D．06．已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为－，则切点的横坐标为( )
A．3 B．2
C．1 D．
7．f′(x)是f(x)＝sin x＋a cos x的导函数，且f′()＝，则实数a的值为( )
A． B．
C． D．1
8．已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与二次曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a等于( )
A．－2 B．0
C．1 D．8
9．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对于任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为( )
A．(－1，1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
二、填空题
10．[2021·全国甲卷]曲线y＝在点(－1，－3)处的切线方程为________．
11．[2022·江西省赣州市高三期末]设曲线y＝x2在点A(1，)处的切线与曲线y＝x ln x在点P处的切线互相平行，则点P的坐标为________．
12．[2022·安徽省江南十校一模]过坐标原点且与曲线y＝－x ln x－1相切的直线方程为________.
[能力提升]
13．[2022·江苏苏州模拟预测]已知奇函数f(x)＝(x2－2x)(ax＋b)(a≠0)在点(a，f(a))处的切线方程为y＝f(a)，则b＝( )
A.－1或1 B．－或
C．－2或2 D．－或
14．已知曲线f(x)＝e2x－2ex＋ax－1存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围是( )
A.(3，＋∞) B．(3，)
C．(－∞，) D．(0，3)
15．[2022·湖北黄冈中学二模]函数f(x)的图像如图所示，记A＝f′(x1)、B＝f′(x2)、C＝f′(x3)，则A、B、C最大的是________．
16．[2022·安徽安庆一中高三月考]若直线l：y＝kx＋b是曲线y＝ex的切线，切点为M(x1，y1)，也是曲线y＝(x＋1)2的切线，切点为N(x2，y2)，则2x1－x2＝________．专练5 函数的单调性与最值
命题范围：函数的单调性、最值．
[基础强化]
一、选择题
1．下列函数中，在区间(－1，1)上为减函数的是( )
A．y＝ B．y＝cos x
C．y＝ln (x＋1) D．y＝2－x
2．函数f(x)＝log(x2－4)的单调递增区间为( )
A.(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)
3．已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( )
A．aC．c4．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是( )
A．(－1，0)∪(0，1) B．(－1，0)∪(0，1]
C．(0，1) D．(0，1]
5．已知y＝f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(1－a)A．(－∞，) B．(0，＋∞)
C．(0，) D．(－∞，0)∪(，＋∞)
6．[2022·安徽省江南十校一模]已知函数f(x)＝2|x|，a＝f(log0.53)，b＝f(log45)，c＝f(cos )，则( )
A．a>c>b B．a>b>c
C．b>a>c D．c>a>b
7．[2022·河南省六市三模]函数f(x)是定义在R上的单调函数，f(f(x)－x＋1)＝1，则f(3)＝( )
A.9 B．8
C．3 D．1
8．已知函数f(x)＝若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B．(－1，2)
C．(－2，1)
D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
9．[2021·全国乙卷]设a＝2ln 1.01，b＝ln 1.02，c＝－1，则( )
A．a＜b＜c B．b＜c＜a
C．b＜a＜c D．c＜a＜b
二、填空题
10．[2022·福建省诊断性检测]写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)＝________．
①定义域为R；②值域为(－∞，1)；③对任意x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，均有>0.
11．已知函数f(x)＝loga(－x2－2x＋3)(a>0且a≠1)，若f(0)<0，则此函数f(x)的单调递增区间是________．
12．已知函数f(x)＝，x∈[2，5]，则f(x)的最大值是________．
[能力提升]
13．[2022·河南省高三质量预测] 若函数f(x)＝是定义在R上的增函数，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，1]∪{2} B．{1}∪[2，＋∞)
C．(－∞，1] D．[2，＋∞)
14．[2022·安徽省高三联考]已知函数f(x)＝log2(2x＋1)－x，若f(a－2)≥f(2a－1)恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．[－1，1]
B．(－∞，－1]
C．[0，＋∞)
D．(－∞，－1]∪[0，＋∞)
15．函数f(x)＝()x－log2(x＋2)在[－1，1]上的最大值为________．
16．f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有<0成立，则a的取值范围是________．专练1 集合及其运算
1．A 因为U＝{1，2，3，4，5}， UM＝{1，3}，所以M＝{2，4，5}，所以2∈M，3 M，4∈M，5∈M.故选A.
2．D 因为方程x2－4x＋3＝0的解为x＝1或x＝3，所以B＝{1，3}．又A＝{－1，2}，所以A∪B＝{－1，1，2，3}．因为U＝{－2，－1，0，1，2，3}，所以 U(A∪B)＝{－2，0}．故选D.
3．B 由题意知：A＝{x|2x≤，x∈N*}＝{1，2}，
B＝{x|log2(x－1)＝0}＝{2}，A∩B＝{2}．
4．A 因为A＝{1，3，6，7，8}，B＝{0，1，2，3，4}，所以A∩B＝{1，3}，由韦恩图可知阴影部分表示 B(A∩B)＝{0，2，4}．
5．C 由|x|<3，得－36．C ∵A＝{x|log2(x－1)<2}＝{x|log2(x－1)∴A错误，B错误，C正确，D错误．
7．B B＝{x|log3x<0}＝{x|0所以A∩B＝{x|0A∪B＝{x|x<1}，故选项B正确．选项D不正确．
8．C 通解 在集合T中，令n＝k(k∈Z)，则t＝4n＋1＝2(2k)＋1(k∈Z)，而集合S中，s＝2n＋1(n∈Z)，所以必有T S，所以T∩S＝T，故选C.
光速解 S＝{…，－3，－1，1，3，5，…}，T＝{…，－3，1，5，…}，观察可知，T S，所以T∩S＝T，故选C.
9．C 因为( UA)∩B＝ ，所以B A，所以A∩B＝B.
10．C 由题得A＝{x|－1≤x－2≤1}＝{x|1≤x≤3}，B＝[－2，＋∞)，所以 RA＝{x|x<1或x>3}，所以( RA)∩B＝[－2，1)∪(3，＋∞).
11．3
解析：由U＝{1，2，a2－2a－3}， UA＝{0}可得a2－2a－3＝0.又A＝{|a－2|，2}，故|a－2|＝1，所以得解得a＝3.
12．－1或2
解析：∵B A，∴a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a，
由a2－a＋1＝3，得a＝－1或a＝2，符合题意．
当a2－a＋1＝a时，得a＝1，不符合集合的互异性，故舍去，∴a的值为－1或2.
13．±2或－1
解析：若k＋2＝0，则A＝{x|－4x＋1＝0}，符合题意；
若k＋2≠0，由题意得得k＝2或k＝－1，综上得k＝±2或k＝－1.
14．C <0，解得00，解得x>1或x<－2，故B＝(－∞，－2)∪(1，＋∞)，故A∩B＝(1，2).
15．B 因为A＝{x|ex<1}＝{x|x<0}，B＝{x|ln x<0}＝{x|0所以A∪B＝{x|x<1且x≠0}，故A错误；A∩B＝ ，故B正确；
集合A、B不存在包含关系，故C、D错误．
16．A 因为x＝C，m∈N*，m≤5，由C＝C＝5，
C＝C＝10，C＝1，
故集合M有3个元素，故其子集个数为23＝8个．
17．A 由题设，A＝{…，－4，－1，2，5，8，…}，
B＝{…，－5，－2，1，4，7，…}，
所以A∩B＝ ，而 UB＝{…，－4，－3，－1，0，2，3，5，6，8，…}，则A? UB，
所以A∩( UB)＝A.
专练2 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
1．D 由否定的定义可知， p为 x0≥0，cos x0>ex0.
2．A 设y＝x－sin x，x>0，y′＝1－cos x≥0，
故y＝x－sin x，x>0为增函数，则x－sin x>0－sin 0＝0，故命题p： x∈(0，＋∞)，x－sin x>0为真命题，则 p为假命题，因为a2＋2≥2>1 ，故命题q： a∈R，f(x)＝log(a2＋2)x在定义域上是增函数为真命题， q为假命题，所以p∧q为真命题， p∧q为假命题，p∧ q为假命题，p∨q为真命题，则 (p∨q)为假命题．
3．D 当x＝2时，x2＝2x，所以命题p为假命题，则 p为真命题，
所以x＝时，sin ＋cos ＝>1，所以命题q为真命题，则 q为假命题，所以p∨q为真命题，( p)∧q为真命题，( p)∨( q)为真命题，p∨( q)为假命题．
4．D 若“p∧q”为真命题，则p，q均为真命题，故A正确；由“ac2>bc2”可推出“a>b”，当c＝0时ac2＝bc2，此时由“a>b”不能推出“ac2>bc2”，所以“ac2>bc2”是“a>b”的充分不必要条件，故B正确；命题“若x＝4，则x2－2x－8＝0”的否命题是“若x≠4，则x2－2x－8≠0”．故C正确；命题“ x≥0，都有3x≥1”的否命题是“ x≥0，使得3x<1”，故D错误．
5．A 对于命题p，由于函数y＝sin x∈[－1，1]，故 x0∈R，sin x0<1，是真命题；对于命题q：当“α＝β”时“sin α＝sin β”成立，反之不然，故“α＝β”是“sin α＝sin β”的充分不必要条件，是真命题．故p∧q是真命题，( p)∧q，p∧( q)， (p∨q)均为假命题．
6．A 当x＝0，y＝时，sin (x＋y)＝sin x＋sin y成立所以命题p为真命题，则 p是假命题；因为 x，y∈R，所以sin x≤1，sin y≤1，则sin x·sin y≤1，故命题q为真命题，则 q是假命题；所以p∧q是真命题，( p)∧q是假命题，p∧( q)是假命题， (p∨q)是假命题．
7．D ∵x2－4x＋4＝(x－2)2，∴x＝2 x2－4x＋4＝0，
∴A正确﹔∵m∈R时，Δ＝1＋4m，不能确定方程x2＋x－m＝0是否有根，∴B正确；
在△ABC中，∵A>B a>b sin A>sin B，∴ C正确；对于D， p： x∈R，x2－2x＋4≤0，∴D错误．
8．C 对于命题p： x0∈R，ln x0＝1，取x0＝e，则ln e＝1，所以命题p为真命题．
对于命题q，该物理量在一次测量中落在(9.9，10.0)与落在(10.2，10.3)的概率不相等，则该物理量在一次测量中落在(9.9，10.2)与落在(10，10.3)的概率不相等，所以命题q为假命题．
则p∧( q)，p∨q，( p)∨( q)为真命题，( p)∧( q)为假命题．
9．A 命题p：在△ABC中，若cos A＝cos B，由于余弦函数在(0，π)上单调递减，则A＝B，故命题p为真命题；
命题q：向量a与向量b相等的充要条件是向量a与向量b大小相等，方向相同，则命题q是假命题，则p∧( q)为真命题．
10． x∈(0，)，tan x≤sin x
11．[－，]
解析：命题“ x0∈R，使得3x＋2ax0＋1＜0”是假命题，即“ x∈R，3x2＋2ax＋1≥0”是真命题，故Δ＝4a2－12≤0，解得－≤a≤.
12．(－∞，－1)
解析：由“p或q”为真命题，得p为真命题或q为真命题．
当p为真命题时，设方程x2＋mx＋1＝0的两根分别为x1，x2，
则有
解得m<－2；
当q为真命题时，有Δ′＝16(m＋2)2－16<0，
解得－3综上可知，实数m的取值范围是(－∞，－1).
13．B 不等式组表示的平面区域D如图中阴影部分(包含边界)所示．
根据不等式组表示的平面区域结合图形可知，命题p为真命题，命题q也为真命题，所以根据复合命题真假判断结论可得ACD错误，B选项正确．
14．A 根据题意可得圆弧，，对应的半径分别为AB，BC－AB，AB－DG，也即AB，BC－AB，2AB－BC，
则弧长l，m，n分别为AB，(BC－AB)，(2AB－BC)，
则m＋n＝(BC－AB)＋(2AB－BC)＝AB＝l，故命题p为真命题；
ln＝(2AB2－AB×BC)＝(2×－)＝(7－3)，
而m2＝(1－)2＝(7－3)，故ln＝m2，命题q为真命题．
则p∧q为真命题，p∧( q)，( p)∧q，( p)∧( q)均为假命题．
15．3
解析：“ x0∈[－1，1]，x0＋2－a>0”的否定为“ x∈[－1，1]，都有x＋2－a≤0”，
因为“ x0∈[－1，1]，x0＋2－a>0”为假命题，
所以“ x∈[－1，1]，都有x＋2－a≤0”为真命题，
所以a≥x＋2在x∈[－1，1]上恒成立，所以a≥3，
所以实数a的最小值为3.
16．(－∞，3]
解析：若命题“ x∈R，ex＋1则a≤(ex＋e－x＋1)min，
因为ex＋e－x＋1≥2＋1＝3，当且仅当ex＝e－x，即x＝0时，等号成立，
所以(ex＋e－x＋1)min＝3，所以a≤3.
专练3 命题及其关系、充分条件与必要条件
1．B 由a>b>0，得>1，反之不成立，如a＝－2，b＝－1，满足>1，但是不满足a>b>0，故“a>b>0”是“>1”的充分不必要条件．
2．A 由题意，若x>2且y>3，由不等式的性质可得x＋y>5且xy>6，故充分性成立；反之取x＝1，y＝10满足x＋y>5且xy>6，但x>2且y>3不成立，故必要性不成立；故“x>2且y>3”是“x＋y>5且xy>6”的充分不必要条件．
3．D a＝b＝0的否定为a≠0或b≠0；a2＋b2＝0的否定为a2＋b2≠0，故选D.
4．C 由p是q的充分不必要条件可知p q，qD /p，由互为逆否命题的两命题等价可得 q p， pD / q，
∴ p是 q的必要不充分条件．选C.
5．C 设等差数列{an}的公差为d.因为{an}为递增数列，所以d>0.当n>1－，且n∈N*时，an＝a1＋(n－1)d>a1＋(1－－1)d＝0，故存在正整数N0≥1－，当n>N0时，an>0，即充分性成立．若存在正整数N0，当n>N0时，an>0，则当n>N0≥1时，a1＋(n－1)d>0.当a1≤0时，n－1>0，所以d>－≥0，即{an}为递增数列；当a1>0时，由题意得当n>N0时，an>0恒成立，即a1＋(n－1)d>0恒成立，所以d>－恒成立，所以d>(－)max.因为－随着n的增大而增大，且－恒为负值，所以d≥0，所以d>0，即{an}为递增数列，即必要性成立．故选C.
6．B 当a1<0，q>1时，an＝a1qn－1<0，此时数列{Sn}递减，所以甲不是乙的充分条件．当数列{Sn}递增时，有Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn>0，若a1>0，则qn>0(n∈N*)，即q>0；若a1<0，则qn<0(n∈N*)，不存在．所以甲是乙的必要条件．
7．A 由双曲线－＝1的焦点在x轴上可知，λ>0.于是“0<λ<4”是“双曲线－＝1的焦点在x轴上”的充分不必要条件．
8．B p：xa＋3，q：x≤－1或x≥，
p：a－3≤x≤a＋3.
因为 p是q的充分不必要条件，
所以a＋3≤－1或a－3≥，
得a∈(－∞，－4]∪.
9．D 由0<θ<π，可得0当sin θ＝时，方程可化为x2＋y2＝3，此时方程表示圆，所以充分性不成立；
反之：方程＋＝1表示椭圆，则满足，即sin θ>0且sin θ ≠，所以0<θ<π不成立，即必要性不成立，
所以“0<θ<π”是“方程＋＝1表示椭圆”的既不充分也不必要条件．
10．②③
解析：要使函数f(x)＝sin x＋有意义，则有sin x≠0，∴x≠kπ，k∈Z，∴定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，定义域关于原点对称．
又∵f(－x)＝sin (－x)＋＝－sin x－＝－＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
∴f(x)的图像关于原点对称，
∴①是假命题，②是真命题．
对于③，要证f(x)的图像关于直线x＝对称，只需证f＝f.
∵f＝sin ＋＝cos x＋，
f＝sin ＋＝cos x＋，
∴f＝f，∴③是真命题．
令sin x＝t，－1≤t≤1且t≠0，∴g(t)＝t＋，－1≤t≤1且t≠0，此函数图像如图所示(对勾函数图像的一部分)，∴函数的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)，
∴函数的最小值不为2，即f(x)的最小值不为2.∴④是假命题．
综上所述，所有真命题的序号是②③.
11．(－∞，－3]
解析：由x2＋x－6<0得－3即A＝(－3，2)，
由x－a>0，得x>a，即B＝(a，＋∞)，
由题意得(－3，2) (a，＋∞)，∴a≤－3.
12．[9，＋∞)
解析：由≤2，得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0得1－m≤x≤1＋m，
设p，q表示的范围为集合P，Q，则
P＝{x|－2≤x≤10}，
Q＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}．
因为p是q的充分而不必要条件，所以P?Q.
所以解得m≥9.
13．A 因为y＝x定义域为[0，＋∞)，且为增函数，又(a＋1)<(3－2a)，所以，解得－1≤a<，因为－1≤a< －214．B 对于不等式2x＋1由图像可知，不等式2x＋1因为{x|－115．②
解析：①中“x2＋x－2>0”是“x>1”的必要不充分条件，故①错误；
对于②，命题：“ x∈R，sin x≤1”的否定是“ x0∈R，sin x0>1”，故②正确；
对于③，“若x＝，则tan x＝1”的逆命题为“若tan x＝1，则x＝”，其为假命题，故③错误；
对于④，若f(x)是R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0，
∵log32＝≠－log23；
∴log32与log23不互为相反数，故④错误．
16．①③④
解析：对于命题p1，两两相交且不过同一点的三条直线的交点记为A、B、C，易知A、B、C三点不共线，所以可确定一个平面，记为α，由A∈α，B∈α，可得直线AB α，同理，另外两条直线也在平面α内，所以p1是真命题；
对于命题p2，当三点共线时，过这三点有无数个平面，所以p2是假命题，从而 p2是真命题；
对于命题p3，空间两条直线不相交，则这两条直线可能平行，也可能异面，所以p3是假命题，从而 p3是真命题；
对于命题p4，由直线与平面垂直的性质定理可知，是真命题，从而 p4是假命题．
综上所述，p1∧p4是真命题，p1∧p2是假命题，( p2)∨p3是真命题，( p3)∨( p4)是真命题，所以答案为①③④.
专练4 函数及其表示
1．B 由得∴集合A中的元素为(1，1).
2．A
3．C 设＋1＝t，则x＝(t－1)2(t≥1)，
∴f(t)＝(t－1)2＋1＝t2－2t＋2，
∴f(x)＝x2－2x＋2(x≥1).
4．B 由题意得解得－2≤x＜1或1＜x≤3.
5．B 由题意得得0≤x≤2 018且x≠1.
6．D 由，可得0≤x≤1；或，可得x>1；
综上，f(x)≤2的x取值范围是[0，＋∞).
7．B 当x∈[0，1]时，f(x)＝x；
当1≤x≤2时，设f(x)＝kx＋b，
由题意得得
∴当x∈[1，2]时，f(x)＝－x＋3.
结合选项知选B.
8．A f(1)＝2×1＝2，据此结合题意分类讨论：
当a>0时，2a＋2＝0，解得a＝－1，舍去；
当a≤0时，a＋2＋2＝0，解得a＝－4，满足题意．故选A.
9．C ∵f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，
∴当x＝2时，f(2)＝4，由f(x)＝－x2＋4x＝－5，得x＝5或x＝－1，∴要使函数在[m，5]的值域是[－5，4]，则－1≤m≤2.
10.＋1
解析：f(3)＝f(1)＝f(－1)＝＋1.
11．－
解析：当a≤1时，f(a)＝2a－2＝－3无解；
当a>1时，由f(a)＝－log2(a＋1)＝－3，
得a＋1＝8，a＝7，
∴f(6－a)＝f(－1)＝2－1－2＝－.
12．[0，3)
解析：由题意得ax2＋2ax＋3＝0无实数解，即y＝ax2＋2ax＋3与x轴无交点，当a＝0时y＝3符合题意；当a≠0时，Δ＝4a2－12a<0，得013．A 因为f(x＋2)＝2f(x)，
由题意f(21)＝f(19＋2)＝2f(19)＝22f(17)＝…＝210f(1)＝210.
14．B 作出函数f(x)的图像，f(x)在(－∞，0]，(0，＋∞)上分别单调递增．
由f(a－3) ＝f(a＋2)，若，即－2所以a＝，即a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1(不满足a＝，舍去)，
此时a＝2满足题意，则f(a)＝.
若，此时不存在满足条件的a.
15．4或－
解析：若f(a)≥0，则f(a)＝1，此时只能是a>0，于是a＝4；若f(a)<0，则f(a)＝－2，此时只能是a<0，于是a＝－(若a>0，由－1＝－2，解得a＝－2不满足题意).
16.
解析：由函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，可知函数f(x)的周期是4，所以f(15)＝f(－1)＝＝，所以f(f(15))＝f＝cos ＝.
专练5 函数的单调性与最值
1．D A项，x1＝0时，y1＝1，x2＝时，y2＝2>y1，所以y＝在区间(－1，1)上不是减函数，故A项不符合题意．B项，由余弦函数的图像与性质可得，y＝cos x在(－1，0)上递增，在(0，1)上递减，故B项不符合题意．C项，y＝ln x为增函数，且y＝x＋1为增函数，所以y＝ln (x＋1)为增函数，故C项不符合题意．D项，由指数函数可得y＝2x为增函数，且y＝－x为减函数，所以y＝2－x为减函数，故D项符合题意．
2．D 由x2－4>0得x>2或x<－2，∴f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，由复合函数的单调性可知，函数的单调增区间为(－∞，－2).
3．B ∵a＝log20.2<0，b＝20.2>1，c＝0.20.3∈(0，1)，
∴a4．D 由于g(x)＝在区间[1，2]上是减函数，所以a>0；由于f(x)＝－x2＋2ax在区间[1，2]上是减函数，且f(x)的对称轴为x＝a，则a≤1.综上有05．C ∵f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(1－a)6．B 由题意，f(－x)＝2|－x|＝2|x|＝f(x)，
故函数f(x)＝2|x|为偶函数，
且x>0时，f(x)＝2x，故函数在(0，＋∞)单调递增，
∵log23>log45＝log2>log22＝1，cos ＝，
∴a＝f(log0.53)＝f(log23)>b>c.
7．C 因为函数f(x)是定义在R上的单调函数，且f(f(x)－x＋1)＝1，所以f(x)－x＋1为常数，记f(x)－x＋1＝m，则f(x)＝x＋m－1，所以f(m)＝1，即f(m)＝2m－1＝1，故m＝1.
所以f(x)＝x，故f(3)＝3.
8．C f(x)＝
由f(x)的图像可知f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
由f(2－a2)>f(a)得2－a2>a，
即a2＋a－2<0，解得－29．B b－c＝ln 1.02－＋1，设f(x)＝ln (x＋1)－＋1，则b－c＝f(0.02)，f′(x)＝－＝，当x≥0时，x＋1＝≥，故当x≥0时，f′(x)＝≤0，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递减，所以f(0.02)a－c＝2ln 1.01－＋1，设g(x)＝2ln (x＋1)－＋1，则a－c＝g(0.01)，g′(x)＝－＝，当0≤x<2时，≥ ＝x＋1，故当0≤x<2时，g′(x)≥0，所以g(x)在[0，2)上单调递增，所以g(0.01)>g(0)＝0，故c10．f(x)＝1－(答案不唯一)
解析：f(x)＝1－，定义域为R；>0，f(x)＝1－<1，值域为(－∞，1)；是增函数，满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，均有>0.
11．[－1，1)
解析：∵f(0)＝loga3<0，∴012．3
解析：f(x)＝＝＝1＋，显然f(x)在[2，5]上单调递减，∴f(x)max＝f(2)＝1＋＝3.
13．B y＝x－2在R上单调递增，y＝x2－2x＝(x－1)2－1在(1，＋∞)上单调递增．
要使函数f(x)＝是定义在R上的增函数，
只需，解得m＝1或m≥2.
所以实数m的取值范围是{1}∪[2，＋∞).
14．A 因为函数f(x)的定义域为R，所以
f(－x)＝log2(2－x＋1)＋x＝log2(2x＋1)－x＝f(x)，即函数f(x)为偶函数．
又当x>0时，f′(x)＝－＝>0，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
而f(a－2)≥f(2a－1)等价于f(|a－2|)≥f(|2a－1|)，所以|a－2|≥|2a－1|，
化简得，a2≤1，所以－1≤a≤1.
15．3
解析：∵y＝在R上单调递减，y＝log2(x＋2)在[－1，1]上单调递增，∴f(x)在[－1，1]上单调递减，∴f(x)max＝f(－1)＝3.
16.
解析：∵对任意x1≠x2，都有<0成立，
∴f(x)在定义域R上为单调递减函数，
∴解得0∴a的取值范围是.
专练6 函数的奇偶性与周期性
1．B 通解 因为f(x)＝，所以f(x－1)＝＝，f(x＋1)＝＝.
对于A，F(x)＝f(x－1)－1＝－1＝，定义域关于原点对称，但不满足F(x)＝－F(－x)；
对于B，G(x)＝f(x－1)＋1＝＋1＝，定义域关于原点对称，且满足G(x)＝－G(－x)；
对于C，f(x＋1)－1＝－1＝＝－，定义域不关于原点对称；
对于D，f(x＋1)＋1＝＋1＝＝，定义域不关于原点对称．
故选B.
光速解 f(x)＝＝＝－1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y＝f(x)的图像向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的图像对应的函数为y＝f(x－1)＋1，故选B.
2．B
3．D ∵f(x)为奇函数，∴f(－8)＝－f(8)＝－log28＝－3.
4．C 因为函数f(x)是定义域为R的偶函数，
所以f(x)＝f(－x)，
又因为f(1＋x)＝f(1－x)，
所以f(2－x)＝f(x)，
则f(2－x)＝f(－x)，即f(2＋x)＝f(x)，
所以周期为T＝2，
因为f()＝1，f(－)＝f(2－)＝f()＝1.
5．A 由题进行化简：f(x)＝ln ＝ln 2－ln x，
令g(x)＝f(1＋x)－f(1－x)＝ln 2－ln (1＋x)－ln 2＋ln (1－x)＝ln (1－x)－ln (1＋x)，
g(－x)＝ln (1＋x)－ln (1－x)＝－g(x)，符合定义，故A正确；令g(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)＝ln 2－ln (1－x)＋ln 2－ln (1＋x)＝2ln 2－ln (1－x)－ln (1＋x)，
g(－x)＝2ln 2－ln (1＋x)－ln (1－x)≠－g(x)，故B错误；令g(x)＝f(x＋1)＋1＝ln 2－ln (x＋1)＋1，g(－x)＝ln 2－ln (－x＋1)＋1≠－g(x)，故C错误；令g(x)＝f(x－1)－1＝ln 2－ln (x－1)－1，g(－x)＝ln 2－ln (－x－1)－1≠－g(x)，故D错误．
6．D ∵f(x＋2)为偶函数，∴f(2＋x)＝f(2－x)，
又f(x)为奇函数，∴f(－x＋2)＝－f(x－2)，
∴f(x＋2)＝－f(x－2)，∴f(x＋4)＝－f(x)，
∴f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，
∴f(x)是以8为周期的周期函数，
∵f(0)＝0，∴f(2 016)＝f(0)＝0，f(2 017)＝f(1)＝1，
∴f(2 016)＋f(2 017)＝0＋1＝1.
7．A 因为函数f(x)是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
所以由f(x)＝f(－x＋2) f(－x)＝f(x＋2)＝－f(x) f(x＋4)＝－f(x＋2) f(x)＝f(x＋4)，所以该函数的周期为4，
所以f(2 022)＝f(505×4＋2)＝f(2)＝f(－2＋2)＝f(0)＝0.
8．C 依题意对任意的x∈R，函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝4，f(x)－2＋f(－x)－2＝0，所以函数F(x)＝f(x)－2为奇函数，
g(x)＝f(x)＋，
令G(x)＝g(x)－2＝f(x)－2＋＝F(x)＋(x∈R)，
G(－x)＝F(－x)＋＝－F(x)＋＝－G(x)，
所以G(x)为奇函数，
所以G(x)在区间[－2022，2 022]上的最大值与最小值之和为0，
所以g(x)＝G(x)＋2，所以函数g(x)的最大值与最小值之和4.
9．D 因为f(x－1)为定义在R上的奇函数，所以f(x)的图像关于点(－1，0)对称，
且f(－1)＝0，又f(1)＝0，所以f(－3)＝0.
依题意可得，当－31时，f(x)<0.
所以f(2x－5)<0等价于－3<2x－5<－1或2x－5>1，
解得1log26.
10．－
解析：因为log32∈(0，1)，所以－log32∈(－1，0)，
由f(x)为奇函数得f(log32)＝－f(－log32)
＝－f(log3)＝－3log3＝－.
11．2或－1
解析：根据条件，由f(0)＝0，求出a的值，再检验即可．
函数f(x)＝3x－·3－x(a≠0)为奇函数，其定义域为R ，
由f(0)＝1－＝0，解得a＝2或a＝－1，
当a＝2时，f(x)＝3x－3－x，
则f(－x)＝3－x－3x＝－f(x)，满足条件．
当a＝－1时，f(x)＝3x－3－x，则f(－x)＝3－x－3x＝－f(x)，满足条件．
12．(－∞，－2]
解析：当x>时，f(x)＝x＋＋m≥2＋m，当且仅当x＝，即x＝1时等号成立，
故当x>时，f(x)∈[2＋m，＋∞)，又由f(1－x)＝－f(x)可得f(x)关于(，0)对称，且由f(1－)＝－f()可得f()＝0，
故[2＋m，＋∞)只需包含区间(0＋∞)即可，故2＋m≤0，
故m∈(－∞，－2].
13．D 若y＝g(x)的图像关于直线x＝2对称，则g(2－x)＝g(2＋x).因为f(x)＋g(2－x)＝5，所以f(－x)＋g(2＋x)＝5，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．由g(2)＝4，f(0)＋g(2)＝5，得f(0)＝1.由g(x)－f(x－4)＝7，得g(2－x)＝f(－x－2)＋7，代入f(x)＋g(2－x)＝5，得f(x)＋f(－x－2)＝－2，所以f(x)的图像关于点(－1，－1)中心对称，所以f(1)＝f(－1)＝－1.由f(x)＋f(－x－2)＝－2，f(－x)＝f(x)，得f(x)＋f(x＋2)＝－2，所以f(x＋2)＋f(x＋4)＝－2，所以f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)为周期函数，且周期为4.由f(0)＋f(2)＝－2，得f(2)＝－3.又因为f(3)＝f(－1)＝f(1)＝－1，所以f(4)＝－2－f(2)＝1，所以f(k)＝6f(1)＋6f(2)＋5f(3)＋5f(4)＝6×(－1)＋6×(－3)＋5×(－1)＋5×1＝－24.故选D.
14．A 因为函数y＝f(x)的定义域为R，且f(－x)＝－f(x)，
所以函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(0)＝log2a＝0，解得a＝1，
即f(x)＝log2(x＋1)，f(1)＝log22＝1；
因为y＝f(x＋1)为偶函数，
所以f(x＋1)＝f(－x＋1)，
即y＝f(x)的图像关于x＝1对称，
又y＝f(x)满足f(－x)＝－f(x)，
所以f(x＋1)＝－f(x－1)，
则f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
即函数y＝f(x)是周期函数，周期为4，
则f(2 022)＋f(2 023)＝f(2)＋f(3)＝－f(0)－f(1)＝－1.
15．A 因为y＝f(x)图像关于点(0，0)与点(1，0)对称，所以f(－x)＋f(x)＝0，且f(2－x)＋f(x)＝0，所以f(2－x)＝f(－x)，即f(x)＝f(x＋2)，所以f(x)是以2为周期的周期函数，当x∈(－1，0]时，f(x)＝－x2，所以f()＝f(－＋2)＝f(－)＝－(－)2＝－.
16．B 由题意，函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝sin πx，
当x∈[－1，0)时，f(x)＝－f(－x)＝－sin (－πx)＝sin πx，即f(x)＝sin πx，x∈[－1，1]，又由当x>1时，f(x)＝2f(x－2)，可画出函数图像，如图所示．
由图知，当3≤x≤5时，f(x)＝4f(x－4)＝4sin (πx－4π)＝4sin πx；
则当－5≤x≤－3时，f(x)＝－f(－x)＝4sin πx；
当－5≤x≤－3时，令4sin πx＝2，
解得x1＝－，x2＝－(舍去)，
若对任意x∈[－m，m]，f(x)≤2成立，所以m的最大值为.
专练7 二次函数与幂函数
1．C 设f (x)＝xα，则＝2α＝3，
∴f()＝()α＝.
2．D 依题意，f(x)＝|4－x|·(x－1)＝，
作出函数f(x)的大致图像如图所示；
观察可知，函数f(x)在(－∞，)，(4，＋∞)上单调递增，在(，4)上单调递减．
3．A 因为函数y＝(m2－m－1)x－5m－3既是幂函数又是在(0，＋∞)上的减函数，所以解得m＝2.
4．A 函数图像的对称轴为x＝，由题意得≥4，解得a≥8.故选A.
5．C 由题设，f(x)对称轴为x＝2且图像开口向下，则f(x)在(0，2)上递增，在(2，＋∞)上递减，
由f(x)＝ax2－4ax＋2＝ax(x－4)＋2，即f(x)恒过(4，2)且f(0)＝2，
所以在(0，4)上f(x)>2，(4，＋∞)上f(x)<2，
而y＝log2x在(0，＋∞)上递增，且在(0，4)上y<2，在(4，＋∞)上y>2，
所以f(x)>log2x的解集为(0，4).
6．C 二次函数y＝x2－4x＋a，对称轴为x＝2，开口向上，
在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，
要使二次函数f(x)＝x2－4x＋a的两个零点都在区间(1，＋∞)内，
需，解得3故实数a的取值范围是(3，4).
7．B 由题意得
∴ac＝1，又a>0，∴c>0.
∴＋≥2＝6(当且仅当＝，即a＝3，c＝时等号成立).
8．A ∵f(x)的定义域为[0，＋∞)，且f(－x)＝－x(e－x＋ex)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，又当x>0时，f′(x)＝ex＋e－x＋(ex－e－x)x>0，
∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数，故选A.
9．A 当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝x3，
∴f(x)＝x3(x∈R)，
易知f(x)在R上是增函数，
结合f(－4t)>f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，
知－4t>2m＋mt2对任意实数t恒成立 mt2＋4t＋2m<0对任意实数t恒成立 m∈(－∞，－)，故选A.
10．－1
11．f(x)＝x2
解析：幂函数f(x)＝x－k2＋k＋2(k∈N*)满足f(2)0，∴－112.
解析：设g(x)＝f(x)－kx＝x2＋(2－k)x＋1，由题意知g(x)≤0对任意实数x∈(1，m]都成立的m的最大值是5，所以x＝5是方程g(x)＝0的一个根，即g(5)＝0，可以解得k＝(经检验满足题意).
13．B f(x)＝－4tan x－＝－tan2x－4tanx－1＝－(tan x＋2)2＋3，
当tan x＝－2时，f(x)取得最大值，且最大值为3.
14．B 因为图像与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，
即b2>4ac，①正确．
对称轴为x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，②错误．
结合图像，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误．
由对称轴为x＝－1知，b＝2a.又函数图像开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a15．－4x2＋4x＋7
解析：设f(x)＝a(x－m)2＋n，∵f(2)＝f(－1)，
∴f(x)的对称轴为x＝＝，∴m＝.
又f(x)max＝8，∴n＝8，又f(2)＝a＋8＝－1，
得a＝－4，∴f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.
16.
解析：由f(x)>0，即ax2－2x＋2>0，x∈(1，4)，得a>－＋在(1，4)上恒成立．令g(x)＝－＋＝－2＋，因为∈，所以g(x)max＝g(2)＝，所以要使f(x)>0在(1，4)上恒成立，只要a>即可，故实数a的取值范围是.
专练8 指数与指数函数
1．C 由题意得得a＝2.
2．A 若函数g(x)＝3x＋t的图像不经过第二象限，则当x＝0时，g(x)≤0，即30＋t≤0，解得t≤－1.故选A.
3．A ＝a2x＋a－2x－1＝－1＋－1＝－1＋＋1－1＝2－1.
4．B ∵y＝ax在[0，1]上单调，∴a0＋a1＝3，得a＝2.
5．D 由f(x)＝ax－b的图像知00，∴b<0.
6．A a＝log52＝log54，而0由eb＝，得b＝ln c＝，而ln 3>ln e＝1，即c>；所以c>a>b.
7．D 因为a＝log0.6220＝1，所以a8．C 由复合函数的单调性可知，函数f(x)的单调减区间为(－∞，0).
9．C I(t*)＝＝0.95K，整理可得e0.23(t*－53)＝19，两边取自然对数得0.23(t*－53)＝ln 19≈3，解得t*≈66，故选C.
10．－
解析：原式＝＋－＋1＝＋500－10(＋2)＋1＝＋10－10－20＋1＝－.
11．0.52
解析：由题可知P(t)＝2(1＋10%)t＝2×1.1t，
所以P′(t)＝2×1.1t ln 1.1，
所以P′(10)＝2×1.110ln 1.1≈2×2.59×0.1＝0.518≈0.52，
即GDP增长的速度大约是0.52.
12．x>1
解析：定义在R上的函数f(x)＝2x＋a·2－x的图像关于原点对称，
则f(0)＝20＋a·20＝0，解之得a＝－1，经检验符合题意，
y＝2x、y＝－2－x均为R上增函数，则f(x)＝2x－2－x为R上的增函数，
又f(1)＝21－2－1＝，
则不等式f(2x－1)>等价于2x－1>1，解之得x>1.
13．B 由函数f(x)＝，
得函数f(x)在(－∞，4)上递增，在(4，16)上递减，在(16，＋∞)上递增，
作出函数y＝2x和y＝x2的图像，如图所示，
令2x＝x2，得x＝2或4，
结合图像可知，当0≤x<2时，4>2x>x2≥0，则f(2x)>f(x2)，
当2≤x≤4时，4≤2x≤x2≤16，则f(2x)≥f(x2)，
当x>4时，2x>x2>16，则f(2x)>f(x2)，
综上所述，当x≥0时，f(2x)≥f(x2).
14．D 设f(x)＝ex－x－1，可得f′(x)＝ex－1，
令f′(x)＝0，解得x＝0，
当x<0时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x>0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以f(x)>f(0)＝0，即ex>x＋1，
则a＝2e－0.2>2×(－0.2＋1)＝1.6，
b＝e0.2>0.2＋1＝1.2，所以c＝1.2最小，
又由＝＝，因为e0.4所以＝<1，所以b综上可得c15．6
解析：由题意得f(p)＝，f(q)＝－，
所以
①＋②，
得＝1，
整理得2p＋q＝a2pq，又2p＋q＝36pq，
∴36pq＝a2pq，又pq≠0，
∴a2＝36，∴a＝6或a＝－6，又a>0，得a＝6.
16.
解析：设t＝2x，则y＝4x＋m·2x－2＝t2＋mt－2.
因为x∈[－2，2]，所以t∈.
又函数y＝4x＋m·2x－2在区间[－2，2]上单调递增，
即y＝t2＋mt－2在区间上单调递增，
故有－≤，解得m≥－.
所以m的取值范围为.
专练9 对数与对数函数
1．B 原式＝lg ＋lg 4－2＝lg －2＝1－2＝－1.
2．D 由题意得log(3x－2)≥0，即0<3x－2≤1.
∴3．A 函数f(x)＝log(x2－2x)的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)，由复合函数的单调性可知，函数f(x)＝log(x2－2x)的单调增区间为(－∞，0).
4．A ∵f(x)＝(m－2)xa为幂函数，∴m－2＝1，m＝3，
∴g(x)＝loga(x＋3)，又g(－2)＝0，
∴g(x)的图像过(－2，0).
5．A 因为a＝log0.222 0222 0220＝1，所以a6．D ∵y＝log45>1，z＝log34>1，
∴＝＝log45·log43≤()2＝()2＝(log4)2<(log44)2＝1，
即z>y，
∵＝log33，而(3)3＝34＝81>43＝64，
∴＝log33>log34，又＝()1<()，
∴x>z，综上，x>z>y.
7．C f(x)的定义域为(0，2)，
f(x)＝ln x＋ln (2－x)＝ln [x(2－x)]＝ln (－x2＋2x).
设u＝－x2＋2x，x∈(0，2)，
则u＝－x2＋2x在(0，1)上单调递增，
在(1，2)上单调递减．
又y＝ln u在其定义域上单调递增，
∴f(x)＝ln (－x2＋2x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减．
∴选项A、B错误；
∵f(x)＝ln x＋ln (2－x)＝f(2－x)，
∴f(x)的图像关于直线x＝1对称，
∴选项C正确；
∵f(2－x)＋f(x)＝[ln (2－x)＋ln x]＋[ln x＋ln (2－x)]＝2[ln x＋ln (2－x)]，不恒为0，
∴f(x)的图像不关于点(1，0)对称，
∴选项D错误．
8．B 由y＝logax的图像可知loga3＝1，
所以a＝3.对于选项A：y＝3－x＝为减函数，A错误；
对于选项B：y＝x3，显然满足条件；
对于选项C：y＝(－x)3＝－x3在R上为减函数，C错误；
对于选项D：y＝log3(－x)，当x＝－3时，y＝1，D错误．
故选B.
9．A 依题意a∈(0，1)∪(1，＋∞)且－3x2＋4ax－1>0，所以Δ＝16a2－12>0，解得a>或a<－，综上可得a∈(，1)∪(1，＋∞)，
令－3x2＋4ax－1＝0的根为x1、x2且x1若a∈(1，＋∞)，则y＝logau在定义域上单调递增，u(x)＝－3x2＋4ax－1在(x1，)上单调递增，在(，x2)上单调递减，
根据复合函数的单调性可知，f(x)＝loga(－3x2＋4ax－1) 在(x1，)上单调递增，在(，x2)上单调递减，函数不存在最小值，故舍去；
若a∈(，1)，则y＝logau在定义域上单调递减，u(x)＝－3x2＋4ax－1在(x1，)上单调递增，在(，x2)上单调递减，
根据复合函数的单调性可知，f(x)＝loga(－3x2＋4ax－1)在(x1，)上单调递减，在(，x2)上单调递增，所以函数在x＝取得最小值，所以a∈(，1).
10．－7
解析：∵f(3)＝log2(9＋a)＝1，∴9＋a＝2，a＝－7.
11．8
解析：因为函数y＝，y＝－log2(x＋4)在区间[－2，2]上都单调递减，所以函数f(x)＝－log2(x＋4)在区间[－2，2]上单调递减，所以函数f(x)的最大值为f(－2)＝－log2(－2＋4)＝9－1＝8.
12.
解析：∵0<－x2＋2≤2，∴log2(－x2＋2)≤log22＝.
13．B 由75－15＝()(105－15)，有()＝，
又30－15＝()(75－15)，
有()＝，即()m＝，
则m lg ＝lg ，
解得m＝＝≈3.4.
14．C 4.9＝5＋lg V lg V＝－0.1 V＝10－＝≈≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.
15．B x＝log4(20 211 226×1 314 520)＝log2(20 211 226×1 314 520)，设20 211 226＝2m，1 314 520＝2n，由表格得知：220＝1 048 576，221＝2 097 152，224＝16 777 216，225＝33 554 432，所以2416．[－1，＋∞)
解析：∵函数f(x)＝loga(－x＋1)(a>0且a≠1)在[－2，0]上的值域是[－1，0]，而f(0)＝0，∴f(－2)＝loga3＝－1，∴a＝，∴g(x)＝－3，令g(x)＝0，得x＝－m－1，则－m－1≤0，求得m≥－1，故m的取值范围为[－1，＋∞).
专练10 函数的图像
1．A 设函数f(x)＝(3x－3－x)cos x，则对任意x∈[－，]，都有f(－x)＝(3－x－3x)cos (－x)＝－(3x－3－x)cos x＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，因此排除B，D选项．又f(1)＝(3－3－1)cos 1＝cos 1＞0，所以排除C选项．故选A.
2．A 把函数y＝log2x的图像上所有点的纵坐标缩短为原来的，横坐标不变，得到函数y＝log2x的图像，再向右平移1个单位，得到函数y＝log2(x－1)的图像，即函数y＝log2(x－1)＝log2的图像．
3．A 对于B选项，f()＝0，与题图不符；
对于C选项，当π0，则f(x)＝>0，与题图不符；对于D选项，f()＝0，与题图不符．
排除BCD选项．
4．C f(－x)＝＝
＝－＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数，排除A选项；令x2＋|x|－2＝0，得x＝1或x＝－1，所以f(x)在x＝1和x＝－1处没有意义，函数图像存在虚线，当取1.000 001时，f(x)分母为正，分子为正所以函数值为正数，排除B选项；
当x＝－时，f(x)分母为负，分子为负，所以f(x)为正数，排除D选项；对比图像和函数值知只有C选项符合题意．
5．D 函数f(x)在x＝0处无定义，排除选项A，函数f(x)的图像关于原点对称，故f(x)为奇函数，排除选项B，当00，ex>e－x，故>0，排除选项C.
6．A 函数f(x)＝＝1＋，∵≠0，∴f(x)≠1.故A正确；显然f(x)的图像关于(－1，1)成中心对称，故B不正确；∵当x＝－2时，f(x)＝0，故图像与x轴有交点，C不正确；由函数的概念知D不正确．
7．B 图②是由图①y轴左侧图像保留，左右关于y轴对称得，故图②对应的解析式为y＝f(－|x|).
8．A 易知函数f(x)＝sin x的定义域为R，
且f(－x)＝sin (－x)＝sin (－x)＝sin x＝f(x)，
所以函数f(x)＝sin x为偶函数，排除选项C，D；
又f(2)＝sin 2<0，所以排除选项B.
9．D 由题意知y＝＝的图像是双曲线，且关于点(1，0)成中心对称，又y＝2sin πx的周期为T＝＝2，且也关于点(1，0)成中心对称，
因此两图像的交点也一定关于点(1，0)成中心对称，
再结合图像(如图所示)可知两图像在[－2，4]上有8个交点，
因此8个交点的横坐标之和x1＋x2＋…＋x8＝4×2＝8.故选D.
10．(－2，4)
解析：由题意得f(2)＝3，又y＝f(x)与y＝f(－x)的图像关于y轴对称，∴y＝f(－x)过点(－2，3)，∴y＝f(－x)＋1的图像过点(－2，4).
11.∪
解析：当x∈时，y＝cos x>0.
当x∈时，y＝cos x<0.
结合y＝f(x)，x∈[0，4]上的图像知，
当1又函数y＝为偶函数，
∴在[－4，0]上，<0的解集为，
所以<0的解集为∪.
12．(0，1)∪(1，4)
解析：根据绝对值的意义，
y＝＝
在直角坐标系中作出该函数的图像，如图中实线所示，根据图像可知，当013．A y＝f(x)＝画出分段函数的大致图像，如图所示．故选A.
14．D 当a＝0时，f(x)＝|x＋1|＝，图像为A；
当a＝1时，f(x)＝|x＋1|＋x＝，图像为C；当a＝－1时，f(x)＝|x＋1|－x＝，图像为B.
当x≥－1时f(x)＝x＋1＋ax＝(1＋a)x＋1为常数函数，则1＋a＝0，解得a＝－1，显然与B的图像矛盾，故D错误．
15．B 由题f′(x)＝x2＋2ax＋b(a<0，b<0)，Δ＝4a2－4b>0，
导函数有两个变号零点即原函数有两个极值点x1，x2，
且x1＋x2＝－2a>0，x1·x2＝b<0，只有B图符合．
16．①②④
解析：画出|f(x)|＝|ex－2|的函数图像，如图：
h(x)＝kx－2k＋1经过定点(2，1)，从图中可以看出存在实数k，使得方程|f(x)|＝h(x)恰有一个根；①正确；
存在实数k，使得方程|f(x)|＝h(x)恰有三个根，②正确；
要想对任意实数a，存在不相等的实数x1，x2，使得f(x1)－f(x2)＝g(x1)－g(x2)，只需函数f(x)＝ex－2，g(x)＝x2＋ax(a∈R)始终有两个交点，当a＝1时，g(x)＝x2＋x＝(x＋)2－，开口向上，且最小值为－，此时图像如图所示：由于指数函数的增长速度高于二次函数，显然此时两函数只有一个交点，故③错误；
要想对任意实数a，存在不相等的实数x1，x2，使得f(x1)－f(x2)＝g(x2)－g(x1)，即f(x1)－f(x2)＝－[g(x1)－g(x2)]，只需f(x)＝ex－2与－g(x)＝－x2－ax，无论a取何值，都有两个交点，其中－g(x)＝－x2－ax＝－(x＋)2＋开口向下，且有最大值为≥0，且恒过(0，0)，画出两函数图像如下，其中－g(x)＝－x2－ax＝－(x＋)2＋为一组抛物线，用虚线表示：
无论a取何值，都有两个交点，④正确．
专练11 函数与方程
1．B 由题意得x2－ax＋b＝0有两根2，3.
∴得
由bx2－ax－1＝0，得6x2－5x－1＝0，
得x＝－或x＝1.
2．C 令f(x)＝log4x＋x－7，则函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且函数在(0，＋∞)上连续．因为f(5)<0，f(6)>0，所以f(5)f(6)<0，所以函数f(x)＝log4x＋x－7的零点所在的区间为(5，6)，即方程log4x＋x＝7的根所在区间是(5，6).故选C.
3．A 由得x1＝－3，由得x2＝10，∴函数f(x)的所有零点之和为10－3＝7.
4．D ∵f＝＋1>0，
f(1)＝>0，f(e)＝－1<0，
∴f(x)在内无零点，在(1，e)内有零点．
5．B ∵f(x)＝ln x＋2x－6在(0，＋∞)上单调递增，又f(2)＝ln 2＋4－6<0，f(3)＝ln 3>0，
∴f(x)的零点位于(2，3).
6．C 令f(x)＝log3x＋x－3，显然f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(2)＝log32－1<0，f(3)＝log33＋3－3＝1>0，∴函数f(x)的零点所在的区间为(2，3)即方程的解所在的区间为(2，3).
7．B ∵函数f(x)＝x－为单调增函数，且f(0)＝－1<0，f(1)＝>0, ∴f(x)在(0，1)内有一个零点．
8．D 当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－x2－3x，
∴g(x)＝
由
得x＝1或x＝3；
由得x＝－2－，故选D.
9．D 由于|f(x)|≥0，故必须－k≥0，即k≤0，显然k＝0时两个函数图像只有一个公共点，所以k<0，f(x)＝kx＋2恒过点(0，2)，要使y＝|f(x)|与y＝－k的图像有三个公共点(如图所示)，只要－k≥2，即k≤－2即可．故选D.
10.
解析：当a＝0时，函数f(x)＝1在(－1，1)上没有零点，所以a≠0.所以函数f(x)是单调函数，要满足题意，只需f(－1)f(1)<0，即(－3a＋1)·(1－a)<0，所以(a－1)(3a－1)<0，解得11．±1
解析：由题意得或
得x0＝±1.
12．(3，5)
解析：∵偶函数f(x)满足f(x)＝f(x＋2)且当x∈[－1，0]时，f(x)＝x2，
∴函数f(x)的周期为2.在区间[－1，3]内函数g(x)＝f(x)－loga(x＋2)有3个零点等价于f(x)的图像与y＝loga(x＋2)的图像在区间[－1，3]内有3个交点．
当01且loga(1＋2)<1，loga(3＋2)>1，解得a∈(3，5).
13．A 作出函数f(x)的图像如图所示：
由图可知，当0由图可知，点(x3，a)、(x4，a)关于直线x＝5对称，则x3＋x4＝10，
由图可知，2由f(x1)＝f(x2)可得－log2(x1－2)＝log2(x2－2)，所以，x1－2＝，
所以，可得x1＝＋2，
所以，＋＝2x1＋＝＋＋4，
易知函数g(x)＝＋＋4在(3，4)上为减函数，且g(3)＝，g(4)＝，
故＋＝＋＋4∈(，).
14．D 若x∈[2n－1，2n)(n∈N*)，即∈[，1)，
有f(x)＝f()＋n＝n＋1－，
作出函数y＝f(x)，y＝logax的图像，如图，
由图像，可以发现当a∈[2，＋∞)时，两者无公共点，当f(2)＝loga2时，即loga2＝，a＝时，有两个公共点，故由图像可知，当a∈(1，)时，两者有唯一公共点，当a<1时，由f(x)＝1－x与y＝logax相切于点(1，0)时，由k＝y′|x＝1＝＝－1可得a＝，
结合图像可知，a∈(0，)时，两者有唯一公共点．
综上，a的取值范围是(0，)∪(1，).
15．D 设g(x)＝2x＋2－x－2，因为g(－x)＝g(x)，所以g(x)是偶函数，g(0)＝0，g(x)＝2x＋2－x－2≥2－2＝0(当且仅当x＝0时等号成立)，
故g(x)是偶函数，且最小值为0，
函数y＝2x－1＋21－x－2可以由函数y＝2x＋2－x－2的图像向右平移1个单位长度得到，
函数f(x)图像如图所示：
则x3＋x4＝2，且f(x3)≤f(0)＝，
因为f(x1)＝f(x2)，
所以log4(－x1)＝－log4(－x2)，
所以log4(－x1)＋log4(－x2)＝0，
即(－x1)(－x2)＝1，
因为|log4(－x2)|≤，
即log4(－x2)≥－，所以x2∈(－1，－]，
所以x1＋x2＝＋x2，
又因为h(t)＝t＋，t∈(－1，－]，
任取t1，t2∈(－1，－]，且t1则h(t1)－h(t2)＝t1＋－t2－＝(t1－t2)＋＝，
因为t1－t2<0，t1t2－1<0，
所以h(t1)－h(t2)>0，即h(t1)>h(t2).
所以y＝h(t)＝t＋在t∈(－1，－]上单调递减，
所以x1＋x2≥－2－＝－，
所以x1＋x2＋x3＋x4的最小值是－.
16．D f(x)＝＝＝1＋(x>1)，
因为x>1，所以x－1>0，
所以f(x)>1，且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，
α，β分别是方程f(x)＝ex，f(x)＝ln x的根，
因为y＝ex与y＝ln x互为反函数，
所以y＝ex与y＝ln x的图像关于直线y＝x对称，
由，得，
画出函数y＝ex，y＝ln x和f(x)＝(x>1)的图像，
由图可得
1<α<2，
因为当x＝3时，ln 3＝ln 当x＝4时，ln 4＝ln >ln ＝＝，
所以3<β<4，
所以4<α＋β<6，所以①正确，
对于②，由图可得1因为1<α<2，所以e<αβ<2e2，所以②正确，
对于③，因为f(x)＝＝＝1＋(x>1)的图像关于直线y＝x对称，
因为y＝ex和y＝ln x互为反函数，
所以(α，)与(β，)关于直线y＝x对称，
所以α＝或β＝，化简得α＋β＝αβ，所以③正确．
专练12 变化率与导数、导数的计算
1．D ∵f(x)＝2xf′(1)＋x2，
∴f′(x)＝2f′(1)＋2x，
∴f′(1)＝2f′(1)＋2，
∴f′(1)＝－2，
∴f(x)＝－4x＋x2，
∴f′(x)＝－4＋2x，∴f′(0)＝－4.
2．C h′(t)＝－200t＋800，
∴h′(2)＝－200×2＋800＝400(m/h).
3．B 设曲线f(x)＝x3－1在x＝1处的切线倾斜角为α，
因为f′(x)＝x2，则f′(1)＝，因为0≤α≤π，因此，α＝.
4．C ∵函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)，
∴f′(x)＝(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)＋x[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]′，∴f′(0)＝a1a2…a8＝(a1a8)4＝84＝212.
5．C 从f(x)图像可以看出，点B处切线的斜率大于直线AB的斜率，直线AB的斜率大于点A处切线的斜率，点A处切线的斜率大于0，
根据导数的几何意义可得06．B 令y′＝－＝－，解得x＝－3(舍去)或x＝2.故切点的横坐标为2，故选B.
7．B ∵f′(x)＝cos x－a sin x，∴f′＝－a＝，得a＝.
8．D 由y＝x＋ln x，得y′＝1＋，
∴当x＝1时，y′＝2，∴切线方程为y－1＝2(x－1)，
即y＝2x－1，
由
得ax2＋ax＋2＝0，
由题意得得a＝8.
9．B 设g(x)＝f(x)－2x－4，
g′(x)＝f′(x)－2，
由题意得g′(x)>0恒成立，
∴g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，
又g(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0，
又f(x)>2x＋4等价于g(x)>0，
∴原不等式的解为x>－1.
10．y＝5x＋2
解析：y′＝′＝＝，所以y′|x＝－1＝＝5，所以切线方程为y＋3＝5(x＋1)，即y＝5x＋2.
11．(1，0)
解析：设P(x0，y0)，因为y＝x2的导数为y′＝x，
所以曲线y＝x2在点A(1，)处的切线的斜率为1，
因为y＝x ln x的导数为y′＝1＋ln x，曲线y＝x ln x在点P处的切线斜率为1＋ln x0，
所以1＋ln x0＝1，解得x0＝1，代入y＝x ln x可得y0＝0，故P(1，0).
12．x＋y＝0
解析：设切线的切点为(x0，－x0ln x0－1)，对函数y＝－x ln x－1求导得y′＝－ln x－1，
则切线的斜率为k＝－1－ln x0，
所以切线方程为y＋x0ln x0＋1＝(－ln x0－1)(x－x0)，
将原点的坐标代入切线方程可得x0＝1，则k＝－1，
因此，所求切线方程为y＝－x，即x＋y＝0.
13．D 由f(x)＝(x2－2x)(ax＋b)(a≠0)可得f(x)＝ax3＋(b－2a)x2－2bx，
因为f(－x)＝－f(x)，所以b－2a＝0，解得b＝2a.
所以y＝f(a)＝a4－4a2，故切线斜率k＝f′(a)＝0，
又f′(x)＝a(3x2－4)，所以f′(a)＝a(3a2－4)＝0，
解得a＝或a＝－，
所以b＝－或.
14．B 由题得f′(x)＝2e2x－2ex＋a，则方程2e2x－2ex＋a＝3有两个不同的正解，令t＝ex(t>0)，且g(t)＝2t2－2t＋a－3，则由图像可知，有g(0)>0且Δ>0，即a－3>0且4－8(a－3)>0，解得315．A 根据导数的几何意义，f′(x1)、f′(x2)、f′(x3)分别为x1，x2，x3处的切线斜率，
又x1与x3处的切线单调递增，x2处的切线单调递减，且x1处的切线比x3处的切线更陡峭，
∴f′(x2)<0故最大为f′(x1).
16．1
解析：由直线l：y＝kx＋b是曲线y＝ex的切线，切点为M(x1，y1)，
则直线l的方程是y－ex1＝ex1(x－x1)，
即y＝ex1x＋ex1(1－x1).
由直线l：y＝kx＋b是曲线y＝(x＋1)2的切线，
切点为N(x2，y2)，直线l的方程为
y－(x2＋1)2＝2(x2＋1)·(x－x2)，
即y＝2(x2＋1)x－x＋1.
所以，
所以2(x2＋1)(1－x1)＝－x＋1，
因为ex1＝2(x2＋1)>0，
所以2(1－x1)＝1－x2，2x1－x2＝1.
专练13 导数与函数的单调性
1．B 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1，由f′(x)<0，得02．C 由函数y＝f(x)与y＝f′(x)的关系可知，当x∈(－2，1)时，f(x)先减后增，故A不正确；当x∈(1，3)时，f(x)先增后减，故B不正确；当x∈(4，5)时，f′(x)>0，∴f(x)在(4，5)上单调递增，故C正确；由函数的图像可知函数在x＝4处取得极小值，故D不正确．
3．C 因为f′(x)＝x2－4x＋3＝(x－1)(x－3)，所以f(x)在区间[1，3]上单调递减，f(x)的图像向右平移一个单位长度得到f(x－1)的图像，所以f(x－1)在区间[2，4]上单调递减．用集合的观点考虑“充分不必要条件”，在选项中，包含在区间[2，4]内的选项为C.故选C.
4．C 令f(x)＝x－sin x，x∈(0，)，
则f′(x)＝1－cos x>0，
所以函数f(x)＝x－sin x在(0，)上递增，
所以x－sin x>0，即x>sin x在x∈(0，)上恒成立，
又π－3∈(0，)，
所以π－3>sin (π－3)＝sin 3>0，
又6∈(π，2π)，所以sin 6<0，
所以π－3>sin 3>sin 6，
即a>c>b.
5．A 函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1的导数为f′(x)＝－3x2＋2ax－1.∵函数f(x)在(－∞，＋∞)上是单调函数，∴在(－∞，＋∞)上f′(x)≤0恒成立，即－3x2＋2ax－1≤0恒成立，∴Δ＝4a2－12≤0，解得－≤a≤，∴实数a的取值范围是[－，].故选A.
6．D 由f(x)＝x2－a ln x，得f′(x)＝2x－，
∵f(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴2x－≥0，即a≤2x2在(1，＋∞)上恒成立，∴a≤2.故选D.
7．C ∵f(x)＝，∴f′(x)＝， 当00，故f(x)在(0，e)上单调递增．又∵08．A 由f′(x)＝x2－3x－4<0，得－1∴f(x)的单调减区间为(－1，4)，
∴y＝f(x＋3)的单调减区间为(－4，1).
9．A 令F(x)＝，因为f(x)为奇函数，所以F(x)为偶函数，由于F′(x)＝，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，所以F(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，根据对称性，F(x)＝在(－∞，0)上单调递增，又f(－1)＝0，f(1)＝0，数形结合可知，使得f(x)>0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1).故选A.
10．[0，＋∞)
解析：设函数g(x)＝，则
g′(x)＝
＝，
又∵2f′(x)－f(x)>2，∴g′(x)>0，
所以g(x)在R上单调递增，又g(0)＝f(0)＋2＝3，
故不等式f(x)＋2≥3e可化为g(x)≥g(0)，
由g(x)的单调性可得该不等式的解集为[0，＋∞).
11.，
解析：∵f′(x)＝sin x＋x cos x－sin x＝x cos x，
由f′(x)>0得－π∴f(x)的单调增区间为，.
12．sin (x)(答案不唯一)
解析：因为f(x)的图像关于原点对称，所以f(x)为奇函数；
由f(2－x)＝f(x)可知，函数f(x)的图像关于直线x＝1对称；
所以f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)＝－f(2－x)＝f(x－2)，所以f(x)的周期为4；
又当x∈(0，1)时，f′(x)>0，当x∈(1，2)时，f′(x)<0，所以f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减．
结合所学函数，记f(x)＝sin (x)，x∈R，
则f(－x)＝sin (－x)＝－sin (x)＝－f(x)，满足③；
f(2－x)＝sin (2－x)＝sin (π－x)＝sin (x)＝f(x)，满足②；
由0所以f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，满足①.
13．D 函数y＝f(x－1)的图像关于直线x＝1对称，可知函数y＝f(x)的图像关于直线x＝0对称，即y＝f(x)为偶函数，构造g(x)＝xf(x)，当x∈(－∞，0)，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)<0，故y＝g(x)在(－∞，0)上单调递减，且易知g(x)为奇函数，故y＝g(x)在(0，＋∞)上单调递减，由21.5>2＝log>ln 3>0，所以g(21.5)14．D 由题意得；
令f(x)＝x ln x－x，则f′(x)＝ln x，
∴当x∈(0，1)时，f′(x)<0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0；
∴f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；
∴f(x)min＝f(1)＝－1；
又f(e)＝0，当x∈(0，1)时，f(x)<0；
∴方程f(x)＝t(－1∴0∵，又0<<1<<2∴0又f(2)>f()，∴f(a)>f(b)，∴a综上所述：a15．B 因为f(1)＝＝0，所以x＝1不是不等式1－>0的一个解，
当x>1时，f(x)＝>0，
则1－>0 f(x)－a>0 a<，
不等式1－>0有且只有一个整数解等价于a<只有一个整数解，
即f(x)的图像在直线y＝a的上方只有一个整数解
f′(x)＝，
令f′(x)＝0，则x＝，
当x∈(0，)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈(，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
作出f(x)的图像，
由图像可知a的取值范围为f(3)≤a即≤a<.
16．A ∵当x∈(0，＋∞)时不等式f(x)－xf′(x)＞0成立，
∴()′＝＜0，
∴g(x)＝在(0，＋∞)上是减函数．
则a＝4f(4－)＝＝g(4－)，b＝f()＝＝g()，
c＝log9f(log)＝－2f(－)＝＝g(－)，
又∵函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，
∴g(x)＝是定义在R上的偶函数，
则g(－)＝g()，
∵4－＝＝>＝＞，
∵g(x)在(0，＋∞)上是减函数，
∴g(4－)＜g()＜g()，
则a＜b＜c.
专练14 导数与函数的极值、最值
1．A f′(x)＝x－＝，且x>0，由f′(x)>0，得x>1，由f′(x)<0得02．A f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)，f(x)在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增，在(－2，2)上单调递减，∴f(x)极大值＝f(－2)＝.
3．D 通解(分类与整合法) 因为函数f(x)＝a(x－a)2 ·(x－b)，所以f′(x)＝2a(x－a)(x－b)＋a(x－a)2＝a(x－a)·(3x－a－2b).令f′(x)＝0，结合a≠0可得x＝a或x＝.
(1)当a>0时，
①若>a，即b>a，此时易知函数f(x)在(－∞，a)上单调递增，在上单调递减，所以x＝a为函数f(x)的极大值点，满足题意；
②若＝a，即b＝a，此时函数f(x)＝a(x－a)3在R上单调递增，无极值点，不满足题意；
③若(2)当a<0时，
①若>a，即b>a，此时易知函数f(x)在(－∞，a)上单调递减，在上单调递增，所以x＝a为函数f(x)的极小值点，不满足题意；
②若＝a，即b＝a，此时函数f(x)＝a(x－a)3在R上单调递减，无极值点，不满足题意；
③若综上，a>0且b>a满足题意，a<0且ba2成立．
故选D.
优解(特值排除法) 当a＝1，b＝2时，函数f(x)＝(x－1)2·(x－2)，画出该函数的图像如图1所示，可知x＝1为函数f(x)的极大值点，满足题意．从而，根据a＝1，b＝2可判断选项B，C错误．当a＝－1，b＝－2时，函数f(x)＝－(x＋1)2(x＋2)，画出该函数的图像如图2所示，可知x＝－1为函数f(x)的极大值点，满足题意．从而，根据a＝－1，b＝－2可判断选项A错误．综上，选D.
光速解(数形结合法) 当a>0时，根据题意画出函数f(x)的大致图像，如图3所示，观察可知b>a.
当a<0时，根据题意画出函数f(x)的大致图像，如图4所示，观察可知a>b.
综上，可知必有ab>a2成立．故选D.
4．C f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
∴
或
当时，f′(x)＝3(x－1)2≥0，
∴在x＝1处不存在极值．
当时，f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)，
∴x∈，f′(x)<0；x∈(1，＋∞)，f′(x)>0，符合题意．∴
∴f(2)＝8＋16－22＋16＝18.
5．B ∵函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1既存在极大值又存在极小值，且f′(x)＝3x2＋2mx＋m＋6，由题意得方程3x2＋2mx＋m＋6＝0有两个不同的实数解，∴Δ＝4m2－12(m＋6)>0，解得m<－3或m>6，∴实数m的取值范围是(－∞，－3)∪(6，＋∞).故选B.
6．B 由题意，得f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－＝.又当x＝1时，f(x)取得最大值－2，所以即所以a＝b＝－2，则f′(x)＝，所以f′(2)＝＝－.故选B.
7．A 由ex≥k＋x恒成立，∴k≤(ex－x)min，设f(x)＝ex－x，f′(x)＝ex－1，由f′(x)>0，得x>0，由f′(x)<0，得x<0，∴f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∴f(x)min＝f(0)＝1，∴k≤1.
8．B ∵f′(x)＝x2＋ax＋2b，又因为当x1∈(0，1)时取得极大值，当x2∈(1，2)时取得极小值，可得x1、x2是方程f′(x)＝0的两个根，根据一元二次方程根的分布可得
即，作出该不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(不包括边界)，可求出边界交点坐标分别为A(－2，0) 、B(－1，0)、C(－3，1)，表示平面区域内的点(a，b)与点M(－2，3)连线的斜率，由图可知kMB＝＝－3，kMC＝＝2，根据倾斜角的变化，可得∈(－∞，－3)∪(2，＋∞).
9．B 函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有两个极值点x1，x2，假设x1＜x2，则f′(x)＝x2＋ax＋b＝0有两个不等的实数根，Δ＝a2－4b＞0，方程f2(x)＋af(x)＋b＝0的判别式Δ′＝Δ＝a2－4b＞0，所以方程f2(x)＋af(x)＋b＝0有两解，且f(x)＝x1 或f(x)＝x2，函数y＝f(x)的图像和直线y＝x1的交点个数即为方程f(x)＝x1解的个数，函数y＝f(x)的图像和直线y＝x2的交点个数即为方程f(x)＝x2解的个数．f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，又f(x1)＝x1，画出图像如图所示，y＝f(x)的图像和直线y＝x1的交点个数为2，
y＝f(x)的图像和直线y＝x2的交点个数为1，f(x)＝x1或f(x)＝x2的根共有3个，即方程f2(x)＋af(x)＋b＝0的不同实根个数为3.
10．1
解析：f′(x)＝3x2＋2ax－1，
因为函数f(x)＝x3＋ax2－x－9在x＝－1处取得极值，
所以f′(－1)＝3－2a－1＝0，解得a＝1，
此时f′(x)＝3x2＋2x－1＝(3x－1)(x＋1)，
故当x∈(－1，)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(－∞，－1)和(，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；
所以函数f(x)在x＝－1处取得极小值，满足题意，
所以f(x)＝x3＋x2－x－9，
所以f(2)＝8＋4－2－9＝1.
11．(－∞，－1)∪(－，)
解析：f(x)＝x(x＋1)(x－2m)＝x3＋(1－2m)x2－2mx，
f′(x)＝3x2＋2(1－2m)x－2m，
因为函数f(x)＝x(x＋1)(x－2m)的两个极值点为x1，x2，
所以x1，x2为函数f′(x)＝3x2＋2(1－2m)x－2m的两零点，
Δ＝4(1－2m)2＋24m＝16m2＋8m＋4＞0恒成立，
x1＋x2＝，x1x2＝，
f(x1)＋f(x2)＝x＋(1－2m)x－2mx1＋x＋(1－2m)x－2mx2
＝x＋x＋(1－2m)(x＋x)－2m(x1＋x2)
＝(x1＋x2)(x－x1x2＋x)＋(1－2m)[(x1＋x2)2－2x1x2]－2m(x1＋x2)
＝(x1＋x2)[(x1＋x2)2－3x1x2]＋(1－2m)[(x1＋x2)2－2x1x2]－2m(x1＋x2)
＝[()2＋2m]＋(1－2m)[()2＋]－2m·
＝－(2m－1)(4m2＋5m＋1).
因为f(x1)＋f(x2)＞0，所以(2m－1)(4m2＋5m＋1)＜0，
则或，
解得m＜－1或－＜m＜，
所以实数m的取值范围是(－∞，－1)∪(－，).
12．[0，＋∞)
解析：当x＞1时，f(x)＝，f′(x)＝，当1＜x＜e时，f′(x)＜0，f(x)递减，当x＞e时，f′(x)＞0，f(x)递增，
故x＝e时，f(x)min＝f(e)＝1；
当x≤1时，f(x)＝x3－3x＋a，f′(x)＝3x2－3，x＜－1时，f′(x)＞0，f(x)递增，－1＜x＜1时，
f′(x)＜0，f(x)递减，
所以当x＝－1时，f(x)有极大值f(－1)＝2＋a，
当x＝1时，f(1)＝－2＋a，
作出f(x)＝的大致图像如图，
由题意知[f(x)]2－(t＋2)f(x)＋2t＝0，即(f(x)－2)(f(x)－t)＝0有7个不同的实根，当f(x)＝2有三个根，f(x)＝t有四个实根，此时2＋a＝2或－2＋a＞2，得a＝0或a＞4；当f(x)＝2有四个根时，f(x)＝t有三个实根，
此时－2＋a≤2＜2＋a，得0＜a≤4，所以a≥0.
13．D 设两曲线的公共点为(x0，y0)(x0＞0)，
由f(x)＝x2－2ax得f′(x)＝x－2a，
由g(x)＝3a2ln x－b(x＞0)得g′(x)＝，
所以两曲线在点(x0，y0)处的切线的斜率分别为x0－2a和，
依题意可得x0－2a＝，整理得x－2ax0－3a2＝0，解得x0＝3a或x0＝－a(舍)，
又x－2ax0＝3a2ln x0－b，将x0＝3a代入可得b＝3a2ln 3a＋a2，
设F(a)＝3a2ln 3a＋a2，则F′(a)＝6a ln 3a＋6a，令F′(a)＝0，则a＝，
所以当0＜a＜时，F′(a)＜0，当a＞时，F′(a)＞0，
所以当a＝时，F(a)取得最小值为F()＝－3×()2＋×()2＝－，
所以b的最小值为－.
14．C f′(x)＝－a，若a≤0，则f′(x)＝－a＞0不满足f(x1)＝f(x2)＝m(x1＜x2)，
所以a＞0，令f′(x)＝0，得x＝，当0＜x＜时，f′(x)＞0，f(x)递增，
当x＞时，f′(x)＜0，f(x)递减，因为x2－x1＝1，所以x2＝x1＋1，
又f(x1)＝f(x2)＝f(x1＋1)，
所以ln x1－ax1＝ln (x1＋1)－a(x1＋1)，
即a＝ln (x1＋1)－ln x1＝ln ＝ln (1＋)，
因为x1≥1，
所以1＜1＋≤2，
所以a∈(0，ln 2]，
故实数a的最大值为ln 2.
15．(－∞，2－2ln 2]
解析：当x∈(0，1]时，ln x≤0，此时|x－a|≥2ln x恒成立，
故x∈(1，＋∞)时，|x－a|≥2ln x恒成立，即x－a≥2ln x或x－a≤－2ln x，即a≤x－2ln x或a≥x＋2ln x，设f(x)＝x－2ln x，则f′(x)＝1－＝.当x∈(1，2)时，f′(x)＜0，f(x)单减；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单增．
故f(x)min＝f(2)＝2－2ln 2，故a≤2－2ln 2.
设g(x)＝x＋2ln x，则f′(x)＝1＋＞0，所以f(x)在x∈(1，＋∞)单增，不存在最大值．综上可知，a的取值范围是(－∞，2－2ln 2].
16.
解析：由题意，得f′(x)＝2(ax ln a－ex)，易知f′(x)至少要有两个零点x1和x2.令g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝2ax(ln a)2－2e.(1)若a>1，则g′(x)在R上单调递增，此时若g′(x0)＝0，则g(x)在(－∞，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，此时若有x＝x1和x＝x2分别是函数f(x)＝2ax－ex2(a>0且a≠1)的极小值点和极大值点，则x1>x2，不符合题意，舍去．(2)若00且a≠1)的极小值点和极大值点，且x10，即>eloga，所以a<，所以ln a专练15 定积分与微积分基本定理
1．D (x－2)dx＝|＝×22－2×2－＝－.
2．B 令f(x)dx＝m，则f(x)＝x2＋2m，∴f(x)dx＝x2dx＋2mdx＝(x2＋2mx)|＝m，得m＝－.
3．D 由得x＝0或x＝2或x＝－2(舍)，
∴S＝(4x－x3)dx＝|＝4.
4．D a＝x2dx＝x3|＝，
b＝x3dx＝x4|＝4，
c＝sin xdx＝(－cos x)|＝1－cos 2，
∵1－cos 2<<4，∴c5．B (＋sin x)dx＝dx＋sin xdx，∵y＝sin x为奇函数，∴sin xdx＝0，
又dx表示以坐标原点为圆心，以1为半径的上半个圆的面积，∴dx＝，
∴( ＋sin x)dx＝.
6．B 因为k＝(sin x－cos x)dx＝sin xdx－cos xdx＝－cos x|－sin x|＝2，所以(1－kx)8＝(1－2x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8.令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a8＝(1－2)8＝1，令x＝0，得a0＝1，所以a1＋a2＋…＋a8＝(a0＋a1＋a2＋…＋a8)－a0＝1－1＝0.故选B.
7．A f(x)dx＝dx＋(x2－1)dx＝π×12＋(x3－x)|＝＋.故选A.
8．B S＝－∫0cos (2x－)dx＋∫cos (2x－)dx
＝－|0＋[sin (2x－)]|
＝－[sin (－)－sin (－)]＋[sin －sin (－)]＝＋1＝.故选B.
9．C ∵a5＋a7＝sin xdx＝(－cos x)|＝－(cos π－cos 0)＝2，
又{an}为等差数列，
∴a5＋a7＝2a6＝2，∴a6＝1，
∴a4＋2a6＋a8＝4a6＝4.
10．e
解析：因为f(x)＝ex，
所以0＝e＋1－1＝e.
11.
解析：如图，阴影部分的面积即为所求．
解得或则A(1，1).
故所求面积为
S＝(x－x2)dx＝(x2－x3)|＝.
12．－3
解析：由已知得f′(0)＝0，因为f′(x)＝3x2＋2ax＋b，所以b＝0，则f(x)＝x3＋ax2，令f(x)＝0，得x1＝0，x2＝－a.由切线y＝0与函数图像所围区域(题图中阴影部分)的面积为，得
－f(x)dx＝，
即－(x3＋ax2)dx＝，
即－(x4＋x3)＝，
所以－＝，即＝，
解得a＝±3，由题图可知a<0，∴a＝－3.
13.
解析：由定积分知
S＝－(x－2)dx＝(x－x2＋2x)|
＝(×8－8＋8)－0＝.
14.
解析：由题可知矩形面积为2，
建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线方程为y2＝2x(0≤x≤1)，
抛物线及BD围成的面积为2(1－dx)＝，
点落在阴影部分的概率为＝.
15．e－＋1
解析：(ex＋|x|)dx＝(ex－x)dx＋(ex＋x)dx＝(ex－)|＋(ex＋)|＝(e0－0)[e－1－]＋(e1＋)－[e0＋0]
＝1－＋＋e＋－1＝e－＋1.
16.
解析：以点A为坐标原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设点P(x，0，z)，则0≤x≤2，0≤z≤2，则点P到直线A1B1的距离为2－z，
因为BC⊥平面AA1B1B，BP 平面AA1B1B，
所以，BC⊥BP，
所以，点P到直线BC的距离为||＝，
由已知可得 ＝2－z，化简可得z＝x－，
当x＝2时，z＝1，即点P的轨迹交棱BB1于点(2，0，1)，
因此，在侧面ABB1A1上动点P的轨迹与棱AB、BB1所围成的图形面积是(x－)dx＝(x2－)|＝.
专练16 高考大题专练(一) 导数的应用
1．解析：(1)f(x)的定义域为R，f′(x)＝－＝.
①a＞0时，当x∈(－∞，0)或x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；
当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．
②a＜0时，当x∈(－∞，0)或x∈(2，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；
当x∈(0，2)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．
(2)由exf(x)≥bx，得ex－ax2－bx≥0，因为x＞0，所以－ax2－bx≥0，
令g(x)＝－ax－b(x＞0)，则g′(x)＝－a，
设h(x)＝－a(x＞0)，则h′(x)＝＞0，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又因为h(1)＝－a＜0，h(1＋a)＝－a＞－a＝a－a＝0，
(由(1)知当a＝1时，f(x)≥f(2)＝1－＞0，所以当x＞0时，1－＞0，即ex＞x2.)
所以，存在x0∈(1，1＋a)，使得h(x0)＝0，
即a＝.
所以，当x∈(0，x0)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减；当x∈(x0，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，
所以g(x)≥g(x0)＝－ax0－b≥0，所以b≤－＝.
所以ab≤＝.
设F(x)＝(x＞1)，则
F(x)＝－·e2x
＝－·e2x，
当1＜x＜时，F′(x)>0，F(x)单调递增；当x＞时，F′(x)＜0，F(x)单调递减．
所以F(x)≤F()＝，所以ab≤.
2．解析：(1)由题意可知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－＋1＝.
令f′(x)＝0，解得x＝1.
当x∈(0，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0.
所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(1)＝e＋1－a.
若f(x)≥0，则f(x)min＝e＋1－a≥0，解得a≤e＋1.
故a的取值范围为(－∞，e＋1].
(2)证明：由(1)可知，要使f(x)有两个零点，则f(x)min＝f(1)＝e＋1－a＜0，即a＞1＋e.
假设0＜x1＜1＜x2，要证明x1x2＜1，即需证明1＜x2＜.
又因为f(x)在x∈(1，＋∞)上单调递增，所以要证明1＜x2＜，则需证明f(x2)＜f，即f(x1)＜f.
令F(x)＝f(x)－f，0＜x＜1，
则F′(x)＝f′(x)＋f′·＝.
因为ex在x∈(0，1)上单调递增，
所以ex＜e，所以当x∈(0，1)时，ex＋x＜e＋1.
又函数y＝xe在(0，1)上单调递减，所以xe＞e，所以－xe－1＜－e－1，所以ex＋x－xe－1＜e＋1－e－1＝0，所以当x∈(0，1)时，F′(x)＞0，则F(x)在(0，1)上单调递增．
因为F(1)＝f(1)－f(1)＝0，所以F(x)＜0，即f(x)＜f，所以若f(x)有两个零点x1，x2，则x1x2＜1.
3．解析：(1)函数的定义域为{x|x＞－1}，
f′(x)＝－1＝，f′(x)＞0，－1＜x＜0；f′(x)＜0，x＞0.
函数f(x)的单调递增区间为(－1，0)；单调递减区间为(0，＋∞).
(2)要使函数F(x)＝f(x)－g(x)有两个零点，即f(x)＝g(x)有两个实根，
即ln (x＋1)－x＋1＝aex－x＋ln a有两个实根．即ex＋ln a＋x＋ln a＝ln (x＋1)＋x＋1.
整理为ex＋ln a＋x＋ln a＝eln (x＋1)＋ln (x＋1)，
设函数h(x)＝ex＋x，则上式为h(x＋ln a)＝h(ln (x＋1))，
因为h′(x)＝ex＋1＞0恒成立，所以h(x)＝ex＋x单调递增，所以x＋ln a＝ln (x＋1).
所以只需使ln a＝ln (x＋1)－x有两个根，
设M(x)＝ln (x＋1)－x.
由(1)可知，函数M(x)的单调递增区间为(－1，0)；单调递减区间为(0，＋∞)，
故函数M(x)在x＝0处取得极大值，M(x)max＝M(0)＝0.
当x→－1时，M(x)→－∞；当x→＋∞时，M(x)→－∞，
要想ln a＝ln (x＋1)－x有两个根，只需ln a＜0，
解得0＜a＜1.
所以a的取值范围是(0，1).
4．解析：(1)当a＝1时，f(x)＝ln (1＋x)＋xe－x，
则f′(x)＝＋，∴f(0)＝0，f′(0)＝2，
∴曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x，即2x－y＝0.
(2)(方法一)函数f(x)的定义域为(－1，＋∞).
①当a≥0时，对于 x>0，f(x)>0，则f(x)在(0，＋∞)上不存在零点，故不符合题意．
②当a<0时，f′(x)＝＋ae－x(1－x)＝.
令g(x)＝1＋ae－x(1－x2)，则g′(x)＝ae－x(－2x＋x2－1)＝ae－x(x－1－)(x－1＋).
对于 x>－1，e－x>0，∵a<0，∴g(x)在(－1，1－)和(1＋，＋∞)上单调递减，在(1－，1＋)上单调递增．
由已知，得g(－1)＝1，g(1－)＝1＋ae－1·2(－1)，g(0)＝1＋a，g(1)＝1.
(ⅰ)若－1≤a≤0，则有：
当0g(0)＝1＋a≥0；
当x>1时，由于1－x2<0，ae－x<0，故g(x)＝1＋ae－x(1－x2)>1>0.
综上可知，当x>0时，都有g(x)>0，则f′(x)＝>0，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
∴对于 x>0，f(x)>f(0)＝0，f(x)在(0，＋∞)上不存在零点，符合题意．
(ⅱ)当a<－1时，g(1－)又∵g(－1)＝1>0，∴ x0∈(－1，0)，满足g(x0)＝0，
且 x∈(－1，x0)，都有g(x)>0，则f′(x)＝>0，
x∈(x0，0)，都有g(x)<0，则f′(x)＝<0，
∴f(x)在(－1，x0)上单调递增，在(x0，0)上单调递减．
又∵f(0)＝0，∴f(x0)>0.
又∵当x→－1时，f(x)→－∞，
∴f(x)在(－1，0)上恰有一个零点．
∵g(0)＝1＋a<0，g(1)＝1>0，g(x)在(0，1＋)上单调递增，在[1＋，＋∞)上单调递减，
∴ x1∈(0，1)，满足g(x1)＝0，且当x∈(0，x1)时，g(x)<0，则f′(x)＝<0，当x∈(x1，1)时，g(x)>0，则f′(x)＝>0.
又∵当x≥1时，ae－x<0，1－x2≤0，
∴g(x)＝1＋ae－x·(1－x2)>0，∴f′(x)＝>0，
∴f(x)在(0，x1)上单调递减，在[x1，＋∞)上单调递增．
又∵f(0)＝0，∴ x∈(0，x1)，f(x)<0，则f(x1)<0.
又∵当x→＋∞时，ln (1＋x)→＋∞，axe－x→0，
∴f(x)→＋∞，
∴f(x)在(x1，＋∞)上存在零点，且仅有一个．
故f(x)在(0，＋∞)上恰有一个零点．
综上可知，满足题意的a的取值范围是(－∞，－1).
(方法二)令g(x)＝.
f(x)在区间(－1，0)，(0，＋∞)上各恰有一个零点等价于g(x)＝＝－a在(－1，0)，(0，＋∞)上各恰有一解．
g′(x)＝.
令h(x)＝(x－1)ln (1＋x)＋，
则h′(x)＝ln (1＋x)＋＋.
令φ(x)＝ln (1＋x)＋＋，
则φ′(x)＝.
①当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0，则h′(x)>h′(0)＝0，∴h(x)>h(0)＝0，∴g′(x)>0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增．
又∵当x→0时，g(x)＝ ＝1，当x→＋∞时，g(x)→＋∞，∴a∈(－∞，－1).
②当x∈(－1，－2)时，φ′(x)<0；当x∈(－2，0)时，φ′(x)>0.
∵当x→－1时，φ(x)＝h′(x)→＋∞，h′(0)＝0，
∴存在a1∈(－1，0)使h′(a1)＝0，
∴h(x)在(－1，a1)上单调递增，在(a1，0)上单调递减．
当x→－1时，h(x)→－∞.
又h(0)＝0，
∴存在a2∈(－1，a1)，使得h(a2)＝0，
即g(x)在(－1，a2)上单调递减，在(a2，0)上单调递增．
当x→－1时，g(x)→＋∞；
当x→0时，g(x)→1，g(x)的大致图像如图．
故当a∈(－∞，－1)∪{－g(a2)}时，g(x)＝－a仅有一解；当a∈(－1，－g(a2))时，g(x)＝－a有两解．
综上可知，a∈(－∞，－1).
5．解析：(1)f′(x)＝＋x－(a＋1)＝＝.
①若a≤1，则f′(x)＞0在(1，＋∞)恒成立，即f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
当x＞1时，f(x)＞f(1)＝0，与f(x)有一个大于1的零点x0矛盾．
②若a＞1，令f′(x)＞0，解得0＜x＜1或x＞a，令f′(x)＜0，解得1＜x＜a.
所以f(x)在(0，1)和(a，＋∞)上单调递增，在(1，a)上单调递减．
所以f(a)＜f(1)＝0，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，由零点存在性定理，f(x)在(a，＋∞)上存在一个零点x0.综上，a＞1.
(2)令g(x)＝a ln x－x＋1，g′(x)＝－1＝，由(1)知1＜a＜x0，令g′(x)＞0，
解得1＜x＜a，令g′(x)＜0，解得a＜x＜x0，故g(x)在(1，a)上单调递增，在(a，x0)上单调递减．
g(1)＝0，g(x0)＝a ln x0－x0＋1，
因为x0为函数f(x)的零点，故f(x0)＝a ln x0＋－(a＋1)x0＋a＋＝0，即
a ln x0＝－＋(a＋1)x0－a－，
所以g(x0)＝a ln x0－x0＋1＝－＋(a＋1)x0－a－－x0＋1＝－＋ax0－a＋
＝(1－x0)(x0－2a＋1).
又因为f(2a－1)＝a ln (2a－1)＋－(a＋1)(2a－1)＋a＋＝a ln (2a－1)－2a＋2，
令h(a)＝a ln (2a－1)－2a＋2，则
h′(a)＝ln (2a－1)＋－2＝ln (2a－1)＋－1，
令m(a)＝ln (2a－1)＋－1，
m′(a)＝－＝＞0恒成立，
所以h′(a)在(1，＋∞)上单调递增，h′(a)＞h′(1)＝0，所以h(a)在(1，＋∞)上单调递增，
h(a)＞h(1)＝0，即f(2a－1)＞0，
由(1)可知f(a)＜0，所以a＜x0＜2a－1，
因为1－x0＜0，x0－2a＋1＜0，所以g(x0)＝(1－x0)·(x0－2a＋1)＞0，
所以g(x)＞0在x∈(1，x0]恒成立，
故对任意的x∈(1，x0]，都有a ln x－x＋1＞0恒成立．
专练17 任意角和弧度制及任意角的三角函数
1．D 设扇形的圆心角为θ，因为扇形的面积S＝θr2，所以θ＝＝＝，故选D.
2．B 因为1弧度≈57°，2弧度≈115°，3弧度≈172°，所以sin 1≈sin 57°，sin 2≈sin 115°＝sin 65°，sin 3≈sin 172°＝sin 8°，因为y＝sin x在0°sin 1>sin 3，故选B.
3．C 由sin θ>0，tan θ<0，知θ为第二象限角，∴2kπ＋<θ<2kπ＋π(k∈Z)，∴kπ＋<∴为第一或第三象限角．
4．B 终边为第一象限的平分线的角的集合是
{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}， ①
终边为第三象限的平分线的角的集合是
{α|α＝－135°＋k·360°，k∈Z}， ②
由①②得{α|α＝－135°＋k·180°，k∈Z}．
5．C 设扇形的圆心角为θ，半径为R，由题意得得θ＝3.
6．A 由三角函数的定义知cos α＝，tan α＝＝－，∴cos αtan α＝×(－)＝－.
7．C ∵－1 000°＝－3×360°＋80°，为第一象限角，
∴sin (－1 000°)>0；
又－2 200°＝－7×360°＋320°，为第四象限角，
∴cos (－2 200°)>0；
∵－10＝－4π＋(4π－10)，为第二象限角，
∴tan (－10)<0；
∵sin π>0，cos π＝－1，
π＝2π－，为第四象限角，
∴tan π<0，∴>0.
8．A 设点A在角α的终边上，则cos α＝，
sin α＝，
则xA′＝cos (α＋θ)＝(cos αcos θ－sin αsin θ)＝a cos θ－b sin θ，
yA′＝sin (α＋θ)＝(sin αcos θ＋cos αsin θ)＝a sin θ＋b cos θ.
9．B 由题意得
得m＝－，∴cos α＝m＝－.
10．1 080
解析：依题意r＝30 cm，＝2.4，所以l＝2.4r＝72 cm，所以S＝lr＝×72×30＝1 080 cm2.
11．－
解析：∵θ∈(，π)，∴－1∴r＝＝－5cosθ，故sin α＝－.
12．C 由角α的终边落在直线y＝－x上可得，tan α＝－，
且＝＝＝.
13．B 由题意得，“弓”所在的弧长为
l＝＋＋＝，R＝1.25＝，
∴其所对的圆心角α＝＝＝，
∴两手之间的距离
d＝＝×1.25≈1.768.
14．B 连接OC，则根据垂径定理知O，C，D三点共线．因为OA＝2，∠AOB＝60°，所以AB＝2，OC＝×2＝，则CD＝2－，所以的弧长的近似值s＝AB＋＝2＋＝.故选B.
15．A 过C作CD⊥AB，设圆弧AC的圆心为O，半径为R，则AO＝CO＝R，
在△ACD中，∠ACD＝，所以AD＝AC·sin＝b sin ，CD＝AC·cos ＝b cos ，
所以在直角三角形CDO中，CD2＋DO2＝CO2，所以(b cos )2＋(R－b sin )2＝R2，所以R＝，而sin ∠COD＝＝＝2sin cos ＝sin θ，
所以∠COD＝θ，所以＝θR＝.
16.
解析：由题意得，勒洛三角形的面积为：三个圆心角和半径均分别为和1的扇形面积之和减去两个边长为1的等边三角形的面积，
即3×××12－2××12×sin ＝.
专练18 同角三角函数的基本关系及诱导公式
1．C sin π＝sin (4π＋)＝sin ＝.
2．C ＝＝，
分子分母同除以cos θ，
＝，
解得：tan θ＝－3.
3．D tan (α－7π)＝tan α＝>0，又α∈(，π)，
∴α∈(π，π)，∴sin α＝－，cos α＝－，
∴sin α＋cos α＝－.
4．A 2sin α－cos α＝0，∴tan α＝，∴sin2α－2sinαcos α＝＝＝＝－.
5．C 解法一 因为tanθ＝－2，
所以角θ的终边在第二或第四象限，
所以或
所以＝
＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝sin2θ＋sinθcos θ
＝－＝.
解法二 (弦化切法)因为tan θ＝－2，
所以＝
＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝
＝＝＝.
6．A 由sinα－cos α＝，得1－2sin αcos α＝，
∴2sin αcos α＝1－＝－，即sin 2α＝－.
7．B 由题可知α为第一象限角，∴cos α＝，sin (α－π)＝sin (α－)＝－cos α＝－.
8．C 因为π≈4cos 38°，
所以＝，
＝＝＝＝8.
9．A ∵cos (2x－)＝sin 2x＝2sin x cos x＝sin2x，
∴tanx＝2，
∴tan (x－)＝＝＝.
10．－
解析：sin (θ－π)＝－sin θ＝，sin θ＝－<0，
由于角θ的终边过点A(4，a)，所以θ在第四象限，
所以cos θ＝＝，
所以tan θ＝＝－.
11.
解析：α为锐角，<α＋<， sin (α＋)＝＝.
sin(2α＋)＝sin (2α＋－)
＝sin (2α＋)－cos (2α＋)
＝×2sin (α＋)cos (α＋)－[2cos 2(α＋)－1]
＝××－[2×()2－1]＝－＝.
12．－
解析：因为<α<，所以sin α>cos α，
因此有cos α－sin α＝－
＝－＝－，
把sin 2α＝代入，得cos α－sin α＝－＝－.
13．B 由题意得tan α＝＝b－a，
又cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝，得|b－a|＝.
14．B 由题，因为2θ＋＝2(θ－)＋，
所以sin(2θ＋)＝sin [2(θ－)＋]
＝cos 2(θ－)＝2cos2(θ－)－1＝2×()2－1＝－.
15.
解析：2tan(π－α)－3cos ＋5＝0化为－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan (π＋α)＋6sin (π＋β)＝1化为tan α－6sin β＝1，因而sin β＝.
16．②③
解析：由题意得A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，
∴cos (A＋B)＝cos (π－C)＝－cos C，故①不正确；
由于＝－，∴cos ＝cos (－)＝sin ，故②正确；由于A＋B＋C＝π，∴2A＋B＋C＝π＋A，∴sin (2A＋B＋C)＝sin (π＋A)＝－sin A，故③正确．
专练19 三角函数的图像与性质
1．C 由图像可知，函数的半周期是2π，所以＝2π，
得ω＝.
2．C 因为函数f(x)＝sin ＋cos
＝(sin ＋cos )
＝(sin cos ＋cos sin )
＝sin (＋)，
所以函数f(x)的最小正周期T＝＝6π，最大值为.
3．C ∵0≤x≤，∴－≤2x－≤π.
∴－≤cos (2x－)≤1，又f(x)的最小值为－2，
当a＞0时，f(x)min＝－a＝－2，∴a＝2.
当a＜0时，f(x)min＝2a，∴a＝－1.
4．B 最小正周期为π的只有A、B，又当2sin (2×－)＝2取得最大值，故y＝2sin (2x－)的图像关于直线x＝对称．
5．C 解法一：设函数f(x)的最小正周期为T，由题图可得T<π－(－)且>(－)－(－π)，所以解法二(五点法)：由函数f(x)的图像知，ω×(－)＋＝－，解得ω＝，所以函数f(x)的最小正周期为，故选C.
6．C f(x)＝＝＝sin2x，
∴T＝＝π.
7．D 由f(0)＝f，得sin 0＋a cos 0＝0＋a＝1，解得a＝1，所以f(x)＝sin x＋cos x，所以g(x)＝(－1)sin x＋f(x)＝(－1)sin x＋sin x＋cos x＝sin x＋cos x＝2sin .令x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)，令k＝－1，得函数g(x)的图像的一条对称轴是x＝－.故选D.
8．D 由图像可知：8～13时这段时间温度先下降再升高，A错误；
8～16时最大温度2 ℃，最小温度－2 ℃，最大温差为4 ℃，B错误；
8～16时0 ℃以下的时长超过3小时，C错误；
T＝4×(13－11)＝8＝，ω＝，又过点(13，2)，
故2cos (·13＋φ)＝2，解得φ＝，
故f(x)＝2cos (x＋)，f(16)＝2cos (·16＋)＝－2，故16时温度为－2 ℃，D正确．
9．A A中，函数f(x)＝|cos 2x|的周期为，当x∈(，)时，2x∈(，π)，函数f(x)单调递增，故A正确；B中，函数f(x)＝|sin 2x|的周期为，当x∈(，)时，2x∈(，π)，函数f(x)单调递减，故B不正确；C中，函数f(x)＝cos |x|＝cos x的周期为2π，故C不正确；D中，f(x)＝sin |x|＝由正弦函数图像知，在x≥0和x<0时，f(x)均以2π为周期，但在整个定义域上f(x)不是周期函数，故D不正确．故选A.
10.
解析：∵f(x)＝sin (x＋φ)＝sin (x＋φ)，
∴f(x)max＝.
11.
解析：∵f(x)≤f()对任意的实数x都成立，
∴f()＝1，∴ω－＝2kπ，k∈Z，∴ω＝8k＋(k∈Z)，又ω>0，∴当k＝0时，ω取得最小值.
12．2
解析：由题图可知，T＝－＝(T为f(x)的最小正周期)，得T＝π，所以ω＝2，所以f(x)＝2cos (2x＋φ).点(，0)可看作“五点作图法”中的第二个点，则2×＋φ＝，得φ＝－，所以f(x)＝2cos (2x－)，所以f(－)＝2cos ＝2cos (－)＝2cos ＝1，f()＝2cos (2×－)＝2cos ＝0，所以(f(x)－f(－))(f(x)－f())>0，即(f(x)－1)f(x)>0，可得f(x)>1或f(x)<0，所以cos (2x－)>或cos (2x－)<0.当x＝1时，2x－＝2－∈(，)，cos (2x－)∈(0，)，不符合题意；当x＝2时，2x－＝4－∈(π，)，cos (2x－)<0，符合题意．所以满足题意的最小正整数x为2.
13．D 函数f(x)＝sin (ωx＋)(ω>0)在[0，π]上恰有3个零点， 则3π≤ωπ＋<4π，求得≤ω<.
14．C 对于③，∵x∈(0，π)，ωx－∈(－，ωπ－)，令f(x)＝sin (ωx－)＝0，得ωx－＝kπ，k∈Z，
由函数f(x)在区间(0，π)上有且仅有2个不同的零点，即ωx－取得0，π，
所以，解得<ω≤，故③正确；
对于①，当x∈[0，π]，ωx－∈[－，ωπ－]，
由<ω≤，知ωπ－∈(π，2π]，
令ωx－＝＋kπ，由于ω值不确定，
所以ωπ－＝不一定取到，故①错误；
对于②，当x∈(0，)时，ωx－∈(－，－)，
由<ω≤，知－∈(，]
即(－，－) [－，]，
即f(x)在区间(0，)上单调递增，故②正确；
所以正确的个数为2个．
15．1
解析：函数y＝sin 的周期为6，函数y＝sin 在[，]上单调递减，
当≤t≤时，[t，t＋1] [，]
M(t)－N(t)＝sin －sin
＝2cos (＋)sin (－)＝－cos (＋)，
因为≤t≤，所以≤t＋≤，
所以－1≤cos (t＋)≤－，
所以≤M(t)－N(t)≤1，
当t＝时取最大值1.
16．3
解析：因为T＝，ω>0，所以ω＝.由f(T)＝，得cos (2π＋φ)＝，即cos φ＝.又因为0<φ<π，所以φ＝.因为x＝为f(x)的零点，所以＋＝kπ＋，k∈Z，解得ω＝9k＋3，k∈Z.又因为ω>0，所以ω的最小值为3.
专练20 函数y＝A sin (ωx＋φ)的
图像及三角函数模型
1．B ∵y＝sin (4x－)＝sin ，∴要得到y＝sin (4x－)的图像，只需将y＝sin 4x的图像向右平移个单位．
2．A y＝cos 2x＋1y＝cos x＋1y＝cos (x＋1)＋1y＝cos (x＋1).函数图像过(－1，0)，结合选项可知，选A.
3．A 将y＝sin (2x＋)的图像向右平移个单位长度，得到y＝sin ＝sin 2x，令2kπ－≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，∴y＝sin 2x在(k∈Z)上单调递增，当k＝0时，得到y＝sin 2x的一个单调增区间为，故A正确，B不正确，由2kπ＋≤2x≤2kπ＋π(k∈Z)，得y＝sin 2x的单调减区间为(k∈Z)，结合选项可知C、D不正确．
4．A 由图知A＝2，＝－(－)＝，
∴T＝π，∴ω＝2.
将(，2)坐标代入，得2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
∴φ＝2kπ－，k∈Z.取k＝0，得φ＝－.
5．A ∵函数y＝sin 2x＋cos 2x＝2sin (2x＋)，
将函数y＝sin 2x＋cos 2x的图像沿x轴向左平移φ个单位后，得到函数y＝2sin (2x＋2φ＋)，
因为函数是偶函数，
∴2φ＋＝kπ＋(k∈Z)∴φ＝＋(k∈Z).
当k＝0时，φ＝.则φ的最小值为.
6．A 由题意得π＋＝T，
∴T＝π，又T＝，∴ω＝2，
又当x＝π时，2sin (2×π＋φ)＝2，
∴φ＝－＋2kπ(k∈Z)，又－<φ<，
∴φ＝－.
7．B 依题意，将y＝sin 的图像向左平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f(x)的图像，
所以y＝sin
y＝sin 的图像
f(x)＝sin 的图像．
8．D y＝sin (2x＋)＝cos (2x＋－)
＝cos (2x＋)＝cos ，
由y＝cos x的图像得到y＝cos 2x的图像，需将曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变；由y＝cos 2x的图像得到y＝cos 的图像，需将y＝cos 2x的图像上的各点向左平移个单位长度，故选D.
9．D 函数f(x)＝2sin (2x－)的图像向右平移个单位得到g(x)＝2sin [2(x－)－]＝2sin (2x－)，
g(x)＝2sin (2x－)＝2sin (2x＋－π)＝－2sin (2x＋)，B选项错误．
2x＋＝kπ，x＝－，所以g(x)的对称中心为(－，0)(k∈Z)，A选项错误．
g()＝－2sin (＋)＝－2sin ＝－2，所以g(x)的图像关于x＝对称，D选项正确．
10．2sin (2x＋)
解析：由题图可知，f(x)max＝2，f(x)min＝－2，
故A＝2，
最小正周期T＝2×＝π，
故ω＝＝2，
所以f(x)＝2sin (2x＋φ).
又曲线y＝f(x)过点(－，2)，
所以2sin ＝2，
即φ－＝＋2kπ，k∈Z.又|φ|<π，
所以φ＝.
故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin (2x＋).
11．－2
解析：由与x轴在原点右侧的第一个交点为(1，0)，在y轴右侧的第一个最高点为(3，2)知＝3－1，T＝8，或＝3－1，T＝，
当T＝8时，ω＝＝，A＝2，∴f(x)＝2sin (x＋φ)，代入点(1，0)，2sin (＋φ)＝0，又|φ|<，
∴φ＝－，
f(x)＝2sin (x－)，f(－1)＝－2；当T＝时，ω＝＝，A＝2，∴f(x)＝2sin (x＋φ)，代入点(1，0)，
2sin (＋φ)＝0，又|φ|<，∴φ＝，f(x)＝2sin (x＋)，f(－1)＝－2.
综上，f(－1)＝－2.
12.
解析：由题意得将y＝sin x的图像向左平移个单位，得到y＝sin (x＋)，再纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到y＝sin (x＋)，即f(x)＝sin (x＋)，∴f()＝sin ＝.
13．C 依题意，
解得
故f(x)＝2cos (ωx＋φ)－1，
而f ()＝1，f ()＝－1，
∴＝专练7 二次函数与幂函数
命题范围：二次函数、幂函数的解析式、图像与性质．
[基础强化]
一、选择题
1．[2022·广西高三4月大联考] 若f (x)是幂函数，且满足＝3，则f()等于( )
A．3 B．－3
C． D．－
2．[2022·江西科技学院附属中学高三月考]函数f(x)＝|4－x|·(x－1)在( )上单调递增．
A．(，4) B．(1，4)
C．(－∞，4) D．(－∞，)，(4，＋∞)
3．当x∈(0，＋∞)时，幂函数y＝(m2－m－1)x－5m－3为减函数，则实数m的值为( )
A．m＝2 B．m＝－1
C．m＝－1或m＝2 D．m≠
4．如果函数f(x)＝x2－ax－3在区间(－∞，4]上单调递减，那么实数a满足的条件是( )
A. a≥8 B．a≤8
C．a≥4 D．a≥－4
5．[2022·北京昌平二模]已知函数f(x)＝ax2－4ax＋2(a<0)，则关于x的不等式f(x)>log2x的解集是( )
A．(－∞，4) B．(0，1)
C．(0，4) D．(4，＋∞)
6．[2022·重庆联考模拟]已知二次函数y＝x2－4x＋a的两个零点都在区间(1，＋∞)内，则a的取值范围是( )
A．(－∞，4) B．(3，＋∞)
C．(3，4) D．(－∞，3)
7．已知二次函数f(x)＝ax2－2x＋c的值域为[0，＋∞)，则＋的最小值为( )
A．3 B．6
C．9 D．12
8．设函数f(x)＝x(ex＋e－x)，则f(x)( )
A．是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数
B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数
D．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
9．已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)＝x3，若不等式f(－4t)>f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－)
B．(－，0)
C．(－∞，0)∪(，＋∞)
D．(－∞，－)∪(，＋∞)
二、填空题
10．已知a∈{－2，－1，－，，1，2，3}，若幂函数f(x)＝xa为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则a＝________.
11．已知幂函数f(x)＝x－k2＋k＋2(k∈N*)满足f(2)12．已知函数f(x)＝x2＋2x＋1，如果使f(x)≤kx对任意实数x∈(1，m]都成立的m的最大值是5，则实数k＝________.
[能力提升]
13．[2022·辽宁三模]函数f(x)＝4tan (π－x)－的最大值为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
14．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图像的一部分，图像过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：
①b2>4ac；②2a－b＝1；
③a－b＋c＝0；④5a其中正确的是( )
A．②④ B．①④
C．②③ D．①③
15．已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值为8，则f(x)的解析式为f(x)＝________.
16．设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足10，则实数a的取值范围是________.专练47 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
命题范围：直线的倾斜角和斜率、直线方程的点斜式和一般式．
[基础强化]
一、选择题
1．直线经过点(0，2)和点(3，0)，则它的斜率k为( )
A． B．
C．－ D．－
2．直线x＋y＋1＝0的倾斜角是( )
A． B．
C．π D．π
3．已知直线l过点P(－2，5)，且斜率为－，则直线l的方程为( )
A．3x＋4y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0
C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0
4．已知直线l的倾斜角为α，斜率为k，那么“α>”是“k>”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．[2022·宿州模拟]若图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )
A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2
C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2
6．[2022·湖北黄冈一模]过点A(1，2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为( )
A．x－y＋1＝0
B．x＋y－3＝0
C．2x－y＝0或x＋y－3＝0
D．2x－y＝0或x－y＋1＝0
7．[2022·沈阳模拟]直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、二、四象限，则a，b，c应满足( )
A．ab>0，bc<0 B．ab>0，bc>0
C．ab<0，bc>0 D．ab<0，bc<0
8．直线x sin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是( )
A．[0，π) B．∪[π，π)
C． D．∪(，π)
9．已知点A(2，3)，B(－3，－2)，若直线kx－y＋1－k＝0与线段AB相交，则k的取值范围是( )
A．
B．(－∞，]∪[2，＋∞)
C．(－∞，1]∪[2，＋∞)
D．[1，2]
二、填空题
10．若A(4，3)，B(5，a)，C(6，5)三点共线，则a的值为________．
11．曲线y＝x3－2x＋4在点(1，3)处的切线的倾斜角为________．
12．过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率为1，则m＝________．
[能力提升]
13．[2022·长沙调研]设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为( )
A． B．[－1，0]
C．[0，1] D．
14．[2022·衡水模拟]1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线，α≈16°，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为( )
A．0° B．1°
C．2° D．3°专练49 圆的方程
命题范围：圆的标准方程和一般方程．
[基础强化]
一、选择题
1．已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是( )
A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0
C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0
2．圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是( )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
3．已知点A是直角△ABC的直角顶点，且A(2a，2)，B(－4，a)，C(2a＋2，2)，则△ABC外接圆的方程是( )
A．x2＋(y－3)2＝5
B．x2＋(y＋3)2＝5
C．(x－3)2＋y2＝5
D．(x＋3)2＋y2＝5
4．已知方程x2＋y2－2x＋2y＋a＝0表示圆，则实数a的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．(－2，＋∞)
C．(－∞，2) D．(－∞，1)
5．点P(5a＋1，12a)在(x－1)2＋y2＝1的内部，则a的取值范围是( )
A．|a|<1 B．a<
C．|a|< D．|a|<
6．直线y＝kx－2k＋1恒过定点C，则以C为圆心，以5为半径的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋(y－1)2＝5
B．(x－2)2＋(y－1)2＝25
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝25
D．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5
7．[2022·深圳模拟]已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4，则圆M的方程为( )
A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1
B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1
D．(x－3)2＋(y－1)2＝1
8．[2022·安徽省滁州市质检]已知A，B为圆C：x2＋y2－2x－4y＋3＝0上的两个动点，P为弦AB的中点，若∠ACB＝90°，则点P的轨迹方程为( )
A.(x－1)2＋(y－2)2＝
B．(x－1)2＋(y－2)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝
D．(x＋1)2＋(y＋2)2＝1
9．已知P为直线x＋y－2＝0上的点，过点P作圆O：x2＋y2＝1的切线，切点为M，N，若∠MPN＝90°，则这样的点P有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．无数个
二、填空题
10．若a∈，则方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示的圆的个数为________．
11．[2022·全国乙卷(理)，14]过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为__________________．
12．直线l：＋＝1与x轴、y轴分别相交于点A、B，O为坐标原点，则△AOB内切圆的方程为________．
[能力提升]
13．已知一个圆的圆心在曲线y＝(x>0)上，且与直线2x＋y＋1＝0相切，则当圆的面积最小时，该圆的方程为( )
A．(x－1)2＋(y－2)2＝5
B．(x－2)2＋(y－1)2＝5
C．(x－1)2＋(y－2)2＝25
D．(x－2)2＋(y－1)2＝25
14．若直线l：y＝kx＋1(k<0)与圆C：x2＋4x＋y2－2y＋3＝0相切，则直线l与圆D：(x－2)2＋y2＝3的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
15．已知直线l：x－y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝________．
16．[2022·湘潭质检]设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0).则·的最大值为________．专练40 空间几何体的表面积和体积
命题范围：空间几何体的表面积与体积．
[基础强化]
一、选择题
1．已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )
A．12π B．12π
C．8π D．10π
2．[2022·全国甲卷(理)，4] 如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为( )
A．8 B．12
C．16 D．20
3．已知某几何体的三视图如图所示(俯视图中曲线为四分之一圆弧)，则该几何体的表面积为( )
A．1－ B．3＋
C．2＋ D．4
4．在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )
A. B．
C． D．2π
5．[2022·江西省南昌市高三模拟]圆柱形玻璃杯中盛有高度为10 cm的水，若放入一个玻璃球(球的半径与圆柱形玻璃杯内壁的底面半径相同)后，水恰好淹没了玻璃球，则玻璃球的半径为( )
A． cm B．15 cm
C．10 cm D．20 cm
6．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是( )
A．2πR2 B．πR2
C．πR2 D．πR2
7．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成，则该几何体的体积为( )
A．8＋ B．8＋
C．4＋ D．4＋
8．[2022·全国乙卷(理)，9]已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为( )
A． B.
C． D．
9．[2021·全国甲卷]已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O－ABC的体积为( )
A． B．
C． D．
二、填空题
10．[2020·全国卷Ⅲ]已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．
11．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°.若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为________．
12．[2022·安徽省高三联考]在三棱锥P ABC中，侧棱PA＝PB＝PC＝，∠BAC＝，BC＝2，则此三棱锥外接球的表面积为________.
[能力提升]
13．[2022·全国甲卷(理)，9]甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若＝2，则＝( )
A． B. 2
C. D.
14．[2022·江西省赣州市一模]在半径为2的球O的表面上有A，B，C三点，AB＝2.若平面OAB⊥平面ABC，则三棱锥O ABC体积的最大值为( )
A． B．
C． D．
15．[2022·安徽省高三一模]半正多面体亦称阿基米德多面体，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体．如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，它们的边长都相等，称这样的半正多面体为二十四等边体．现有一个体积为V1的二十四等边体，其外接球体积为V2，则＝________．
16．[2022·江西省高三质量监测]如图，在棱长为4的正方体ABCD A1B1C1D1中，点P在面AA1B1B内，记PD，PC与平面DD1C1C所成角分别为α、β，且tan β＝3tan α，则四棱锥P AB1C1D体积的最小值是________．专练64 二项分布及其应用
命题范围：条件概率、事件的相互独立性、独立重复试验与二项分布．
[基础强化]
一、选择题
1．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现反面”为事件B，则P(B|A)＝( )
A． B．
C． D．
2．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”；则P(B|A)＝( )
A． B．
C． D．
3．打靶时甲每打10次，可中靶8次；乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一个目标，则他们都中靶的概率是( )
A． B．
C． D．
4．甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为和，两人同时参加测试，其中有且只有一人能通过的概率是( )
A． B．
C． D．1
5．已知随机变量X服从二项分布X～B(4，)，则P(X＝2)＝( )
A． B．
C． D．
6．已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8，则该射击运动员射击四次至少击中3次的概率为( )
A．0.85 B．0.819 2
C．0.8 D．0.75
7．设X～B(4，P)，其中0A． B．
C． D．
8．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动五次后位于点(2，3)的概率是( )
A．()5 B．C()5
C．C()3 D．CC()5
9．设X为随机变量，X～B(n，)，若随机变量X的数学期望E(X)＝2.则P(X＝2)＝( )
A． B．
C． D．
二、填空题
10．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“三个人去的景点不同”，B为“甲独立去一个景点”，则P(A|B)＝________．
11．已知随机变量X～B(n，p)，若E(X)＝30，D(X)＝20，则p＝________．
12．[2022·江西省上饶六校联考]排球比赛的规则是5局3胜制(5局比赛中，优先取得3局胜利的一方，获得最终胜利，无平局)，在某次排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率都相等，均为，则最后甲队获胜的概率是________．
[能力提升]
13．设有下面四个命题
p1：若X～B(3，)，则P(X≥1)＝；
p2：若X～B(3，)，则P(X≥1)＝；
p3：若(x2－)6的中间项为－20；
p4：若(x2－)6的中间项为－20x3.
其中真命题为( )
A．p1，p3 B．p1，p4
C．p2，p3 D．p2，p4
14．[2022·吉林省长春质检]已知随机变量X～B(4，)，下列表达式正确的是( )
A．P(X＝2)＝ B．E(3X＋1)＝4
C．D(3X＋1)＝8 D．D(X)＝
15．设X为随机变量，X～B(n，)，若E(X)＝，则P(X＝3)＝________．
16．某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为________．专练10 函数的图像
命题范围：简单函数图像及其应用．
[基础强化]
一、选择题
1．[2022·全国甲卷(理)，5]函数y＝(3x－3－x)cos x在区间的图像大致为( )
2．为了得到函数y＝log2的图像，可将函数y＝log2x图像上所有点的( )
A．纵坐标缩短为原来的，横坐标不变，再向右平移1个单位
B．纵坐标缩短为原来的，横坐标不变，再向左平移1个单位
C．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位
D．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位
3．[2022·安徽省滁州市高三质检]函数f(x)的部分图像如图所示，则f(x)的解析式可能是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝ D．f(x)＝
4．[2022·河南省郑州市高三质量预测]函数f(x)＝的部分图像大致是( )
5．[2022·江西省九江市二模]已知函数y＝f(x)的部分图像如图所示，则y＝f(x)的解析式可能是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝ D．f(x)＝
6．对于函数f(x)＝的图像及性质的下列表述，正确的是( )
A．图像上点的纵坐标不可能为1
B．图像关于点(1，1)成中心对称
C．图像与x轴无交点
D．图像与垂直于x轴的直线可能有两个交点
7．已知图①中的图像对应的函数为y＝f(x)，则图②中的图像对应的函数为( )
A．y＝f(|x|) B．y＝f(－|x|)
C．y＝|f(x)| D．y＝－f(|x|)
8．[2022·吉林省高三质量监测]函数f(x)＝sin x的图像大致是( )
9．函数y＝的图像与函数y＝2sin πx(－2≤x≤4)的图像的所有交点的横坐标之和等于( )
A．2 B．4
C．6 D．8
二、填空题
10．若函数y＝f(x)的图像经过点(2，3)，则函数y＝f(－x)＋1的图像必定经过的点的坐标为________．
11．函数f(x)是定义在[－4，4]上的偶函数，其在[0，4]上的图像如图所示，那么不等式<0的解集为________.
12．已知函数y＝的图像与函数y＝kx－2的图像恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．
[能力提升]
13．如图，点P在边长为1的正方形边上运动，M是CD的中点，当点P沿A－B－C－M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y＝f(x)的图像的形状大致是( )
14．[2022·安徽省江南十校一模]函数f(x)＝|x＋1|＋ax的图像不可能是( )
15．[2022·江西省南昌市高三二模]已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c(a<0，b<0)，则函数f(x)的图像可能是( )
16．[2022·郑州市高中第二次质检] 已知函数f(x)＝ex－2，g(x)＝x2＋ax(a∈R)，h(x)＝kx－2k＋1(k∈R)，给出下列四个命题，其中真命题有________．(写出所有真命题的序号)
①存在实数k，使得方程|f(x)|＝h(x)恰有一个根；
②存在实数k，使得方程|f(x)|＝h(x)恰有三个根；
③任意实数a，存在不相等的实数x1，x2，使得f(x1)－f(x2)＝g(x1)－g(x2)；
④任意实数a，存在不相等的实数x1，x2，使得f(x1)－f(x2)＝g(x2)－g(x1).专练39 空间几何体的结构及其三视图和直观图
命题范围：柱体、锥体、台体、球体的结构及其简单几何体的三视图和直观图．
[基础强化]
一、选择题
1．以下命题：
①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；③用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．
其中正确命题的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( )
A．圆柱
B．圆锥
C．球体
D．圆柱、圆锥、球体的组合体
3．已知正△ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为( )
A．a2 B．a2 C．a2 D．a2
4．把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成的三棱锥A－BCD的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为( )
A. B． C． D．
5．[2021·全国甲卷]
在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G.该正方体截去三棱锥A－EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是( )
6．[2020·全国卷Ⅲ]如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是( )
A．6＋4 B．4＋4
C．6＋2 D．4＋2
7．[2020·全国卷Ⅱ]如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为( )
A．E B．F C．G D．H
8．如图，某几何体的三视图如图所示，则该几何体的各条棱中最长的棱和最短的棱长度之和为( )
A.6 B．4 C．2＋2 D．2＋2
9.[2022·江西省南昌市高三模拟]如图1，正方体ABCD A1B1C1D1中，点P在矩形A1B1C1D1内(包含边界)，若三棱锥P ABC的左视图如图2所示，则此三棱锥的俯视图不可能是( )
二、填空题
10．一个圆台上、下底面的半径分别为3和8，若两底面圆心的连线长为12，则这个圆台的母线长为________．
11．已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为________.
12．[2022·上海二模]如图1，已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，M，N，Q分别是线段AD1，B1C，C1D1上的动点，当三棱锥Q BMN的正视图如图2所示时，三棱锥俯视图的面积为________．
[能力提升]
13．[2022·陕西宝鸡二模]
如图，在正三棱锥P ABC中，∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝30°，PA＝PB＝PC＝4，一只虫子从A点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A点，则虫子爬行的最短距离是________．
14．[2022·江西省临川中学模拟]如图是一个四棱锥的三视图，则该四棱锥的所有侧棱中，最长的侧棱长为( )
A．2 B． C．2 D．3
15．[2022·江西省景德镇高三质检]如图是一个四棱锥的三视图，则该四棱锥的所有侧面中，面积的最大值为________．
16．[2022·重庆一中高三月考]传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．这个“圆柱容球”是阿基米德生前最引以为豪的发现．如图，在底面半径为2的圆柱O1O2内有球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，设A，B分别为圆柱O1O2的上、下底面圆周上一点，且O1A与O2B所成的角为90°，直线AB与球O的球面交于两点M，N，则线段MN的长度为________．专练57 随机抽样
命题范围：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样．
[基础强化]
一、选择题
1．某方便面生产线上每隔15分钟抽取一包进行检验，该抽样方法为①，从某中学的40名数学爱好者中抽取5人了解学习负担情况，该抽样方法为②，那么①和②分别为( )
A．①系统抽样，②分层抽样
B．①分层抽样，②系统抽样
C．①系统抽样，②简单随机抽样
D．①分层抽样，②简单随机抽样
2．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则( )
A．P1＝P2C．P1＝P33．[2022·江西省赣州摸底]某学校为了更好落实“五育”管理，对高一年级1 890名新生的体质情况进行调查，现将这些新生编号成1，2，3，4，…，1 890，再采用系统抽样的方法从这些新生中抽取210名学生进行体质测验．若43号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是( )
A.15号学生 B．72号学生
C．1 214号学生 D．1 267号学生
4．在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示．
13 0 0 3 4 5 6 6 8 8 8 9
14 1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5 5 6 6 7 8
15 0 1 2 2 3 3 3
若将运动员按成绩由好到差编为1～35，再用系统抽样方法从中抽取7人，则成绩在区间[139，151]上的运动员的人数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
5．[2022·江西省赣州高三期末]某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行001，002，…，599，600.从中抽取60个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是( )
33 21 18 34 29 78 64 56 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
A．457 B．328 C．253 D．072
6．[2022·河南省六市联考]中国农历的“二十四节气”是凝结着中华民族的智慧与传统文化的结晶，2022年2月4日北京冬奥会开幕式，以二十四节气的方式开始倒计时，惊艳全球．某小学一年级随机抽查100名学生并提问“二十四节气歌”，只能说出两句的有32人，能说出三句或三句以上的有45人，据此估计该校一年级的400名学生中对“二十四节气歌”只能说出一句或一句也说不出的人数约为( )
A．23 B．92 C．128 D．180
7．[2022·湖南永州高三测试]现从已编号(1～50)的50位同学中随机抽取5位以了解他们的数学学习状况，用选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5位同学的编号可能是( )
A．5，10，15，20，25 B．3，13，23，33，43
C．1，2，3，4，5 D．2，10，18，26，34
8．[2022·宣城一中高三测试]一支田径队共有运动员98人，其中女运动员42人，用分层抽样的方法抽取一个样本，每名运动员被抽到的概率都是，则男运动员应抽取( )
A．18人 B．16人 C．14人 D．12人
9．[2022·江西师大附中高三测试]一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，…，99.依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为一，二，三，…，十．现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，如果在第一组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m＋k的个位数字相同．若m＝6，则在第七组中抽取的号码是( )
A．63 B．64 C．65 D．66
二、填空题
10．[2022·山西省高三第一次模拟]某校要求每名学生只参加某一个兴趣小组，并对高一、高二年级的3个兴趣小组的学生人数进行了统计，结果如下表：
书法组 舞蹈组 乐器组
高一 x 20 30
高二 45 30 10
已知按兴趣小组类别用分层抽样的方法，从参加这3个兴趣小组的学生中共抽取了30人，其中书法组被抽取12人，则x＝________．
11．某校高一年级有900名学生，其中女生400名．按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为________．
12．某校高三(2)班现有64名学生，随机编号为0，1，2，…，63，依编号顺序平均分成8组，组号依次为1，2，3，…，8.现用系统抽样方法抽取一个容量为8的样本，若在第1组中随机抽取的号码为6，则在第6组中抽取的号码为________．专练41 空间点、直线、平面之间的位置关系
命题范围：空间直线、平面的位置关系的定义及判断．
[基础强化]
一、选择题
1．“点P在直线m上，m在平面α内”可表示为( )
A．P∈m，m∈α B．P∈m，m α
C．P m，m∈α D．P m，m α
2．在空间中，可以确定一个平面的条件是( )
A．两两相交的三条直线
B．三条直线，其中一条与另两条分别相交
C．三个点
D．三条直线，它们两两相交，但不交于同一点
3．[2021·全国乙卷]在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为( )
A． B． C． D．
4．若直线l1与l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )
A．l与l1，l2都不相交
B．l与l1，l2都相交
C．l至多与l1，l2中的一条相交
D．l至少与l1，l2中的一条相交
5．若P是平面α外一点，则下列命题正确的是( )
A．过P只能作一条直线与平面α相交
B．过P可作无数条直线与平面α垂直
C.过P只能作一条直线与平面α平行
D．过P可作无数条直线与平面α平行
6．如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C l, 直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )
A．点A B．点B
C．点C但不过点M D．点C和点M
7．[2022·厦门模拟]下列说法正确的是( )
A．两组对边分别相等的四边形确定一个平面
B．和同一条直线异面的两直线一定共面
C．与两异面直线分别相交的两直线一定不平行
D．一条直线和两平行线中的一条相交，也必定和另一条相交
8．[2022·全国甲卷(理)，7]在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°，则( )
A．AB＝2AD
B．AB与平面AB1C1D所成的角为30°
C．AC＝CB1
D．B1D与平面BB1C1C所成的角为45°
9．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( )
A.α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一平面
二、填空题
10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为________．
11．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面，又与CC1共面的棱有________条．
12.
如图所示是正四面体的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，
①GH与EF平行；
②BD与MN为异面直线；
③GH与MN成60°角；
④DE与MN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
[能力提升]
13．[2022·河南省六市联考]在各面均为正三角形的四面体A BCD中，M，N分别是棱AD，BC的中点，则异面直线BM与AN所成角的余弦值为( )
A. B． C． D．
14．[2022·安徽省皖北协作区联考]以下四个命题：①梯形一定是平面图形；②一点和一条直线可确定一个平面；③两两相交的三条直线可确定一个平面；④如果平面α外有两点A，B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB∥平面α.其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
15．[2022·渭南模拟]在空间中，给出下面四个命题，其中假命题为________．(填序号)
①过平面α外的两点，有且只有一个平面与平面α垂直；
②若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，则α∥β；
③若直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α；
④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线．
16.
[2022·兰州模拟]如图，正方体A1C的棱长为1，点M在棱A1D1上，A1M＝2MD1，过M的平面α与平面A1BC1平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为________．专练30 等差数列及其前n项和
命题范围：等差数列的概念和性质、等差数列的通项公式及前n项和公式．
[基础强化]
一、选择题
1．[2022·四川泸州三模]等差数列{an}的前n项和为Sn，若S7－S6＝24，a3＝8，则数列{an}的公差d＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
2．[2022·福建三明模拟]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＋a5＝－14，S3＝－39，则S10＝( )
A．6 B．10
C．12 D．20
3．[2022·安徽合肥二模]设等差数列{an}的前n项和为Sn，S15＝5(a3＋a8＋am)，则m的值为( )
A．10 B．12
C．13 D．14
4．[2022·陕西西安二模]《九章算术》中有一道“良马、驽马行程问题”．若齐国到长安的路程为2 000里，良马从长安出发往齐国去，驽马从齐国出发往长安去，同一天相向而行．良马第一天行155里，之后每天比前一天多行12里，驽马第一天行100里，之后每天比前一天少行2里，若良马和驽马第n天相遇，则n的最小整数值为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
5．[2022·吕梁模拟]已知Sn为等差数列{an}的前n项和，满足a3＝3a1，a2＝3a1－1，则数列的前10项和为( )
A． B．55
C． D．65
6．已知等差数列{an}中，a2＝1，前5项和S5＝－15，则数列{an}的公差为( )
A．－3 B．－
C．－2 D．－4
7．已知数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn(a，b∈R)且a2＝3，a6＝11，则S7＝( )
A．13 B．49
C．35 D．63
8．[2020·全国卷Ⅱ]北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )
A．3 699块 B．3 474块
C．3 402块 D．3 339块
9．记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则( )
A．an＝2n－5 B．an＝3n－10
C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝n2－2n
二、填空题
10．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1≠0，a2＝3a1，则＝________．
11．[2022·新乡模拟]一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一．一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为1，3，3，5，5，7，…，该数列从第5项开始成等差数列，则该塔群最下面三层的塔数之和为________．
12．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＋a5＝25，S6＝57，则{an}的公差为______．
[能力提升]
13．[2022·广西来宾市模拟] 某一年是闰年，当且仅当年份数能被400整除(如公元2000年)或能被4整除而不能被100整除(如公元2012年).闰年的2月有29天，全年366天，平年的2月有28天，全年365天.2022年2月7日星期一是小说家狄更斯诞辰210周年纪念日，狄更斯的出生日是( )
A．星期五 B．星期六
C．星期天 D．星期一
14．[2022·济宁模拟]设等差数列{an}的前n项和是Sn，已知S14>0，S15<0，则下列选项不正确的是( )
A．a1>0，d<0
B．a7＋a8>0
C．S6与S7均为Sn的最大值
D．a8<0
15．若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9＞0，a7＋a10＜0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大．
16．[2022·陕西省西安中学四模]在等差数列{an}中，a7＝15，a2＋a6＝18，若数列{(－1)nan}的前n项之和为Sn，则S100＝________．专练48 两条直线的位置关系及距离公式
命题范围：两条直线平行与垂直的条件，两点间的距离及点到直线的距离．
[基础强化]
一、选择题
1．过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( )
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
2．[2022·江西省南昌市模拟]已知直线2x－y＋1＝0与直线x＋my＋2＝0垂直，则m＝( )
A．－2 B．－
C．2 D．
3．[2022·陕西省西安中学二模]已知直线l1：2x＋ay＋2＝0与直线l2：(a－1)x＋3y＋2＝0平行，则a＝( )
A．3 B．－2
C．－2或3 D．5
4．当0A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．“C＝2”是“点(1，)到直线x＋y＋C＝0的距离为3”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
6．过点P(2，1)且与原点O距离最远的直线方程为( )
A．2x＋y－5＝0 B．2x－y－3＝0
C．x＋2y－4＝0 D．x－2y＝0
7．[2022·洛阳模拟]数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知△ABC的顶点A(2，0)，B(1，2)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为( )
A．x－2y－4＝0 B．2x＋y－4＝0
C．4x＋2y＋1＝0 D．2x－4y＋1＝0
8．三条直线l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，l3：5x－ky－15＝0构成一个三角形，则k的取值范围是( )
A．k∈R
B．k∈R且k≠±1，k≠0
C．k∈R且k≠±5，k≠－10
D．k∈R且k≠±5，k≠1
9．直线l经过点M(2，1)，若点P(4，2)和Q(0，－4)到直线l的距离相等，则直线l的方程为( )
A．3x－2y－4＝0
B．x＝2或3x－2y－4＝0
C．x＝2或x－2y＝0
D．x＝2或3x－2y－8＝0
二、填空题
10．若曲线y＝ax(a>0且a≠1)恒过定点A(m，n)，则A到直线x＋y－3＝0的距离为________．
11．[2022·陕西省西安中学高三四模]直线x＋my－2＝0和直线mx－(2m－1)y＝0垂直，则实数m＝________．
12．过点A(4，a)和B(5，b)的直线与直线y＝x＋m平行，则两点间的距离|AB|＝________．
[能力提升]
13．[2022·山东省邹平市模拟]已知直线l1的方程为：x＋ay－2＝0，直线l2的方程为：2x－y＋1＝0，若l1⊥l2，则直线l1与l2的交点坐标为( )
A．(－，－) B．(0，1)
C．(2，5) D．(，)
14．[2022·辽宁鞍山一中模拟]设m∈R，直线l1：(m＋2)x＋6y－2m－8＝0，l2：x＋2my＋m＋1＝0，则“m＝1”是“l1∥l2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
15．[2022·苏州模拟]已知直线l1：ax－y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，a∈R，以下结论不正确的是( )
A．不论a为何值时，l1与l2都互相垂直
B．当a变化时，l1与l2分别经过定点A(0，1)和B(－1，0)
C．不论a为何值，l1与l2都关于直线x＋y＝0对称
D．如果l1与l2交于点M，O为坐标原点，则|MO|的最大值是
16．[2022·武汉调研]台球运动已有五、六百年的历史，参与者用球杆在台上击球．若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律．如图，有一张长方形球台ABCD，AB＝2AD，现从角落A沿角α的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落C的球袋中，则tan α的值为( )
A．或 B．或1
C．或 D．1或专练18 同角三角函数的基本关系及诱导公式
命题范围：同角三角函数的基本关系式及诱导公式．
[基础强化]
一、选择题
1．sin π＝( )
A．－ B．－
C． D．
2．[2022·辽宁二模]若＝，则tan θ＝( )
A． B．－
C．－3 D．3
3．若α∈(，)，tan (α－7π)＝，则sin α＋cos α＝( )
A．± B．－
C． D．－
4．已知2sin α－cos α＝0，则sin2α－2sinαcos α的值为( )
A．－ B．－
C． D．
5．[2021·新高考全国Ⅰ]若tan θ＝－2，则等于( )
A.－ B．－
C． D．
6．已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝( )
A．－ B．－
C． D．
7．在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边经过点P(3，4)，则sin (α－)＝( )
A．－ B．－
C． D．
8．[2022·江西省八所中学联考]魏晋南北朝时期，我国数学家祖冲之利用割圆术，求出圆周率π约为，是当时世界上最精确的圆周率结果，直到近千年后这一记录才被打破．若已知π的近似值还可以表示成4cos 38°，则的值为( )
A． B．－
C．8 D．－8
9．已知x∈(0，π)，且cos(2x－)＝sin2x，则tan(x－)＝( )
A. B．－
C．3 D．－3
二、填空题
10．[2022·安徽省蚌埠市质检] 已知角θ的终边过点A(4，a)，且sin (θ－π)＝，则tan θ＝________．
11．[2022·河南省六市三模] 设α为锐角，若cos (α＋)＝，则sin (2α＋)的值为________．
12．[2022·陕西省西安三模]已知sin 2α＝，且<α<，则cos α－sin α＝________．
[能力提升]
13．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，则|a－b|＝( )
A． B．
C． D．1
14．[2022·江西省临川模拟]已知cos (θ－)＝，则sin (2θ＋)＝( )
A．－ B．－
C． D．
15．已知α为锐角，且2tan (π－α)－3cos (＋β)＋5＝0，tan (π＋α)＋6sin (π＋β)＝1，则sin β的值为________．
16．设A，B，C为△ABC的三个内角，则下列关系式中恒成立的是________(填写序号).
①cos (A＋B)＝cos C；
②cos ＝sin ；
③sin (2A＋B＋C)＝－sin A．专练63 离散型随机变量及其分布列
命题范围：离散型随机变量及其分布列及其分布列的性质、超几何分布．
[基础强化]
一、选择题
1．设随机变量X的分布列如下：
X 1 2 3 4
P p
则p为( )
A． B． C． D．
2．随机变量ξ的分布列如下：
ξ －1 0 1
P a b c
其中a，b，c成等差数列，则P(|ξ|＝1)等于( )
A． B． C． D．
3．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是( )
A.第5次击中目标 B．第5次未击中目标
C.前4次未击中目标 D．第4次击中目标
4．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X，则X的所有可能取值个数为( )
A．25 B．10 C．7 D．6
5．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝m()k，k＝1，2，3，则m的值是( )
A． B． C． D．
6．一个袋中有形状大小完全相同的3个白球和4个红球，从中任意摸出两个球，用0表示两个球都是白球，用1表示两个球不全是白球，则满足条件X的分布列为( )
X 0 1
P
A.
X 0 1
P
B.
X 0 1
P
C.
X 0 1
P
D．
7．已知随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1，2，3)，则P(X＝2)＝( )
A. B． C． D．
8．若随机变量X的分布列为
X －2 －1 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当P(XA．(－∞，2] B．[1，2]
C．(1，2] D．(1，2)
9．[2022·山西省长治模拟]从装有3个白球m个红球n个黄球(这些小球除颜色外完全相同)的布袋中任取两个球，记取出的白球的个数为X，若E(X)＝，取出一白一红的概率为，则取出一红一黄的概率为( )
A． B． C． D．
二、填空题
10．已知离散型随机变量X的分布列如下：
X 0 1
P 9C2－C 3－8C
则常数C＝________．
11．设随机变量X的概率分布列为
X 1 2 3 4
P m
则P(|X－3|＝1)＝________．
12．从装有3个红球2个白球的袋中随机取出2个球，其中有X个红球，则随机变量X的分布列为________．
[能力提升]
13．某贫困县所辖15个小镇中有9个小镇交通比较方便，有6个不太方便．现从中任意选取10个小镇，其中有X个小镇交通不太方便．下列概率中等于的是( )
A. P(X＝4) B．P(X≤4)
C．P(X＝6) D．P(X≤6)
14．甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束，除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局甲队获胜的概率都是，则甲队获胜的概率为( )
A． B． C． D．
15．已知随机变量X的概率分别为P1，P2，P3，且依次成等差数列，则公差d的取值范围是________．
16．[2022·嘉兴市高三模拟]袋中有大小相同、质地均匀的1个红球、1个绿球和n个黄球．现从袋中每次随机取出一个且不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为 ξ，若P(ξ＝0)＝，则n＝________，E(ξ)＝________．专练11 函数与方程
命题范围：方程的根与函数的零点问题．
[基础强化]
一、选择题
1．若函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则g(x)＝bx2－ax－1的零点是( )
A．－1和 B．1和－
C．和 D．－和－
2．方程log4x＋x＝7的根所在区间是( )
A．(1，2) B．(3，4)
C．(5，6) D．(6，7)
3．函数f(x)＝的所有零点之和为( )
A．7 B．5
C．4 D．3
4．设函数f(x)＝x－ln x，则函数y＝f(x)( )
A．在区间(，1)，(1，e)内均有零点
B．在区间(，1)，(1，e)内均无零点
C．在区间(，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间(，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点
5．函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点位于( )
A．(1，2) B．(2，3)
C．(3，4) D．(4，5)
6．方程log3x＋x－3＝0的解所在的区间是( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
7．函数f(x)＝x－()x的零点的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
8．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为( )
A．{1，3} B．{－3, －1，1，3}
C．{2－，1，3} D．{－2－，1，3}
9．已知函数f(x)＝(k∈R)，若函数y＝|f(x)|＋k有三个零点，则实数k满足( )
A．k≤2 B．－1C．－2≤k<－1 D．k≤－2
二、填空题
10．函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1，1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________.
11．设函数f(x)＝若f(x0)＝1，则x0＝________.
12．已知偶函数f(x)满足f(x)＝f(x＋2)，且当x∈[－1，0]时，f(x)＝x2，若在区间[－1，3]内，函数g(x)＝f(x)－loga(x＋2)有3个零点，则实数a的取值范围是________．
[能力提升]
13．[2022·山西省高三第一次模拟]设函数f(x)＝，若f(x)＝a有四个实数根x1、x2、x3、x4，且x1A．(，) B．(4，)
C．(3，) D．(3，＋∞)
14．[2022·广西四市高三质检] 设函数f(x)＝若方程f(x)＝logax(a>0且a≠1)有唯一实根，则a的取值范围是( )
A.(，1)∪(，＋∞)
B．(，1)∪(1，)
C．(0，)∪(，＋∞)
D．(0，)∪(1，)
15．[2022·江西省高三二模]已知函数f(x)＝，f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，且x1A．－2 B．－
C．－1 D．－
16．[2022·江西省高三一模]已知f(x)＝(x>1)，若α，β分别是方程f(x)＝ex，f(x)＝ln x的根，则下列说法：①α＋β>4；②e<αβ<2e2；③α＋β＝αβ，其中正确的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3专练65 离散型随机变量的均值与方差、正态分布
命题范围：离散型随机变量的均值、方差及正态分布．
[基础强化]
一、选择题
1．[2022·辽宁省沈阳二中模拟]已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，且P(ξ＜1)＝0.6，则P(ξ＞－1)＝( )
A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2
2．已知X＋Y＝8，若X～B(10，0.6)，则E(Y)和D(Y)分别是( )
A．6和2.4 B．2和2.4
C．2和5.6 D．6和5.6
3．[2022·四川省高三诊断性测试]已知随机变量ξ～N(1，σ2)(σ＞0)，若P(1＜ξ≤4)＝0.32，则P(ξ＞4)＝( )
A．0.18 B．0.36 C．0.32 D．0.16
4．已知离散型随机变量X的分布列如下：
X 1 3 5
P 0.5 m 0.2
则E(X)＝( )
A．1 B．0.6 C．2.44 D．2.4
5．随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝2，则D(2X－3)＝( )
X 0 2 a
P p
A.2 B．3 C．4 D．5
6．口袋中有5个形状和大小完全相同的小球，编号分别为0，1，2，3，4，从中任取3个球，以X表示取出的球的最小号码，则E(X)＝( )
A.0.45 B．0.5 C．0.55 D．0.6
7．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，则p＝( )
A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3
8．[2022·四川省广安市模拟]2022年第24届冬季奥林匹克运动会(即2022年北京冬季奥运会)的成功举办，展现了中国作为一个大国的实力和担当，“一起向未来”更体现了中国推动构建人类命运共同体的价值追求．在北京冬季奥运会的某个比赛日，某人欲在冰壶()、冰球()、花样滑冰()、跳台滑雪()、自由滑雪()、雪车()这6个项目随机选择3个比赛项目现象观察(注：比赛项目后括号内为“”表示当天不决出奖牌的比赛，“”表示当天会决出奖牌的比赛)，则所选择的3个观察项目中当天会决出奖牌的项目数的均值为( )
A．1 B． C．2 D．
9．[2022·内蒙古包头高三模拟]设0＜a＜1，随机变量ξ的分布列如下表：
ξ 0 1 2
P
当a在(0，1)内增大时，则( )
A.D(ξ)减小 B．D(ξ)增大
C.D(ξ)先减小后增大 D．D(ξ)先增大后减小
二、填空题
10．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)＝________．
11．一个正四面体ABCD的四个顶点上分别标有1分，2分，3分和4分，往地面抛掷一次记不在地面上的顶点的分数为X，则X的均值为________．
12．在我校2018届高三10月份高考调研中，理科数学成绩X～N(90，σ2)(σ>0)，统计结果显示P(60≤X≤120)＝0.8，假设我校参加此次考试的有780人，那么估计此次考试中，我校成绩高于120分的有________人．
[能力提升]
13．[2022·河南省三市联考]甲乙丙三人参加2022年冬奥会北京、延庆、张家口三个赛区志愿服务活动，若每人只能选择一个赛区，且选择其中任何一个赛区是等可能的．记X为三人选中的赛区个数，Y为三人没有选中的赛区个数，则( )
A.E(X)＝E(Y)，D(X)＝D(Y)
B.E(X)＝E(Y)，D(X)≠D(Y)
C.E(X)≠E(Y)，D(X)≠D(Y)
D.E(X)≠E(Y)，D(X)＝D(Y)
14．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E(ξ)为( )
A. B． C． D．
15．2012年国家开始实行法定节假日高速公路免费通行政策，某收费站在统计了2021年清明节前后车辆通行数量，发现该站近几天每天通行车辆的数量ξ服从正态分布ξ～N(1 000，σ2)，若P(ξ>1 200)＝a，P(800<ξ<1 000)＝b，则＋的最小值为________．
16．[2022·山东省肥城适应性训练]在对某中学高一年级学生每周体育锻炼时间的调查中，采用随机数法，抽取了男生30人，女生20人. 已知男同学每周锻炼时间的平均数为17小时，方差为11；女同学每周锻炼时间的平均数为12小时，方差为16. 依据样本数据，估计本校高一年级学生每周体育锻炼时间的方差为________．专练52 双曲线
命题范围：双曲线的定义、标准方程与简单的几何性质．
[基础强化]
一、选择题
1．平面内到两定点F1(－5，0)，F2(5，0)距离差的绝对值等于8的动点P的轨迹方程为( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
2．设过双曲线x2－y2＝9左焦点F1的直线交双曲线的左支于点P，Q，F2为双曲线的右焦点．若|PQ|＝7，则△F2PQ的周长为( )
A．19 B．26 C．43 D．50
3．[2022·四川省高三“二诊模拟”]已知双曲线－＝1，其焦点到渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为( )
A． B． C．2 D．
4．若a>1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是( )
A．(，＋∞) B．(，2)
C．(1，) D．(1，2)
5．[2021·全国甲卷]已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为( )
A． B． C． D．
6．[2020·全国卷Ⅲ]设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为.P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a＝( )
A．1 B．2 C．4 D．8
7．设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为( )
A． B．11 C．12 D．16
8．[2022·江西省高三模拟]已知F1(－3，0)，F2(3，0)分别是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点P是双曲线上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为，则双曲线的标准方程为( )
A．－＝1 B．－＝1
C．x2－＝1 D．－y2＝1
9．[2022·江西省南昌模拟]已知中心在原点的双曲线E的离心率为2，右顶点为A，过E的左焦点F作x轴的垂线l，且l与E交于M, N两点，若△AMN的面积为9，则E的标准方程为( )
A．x2－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．x2－＝1
二、填空题
10．[2021·全国乙卷]已知双曲线C：－y2＝1(m>0)的一条渐近线为x＋my＝0，则C的焦距为__________．
11．[2022·全国甲卷(理)，14]若双曲线y2－＝1(m>0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝________．
12．[2022·陕西省西安中学四模]已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
[能力提升]
13．[2022·陕西省西安中学模拟]第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬季奥运会，将于2022年2月在北京和张家口举行，北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底蕴与国际化的现代风格融为一体，呈现出新时代的中国新形象、新梦想．会徽图形上半部分展现滑冰运动员的造型，下半部分表现滑雪运动员的英姿．中间舞动的线条流畅且充满韵律，代表举办地起伏的山峦、赛场、冰雪滑道和节日飘舞的丝带，下部为奥运五环，不仅象征五大洲的团结，而且强调所有参赛运动员应以公正、坦诚的运动员精神在比赛场上相见．其中奥运五环的大小和间距按以下比例(如图)：若圆半径均为12，则相邻圆圆心水平距离为26，两排圆圆心垂直距离为11，设五个圆的圆心分别为O1，O2，O3，O4，O5，若双曲线C以O1，O3为焦点、以直线O2O4为一条渐近线，则C的离心率为( )
A． B．
C． D．2
14．[2020·全国卷Ⅱ]设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为( )
A．4 B．8 C．16 D．32
15．[2022·江西省高三摸底]已知F1，F2是双曲线C：x2－＝1的两个焦点，过F1作C的渐近线的垂线，垂足为P.若△F1PF2的面积为，则C的离心率为________．
16．[2022·江西省高三模拟]已知F1、F2分别是双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，F2也是抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点，点P是双曲线E与抛物线C的一个公共点，若|PF1|＝|F1F2|，则双曲线E的离心率为________．专练43 直线、平面垂直的判定与性质
命题范围：直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理及直线与平面所成的角、平面与平面垂直的定义、判定定理和性质定理、二面角．
[基础强化]
一、选择题
1．在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可能有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．[2022·哈尔滨模拟]设m，n是两条不同的直线，α是平面，m，n不在α内，下列结论中错误的是( )
A．m⊥α，n∥α，则m⊥n
B．m⊥α，n⊥α，则m∥n
C．m⊥α，m⊥n，则n∥α
D．m⊥n，n∥α，则m⊥α
3．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是( )
A．a⊥α，b∥β，α⊥β
B．a⊥α，b⊥β，α∥β
C．a α，b⊥β，α∥β
D．a α，b∥β，α⊥β
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为CD的中点，则( )
A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD
C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC
5．[2022·安徽省蚌埠市质检]已知平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，过平面α和β外的一点P作直线m⊥l，则“m∥α”是“m⊥β”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
7．已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则( )
A．m∥l B．m∥n
C．n⊥l D．m⊥n
8．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，AA1＝5，则A1C与平面ABCD所成角的正切值为( )
A． B． C． D．1
9．如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E为AC的中点，则下列命题中正确的是( )
A.平面ABC⊥面ABD
B．平面ABD⊥面BCD
C．平面ABC⊥面BDE且平面ACD⊥面BDE
D．平面ABC⊥面ACD且平面ACD⊥面BDE
二、填空题
10．在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC，则P在平面ABC中的射影O为△ABC的________心．
11．已知平面α、β、γ是空间中三个不同的平面，直线l、m是空间中两条不同的直线，若α⊥γ，γ∩α＝m，γ∩β＝l，l⊥m则
①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.
由上述条件可推出的结论有________(请将你认为正确的结论的序号都填上).
12．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥面ABCD，则这个四棱锥的五个面中两两互相垂直的共有________对．
[能力提升]
13.
如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是( )
A．PB⊥AD
B．平面PAB⊥平面PBC
C．直线BC∥平面PAE
D．直线PD与平面ABC所成的角为45°
14．如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足MN⊥OP的是( )
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
15．在四棱锥P－ABCD中，PA⊥面ABCD，底面各边都相等，M为PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.
16.
如图，VA⊥平面ABC，△ABC的外接圆是以边AB的中点O为圆心的圆，点M、N、P分别为VA、VC、VB的中点，则下列结论正确的是________．(把正确结论的序号都填上)
①MN∥平面ABC；
②OC⊥平面VAC；
③MN与BC所成的角为60°；
④MN⊥OP；
⑤平面VAC⊥平面VBC.专练26 平面向量基本定理及坐标表示
命题范围：平面向量基本定理及坐标表示，用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算，用坐标表示的平面向量共线的条件．
[基础强化]
一、选择题
1．如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )
A．e1与e1＋e2
B．e1－2e2与e1＋2e2
C．e1＋e2与e1－e2
D．e1＋3e2与6e2＋2e1
2．已知平面向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，则向量a－b＝( )
A．(－2，－1) B．(－2，1)
C．(－1，0) D．(－1，2)
3．已知a＝(2，1)，b＝(1，x)，c＝(－1，1).若(a＋b)∥(b－c)，且c＝ma＋nb，则m＋n等于( )
A． B．1
C．－ D．－
4．设＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b，0)，a＞0，b＞0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则＋的最小值是( )
A.2 B．4
C．6 D．8
5．已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若＝－3a，则点N的坐标为( )
A.(2，0) B．(－3，6)
C．(6，2) D．(－2，0)
6．已知向量m＝(sin A，)与向量n＝(3，sin A＋cos A)共线，其中A是△ABC的内角，则角A的大小为( )
A． B．
C． D．
7．已知向量a＝(1，－2)，b＝(x，3y－5)，且a∥b，若x，y均为正数，则xy的最大值是( )
A．2 B．
C． D．
8．设向量a＝(－3，4)，向量b与向量a方向相反，且|b|＝10，则向量b的坐标为( )
A．(－，) B．(－6，8)
C．(，－) D．(6，－8)
9．[2022·安徽省蚌埠市质检] 如图，在梯形ABCD中，AB∥DC且AB＝2DC，点E为线段BC靠近点C的一个四等分点，点F为线段AD的中点，AE与BF交于点O，且＝x＋y，则x＋y的值为( )
A．1 B．
C． D．
二、填空题
10．[2021·全国甲卷]已知向量a＝(3，1)，b＝(1，0)，c＝a＋kb.若a⊥c，则k＝________．
11．[2022·安徽省滁州市质检]已知a＝(1，3)，a＋b＝(－1，2)，则|a－b|＋a·b＝________．
12．已知△ABC和点M满足＋＋＝0，若存在实数m，使得＋＝m成立，则m＝________．
[能力提升]
13．已知在Rt△ABC中，A＝，AB＝3，AC＝4，P为BC上任意一点(含B，C)，以P为圆心，1为半径作圆，Q为圆上任意一点，设＝a＋b，则a＋b的最大值为( )
A． B．
C． D．
14．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为( )
A． B．
C．2 D．
15．[2022·东北三省三校模拟] 在正六边形ABCDEF中，点G为线段DF(含端点)上的动点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是________．
16．如图，已知平面内有三个向量、、，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．专练9 对数与对数函数
命题范围：对数的意义与运算；对数函数的定义、图像与性质．
[基础强化]
一、选择题
1．lg ＋2lg 2－()－1＝( )
A．1 B．－1
C．3 D．－3
2．函数y＝的定义域是( )
A．[1，＋∞) B．(，＋∞)
C． D．(，1]
3．函数f(x)＝log(x2－2x)的单调递增区间是( )
A．(－∞，0) B．(1，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－∞，1)
4．若函数f(x)＝(m－2)xa是幂函数，则函数g(x)＝loga(x＋m)(a>0且a≠1)的图像过点( )
A．(－2，0) B．(2，0)
C．(－3，0) D．(3，0)
5．[2022·江西省高三联考]设a＝log0.222 022，b＝sin (sin 2 022)，c＝2 0220.22则a，b，c的大小关系为( )
A．aC．b6．[2022·河北省高三二模]已知x＝()，y＝log45，z＝log34，则x、y、z的大小关系为( )
A．y>x>z B．x>y>z
C．z>x>y D．x>z>y
7．已知函数f(x)＝ln x＋ln (2－x)，则( )
A．f(x)在(0，2)上单调递增
B．f(x)在(0，2)上单调递减
C．y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称
D．y＝f(x)的图像关于点(1，0)对称
8．若函数y＝logax(a>0且a≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是( )
9．[2022·重庆市高三质量检测]若函数f(x)＝loga(－3x2＋4ax－1)有最小值，则实数a的取值范围是( )
A．(，1) B．(1，)
C．(0，) D．(，＋∞)
二、填空题
10．已知函数f(x)＝log2(x2＋a).若f(3)＝1，则a＝________.
11．函数f(x)＝－log2(x＋4)在区间[－2，2]上的最大值为________．
12．函数f(x)＝log2(－x2＋2)的值域为________.
[能力提升]
13．[2022·江西省九江市二模]牛顿冷却定律，即温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律．如果物体的初始温度为T0，则经过一定时间t分钟后的温度T满足T－Tc＝()(T0－Tc)，其中Tc是环境温度，h为常数．现有一个105 ℃的物体，放在室温15 ℃的环境中，该物体温度降至75 ℃大约用时1分钟，那么再经过m分钟后，该物体的温度降至30 ℃，则m的值约为(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)( )
A．2.9 B．3.4
C．3.9 D．4.4
14．[2021·全国甲卷]青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)( )
A．1.5 B．1.2
C．0.8 D．0.6
15．[2022·江西省高三一模] 纳皮尔在他的《奇妙的对数表》一书中说过：没有什么比大数的运算更让数学工作者头痛，更阻碍了天文学的发展．许凯和斯蒂菲尔这两个数学家都想到了构造了如下一个双数列模型的方法处理大数运算．
0 1 2 3 4 5
1 2 4 8 16 32
6 7 8 9 10 11
64 128 256 512 1 024 2 048
12 … 19 20 21 22
4 096 … 524 288 1 048 576 2 097 152 4 194 304
23 24 25 …
8 388 608 16 777 216 33 554 432 …
如512×1 024，我们发现512是9个2相乘，1 024是10个2相乘．这两者的积，其实就是2的个数做一个加法．所以只需要计算9＋10＝19.那么接下来找到19对应的数524 288，这就是结果了．若x＝log4(20 211 226×1 314 520)，则x落在区间( )
A．(15，16) B．(22，23)
C．(42，44) D．(44，46)
16．已知函数f(x)＝loga(－x＋1)(a>0且a≠1)在[－2，0]上的值域是[－1，0]，若函数g(x)＝ax＋m－3的图像不经过第一象限，则m的取值范围为________．专练35 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
命题范围：二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题．
[基础强化]
一、选择题
1．在3x＋2y＜6表示的平面区域内的一个点是( )
A．(3，0) B．(1，3)
C．(0，3) D．(0，0)
2．不等式组所表示的平面区域的面积等于( )
A．3 B．9
C．18 D．36
3．设点P(x，y)，其中x，y∈N，满足x＋y≤3的点P的个数为( )
A．10 B．9
C．3 D．无数个
4．已知点P(1，－2)，Q(a，2)，若直线2x＋y－4＝0与线段PQ有公共点，则实数a的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1] D．(－∞，1)
5．[2022·江西省临川第一中学模拟]若实数x，y满足，则z＝2x＋y的值不可能为( )
A.2 B．4
C．9 D．12
6．[2022·陕西省西安中学二模]若x，y满足约束条件，且z＝x＋2y，则( )
A．z有最小值也有最大值
B．z无最小值也无最大值
C．z有最小值无最大值
D．z有最大值无最小值
7．若实数x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值是( )
A．－1 B．1
C．10 D．12
8．若变量x，y满足则x2＋y2的最大值是( )
A．4 B．9
C．10 D．12
9．若x，y满足约束条件则t＝的取值范围是( )
A．[0，] B．[0，]
C．(0，] D．[－，0]
二、填空题
10．[2020·全国卷Ⅲ]若x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值为________．
11．[2022·河南开封模拟]已知不等式组表示的平面区域为Ω，则直线2x＋y＋m＝0(m∈R)被Ω截得的线段长度的最大值为________．
12．[2022·江西赣州二模]已知实数x，y满足，若目标函数z＝y－ax取得最大值时的最优解有无数个，则a的值为________．
[能力提升]
13．[2022·浙江效实中学模拟]已知点P(x，y)满足不等式组点A(2，1)，O为坐标原点，则·的取值范围是( )
A.[－，] B．[－，4]
C．[，4] D．(－∞，－]
14．[2022·四川宜宾市三模]已知点P的坐标(x，y)满足，过点P的直线l与圆C：x2＋y2＝16相交于A，B两点，则|AB|的最小值是( )
A．2 B．
C．4 D．2
15．[2020·全国卷Ⅰ]若x，y满足约束条件则z＝x＋7y的最大值为________.
16．已知实数x，y满足存在x，y使得2x＋y≤a成立，则实数a的取值范围是________.专练56 算法初步
命题范围：程序框图与基本算法语句．
[基础强化]
一、选择题
1．用辗转相除法求得168与486的最大公约数是( )
A．3 B．4 C．6 D．16
2．阅读如图所示的程序框图，若输入的a，b，c分别是21，32，75，则输出的a，b，c分别是( )
A．75，21，32
B．21，32，75
C．32，21，75
D．75，32，21
3.
执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x值的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
4.
[2020·全国卷Ⅰ]执行如图所示的程序框图，则输出的n＝( )
A．17
B．19
C．21
D．23
5.
[2022·成都石室中学高三模拟]执行如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入的a，b，c分别为0.41.2，1.20.4，log0.41.2，则输出的结果为( )
A．a
B．b
C．c
D．无法确定
6．[2022·陕西省西安中学二模]执行如下程序框图，若输入N＝6，则输出p的值是( )
A．720 B．120 C．5 040 D．1 440
7.
如图是求的程序框图，图中空白框中应填入( )
A．A＝
B．A＝2＋
C．A＝
D．A＝1＋
8.
[2022·安徽省江南十校一模]《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一本，成于公元1世纪左右，该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”题意是：“有两只老鼠从厚五尺墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．问几日两鼠相逢？”有人设计了如图所示的程序框图解决此问题，则此题的结果为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
9.
执行右边的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s的值等于( )
A．2－
B．2－
C．2－
D．2－
二、填空题
10．如图是一个算法流程图．若输入x的值为，则输出y的值是________．
11．按照如图程序运行，则输出k的值是________．
x＝3
k＝0
Do
x＝2*x＋1
k＝k＋1
LOOP UNTIL x>16
PRINT k
END
12．执行如图所示的程序框图，若输入的a，b的值分别是0和9，则输出的i的值为________.
[能力提升]
13．如图程序框图表示的算法的功能是( )
A.计算小于100的奇数的连乘积
B．计算从1开始的连续奇数的连乘积
C．从1开始的连续奇数的连乘积，当乘积大于100时，计算奇数的个数
D.计算1×3×5×…×n≥100时的最小的n值
14.
[2020·全国卷Ⅱ]执行如图的程序框图，若输入的k＝0，a＝0，则输出的k为( )
A．2
B．3
C．4
D．5
15．某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是( )
A. f(x)＝
B．f(x)＝ln (－x)
C．f(x)＝
D．f(x)＝
16.
[2022·东北三省高三模拟]在爱尔兰小说《格列佛游记》里，有格列佛在小人国一顿吃了1 728份小人饭的叙述，作者为什么要使用这么复杂的数字呢？许多研究者认为，之所以选用这个数字，跟英国人计数经常使用的十二进制有关系．中国文化中，十二进制也有着广泛应用，如12地支，12个时辰，12生肖…….十二进制数通常使用数字0～9以及字母A，B表示，其中A即数字10，B即数字11.对于下面的程序框图，若输入a＝1 728，k＝12，则输出的数为________．专练17 任意角和弧度制及任意角的三角函数
命题范围：角的概念、角度制与弧度制的互化、三角函数的定义．
[基础强化]
一、选择题
1．若一个扇形的面积是2π，半径是2，则这个扇形的圆心角为( )
A． B． C． D．
2．三角函数值sin 1，sin 2，sin 3的大小关系是( )
(参考值：1弧度≈57°，2弧度≈115°，3弧度≈172°)
A．sin 1>sin 2>sin 3
B．sin 2>sin 1>sin 3
C．sin 1>sin 3>sin 2
D．sin 3>sin 2>sin 1
3．若角θ满足sin θ>0，tan θ<0，则是( )
A．第二象限角
B．第一象限角
C．第一或第三象限角
D．第一或第二象限角
4．[2022·上海横峰中学月考]终边为第一象限和第三象限的平分线的角的集合是( )
A．{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}
B．{α|α＝－135°＋k·180°，k∈Z}
C．{α|α＝－135°＋k·360°，k∈Z}
D．{α|α＝135°＋k·180°，k∈Z}
5．一个扇形的弧长与面积都是6，则这个扇形的圆心角的弧度数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若角α的终边过点P(，－)，则cos α·tan α的值是( )
A.－ B． C．－ D．
7．给出下列各函数值：
①sin (－1 000°)；②cos (－2 200°)；③tan (－10)；④；其中符号为负的有( )
A．① B．② C．③ D．④
8．[2022·湖南岳阳三模]设点A的坐标为(a，b)，O是坐标原点，向量绕着O点逆时针旋转θ后得到，则A′的坐标为( )
A．(a cos θ－b sin θ，a sin θ＋b cos θ)
B．(a cos θ＋b sin θ，b cos θ－a sin θ)
C．(a sin θ＋b cos θ，a cos θ－b sin θ)
D．(b cos θ－a sin θ，b sin θ＋a cos θ)
9．已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点A(m，)，则cos α的值为( )
A． B．－
C．－ D．不确定
二、填空题
10．[2022·安徽省皖北协作区联考]折扇最早出现于公元五世纪的中国南北朝时代，《南齐书》上说：“褚渊以腰扇障日”，据《通鉴注》上的解释，“腰扇”即折扇．一般情况下，折扇可以看作从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的弧长为l，扇形所在的圆的半径为r，当l与r的比值约为2.4时，折扇看上去的形状比较美观．若一把折扇所在扇形的半径为30 cm，在保证美观的前提下，此折扇所在扇形的面积是________ cm2.
11．已知角α的终边过点P(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈(，π)，则sin α＝________．
[能力提升]
12．[2022·河北高三模拟]已知角α的终边落在直线y＝－x上，则的值为( )
A．－ B．－
C． D．
13．[2022·景德镇模拟]《掷铁饼者》取材于希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的一只手臂长约为米，整个肩宽约为米．“弓”所在圆的半径约为1.25米．则掷铁饼者双手之间的距离约为( )
(参考数据：≈1.414，≈1.73)
A．1.612米 B．1.768米
C．1.868米 D．2.045米
14．[2022·全国甲卷(理)，8]沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是的AB中点，D在上，CD⊥AB.“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：s＝AB＋.当OA＝2，∠AOB＝60°时，s＝( )
A. B．
C． D．
15．[2022·山东济南二模]济南市洪家楼天主教堂于2006年5月被国务院列为全国重点文物保护单位．它是典型的哥特式建筑．哥特式建筑的特点之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形．如图2，和所在圆的圆心都在线段AB上，若∠ACB＝θrad，|AC|＝b，则的长度为( )
A． B．
C． D．
16．[2022·浙江绍兴模拟]勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．已知等边三角形的边长为1，则勒洛三角形的面积是________．专练16 高考大题专练(一) 导数的应用
命题范围：导数的应用、导数的几何意义．
1．[2022·云南省昆明市检测]已知函数f(x)＝1－，a≠0
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当x＞0，a＞0时，exf(x)≥bx，证明：ab≤.
2．[2022·全国甲卷(理)，21] 已知函数f(x)＝－ln x＋x－a.
(1)若f(x)≥0，求a的取值范围；
(2)证明：若f(x)有两个零点x1，x2，则x1x2<1.
3.[2022·河南省郑州市质检]已知函数f(x)＝ln (x＋1)－x＋1.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)设函数g(x)＝aex－x＋ln a，若函数F(x)＝f(x)－g(x)有两个零点，求实数a的取值范围．
4．[2022·全国乙卷(理)，21]已知函数f(x)＝ln (1＋x)＋axe－x
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)若f(x)在区间(－1，0)，(0，＋∞)各恰有一个零点，求a的取值范围．
5．[2022·江西省二模]已知函数f(x)＝a ln x＋－(a＋1)x＋a＋(a∈R)有一个大于1的零点x0.
(1)求实数a的取值范围；
(2)证明：对任意的x∈(1，x0]，都有a ln x－x＋1＞0恒成立．专练55 高考大题专练(五) 圆锥曲线的综合运用
1．[2021·全国乙卷]已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，且F与圆M：x2＋(y＋4)2＝1上点的距离的最小值为4.
(1)求p；
(2)若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB的最大值．
2．[2022·全国甲卷(理)，20]设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点D(p，0)，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，|MF|＝3.
(1)求C的方程；
(2)设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为α，β.当α－β取得最大值时，求直线AB的方程．
3．[2022·全国乙卷(理)，20]已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0，－2)，B(，－1)两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点P(1，－2)的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足＝.证明：直线HN过定点．
4．[2022·江西省高三联考]已知曲线C上任意一点到点F(2，0)的距离比它到y轴的距离大2，过点F(2，0)的直线l与曲线C交于A，B两点．
(1)求曲线C的方程；
(2)若曲线C在A，B处的切线交于点M，求△MAB面积的最小值．
5．[2022·江西省宜春模拟]已知点T是圆A：(x－1)2＋y2－8＝0上的动点，点B(－1，0)，线段BT的垂直平分线交线段AT于点S，记点S的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)过B(－1，0)作曲线C的两条弦DE，MN，这两条弦的中点分别为P，Q，若·＝0，求△BPQ面积的最大值．专练44 空间向量及其运算
命题范围：空间向量的概念、基本定理及其应用．
[基础强化]
一、选择题
1．[2022·重庆八中高三月考]若{a，b，c}构成空间的一个基底，则下列向量也可以构成空间中的一个基底的是( )
A．{a＋b，b＋c，c＋a}
B．{a－b，b－c，c－a}
C．{a＋b，c，a＋b＋c}
D．{a－b＋c，a＋b－c，3a－b＋c}
2．已知向量a＝(2m＋1，3，m－1)，b＝(2，m，－m)，且a∥b，则实数m的值为( )
A． B．－2
C．0 D．或－2
3．已知空间两点P(－1，2，－3)，Q(3，－2，－1)，则P，Q两点间的距离是( )
A．6 B．2 C．36 D．2
4．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，若＝a，＝b，AA1＝c，则下列向量中与相等的向量是( )
A．－a＋b＋c B．a＋b＋c
C．－a－b＋c D．a－b＋c
5．已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于( )
A． B． C． D．
6．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若＝a，＝b，＝c，则＝( )
A.a－b＋c
B．a－b－c
C．a－b＋c
D．a－b＋c
7．已知向量a＝(1，0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是( )
A．(－1，1，0) B．(1，－1，0)
C．(0，－1，1) D．(－1，0，1)
8．已知a＝(2，－1，3)，b＝(－4，y，2)，且a⊥(a＋b)，则y的值为( )
A．6 B．10 C．12 D．14
9．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·＝( )
A．a2 B．a2 C．a2 D．a2
二、填空题
10．已知a＝(0，－1，1)，b＝(4，1，0)，|λa＋b|＝，且λ>0，则λ＝________．
11．在空间直角坐标系中，以点A(4，1，9)，B(10，－1，6)，C(x，4，3)为顶点的△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，则实数x的值为________．
12．在三棱锥O－ABC中，M，N分别为OA，BC的中点，设＝a，＝b，＝c，则＝________．
[能力提升]
13．[2022·长春一中高三测试]已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列向量的数量积一定不为0的是( )
A.AD1·B1C
B．BD1·
C．·AD1
D．BD1·
14．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为2，O是底面ABCD的中心，E，F分别为CC1，AD的中点，则异面直线OE与FD1所成角的余弦值为( )
A． B． C． D．
15.
如图所示，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是( )
A． B． C．1 D．
16．[2022·江苏南通模拟]已知正四棱台ABCD A1B1C1D1的上、下底面边长分别为1和2，P是上底面A1B1C1D1的边界上一点．若·的最小值为，则该正四棱台的体积为( )
A． B．3 C． D．1专练3 命题及其关系、充分条件与必要条件
命题范围：命题及真假判断、四种命题及其关系、充分条件、必要条件、充要条件．
[基础强化]
1．[2022·陕西省高三四模]“a>b>0”是“>1”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
2．[2022·四川省二诊(理)]设x、y都是实数，则“x>2且y>3”是“x＋y>5且xy>6”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．命题“a，b∈R，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0”的逆否命题是( )
A．a，b∈R，若a≠b≠0，则a2＋b2＝0
B．a，b∈R，若a＝b≠0，则a2＋b2≠0
C．a，b∈R，若a≠0且b≠0，则a2＋b2≠0
D．a，b∈R，若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0
4．若p是q的充分不必要条件，则下列判断正确的是( )
A． p是q的必要不充分条件
B． q是p的必要不充分条件
C． p是 q的必要不充分条件
D． q是 p的必要不充分条件
5．[2022·北京卷，6] 设{an}是公差不为0的无穷等差数列，则“{an}为递增数列”是“存在正整数N0，当n>N0时，an>0”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
6．[2021·全国甲卷]等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.设甲：q>0，乙：{Sn}是递增数列，则( )
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
7．[2022·安徽省十校一模]“0＜λ＜4”是“双曲线－＝1的焦点在x轴上”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．设p：|x－a|>3，q：(x＋1)(2x－1)≥0，若 p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是( )
A.
B．(－∞，－4]∪[，＋∞)
C．(－4，)
D．(－∞，－4)∪(，＋∞)
9．[2022·江西省八校联考]“0<θ<π”是“方程＋＝1表示椭圆”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
二、填空题
10．[2020·全国卷Ⅲ]关于函数f(x)＝sin x＋有如下四个命题：
①f(x)的图像关于y轴对称．
②f(x)的图像关于原点对称．
③f(x)的图像关于直线x＝对称．
④f(x)的最小值为2.
其中所有真命题的序号是________．
11．记不等式x2＋x－6<0的解集为集合A，函数y＝lg (x－a)的定义域为集合B.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为________．
12．已知p：≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若p是q的充分而不必要条件，则m的取值范围为________.
[能力提升]
13．[2022·四川绵阳一模]“(a＋1)<(3－2a)”是“－2A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
14．[2022·江西省高三二模]已知p：－1A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
15．下列四个结论中正确的是________(填序号).
①“x2＋x－2>0”是“x>1”的充分不必要条件；
②命题：“ x∈R，sin x≤1”的否定是“ x0∈R，sin x0>1”；
③“若x＝，则tan x＝1”的逆命题为真命题；
④若f(x)是R上的奇函数，则f(log32)＋f(log23)＝0.
16．[2020·全国卷Ⅱ]设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．
p4：若直线l 平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.
则下述命题中所有真命题的序号是________．
①p1∧p4 ②p1∧p2 ③( p2)∨p3
④( p3)∨( p4)专练50 直线与圆、圆与圆的位置关系
命题范围：直线与圆、圆与圆的位置关系．
[基础强化]
一、选择题
1．圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是( )
A．相切 B．相交但不过圆心
C．相交过圆心 D．相离
2．[2022·山西吕梁一模]已知圆C：x2＋y2－4x＝0，过点M(1，1)的直线被圆截得的弦长的最小值为( )
A． B．2
C．1 D．2
3．[2022·广西联考模拟]过圆x2＋y2＝1上一点A作圆(x－4)2＋y2＝4的切线，切点为B，则|AB|的最小值为( )
A．2 B．
C． D．
4．两圆C1：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与C2：x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公切线有( )
A．4条 B．3条
C．2条 D．1条
5．[2022·江西省南昌中学月考]倾斜角为45°的直线l将圆C：x2＋y2＝4分割成弧长的比值为的两段弧，则直线l在y轴上的截距为( )
A.1 B．
C．±1 D．±
6．已知直线l经过点(0，1)且与圆(x－1)2＋y2＝4相交于A、B两点，若|AB|＝2，则直线l的斜率k的值为( )
A．1 B．－1或1
C．0或1 D．1
7．[2020·全国卷Ⅰ]已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为( )
A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝0
8．[2022·江西省九校联考]已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，直线l：2x－y＋4＝0，点P为直线l上任意一点，过P作圆C的一条切线，切点为A，则切线段PA的最小值为( )
A． B．
C．2 D．4
9．[2020·全国卷Ⅲ]若直线l与曲线y＝和圆x2＋y2＝都相切，则l的方程为( )
A．y＝2x＋1 B．y＝2x＋
C．y＝x＋1 D．y＝x＋
二、填空题
10．直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是________．
11．已知直线l：kx－y－k＋2＝0与圆C：x2＋y2－2y－7＝0相交于A，B两点，则|AB|的最小值为________．
12．过点P(1，－3)作圆C：(x－4)2＋(y－2)2＝9的两条切线，切点分别为A，B，则切线方程为______________.
[能力提升]
13．若在圆x2＋y2－2x－6y＝0内过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )
A．5 B．10
C．15 D．20
14．已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法错误的是( )
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
15．[2022·山东青岛一中高三测试]已知圆C1：x2＋y2＝4和圆C2：(x－2)2＋(y－2)2＝4，若点P(a，b)(a>0，b>0)在两圆的公共弦上，则＋的最小值为________．
16．[2022·贵州省普通高中测试]如图，圆O：x2＋y2＝4交x轴的正半轴于点A.B是圆上一点，M是弧的中点，设∠AOM＝θ(0＜θ＜π)，函数f(θ)表示弦AB长与劣弧长之和．当函数f(θ)取得最大值时，点M的坐标是________．专练46 高考大题专练(四) 立体几何的综合运用
1．[2022·全国甲卷(理)，18]在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝.
(1)证明：BD⊥PA；
(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值．
2．[2022·全国乙卷(理)，18]如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点．
(1)证明：平面BED⊥平面ACD；
(2)设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值．
3．[2022·安徽省安庆市高三二模]如图，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝BC＝2CD，△PBC是等腰三角形，PB＝PC，且平面PBC⊥平面ABCD.
(1)求证：BC⊥PA；
(2)如果直线PD与平面ABCD所成角的大小为45°，求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．
4．[2022·安徽省蚌埠市高三质检]《九章算术》记录形似“楔体”的所谓“羡除”，就是三个侧面都是梯形或平行四边形(其中最多只有一个平行四边形)、两个不平行对面是三角形的五面体．如图，羡除ABCDEF中，ABCD是正方形，且△EAD，△FBC均为正三角形，棱EF平行于平面ABCD，EF＝2AB.
(1)求证：AE⊥CF；
(2)求二面角E AC F的大小．
5．[2022·安徽省皖北协作区联考]如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABEF为正方形，AB⊥BC，BE∥CD，∠BCD＝，AB＝2，BC＝CD＝1，＝.
(1)线段AD上是否存在一点P，使得AF∥面BMP？若存在，确定点P的位置，若不存在，请说明理由；
(2)求直线DM与平面DEF所成角的正弦值．
