课时作业(七) 诱导公式五、六、七、八
一、选择题
1．已知cos ＝，则sin x的值为( )
A． B．－
C． D．－
2．下列与sin 的值相等的式子为( )
A．sin B．cos
C．cos D．sin
3. (多选)在△ABC中，下列关系恒成立的是( )
A．tan (A＋B)＝tan C
B．cos (2A＋2B)＝cos 2C
C．sin ＝sin
D．sin ＝cos
4．已知sin ＝，则cos ＝( )
A．－ B．
C． D．－
二、填空题
5．化简cos 1 030°＝________．
6．已知sin ＝，则cos 的值为________．
7．已知tan (3π＋α)＝2，则
＝________．
三、解答题
8．求sin (－1 200°)·cos 1 290°＋cos (－1 020°)·sin (－1 050°)＋tan 945°的值．
9.已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若f＝－，且α是第二象限角，求tan α.
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10．已知sin (π－α)－cos (π＋α)＝(＜α＜π)，求下列各式的值：
(1)sin α－cos α；
(2)sin3＋cos3.课时作业(三) 三角函数的定义
一、选择题
1．下列三角函数判断错误的是( )
A．sin 165°>0 B．cos 280°>0
C．tan 170°>0 D．tan 310°<0
2．已知角α的终边过点P(－3，4)，则sin α＋cos α＝( )
A． B．－
C． D．－
3．已知角α终边上异于原点的一点P且|PO|＝r，则点P坐标为( )
A．P(sin α，cos α)
B．P(cos α，sin α)
C．P(r sin α，r cos α)
D．P(r cos α，r sin α)
4．(多选)设△ABC的三个内角分别为A，B，C，则下列各组数中有意义且均为正值的是( )
A．tan A与cos B
B．tan 与cos
C．sin C与tan A
D．tan 与sin C
二、填空题
5．设α为第二象限角，则点P(cos α，sin α)在第________象限．
6．函数y＝tan x＋lg sin x的定义域为________.
7．若sin α>0，tan α<0，则α为第________象限角．
三、解答题
8．已知＝－，且lg (cos α)有意义．
(1)试判断角α是第几象限角；
(2)若角α的终边上一点是M，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．
9．已知α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，cos α＝x，求sin α.
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10．函数y＝＋＋的值域是________．课时作业(八) 正弦函数的性质与图象
一、选择题
1．函数y＝sin |x|的图象是( )
2．函数y＝cos2x－sinx＋1的值域是( )
A．[0，2] B．
C．[1，3] D．
3．下列关系式中正确的是( )
A．sin 11°
B．sin 168°C．sin 11°D．sin 168°4．在[0，2π]内，不等式sin x<－的解集是( )
A．(0，π) B．
C． D．
二、填空题
5．函数y＝－sin x＋1的对称中心是________，对称轴为________.
6．函数y＝2＋sin x的最大值是________．
7．若函数y＝sin x－有两个零点，则实数m的取值范围为________，两个零点之和为________.
三、解答题
8．已知函数f(x)＝
.
(1)化简f(x)并求f的值；
(2)设函数g(x)＝1－2f(x)且x∈，求函数g(x)的单调区间和值域．
9．求函数y＝(sin x－1)2＋2的最大值和最小值，并说出取得最大值和最小值时相应的x的值．
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10．函数f(x)＝sin x－的零点个数是( )
A．4 B．5
C．6 D．7课时作业(十一) 正切函数的性质与图象
一、选择题
1．函数y＝tan 的定义域是( )
A．
B．
C．
D．{x|x≠kπ＋，k∈Z，x∈R}
2．已知函数f(x)＝tan ，下列判断正确的是( )
A．f(x)是定义域上的增函数，且周期是
B．f(x)在(k∈Z)上是增函数，且周期是2π
C．f(x)在上是减函数，且周期是
D．f(x)在上是减函数，且周期是2π
3．函数y＝tan x＋( )
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
4．函数y＝tan 图象的对称中心为( )
A.(0，0) B．
C.，k∈Z D．，k∈Z
二、填空题
5．函数y＝－tan x的单调递减区间是________．
6．f(x)＝a sin x＋b tan x＋1，满足f(5)＝7，则f(－5)＝________．
7．当x在[0，2π]内时，使不等式tan x≤成立的x的集合是________．
三、解答题
8．求函数y＝tan 的定义域、值域，并指出它的周期、奇偶性、单调性．
9.已知x∈[－，]，f(x)＝tan2x＋2tanx＋2，求f(x)的最大值和最小值，并求出相应的x值．
[尖子生题库]
10．已知函数f(x)＝A tan (ωx＋φ)的图象与x轴相交的两相邻点的坐标为和，且过点(0，－3).
(1)求f(x)的解析式；
(2)求满足f(x)≥的x的取值范围．章末质量检测(一) 第七章 三角函数
(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．sin 4·tan 7的值( )
A．大于0 B．小于0
C．等于0 D．不大于0
2.
函数y＝sin (ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )
A．1， B．1，－
C．2， D．2，－
3．如果tan θ＝2，那么1＋sin θcos θ的值是( )
A． B．
C． D．
4．已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)，A为其图象的对称中心，B，C是该图象上相邻的最高点和最低点，若BC＝4，则f(x)的单调递增区间是( )
A．，k∈Z B．，k∈Z
C．，k∈Z D．，k∈Z
5．函数f(x)＝sin 2x和g(x)的部分图象，如图所示．g(x)的图象由f(x)的图象平移而来，C，D分别在g(x)、f(x)图象上，ABCD是矩形，A(，0)，B(，0)，则g(x)的表达式是( )
A.g(x)＝sin
B．g(x)＝sin
C．g(x)＝cos
D．g(x)＝cos
6．下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是( )
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝cos D．y＝sin
7．已知cos A＋sin A＝－，A为第四象限角，则tan A等于( )
A． B．
C．－ D．－
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，角α(0<α<π)的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆的交点为A，将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB，过点B作x轴的垂线，垂足为Q.记线段BQ的长为y，则函数y＝f(α)的图象大致是( )
二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)
9．下列结论正确的是( )
A．－是第三象限角
B．若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形面积为
C．若角α的终边过点P，则cos α＝－
D．若角α为锐角，则角2α为钝角
10．将函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的图象向左平移个单位，若所得的图象与原图象重合，则ω的值可能为( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 12
11．已知f(x)＝2cos ，x∈R，满足f(x1)＝2，f(x2)＝0，且|x1－x2|的最小值是，则ω的值可以为( )
A．－ B． C． D．－
12．将函数f(x)＝cos －1的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g的图象，则下列关于函数g的说法正确的是( )
A．最大值为，图象关于直线x＝对称 B．图象关于y轴对称
C．最小正周期为π D．图象关于点对称
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上．)
13．化简：＝________．
14．函数y＝tan 的定义域为________________．
15．函数f(x)＝－2tan x＋m，x∈有零点，则实数m的取值范围是________．
16．给出下列四个命题：①若f(x)＝a tan x＋b cos x是偶函数，则a＝0；②当x＝2kπ＋，k∈Z时，y＝cos 取得最大值；③函数y＝4cos 的图象关于直线x＝－对称；④函数y＝2tan ＋1的图象的对称中心为，k∈Z.其中正确的命题是________(填序号).
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知0<α<，sin α＝.
(1)求tan α的值；
(2)求的值．
18．(12分)已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)最小正周期为π，图象过点.
(1)求函数f(x)解析式；
(2)求函数f(x)的单调递增区间．
19．(12分)已知函数f(x)＝cos (2x－φ)(0<φ<π)，其图象过点.
(1)求φ的值；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)在上的最大值和最小值．
20．(12分)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示．
(1)求函数f(x)的最小正周期T及f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)的对称轴方程及单调递增区间；
(3)将f(x)的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g的图象，若g＝a－1在x∈上有两个解，求a的取值范围．
21．(12分)已知函数f(x)＝2sin 2x＋cos x－2.
(1)求函数f(x)的零点；
(2)当x∈时，函数f(x)的最小值为－1，求α的取值范围．
22.
(12分)如图是半径为1 m的水车截面图，在它的边缘(圆周)上有一定点P，按逆时针方向以角速度 rad/s作圆周运动，已知点P的初始位置为P0，且∠xOP0＝，设点P的纵坐标y是转动时间t(单位：s)的函数，记为y＝f(t).
(1)求f(0)，f的值，并写出函数y＝f(t)的解析式；
(2)选用恰当的方法作出函数y＝f(t)，0≤t≤6的简图；
(3)试比较f，f，f的大小(直接给出大小关系，不用说明理由).课时作业(十九) 三角恒等变换的应用
一、选择题
1．若α∈[，2π]，则 －等于( )
A．cos α－sin α B．cos α＋sin α
C．－cos α＋sin α D．－cos α－sin α
2．已知α∈(0，π)，sin (－α)＝，则cos 2α＝( )
A． B．－
C．－ D．
3．在△ABC中，若sin A sin B＝cos2，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．不等边三角形 D．直角三角形
4．已知cosα＝，α∈(，2π)，则sin ＝( )
A．－ B．
C． D．－
二、填空题
5．函数y＝sin 2x＋cos2x的最小正周期为________.
6．已知450°<α<540°，则的值是________．
7．函数y＝cos x＋cos (x＋)的最大值是________.
三、解答题
8．已知函数f(x)＝2cos2，g(x)＝(sin ＋cos )2.
(1)求证：f(－x)＝g(x)；
(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)(x∈[0，π])的单调区间，并求使h(x)取到最小值时x的值．
9．在△ABC中，若B＝30°，求cos A sin C的取值范围．
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10．设函数f(x)＝2cos2ωx＋sin(2ωx－)＋a(其中ω>0，a∈R)，且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为.
(1)求ω的值；
(2)设f(x)在区间上的最小值为，求a的值．课时作业(十二) 已知三角函数值求角
一、选择题
1．满足tan x＝－的x的集合是( )
A．
B．
C．
D．
2．(多选)若α是三角形内角，且sin α＝，则α等于( )
A．30° B．150°
C．60° D．120°
3．已知cos x＝－，π＜x＜2π，则x＝( )
A． B．
C． D．
4．若tan ＝，则在区间[0，2π]上解的个数为( )
A．5 B．4
C．3 D．2
5．(多选)使得等式2cos ＝1成立的角x可以是( )
A． B．
C． D．－
二、填空题
6．已知sin x＝，且x∈[0，2π]，则x的取值集合为________．
7．若x＝是方程2cos (x＋α)＝1的解，其中α∈(0，2π)，则角α＝________．
8．方程2sin ＝1的解集是________.
三、解答题
9．已知sin ＝－，且α是第二象限的角，求角α.
10.求下列不等式的解集．
(1)cos x－<0；
(2)3tan x－≥0.
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11．利用正弦曲线，求满足一、选择题
1．将函数y＝sin 3x的图象向左平移个单位长度，所得函数的解析式是( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
2．(多选)如图是函数y＝sin (ωx＋φ)的部分图象，则sin (ωx＋φ)＝ ( )
A．sin (x＋) B．sin (－2x)
C．cos (2x＋) D．cos (－2x)
3．已知函数f(x)＝sin (2x＋)，将其图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若函数g(x)为偶函数，则φ的最小值为( )
A． B． C． D．
4．(多选)关于函数f(x)＝4sin (2x＋)(x∈R)有如下命题，其中正确的有( )
A．y＝f的表达式可改写为f(x)＝4cos (2x－)(x∈R)
B．y＝f是以2π为最小正周期的周期函数
C．y＝f的图象关于点对称
D．y＝f的图象关于直线x＝对称
二、填空题
5．已知函数y＝sin (ωx＋φ)(ω>0，－π<φ<π)的图象如图所示，则φ＝________．
6．若g(x)＝2sin ＋a在[0，]上的最大值与最小值之和为7，则a＝________．
7．已知函数f(x)＝2sin ，若对任意x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)(x1，x2∈R)成立，则|x1－x2|的最小值为________.
三、解答题
8．某同学用“五点法”画函数f(x)＝2sin 的图象，先列表并填写了一些数据，如表：
x－ 0 π 2π
x
f(x)
(1)请将表格填写完整，并画出函数f(x)在一个周期内的简图；
(2)写出如何由f(x)＝sin x的图象变换得到f(x)＝2sin 的图象，要求用箭头的形式写出变换的三个步骤．
9．已知函数f(x)＝2sin ，x∈R.
(1)写出函数f(x)的对称轴方程、对称中心的坐标及单调区间；
(2)求函数f(x)在区间[0，]上的最大值和最小值．
[尖子生题库]
10．已知函数y＝A sin (ωx＋φ)，的图象过点P，图象与P点最近的一个最高点坐标为.
(1)求函数解析式；
(2)指出函数的增区间；
(3)求使y≤0的x的取值范围．课时作业(十七) 两角和与差的正切
一、选择题
1.的值等于( )
A． B．
C．－ D．－
2．已知＝2＋，则tan 的值为( )
A．2＋ B．1
C．2－ D．
3．tan 10°tan 20°＋(tan 10°＋tan 20°)等于( )
A． B．1
C． D．
4．(多选)在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝，下列各式正确的是( )
A．A＋B＝2C
B．tan (A＋B)＝－
C．tan A＝tan B
D．cos B＝sin A
二、填空题
5．已知tan α＝，tan (α－β)＝－，那么tan (2α－β)的值为__________．
6．已知tan (α＋β)＝7，tan α＝，且β∈(0，π)，则β的值为________．
7．在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝3，tan2B＝tanA tan C，则B＝________．
三、解答题
8．已知tan (＋α)＝，tan (β－)＝2，
(1)求tan (α＋β－)的值；
(2)求tan (α＋β)的值．
9．已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两个根，且α，β∈(－，)，求α＋β的值．
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10．(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)(1＋tan 3°)…(1＋tan 44°)(1＋tan 45°)＝________．课时作业(十) 余弦函数的性质与图象
一、选择题
1．若0和cos x<同时成立的x的取值范围是( )
A．C．2．下列函数中，周期为π，且在上递增的奇函数是( )
A．y＝sin
B．y＝cos
C．y＝cos
D．y＝sin
3．(多选)设函数f(x)＝cos ，则下列结论正确的是( )
A．f(x)的一个周期为2π
B．y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称
C．f的一个零点为π
D．f(x)在上单调递减
4．y＝|cos x|的一个单调增区间是( )
A． B．[0，π]
C． D．
二、填空题
5．函数y＝cos 的单调递减区间为________________.
6．函数y＝2cos 的最小正周期为4π，则ω＝________．
7．函数y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________.
三、解答题
8．求函数y＝3－2cos 的对称中心坐标，对称轴方程，以及当x为何值时，y取最大值或最小值．
9.求函数y＝3cos2x－4cosx＋1，x∈的最小值．
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10．已知函数f(x)＝2cos ωx(ω＞0)，且函数y＝f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为.
(1)求f的值；
(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的函数图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间．课时作业(四) 单位圆与三角函数线
一、选择题
1．已知α(0＜α＜2π)的正弦线和余弦线长度相等，且符号相同，那么α的值为( )
A．或 B．或
C．或 D．或
2．(多选)在平面直角坐标系中，，，，是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边，若tan αA． B．
C． D．
3．依据三角函数线，作出如下四个判断：
①sin ＝sin ；②cos ＝cos ；
③tan ＞tan ；④sin ＞sin .
其中判断正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．在[0，2π]上满足sin x≥的x的取值范围是( )
A． B．
C． D．
二、填空题
5．用三角函数线比较sin 1与cos 1的大小，结果是________．
6．sin ，cos ，tan 从小到大的顺序是________.
7．角的终边与单位圆的交点的坐标是________.
三、解答题
8．画出的正弦线，余弦线和正切线，并求出相应的函数值．
9. 利用三角函数线，确定满足不等式－≤cos θ<的θ的取值范围．
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10. (1)使sin x≤cos x成立的x的一个变化区间是( )
A．
B．
C．
D．
(2)有三个命题：①与的正弦线相等；②与的正切线相等；③与的余弦线相等．
其中真命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．0
(3)若θ∈，则下列各式错误的是________．
①sin θ＋cos θ＜0；②sin θ－cos θ＞0；
③|sin θ|＜|cos θ|；④sin θ＋cos θ＞0.课时作业(十五) 两角和与差的余弦
一、选择题
1．cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°的值为( )
A． B． C． D．
2．在△ABC中，若sin A sin BA．等边三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
3．若a＝(cos 60°，sin 60°)，b＝(cos 15°，sin 15°)，则a·b＝( )
A． B．
C． D．－
4．(多选)下列各式化简正确的是( )
A．cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°＝cos 60°
B．cos 75°＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°
C．sin (α＋45°)sin α＋cos (α＋45°)cos α＝cos 45°
D．cos (α＋)＝cos α－sin α
二、填空题
5．sin 75°＝________．
6．在△ABC中，sin A＝，cos B＝－，则cos (A－B)＝________.
7．函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的最小正周期是______．
三、解答题
8．已知0<α<，－<β<0，且α，β满足sin α＝，cos β＝，求α－β.
9.已知向量a＝(sin α，cos α－sin α)，b＝(cos β－sin β，cos β)且a·b＝2.
(1)求cos (α＋β)的值；
(2)若0<α<，0<β<，且sin α＝，求2α＋β的值．
[尖子生题库]
10．已知函数f(x)＝A sin (x＋)(x∈R)，且f(0)＝1.
(1)求A的值；
(2)若f(α)＝－，α是第二象限角，求cos α.课时作业(十八) 倍角公式
一、选择题
1．若sin α－cos α＝，则sin 2α等于( )
A．2 B．
C．1 D．－1
2．化简·的结果为( )
A． B．
C．1 D．2
3．若sin x·tan x<0，则等于( )
A．cos x B．－cos x
C．sin x D．－sin x
4．已知＝，则sin 2x＝( )
A．－ B．－
C． D．
二、填空题
5．已知tan ＝2，则tan α的值为__________， tan (α＋)的值为________.
6．已知2cos2x＋sin2x＝A sin (ωx＋φ)＋b(A>0)，则A＝________，b＝________．
7．函数f(x)＝sin －2sin2x的最小正周期是________.
三、解答题
8．已知函数f(x)＝sin2x－sin2(x－)，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间[－，]上的最大值和最小值．
9.(1)已知sinα＋cos α＝(<α<π)，求cos 2α，tan 2α的值；
(2)已知sin (－α)sin (＋α)＝(0<α<)，求sin 2α的值．
[尖子生题库]
10．已知函数f(x)＝2cos x sin (x＋)－sin2x＋sinx cos x.
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)求方程f(x)＝2在x∈[0，2 019]上解的个数．课时作业(十六) 两角和与差的正弦
一、选择题
1．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( )
A．－ B．
C．－ D．
2．在△ABC中，若sin B＝2sin A cos C，那么△ABC一定是( )
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
3．已知＜β＜，sin β＝，则sin (β＋)＝( )
A．1 B．2
C． D．
4．函数f(x)＝sin x－cos (x＋)的值域为( )
A．[－2，2] B．[－，]
C．[－1，1] D．[－，]
二、填空题
5．函数y＝sin (x＋)＋cos (－x)的最大值为________．
6．函数f(x)＝sin x＋sin (＋x)的最大值是________.
7．函数f(x)＝sin (2x－)＋sin (2x＋)的最小正周期为________.
三、解答题
8．已知α，β均为锐角，sin α＝，cos β＝，求α－β.
9.已知函数f(x)＝cos 2x＋sin (2x－).
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若α∈(0，)，f(α)＝，求cos 2α.
[尖子生题库]
10．若函数f(x)＝(1＋tan x)cos x，0≤x＜.
(1)把f(x)化成A sin (ωx＋φ)的形式；
(2)判断f(x)在上的单调性，并求f(x)的最大值．课时作业(一) 角的推广
一、选择题
1．下列关于角的叙述，正确的是( )
A．第二象限的角都是钝角
B．第二象限角大于第一象限角
C．若角α与角β不相等，则α与β的终边不可能重合
D．若角α与角β的终边在一条直线上，则α－β＝k·180°(k∈Z)
2．下列是第三象限角的是( )
A．－110° B．－210°
C．80° D．－13°
3．(多选)下列与412°角的终边相同的角是( )
A．52° B．778°
C．－308° D．1 132°
4．集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
二、填空题
5．已知角α，β的终边关于原点对称，则α，β间的关系为________．
6.
如图，花样滑冰是冰上运动项目之一．运动员通过冰刀在冰面上划出图形，并表演跳跃、旋转等高难度动作．运动员在原地转身的动作中，仅仅几秒内就能旋转十几圈，甚至二十几圈，因此，花样滑冰美丽而危险．运动员顺时针旋转两圈半所得角的度数是________，逆时针旋转两圈半所得角的度数是________．
7．设集合A＝{x|k·360°＋60°三、解答题
8. 已知α是第三象限角，那么是第几象限角？
9.若角β的终边落在直线y＝－x上，写出角β的集合；当－360°＜β＜360°时，求角β.
[尖子生题库]
10.
如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A(1，0)出发，以逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P点在1 s内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2 s达到第三象限，经过14 s后又回到了出发点A处，求θ.课时作业(一) 角的推广
1．解析：A错，例如495°＝135°＋360°是第二象限角，但不是钝角；B错，例如α＝135°是第二象限角，β＝360°＋45°是第一象限角，但α<β；C错，例如α＝360°，β＝720°，则α≠β，但二者终边重合；D正确，α与β的终边在一条直线上，则两角相差180°的整数倍，故α－β＝k·180°(k∈Z).
答案：D
2．解析：－110°是第三象限角，－210°是第二象限角，80°是第一象限角，－13°是第四象限角．故选A.
答案：A
3．解析：因为412°＝360°＋52°，
所以与412°角的终边相同的角为β＝k×360°＋52°，k∈Z，
当k＝－1时，β＝－308°；
当k＝0时，β＝52°；
当k＝2时，β＝772°；
当k＝3时，β＝1 132°；
当k＝4时，β＝1 492°.综上，选项A、C、D正确．
答案：ACD
4．解析：当k＝0时，45°≤α≤90°，即选项C中第一象限所表示的部分；当k＝1时，225°≤α≤270°，即选项C中第三象限所表示的部分；当k＝2时，其所表示的角的范围与k＝0时表示的范围一致．综上可得，选项C正确．
答案：C
5．解析：由题意，α－β为180°的奇数倍，
∴α－β＝(2k－1)·180°(k∈Z).
故答案为α－β＝(2k－1)·180°(k∈Z).
答案：α－β＝(2k－1)·180°(k∈Z)
6．解析：顺时针旋转两圈半所得角的度数是－(2×360°＋180°)＝－900°，则逆时针旋转两圈半所得角的度数为900°.
答案：－900° 900°
7．解析：A∩B＝{x|k·360°＋60°答案：{x|k·360°＋150°8．解析：∵α是第三象限角，
∴180°＋k·360°＜α＜270°＋k·360°(k∈Z)，
∴90°＋k·180°<<135°＋k·180°(k∈Z)，
若k为偶数，当k＝2n，n∈Z，则90°＋k·360°＜＜135°＋k·360°(k∈Z)，为第二象限角，
若k为奇数，当k＝2n＋1，n∈Z，则270°＋k·360°＜＜315°＋k·360°(k∈Z)，为第四象限角，
则是第二象限或第四象限的角．
9．解析：∵角β的终边落在直线y＝－x上，
∴在0°到360°范围内的角为150°和330°，
∴角β的集合为{x|x＝k·180°＋150°，k∈Z}．
当－360°＜β＜360°时，
角β为－210°，－30°，150°，330°.
10．解析：因为0°<θ<180°，且k·360°＋180°<2θ则当k＝0时，90°<θ<135°.
又因为14θ＝n·360°(n∈Z)，
所以θ＝n·°，从而90°所以当n＝4时，θ＝°；当n＝5时，θ＝°.
课时作业(二) 弧度制及其与角度制的换算
1．解析：因为－＝－－4π，
所以－与－的终边相同，为第四象限角．
答案：D
2．解析：因为时针旋转一周为12小时，转过的角度为2π，按顺时针转所形成的角为负角，所以经过2小时，时针所转过的弧度数为×(－2π)＝－.
答案：B
3．解析：对于A，67°30′＝67.5°×＝，正确；
对于B，－＝－×＝－600°，正确；
对于C，－150°＝－150°×＝－，错误；
对于D，＝×＝15°，错误．
答案：AB
4．解析：设扇形的半径为r，弧长为l，则由扇形面积公式可得2＝lr＝|α|r2＝×4×r2，解得r＝1，l＝αr＝4，所以所求扇形的周长为2r＋l＝6.
答案：C
5．解析：如图所示，
所以A∩B＝[－4，－π]∪[0，π].
答案：[－4，－π]∪[0，π]
6．解析：－570°＝－rad＝－π rad，
－＝－4π＋.
答案：－4π＋
7．解析：设扇形的圆心角为α，则＋4＝2r＋2α.
又∵r＝2，∴α＝.
答案：
8．解析：(1)由⊙O的半径r＝10＝AB，
知△AOB是等边三角形，
∴α＝∠AOB＝60°＝.
(2)由(1)可知α＝，r＝10，
∴弧长l＝α·r＝×10＝，
∴S扇形＝lr＝××10＝，
而S△AOB＝·AB·5＝×10×5＝，
∴S＝S扇形－S△AOB＝50.
9．解析：(1)设扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为α，
则由题意得
解得
则α＝＝2(rad).
故扇形的圆心角为2 rad.
(2)由l＋2r＝40得l＝40－2r＞0 r＜20，
故S＝lr＝(40－2r)·r(0＜r＜20)
＝20r－r2＝－(r－10)2＋100，
故r＝10时，扇形面积S取最大值100.
10．解析：所在的圆半径是2 dm，圆心角为；所在的圆半径是1 dm，圆心角为；所在的圆半径是 dm，圆心角为，所以点A走过的路径长是三段圆弧之和，
即2×＋1×＋×＝(dm).
三段圆弧所在扇形的总面积是×π×2＋××1＋××＝(dm2).
答案： dm dm2
课时作业(三) 三角函数的定义
1．解析：∵90°<165°<180°，∴sin 165°>0；
又270°<280°<360°，∴cos 280°>0；
又90°<170°<180°，∴tan 170°<0；
又270°<310°<360°，∴tan 310°<0，故选C.
答案：C
2．解析：r＝＝5，∴sin α＝，cos α＝－，
∴sin α＋cos α＝－＝.
答案：C
3．解析：设P(x，y)，则sin α＝，∴y＝r sin α，又cos α＝，x＝r cos α，∴P(r cos α，r sin α)，故选D.
答案：D
4．解析：因为角A，B的范围不确定，A不满足条件；因为B，C∈(0，π)，所以，∈，所以B满足条件；因为角A的范围不确定，所以tan A不确定，所以C不满足条件；因为00，又因为00，所以D满足条件．综上，BD满足题意．
答案：BD
5．解析：∵α为第二象限角，∴cos α<0，sin α>0.
答案：二
6．解析：由题意可得
即
解得2kπ答案：(2kπ，2kπ＋)∪(2kπ＋，2kπ＋π)(k∈Z)
7．解析：由sin α>0可知α的终边在第一、二象限或在y轴正半轴上，由tan α<0可知α的终边在第二、四象限．综上可知α为第二象限角．
答案：二
8．解析： (1)因为＝－，
所以sin α<0，由lg (cos α)有意义，可知cos α>0，
所以角α是第四象限角．
(2)因为|OM|＝1，所以＋m2＝1，得m＝±，
又因为角α是第四象限角，所以m<0，所以m＝－，
所以sin α＝＝＝－.
9．解析：∵α是第二象限角，∴x<0.
∵|OP|＝ ＝，
∴cos α＝＝x，
∴x2＝3.又∵x<0，∴x＝－，
∴sin α＝＝＝.
10．解析：由题意知x不是终边在坐标轴上的角，则有：
x为第一象限角时：y＝＋＋＝3；
x为第二象限角时：y＝＋＋＝－1；
x为第三象限角时：y＝＋＋＝－1；
x为第四象限角时：y＝＋＋＝－1；
综上知此函数值域为{－1，3}．
答案：{－1，3}
课时作业(四) 单位圆与三角函数线
1．解析：由题意α的终边为一、三象限的平分线，且0＜α＜2π，故得α＝或.
答案：C
2．解析：
由图可得：为余弦线，为正弦线，为正切线．
A选项：当点P在上时，cos α＝x，sin α＝y，
所以cos α>sin α，故A选项错误，符合题意；
B选项：当点P在上时，cos α＝x，sin α＝y，tan α＝，所以tan α>sin α>cos α，故B选项错误，符合题意；C选项：当点P在上时，cos α＝x，sin α＝y，tan α＝，
所以sin α>cos α>tan α，故C选项正确，不符合题意；
D选项：点P在上且在第三象限，tan α>0，sin α<0，cos α<0，故D选项错误，符合题意．
光速解题 第一象限角的正切值恒大于该角的正弦值，第三象限角的正切值恒大于该角的正弦值，故不可能在第一和第三象限．
答案：ABD
3．解析：根据下列四个图形，容易判断正确的结论有②④，故选B.
答案：B
4．解析：画出单位圆(图略)，结合正弦线得出sin x≥的取值范围是[，].
答案：B
5．解析：∵<1<，
∴正弦线大于余弦线的长度，
∴sin 1>cos 1.
答案：sin 1>cos 1
6．解析：
由图可知：cos <0，tan >0，sin >0.
因为||<||，所以sin 故cos 答案：cos 7．解析：由于角的终边与单位圆的交点横坐标是cos ＝－，纵坐标是sin ＝，
所以角的终边与单位圆的交点的坐标是.
答案：
8．解析：如图，，，分别为正弦线，余弦线和正切线．sin ＝－，cos ＝－，tan ＝.
9．解析：
作出以坐标原点为圆心的单位圆，分别作直线x＝－，x＝.直线x＝－与单位圆交于点P1，P2与x轴交于点M1；直线x＝与单位圆交于点P3，P4，与x轴交于点M2.连接OP1，OP2，OP3，OP4.在[－π，π)范围内，cos ＝cos ＝－，cos ＝cos ＝，则点P1，P2，P3，P4分别在角，－，，－的终边上．又－≤cos θ<，结合图形可知，当θ∈[－π，π)时，
－≤θ<－或<θ≤，故θ的取值范围为2kπ－≤θ<2kπ－，k∈Z或2kπ＋<θ≤2kπ＋，k∈Z.
10.
解析：(1)如图所示，
当x＝和x＝－时，sin x＝cos x，故使sin x≤cos x成立的x的一个变化区间是.
(2)根据三角函数线的定义可知，与的正弦线相等，与的正切线相等，与的余弦线相反．
(3)若θ∈，则sin θ＞0，cos θ＜0，sin θ＜|cos θ|，所以sin θ＋cos θ＜0.
答案：(1)A (2)B (3)④
课时作业(五) 同角三角函数的基本关系式
1．解析：由sin α＋sin2α＝1，得sinα＝cos2α，所以cos2α＋cos4α＝sinα＋sin2α＝1.
答案：B
2．解析：∵α是第三象限的角，
∴sinα＝－＝－＝－.
答案：B
3．解析：因为＋＝sinα－cos α，
所以又α∈[0，2π)，
所以α∈，故选B.
答案：B
4．解析：∵2＝1＋2sin αcos α＝，∴2sin αcos α＝，
∵2＝1－2sin αcos α＝1－＝，
∴cos α－sin α＝±，
又∵α∈，
∴0故选B.
答案：B
5．解析：∵tan A＝－，又A是三角形的内角，
∴A是钝角．
∵＝－，
∴－5cos A＝12sin A.
又sin2A＋cos2A＝1，
∴cosA＝－.
答案：－
6．解析： ＝＝，
因为<<π，所以cos <0，
所以＝－cos ，即 ＝－cos.
答案：－cos
7．解析：由于sin αcos α＝－，<α<，所以sin α>0，cos α<0，故sin α－cos α>0，
所以sin α－cos α＝＝＝＝.
答案：
8．解析：(1)＋
＝＋＝＋＝.
(2)＝
＝＝.
(3)sin2α－2sinαcos α＋4cos2α
＝
＝
＝＝.
9．解析：sinα＋cos α＝ (sin α＋cos α)2＝ 2sin αcos α＝－，又α∈(0，π)，
∴sin α>0，cos α<0，
sin α－cos α＝＝＝＝，
解得sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.
答案：－
10．解析：(1)原式＝ ＋
＝＋＝，
因为π<α<，所以原式＝－.
(2)证明：＝＝
＝cos2θ－sin2θ.
课时作业(六) 诱导公式一、二、三、四
1．解析：因为sin600°＝sin
＝sin ＝－sin 120°＝－sin 60°＝－.
答案：B
2．解析：因为－＋α＋－α＝π，
所以－α＝π－，
所以cos ＝cos
＝－cos ＝.
答案：B
3．解析：由于A＋B＋C＝π，所以A＋B＝π－C.所以cos (A＋B)＝cos (π－C)＝－cos C．
答案：B
4．解析：由诱导公式易知A正确；
B正确，＝＝cos α；
C错误，＝＝－1；
D正确，＝，
＝＝|sin θ－cos θ|，
因为θ∈，所以sin θ>0，cos θ<0，
所以sin θ－cos θ>0，
所以＝sin θ－cos θ.
答案：ABD
5．解析：原式＝＝1.
答案：1
6．解析：因为cos ＝－，
所以sin ＝±
＝± ＝±，
因为α∈，所以－α∈，
所以－α∈，所以sin ＝－，
所以sin ＝sin ＝sin
＝－.
答案：－
7．解析：∵cos (－α)－sin (－α)＝－，
∴cos α＋sin α＝－，
∴1＋2sin αcos α＝.
∴2sin αcos α＝－<0.
又α∈(0，π)，∴sin α>0，cos α<0，
∴cos α－sin α＝－＝－.
由
解得
∴tan α＝＝×＝－.
答案：－
8．解析：(1)sin ＋cos ＋tan
＝－sin ＋cos ＋tan ＝－＋＋1＝0；
(2)原式＝＝tan α.
9．解析：(1)f(α)＝＝－cos α.
(2)因为sin (α－π)＝－sin α＝，
所以sin α＝－.又α是第三象限角，
所以cos α＝－.所以f(α)＝.
(3)因为－＝－6×2π＋，
所以f＝－cos ＝－cos ＝－cos ＝－.
10．解析：f(2 018)＝a sin (2 018π＋a)－b cos (2 018π－b)＋c tan (2 018π＋c)＝a sin a－b cos b＋c tan c，
而f(2 020)＝a sin (2 020π＋a)－b cos (2 020π－b)＋c tan (2 020π＋c)＝a sin a－b cos b＋c tan c，
所以f(2 020)＝f(2 018)＝－1.
课时作业(七) 诱导公式五、六、七、八
1．解析：cos ＝－sin x＝，∴sin x＝－.
答案：B
2．解析：因为sin ＝－sin ＝－cos θ，
对于A，sin ＝cos θ；
对于B，cos ＝－sin θ；
对于C，cos ＝cos
＝－cos ＝－sin θ；
对于D，sin ＝sin
＝－sin ＝－cos θ.
答案：D
3．解析：A选项，tan (A＋B)＝tan (π－C)＝－tan C，不正确；
B选项，cos (2A＋2B)＝cos [2(π－C)]
＝cos ＝cos 2C，正确；
C选项，sin ＝sin ＝cos ，不正确；
D选项，sin ＝sin ＝cos ，正确．
光速解题 利用互补、互余关系求解．
这样更容易求解．
答案：BD
4．解析：cos ＝cos ＝－sin ＝－.故选A.
答案：A
5．解析：cos 1 030°＝cos (3×360°－50°)＝cos (－50°)＝cos 50°.
答案：cos 50°
6．解析：cos ＝cos
＝－sin ＝－.
答案：－
7．解析：由tan (3π＋α)＝2，得tan α＝2，
则原式＝
＝
＝
＝＝＝2.
答案：2
8．解析：原式＝－sin (3×360°＋120°)·cos (3×360°＋210°)－cos (2×360°＋300°)·sin (2×360°＋330°)＋tan (2×360°＋225°)
＝－sin (180°－60°)·cos (180°＋30°)－cos (360°－60°)·sin (360°－30°)＋tan (180°＋45°)
＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 45°
＝×＋×＋1＝2.
9．解析：(1)f(α)＝
＝＝sin α.
(2)由sin ＝－，得cos α＝－，
又α是第二象限角，所以sin α＝＝，
则tanα＝＝－.
10．解析：由sin (π－α)－cos (π＋α)＝，
得sin α＋cos α＝， ①
将①两边平方，得1＋2sin αcos α＝，
故2sin αcos α＝－.
又＜α＜π，
∴sin α＞0，cos α＜0.
(1)(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α
＝1－＝，
∴sin α－cos α＝.
(2)sin3＋cos3
＝cos3α－sin3α
＝(cosα－sin α)(cos2α＋cosα·sin α＋sin2α)
＝－×＝－.
课时作业(八) 正弦函数的性质与图象
1．解析：∵函数y＝sin|x|是偶函数，且x≥0时，sin |x|＝sin x.故应选B.
答案：B
2．解析：根据同角三角函数关系式，化简可得
y＝cos2x－sinx＋1＝1－sin2x－sinx＋1，
令t＝sin x，t∈，
则y＝－t2－t＋2＝－2＋，
由二次函数性质可知，当t＝－时，取得最大值，
当t＝1时，取得最小值0，所以值域为.
答案：D
3．解析：∵sin 168°＝sin (180°－12°)＝sin 12°，
cos 10°＝sin 80°，而y＝sin x在上递增，
∴sin 11°答案：C
4．解析：画出y＝sin x，x∈[0，2π]的草图如下：
因为sin ＝，
所以sin ＝－，
sin ＝－.
即在[0，2π]内，满足sin x＝－的是x＝或x＝.
可知不等式sin x<－的解集是.
答案：C
5．解析：由函数y＝－sin x＋1与正弦函数图象的关系可知，函数y＝－sin x＋1的对称中心为(kπ，1)，k∈Z，对称轴为x＝＋kπ，k∈Z.
答案：(kπ，1)，k∈Z x＝＋kπ，k∈Z
6．解析：－1≤sin x≤1，故当sin x＝1时，y＝2＋sin x有最大值为3.
答案：3
7．解析：由sin x－＝0得sin x＝.在同一平面直角坐标系中作出函数y＝sin x的图象与直线y＝，如图所示．
由图知，当≤<1，即≤m<2时，两图象有两个交点，即原函数有两个零点，此时m∈.
设两个零点分别为x1，x2，
由于两交点关于直线x＝对称，
所以＝，所以x1＋x2＝π.
答案： π
8．解析：(1)f(x)＝＝sin x，
f＝sin ＝－sin ＝－sin ＝.
(2)因为f(x)＝sin x，所以g(x)＝1－2sin x，x∈[－，]，所以g(x)的减区间为，增区间为.
因为－≤x≤，所以－≤sin x≤1，
所以－1≤1－2sin x≤2，所以g(x)的值域为[－1，2].
9．解析：设t＝sin x，则有y＝(t－1)2＋2，且t∈[－1，1]，在闭区间[－1，1]上，
当t＝－1时，函数y＝(t－1)2＋2取得最大值(－1－1)2＋2＝6.
由t＝sin x＝－1，得x＝2kπ－(k∈Z)，
即当x＝2kπ－(k∈Z)时，函数y＝(sin x－1)2＋2取得最大值6.
在闭区间[－1，1]上，当t＝1时，函数y＝(t－1)2＋2取得最小值，最小值为2.
由t＝sin x＝1，得x＝2kπ＋(k∈Z)，
即当x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数y＝(sin x－1)2＋2取得最小值2.
10．解析：令f(x)＝sin x－＝0，即sin x＝，
令y1＝sin x，y2＝，在同一坐标系内分别作出y1，y2的图象如图．
由图可知两图象有7个交点，即函数有7个零点．
答案：D
课时作业(九) 正弦型函数的性质与图象
1．解析：y＝sin 3x的图象向左平移个单位长度得y＝sin 3＝sin .故选D.
答案：D
2．解析：令f(x)＝y＝sin (ωx＋φ)，由图象得＝－＝，所以T＝＝π，解得|ω|＝2，故A项错误；将代入f(x)＝sin (2x＋φ)，得2×＋φ＝kπ(k∈Z)，得φ＝－＋kπ(k∈Z)，令k＝1，则φ＝，
所以f(x)＝sin ，
即f(x)＝sin ＝cos ，故C正确；
由sin α＝sin (π－α)，得f(x)＝sin ，故B正确；
由f(0)>0，排除D.故选BC.
答案：BC
3．解析：函数的图象向右平移φ(φ>0)个单位后得到的函数g(x)＝sin ＝sin ，又为偶函数，可得－2φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝－－，k∈Z，由于φ>0，故φ的最小值为.
答案：B
4．解析：f(x)＝4sin
＝4cos ＝4cos (x∈R)，A正确；
f的最小正周期：T＝＝π，B错误；
f＝4sin ＝0，
则f(x)的图象关于点对称，C正确；
f＝4sin ＝0，不是最值，D错误．
答案：AC
5．解析：由题意得＝2π－，
∴T＝，ω＝.
又由x＝时y＝－1得－1＝sin ，
－<＋φ<，
∴＋φ＝，
∴φ＝.
答案：
6．解析：当0≤x≤时，≤2x＋≤，≤sin ≤1，所以1＋a≤2sin ＋a≤2＋a，由1＋a＋2＋a＝7，得a＝2.
答案：2
7．解析：因为对任意x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，
所以f(x1)是最小值，f(x2)是最大值；
所以|x1－x2|的最小值为函数的半个周期，
因为f(x)＝2sin 的周期T＝8π，
所以|x1－x2|的最小值为4π.
答案：4π
8．解析：(1)f(x)＝2sin ，
当x－＝0时，可得x＝，f＝0，
当x－＝时，可得x＝2π，f＝2，
当x－＝π 时，可得x＝，f＝0，
当x－＝时，可得x＝5π，f＝－2，
当x－＝2π时，可得x＝，f＝0，
表格如下：
x－ 0 π 2π
x 2π 5π
f(x) 0 2 0 －2 0
画出图象，如图：
(2)第一步：y＝sin x；
第二步：y＝sin 可得y＝sin ；
第三步：y＝sin f(x)＝2sin .
9．解析：(1)由2x－＝kπ＋，k∈Z，解得f(x)的对称轴方程是x＝＋，k∈Z；由2x－＝kπ，k∈Z解得对称中心是，k∈Z；由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，解得单调递增区间是[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z；由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，解得单调递减区间是[＋kπ，＋kπ]，k∈Z.
(2)∵0≤x≤，
∴－≤2x－≤，
∴当2x－＝－，即x＝0时，f(x)取最小值为－1；
当2x－＝，即x＝时，f(x)取最大值为2.
10．解析：(1)∵图象最高点坐标为，
∴A＝5.
∵＝－＝，
∴T＝π.
∴ω＝＝2.
∴y＝5sin (2x＋φ).
代入点，得sin ＝1.
∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z.
令k＝0，则φ＝－，
∴y＝5sin .
(2)∵函数的增区间满足
2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
∴2kπ－≤2x≤2kπ＋(k∈Z).
∴kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z).
∴增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z).
(3)∵5sin ≤0，
∴2kπ－π≤2x－≤2kπ(k∈Z)，
∴kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z) .
课时作业(十) 余弦函数的性质与图象
1．解析：当0因为cos ＝，sin ＝，
所以由图象可知，使得sin x>和cos x<同时成立的x的取值范围为答案：B
2．解析：化简所给函数的解析式，
A．y＝sin ＝cos 2x ，该函数周期为π，函数为偶函数，不合题意；
B．y＝cos ＝sin 2x，该函数周期为π，在上递减，不合题意；
C．y＝cos ＝－sin 2x ，该函数周期为π，在上递增，函数是奇函数，符合题意；
D．y＝sin ＝－cos x ，该函数周期为2π ，不合题意．
答案：C
3．解析：由函数f(x)＝cos ，
在A中，由余弦函数的周期性得f(x)的一个周期为2π，故A正确；
在B中，函数f(x)＝cos 的对称轴满足条件x＋＝kπ，即x＝kπ－，k∈Z，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称，故B正确；
在C中，f＝cos ＝－sin x，－sin π＝0，
所以f的一个零点为π，故C正确；
在D中，函数f(x)＝cos 在上先减后增，故D错误．
答案：ABC
4．解析：将y＝cos x的图象位于x轴下方的图象关于x轴对称，x轴上方(或x轴上)的图象不变，即得y＝|cos x|的图象(如图).故选D.
答案：D
5．解析：y＝cos ＝cos ，
由2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，
得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z).
所以函数的单调减区间为(k∈Z).
答案：(k∈Z)
6．解析：∵4π＝，∴ω＝±.
答案：±
7．解析：因为y＝cos x在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有－π答案：(－π， 0]
8．解析：由于y＝cos x的对称中心坐标为(kπ＋，0)(k∈Z)，对称轴方程为x＝kπ(k∈Z)，
又由2x－＝kπ＋，得x＝＋(k∈Z)；
由2x－＝kπ，得x＝＋(k∈Z)，
故y＝3－2cos 的对称中心坐标为(k∈Z)，
对称轴方程为x＝＋(k∈Z).
因为当θ＝2kπ(k∈Z)时，y＝3－2cos θ取得最小值，
所以当2x－＝2kπ，即x＝kπ＋(k∈Z)时，
y＝3－2cos 取得最小值1.
同理可得当x＝kπ＋(k∈Z)时，
y＝3－2cos 取得最大值5.
9．解析：y＝32－，
因为x∈，所以cos x∈.
当cos x＝时，y取到最小值为ymin＝－.
10．解析：(1)∵f(x)的周期T＝π，故＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝2cos 2x，
∴f＝2cos ＝.
(2)将y＝f(x)的图象向右平移个单位后，得到y＝f的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到y＝f的图象，所以g(x)＝f＝2cos (2]＝2cos (－).
当2kπ≤－≤2kπ＋π(k∈Z)，
即4kπ＋≤x≤4kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递减，因此g(x)的单调递减区间为[4kπ＋，4kπ＋](k∈Z).
课时作业(十一) 正切函数的性质与图象
1．解析：由＋x≠kπ＋得x≠kπ＋(k∈Z)，故选D.
答案：D
2．解析：利用正切函数的周期性和单调性可得．
答案：C
3．解析：定义域是∩
{x|x≠kπ，k∈Z}＝.
又f(－x)＝tan (－x)＋
＝－＝－f(x)，
即函数y＝tan x＋是奇函数．
答案：A
4．解析：由函数y＝tan x的对称中心为，k∈Z，令3x＋＝，k∈Z，则x＝－(k∈Z)，∴y＝tan 对称中心为，k∈Z.故选D.
答案：D
5．解析：因为y＝tan x与y＝－tan x的单调性相反，所以y＝－tan x的单调递减区间为(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z).
答案：(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)
6．解析：∵f(5)＝a sin 5＋b tan 5＋1＝7，
∴a sin 5＋b tan 5＝6，
∴f(－5)＝a sin (－5)＋b tan (－5)＋1
＝－(a sin 5＋b tan 5)＋1＝－6＋1＝－5.
答案：－5
7．解析：当tan x≤时，－＋kπ又∵x∈[0，2π]，∴0≤x≤或答案：∪∪
8．解析：由3x－≠kπ＋，k∈Z，
得x≠＋，k∈Z，
∴所求定义域为{x|x∈R，且x≠＋，k∈Z}．
值域为R，周期T＝，是非奇非偶函数．
在区间(k∈Z)上是增函数．
9．解析：f(x)＝tan2x＋2tanx＋2＝(tan x＋1)2＋1，
∵x∈[－，]，∴tan x∈[－，1]，
∴当tan x＝－1，即x＝－时，f(x)有最小值1；
当tan x＝1，即x＝时，f(x)有最大值5.
10．解析：(1)由题意可得f(x)的周期为
T＝－＝＝，所以ω＝，
得f(x)＝A tan ，
因为它的图象过点，
所以A tan ＝0，即tan ＝0，
所以＋φ＝kπ(k∈Z)，得φ＝kπ－，
又|φ|<，所以φ＝－，于是f(x)＝A tan ，
又它的图象过点(0，－3)，
所以A tan ＝－3，得A＝3，
所以f(x)＝3tan .
(2)由(1)得3tan ≥，
所以tan ≥，
得kπ＋≤x－解得＋≤x<＋(k∈Z)，
所以满足f(x)≥的x的取值范围是
(k∈Z).
课时作业(十二) 已知三角函数值求角
1．解析：在上，当x＝－时，tan x＝－.
∴tan x＝－的x的集合为{x|x＝kπ－，k∈Z}．
答案：D
2．解析：∵α是三角形内角，∴0°<α<180°.
∵sin α＝，∴α＝30°或150°.
答案：AB
3．解析：因为x∈(π，2π)且cos x＝－，∴x＝.
答案：B
4．解析：∵tan ＝，
∴2x＋＝kπ＋(k∈Z).即x＝－(k∈Z).
∵x∈[0，2π]，
∴k＝1，2，3，4时，x分别为，π，，π.故选B.
答案：B
5．解析：由已知得cos ＝.
因此＝2kπ±，故x＝4kπ±(k∈Z)，
故x可以是±，.
答案：BCD
6．解析：∵x∈[0，2π]，且sin x＝＞0，∴x∈(0，π).当x∈时，y＝sin x递增且sin ＝，∴x＝，又sin ＝sin ＝，∴x＝也满足题意．∴x的取值集合为.
答案：
7．解析：由条件可知2cos ＝1，
即cos ＝，
∴α＋＝2kπ±(k∈Z).
∵α∈(0，2π)，∴α＝.
答案：
8．解析：由方程2sin ＝1，
可得方程sin ＝，
所以＝2kπ＋或＝2kπ＋(k∈Z)，
求得x＝3kπ＋或x＝3kπ＋(k∈Z).
答案：
9．解析：∵α是第二象限角，
∴是第一或第三象限的角．
又∵sin ＝－＜0，∴是第三象限角．
又sin ＝－，∴＝2kπ＋π(k∈Z)，
∴α＝4kπ＋π(k∈Z).
10．解析：(1)因为cos x－<0，所以cos x<，
利用余弦线或余弦曲线可知所求解集为{x＋2kπ(2)因为3tan x－≥0，所以tan x≥，
利用正切线或正切曲线可知所求解集为{x＋kπ≤x<＋kπ，k∈Z}．
11．解析：首先作出y＝sin x在[0，2π]上的图象，如图所示，
作直线y＝，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sin x，x∈[0，2π]的图象的交点横坐标为和；
作直线y＝，该直线与y＝sin x，x∈[0，2π]的图象的交点横坐标为和.
观察图象可知，在[0，2π]上，当所以课时作业(十三) 向量数量积的概念 向量数量积的运算律
1．解析：因为四边形ABCD为菱形，
所以AB∥CD，所以∥，A正确；
因为对角线AC与BD互相垂直，且＋＝，＋＝，
所以⊥，即(＋)⊥(＋)，B正确；
因为－＝，－＝，又因为⊥，
即·＝0，所以(－)·(－)＝0，C正确；
易知〈，〉＝180°－〈，〉，且||＝||＝||＝||，
所以·＝－·，D错误．
答案：ABC
2．解析：·＝||||cos 120°＝5×8×＝－20.
答案：B
3．解析：设向量a，b的夹角为θ.
根据向量数量积的运算，|a·b|＝||a||b|cos θ|，
若|a·b|＝|a||b|，
即||a||b|cos θ|＝|a||b|，
所以cos θ＝±1，即θ＝0°或180°，
所以a∥b.
若a∥b，
则a与b的夹角为0°或180°，
所以|a·b|＝|a||b|cos 0°＝|a||b|或|a·b|＝|a||b|cos 180°＝－|a||b|，
即|a·b|＝||a||b|cos θ|＝|a||b|.
所以“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的充分必要条件．
答案：C
4．解析：设a与b的夹角为α，∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0，∴a·b＝b2，∴|a|·|b|cos α＝|b|2，又|a|＝2|b|，∴cos α＝，∵α∈[0，π]，∴α＝.故选B.
答案：B
5．解析：∵(3a＋2b)⊥(λa－b)，
∴(λa－b)·(3a＋2b)＝0，
∴3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝0.
又∵|a|＝2，|b|＝1，a⊥b，
∴12λ＋(2λ－3)×2×1×cos 90°－2＝0，
∴12λ－2＝0，∴λ＝.
答案：
6．解析：因为a在e方向上的投影为－2，
即|a|cos 〈a，e〉＝－2，所以cos 〈a，e〉＝＝－，
又〈a，e〉∈[0，π]，所以〈a，e〉＝120°.
答案：120°
7．解析：由题意cos 〈a，b〉＝>0，
即1－2λ>0，得λ<.
∵a，b不能共线，即a≠b，∴λ≠－2.
∴λ∈(－∞，－2)∪(－2，).
答案：(－∞，－2)∪(－2，)
8．解析：(1)a·b＝|a||b|cos 120°＝4×2×(－)＝－4.
又|3a－4b|2＝(3a－4b)2＝9a2－24a·b＋16b2
＝9×42－24×(－4)＋16×22＝304，
∴|3a－4b|＝4.
(2)∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
＝42＋2a·b＋22＝(2)2，
∴a·b＝－4，∴cos θ＝＝＝－.
又 θ∈[0，π]，∴θ＝.
9．解析：因为||＝5，||＝4，||＝3，
所以△ABC为直角三角形，且C＝90°.
所以cos A＝＝，cos B＝＝.
(1)·＝－·＝－5×4×＝－16.
(2)||·cos 〈，〉＝＝＝.
10.
解析：因为·＝||||cos θ＝6>0，
所以cos θ＞0，所以θ为锐角，如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，则|CD|＝|BC|
sin θ.
由题意知，·＝||||cos θ＝6， ①
S＝|AB||CD|＝||||sin θ. ②
由②÷①得＝tan θ，即3tan θ＝S.
因为≤S≤3，所以≤3tan θ≤3，即≤tan θ≤1.
又因为θ为与的夹角，θ∈[0，π]，
所以θ∈[，].
课时作业(十四) 向量数量积的坐标运算
1．解析：b－c＝(x，－4)，由a⊥(b－c)知3x－4＝0，∴x＝.故选A项．
答案：A
2．解析：∵a∥b，∴4＋2x＝0，∴x＝－2，a－b＝(1，－2)－(－2，4)＝(3，－6)，∴|a－b|＝3.故选B项．
答案：B
3．解析：设a与b的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝，
解得θ＝.故选C项．
答案：C
4．解析：因为向量a＝(x，1)，b＝(1，y)，
c＝(2，－4)且a⊥c，b∥c，
所以2x－4＝0 x＝2，1×(－4)－2y＝0 y＝－2，
从而a＋b＝(2，1)＋(1，－2)＝(3，－1)，
因此|a＋b|＝＝.
答案：C
5．解析：∵a－b＝(2，3)－(3，2)＝(－1，1)，
∴|a－b|＝＝.
答案：
6．解析：若a与b夹角为180°，则有b＝λa(λ<0)，
即
解得y＝－1且λ＝－，
所以b≠λa(λ<0)时y≠－1； ①
若a与b夹角θ∈时，
则只要a·b<0且b≠λa(λ<0).
当a·b<0有－2＋2y<0解得y<1. ②
由①②得y<－1或－1答案：(－∞，－1)∪(－1，1)
7．解析：设C(x，y)，则＝(x＋2，y－1)，
＝(x，y－2)，＝(2，1).
由∥，⊥，得
解得
∴点C的坐标为(－2，6).
答案：(－2，6)
8．解析：(1)因为a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，
所以a·b＝3×1＋(－1)×(－2)＝3＋2＝5.
(2)a＋b＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)，
所以(a＋b)2＝|a＋b|2＝42＋(－3)2＝25.
(3)a＋b＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)，
a－b＝(3，－1)－(1，－2)＝(2，1)，
(a＋b)·(a－b)＝(4，－3)·(2，1)＝8－3＝5.
9．解析：∵a＝(1，1)，b＝(0，－2)，
ka－b＝k(1，1)－(0，－2)＝(k，k＋2)，
a＋b＝(1，1)＋(0，－2)＝(1，－1).
(1)∵ka－b与a＋b共线，
∴k＋2－(－k)＝0，∴k＝－1.
即当k＝－1时，ka－b与a＋b共线．
(2)∵|ka－b|＝，
|a＋b|＝＝，
(ka－b)·(a＋b)＝(k，k＋2)·(1，－1)
＝k－k－2＝－2，
而ka－b与a＋b的夹角为120°，
∴cos 120°＝，
即－＝，
化简整理，得k2＋2k－2＝0，解之得k＝－1±.
即当k＝－1±时，ka－b与a＋b的夹角为120°.
10．解析：由题意得f(x)＝(a＋xb)·(xa－b)
＝x|a|2－a·b＋x2a·b－x|b|2
＝a·bx2＋(|a|2－|b|2)x－a·b，
因为函数f(x)的图象是一条直线，
所以a·b＝0，
即3×(－1)＋2×(m＋)＝0，解得m＝－2，
所以b＝(－1，)，|b|＝ ＝.
答案：A
11.
解析：取BC中点O，将△ABC放入平面直角坐标系中，如图所示，则A(0，2)，
设P(x，y)，连接PO，则＋＝2，
所以＝(－x，2－y)，＝(－x，－y)，
所以·(＋)＝2·
＝2(x2－2y＋y2)＝2[x2＋(y－)2－3]，易知当x＝0，y＝时， ·(＋)取得最小值－6.
答案：D
课时作业(十五) 两角和与差的余弦
1．解析：原式＝cos (78°－18°)＝cos 60°＝.
答案：A
2．解析：∵sin A sin B∴cos A cos B－sin A sin B>0，
即cos (A＋B)>0，
∴cos [π－(A＋B)]
＝－cos (A＋B)＝cos C<0，
∴角C为钝角，
∴△ABC一定为钝角三角形．
答案：D
3．解析：a·b＝cos 60°cos 15°＋sin 60°·sin 15°＝cos (60°－15°)＝cos 45°＝.
答案：A
4．解析：根据两角和与差的余弦公式，A，B，C均正确，cos (α＋)＝cos α－sin α，D选项错误．
答案：ABC
5．解析：sin 75°＝cos 15°
＝cos (45°－30°)
＝cos 45°·cos 30°＋sin 45°·sin 30°
＝×＋×
＝.
答案：
6．解析：因为cos B＝－，且0所以所以sin B＝＝＝，且0所以cos(A－B)＝cos A cos B＋sin A sin B，
＝×(－)＋×＝－.
答案：－
7．解析：由于f(x)＝cos 2x cos ＋sin 2x sin ＝cos (2x－)，所以T＝＝π.
答案：π
8．解析：因为0<α<，－<β<0，
且sin α＝，cos β＝，
故cos α＝＝＝，
sinβ＝－＝－＝－，
故cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝×＋×＝.
由0<α<，－<β<0得，0<α－β<π，
又cos (α－β)>0，所以α－β为锐角，所以α－β＝.
9．解析：(1)因为a＝(sin α，cos α－sin α)，
b＝(cos β－sin β，cos β)，
所以a·b＝sin α(cos β－sin β) ＋(cos α－sin α)cos β
＝cos αcos β－sin αsin β＝cos (α＋β)，
因为a·b＝2，所以cos (α＋β)＝2，即cos (α＋β)＝.
(2)因为0<α<，sin α＝，所以cos α＝.
因为0<α<，0<β<，所以0<α＋β<π.
因为cos (α＋β)＝，所以sin (α＋β)＝，
所以cos (2α＋β)＝cos [α＋(α＋β)]
＝cos αcos (α＋β)－sin αsin (α＋β)＝.
因为0<α<，0<β< ，所以0<2α＋β<，
所以2α＋β＝.
10．解析：(1)依题意得：f(0)＝A sin ＝A＝1，
所以A＝.
(2)由(1)得f(x)＝sin (x＋)，
由f(α)＝－，可得f(α)＝sin (α＋)＝－，
所以sin (α＋)＝－，因为α是第二象限角，
所以2kπ＋<α<2kπ＋π，
所以2kπ＋<α＋<2kπ＋，
又因为sin (α＋)＝－<0，
所以α＋是第三象限角，
所以cos (α＋)＝－＝－，
所以cos α＝cos [(α＋)－]
＝cos (α＋)cos ＋sin (α＋)sin
＝－×－ ×＝－.
课时作业(十六) 两角和与差的正弦
1．解析：sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin (20°＋10°)＝sin 30°＝，故选D项．
答案：D
2．解析：在△ABC中，因为sin B＝sin [π－(A＋C)]＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝2sin A cos C，所以sin A cos C－cos A sin C＝0，即sin (A－C)＝0，因为0＜A＜π，0＜C＜π，所以－π＜A－C＜π，所以A－C＝0，即A＝C，所以△ABC一定是等腰三角形，故选B项．
答案：B
3．解析：∵＜β＜，∴cos β＝＝＝，∴sin ＝sin β＋cos β＝×＋×＝.
答案：C
4．解析：因为f(x)＝sin x－cos (x＋)
＝sin x－(cos x－sin x)＝sin x－cos x
＝(sin x－cos x)＝sin (x－)，
所以－≤f(x)≤，即函数f(x)＝sin x－cos (x＋)的值域为[－，].
答案：B
5．解析：y＝sin (x＋)＋cos (－x)
＝sin x＋cos x＋cos x＋sin x
＝(sin x＋cos x)＝2sin (x＋).
因为－1≤sin (x＋)≤1，
所以－2≤2sin (x＋)≤2，故函数的最大值为2.
答案：2
6．解析：因为f(x)＝sin x＋cos x＝2sin ，所以f(x)的最大值为2.
答案：2
7．解析：由题意，函数f(x)＝sin (2x－)＋sin (2x＋)＝sin 2x－cos 2x＋sin 2x＋cos 2x＝sin 2x，
所以函数的最小正周期为＝π.
答案：π
8．解析：∵α，β均为锐角，sin α＝，cos β＝，
∴sin β＝，cos α＝.
∵sin α∴sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
＝×－×＝－，
∴α－β＝－.
9．解析：(1)因为f(x)＝cos 2x＋sin 2x－cos 2x
＝sin 2x＋cos 2x＝sin (2x＋)，
所以函数f(x)的最小正周期为T＝π.
(2)由f(α)＝可得，sin (2α＋)＝.
因为α∈(0，)，
所以2α＋∈(，).
又因为0所以2α＋∈(，π)，
所以cos (2α＋)＝－，
所以cos 2α＝cos [(2α＋)－]
＝cos (2α＋)cos ＋sin (2α＋)sin
＝.
10．解析：(1)f(x)＝(1＋tan x)cos x
＝cos x＋··cos x＝cos x＋sin x
＝2
＝2
＝2sin .
(2)∵0≤x＜，∴f(x)在上是单调增函数，在上是单调减函数．
∴当x＝时，f(x)有最大值为2.
课时作业(十七) 两角和与差的正切
1．解析：＝
＝tan (105°－45°)＝tan 60°＝.
答案：B
2．解析：∵＝2＋，
∴tan ＝＝＝2－.
答案：C
3．解析：原式＝tan 10°tan 20°＋tan 30°(1－tan 10°tan 20°)＝tan 10°tan 20°＋1－tan 10°tan 20°＝1.
答案：B
4．解析：因为C＝120°，所以A＋B＝60°，
所以2(A＋B)＝C，所以tan (A＋B)＝，所以选项A，B错误；
因为tan A＋tan B＝(1－tan A·tan B)＝，
所以tan A·tan B＝ ①，
又tan A＋tan B＝ ②，
所以联立①②解得tan A＝tan B＝，
所以cos B＝sin A，故选项C，D正确．
答案：CD
5．解析：因为tan α＝，tan (α－β)＝－，
所以tan (2α－β)＝tan [α＋(α－β)]＝＝.
答案：
6．解析：tan β＝tan [(α＋β)－α]＝＝＝1，
又β∈(0，π)，所以β＝.
答案：
7．解析：tan B＝－tan (A＋C)＝－＝－，所以tan3B＝3，所以tanB＝，又因为B为三角形的内角，所以B＝.
答案：
8．解析：(1)tan
＝tan
＝＝
＝－.
(2)tan (α＋β)＝tan
＝＝
＝2－3.
9．解析：由题意，有
tan α＜0且tan β＜0.又因为α，β∈，
所以α，β∈，α＋β∈(－π，0).
又因为tan (α＋β)＝＝＝.
在(－π，0)内，正切值为的角只有－，
所以α＋β＝－.
10．解析：(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)(1＋tan 3°)…(1＋tan 44°)(1＋tan 45°)
＝[(1＋tan 1°)(1＋tan 44°)]…[(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)](1＋tan 45°)
＝
答案：223
课时作业(十八) 倍角公式
1．解析：∵sin α－cos α＝，∴(sin α－cos α)2＝1－sin 2α＝2，∴sin 2α＝－1.
答案：D
2．解析：·＝×·
＝tan 28°·
＝·＝，
故选A.
答案：A
3．解析：因为sin x·tan x<0，
所以x为第二、三象限角，所以cos x<0，
所以＝＝|cosx|＝－cos x.
答案：B
4．解析：∵＝，∴＝，
∴cos x＋sin x＝，∴1＋sin 2x＝，
∴sin 2x＝－.
答案：A
5．解析：因为tan ＝2，
所以tan α＝＝＝－，
tan(α＋)＝＝
＝－.
答案：－ －
6．解析：∵2cos2x＋sin2x＝1＋cos 2x＋sin 2x＝1＋sin ，
∴1＋sin ＝A sin (ωx＋φ)＋b，∴A＝，b＝1.
答案： 1
7．解析：f(x)＝sin －2sin2x
＝sin2x－cos 2x－2×
＝sin 2x＋cos 2x－
＝sin －，
故该函数的最小正周期是＝π.
答案：π
8．解析：(1)由已知，有f(x)＝－
＝(cos 2x＋sin 2x)－cos 2x
＝sin 2x－cos 2x＝sin (2x－).
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因为f(x)在区间[－，－]上是减函数，在区间[－，]上是增函数，f(－)＝－，f(－)＝－，f()＝，所以f(x)在区间[－，]上的最大值为，最小值为－.
9．解析：(1)因为(sin α＋cos α)2＝，所以1＋2sin αcos α＝，所以2sin αcos α＝sin 2α＝－，所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝.
又<α<π，所以sin α>0，cos α<0，所以sin α－cos α＝，所以cos 2α＝cos2α－sin2α＝(cosα＋sin α)·(cos α－sin α)＝×(－)＝－，
所以tan 2α＝＝＝.
(2)因为sin (－α)＝sin [－(＋α)]＝cos (＋α).
所以sin (－α)sin (＋α)＝sin (＋α)cos (＋α)
＝sin [2×(＋α)]＝sin (＋2α)＝cos 2α＝，所以cos 2α＝.
又因为0<α<，所以0<2α<π，所以sin 2α＝.
10．解析：(1)由题得f(x)＝2cos x(sin x＋cos x)－·＋sin 2x，
所以f(x)＝sin 2x＋·－·，
所以f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin (2x＋)，
所以函数的最小正周期为π.
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
所以－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数的单调递增区间为[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z.
(2)由题得sin (2x＋)＝1，
所以2x＋＝2kπ＋，k∈Z，
所以x＝kπ＋，k∈Z，
因为x∈[0，2 019]，
当k＝0时，x＝，k＝1时，x＝π，…
k＝642时，x＝642π＋≈2 016，k＝643时，x>2 019.
所以方程f(x)＝2在x∈[0，2 019]上解的个数为643.
课时作业(十九) 三角恒等变换的应用
1．解析：因为α∈[，2π]，
所以sin α<0，cos α>0，
则 － ＝－
＝|cosα|－|sin α|＝cos α－(－sin α)＝cos α＋sin α.
答案：B
2．解析：因为α∈(0，π)，－α∈(－π，)，sin (－α)＝>0，
所以－α∈(0，)，cos (－α)＝，
cos 2α＝cos [2(－α)－]＝sin [2(－α)]
＝2sin (－α)cos (－α)＝2××＝.
答案：A
3．解析：由sin A sin B＝cos2，得cos(A－B)－cos (A＋B)＝，
∴cos (A－B)＋cos C＝＋cos C，
即cos (A－B)＝1，
∴A－B＝0，即A＝B.
∴△ABC是等腰三角形．
答案：B
4．解析：∵cos α＝，∴sin2＝＝.
又α∈，∴∈，
∴sin ＝.
答案：B
5．解析：∵y＝sin 2x＋cos2x＝sin2x＋cos 2x＋＝sin ＋，∴函数的最小正周期T＝＝π.
答案：π
6．解析：因为450°<α<540°，
所以225°<<270°，
所以cos α<0，sin <0，
所以原式＝
＝
＝＝
＝ ＝＝－sin .
答案：－sin
7．解析：y＝2cos (x＋)cos ＝cos (x＋)，
所以ymax＝.
答案：
8．解析：(1)求证：f(x)＝2cos2＝1＋cos x，g(x)＝
(sin ＋cos )2＝1＋2sin cos ＝1＋sin x.
因为f(－x)＝1＋cos (－x)＝1＋sin x，
所以f(－x)＝g(x)，命题得证．
(2)函数h(x)＝f(x)－g(x)＝cos x－sin x
＝(cos x－sin x)＝cos (x＋).
因为x∈[0，π]，所以≤x＋≤，
当≤x＋≤π，即0≤x≤时，h(x)递减，
当π≤x＋≤，即≤x≤π时， h(x)递增．
所以函数h(x)的单调递减区间为[0，]，
单调递增区间为[，π]，根据函数h(x)的单调性，
可知当x＝时，函数h(x)取到最小值．
9．解析：cos A sin C＝[sin (A＋C)－sin (A－C)]＝－sin (A－C)，
∵－1≤sin (A－C)≤1，
∴cos A sin C∈.
10．解析：f(x)＝1＋cos 2ωx＋sin 2ωx－cos 2ωx＋a＝sin ＋a＋1.
(1)由2ωx＋＝2kπ＋(k∈Z)，
得ωx＝kπ＋(k∈Z).
又ω>0，
∴当k＝0时，f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为x＝＝，故ω＝1.
(2)由(1)知f(x)＝sin ＋a＋1，
由≤x≤，得≤2x≤，≤2x＋≤，
∴当2x＋＝，即x＝时，
f(x)取得最小值为＋a＋1.
由＋a＋1＝，得a＝－.
章末质量检测(一) 第七章 三角函数
1．解析：∵4在第三象限，∴sin 4<0，∵7在第一象限，
∴tan 7>0，∴sin 4·tan 7<0，故选B.
答案：B
2．解析：由题图可知，T＝4＝π，即ω＝＝2.
因为sin ＝－1，所以＋φ＝－＋2kπ，φ＝－＋2kπ，k∈Z，
又<，所以φ＝，
故选C.
答案：C
3．解析：1＋sin θcos θ＝
＝＝＝.
答案：B
4．解析：函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，A为f(x)图象的对称中心，B，C是该图象上相邻的最高点和最低点，BC＝4，
所以2＋2＝42，即12＋＝16，得ω＝.
再根据·＋φ＝kπ，k∈Z，可得φ＝－，
所以f(x)＝sin .
令2kπ－≤x－≤2kπ＋，
求得4k－≤x≤4k＋，
故f(x)的单调递增区间为，(k∈Z).
答案：C
5．解析：由图象知，函数f(x)＝sin 2x的图象向右平移×＝个单位，
得g(x)＝sin 2＝sin 的图象；
又sin ＝cos
＝cos ＝cos ，
所以g(x)＝cos .
答案：C
6．解析：A，B中函数的周期为2π，不符合．C，D中函数的周期为π.y＝cos ＝－sin 2x在上是增函数，y＝sin ＝cos 2x在上是减函数，故选D.
答案：D
7．解析：由已知可得2sin A cos A＝－，所以(cos A－sin A)2＝1－2sin A cos A＝.故cos A－sin A＝.又cos A＋sin A＝－，所以cos A＝，sin A＝－.
所以tan A＝－.
答案：C
8．解析：由题可得A(cos α，sin α)，
将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB，
可得B，
即B(－sin α，cos α).
因为线段BQ的长为y，
所以函数y＝f(α)＝|cos α|.
答案：B
9．解析：选项A：－终边与相同，为第二象限角，所以A不正确；
选项B：设扇形的半径为r，＝π，∴r＝3，
扇形面积为×3×π＝，所以B正确；
选项C：角α的终边过点P，根据三角函数定义，
cos α＝－，所以C正确；
选项D：角α为锐角时，0<α<，0<2α<π，所以D不正确．
故选BC.
答案：BC
10．解析：因为将函数f(x)＝sin (ωx＋φ)的图象向左平移个单位，所得图象与原图象重合，
所以是已知函数的周期的整数倍，
即k·＝(k∈N*)，解得ω＝4k(k∈N*).
答案：ACD
11．解析：由f(x1)＝2，f(x2)＝0，且|x1－x2|的最小值是π，可得＝，故＝，
所以ω＝±.
答案：AC
12．解析：将函数f＝cos －1的图象向左平移个单位长度，得到y＝cos －1＝cos －1＝－cos 2x－1的图象；再向上平移1个单位长度，得到函数g＝－cos 2x的图象，对于函数g，它的最大值为，由于当x＝时，g＝－，不是最值，故g的图象不关于直线x＝对称，故A错误；由于该函数为偶函数，故它的图象关于y轴对称，故B正确；它的最小正周期为＝π，故C正确；
当x＝时，g＝0，故函数g的图象关于点对称，故D正确．
答案：BCD
13．解析：原式＝
＝＝tan θ.
答案：tan θ
14．解析：由＋≠＋kπ，k∈Z，解得x≠＋2kπ，k∈Z，
即函数y＝tan 的定义域为.
答案：
15．解析：函数f(x)＝－2tan x＋m有零点，即方程2tan x＝m有解．∵x∈，∴tan x∈[－1，]，
∴m∈[－2，2].
答案：[－2，2]
16．解析：f(x)＝a tan x＋b cos x为偶函数，则有f(－x)＝f(x)，即a tan (－x)＋b cos (－x)＝a tan x＋b cos x，即2a tan x＝0，故a＝0，①正确；当x＝2kπ＋，k∈Z时，y＝cos ＝cos ＝，显然不是最大值，②不正确；当x＝－时，y＝4cos ＝4cos (－π)＝－4，显然取得最小值，故x＝－是该函数的图象的一条对称轴，③正确；令－2x＋＝，k∈Z，得x＝－，k∈Z，故对称中心为，k∈Z，④不正确．
答案：①③
17．解析：(1)因为0<α<，sin α＝，所以cos α＝，
故tan α＝.
(2)＝
＝＝＝4.
18．解析：(1)由已知得π＝，解得ω＝2.
将点代入解析式，＝2sin ，可知cos φ＝，由0<φ<π可知φ＝，于是f(x)＝2sin .
(2)令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，
于是函数f(x)的单调递增区间为
.
19．解析：(1)∵f(x)＝cos (2x－φ)，且函数图象过点，
∴＝cos ，即cos ＝1，解得φ＝＋2kπ，k∈Z.又0<φ<π，∴φ＝.
(2)由(1)知f(x)＝cos ，将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)＝cos 的图象．
∵x∈，∴4x－∈，
故－≤cos ≤1.
∴y＝g(x)在上的最大值和最小值分别为和－.
20．解析：(1)由题意，A＝1，＝＋＝ T＝π，则＝π ω＝2，所以f(x)＝sin ，又因为图象过点，所以2×＋φ＝＋2kπ φ＝＋2kπ，而－<φ<，则φ＝，于是f(x)＝sin .
(2)结合图象可知，函数的对称轴为x＝＋，
令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z －＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，即函数的增区间为[－＋kπ，＋kπ].
(3)f(x)的图象向右平移个单位长度得到：y＝sin [2(x－)＋]＝sin ，于是g＝sin ，如图所示：
因为g＝a－1在x∈上有两个解，所以≤a－1<1 a∈.
21．解析：(1)由sin 2x＋cos 2x＝1得f(x)＝－2cos 2x＋cos x，
令f(x)＝0，解得cos x＝0或cos x＝，
当cos x＝0时，x＝＋kπ，k∈Z；
当cos x＝时，x＝2kπ±，k∈Z.
所以函数f(x)的零点为＋kπ，2kπ±，k∈Z.
(2)因为f(x)＝－2cos 2x＋cos x，令cos x＝t，t∈，则f(x)＝g＝－2t2＋t，
因为f(x)的最小值为－1，所以－2t2＋t≥－1，
解得－≤t≤1，即－≤cos x≤1，
因为x∈，且cos ＝－，即f＝－1，
由－≤cos x≤1，且x∈，可得－≤α<，
所以α的取值范围为.
22．解析：(1)由题意，f(0)＝sin ＝，
f＝sin ＝cos ＝，函数y＝f (t)＝sin ，t≥0.
(2)根据题意列表如下；
t 0 1 4 6
＋ π 2π
y 1 0 －1 0
在直角坐标系中描点、连线，作出函数y＝f(t)在0≤t≤6的简图如图所示．
(3)由函数的图象与性质知f>f>f.
章末质量检测(二) 第八章 向量的数量积与三角恒等变换
1．解析：由题设，a＋b＝(x＋1，2)，又a⊥(a＋b)，
所以(x＋1)×1＋2×1＝x＋3＝0，即x＝－3.
答案：D
2．解析：∵sin 2θ＝2sin θcos θ<0，∴θ是第二、四象限的角．又cos θ>0，∴θ是第四象限的角．
答案：D
3．解析：由于2a－b与b垂直，则(2a－b)·b＝0，即(3，n)·(－1，n)＝－3＋n2＝0.解得n＝±.
所以a＝(1，±).所以|a|＝ ＝2.
答案：C
4．解析：∵θ为第二象限角，∴为第一或第三象限角．
∵cos ＝－，∴为第三象限角且sin ＝－，
∴＝＝1.故选C.
答案：C
5．解析：cos ＝cos
＝－cos ＝2sin2－1＝－.
答案：A
6．解析：在三角形ABC中，
因为C>90°，所以A，B都为锐角．
则有tanA>0，tan B>0，tan C<0，
又因为C＝π－(A＋B)，
所以tan C＝－tan (A＋B)
＝－<0，易知1－tan A·tan B>0，
即tan A·tan B<1.
答案：B
7．解析：因为f(x)＝sin ＝cos x，
g(x)＝cos ＝sin x，
所以y＝f(x)g(x)＝sin cos ＝cos x sin x＝sin 2x，所以其周期T＝＝π，最大值是，故排除A，B；
很明显，将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到g(x)＝cos (x－)的图象．
答案：D
8．解析：f(B)＝4sin B cos2(－)＋cos2B
＝4sin B＋cos 2B
＝2sin B(1＋sin B)＋(1－2sin2B)＝2sinB＋1.
因为f(B)－m<2恒成立，即m>2sin B－1恒成立．
因为0所以－1<2sin B－1≤1，故m>1.
答案：D
9．解析：对于选项A，＝tan45°＝1；对于选项B，1－2sin275°＝cos150°＝－；对于选项C，cos4－sin4＝(cos2＋sin2)(cos2－sin2)＝cos＝； 对于选项D，原式＝sin215°＋cos215°＋sin15°cos 15°＝1＋sin 30°＝1＋＝.
答案：ACD
10．解析：在△ABC中，由＝－＝2a＋b－2a＝b，得|b|＝2，A错误；
又＝2a且||＝2，所以|a|＝1，所以a·b＝|a||b|·cos 120°＝－1，B，C错误；
因为(4a＋b)·＝(4a＋b)·b＝4a·b＋|b|2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a＋b)⊥，D正确．
答案：ABC
11．解析：f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin ，由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
即函数的单调递增区间为(k∈Z)，
当k＝0时，得，当k＝1时，得，当k＝2时，得.故选ACD.
答案：ACD
12．解析：因为α为锐角，sin α－cos α＝>0，
所以<α<.
又tan α＋tan β＋tan αtan β＝，
所以tan (α＋β)＝＝，
所以α＋β＝，
又α>，所以β<<α.
答案：AB
13．解析：由cos x cos y＋sin x sin y＝，可知cos (x－y)＝，则cos (2x－2y)＝2cos2(x－y)－1＝2×－1＝－.
答案：－
14．解析：因为向量a，b的夹角为45°，
且|a|＝1，|2a－b|＝，
所以＝，
化为4＋|b|2－4|b|cos45°＝10，
化为|b|2－2|b|－6＝0，
因为|b|≥0，解得|b|＝3.
答案：3
15．解析：(a－2b)·(2a＋b)＝2a2＋a·b－4a·b－2b2＝2×9－3|a||b|cos 〈a，b〉－2×16＝－14－3×3×4cos 〈a，b〉≥4，
∴cos 〈a，b〉≤－，又〈a，b〉∈[0，π]，
∴θ＝〈a，b〉∈.
答案：
16．解析：因为sin (α＋)＝，且<α<π，
所以cos (α＋)＝－.
因为cos (β＋)＝－，且0<β<，
所以sin (β＋)＝.
因为α＋＋β＋＝α＋β＋，
所以cos (α＋β)＝sin (α＋β＋)，
即cos (α＋β)＝sin
＝×(－)－×＝－.
答案：－
17.
解析：如图，由AM＝3，且＝2，可知||＝2.
∵M为BC的中点，
∴＋＝2＝，
∴·(＋)＝·
＝－2＝－||2＝－4.
18．解析：(1)原式＝
＝＝＝2＋.
(2)由sin θ＋2cos θ＝0，得sin θ＝－2cos θ，
又cos θ≠0，则tan θ＝－2，
所以＝
＝＝＝.
19．解析：(1)因为c∥d，所以c＝λd，即ka＋b＝λ(a－b).
又a，b不共线，所以?k＝λ，
1＝得
即c＝－d，故c与d反向．
(2)c·d＝(ka＋b)·(a－b)＝ka2－ka·b＋a·b－b2＝(k－1)a2＋(1－k)|a|2·cos 60°，
又c⊥d，故(k－1)a2＋a2＝0，
即(k－1)＋＝0，解得k＝1.
20．解析：f(x)＝a·b＝(2sin ωx＋cos ωx)sin ωx＋(2sin ωx－cos ωx)cos ωx
＝2sin2ωx＋3sinωx cos ωx－cos2ωx
＝1－cos2ωx＋sin 2ωx－(1＋cos 2ωx)
＝(sin 2ωx－cos 2ωx)＋
＝sin (2ωx－)＋.
(1)因为函数f(x)的图象上相邻的两个对称轴间的距离是，所以函数f(x)的最小正周期T＝π，则ω＝1.
(2)f(x)＝sin (2x－)＋.
因为x∈[0，]，
所以(2x－)∈[－，]，
则当2x－＝－，即x＝0时，f(x)取得最小值－1；当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最大值.
21．解析：(1)证明：因为·＝·，
所以·(－)＝0.
又＋＋＝0，则＝－(＋)，
所以－(＋)·(－)＝0.
所以2－2＝0.所以||2＝||2.
即|AB|＝|BC|，即△ABC为等腰三角形．
(2)因为B∈，则cos B∈.
设||＝||＝a.
又|＋|＝2，所以|＋|2＝4.
则有a2＋a2＋2a2cos B＝4.
所以a2＝，
则·＝a2cos B＝＝2－.
又cos B∈，所以·∈.
22．解析：(1)f(x)＝2cos2x＋sin2x＋m
＝2sin (2x＋)＋m＋1.所以函数f(x)的最小正周期T＝π，在[0，π]上的单调递增区间为[0，]，[，π].
(2)因为当x∈[0，]时，f(x)单调递增，
所以当x＝时，f(x)的最大值等于m＋3.
当x＝0时，f(x)的最小值等于m＋2.
由题设知解得－6必修三 模块质量检测
1．解析：sin 480°＝sin (360°＋120°)＝sin 120°＝sin (180°－60°)＝sin 60°＝.
答案：D
2．解析：由题意得cos 〈a，b〉＝＝＝.
答案：A
3．解析：由|a＋b|＝，得7＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝1＋4＋2×1×2cos θ，所以cos θ＝.
答案：B
4．解析：由题意，知 ＝.∴cos2α＝.
∴cos2α＝2cos2α－1＝－1＝－.
答案：B
5．解析：将cos4运用倍角公式变形为1－2sin22，从而原式化为，再开方即得结果．
答案：D
6．解析：由题意，函数 f(x)＝tan ，
令 －＋kπ<－<＋kπ，k∈Z，
解得2kπ－即函数f(x)的单调递增区间是，k∈Z.
答案：B
7．解析：某港口某天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝4sin (＋φ)＋k，
据此图象可知，这段时间水深最小值为－4＋k＝2，
所以k＝6，故这段时间水深(单位：m)的最大值为4＋k＝10.
答案：A
8．解析：为在上的投影．故||＝，
∴＝·＝·a.
答案：A
9．解析：对于选项A，周期为T＝＝；
对于选项B，周期为T＝＝π；
对于选项C，周期为T＝＝8π；
对于选项D，周期为T＝＝4π.
故选BCD.
答案：BCD
10．解析：因为f(x)＝2sin x cos x－2sin2x＋1－1＝sin2x＋cos 2x－1＝sin (2x＋)－1，
对A，因为ω＝2，所以f(x)的最小正周期T＝π，结论正确；
对B，当x∈[，]时，2x＋∈[，]；
则f(x)在[，]上是减函数，结论正确．
对C，因为f(－)＝－1，得到函数f(x)图象的一个对称中心为，结论不正确；
对D，函数f(x)的图象可由函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位得到，结论不正确．
答案：AB
11．解析：因为函数f(x)＝cos ωx (ω>0)在开区间(2π，3π)内既没有最大值，也没有最小值，所以f(x)＝cos ωx (ω>0)的周期大于等于2π，即≥2π，所以ω≤1.
当ω＝时，f(x)＝cos x，x∈(2π，3π)时，∈(，π)，无最大值1和最小值－1，ω＝成立，A正确；
当ω＝时，f(x)＝cos x ，x∈(2π，3π)时，∈(π，)，无最大值1和最小值－1，ω＝成立，B正确；
当ω＝时，f(x)＝cos ，x∈(2π，3π)时，∈(，)，有最大值1，不成立，C不正确；
当ω＝1时，f(x)＝cos x，x∈(2π，3π)时，无最大值1和最小值－1，ω＝1成立，D正确．
故选ABD.
答案：ABD
12．解析：由a·(b－a)＝2，得a·b－a2＝2，
则a·b＝3，设向量a与向量b的夹角为α，
则a·b＝|a|·|b|cos α＝3，
则cos α＝，那么α＝，则A正确；
由a2＋a·b＝，得a·b＝，设向量a与向量b的夹角为α，则a·b＝|a|·|b|cos α＝，
则cos α＝，那么α＝，则B正确；
由a＝(，－1)，b＝(2，2)，
则|a|＝2，|b|＝4，a·b＝4，则cos α＝，
那么α＝，则C正确；
由a＝(2，2)，b＝(－3，0)，则|a|＝4，|b|＝3，a·b＝－6，则cos α＝－，那么α＝，则D不正确．
答案：ABC
13．解析：图象向右平移个单位，解析式应变为y＝sin ，即y＝sin ，再将图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍，得y＝sin .
答案：y＝sin
14．解析：设扇形半径为r cm，弧长为l cm，
则l＝2r, 16＝2r＋2r，所以r＝4，则扇形面积为
S＝×2×r2＝16(cm2).
答案：16
15．解析：设β＝α＋，所以sin β＝，
sin 2β＝2sin βcos β＝，
cos 2β＝2cos2β－1＝，
所以sin(2α＋)＝sin (2α＋－)
＝sin (2β－)＝sin 2βcos －cos 2βsin
＝.
答案：
16．解析：要使函数f(x)＝sin x＋有意义，则有sin x≠0，∴x≠kπ，k∈Z，∴定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，定义域关于原点对称．
又∵f(－x)＝sin (－x)＋＝－sin x－＝－＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．∴f(x)的图象关于原点对称，
∴①是假命题，②是真命题．
对于③，要证f(x)的图象关于直线x＝对称，只需证f＝f.
∵f＝sin ＋＝cos x＋，
f＝sin ＋＝cos x＋，
∴f＝f，∴③是真命题．
令sin x＝t，－1≤t≤1且t≠0，∴g(t)＝t＋，－1≤t≤1且t≠0，此函数图象如图所示(对勾函数图象的一部分)，∴函数的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)，
∴函数的最小值不为2，即f(x)的最小值不为2.∴④是假命题．
综上所述，所有真命题的序号是②③.
答案：②③
17．解析：(1)因为α，β是锐角，且A(，)，B(，)在单位圆上，
所以sin α＝，cos α＝，sin β＝，cos β＝，
所以cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝×－×＝－.
(2)因为·＝，
所以||·||cos (β－α)＝，
且||＝||＝1，
所以，cos (β－α)＝，
可得sin (β－α)＝(β>α)，
且cos α＝，sin α＝，
所以sin β＝sin [α＋(β－α)]
＝sin αcos (β－α)＋cos αsin (β－α)
＝×＋×＝.
18．解析：(1)a＋b＝(cos αcos β－sin αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β，sin αcos β＋cos αsin β＋sin αcos β－cos αsin β)＝(2cos αcos β，2sin αcos β)＝.
∴2cos αcos β＝，2sin αcos β＝，∴tan α＝.
(2)＝＝＝－.
19．解析：(1)因为sin α＝，α∈(0，)，
所以 cos α＝＝＝，
所以 sin (α＋)＝sin αcos ＋cos αsin
＝×＋×＝.
(2)由(1)tan α＝得tan 2α＝＝＝，所以tan (2α－β)＝＝＝.
20．解析：y＝cos2x＋sinx cos x＋1＝cos 2x＋sin 2x＋＝sin (2x＋)＋.
(1)y＝cos2x＋sinx cos x＋1的振幅为A＝，周期为T＝＝π，初相为φ＝.
(2)令x1＝2x＋，
则y＝sin (2x＋)＋＝sin x1＋，
列出下表，并描点得出的图象如图所示：
x －
x1 0 π 2π
y＝sin x1 0 1 0 －1 0
y＝sin (2x＋)＋
(3)将函数图象依次经过如下变换：
函数y＝sin x的图象．
函数y＝sin (2x＋)的图象
函数y＝sin (2x＋)的图象
函数y＝sin (2x＋)＋的图象，
即得函数y＝cos2x＋sinx cos x＋1的图象．
21．解析：(1)由题图，得A＝3，＝＝5π，
故ω＝.
由f(x)＝3sin 的图象过点，得
sin ＝0.
又|φ|<，∴φ＝－，∴f(x)＝3sin .
(2)设把f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度，能使得到的图象对应的函数为偶函数．
由f(x＋m)＝3sin ＝3sin (＋－)为偶函数，知－＝kπ＋(k∈Z)，
解得m＝＋(k∈Z).
∵m>0，∴mmin＝.
故至少把f(x)的图象向左平移个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数．
22．解析：(1)f(x)＝m·n＝sin x cos x－cos 2x
＝sin 2x－cos 2x＝sin (2x－)，
所以f(x)的最小正周期 T＝＝π，由 －＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以增区间为[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z.
(2)由(1)得f(x)＝sin (2x－)，
将函数y＝f(x)的图象向左平移 个单位得到
y＝sin [2(x＋)－]＝sin (2x＋)的图象，
因此g(x)＝sin (2x＋)，又 x∈[0，]，
所以 2x＋∈[，]，
sin (2x＋)∈[－，1]，
故g(x)在[0，]上的值域为[－，1].课时作业(二) 弧度制及其与角度制的换算
一、选择题
1．－的角是( )
A．第一象限的角 B．第二象限的角
C．第三象限的角 D．第四象限的角
2．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为( )
A． B．－
C． D．－
3．(多选)下列转化结果正确的是( )
A．67°30′化成弧度是
B．－化成角度是－600°
C．－150°化成弧度是
D．化成角度是5°
4．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
二、填空题
5．已知集合A＝{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，集合B＝{x|－4≤x≤4}，则A∩B＝________.
6．把－570°写成2kπ＋α(k∈Z，α∈(0，2π)的形式是________．
7．已知一扇形的周长为＋4，半径r＝2，则扇形的圆心角为________．
三、解答题
8．已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.
(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；
(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.
9.已知一个扇形的周长是40，
(1)若扇形的面积为100，求扇形的圆心角；
(2)求扇形面积S的最大值．
[尖子生题库]
10．如图所示，已知一长为 dm，宽为1 dm的长方体木块在桌面上做无滑动地翻滚，翻滚到第四次时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角．则点A走过的路径长及走过的弧所在扇形的总面积分别为________.课时作业(十四) 向量数量积的坐标运算
一、选择题
1．已知向量a＝(3，1)，b＝(x，－2)，c＝(0，2)，若a⊥(b－c)，则实数x的值为( )
A． B．
C．－ D．－
2．已知向量a＝(1，－2)，b＝(x，4)，且a∥b，则|a－b|＝( )
A．5 B．3
C．2 D．2
3．已知向量a＝(1，)，b＝(－2，2)，则a与b的夹角是( )
A． B．
C． D．
4．设x，y∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝( )
A． B．2
C． D．10
二、填空题
5．已知向量a＝(2，3)，b＝(3，2)，则|a－b|＝________.
6．若向量a＝(－2，2)与b＝(1，y)的夹角为钝角，则y的取值范围为________．
7．已知＝(－2，1), ＝(0，2)，且∥， ⊥，则点C的坐标是________．
三、解答题
8．已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，
求：(1)a·b；(2)(a＋b)2；(3)(a＋b)·(a－b).
9.已知a＝(1，1)，b＝(0，－2)，当k为何值时，
(1)ka－b与a＋b共线；
(2)ka－b与a＋b的夹角为120°.
[尖子生题库]
10．已知向量a＝(3，2)，b＝(－1，m＋)，且函数f(x)＝(a＋xb)·(xa－b)的图象是一条直线，则|b|＝( )
A． B．
C．2 D．2
11．已知△ABC是边长为4的等边三角形，P为△ABC内一点，则·(＋)的最小值是( )
A．－8 B．－4
C．－3 D．－6必修三 模块质量检测
(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．sin 480°等于( )
A．－ B． C．－ D．
2．若a＝(3，4)，b＝(5，12)，则a与b的夹角的余弦值为( )
A． B． C．－ D．－
3．若|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝，则a与b的夹角θ的余弦值为( )
A．－ B． C． D．－
4．设向量a＝的模为，则cos 2α等于( )
A．－ B．－ C． D．
5．化简式子 的值是( )
A．sin 2 B．－cos 2 C．cos 2 D．－cos 2
6．函数f(x)＝tan (－)的单调递增区间是( )
A．[2kπ－，2kπ＋]，k∈Z B．(2kπ－，2kπ＋)，k∈Z
C．[4kπ－，4kπ＋]，k∈Z D．(4kπ－，4kπ＋)，k∈Z
7.
如图，某港口某天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝4sin (＋φ)＋k，据此图象可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )
A．10 B．8
C．6 D．5
8.
如图，向量＝a，＝b，且⊥，C为垂足，设向量＝λa(λ>0)，则λ的值为( )
A． B． C． D．
二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)
9．下列函数中，周期不为的是( )
A．y＝cos 4x B．y＝sin 2x
C．y＝cos D．y＝sin
10．已知函数f(x)＝2sin x cos x－2sin2x，给出下列四个选项，正确的有( )
A．函数f(x)的最小正周期是π
B．函数f(x)在区间[，]上是减函数
C．函数f(x)的图象关于点(－，0)对称
D．函数f(x)的图象可由函数y＝sin2x的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位得到
11．若函数f＝cos ωx(ω>0)在开区间(2π，3π)内既没有最大值1，也没有最小值－1，则下列ω的取值中，可能的有( )
A． B． C． D．1
12．已知向量a与向量b满足如下条件，其中a与b的夹角是的有( )
A．|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2 B．|a|＝|b|＝1，a2＋a·b＝
C．a＝(，－1)，b＝(2，2) D．a＝(2，2)，b＝(－3，0)
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上．)
13．将函数y＝sin 的图象向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍(纵坐标不变)，则所得的函数的解析式是________．
14．若扇形的周长是16 cm，圆心角是2 rad，则扇形的面积是________cm2.
15．设α为锐角，若cos (α＋)＝，则sin (2α＋)的值为________.
16．关于函数f(x)＝sin x＋有如下四个命题：
①f(x)的图象关于y轴对称．
②f(x)的图象关于原点对称．
③f(x)的图象关于直线x＝对称．
④f(x)的最小值为2.
其中所有真命题的序号是________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(10分)如图所示，在平面直角坐标系中，锐角α、β(β>α)的终边分别与单位圆交于A，B两点，点A(，).
(1)若点B(，)，求cos (α＋β)的值；
(2)若·＝，求sin β.
18．(12分)设向量a＝(cos (α＋β)，sin (α＋β))，b＝(cos (α－β)，sin (α－β))，且a＋b＝.
(1)求tan α的值；
(2)求的值．
19．(12分)已知sin α＝，α∈(0，).
(1)求sin (α＋)的值；
(2)若tan β＝，求tan (2α－β)的值．
20．(12分)已知函数y＝cos2x＋sinx cos x＋1，x∈R.
(1)求它的振幅、周期和初相；
(2)用“五点法”作出它的简图；
(3)该函数的图象可由y＝sin x(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
21．(12分)函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的一段图象如图所示．
(1)求f(x)的解析式；
(2)把f(x)的图象向左至少平移多少个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？
22．(12分)已知向量m＝(sin x，－)，n＝(cos x，cos 2x)，函数 f(x)＝m·n.
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调增区间；
(2)将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在[0，]上的值域．章末质量检测(二) 第八章 向量的数量积与三角恒等变换
(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．已知a＝(1，1)，b＝(x，1)，a⊥(a＋b)，则x＝( )
A．－1 B．1
C．3 D．－3
2．若cos θ>0，且sin 2θ<0，则角θ的终边所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|＝( )
A．1 B．
C．2 D．4
4．已知θ为第二象限角，且cos ＝－，则的值是( )
A．－1 B．
C．1 D．2
5．若sin ＝，则cos 等于( )
A．－ B．－
C． D．
6．三角形ABC中，若C>90°，则tan A·tan B与1的大小关系为( )
A．tan A·tan B>1 B．tan A·tan B<1
C．tan A·tan B＝1 D．不能确定
7．已知f(x)＝sin ，g(x)＝cos ，则下列结论中正确的是( )
A．函数y＝f(x)g(x)的周期为2π
B．函数y＝f(x)g(x)的最大值为1
C．将f(x)的图象向左平移个单位长度后得到g(x)的图象
D．将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到g(x)的图象
8．已知A，B，C是△ABC的三个内角，设f(B)＝4sin B·cos2(－)＋cos2B，若f(B)－m<2恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．m<1 B．m>－3
C．m<3 D．m>1
二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)
9．下列计算正确的是( )
A．＝1
B．1－2sin275°＝
C．cos4－sin4＝
D．cos275°＋cos215°＋cos75°cos 15°＝
10．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论不正确的是( )
A．|b|＝1 B．a⊥b
C．a·b＝1 D．(4a＋b)⊥
11．函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的单调递增区间有( )
A． B．
C． D．
12．已知锐角α，β满足sin α－cos α＝，tan α＋tan β＋tan αtan β＝，则( )
A．<α< B．β<<α
C．<α<β D．<β<α
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上．)
13．若cos x cos y＋sin x sin y＝，则cos (2x－2y)＝________．
14．已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.
15．已知|a|＝3，|b|＝4，且(a－2b)·(2a＋b)≥4，则a与b的夹角θ的取值范围是________．
16．若<α<π，0<β<，且sin (α＋)＝，cos (β＋)＝－，则cos (α＋β)＝________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(10分)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，点P在AM上，且满足＝2，求·(＋)的值．
18．(12分)(1)求值：；
(2)已知sin θ＋2cos θ＝0，求的值．
19．(12分)已知向量a，b不共线，c＝ka＋b，d＝a－b.
(1)若c∥d，求k的值，并判断c，d是否同向；
(2)若|a|＝|b|，a与b的夹角为60°，当k为何值时，c⊥d
20．(12分)已知ω>0，a＝(2sinωx＋cos ωx，2sin ωx－cos ωx)，b＝(sin ωx，cos ωx)，f(x)＝a·b，f(x)图象上相邻的两个对称轴的距离是.
(1)求ω的值．
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．
21．(12分)在△ABC中，设·＝·.
(1)求证：△ABC为等腰三角形；
(2)若|＋|＝2，且B∈，求·的取值范围．
22．(12分)设函数f(x)＝a·b，其中向量a＝(2cos x，1)，b＝(cos x，sin 2x＋m).
(1)求函数f(x)的最小正周期和在[0，π]上的单调递增区间；
(2)当x∈[0，]时，－4一、选择题
1．sin600°＝( )
A． B．－
C． D．－
2．已知cos ＝－，则cos ＝( )
A．－ B．
C． D．－
3．在△ABC中，cos (A＋B)的值等于( )
A．cos C B．－cos C
C．sin C D．－sin C
4．(多选)下列化简正确的是( )
A．tan (π＋1)＝tan 1
B．＝cos α
C．＝1
D．若θ∈，则＝sin θ－cos θ
二、填空题
5.的化简结果为________．
6. 已知α∈，若cos ＝－，则sin 的值为________.
7．已知α∈(0，π)，若cos (－α)－sin (－α)＝－，则tan α等于________.
三、解答题
8．(1)计算：sin ＋cos ＋tan ；
(2)化简：.
9.已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限角，且sin (α－π)＝，求f(α)的值；
(3)若α＝－，求f(α)的值．
[尖子生题库]
10．设函数f(x)＝a sin (πx＋a)－b cos (πx－b)＋c tan (πx＋c)，其中a，b，c∈R且abc≠0，且有f(2 018)＝－1，求f(2 020)的值．课时作业(五) 同角三角函数的基本关系式
一、选择题
1．若sin α＋sin2α＝1，那么cos2α＋cos4α的值等于( )
A．0 B．1
C．2 D．3
2．已知α是第三象限的角，cosα＝－，则sin α＝( )
A． B．－
C． D．－
3．若α∈[0，2π)，且有＋＝sinα－cos α，则角α的取值范围为( )
A． B．
C． D．
4．已知sin α＋cos α＝，且α∈，则cos α－sin α＝( )
A． B．－
C．± D．
二、填空题
5．已知△ABC中，tan A＝－，则cos A＝________.
6．化简 的结果是________．
7．已知sinαcos α＝－，<α<，则sin α－cos α的值等于__________．
三、解答题
8．已知tan α＝，求下列各式的值：
(1)＋；
(2)；
(3)sin2α－2sinαcos α＋4cos2α.
9．已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则tan α的值是________．
[尖子生题库]
10．(1)若π<α<，化简：＋；
(2)求证：＝cos2θ－sin2θ.课时作业(十三) 向量数量积的概念 向量数量积的运算律
一、选择题
1．(多选)关于菱形ABCD的说法中，正确的是( )
A．∥
B．(＋)⊥(＋)
C．(－)·(－)＝0
D．·＝·
2．在△ABC中，BC＝5，AC＝8，∠C＝60°，则·＝( )
A．20 B．－20
C．20 D．－20
3．设a，b为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
4．已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A． B．
C． D．
二、填空题
5．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝1，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ等于________．
6．已知|a|＝4，e为单位向量，a在e方向上的投影为－2，则a与e的夹角为________．
7．已知i与j为互相垂直的单位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj，且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________.
三、解答题
8．已知|a|＝4，|b|＝2.
(1)若a与b的夹角为120°，求|3a－4b|；
(2)若|a＋b|＝2，求a与b的夹角θ.
9.在△ABC中，已知||＝5，||＝4，||＝3，求：
(1)·；
(2)在方向上的投影的数量．
[尖子生题库]
10．已知△ABC的面积S满足≤S≤3，且·＝6，与的夹角为θ.求θ的取值范围．