课时作业(二十四) 抛物线的几何性质
一、选择题
1．顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是( )
A．x2＝±3y B．y2＝±6x
C．x2＝±12y D．x2＝±6y
2．若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线－y2＝1的右焦点重合，则p的值( )
A．1 B．－1
C．4 D．6
3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)，如果x1＋x2＝6，则|AB|的值为( )
A．10 B．8
C．6 D．4
4．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点M在抛物线C上，点N在准线l上，且MN⊥l.若|MF|＝8，∠MFN＝60°，则p的值为( )
A．8 B．4
C．2 D．1
二、填空题
5．抛物线y2＝4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为4，则焦点到AB的距离为________．
6．直线3x－4y＝0与抛物线W：y2＝2px(p>0)交于A，B两点，F为抛物线W的焦点，若|AB|＝5，则△ABF的面积为________．
7．已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线＝1相交于A、B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________．
三、解答题
8．已知定点A(－3，0)，B(3，0)，动点P在抛物线y2＝2x上移动，求·的最小值．
9.已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．
(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．
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10．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；
(2)为定值；
(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.课时作业(八) 空间中的距离
一、选择题
1．已知直线l过定点A(2，3，1)，且n＝(0，1，1)为其一个方向向量，则点P(4，3，2)到直线l的距离为( )
A． B．
C． D．
2．如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体OABC D′A′B′C′，A′C的中点E与AB的中点F的距离为( )
A．a B．a
C．a D．a
3．已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为( )
A．a B．a
C．a D．a
4．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在平面α内，则平面α外的点P(－2，1，4)到平面α的距离为( )
A．10 B．3
C． D．
二、填空题
5．已知平行六面体ABCD A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱的棱长都等于2，且两两夹角都是60°，则A，C1两点间的距离是________．
6．如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则点B1到平面ABC1的距离为________．
7．如图所示，在底面是直角梯形的四棱锥P ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为________．
三、解答题
8.
已知长方体ABCD A1B1C1D1中，棱A1A＝5，AB＝12，求直线B1C1和平面A1BCD1的距离．
9.四棱锥P ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，F，E分别为AD，PC的中点．
(1)求证：DE∥平面PFB；
(2)求点E到平面PFB的距离．
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10.
如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，∠PAD＝90°，且PA＝AD＝2，E，F分别是线段PA，PD的中点．问：线段CD上是否存在一点Q，使得点A到平面EFQ的距离为？若存在，求出CQ的值；若不存在，请说明理由．课时作业(二十一) 双曲线的标准方程
一、选择题
1．已知F1(－5，0)，F2(5，0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a为3或5时，点P的轨迹分别是( )
A．双曲线和一条直线
B．双曲线和一条射线
C．双曲线的一支和一条直线
D．双曲线的一支和一条射线
2．下列各选项中，与＝1共焦点的双曲线是( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
3．已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则△APF的面积为( )
A． B．
C． D．
4．若方程＝3表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是( )
A．(1，2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2) D．(－2，2)
二、填空题
5．已知动圆M与圆C1：(x＋3)2＋y2＝9外切且与圆C2：＋y2＝1内切，则动圆圆心M的轨迹方程是________．
6．已知双曲线＝1的两个焦点分别为F1，F2，若双曲线上的点P到点F1的距离为12，则点P到点F2的距离为________.
7．已知双曲线＝1的一个焦点是(0，2)，椭圆＝1的焦距等于4，则n＝________．
三、解答题
8．已知F为双曲线C：＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5，0)在线段PQ上，求△PQF的周长．
9.已知双曲线＝1的左、右焦点分别为F1，F2.
(1)若点M在双曲线上，且＝0，求点M到x轴的距离；
(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点(3，2)，求双曲线C的方程．
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10．已知方程kx2＋y2＝4，其中k∈R，试就k的不同取值讨论方程所表示的曲线类型．课时作业(十) 直线的倾斜角与斜率
一、选择题
1．已知经过两点(5，m)和(m，8)的直线的斜率等于1，则m的值是( )
A．5 B．8
C． D．7
2．若过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y等于( )
A．－ B．
C．－1 D．1
3．直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角范围是( )
A．0°≤α＜90° B．90°≤α＜180°
C．90°＜α＜180° D．0°＜α＜180°
4．若直线过点(1，2)，(4，2＋)，则不是此直线的方向向量的是 ( )
A．(－3，) B．(－3，－)
C．(3，) D．(6，2)
二、填空题
5．如图所示，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3之间的大小关系为________．
6．在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB所在直线的斜率之和为________．
7．已知三点A(－3，－1)，B(0，2)，C(m，4)在同一直线上，则实数m的值为________．
三、解答题
8．已知A(3，3)，B(－4，2)，C(0，－2)．
(1)求直线AB和AC的斜率；
(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动，求直线AD的斜率的变化范围．
9.若经过点P(1－a，1＋a)和Q(3，2a)的直线的倾斜角为钝角，求实数a的取值范围．
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10．已知A(2，4)，B(3，3)，点P(a，b)是线段AB(包括端点)上的动点，求的取值范围.课时作业(七) 二面角
一、选择题
1．如图，二面角α l β等于120°，A，B是棱l上两点，BD，AC分别在半平面α，β内，AC⊥l，BD⊥l，且2AB＝AC＝BD＝2，则CD的长等于( )
A．2 B．
C．4 D．5
2．已知△ABC和△BCD均为边长为a的等边三角形，且AD＝a，则二面角A BC D的大小为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
3.
如图所示，在正四棱锥P－ABCD中，若△PAC的面积与正四棱锥的侧面面积之和的比为∶8，则侧面与底面所成的二面角为( )
A． B．
C． D．
4．已知二面角α l β中，平面α的一个法向量为n1＝(，－，－)，平面β的一个法向量为n2＝(0，)，则二面角α l β的大小为( )
A．120° B．150°
C．30°或150° D．60°或120°
二、填空题
5. 已知正△ABC与正△BCD所在平面垂直，则二面角A BD C的正弦值为________．
6.如图，在底面边长均为2，高为1的长方体ABCD A1B1C1D1中，E、F分别为BC、C1D1的中点，则异面直线A1E、CF所成角的大小为________；平面A1EF与平面A1B1C1D1所成锐二面角的余弦值为________．
7．如图，在Rt△ABC中，D，E分别为AB，AC边上的中点，且AB＝4，BC＝2.现将△ABC沿DE折起，使得A到达A1的位置，且二面角A1 DE B为60°，则A1C＝________．
三、解答题
8.
如图，四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD.底面ABCD为边长是1的正方形，PA＝1，求平面PCD与平面PAB夹角的大小．
9.如图，长方体ABCD A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，AB＝2，点E是C1D1的中点．
(1)求证：DE⊥平面BCE；
(2)求二面角A EB C的大小．
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10.
如图所示，四棱锥P ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点．
(1)证明：直线CE∥平面PAB；
(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M AB D的余弦值．课时作业(五) 空间中的平面与空间向量
一、选择题
1．设平面α的法向量为(1，－2，2)，平面β的法向量为(2，λ，4)，若α∥β，则λ等于( )
A．2 B．4
C．－2 D．－4
2．若平面α，β的法向量分别为a＝(－1，2，4)，b＝(x，－1，－2)，并且α⊥β，则x的值为( )
A．10 B．－10
C． D．－
3．已知＝(2，2，1)，＝(4，5，3)，则平面ABC的一个单位法向量可表示为( )
A．(－1，2，－2) B．(，－1，1)
C．(，－) D．(，－)
4．已知＝(－3，1，2)，平面α的一个法向量为n＝(2，－2，4)，点A不在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系为 ( )
A．AB⊥α
B．AB α
C．AB与α相交但不垂直
D．AB∥α
二、填空题
5．如图所示，在三棱锥P ABC中，PA⊥BC，PB⊥AC，点G是P在平面ABC内的射影，则G是△ABC的________.
6．已知l∥α，且l的方向向量为(2，－8，1)，平面α的法向量为(1，y，2)，则y＝________．
7．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)．
对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.
其中正确的是________(填序号)．
三、解答题
8．已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：
(1)FC1∥平面ADE；
(2)平面ADE∥平面B1C1F.
9.在正方体ABCD A1B1C1D1中，E是BC的中点，在CC1上求一点P，使平面A1B1P⊥平面C1DE.
[尖子生题库]
10.
如图所示，在三棱锥P ABC中，AB＝AC，点D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.
(1)证明：AP⊥BC；
(2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3，试证明平面AMC⊥平面BMC．课时作业(一) 空间向量及其运算
一、选择题
1．给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b；③在正方体ABCD A1B1C1D1中，必有＝；④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p.其中正确的个数为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
2．如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为向量的共有( )
①；
②；
③；
④．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
3．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
4．已知a，b是异面直线，且a⊥b，e1，e2分别为取自直线a，b上的单位向量，且a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为( )
A．－6 B．6
C．3 D．－3
二、填空题
5．化简＝________．
6．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角为，则|a＋b|＝________．
7.
如图所示，四面体ABCD的每条棱长都等于2，点E，F分别为棱AB，AD的中点，则||＝________，||＝________．
三、解答题
8.
如图所示，点D是空间四边形OABC的边BC的中点，＝a，＝b，＝c，求.
9.如图所示，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，＝a，＝＝c，M是D1D的中点，点N是AC1上的点，且＝，用a，b，c表示向量.
[尖子生题库]
10. 已知在空间四边形OABC中，OA⊥BC，OB⊥AC，求证：OC⊥AB.课时作业(二十) 椭圆的几何性质
一、选择题
1．椭圆＝1的离心率为( )
A． B．
C． D．
2．已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，若∠ABF＝90°，则椭圆C的离心率为( )
A． B．
C． D．
3.椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为( )
A．2 B．
C．4 D．
4．曲线＝1与曲线＝1(k<9)的( )
A．长轴长相等 B．短轴长相等
C．焦距相等 D．离心率相等
二、填空题
5．已知椭圆＝1(m>0)的左焦点为F1(－4，0)，则m等于________．
6．若椭圆C的所有点中，到焦点的距离最小值为2，最大值为14，求椭圆的标准方程________________．
7．阿基米德(公元前287年～公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的半长轴长与半短轴长的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为，面积为20π，则椭圆C的标准方程为__________．
三、解答题
8．若点O和点F分别为椭圆＋y2＝1的中心和右焦点，点P为椭圆上的任意一点，求·的最小值．
9.已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e＝，又知椭圆上一点M，它的横坐标等于焦点的横坐标，纵坐标是4，求此椭圆的标准方程．
[尖子生题库]
10．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.
(1)求椭圆离心率的范围；
(2)已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足＝0的点M总在椭圆内部，求椭圆离心率的范围．课时作业(十八) 曲线与方程
一、选择题
1．在点A(4，4)，B(3，4)，C(－3，3)，D(2，2)中，有几个点在方程x2－2x＋y2＝24的曲线上( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2. “点M在曲线x2＝4y上”是“点M的坐标满足方程x＝2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．方程y＝－表示的曲线是( )
A．一条射线 B．一个圆
C．两条射线 D．一个半圆
4．方程(a－1)x－y＋2a＋1＝0(a∈R)所表示的直线( )
A．恒过定点(－2，3)
B．恒过定点(2，3)
C．恒过点(－2，3)和点(2，3)
D．都是平行直线
二、填空题
5．已知动点M到点A(9，0)的距离是M到点B(1，0)的距离的3倍，则动点M的轨迹方程是________．
6．已知动点P(x，y)与两定点M(－1，0)，N(1，0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)．则动点P的轨迹C的方程为________．
7．观察下列表格中的三组方程与曲线，说出它们之间的关系：
序号 (1) (2) (3)
方程 y＝x x＝ x2＋y2＝1
曲线
(1)________________________________________________________________________；
(2)________________________________________________________________________；
(3)________________________________________________________________________．
三、解答题
8．已知曲线C的方程为x＝，说明曲线C是什么样的曲线，并求该曲线与y轴围成的图形的面积．
9.已知圆C：x2＋(y－3)2＝9，过原点作圆C的弦OP，求OP中点Q的轨迹方程．
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10．在平面直角坐标系xOy中，动点P到两个定点F1(－1，0)和F2(1，0)的距离之积等于8，记点P的轨迹为曲线E，则不正确的说法是( )
A．曲线E经过坐标原点
B．曲线E关于x轴对称
C．曲线E关于y轴对称
D．若点(x，y)在曲线E上，则－3≤x≤3课时作业(十四) 圆的标准方程
一、选择题
1．圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是( )
A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9
B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3
D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9
2．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2过原点，则( )
A．a2＋b2＝0 B．a2＋b2＝r2
C．a2＋b2＋r2＝0 D．a＝0，b＝0
3．点(2a，a－1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则a的取值范围是( )
A．－1＜a＜1 B．0＜a＜1
C．－1＜a＜ D．－＜a＜1
4．圆心为C(－1，2)，且一条直径的两个端点落在两坐标轴上的圆的方程是 ( )
A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5
B．(x－1)2＋(y＋2)2＝20
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝5
D．(x＋1)2＋(y－2)2＝20
二、填空题
5．已知A(－1，4)，B(5，－4)，则以AB为直径的圆的标准方程是________．
6．已知圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，则点M(2，3)到圆上的点的距离的最大值为________．
7．圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是________．
三、解答题
8．求过点A(1，2)和B(1，10)且与直线x－2y－1＝0相切的圆的方程．
9.△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1，0)，B(3，0)，C(3，4)，求△ABC的外接圆方程．
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10．(1)已知两点A(－1，0)，B(0，2)，点P是圆(x－1)2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最大值是________；
(2)已知圆(x－2)2＋y2＝8上的点P(x，y)，则x2＋y2的最大值为________．课时作业(一) 空间向量及其运算
1．解析：当两个空间向量起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但两个向量相等，不一定起点相同，终点也相同，故①错；根据向量相等的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a与b的方向不一定相同，故②错；根据正方体的性质，在正方体ABCD A1B1C1D1中，向量与向量的方向相同，模也相等，所以＝，故③正确；命题④显然正确．
答案：C
2．解析：根据空间向量的加法法则以及正方体的性质逐一进行判断：
①(＋)＋＝＋＝．
②(＋)＋＝＋＝．
③(＋)＋B1C1＝＋＝．
④(＋)＋＝＋＝．
所以，所给4个式子的运算结果都是．
答案：D
3．解析：∵(2a＋b)·b＝0，∴2a·b＋b2＝0，
即2|a||b|cos〈a，b〉＋|b|2＝0，而|a|＝|b|，
∴2cos〈a，b〉＋1＝0，∴cos〈a，b〉＝－.
又〈a，b〉∈[0°，180°]，
∴〈a，b〉＝120°，选C.
答案：C
4．解析：由a⊥b，得a·b＝0，∴(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，
∵e1·e2＝0，∴2k－12＝0，∴k＝6.
答案：B
5．解析：－＋－－＝＋＋＋＋＝＋＋＋＝.
答案：
6．解析：|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2
＝1＋2×1×2×cos ＋22＝7，
∴|a＋b|＝.
答案：
7．解析：|＋|＝||＝2；
＝，
·＝2×2×cos 60°＝2，
故|－|2＝
＝2－·＋2＝4－2＋×4＝3，
故|－|＝.
答案：2
8．解析：＝＋＝－＋(＋)＝－a＋(b＋c).
9．解析：因为M是D1D的中点，＝，
所以＝＋＋＝－－＋
＝－－＋(＋＋)
＝－－＝a－b－c.
10．解析：由已知⊥，⊥，
所以·＝0，·＝0，
·(－)＝0，
·(－)＝0，
所以·＝·，
·＝·，
所以·－·＝0，
(－)·＝0，
·＝0，
所以OC⊥AB.
课时作业(二) 空间向量基本定理
1．解析：①中当b＝0时，a与c不一定共线，故①错误；②中a，b，c共面时，它们所在的直线平行于同一平面不一定在同一平面内，故②错误；③正确；④不对，a，b不共线．当c＝λa＋μb时，a，b，c共面．
答案：B
2．解析：∵a＝p＋q，∴a与p，q共面，
∵b＝p－q，∴b与p，q共面，
∵不存在λ，μ，使c＝λp＋μq，
∴c与p，q不共面，故{c，p，q}可作为空间的一个基底，故选C.
答案：C
3．解析：＝＝)－
＝(b＋c)－a＝－a＋b＋c.
答案：B
4．解析：方法一：
∵＝，
∴3＝，
∴＝()＋()，
∴＝，
∴＝－，∴P，A，B，C四点共面．
方法二：＝x＋y＋z，
P、A、B、C共面 x＋y＋z＝1.
答案：B
5．解析：①为真命题，A，B，C，D在一条直线上，向量的方向相同或相反，因此与是共线向量；②为假命题，A，B，C，D不在一条直线上，则的方向不确定，不能判断与是否为共线向量；③为假命题，因为两个向量所在的直线可能没有公共点，所以A，B，C，D四点不一定在一条直线上；④为真命题，因为两个向量所在的直线有公共点A，且与是共线向量，所以A，B，C三点共线．故填①④.
答案：①④
6．解析：因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc，
于是有解得.
答案：1 －1
7．解析：＝＝，所以有序实数组(x，y，z)＝(，0，－1)．
答案：(，0，－1)
8．解析：假设共面，
由向量共面的充要条件知，存在实数x，y，使得＝x＋y成立，
即e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)
＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3.
因为{e1，e2，e3}是空间的一个基底，
所以e1，e2，e3不共面，
所以此方程组无解．
即不存在实数x，y，使得＝x＋y成立，
所以不共面．
故{}能作为空间的一个基底．
9．解析：连接AC，AD′，AC′(图略)．
(1)＝)
＝)
＝(a＋b＋c)．
(2)＝)
＝＋2)
＝a＋b＋c.
(3)＝)
＝[()＋()]
＝＋2＋2)
＝a＋b＋c.
(4)＝
＝)
＝
＝
＝a＋b＋c.
10．解析：设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，且a，b，c三个向量两两夹角均为60°，
∴a·b＝b·c＝a·c＝.
∵·＝)·()
＝(a＋b)·(c－b)
＝a·c－a·b＋b·c－b2)
＝－1)＝－.
∴cos〈〉＝＝＝－.
所以，异面直线SM与BN所成角的余弦值为.
课时作业(三) 空间向量的坐标与空间直角坐标系
1．解析：∵p＝a－b＝(1，0，－1)，q＝a＋2b－c＝(0，3，1)，
∴p·q＝1×0＋0×3＋1×(－1)＝－1.
答案：A
2．解析：a⊥b (1，5，－2)·(m，2，m＋2)＝0 m＋10－2m－4＝0 m＝6.
答案：C
3．解析：由cos〈a，b〉＝＝＝，
解得λ＝－2或λ＝.
答案：C
4．解析：因为c＝(－4，－6，2)＝2a，所以a∥c.又a·b＝0，故a⊥b.
答案：C
5．解析：∵z与a共线，设z＝(2λ，－λ，2λ)．
又a·z＝4λ＋λ＋4λ＝－18，
∴λ＝－2.∴z＝(－4，2，－4)．
答案：(－4，2，－4)
6．解析：(1)由题意得向量a，b的每一个坐标分量均不为零，
所以a∥b ＝＝ x＝4，y＝2.
(2)依题意得
解得或
答案：(1)2 (2)或－
7．解析：设点P(x，y，z)，则由＝2，
得(x＋1，y－3，z－1)＝2(－1－x，3－y，4－z)，
则
解得即P(－1，3，3)，
则||＝＝＝2.
答案：2
8．解析：由已知得＝(－1，－1，－1)，＝(2，0，1)，＝(－x，1，－z)，由题意得即，解得，∴P(－1，0，2)．
9．解析：
建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0，0，0)，E(0，0，)，C(0，1，0)，F(，0)，G(1，1，)，
∴＝(，－)，＝(，－，0)，＝(1，0，)，＝(0，－1，)．
(1)证明：∵·＝×(－)＋(－)×0＝0，∴⊥，即EF⊥CF.
(2)∵·＝×1＋×0＋(－)×＝，
||＝ ＝
||＝ ＝，
∴cos〈〉＝＝＝.
(3)||＝ ＝.
10.
解析：以C为原点，以CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图)．
则B(0，1，0)，M(1，0，1)，N.
(1)∵＝(1，－1，1)，
＝
∴||＝＝，
||＝ ＝.
故BM的长为，BN的长为.
(2)∵cos ∠MBN＝cos 〈〉＝＝＝，
∴sin ∠MBN＝＝，
故S△BMN＝||·||·sin ∠MBN＝＝.
即△BMN的面积为.
课时作业(四) 空间中的点、直线与空间向量
1．解析：因为v2＝－2v1，所以v1∥v2.
答案：A
2．解析：∵＝(1，2，3)，∴(，1)＝(1，2，3)＝，
∴(，1)是直线l的一个方向向量．
故选A.
答案：A
3．解析：
以D为坐标原点的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则F(1，0，0)，D1(0，0，2)，O(1，1，0)，E(0，2，1)，则＝＝(－1，0，2)，
∴||＝＝＝3，
〉＝＝＝.
答案：A
4．解析：不妨令CB＝1，则CA＝CC1＝2，可得O(0，0，0)，B(0，0，1)，C1(0，2，0)，A(2，0，0)，B1(0，2，1)，
＝＝(－2，2，1)，
〉＝＝＝＝>0，
与的夹角即为直线BC1与直线AB1的夹角，其余弦值为.
答案：A
5．解析：∵v1·v2＝(1，0，－1)·(－2，0，－2)＝0，
∴v1⊥v2，∴l1⊥l2.
答案：垂直
6．解析：设C(x，y，z)，则(x－3，y－3，z＋5)＝(－1，－6，6)，解得x＝，y＝－1，z＝－1，所以点C的坐标为(，－1，－1)．
答案：(，－1，－1)
7．解析：由题意，得＝(－1，－2－y，z－3)，则＝＝，解得y＝－，z＝，所以y＋z＝0.
答案：0
8．证明：
如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
可求得M(0，1，)，N(，1，1)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，
于是＝＝(1，0，1)．
得＝∥，
又DA1与MN不重合，
∴DA1∥MN.
9．证明：AB，AD，AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设PA＝AB＝BC＝1，则P(0，0，1)．
(1)因为∠ABC＝60°，AB＝BC，
所以△ABC为正三角形，
所以C(，0)，E()．
设D(0，y，0)，由AC⊥CD，
得·＝0，
即y＝，则D(0，，0)，
所以＝(－，0)．
又＝()，所以·＝－＝0，所以⊥，即AE⊥CD.
(2)因为P(0，0，1)，所以＝(0，，－1)．
又因为·＝×(－1)＝0，所以⊥，即PD⊥AE.
因为＝(1，0，0)，所以·＝0.所以PD⊥AB，又因为AB＝A，所以PD⊥平面ABE.
10.
解析：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，在正方体ABCD A1B1C1D1中， 点E为线段AB的中点，设正方体棱长为2，
则D(0，0，0)，E(2，1，0)，B1(2，2，2)，C(0，2，0)，＝(－2，0，－2)，
设F(m，0，0)(0≤m≤2)，＝(m－2，－1，0)，设异面直线B1C与EF的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝，异面直线B1C与EF所成角最小时，则cos θ最大，即m＝0时，cos θ＝＝＝.故选C.
答案：C
课时作业(五) 空间中的平面与空间向量
1．解析：∵α∥β，∴(1，－2，2)＝m(2，λ，4)，∴λ＝－4.
答案：D
2．解析：因为α⊥β，所以它们的法向量也互相垂直，所以a·b＝(－1，2，4)·(x，－1，－2)＝0，即－x－2－8＝0，解得x＝－10.
答案：B
3．解析：设平面ABC的法向量为a＝(x，y，z)，
则有∴，
令z＝1，得y＝－1，x＝，∴a＝(，－1，1)
故平面ABC的一个单位法向量为＝(，－)．
答案：C
4．解析：因为n·＝2×(－3)＋(－2)×1＋4×2＝0，所以n⊥.又点A不在平面α内，n为平面α的一个法向量，所以AB∥α，故选D.
答案：D
5．解析：连接AG，BG(图略)，则AG，BG分别为AP，BP在平面ABC内的射影．因为PA⊥BC，所以由三垂线定理的逆定理知AG⊥BC，同理，BG⊥AC，所以G是△ABC的垂心．
答案：垂心
6．解析：∵l∥α，∴(2，－8，1)·(1，y，2)＝0，而2×1－8y＋2＝0，
∴y＝.
答案：
7．解析：·＝(－1，2，－1)·(2，－1，－4)
＝－1×2＋2×(－1)＋(－1)×(－4)＝0，
∴AP⊥AB，即①正确．
·＝(－1，2，－1)·(4，2，0)
＝－1×4＋2×2＋(－1)×0＝0.
∴AP⊥AD，即②正确．
又∵AB＝A，∴AP⊥平面ABCD，
即是平面ABCD的一个法向量，③正确．④不正确．
答案：①②③
8．解析：如图所示建立空间直角坐标系，
则有D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(0，0，1)，
B1(2，2，2)，所以＝(0，2，1)，
＝(2，0，0)，＝(0，2，1)．
(1)设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，
则n1⊥，n1⊥，
即 ，
令z1＝2 y1＝－1，所以n1＝(0，－1，2)，
因为＝－2＋2＝0，所以，
又因为FC1 平面ADE，即FC1∥平面ADE.
(2)因为＝(2，0，0)，设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量．
由，得
.
令z2＝2 y2＝－1，所以n2＝(0，－1，2)，
所以n1＝n2，
所以平面ADE∥平面B1C1F.
9．解析：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
设正方体棱长为2，且P(0，2，a)，则D(0，0，0)，E(1，2，0)，C1(0，2，2)，A1(2，0，2)，B1(2，2，2)，则＝＝(0，2，2)，
设n1＝(x1，y1，z1)且n1⊥平面DEC1，
则，取n1＝(2，－1，1)．
又＝＝(0，2，0)，
设n2＝(x2，y2，z2)且n2⊥平面A1B1P，
则，取n2＝(a－2，0，2)．
由平面A1B1P⊥平面C1DE，得n1·n2＝0，
即2(a－2)＋2＝0，解得a＝1.故P为CC1的中点．
10．证明：
建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0，0，0)，A(0，－3，0)，B(4，2，0)，C(－4，2，0)，P(0，0，4)，
(1)＝(0，3，4)，＝(－8，0，0)，
所以·＝(0，3，4)·(－8，0，0)＝0，
所以⊥，即AP⊥BC.
(2)由(1)知|AP|＝5，
又|AM|＝3，且点M在线段AP上，
所以＝＝(0，)．
又因为＝(－4，－5，0)，
所以＝＝(－4，－)，
则·＝(0，3，4)·(－4，－)＝0，
所以⊥，即AP⊥BM.
又根据(1)的结论知AP⊥BC，BM＝B，
所以AP⊥平面BMC，于是AM⊥平面BMC.
又因为AM 平面AMC，
故平面AMC⊥平面BMC.
课时作业(六) 直线与平面的夹角
1．解析：由线面垂直的判定定理，得C1O⊥平面BB1D1D，所以OB为BC1在平面BB1D1D上的射影，所以∠C1BO为BC1与平面BB1D1D所成的角，故选D.
答案：D
2.
解析：取BC中点M，连接AM，OM，易知∠OAM即为AO与平面ABCD所成的角，可求得sin ∠OAM＝.
答案：C
3．解析：
建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1，
则A1(1，0，1)，E(1，，0)，
F(0，，1)，B1(1，1，1)．
A1E＝，A1F＝＝(0，1，0)，设平面A1EF的法向量n＝(x，y，z)，
则即令y＝2，则
∴n＝〉＝＝，
即A1B1与平面A1EF所成角的正弦值为.
答案：B
4．解析：因为θ1是直线A1P与平面ABC所成的角，而θ2是直线A1P与直线BC所成的角，由最小角定理可知θ1≤θ2，又因为直线BC在平面ABC内且不可能与A1P的射影AP共线，所以θ1<θ2.故选C.
答案：C
5．解析：cos〈a，n〉＝＝＝＝，所以l与平面α所成角的正弦值为.
答案：
6．解析：连接BC1交B1C于O点，连接A1O.
设正方体棱长为a.
易证BC1⊥平面A1B1CD，
∴A1O为A1B在平面A1B1CD上的射影．
∴∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角．
在Rt△A1BO中，A1B＝a，BO＝a，
∴sin ∠BA1O＝＝，
∴∠BA1O＝30°.
即A1B与平面A1B1CD所成角为30°.
答案：30°
7．解析：
以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz，
设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，
则A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(－a，0，0)，P(0，－)，
从而＝(2a，0，0)，
＝(－a，－)，＝(a，a，0)．
设平面PAC的一个法向量为n，可求得n＝(0，1，1)，
则cos〈，n〉＝＝＝.
所以〈，n〉＝60°.
所以直线BC与平面PAC所成的角为90°－60°＝30°.
答案：30°
8.
解析：取BC中点O，B1C1中点O1，连接AO，OO1，则AO⊥OC，OO1⊥平面ABC，以O为坐标原点，OC，OA，OO1所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则＝(，－a，a)．
取AB中点M，连接CM，则CM⊥AB.
∵平面ABB1A1⊥平面ABC，∴CM⊥平面ABB1A1，
∴为平面ABB1A1的一个法向量．
∵B(－，0，0)，∴M(－a，0)．
又∵C(，0，0)，∴＝(－a，a，0)．
，〉＝＝＝－.
∴AC1与平面ABB1A1所成角的正弦值为.
9．解析：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.
∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC.
∵PD＝D，∴AC⊥平面PDB.
(2)建立如图所示的空间直角坐标系，
设AB＝1，则A(1，0，0)，C(0，1，0)，
E()，
＝(－)．
由(1)知＝(－1，1，0)为平面PDB的一个法向量．
设AE与平面PDB所成的角为θ，
则sin θ＝|cos〈〉|＝＝＝.
∴AE与平面PDB所成的角为45°.
10．解析：
如图，以D为坐标原点，DA为单位长建立空间直角坐标Dxyz.则＝(1，0，0)，＝(0，0，1)．连接BD，B′D′.
在平面BB′D′D中，延长DP交B′D′于H.
设＝(m，m，1)(m>0)，
由已知〈〉＝60°，
由·＝||||cos〈〉，
可得m＝.解得m＝，
所以＝(，1)．
(1)因为cos〈〉＝＝，
所以〈〉＝45°，
即DP与CC′所成的角为45°.
(2)平面AA′D′D的一个法向量是＝(0，1，0)．
因为cos〈〉＝＝，
所以〈〉＝60°.
可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°.
课时作业(七) 二面角
1．解析：过点D作OD∥l，OA∥BD，OD＝O，
因为AC⊥l，BD⊥l，OD＝AB＝1，OA＝BD＝2，OC＝
＝
＝，
CD＝＝ ＝.
答案：B
2．解析：
如图取BC的中点为E，连接AE，DE，
由题意得AE⊥BC，DE⊥BC，
且AE＝DE＝a，又AD＝a，
∴∠AED＝60°，即二面角A BC D的大小为60°.
答案：C
3．解析：设正四棱锥的底面边长为a，侧面与底面所成的二面角为θ，高为h，斜高为h′，则＝，∴＝，∴sin θ＝，即θ＝.
答案：D
4．解析：设所求二面角的大小为θ，则|cos θ|＝＝，所以θ＝30°或150°.
答案：C
5．解析：取BC中点O，连接AO，DO，建立如图所示的空间直角坐标系．
设BC＝1，则A，
B，D，
所以＝＝，＝.由于＝为平面BCD的一个法向量，
设平面ABD的法向量为n＝(x，y，z)，则
所以
取x＝1，则y＝－，z＝1，所以n＝(1，－，1)，
所以cos〈n，〉＝，所以sin 〈n，〉＝.
答案：
6．解析：以D为原点建立如图所示空间直角坐标系：
则A1(2，0，1)，E(1，2，0)，C(0，2，0)，F(0，1，1)，
所以＝(－1，2，－1)，＝(0，－1，1)，
设异面直线A1E，CF所成角的大小为θ，所以cos θ＝＝＝，
因为θ∈，所以θ＝.又A1F＝(－2，1，0)，设平面A1EF的一个法向量为m＝(x，y，z)，
则，即，令x＝1，则m＝(1，2，3)，
平面A1B1C1D1一个法向量为n＝(0，0，1)，设平面A1EF与平面A1B1C1D1所成锐二面角为α，
所以cos α＝＝＝.
答案：
7．解析：∵D，E分别为AB，AC中点，∴DE∥BC，∴DE⊥BD，DE⊥A1D，
又BD，A1D 平面A1BD，BD＝D，∴DE⊥平面A1BD，
∵二面角A1 DE B的平面角为∠A1DB，∴∠A1DB＝60°，
∵A1D＝BD＝2，∴A1B＝2，∵BC∥DE，∴BC⊥平面A1BD，又A1B 平面A1BD，
∴BC⊥A1B，∴A1C＝＝＝2.
答案：2
8．解析：
如图建立空间直角坐标系Axyz，
则A(0，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)．
故平面PAB的法向量＝(0，1，0)，＝(1，0，0)，
＝(0，1，－1)．
设平面PCD的法向量n＝(x，y，z)，
由得
令z＝1，所以n＝(0，1，1)，所以cos〈n，〉＝＝，
所以〈n，〉＝45°.
即平面PAB与平面PCD的夹角为45°.
9．解析：(1)证明：建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0，0，0)，E(0，1，1)，A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(0，2，0)，
＝(0，1，1)，＝(－1，－1，1)，＝(－1，0，0)．
因为·＝0，·＝0，
所以⊥⊥.
则DE⊥BE，DE⊥BC.
因为BE 平面BCE，BC 平面BCE，
BE＝B，
所以DE⊥平面BCE.
(2)＝(0，2，0)，设平面AEB的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
含x＝1，所以平面AEB的法向量为n＝(1，0，1)．
因为DE⊥平面BCE，
所以＝(0，1，1)就是平面BCE的一个法向量．
因为cos〈n，〉＝＝，
由图形可知二面角A EB C为钝角，所以二面角A EB C的大小为120°.
10．解析：(1)证明：取PA的中点F，连接EF，BF.
因为E是PD的中点，
所以EF∥AD，EF＝AD.
由∠BAD＝∠ABC＝90°得BC∥AD.
又BC＝AD，所以EF綊BC，
所以四边形BCEF是平行四边形，所以CE∥BF.
又BF 平面PAB，CE 平面PAB，故CE∥平面PAB.
(2)由已知，得BA⊥AD，以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，P(0，1，)，＝(1，0，－)，＝(1，0，0)．
设M(x，y，z)(0＝(x－1，y，z)，＝(x，y－1，z－)．
因为BM与底面ABCD所成的角为45°，
而n＝(0，0，1)是底面ABCD的法向量，
所以|cos〈，n〉|＝sin 45°，
即＝，
即(x－1)2＋y2－z2＝0. ①
又M在棱PC上，设＝λ，则
x＝λ，y＝1，z＝λ. ②
由①②解得(舍去)，或
所以M(1－，1，)，从而＝(1－，1，)．
设m＝(x0，y0，z0)是平面ABM的法向量，则
即
所以可取m＝(0，－，2)．
于是cos〈m，n〉＝＝.
因此二面角M AB D的余弦值为.
课时作业(八) 空间中的距离
1．解析：＝(－2，0，－1)，||＝＝，则点P到直线l的距离d＝ ＝ ＝.
答案：A
2．解析：由图易知A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A′(a，0，a)，则F，E.
∴|EF|＝
＝ ＝a.
答案：B
3.解析：
由正方体的性质，易得平面AB1D1∥平面BDC1，则两平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离．以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则＝(a，－a，a)，＝(0，－a，0)，连接A1C，由A1C⊥平面AB1D1，得平面AB1D1的一个法向量为n＝(1，－1，1)，则两平面间的距离d＝＝＝a.
答案：D
4．解析：由题意可知＝(1，2，－4)．设点P到平面α的距离为h，则h＝＝＝.
答案：D
5．解析：设＝a，＝＝c，易得＝a＋b＋c，则＝＝(a＋b＋c)·(a＋b＋c)＝a2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＋b2＋c2＝4＋4＋4＋4＋4＋4＝24，所以|＝2.
答案：2
6．解析：
建立如图所示的空间直角坐标系，则A(，0)，B(0，1，0)，B1(0，1，1)，C1(0，0，1)，则＝＝(0，1，0)，＝(0，1，－1)．
设平面ABC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则有
解得n＝(，1，1)，则所求距离为＝＝.
答案：
7．解析：
由已知，得AB，AD，AP两两垂直．∴以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，P(0，0，2)，＝(2，0，－2)，＝(0，2，0)，设平面PBC的法向量为n＝(a，b，c)，则，
即，∴可取n＝(1，0，1)．又＝(2，0，0)，AD∥平面PBC，∴所求距离为＝.
答案：
8．解析：∵B1C1∥BC，且B1C1 平面A1BCD1，BC 平面A1BCD1，∴B1C1∥平面A1BCD1.
从而点B1到平面A1BCD1的距离即为所求．
过点B1作B1E⊥A1B于E点．
∵BC⊥平面A1ABB1，且B1E 平面A1ABB1，
∴BC⊥B1E.又BC＝B.
∴B1E⊥平面A1BCD1，
∴线段B1E的长即为所求．
在Rt△A1B1B中，
B1E＝＝＝.
因此直线B1C1和平面A1BCD1的距离是.
9．解析：
(1)证明：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则P(0，0，2)，F(1，0，0)，B(2，2，0)，E(0，1，1)．
＝(－1，0，2)，＝(1，2，0)，＝(0，1，1)，
所以＝，
又因为DE 平面PFB，
所以DE∥平面PFB.
(2)因为DE∥平面PFB，
所以点E到平面PFB的距离等于点D到平面PFB的距离．
设平面PFB的一个法向量n＝(x，y，z)，
则
令x＝2，得y＝－1，z＝1，
所以n＝(2，－1，1)．
又因为＝(－1，0，0)，
所以点D到平面PFB的距离d＝＝＝.
所以点E到平面PFB的距离为.
10.
解析：由题意知PA，AD，AB两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
则A(0，0，0)，D(0，2，0)，E(0，0，1)，F(0，1，1)．
假设在线段CD上存在一点Q满足题设条件．
令CQ＝m(0≤m≤2)，则DQ＝2－m.
∴点Q的坐标为(2－m，2，0)，∴＝(2－m，2，－1)．
而＝(0，1，0)，设平面EFQ的法向量为n＝(x，y，z)，
则，∴，
令x＝1，则n＝(1，0，2－m)是平面EFQ的一个法向量．
又＝(0，0，1)，∴点A到平面EFQ的距离d＝＝＝，即(2－m)2＝，
∴m＝或＞2，不合题意，舍去．
故存在点Q，且CQ＝时，点A到平面EFQ的距离为.
课时作业(九) 坐标法
1．解析：MP＝(－5)－3＝－8，PN＝(－1)－(－5)＝4，MP－PN＝－8－4＝－12.
答案：C
2．解析：易知x＝－3，y＝－2.∴x＋y＝－5.
答案：D
3．解析：由题意知|AB|＝＝3，
|AC|＝＝3，
|BC|＝＝3.
∴|AB|＋|AC|＋|BC|＝6＋3.
答案：C
4．解析：＝＝＝，可看作点(x，0)与点(－1，－2)的距离， 可看作点(x，0)与点(－1，2)的距离， 可看作点(x，－1)与点(－1，1)的距离，故选项A不正确．
答案：A
5．解析：设C(a，b)，则AC的中点为()，BC的中点为()，若AC的中点在x轴上，BC的中点在y轴上，则若AC的中点在y轴上，BC的中点在x轴上，则
答案：(2，－7)或(－3，－5)
6．解析：设BC边的中点M的坐标为(x，y)，则即M的坐标为(6，0)，所以|AM|＝＝.
答案：
7．解析：A关于原点的对称点A′(－1，2)，2＝，解得m＝0或4.
答案：0或4
8．解析：假设在x轴上能找到点P(x，0)，使∠APB为直角，
由勾股定理可得|AP|2＋|BP|2＝|AB|2，
即(x－1)2＋4＋(x－4)2＋4＝25，
化简得x2－5x＝0，
解得x＝0或5.
所以在x轴上存在点P(0，0)或P(5，0)，使∠APB为直角．
9．证明：如图所示，D，E分别为边AC和BC的中点，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
设A(0，0)，B(c，0)，C(m，n)，
则|AB|＝c，又由中点坐标公式，
可得D()，E()，
所以|DE|＝＝，
所以|DE|＝|AB|，
即三角形的中位线长度等于底边长度的一半．
10．解析：原函数化为y＝，设A(0，2)，B(1，－1)，P(x，0)，借助于几何图形(略)可知它表示x轴上的点P到两个定点A、B的距离的和，当A、P、B三点共线时，函数取得最小值．∴ymin＝|AB|＝.
课时作业(十) 直线的倾斜角与斜率
1．解析：由斜率公式可得＝1，解得m＝.
答案：C
2．解析：kAB＝＝tan 45°＝1，即＝1，∴y＝－1.
答案：C
3．解析：直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角范围是90°<α<180°.
答案：C
4．答案：A
5．解析：设l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则由图可知0<α3<α2<90°<α1<180°，所以tan α2>tan α3>0，tan α1<0，故k1答案：k16．解析：如图，易知kAB＝，kAC＝－，则kAB＋kAC＝0.
答案：0
7．解析：∵A、B、C三点在同一直线上，∴kAB＝kBC，∴＝，∴m＝2.
答案：2
8．解析： (1)由斜率公式，可得直线AB的斜率kAB＝＝，直线AC的斜率kAC＝＝，即直线AB的斜率为，直线AC的斜率为.
(2)如图，当点D由点B运动到点C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，由(1)知，kAB＝，kAC＝.
故直线AD的斜率的变化范围是.
9．解析：∵k＝且直线的倾斜角为钝角，
∴＜0，解得－2＜a＜1.
10.
解析：设k＝，则k可以看成点P(a，b)与定点Q(1，1)连线的斜率．如图，当P在线段AB上由B点运动到A点时，PQ的斜率由kBQ增大到kAQ，
因为kBQ＝＝1，kAQ＝＝3，
所以1≤k≤3，即的取值范围是[1，3].
课时作业(十一) 直线的方程
1．解析：当直线与y轴重合时，斜率不存在，选项A、D不正确；当直线垂直于x轴或y轴时，直线方程不能用截距式表示，选项C不正确；当x1≠x2，y1≠y2时由直线方程的两点式知选项B正确，当x1＝x2，y1≠y2时直线方程为x－x1＝0，即(x－x1)(y2－y1)＝(y－y1)(x2－x1)，同理x1≠x2，y1＝y2时也可用此方程表示．故选B.
答案：B
2．解析：将Ax＋By＋C＝0化为斜截式为y＝－x－，∵AC＜0，BC＜0，∴AB>0，∴－<0，－>0，故直线不通过第三象限，选C.
答案：C
3．解析：直线l的方程为＝，即y＝2x＋1，令x＝1 002，则b＝2 005.
答案：C
4．解析：斜率k＝－，过定点(－3，4)．
答案：B
5．解析：将直线方程变形为y－2＝a(x－3)，由直线方程的点斜式可知，直线的斜率为a，过定点(3，2)．
答案：(3，2)
6．解析：直线l的方向向量是(1，2)，则斜率为2，由点斜式方程可得即2x－y＋4＝0.
答案：2x－y＋4＝0
7．解析：直线的法向量是(3，－1)，可设方程3x－y＋C＝0由点A(4，6)代入可得其方程为：3x－y－6＝0，令x＝0，得y＝－6，所以光线经过y轴上的点的坐标为(0，－6)．
答案：(0，－6)
8．解析：由2x－3y＋12＝0知，斜率为，在y轴上截距为4.根据题意，直线l的斜率为，在y轴上截距为8，所以直线l的方程为x－3y＋24＝0.
9．解析：(1)因为直线l的斜率存在，所以直线l的方程可化为y＝－x＋2.
由题意得－＝－1，解得k＝5.
(2)直线l的方程可化为＝1.
由题意得k－3＋2＝0，解得k＝1.
10．解析：方法一：设直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b.
①当a≠0，b≠0时，设l的方程为＝1.
∵点(4，－3)在直线上，∴＝1，
若a＝b，则a＝b＝1，直线方程为x＋y＝1.
若a＝－b，则a＝7，b＝－7，此时直线的方程为x－y＝7.
②当a＝b＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)，
∴直线的方程为3x＋4y＝0.
综上知，所求直线方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0.
方法二：设直线l的方程为y＋3＝k(x－4)，
令x＝0，得y＝－4k－3；令y＝0，得x＝.
又∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，
∴|－4k－3|＝，
解得k＝1或k＝－1或k＝－.
∴所求的直线方程为x－y－7＝0或x＋y－1＝0或3x＋4y＝0.
课时作业(十二) 两条直线的位置关系
1．解析：因为kAB＝0，则直线x＝0与直线AB垂直．
答案：B
2．解析：直线l1与直线l2的倾斜角相等，l1与l2可能平行也可能重合，故A错；l1⊥l2，它们中可能有斜率不存在的情况，故k1k2＝－1错误；若直线的斜率不存在，这条直线可能平行于y轴或与y轴重合，故C错；两直线斜率不相等，它们一定不平行，故D正确．
答案：D
3．解析：l1的斜率为0，则倾斜角为0°，又l1⊥l2，则l2的倾斜角为90°.
答案：C
4．解析：AB中点为，kAB＝＝－，所以线段AB的垂直平分线的斜率为2，所以所求的方程为y－＝2(x－2)，即4x－2y＝5.
答案：B
5．解析：显然当a＝1时两直线不平行；当a≠1时，因为两条直线平行，所以－＝，解得a＝3或a＝－2.经检验，a＝－2时两直线重合，故a＝3.
答案：3
6．解析：由两条直线垂直，得k1·k2＝－1，
即－·＝－1，
∴m＝10，直线为10x＋4y－2＝0，
又∵垂足为(1，p)，故p＝－2，
∴垂足为(1，－2)，代入2x－5y＋n＝0，得n＝－12，
故m＋n－p＝10＋(－12)－(－2)＝0.
答案：0
7．解析：设直线AD，BC的斜率分别为kAD，kBC，由AD⊥BC得kAD·kBC＝－1，所以＝－1 m＝.
答案：
8．解析：(1)设所求直线方程为3x＋y＋m＝0(m≠－1)，
将(1，1)代入，3＋1＋m＝0，即m＝－4，
故所求直线方程为3x＋y－4＝0.
(2)设直线l的方程为3x＋2y＋m＝0，
将(－1，2)代入得－3＋4＋m＝0，
∴m＝－1，
∴l的方程为3x＋2y－1＝0.
9．解析：设点D的坐标为(x，y)，由题意知直线CD、AD的斜率都存在．
因为kAB＝＝3，kCD＝且CD⊥AB，
所以kAB·kCD＝－1，即3×＝－1. ①
因为kBC＝＝－2，kAD＝且BC∥AD，
所以kBC＝kAD，即－2＝. ②
由①②可得，x＝0，y＝1，所以点D的坐标为(0，1)．
10．解析：(1)设C(x，y)，由中点坐标公式得
解得
故所求的对称点的坐标为C(－9，6)．
(2)取直线l上任一点(x，y)，则它关于P(2，－1)的对称点(4－x，－2－y)在直线3x－y－4＝0上．
所以3(4－x)－(－2－y)－4＝0.所以3x－y－10＝0.
所以所求直线l的方程为3x－y－10＝0.
(3)设B(a，b)是A(2，2)关于直线2x－4y＋9＝0的对称点，根据直线AB与已知直线垂直，且线段AB的中点在已知直线2x－4y＋9＝0上，则有
解得
所以所求的对称点B的坐标为(1，4)．
(4)由得交点E(3，－2)，E也在直线b上．
在a：2x＋y－4＝0上取点A(2，0)，设A关于l的对称点为B(x0，y0)，
则有解得
∴B.
故由两点式得直线b的方程为2x＋11y＋16＝0.
课时作业(十三) 点到直线的距离
1．解析：直线x＋2＝0，即x＝－2为平行于y轴的直线，所以点(5，－3)到x＝－2的距离d＝|5－(－2)|＝7.
答案：A
2．解析：d＝＝.
答案：A
3．解析：由点到直线的距离公式可得＝，化简得|3a＋3|＝|6a＋4|，解得实数a＝－或－.
答案：C
4．解析：d＝＝1.
答案：C
5．解析：∵＝4，
∴|16－12k|＝52，
∴k＝－3或k＝.
答案：－3或
6．解析：|OP|的最小值，即为点O到直线x＋y－4＝0的距离，d＝＝2.
答案：2
7．解析：d＝|3－(－2)|＝5.
答案：5
8．解析：设与l平行的直线方程为5x－12y＋b＝0，
根据两平行直线间的距离公式得＝3，
解得b＝45或b＝－33.
∴所求直线方程为5x－12y＋45＝0或5x－12y－33＝0.
9．解析：由直线方程的两点式得直线BC的方程为＝，即x－2y＋3＝0.
由两点间距离公式得|BC|＝＝2.
设点A到BC的距离为d，即为BC边上的高，
d＝＝，
所以S＝|BC|·d＝×2＝4，
即△ABC的面积S为4.
10．解析：(1)①当直线的斜率不存在时，方程x＝2符合题意；
②当直线的斜率存在时，设斜率为k，则直线方程应为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.
根据题意，得＝2，解得k＝.
则直线方程为3x－4y－10＝0.
故符合题意的直线方程为x－2＝0或3x－4y－10＝0.
(2)过点P且与原点的距离最大的直线应为过点P且与OP垂直的直线．
则其斜率k＝2，所以其方程为y＋1＝2(x－2)，
即2x－y－5＝0.最大距离为，
(3)不存在．理由：由于原点到过点(2，－1)的直线的最大距离为，而6>，故不存在这样的直线．
课时作业(十四) 圆的标准方程
1．解析：由圆的标准方程得(x－1)2＋(y＋2)2＝9.
答案：D
2．解析：由题意得(0－a)2＋(0－b)2＝r2，即a2＋b2＝r2.
答案：B
3．解析：因为(2a，a－1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以4a2＋(a－2)2＜5，解得－＜a＜1.
答案：D
4．解析：因为直径的两个端点在两坐标轴上，所以该圆一定过原点，所以半径r＝＝，又圆心为C(－1，2)，故圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，故选C.
答案：C
5．解析：由题意知圆心坐标为()，即(2，0)，半径为＝5，故所求圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝25.
答案：(x－2)2＋y2＝25
6．解析：由题意，知点M在圆O内，MO的延长线与圆O的交点到点M(2，3)的距离最大，最大距离为＋5＝5＋.
答案：5＋
7．解析：圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(1，1)，圆心到直线x－y＝2的距离为＝，圆心到直线的距离加上半径就是圆上的点到直线的最大距离，即最大距离为1＋.
答案：1＋
8．解析：圆心在线段AB的垂直平分线y＝6上，设圆心为(a，6)，半径为r，则圆的方程为(x－a)2＋(y－6)2＝r2.
将点(1，10)代入得(1－a)2＋(10－6)2＝r2， ①
而r＝，代入①，得(a－1)2＋16＝，
解得a＝3，r＝2或a＝－7，r＝4.
故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－6)2＝20或(x＋7)2＋(y－6)2＝80.
9．解析：方法一：(待定系数法)
设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则
解得所以外接圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5.
方法二：(几何法)
易知△ABC是直角三角形，∠B＝90°，所以圆心是斜边AC的中点(2，2)，半径是斜边长的一半，即r＝，所以外接圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5.
10．解析：(1)AB＝.当点P到直线AB的距离最大时，△PAB的面积最大，圆的圆心(1，0)到直线AB：＝1，
即2x－y＋2＝0的距离为，
则P到直线AB的距离的最大值为＋1.所以△PAB面积的最大值为×(＋1)＝2＋.
(2)方法一：因为(x－2)2≤8，解得2－2≤x≤2＋2.圆上的点P(x，y)，y2＝8－(x－2)2，
所以x2＋y2＝4x＋4≤12＋8.
方法二：x2＋y2表示圆上点P到原点距离的平方．
因为圆心到原点距离为2，
所以x2＋y2最大值为(2＋2)2＝12＋8.
答案：(1)2＋ (2)12＋8
课时作业(十五) 圆的一般方程
1．解析：圆的方程化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，圆心为(2，－3)，选D.
答案：D
2．解析：方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0，可化为x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝0，故方程表示点(1，－2)．
答案：A
3．解析：方程可化为(x－1)2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2＞0，即k＜－1时才能表示圆．
答案：A
4．解析：把圆x2＋y2－2x－4y＝0化为标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，故此圆圆心为(1，2)，圆心到直线x－y＋a＝0的距离为，则＝，解得a＝2或a＝0.故选C.
答案：C
5．解析：由题意，知D＝－4，E＝8，r＝＝4，
∴F＝4.
答案：4
6．解析：因为E(1，0)在圆x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0的外部，所以
解得＜k＜1.
答案：
7．解析：由题意可得圆C的圆心(－1，－)在直线
x－y＋2＝0上，将(－1，－)代入直线方程得
－1－＋2＝0，解得a＝－2.
答案：－2
8．解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，圆M过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)，
可得解得
即圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0，即为(x－1)2＋(y＋2)2＝25，圆心(1，－2)到原点的距离为.
9．解析：圆心C(－，－)，
因为圆心在直线x＋y－1＝0上，
所以－－1＝0，即D＋E＝－2， ①
又r＝＝，所以D2＋E2＝20， ②
由①②可得或
又圆心在第二象限，所以－<0，即D>0，
所以所以圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
10．解析：(1)线段AB的中点为(2，0)，因为△ABC为直角三角形，C为直角顶点，所以C到点(2，0)的距离为|AB|＝5，所以点C(x，y)满足＝5(y≠0)，即顶点C的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝25(y≠0)．
(2)由题意得
＝5，
整理得x2＋y2－2x－2y－23＝0，
所以点M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－1)2＝25.
轨迹是以(1，1)为圆心，5为半径的圆．
课时作业(十六) 直线与圆的位置关系
1．解析：圆心(1，－1)到直线3x＋4y＋12＝0的距离d＝＝＜r.
答案：D
2．解析：由题意得＝1，所以a＝±，故选B.
答案：B
3．解析：l过定点A(1，1)，∵12＋12－2×1＝0，∴点A在圆上，∵直线x＝1过点A且为圆的切线，又l斜率存在，∴l与圆一定相交，故选C.
答案：C
4．解析：结合圆的几何性质知直线PQ过点A(1，2)，且和直线OA垂直，故其方程为：y－2＝－(x－1)，整理得x＋2y－5＝0.
答案：B
5．解析：点P到原点O的距离为|PO|＝，
∵r＝3，且P在圆外，
∴切线段长为＝1.
答案：1
6．解析：圆心C(2，－3)到直线x－2y－3＝0的距离为d＝＝，又知圆C的半径长为3，∴|EF|＝2＝＝·|EF|·d＝×4×＝2.
答案：2
7．解析：圆的方程可化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，
所以弦心距为d＝＝.
又圆的半径为2，所以到直线x＋y＋1＝0的距离为的点有3个．
答案：3
8．解析：切线的斜率存在，设切线方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.
圆心到直线的距离等于，
即＝，
∴k2－6k－7＝0，解得k＝7或k＝－1，
故所求的切线方程为y＋1＝7(x－2)或y＋1＝－(x－2)，
即7x－y－15＝0或x＋y－1＝0.
9．解析：(1)设圆A的半径为r，
∵圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，
∴r＝＝2，
∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.
(2)当直线l与x轴垂直时，
则直线l的方程x＝－2，
此时有|MN|＝2，即x＝－2符合题意．
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的斜率为k，
则直线l的方程为y＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＝0，
∵Q是MN的中点，∴AQ⊥MN，
∴|AQ|2＋(|MN|)2＝r2，
又∵|MN|＝2，r＝2，
∴|AQ|＝＝1，
解方程|AQ|＝＝1，得k＝，
∴此时直线l的方程为y－0＝(x＋2)，
即3x－4y＋6＝0.
综上所述，直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.
10．解析：(1)如图，作半圆的切线l1和经过端点A，B的直线l3，l2，由图可知，当直线y＝x＋b为直线l1或位于l2和l3之间(包括l3，不包括l2)时，满足题意．
∵l1与半圆相切，∴b＝－；
当直线y＝x＋b位于l2时，b＝－1；
当直线y＝x＋b位于l3时，b＝1.
∴b的取值范围是－1＜b≤1或b＝－.
(2)如图，圆C3是圆C1关于直线x－y＝0的对称圆，
所以圆C3的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝1，圆心为C3(3，1)，且由图知，|MA|＋|MB|＝|MA1|＋|MB|，
∴C2，B，M，A1，C3五点共线时，|MA1|＋|MB|有最小值，
此时，(|MA|＋|MB|)min＝|C2C3|－1－2＝－3＝5，
所以|MA|＋|MB|的最小值为5.
答案：(1)B (2)5
课时作业(十七) 圆与圆的位置关系
1．解析：x2＋y2＋6x－8y－11＝0化成标准方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝36.圆心距为d＝＝5，若两圆有公共点，则|6－|≤5≤6＋，∴1≤m≤121.
答案：C
2．解析：由已知两圆半径的和为6，与圆心距相等，故两圆外切．
答案：B
3．解析：已知圆的圆心为(3，－4)，半径为5，所求圆的半径也为5，由两圆相切于原点，知所求圆的圆心与已知圆的圆心关于原点对称，即为(－3，4)，可知选B.
答案：B
4．解析：∵圆C1的圆心C1(－2，2)，半径为r1＝1，圆C2的圆心C2(2，5)，半径r2＝4，∴|C1C2|＝＝5＝r1＋r2，∴两圆相外切，∴两圆共有3条公切线．
答案：C
5．解析：两圆的公共弦所在直线方程为2x＋y－15＝0，圆心(0，0)到直线的距离为＝3，所以公共弦长为2＝2.
答案：2
6．解析：C1(m，－2)，r1＝3，C2(－1，m)，r2＝2，由题意得|C1C2|＝5，即(m＋1)2＋(m＋2)2＝25，解得m＝2或m＝－5.
答案：2或－5
7．解析：由题意知，线段AB的中点在直线x－y＋c＝0上，
且kAB＝＝－1，即m＝5，
又点(，1)在该直线上，
所以－1＋c＝0，所以c＝－2，所以m＋c＝3.
答案：3
8．解析：设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标是方程组
的解，
①－②得：3x－4y＋6＝0.
∵A，B两点坐标都满足此方程，
∴3x－4y＋6＝0即为两圆公共弦所在的直线方程．
易知圆C1的圆心(－1，3)，半径r1＝3.
又C1到直线AB的距离为
d＝＝.
∴|AB|＝＝2 ＝.
即两圆的公共弦长为.
9．解析：设所求圆的圆心为P(a，b)，则
＝1. ①
(1)若两圆外切，
则有＝1＋2＝3， ②
联立①②，解得a＝5，b＝－1，所以，所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1；
(2)若两圆内切，
则有＝|2－1|＝1， ③
联立①③，解得a＝3，b＝－1，所以，
所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝1.
综上所述，所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1或(x－3)2＋(y＋1)2＝1.
10．解析：方法一：由
得A(－1，3)，B(－6，－2)，
线段AB的垂直平分线方程为x＋y＋3＝0.
由，得圆心坐标为(，－)．
半径 ＝.
所求圆的方程为(x－)2＋(y＋)2＝，
即x2＋y2－x＋7y－32＝0.
方法二：根据题意，要求圆经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点，
设其方程为(x2＋y2＋6x－4)＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0，变形可得(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2＋6x＋6λy－4－28λ＝0,
其圆心为(－),
又由圆心在直线x－y－4＝0上，
则有－4＝0，解得λ＝－7;
则圆的方程为(－6)x2＋(－6)y2＋6x－42y＋192＝0,
即x2＋y2－x＋7y－32＝0，所以A选项是正确的．
答案：A
课时作业(十八) 曲线与方程
1．解析：点A，C，D都在方程的曲线上．
答案：C
2．解析：若点M在曲线x2＝4y上，则x＝±2；当点M的坐标满足方程x＝2时，必有x2＝4y，即点M在曲线x2＝4y上，故“点M在曲线x2＝4y上”是“点M的坐标满足方程x＝2”的必要不充分条件．故选B.
答案：B
3．解析：由方程知y≤0，将方程两边平方得y2＝12－x2，即x2＋y2＝12，(y≤0)，
故该方程表示的曲线是圆上的一部分，即一个半圆．故选D.
答案：D
4．解析：把点(－2，3)和点(2，3)的坐标代入方程(a－1)x－y＋2a＋1＝0.验证知(－2，3)适合方程，而(2，3)不一定适合方程，故选A.
答案：A
5．解析：设M(x，y)，则|MA|＝，|MB|＝.由|MA|＝3|MB|，
得＝3，化简得x2＋y2＝9.
答案：x2＋y2＝9
6．解析：由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零，
所以kPM·kPN＝·＝λ，
整理得x2－＝1(λ≠0，x≠±1)．
即动点P的轨迹C的方程为x2－＝1(λ≠0，x≠±1)．
答案：x2－＝1(λ≠0，x≠±1)
7．答案：(1)曲线是方程所表示的曲线的一部分
(2)方程所表示的曲线是图中曲线的一部分
(3)方程是曲线的方程
8．解析：由x＝，得x2＋y2＝4.
又x≥0，
所以方程x＝表示的曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆．
从而该曲线C与y轴围成的图形是半圆，
其面积S＝π·4＝2π.
所以，所求图形的面积为2π.
9．解析：方法一：(直接法)
如图，因为Q是OP的中点，
所以∠OQC＝90°.
设Q(x，y)，由题意，
得|OQ|2＋|QC|2＝|OC|2，
即x2＋y2＋[x2＋(y－3)2]＝9，
所以点Q的轨迹方程是x2＋(y－)2＝(去掉原点)．
方法二：(定义法)
如图所示，因为Q是OP的中点，所以∠OQC＝90°，则Q在以OC为直径的圆上，故Q点的轨迹方程为x2＋＝(去掉原点)．
方法三：(代入法)
设P(x1，y1)，Q(x，y)，由题意，
得即
又因为＋(y1－3)2＝9，
所以4x2＋4＝9，
即点Q的轨迹方程为x2＋＝(去掉原点)．
10．解析：设P(x，y)，由已知，|PF1||PF2|＝8，即＝8，平方得，(0，0)不满足方程，故选项A错误；用(x，－y)换(x，y)，方程不变，所以曲线E关于x轴对称，故B正确；同理用(－x，y)换(x，y)，方程不变，所以曲线E关于y轴对称，故C正确；令y＝0，得(x＋1)2(x－1)2＝64，即x2－1＝8，所以x＝±3，故－3≤x≤3，D正确．故选A.
答案：A
课时作业(十九) 椭圆的标准方程
1．答案：D
2．解析：由椭圆的定义得|AF1|＋|AF2|＝2a＝10，|BF1|＋|BF2|＝2a＝10，所以△ABF1的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝20，故选B.
答案：B
3．解析：设椭圆方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0)，
由题意得
解得所以椭圆的标准方程为＋x2＝1.
答案：A
4．解析：c＝1，a＝2，所以b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆的方程为＝1.
答案：A
5．解析：由|AF1|＋|AF2|＝2a＝4得a＝2，∴原方程化为＝1，将A代入方程得b2＝3，∴椭圆方程为＝1.
答案：＝1
6．解析：①<2，故点P的轨迹不存在；②因为2a＝|F1F2|＝4，所以点P的轨迹是线段F1F2；③到定点F1(－3，0)，F2(3，0)距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴)；④点M(5，3)到定点F1(－4，0)，F2(4，0)的距离之和为4>8，故点P的轨迹为椭圆．故填②④.
答案：②④
7．解析：∵椭圆焦点在x轴上，
∴设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)．
∵椭圆经过(2，0)和，
∴∴
∴所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
答案：＋y2＝1
8．解析：(1)方法一：因为椭圆的焦点在x轴上，
所以设它的标准方程为＝1(a＞b＞0)．
由椭圆的定义知
2a＝＝2，
所以a＝.
又因为c＝2，所以b2＝a2－c2＝10－4＝6.
因此，所求椭圆的标准方程为＝1.
方法二：设标准方程为＝1(a＞b＞0)．
依题意得解得
所以所求椭圆的标准方程为＝1.
(2)方法一：当椭圆的焦点在x轴上时，设所求椭圆的方程为＝1(a＞b＞0)．
因为椭圆经过两点(2，0)，(0，1)，
所以则
所以所求椭圆的标准方程为＋y2＝1；
当椭圆的焦点在y轴上时，
设所求椭圆的方程为＝1(a＞b＞0)
因为椭圆经过两点(2，0)，(0，1)，
所以则
与a＞b矛盾，故舍去．
综上可知，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
方法二：设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．
因为椭圆过(2，0)和(0，1)两点，
所以所以
综上可知，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
9．解析：∵F1，F2为椭圆焦点，∴|F1F2|＝12.
∵P是椭圆上一点，
∴根据椭圆性质，|PF1|＋|PF2|＝2a＝20，①
∵PF1⊥PF2，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝122，②
联立①②可求得|PF1|·|PF2|＝128.
＝|PF1|·|PF2|＝64.
10．解析：将圆的方程化为标准形式为(x＋2)2＋y2＝62，
∴圆心坐标为B(－2，0)，半径为6，如图：
由于动圆M与已知圆B相内切，设切点为C.
∴已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离，即
|BC|－|MC|＝|BM|，
而|BC|＝6，|CM|＝|AM|，
∴|BM|＋|AM|＝6.
根据椭圆的定义知M的轨迹是以点B(－2，0)和点A(2，0)为焦点的椭圆，且2a＝6.
∴a＝3，c＝2，b＝＝，
∴所求圆心的轨迹方程为＝1.
课时作业(二十) 椭圆的几何性质
1．解析：a2＝16，b2＝8，c2＝8.从而e＝＝.
答案：D
2．解析：根据题意得A(－a，0)，B(0，b)，F(c，0)，
因为∠ABF＝90°，所以kAB·kBF＝－1，
即＝－1，所以＝1，即b2＝ac.
又因为c2＝a2－b2，所以c2－a2＋ac＝0，等号两边同除以a2得＋－1＝0，即e2＋e－1＝0，
所以e＝－(舍)或e＝.
答案：A
3．解析：x2＋my2＝1，∴x2＋＝1，∴a2＝，b2＝1∴a＝，b＝1，∴ ＝2，∴m＝.
答案：D
4．解析：曲线＝1的焦点在x轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为，焦距为8.曲线＝1(k<9)的焦点在x轴上，长轴长为2，短轴长为2，离心率为，焦距为8.则C正确．
答案：C
5．解析：由题意知25－m2＝16，解得m2＝9，又m>0，所以m＝3.
答案：3
6．解析：由题意知a－c＝2，a＋c＝14，所以a＝8，c＝6，b2＝a2－c2＝28，所以椭圆的标准方程为＝1或＝1.
答案：＝1或＝1
7．解析：设椭圆C的方程为＝1(a>b>0)，椭圆C的面积为S＝πab＝20π，
又e＝＝，解得a2＝，b2＝12，所以椭圆C的方程为＝1.
答案：＝1
8．解析：设点P(x，y)，所以＝(x，y)，＝(x－1，y)，由此可得·＝(x，y)·(x－1，y)＝x2－x＋y2＝x2－x＋1＝(x－1)2＋，x∈[－]，所以·的最小值为.
9．解析：∵椭圆的焦点在x轴上，
∴设它的标准方程为＝1(a>b>0)，
∵e＝＝，∴a＝3c.
∵b2＝a2－c2，∴b2＝9c2－c2＝8c2.
又点M(c，4)在椭圆上，∴＝1，
解得c2＝，∴a2＝，b2＝18，
∴所求椭圆的标准方程为＝1.
10．解析：(1)设椭圆方程为＝1(a＞b＞0)，
|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝2a.
在△PF1F2中，由余弦定理可知，
4c2＝m2＋n2－2mn cos 60°＝(m＋n)2－3mn＝4a2－3mn≥4a2－3·＝4a2－3a2＝a2(当且仅当m＝n时取等号)．
∴，即e≥.
又0(2)由＝0得，以F1F2为直径的圆在椭圆内，于是b>c，则a2－c2>c2，所以0答案：(1) (2)(0，)
课时作业(二十一) 双曲线的标准方程
1．解析：依题意得|F1F2|＝10，当a＝3时，2a＝6<|F1F2|，故点P的轨迹为双曲线的一支；当a＝5时，2a＝10＝|F1F2|，故点P的轨迹为一条射线．故选D.
答案：D
2．解析：方法一：因为所求曲线为双曲线，所以可排除选项A，D；又双曲线－＝1的焦点在x轴上，所以排除选项B.
方法二：与－＝1共焦点的双曲线方程为－＝1，对比四个选项中的曲线方程，发现只有选项C中的方程符合条件(此时λ＝－2).故选C.
答案：C
3．解析：由c2＝a2＋b2＝4得c＝2，所以F(2，0)，将x＝2代入x2－＝1，得y＝±3，所以|PF|＝3，又点A的坐标是(1，3)，故△APF的面积为×3×(2－1)＝，选D.
答案：D
4．解析：由题意，方程可化为－＝3，
∴解得：m＜－2.
答案：C
5．解析：设动圆M的半径为r.
因为动圆M与圆C1外切且与圆C2内切，
所以|MC1|＝r＋3，|MC2|＝r－1.
相减得|MC1|－|MC2|＝4.
又因为C1(－3，0)，C2(3，0)，并且|C1C2|＝6＞4，
所以点M的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线的右支，
且有a＝2，c＝3.
所以b2＝5，所求的轨迹方程为－＝1(x≥2).
答案：－＝1(x≥2)
6．解析：设F1为左焦点，F2为右焦点，当点P在双曲线左支上时，|PF2|－|PF1|＝10，|PF2|＝22；当点P在双曲线右支上时，|PF1|－|PF2|＝10，|PF2|＝2.
答案：2或22
7．解析：因为双曲线的焦点是(0，2)，所以双曲线的标准方程是－＝1，即a2＝－3m，b2＝－m，c2＝－4m＝4，即m＝－1 ，所以椭圆方程是＋x2＝1 ，因为焦距2c＝4，所以c2＝4 ，即n－1＝4，解得n＝5.
答案：5
8．解析：由－＝1得a＝3，b＝4，c＝5.
∴|PQ|＝4b＝16>2a.
又∵A(5，0)在线段PQ上，
∴P，Q在双曲线的右支上，
且PQ所在直线过双曲线的右焦点，
由双曲线定义知
∴|PF|＋|QF|＝28.
∴△PQF的周长是|PF|＋|QF|＋|PQ|＝28＋16＝44.
9．解析：(1)如图所示，不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，因为MF1·MF2＝0，则MF1⊥MF2，
设|MF1|＝m，|MF2|＝n，
由双曲线定义，知m－n＝2a＝8，①
又m2＋n2＝(2c)2＝80，②
由①②得m·n＝8，所以mn＝4＝|F1F2|·h，
所以h＝.所以M点到x轴的距离为.
(2)设所求双曲线C的方程为－＝1(－4<λ<16)，
由于双曲线C过点(3，2)，所以－＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)，
所以所求双曲线C的方程为－＝1.
10．解析：(1)当k＝0时，方程变为y＝±2，表示两条与x轴平行的直线；
(2)当k＝1时，方程变为x2＋y2＝4表示圆心在原点，半径为2的圆；
(3)当k<0时，方程变为－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线；
(4)当0(5)当k>1时，方程变为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆．
课时作业(二十二) 双曲线的几何性质
1．解析：由已知c＝4，e＝＝2，所以a＝2，b2＝c2－a2＝12，又焦点在x轴上，所以双曲线方程为－＝1.
答案：A
2．解析：方法一：由题意知，e＝＝，所以c＝a，所以b＝＝a，所以＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，故选A.
方法二：由e＝＝ ＝，得＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，故选A.
答案：A
3．解析：由题意得b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.
∴e2＝＝5，∴e＝.
答案：A
4．解析：由已知得椭圆中a＝13，c＝5，曲线C2为双曲线，由此知道在双曲线中a＝4，c＝5，故双曲线中b＝3，双曲线方程为－＝1.
答案：A
5．解析：由已知b＝1，c＝，所以a2＝c2－b2＝2，所以渐近线方程为y＝±x.
答案：y＝±x
6．解析：若双曲线焦点在x轴上，依题意得，＝4，
∴＝16，即＝16，∴e2＝17，e＝.
若双曲线焦点在y轴上，依题意得，＝4.
∴＝，＝，即＝.
∴e2＝，故e＝，
即双曲线的离心率是或.
答案：或
7．解析：依题意设双曲线的方程为x2－＝λ(λ≠0)，
将点(2，2)代入求得λ＝3，
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
答案：－＝1
8．解析：当焦点在y轴上时，，解得n＝12，
当焦点在x轴上时，双曲线标准方程为－＝1，
，解得n＝－6，
综上得n＝12，或n＝－6.
9．解析：(1)因为e＝，所以可设双曲线的方程为x2－y2＝λ.
因为过点(3，－1)，所以9－1＝λ，即λ＝8，
所以双曲线的方程为x2－y2＝8.
(2)因为F1(－4，0)，F2(4，0)，
＝(－4－3，－m)，＝(4－3，－m)，
所以·＝(－4－3)×(4－3)＋m2＝2＋m2，
因为M点在双曲线上，所以18－m2＝8，即m2＝10，
所以·＝12.
(3)△F1MF2的底|F1F2|＝8，由(2)知m＝±.
所以△F1MF2的高h＝|m|＝，所以S△MF1F2＝4.
10．解析：由题意知a2＝2，b2＝1，所以c2＝3，不妨设F1(－，0)，F2(，0)，所以＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)，所以·＝x－3＋y＝3y－1<0，所以－答案：A
课时作业(二十三) 抛物线的标准方程
1．解析：由题意可设抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，由＝1，得p＝2，∴抛物线的标准方程为y2＝－4x，故选D.
答案：D
2．解析：∵点F(4，0)在直线x＋5＝0的右侧，且P点到点F(4，0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，∴点P到F(4，0)的距离与它到直线x＋4＝0的距离相等．故点P的轨迹为抛物线，且顶点在原点，开口向右，p＝8，故P点的轨迹方程为y2＝16x.
答案：C
3.
解析：设抛物线上点M(x0，y0)，如图所示，
过M作MN⊥l于N(l是抛物线的准线x＝－)，连MF.根据抛物线定义，|MN|＝|MF|＝a，∴x0＋＝a，
∴x0＝a－，∴选B.
答案：B
4．解析：
如图建立直角坐标系，设抛物线方程是y2＝2px(p＞0)，因为A(40，30)在抛物线上，∴302＝2p×40，∴p＝，∴光源到反光镜顶点的距离为＝＝＝5.625 cm.
答案：B
5．解析：由抛物线方程，可知其准线方程为y＝－1，所以点P的纵坐标为4，代入抛物线方程可知横坐标为±4.
答案：±4
6．解析：抛物线x＝ay2(a≠0)可化为y2＝x(a≠0).①当a>0时，＝，抛物线开口向右，焦点坐标为，准线方程为x＝－.②当a<0时，＝－，抛物线开口向左，焦点坐标为，准线方程为x＝－.故不论a>0，还是a<0，焦点坐标都是，准线方程都为x＝－.
答案： x＝－
7．解析：由题可设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，由定义知点P到准线的距离为4，故＋2＝4，所以p＝4，所以x2＝－8y.将点P的坐标代入x2＝－8y，得m＝±4.
答案：±4
8．解析：由题可知点F，P，
因为点A到y轴的距离为1，且A在抛物线上，
所以不妨设点A，
因为＝，
所以－＝，
解得p＝或－(舍去).
所以抛物线的方程为x2＝2y.
9．解析：因为交点在第一象限，抛物线的顶点在原点，其准线垂直于x轴，所以可设抛物线方程为y2＝2px(p>0).将点代入方程，得p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x.准线方程为x＝－1.由此知双曲线方程中c＝1，焦点为(－1，0)，(1，0)，点到两焦点距离之差2a＝1，所以双曲线的标准方程为－＝1.
10．解析：
(1)如图，
易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程是x＝－1.由抛物线的定义知，点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离．于是问题转化为在曲线上求一点P，使点P到点A(－1，1)的距离与点P到F(1，0)的距离之和最小．显然，连接AF，AF与抛物线的交点即为点P，故最小值为＝，即点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为.
(2)如图，把点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝±2.
因为2＞2，所以点B在抛物线内部．过点B作BQ垂直于准线，垂足为点Q，交抛物线于点P1，连接P1F.
此时，由抛物线定义知，|P1Q|＝|P1F|.
所以|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4，
即|PB|＋|PF|的最小值为4.
课时作业(二十四) 抛物线的几何性质
1．解析：依题意知抛物线方程为x2＝±2py(p＞0)的形式，又＝3，∴p＝6，2p＝12，故方程为x2＝±12y.
答案：C
2．解析：＝ p＝4，解得p＝4.
答案：C
3.
解析：∵y2＝4x，∴2p＝4，p＝2.
∴由抛物线定义知：
|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝6＋2＝8.
答案：B
4．解析：由抛物线的定义可得|NM|＝|MF|＝8，又∠MFN＝60°，
故△MFN为等边三角形，所以∠NMF＝60°且|MN|＝|MF|＝|NF|＝8，
因为MN平行于x轴，故MF的倾斜角为60°.
故∠NFO＝60°，F到准线的距离为8cos 60°＝4，即p＝4.故选B.
答案：B
5．解析：不妨设A(x，2)，则(2)2＝4x，所以x＝3，所以AB的方程为x＝3，抛物线的焦点为(1，0).所以焦点到AB的距离为2.
答案：2
6．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立，可得或，
所以|AB|＝＝ ＝ ，
而|AB|＝5，
可得 ＝5，解得p＝，即F，
所以F到直线AB的距离
d＝＝，
所以S△ABF＝·|AB|·d＝×5·＝.
答案：
7．解析：由题意知B，代入方程－＝1得p＝6.
答案：6
8．解析：设P(x，y)，则y2＝2x，因为A(－3，0)，B(3，0)，
所以·＝·＝(x＋3，y)·(x－3，y)＝x2＋y2－9＝x2＋2x－9＝(x＋1)2－10(x≥0)，故当x＝0时，取得最小值为－9.
9．解析：(1)因为直线l的倾斜角为60°，
所以其斜率k＝tan 60°＝.
又F，所以直线l的方程为y＝.联立消去y得x2－5x＋＝0.
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5，
而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，所以|AB|＝5＋3＝8.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，
所以x1＋x2＝6.于是线段AB的中点M的横坐标是3，又准线方程是x＝－，
所以M到准线的距离等于3＋＝.
10．证明：(1)由已知得抛物线焦点坐标为.
由题意可设直线方程为x＝my＋，代入y2＝2px，
得y2＝2p，即y2－2pmy－p2＝0.(*)
由y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2＝－p2.
因为y＝2px1，y＝2px2，所以yy＝4p2x1x2，
所以x1x2＝＝＝.
(2)＋＝＋
＝.
因为x1x2＝，x1＋x2＝|AB|－p，
代入上式，
得＋＝＝(定值).
(3)设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，
则|MN|＝(|AC|＋|BD|)
＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|.
所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
课时作业(二十五) 直线与圆锥曲线的位置关系
1．解析：由得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0，∴Δ＞0，∴m＞1或m＜0.又∵m＞0且m≠3，∴m＞1且m≠3.
答案：B
2．解析：因为y＝kx－k＋1，所以y－1＝k(x－1)，过定点(1，1)，定点在椭圆＋＝1内部，故选A.
答案：A
3．解析：令直线与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得4x2－8x＋1＝0，
∴x1＋x2＝2，x1x2＝，
∴|AB|＝＝＝.
答案：A
4.
解析：双曲线－＝1的渐近线方程是y＝±x，右焦点F(4，0)，过右焦点F(4，0)分别作两条渐近线的平行线l1和l2，如图，由图形可知，符合条件的直线的斜率的取值范围是，故选C.
答案：C
5．解析：设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
直线l的方程为y＝x＋t，
由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，
则x1＋x2＝－t，x1x2＝.
所以|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝·＝·，
当t＝0时，|AB|max＝.
答案：
6．解析：设直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2).
则＋＝1，且＋＝1，两式相减得＝－.
又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，
所以＝－，故直线l的方程为y－2＝－(x－4)，即x＋2y－8＝0.
答案：x＋2y－8＝0
7．解析：(1)当直线l斜率不存在时，方程为x＝1，显然与双曲线Γ相切，只有一个交点，符合题意，
(2)当直线l的斜率存在且与双曲线Γ相切时，设斜率为k，
则直线l的方程为y－1＝k(x－1)，
即y＝kx－k＋1，联立方程
消去y得：(4－k2)x2－2k(1－k)x－[(1－k)2＋4]＝0，
因为直线l和双曲线Γ有且仅有一个公共点，
所以Δ＝4k2(1－k)2＋4(4－k2)[(1－k)2＋4]＝0，
化简得：80－32k＝0，所以k＝，
所以直线l的方程为：y＝x－，即5x－2y－3＝0.
(3)当直线l与双曲线Γ的渐近线平行时，也与双曲线Γ有且仅有一个公共点，因为双曲线Γ的渐近线方程为：y＝±2x，
所以直线l的斜率为±2，
所以直线l的方程为y－1＝2(x－1)或y－1＝－2(x－1)，
即2x－y－1＝0或2x＋y－3＝0，
综上所述，直线l的方程为x＝1或5x－2y－3＝0或2x－y－1＝0或2x＋y－3＝0.
答案：x＝1或5x－2y－3＝0或2x－y－1＝0或2x＋y－3＝0
8．解析：(1)
解得
∴椭圆E的方程：＋y2＝1.
(2)当直线l垂直于x轴时，△OPQ不存在，则直线存在斜率，
设直线l的方程为y＝kx－2与＋y2＝1联立消去y有：(4k2＋1)x2－16kx＋12＝0，
∴Δ＝(－16k)2－4×(4k2＋1)×12＝64k2－48>0，
∴k2>，
令P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
∵
∴|PQ|＝
＝ ，
整理得|PQ|＝，令点O到直线l的距离为d，则d＝，
∴△OPQ的面积S(k)＝|PQ|d＝，令＝t(t>0)，
则S(k)＝＝＝≤1，
所以直线l方程为x－2y－4＝0，x＋2y＋4＝0.
9．解析：(1)依据题意作图，如图所示：
由题设得A(－a，0)，B(a，0)，G(0，1).
则＝(a，1)，＝(a，－1).由·＝8得a2－1＝8，即a＝3.
所以E的方程为＋y2＝1.
(2)设C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(6，t).
若t≠0，设直线CD的方程为x＝my＋n，由题意可知－3由于直线PA的方程为y＝(x＋3)，所以y1＝(x1＋3).
直线PB的方程为y＝(x－3)，所以y2＝(x2－3).
可得3y1(x2－3)＝y2(x1＋3).
由于＋y＝1，故y＝－，
可得27y1y2＝－(x1＋3)(x2＋3)，即
(27＋m2)y1y2＋m(n＋3)(y1＋y2)＋(n＋3)2＝0.①
将x＝my＋n代入＋y2＝1得
(m2＋9)y2＋2mny＋n2－9＝0.
所以y1＋y2＝－，y1y2＝.
代入①式得(27＋m2)(n2－9)－2m(n＋3)mn＋(n＋3)2(m2＋9)＝0.
解得n1＝－3(舍去)，n2＝.
故直线CD的方程为x＝my＋，
即直线CD过定点.
若t＝0，则直线CD的方程为y＝0，过点.
综上，直线CD过定点.
10．证明：由题意可知：e＝＝ ＝，所以a2＝b2，由直线x＝1与椭圆相交，交点P(1，y)(y＞0)，由题意可知：×1×2y＝，解得y＝，将P代入椭圆方程：＋＝1，解得b2＝3，a2＝4，所以椭圆方程为＋＝1，即4y2＋3x2－12＝0.所以D点坐标为(2，0)，
当直线l的斜率不存在时，A，B，
∴·＝0，∴∠ADB＝.
当直线l的斜率存在时，设直线l：x＝my＋，
由得(196＋147m2)y2＋84my－576＝0，
∵l与C有两个交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴Δ＞0，且y1y2＝，y1＋y2＝，
∴x1＋x2＝＋，x1x2＝＋，
∵＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)，
∴·＝x1x2－2(x1＋x2)＋y1y2＋4
＝＋＝＝0，
∴∠ADB＝.综上，∠ADB＝是定值．
章末质量检测(一) 空间向量与立体几何
1．解析：因为①a＝(1，－2，1)＝－b＝－(－1，2，－1)，所以a∥b；
②a＝(8，4，0)，b＝(2，1，0)，a＝4b，所以a∥b；
③a＝(1，0，－1)，b＝(－3，0，3)，a＝－b，所以a∥b；
④a＝，b＝(4，－3，3)，a＝－b，
所以a∥b，因此选D.
答案：D
2．解析：向量a，b，c共面，
所以存在实数m，n使得c＝ma＋nb，
所以，解得λ＝1.
答案：A
3．解析：由向量减法的三角形法则可知＝－，因为P为棱BC的中点，由向量加法的平行四边形法则可知＝(＋)，所以＝－＝(＋)－＝－a＋b＋c.故B正确．
答案：B
4.
解析：不妨设正方体的棱长为1，如图，建立空间直角坐标系，
则D(0，0，0)，B(1，1，0)，B1(1，1，1).
平面ACD1的法向量为DB1＝(1，1，1)，
又BB1＝(0，0，1)，
则cos〈，〉＝＝＝.故BB1与平面ACD1所成角的余弦值为 ＝.
答案：D
5．解析：当长方体的侧面AA1D1D与BB1C1C为正方形时，⊥，所以·＝0；当长方体的底面为正方形时，⊥，所以·＝0；由长方体的性质知AB⊥平面AA1D1D，所以⊥，所以·＝0；无论长方体具体何种结构，都不可能有⊥，也就不可能有·＝0，故选D.
答案：D
6．解析：如题图，因为在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量，，两两的夹角均为60°，
且||＝1，||＝2，||＝3，
所以＝＋＋，
所以＝(＋＋)2
＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝1＋4＋9＋2×1×2×cos 60°＋2×1×3×cos 60°＋2×2×3×cos 60°＝25，
所以|AC1|＝5.
答案：A
7．解析：过点B作BE垂直A1C，垂足为点E，
设点E的坐标为(x，y，z)，
则A1(0，0，3)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，
＝(1，2，－3)， (x，y，z－3)，
＝(x－1，y，z).
因为
所以
解得所以＝，
所以点B到直线A1C的距离||＝.
答案：B
8．解析：
如图所示，作BD⊥AP于D，作CE⊥AP于E.
设AB＝1，
则易得CE＝，EP＝，
PA＝PB＝，可以求得BD＝，
ED＝.
因为＝＋＋，
所以2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·，所以·＝－，
所以cos〈，〉＝－，由图知，二面角B AP C的余弦值为.故选C.
答案：C
9．解析：因为2a＋b＝(－1，2，7)，a＝(－2，－1，1)，而≠≠，故A不正确；因为|a|＝，|b|＝5，所以5|a|＝|b|，故B正确；因为a·(5a＋6b)＝5a2＋6a·b＝0，故C正确；又cos〈a·b〉＝＝－，故D正确．
答案：BCD
10．解析：对于A，ab＝|a|·|b|sin〈a，b〉，
ba＝|b|·|a|sin〈b，a〉，
故ab＝ba恒成立；
对于B，λ(ab)＝λ(|a|·|b|sin 〈a，b〉)，
(λa) b＝|λ||a||b|sin〈λa，b〉，故λ(ab)＝|λa|b不会恒成立；
对于C，若a＝λb，且λ≠0，
(a＋b) c＝|1＋λ||b|·|c|sin〈b，c〉，
(ac)＋(bc)
＝|λb|·|c|sin〈b，c〉＋|b|·|c|sin 〈b，c〉
＝(1＋|λ|)|b|·|c|sin〈b，c〉，
因为|1＋λ|与1＋|λ|不恒等，显然(a＋b) c＝(ac)＋(bc)不会恒成立；
对于D，cos〈a，b〉＝，sin 〈a，b〉＝
即有ab
＝|a|·|b|·
＝|a|·
＝·
＝
＝
＝|x1y2－x2y1|.
则ab＝|x1y2－x2y1|恒成立，故选AD.
答案：AD
11．解析：由|a|－|b|＝|a＋b|，得a与b的夹角为π，故是充分不必要条件，故A不正确；B正确；因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，C不正确；由向量的数量积的性质知，D不正确．
答案：ACD
12．解析：对A，因为E，F分别是A1D1和C1D1的中点，故EF∥A1C1，故A1C1∥平面CEF成立．
对B，建立如图空间直角坐标系，
设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，
则＝(－2，－2，－2)，
＝(0，1，－2).
故·＝0－2＋4＝2≠0.
故，不互相垂直．
又CF属于平面CEF.
故⊥平面CEF不成立．
对C，同B空间直角坐标系有＝(1，－2，2)，
＋－
＝(2，0，0)＋(0，0，2)－(0，2，0)＝(1，－2，2).
故＝＋－成立．
对D，点D与点B1到平面CEF的距离相等，
则点D与点B1连线的中点O在平面CEF上．
连接AC，AE，易得平面CEF即平面CAEF.
又点D与点B1连线的中点O在平面A1ACC1上，
故点O不在平面CEF上．故D不成立．
答案：AC
13．解析：∵a－2b＝(8，－5，13)，
∴|a－2b|＝＝.
答案：
14．解析：因为a⊥b，所以a·b＝2×(－4)＋(－1)×2＋3x＝0，解得x＝.
答案：
15．解析：连接AE，则＝－
＝＋－
＝＋－(＋)
＝＋－－－
＝－－＋.
答案：－－＋
16．解析：如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz，设正方形ABCD的边长为，
则D(1，0，0)，B(－1，0，0)，C(0，0，1)，A(0，1，0)，
所以＝(0，－1，1)，＝(2，0，0)，
·＝0，
故AC⊥BD，①正确．
又||＝，||＝，||＝，
所以△ACD为等边三角形，②正确．
对于③，为平面BCD的法向量，
cos〈，〉＝
＝
＝＝－，
因为直线与平面所成的角的范围是[0°，90°]，
所以AB与平面BCD所成角为45°，故③错误．
又cos〈，＝
＝＝－.
因为异面直线所成的角为锐角或直角，
所以AB与CD所成的角为60°，故④正确．
答案：①②④
17．解析：(1)因为在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点，
所以＝＋＝＋＋，
又＝x＋y＋z，
所以x＝y＝1，z＝；
所以x＋y＋z＝1＋1＋＝.
(2)由题意，以及题中坐标系可得：A1(2，0，4)，C(0，2，0)，
D1(0，0，4)，E(2，2，2)，则＝(2，2，2)，＝(0，－2，4)，从而cos〈，〉＝
＝＝，
故异面直线DE与CD1所成角的余弦值为.
18．解析：
依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2).
由E为棱PC的中点，得E(1，1，1).
(1)证明：向量＝(0，1，1)，＝(2，0，0)，
故·＝0，
所以BE⊥DC.
(2)向量＝(－1，2，0)，＝(1，0，－2).
设n＝(x，y，z)为平面PBD的法向量，
则
即
不妨令y＝1，可得n＝(2，1，1)为平面PBD的一个法向量．
于是有cos〈n，〉＝＝＝.
所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.
(3)向量＝(1，2，0)，＝(－2，－2，2)，＝(2，2，0)，＝(1，0，0).
由点F在棱PC上，
设＝λ，0≤λ≤1.
故＝＋＝＋λ＝(1－2λ，2－2λ，2λ).
由BF⊥AC，得·＝0，
因此，2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝.
即＝.
设n1＝(x，y，z)为平面FAB的法向量，
则即
不妨令z＝1，可得n1＝(0，－3，1)为平面FAB的一个法向量．
取平面ABP的法向量n2＝(0，1，0).
则cos〈n1，n2〉＝＝＝－.
易知，二面角F AB P是锐角，
所以其余弦值为.
19．解析：(1)证明：D，E分别为AB，AC中点，
∴DE∥BC.
又DE 平面PBC，BC 平面PBC，
∴DE∥平面PBC.
(2)证明：连接PD，∵PA＝PB，D为AB中点，
∴PD⊥AB.
∵DE∥BC，BC⊥AB，
∴DE⊥AB.
又PD∩DE＝D，PD 平面PDE，DE 平面PDE，
∴AB⊥平面PDE，又PE 平面PDE，∴AB⊥PE.
(3)∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，PD⊥AB，
∴PD⊥平面ABC.
如图，以D为原点建立空间直角坐标系，
∴B(1，0，0)，P(0，0，)，E，
∴＝(1，0，－)，
＝.
设平面PBE的法向量n1＝(x，y，z)，
∴
令z＝，得n1＝(3，2，).
∵DE⊥平面PAB，
∴平面PAB的法向量为n2＝(0，1，0).
设二面角A PB E的大小为θ，
由图知，cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝，θ＝60°，
∴二面角A PB E的大小为60°.
20．解析：(1)在线段AB上存在中点G，使得AF∥平面PCG.
证明如下：如图所示：
设PC的中点为H，连接FH，GH，
所以FH∥CD，FH＝CD，
AG∥CD，AG＝CD，
所以FH∥AG，FH＝AG，
所以四边形AGHF为平行四边形，
则AF∥GH，
又GH 平面PGC，AF 平面PGC，
所以AF∥平面PGC.
(2)选择①AB⊥BC：
因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC，
由题意知AB，AD，AP两两垂直，
以AB，AD，AP分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
因为PA＝AB＝2，
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，
D(0，2，0)，F(0，1，1)，P(0，0，2)，
所以＝(0，1，1)，＝(－2，－1，1)，设平面FAC的一个法向量为μ＝(x，y，z)
所以，
取y＝1，得μ＝(－1，1，－1)，
平面ACD的一个法向量为v＝(0，0，1)，
设二面角F － AC － D的平面角为θ，
则cos θ＝＝，
所以二面角F－AC－D的余弦值为.
选择②FC与平面ABCD所成的角为：
因为PA⊥平面ABCD，取BC中点E，
连接AE，
取AD的中点M，连接FM，CM，
则FM∥PA，且FM＝1，
所以FM⊥平面ABCD，
FC与平面ABCD所成角为∠FCM，
所以∠FCM＝，
在Rt△FCM中，CM＝，
又CM＝AE，所以AE2＋BE2＝AB2，
所以BC⊥AE，
所以AE，AD，AP两两垂直，
以AE，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
因为PA＝AB＝2，
所以A(0，0，0)，B(，－1，0)，
C(，1，0)，D(0，2，0)，E(，0，0)，
F(0，1，1)，P(0，0，2)，
所以＝(0，1，1)，＝(－，0，1)，
设平面FAC的一个法向量为m＝(x，y，z)，
则，
取x＝，得m＝(，－3，3)，
平面ACD的一个法向量n＝(0，0，1)，
设二面角F － AC － D的平面角为θ，
则cos θ＝＝.
所以二面角F－AC－D的余弦值为.
选择③∠ABC＝，
因为PA⊥平面ABCD，
所以PA⊥BC，取BC中点E，连接AE，
因为底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
所以△ABC是正三角形，因为E是BC的中点，所以BC⊥AE，
所以AE，AD，AP两两垂直，
以AE，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
因为PA＝AB＝2，所以A(0，0，0)，B(，－1，0)，
C(，1，0)，D(0，2，0)，E(，0，0)，
F(0，1，1)，P(0，0，2)，
所以＝(0，1，1)，＝(－，0，1)，
设平面FAC的一个法向量为m＝(x，y，z)，
则，
取x＝，得m＝(，－3，3)，
平面ACD的一个法向量n＝(0，0，1)，
设二面角F－AC－D的平面角为θ，
则cos θ＝＝，
所以二面角F－AC－D的余弦值为.
21．解析：(1)由于PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，则PA⊥CD，
由题意可知AD⊥CD，且PA∩AD＝A，
由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD.
(2)以点A为坐标原点，平面ABCD内与AD垂直的直线为x轴，AD，AP方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
易知：A(0，0，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，
由＝可得点F的坐标为F，则＝，
由＝可得E(0，1，1)，则＝(0，1，1)，
设平面AEF的法向量为：m＝(x，y，z)，则
据此可得平面AEF的一个法向量为：m＝(1，1，－1)，
很明显平面AEP的一个法向量为n＝(1，0，0)，
cos〈m，n〉＝＝＝，
二面角F AE P的平面角为锐角，故二面角F AE P的余弦值为.
(3)易知P(0，0，2)，B(2，－1，0)，由＝可得G，
则＝，
由(2)知平面AEF的一个法向量为：m＝(1，1，－1)，
又m·＝0且点A在平面AEF内，故直线AG在平面AEF内．
22．解析：(1)在三棱柱ABC A1B1C1中，
∵CC1⊥平面ABC，
∴四边形A1ACC1为矩形．
又E，F分别为AC，A1C1的中点，
∴AC⊥EF.
∵AB＝BC.
∴AC⊥BE，又EF∩BE＝E，EF 平面BEF，BE 平面BEF，
∴AC⊥平面BEF.
(2)由(1)知AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC1.
又CC1⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC.
∵BE 平面ABC，∴EF⊥BE.
如图建立空间直角坐标系Exyz.
由题意得B(0，2，0)，C(－1，0，0)，D(1，0，1)，F(0，0，2)，G(0，2，1).
∴＝(2，0，1)，＝(1，2，0)，
设平面BCD的法向量为n＝(a，b，c)，
∴，∴，
令a＝2，则b＝－1，c＝－4，
∴平面BCD的法向量n＝(2，－1，－4)，
又∵平面CDC1的法向量为＝(0，2，0)，
∴cos〈n·〉＝＝－.
由图可得二面角B CD C1为钝角，所以二面角B CD C1的余弦值为－.
(3)由(2)知平面BCD的法向量为n＝(2，－1，－4)，
∵G(0，2，1)，F(0，0，2)，
∴＝(0，－2，1)，∴n·＝－2，∴n与不垂直，
∴GF与平面BCD不平行且不在平面BCD内，∴GF与平面BCD相交．
章末质量检测(二) 平面解析几何
1．解析：因为斜率为1的直线的倾斜角是45°，斜率为2的直线的倾斜角大于45°，倾斜角大于90°且小于180°时，直线的斜率是负值，所以斜率为2的直线的倾斜角α的范围是45°<α<90°，故选B.
答案：B
2．解析：由题可知直线的斜率k＝tan 60°＝，所以直线方程为y＝(x－2)，即y＝x－2.
答案：A
3．解析：由题意可得椭圆＋＝1的b＝5，c＝4，
a＝＝，
由椭圆的定义可得|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a，
即有△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|
＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝4.故选D.
答案：D
4．解析：由e＝得＝，1＋＝，＝，选B.
答案：B
5．解析：由2m－4＝0，解得m＝2.满足l1∥l2.l2的方程为2x＋y－2＝0，有＝，则|n＋2|＝3，解得n＝1或－5，故m＋n＝±3.
答案：A
6．解析：∵方程y＝ax2表示的是抛物线，
∴a≠0，∴x2＝＝2··y，
∴抛物线y＝ax2的准线方程是y＝－＝2，
解得a＝－，故选B.
答案：B
7．解析：设等轴双曲线C：－＝1.
∵抛物线y2＝16x的准线为x＝－4，联立－＝1和x＝－4得A(－4，)，B(－4，－)，
∴|AB|＝2＝4，
∴a＝2，∴2a＝4.
∴C的实轴长为4.
答案：C
8．解析：由题可得圆心为(0，0)，半径为2，
则圆心到直线的距离d＝，
则弦长为|MN|＝2，
则当k＝0时，弦长|MN|取得最小值为2＝2，解得m＝±.故选C.
答案：C
9．解析：因为点M(1，2)关于直线y＝kx＋b对称的点是N(－1，6)，线段MN的中点坐标为(0，4)，所以解得所以kb＝2，故A错；此时直线l方程为y＝x＋4，令y＝0，解得x＝－8，所以直线l在x轴上的截距是－8，故B正确；由点到直线的距离公式知，点M到直线l的距离为＝，故C错误；易知直线m的方程为x－2y＋3＝0，又直线l：x－2y＋8＝0，则两直线间的距离为＝，故D正确，故选BD.
答案：BD
10．解析：两圆方程相减可得直线AB的方程为a2＋b2－2ax－2by＝0，即2ax＋2by＝a2＋b2，故B正确；分别把A(x1，y1)，B(x2，y2)两点代入2ax＋2by＝a2＋b2得2ax1＋2by1＝a2＋b2，2ax2＋2by2＝a2＋b2，两式相减得2a(x1－x2)＋2b(y1－y2)＝0，即a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0，故A正确；由圆的性质可知：线段AB与线段C1C2互相平分，∴x1＋x2＝a，y1＋y2＝b，故C正确，D错误．故选ABC.
答案：ABC
11．解析：由＋y2＝1可知，a2＝6，b2＝1，c2＝5，则焦距2c＝2，离心率e＝＝＝；设P(x，y)，圆心D(－1，0)，半径为r＝，则|PD|＝＝＝ > ，故圆D在C的内部；当PD取最小值 时，|PQ|的最小值为－ ＝，综上所述，选项B、C正确，故选BC.
答案：BC
12．解析：因为|PF1|＝2|PF2|，|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.又2c>2a，4a>2a，所以∠PF1F2＝30°，所以cos ∠PF1F2＝＝，所以c2－2ac＋3a2＝0，所以e2－2e＋3＝0，解得e＝，A正确；因为e2＝＝＝3，所以＝2，所以＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x，B正确；因为e＝，所以2c＝2a，所以|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，所以∠PF2F1＝90°.又|AF2|＝c＋a＝(＋1)a，|PF2|＝2a，所以|AF2|≠|PF2|，所以∠PAF2≠45°，C错误；联立得方程组所以2(2－2y)2－y2＝2a2，所以7y2－16y＋8－2a2＝0，所以Δ＝162－4×7×(8－2a2)＝32＋56a2>0，所以直线x＋2y－2＝0与双曲线有两个公共点，D正确．故选ABD.
答案：ABD
13．解析：直线ax－y＋1＝0经过抛物线y2＝4x的焦点F(1，0)，则a＋1＝0，∴a＝－1.
答案：－1
14．解析：在双曲线C中，a＝，b＝，则c＝＝3，则双曲线C的右焦点坐标为(3，0)，双曲线C的渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0，所以双曲线C的焦点到其渐近线的距离为＝.
答案：(3，0)
15．解析：圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝1，
则圆心为C(1，－2)，半径为1，则直线与圆相离，如图：S四边形PACB＝S△PAC＋S△PBC，而S△PAC＝|PA|·|CA|＝|PA|，S△PBC＝|PB|·|CB|＝|PB|，又|PA|＝|PB|＝，
所以当|PC|取最小值时|PA|＝|PB|取最小值，
即S△PAC＝S△PBC取最小值，此时，CP⊥l，
四边形PACB面积的最小值为2，
S△PAC＝S△PBC＝，
所以|PA|＝2，
所以|CP|＝3，
所以＝3，因为k>0，所以k＝3.
16．解析：
如图，设|PQ|＝4t(t>0)，
由3|PQ|＝4|PF1|可得|PF1|＝3t，
由双曲线定义，有|PF1|－|PF2|＝2a，
所以|PF2|＝3t－2a，
|QF2|＝|PQ|－|PF2|＝t＋2a，
又|QF1|－|QF2|＝2a，所以|QF1|＝t＋4a，
因为PQ⊥PF1，所以|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，|PF1|2＋|PQ|2＝|QF1|2，
即(3t)2＋(3t－2a)2＝4c2①，
(3t)2＋(4t)2＝(t＋4a)2②，
由②解得t＝a，代入①得(3a)2＋(3a－2a)2＝4c2，
即10a2＝4c2，
所以e＝＝ ＝ .
答案：
17．解析：(1)解法一：依题意，Rt△ABC的直角顶点坐标为B(－1，－2)，
∴AB⊥BC，∴kAB·kBC＝－1.
又∵A(－3，0)，
∴kAB＝＝－，∴kBC＝－＝，
∴边BC所在的直线的方程为y＋2＝(x＋1)，即x－y－3＝0.
∵直线BC的方程为x－y－3＝0，点C在x轴上，由y＝0，得x＝3，即C(3，0).
解法二：设点C(c，0)，由已知可得kAB·kBC＝－1，即·＝－1，解得c＝3，所以点C的坐标为(3，0).
(2)由B为直角顶点，知AC为直角三角形ABC的斜边．
∵A(－3，0)，C(3，0)，∴斜边所在直线的方程为y＝0.
18．解析：(1)将圆C的方程化为标准方程为x2＋(y－1)2＝5，所以圆C的圆心为C(0，1)，半径r＝，圆心C(0，1)到直线l：mx－y＋1－m＝0的距离d＝＝＜1＜，因此直线l与圆C相交．
(2)设圆心C到直线l的距离为d，
则d＝ ＝.
又d＝，则＝，解得m＝±1，所以所求直线方程为x－y＝0或x＋y－2＝0.
19．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知直线AB的方程为y＝x－，与y2＝2px联立，得y2－2py－p2＝0，
∴y1＋y2＝2p.
由题意知y1＋y2＝4，∴p＝2.
∴抛物线的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.
20．解析：(1)①当直线l的斜率不存在时，M，N，或M，N.
此时|MN|＝.
② 当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－1).
由得(1＋4k2)x2－8k2x＋4k2－4＝0
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则
所以|MN|＝
＝·
＝.
设m＝1＋4k2，则m≥1.
所以|MN|＝＝>＝.
综上|MN|≥.
(2)当直线l的斜率不存在时，M，N，或M，N，
此时都有＝.
直线A1M的斜率为k1＝，直线A2N的斜率为k2＝.
方法一：＝
＝
＝
＝
＝＝.
方法二：＝
＝
＝
＝
＝＝.
又＝>0，
所以＝.
综上，＝.
21．解析：(1)由题意得，
∴a2＝4，b2＝1.
故椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)①当直线l的斜率不存在时，A(0，1)，B(0，－1)，则·＝－1.
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程得，
消去y，整理得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0，
由Δ>0，可得4k2>3，
且x1＋x2＝－，x1x2＝，
∴·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝－1＋，
则－1<·<，
综上，·∈.
22．解析：(1)因为椭圆ω过点A(－2，0)，
所以a＝2.
因为a＝2b，
所以b＝1.
所以椭圆ω的方程为＋y2＝1.
(2)当直线l斜率不存在时，直线l的方程为x＝1.
不妨设此时P，Q，
所以直线AP的方程为y＝(x＋2)，即M.
直线AQ的方程为y＝－(x＋2)，即N.
所以|OM|·|ON|＝.当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，
由得(4k2＋1)x2－8k2x＋4k2－4＝0.
依题意，Δ>0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.
又直线AP的方程为y＝(x＋2)，
令x＝0，得点M的纵坐标为yM＝，即M.
同理，得N.
所以|OM|·|ON|＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝.
综上，|OM|·|ON|为定值，定值为.
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1．解析：由斜截式可得直线方程为y＝－x－1，化为一般式即为x＋y＋1＝0.故选D.
答案：D
2．解析：由直线互相垂直可得－·＝－1，∴a＝10，所以第一条直线方程为5x＋2y－1＝0，又垂足(1，c)在直线上，所以代入得c＝－2，再把点(1，－2)代入另一方程可得b＝－12，所以a＋b＋c＝－4.
答案：A
3．解析：由题意得c＝ta＋μb＝(2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ)，
∴∴
答案：D
4．解析：∵＝＋＝c＋(＋)＝c＋(－a＋b)＝－a＋b＋c.
答案：A
5．解析：∵双曲线＋＝1的离心率e∈(1，2)，
∴1<<2，解得－12答案：B
6．解析：根据椭圆的定义得：|MF2|＝8，
由于△MF2F1中N、O是MF1、F1F2的中点，
根据中位线定理得：|ON|＝4，故选B.
答案：B
7．解析：因为0答案：A
8．解析：设点A关于直线x＋y＝4的对称点A′(a，b)，设军营所在区域的圆心为C，根据题意，|A′C|－为最短距离，先求出A′的坐标，AA′的中点为，直线AA′的斜率为1，故直线AA′为y＝x－3，由联立得a＝4，b＝1，
所以|A′C|＝＝，
故|A′C|－＝－.
答案：B
9．解析：由题意得＝，解得a＝－3或a＝3.
答案：AC
10．解析：圆C的方程为x2＋y2－4x＝0，则圆心为C(2，0)，半径R＝2.设两个切点分别为A，B，则由题意可得四边形PACB为正方形，故有PC＝R＝2，∴圆心到直线y＝k(x＋1)的距离小于或等于PC＝2，即≤2，解得k2≤8，可得－2≤k≤2，∴实数k的取值可以是1，2.
答案：AB
11．解析：∵以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，∠BAD＝90°，由抛物线的定义可得|AB|＝|AF|＝|BF|，∴△ABF是等边三角形，∴∠FBD＝30°，∵△ABF的面积为|BF|2＝9，∴|BF|＝6，又点F到准线的距离为|BF|·sin 30°＝3＝p，则该抛物线的方程为y2＝6x.
答案：ACD
12．解析：圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5，5)，半径为4，
直线AB的方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0，
圆心M到直线AB的距离为＝＝∈(4，5)，
所以，点P到直线AB的距离的最小值为－4<2，
最大值为＋4<10，A选项正确；
如图所示，当∠PBA最大或最小时，PB与圆M相切，连接MP、BM，可知PM⊥PB，
|BM|＝＝，|MP|＝4，由勾股定理可得|BP|＝＝3，C、D选项正确．故选ACD.
答案：ACD
13．解析：由题意可知所求双曲线的渐近线方程为y＝±x.
答案：y＝±x
14．解析：由两直线平行的条件得a(a－3)＝－2，解得a＝1或2，经检验，a＝2时两直线重合，所以两直线平行时，实数a的值为1.
答案：1
15．解析：由(c－a)·(2b)＝－2，
即2b·c－2a·b＝－2，
即b·c－a·b＝－1，
所以1＋2＋1－(1＋2＋x)＝－1，得x＝2.
答案：2
16．解析：作AD⊥BC于点D，
∵PA⊥面ABC，
∴PA⊥AD.∴AD是PA与BC的公垂线．
易得AB＝2，AC＝2，BC＝4，AD＝，连接PD，则PD⊥BC，P到BC的距离PD＝.
答案：
17．解析：(1)将点(1，2)的坐标代入抛物线C的方程，
得22＝2p，即p＝2.
所以抛物线C的方程为y2＝4x.
准线方程为x＝－1.
(2)方法一：依题意，直线l的斜率存在且不为0，所以设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0).
联立化简得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
易知Δ＝(2k2＋4)2－4k4＝16k2＋16>0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝.
则|MN|＝x1＋x2＋2＝＋2＝.
易知Q(－1，－2k)，F(1，0)，所以|QF|＝.
因为|MN|＝2|QF|，所以＝2.
得k2＝1，即k＝±1.
所以直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.
方法二：依题意，直线l的斜率存在且不为0，所以设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0).
联立，化简得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
易知Δ＝(2k2＋4)2－4k4＝16k2＋16>0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝1.
易知Q(－1，－2k)，F(1，0)，因为|MN|＝2|QF|，所以＝2.
所以＝2，即|x1－x2|＝4.
即＝4，故＝4.
得k2＝1，即k＝±1.
所以直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.
18．解析：
(1)证明：如图，连接B1C交BC1于点O，连接OD.因为O为B1C的中点，D为AC的中点，所以OD∥AB1.
因为AB1 平面BC1D，OD 平面BC1D，
所以AB1∥平面BC1D.
(2)建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，
则B(0，0，0)，A(0，2，0)，C1(2，0，2)，B1(0，0，2)，
因此＝(0，－2，2)，＝(2，0，2).
所以cos〈AB1，BC1〉＝＝＝，
设异面直线AB1与BC1所成的角为θ，则cos θ＝，由于θ∈，故θ＝.
19．解析：(1)设AC，BD交点为E，连接ME.
因为PD∥平面MAC，课时作业(十六) 直线与圆的位置关系
一、选择题
1．直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是( )
A．过圆心 B．相切
C．相离 D．相交但不过圆心
2．若直线y＝x＋a与圆x2＋y2＝1相切，则a的值为( )
A． B．±
C．1 D．±1
3．直线l：y－1＝k(x－1)和圆x2＋y2－2y＝0的关系是( )
A．相离 B．相切或相交
C．相交 D．相切
4．若PQ是圆x2＋y2＝9的弦，PQ的中点是A(1，2)，则直线PQ的方程是( )
A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y－5＝0
C．2x－y＋4＝0 D．2x－y＝0
二、填空题
5．由点P(1，3)引圆x2＋y2＝9的切线段的长是________．
6．若直线x－2y－3＝0与圆C：＝9交于E，F两点，则△ECF的面积为________．
7．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点有________个．
三、解答题
8．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，过点P(2，－1)作圆C的切线，切点为A，B.求直线PA，PB的方程．
9.已知以点A(－1，2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，过点B(－2，0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点．
(1)求圆A的方程；
(2)当|MN|＝2时，求直线l的方程．
[尖子生题库]
10．(1)直线y＝x＋b与曲线x＝有且仅有一个公共点，则实数b的取值范围是( )
A．b＝
B．－1＜b≤1或b＝－
C．－1≤b≤1
D．以上都不正确
(2)已知A，B分别是C1：(x－1)2＋(y－3)2＝1，C2：(x＋5)2＋(y－1)2＝4上的两个动点，点M是直线x－y＝0上的一个动点，则|MA|＋|MB|的最小值为______________.课时作业(四) 空间中的点、直线与空间向量
一、选择题
1．已知两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1，0，－1)，v2＝(－2，0，2)，则l1与l2的位置关系是( )
A.平行 B．相交
C．垂直 D．不确定
2．若点A(－，0，)，B(，2，)在直线l上，则直线l的一个方向向量为( )
A．(，1) B．(，1，)
C．(，1) D．(1，)
3．在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于( )
A． B．
C． D．
4．在如图空间直角坐标系中，直三棱柱ABC A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为( )
A． B．
C． D．
二、填空题
5．直线l1的方向向量为v1＝(1，0，－1)，直线l2的方向向量为v2＝(－2，0，－2)，则直线l1与l2的位置关系是________．
6．已知点A(3，3，－5)，B(2，－3，1)，C为线段AB上一点，且＝，则点C的坐标为________．
7．已知A(0，y，3)，B(－1，－2，z)，若直线l的方向向量v＝(2，1，3)与直线AB的方向向量平行，则实数y＋z等于________．
三、解答题
8.
如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．
求证：MN∥DA1.
9. 如图所示，在四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点，证明：
(1)AE⊥CD；
(2)PD⊥平面ABE.
[尖子生题库]
10．如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点E为线段AB的中点，点F在线段AD上移动，异面直线B1C与EF所成角最小时，其余弦值为( )
A．0 B．
C． D．课时作业(十九) 椭圆的标准方程
一、选择题
1．椭圆＝1的焦点坐标是( )
A．(±4，0) B．(0，±4)
C．(±3，0) D．(0，±3)
2．椭圆＝1的两个焦点为F1，F2，过F2的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF1的周长为( )
A．10 B．20
C．40 D．50
3．已知椭圆过点P和点Q，则此椭圆的标准方程是( )
A．＋x2＝1
B．＋y2＝1或x2＋＝1
C．＋y2＝1
D．以上都不对
4．已知椭圆的焦点为(－1，0)和(1，0)，点P(2，0)在椭圆上，则椭圆的方程为( )
A．＝1 B．＋y2＝1
C．＝1 D．＋x2＝1
二、填空题
5．设F1，F2分别为椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右两个焦点，若椭圆C上的点A(1，)到F1，F2两点的距离之和为4，则椭圆C的方程是________．
6．下列命题是真命题的是________(将所有真命题的序号都填上)．
①已知定点F1(－1，0)，F2(1，0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝的点P的轨迹为椭圆；②已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段；③到定点F1(－3，0)，F2(3，0)距离相等的点的轨迹为椭圆；④若点P到定点F1(－4，0)，F2(4，0)的距离之和等于点M(5，3)到定点F1(－4，0)，F2(4，0)的距离之和，则点P的轨迹为椭圆．
7．焦点在x轴上，且经过点(2，0)和点(1，)的椭圆的标准方程是____________．
三、解答题
8．(1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，并且经过点(，－)，求它的标准方程；
(2)若椭圆经过两点(2，0)和(0，1)，求椭圆的标准方程．
9．已知F1、F2是椭圆＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，且PF1⊥PF2，求△F1PF2的面积．
[尖子生题库]
10．一动圆过定点A(2，0)，且与定圆x2＋4x＋y2－32＝0内切，求动圆圆心M的轨迹方程．课时作业(十三) 点到直线的距离
一、选择题
1．点(5，－3)到直线x＋2＝0的距离等于( )
A．7 B．5
C．3 D．2
2．点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离是( )
A． B．
C． D．
3．已知点A(－3，－4)，B(6，3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值等于( )
A． B．－
C．－或－ D．－或
4．两条平行线l1：3x＋4y－7＝0和l2：3x＋4y－12＝0间的距离为( )
A．3 B．2
C．1 D．
二、填空题
5．若点(2，k)到直线5x－12y＋6＝0的距离是4，则k的值是________．
6．若点P在直线x＋y－4＝0上，O为原点，则|OP|的最小值是________．
7．分别过点A(－2，1)和点B(3，－5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是________．
三、解答题
8．求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且与直线l距离为3的直线方程．
9.已知△ABC三个顶点坐标A(－1，3)，B(－3，0)，C(1，2)，求△ABC的面积S.
[尖子生题库]
10．已知点P(2，－1)．
(1)求过点P且与原点的距离为2的直线的方程；
(2)求过点P且与原点的距离最大的直线的方程，并求出最大距离；
(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，说明理由．课时作业(二) 空间向量基本定理
一、选择题
1．下列命题中正确的个数是 ( )
①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线．
②向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面．
③如果三个向量a，b，c不共面，那么对于空间任意一个向量p存在有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.
④若a，b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底．
A．0 B．1
C．2 D．3
2．已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，p＝a＋b，q＝a－b，一定可以与向量p，q构成空间的另一个基底的是( )
A．a B．b
C．c D．无法确定
3．如图所示，空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且＝2，N为BC中点，则等于( )
A．a－b＋c
B．－a＋b＋c
C．a＋b－c
D．a＋b－c
4．对空间任一点O和不共线三点A、B、C，能得到P，A，B，C四点共面的是( )
A．＝
B．＝
C．＝－
D．以上皆错
二、填空题
5．下列命题是真命题的是________(填序号)．
①若A，B，C，D在一条直线上，则与是共线向量；
②若A，B，C，D不在一条直线上，则与不是共线向量；
③若向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上；
④若向量与是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上．
6．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝________，y＝________．
7．如图，点M为OA的中点，{}为空间的一个基底，＝x＋y＋z，则有序实数组(x，y，z)＝________．
三、解答题
8．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{}能否作为空间的一个基底．
9.
如图所示，在平行六面体ABCD A′B′C′D′中，＝a，＝b，＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量：
(1)；(2)；(3)；(4).
[尖子生题库]
10．如图所示，已知S是边长为1的正三角形ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC＝1，M、N分别是AB、SC的中点，求异面直线SM与BN所成角的余弦值．课时作业(九) 坐标法
一、选择题
1．在数轴上M、N、P的坐标分别是3、－1、－5，则MP－PN等于( )
A．－4 B．4
C．－12 D．12
2．已知线段AB的中点在坐标原点，且A(x，2)，B(3，y)，则x＋y等于( )
A．5 B．－1
C．1 D．－5
3．已知△ABC的顶点A(2，3)，B(－1，0)，C(2，0)，则△ABC的周长是( )
A．2 B．3＋2
C．6＋3 D．6＋
4．对于 ，下列说法不正确的是( )
A．可看作点(x，0)与点(1，2)的距离
B．可看作点(x，0)与点(－1，－2)的距离
C．可看作点(x，0)与点(－1，2)的距离
D．可看作点(x，－1)与点(－1，1)的距离
二、填空题
5．在△ABC中，设A(3，7)，B(－2，5)，若AC，BC的中点都在坐标轴上，则C点坐标为________．
6．已知三角形的三个顶点A(7，8)，B(10，4)，C(2，－4)，则BC边上的中线AM的长为________．
7．点A(1，－2)关于原点对称的对称点到(3，m)的距离是2，则m的值是________．
三、解答题
8．已知A(1，2)，B(4，－2)，试问在x轴上能否找到一点P，使∠APB为直角？
9.求证：三角形的中位线长度等于底边长度的一半．
[尖子生题库]
10．求函数y＝的最小值．课时作业(十二) 两条直线的位置关系
一、选择题
1．已知A(0，－4)，B(5，－4)，则直线AB与直线x＝0的位置关系是 ( )
A．平行 B．垂直
C．重合 D．非以上情况
2．下列说法正确的是( )
A．若直线l1与l2倾斜角相等，则l1∥l2
B．若直线l1⊥l2，则k1k2＝－1
C．若直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于y轴
D．若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行
3．已知直线l1的斜率为0，且l1⊥l2，则l2的倾斜角为( )
A．0° B．135°
C．90° D．180°
4．已知点A(1，2)，B(3，1)，则线段AB的垂直平分线的方程是( )
A．4x＋2y＝5 B．4x－2y＝5
C．x＋2y＝5 D．x－2y＝5
二、填空题
5．若直线ax＋2y＋3a＝0与直线3x＋(a－1)y＝－7＋a平行，则实数a的值为________．
6．已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足为(1，p)，则m＋n－p＝________．
7．已知△ABC的三个顶点分别是A(2，2)，B(0，1)，C(4，3)，点D(m，1)在边BC的高所在的直线上，则实数m＝________．
三、解答题
8．求满足下列条件的直线
(1)过点A(1，1)且与直线3x＋y－1＝0平行的直线的方程；
(2)直线l过点(－1，2)，且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程．
9.已知A(1，－1)，B(2，2)，C(3，0)三点，求点D的坐标，使CD⊥AB，且BC∥AD.
[尖子生题库]
10．(1)求A(3，2)关于B(－3，4)的对称点C的坐标；
(2)求直线3x－y－4＝0关于P(2，－1)对称的直线l的方程；
(3)求A(2，2)关于直线2x－4y＋9＝0的对称点B的坐标；
(4)求直线a：2x＋y－4＝0关于直线l：3x＋4y－1＝0对称的直线b的方程．课时作业(二十二) 双曲线的几何性质
一、选择题
1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
2．双曲线＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则其渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
3．若双曲线＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )
A． B．5
C． D．2
4．设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
二、填空题
5．设双曲线＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为________．
6．已知双曲线的渐近线方程是y＝±4x，则双曲线的离心率为________．
7．与双曲线x2－＝1有共同的渐近线，且过点(2，2)的双曲线的标准方程是________．
三、解答题
8．已知双曲线＝1的离心率是，求n.
9．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(3，－1)，点M(3，m)在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)求的值；
(3)求△F1MF2的面积．
[尖子生题库]
10．已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若<0，则y0的取值范围是( )
A．(－) B．(－)
C．(－) D．(－)模块质量检测
一、单项选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是( )
A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0
2．已知直线ax＋4y－2＝0与2x－5y＋b＝0互相垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c的值为( )
A．－4 B．20
C．0 D．24
3．已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)．若a，b，c三向量共面，则实数λ等于( )
A． B．
C． D．
4.
如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M为A1C1的中点，若＝＝c，＝b，则可表示为( )
A．－a＋b＋c B．a＋b＋c
C．－a－b＋c D．a－b＋c
5．双曲线＝1的离心率e∈(1，2)，则k的取值范围是( )
A．(－10，0) B．(－12，0)
C．(－3，0) D．(－60，－12)
6．已知椭圆＝1上的一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，O为原点，则|ON|等于( )
A.2 B．4
C．8 D．
7．若实数k满足0A．焦距相等 B．实半轴长相等
C．虚半轴长相等 D．离心率相等
8．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2＋y2≤2，若将军从点A(3，0)处出发，河岸线所在直线方程为x＋y＝4，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为( )
A．2 B．
C． D．3－
二、多项选择题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．已知两点A(－2，－4)，B(1，5)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值可能为( )
A．－3 B．－1
C．3 D．1
10．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－4x＝0.若直线y＝k(x＋1)上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值可以是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
11．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9，则( )
A．△ABF是等边三角形 B．|BF|＝3
C．点F到准线的距离为3 D．抛物线C的方程为y2＝6x
12．已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)、B(0，2)，则( )
A．点P到直线AB的距离小于10 B．点P到直线AB的距离大于2
C．当∠PBA最小时，|PB|＝3 D．当∠PBA最大时，|PB|＝3
三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．双曲线＝1的两条渐近线的方程为__________．
14．若直线ax－2y＋2＝0与直线x＋(a－3)y＋1＝0平行，则实数a的值为________．
15．若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝__________．
16．设PA⊥Rt△ABC所在的平面α，∠BAC＝90°，PB、PC分别与α成45°和30°角，PA＝2，则PA与BC的距离是________；点P到BC的距离是________.
四、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)[2022·北京期末]已知抛物线C：y2＝2px经过点(1，2)．
(1)求抛物线C的方程及其准线方程；
(2)经过抛物线C的焦点F的直线l与抛物线交于两点M, N, 且与抛物线的准线交于点Q.若|MN|＝2|QF|, 求直线l的方程．
18．(12分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝，D是棱AC的中点，且AB＝BC＝BB1＝2.
(1)求证：AB1∥平面BC1D；
(2)求异面直线AB1与BC1所成的角．
19．(12分)如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA＝PD＝，AB＝4.
(1)求证：M为PB的中点；
(2)求二面角B PD A的大小；
(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．
20．(12分)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的短轴长是2，且离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线y＝kx＋与椭圆C交于M，N两点，点A(2，0).问在直线x＝3上是否存在点P，使得四边形PAMN是平行四边形，若存在，求出k的值．若不存在，说明理由．
21．(12分)如图，在四棱锥P ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝.
(1)求证：PD⊥平面PAB;
(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；
(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
22．(12分)[2022·北京期末]已知椭圆E：＝1(a>b>0)的离心率为， 一个焦点为(2，0)．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设O为原点， 直线y＝x＋m(m≠0)与椭圆E交于不同的两点A, B, 且与x轴交于点C，P为线段OC的中点， 点B关于x轴的对称点为B1. 证明：△PAB1是等腰直角三角形．课时作业(十五) 圆的一般方程
一、选择题
1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )
A．(2，3) B．(－2，3)
C．(－2，－3) D．(2，－3)
2．方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是( )
A．一个点 B．一个圆
C．一条直线 D．不存在
3．已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围是( )
A．(－∞，－1)
B．(3，＋∞)
C．(－∞，－1)
D．(－，＋∞)
4．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为，则a的值为( )
A．－2或2 B．或
C．2或0 D．－2或0
二、填空题
5．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F＝________．
6．已知点E(1，0)在圆x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0的外部，则k的取值范围是________．
7．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________．
三、解答题
8．已知三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)，求△ABC外接圆的圆心到原点的距离．
9.已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为，求圆的一般方程．
[尖子生题库]
10．(1)若Rt△ABC的斜边的两端点A，B的坐标分别为(－3，0)和(7，0)，求直角顶点C的轨迹方程；
(2)已知坐标平面上动点M(x，y)与两个定点P(26，1)，Q(2，1)，且|MP|＝5|MQ|.求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．章末质量检测(二) 平面解析几何
一、单项选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．斜率为2的直线的倾斜角α所在的范围是( )
A．0°＜α＜45° B．45°＜α＜90°
C．90°＜α＜135° D．135°＜α＜180°
2．在x轴上的截距为2且倾斜角为60°的直线方程为( )
A．y＝x－2 B．y＝x＋2
C．y＝－x－2 D．y＝－x＋2
3．已知椭圆＝1(a>5)的两个焦点为F1，F2，且|F1F2|＝8，弦AB过点F1 ，则△ABF2的周长为( )
A．10 B. 20
C. 2 D．4
4．下列曲线中离心率为的是( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
5．已知直线l1：2x＋y＋n＝0与l2：4x＋my－4＝0互相平行，且l1，l2之间的距离为，则m＋n＝( )
A．－3或3 B．－2或4
C．－1或5 D．－2或2
6．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为( )
A． B．－
C. 8 D. －8
7．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4；则C的实轴长为( )
A． B．2
C．4 D．8
8．已知直线y＝kx＋m(m为常数)与圆x2＋y2＝4交于点M，N，当k变化时，若|MN|的最小值为2，则m＝( )
A．±1 B．±
C．± D．±2
二、多项选择题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．已知点M(1，2)关于直线l：y＝kx＋b对称的点是N(－1，6)，直线m过点M，则( )
A．kb＝－2 B．l在x轴上的截距是－8
C．点M到直线l的距离为1 D．当m∥l时，两直线间的距离为
10．已知圆C1：x2＋y2＝r2，圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，两圆交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，下列结论正确的有( )
A．a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0 B．2ax1＋2by1＝a2＋b2
C．x1＋x2＝a D．y1＋y2＝2b
11．已知P是椭圆C：＋y2＝1上的动点，Q是圆D：(x＋1)2＋y2＝上的动点，则( )
A．C的焦距为 B．C的离心率为
C．圆D在C的内部 D．|PQ|的最小值为
12．已知F1，F2分别是双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，A为左顶点，P为双曲线右支上一点．若|PF1|＝2|PF2|，且△PF1F2的最小内角为30°，则( )
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的渐近线方程为y＝±x
C．∠PAF2＝45°
D．直线x＋2y－2＝0与双曲线有两个公共点
三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．若直线ax－y＋1＝0经过抛物线y2＝4x的焦点，则实数a＝________．
14．已知双曲线C：＝1，则C的右焦点的坐标为________；C的焦点到其渐近线的距离是________．
15．已知P是直线kx＋4y－10＝0(k>0)上的动点，过点P作圆C：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，若四边形PACB面积的最小值为2，则k的值为________．
16．双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交曲线C右支于P，Q两点，且PQ⊥PF1，若3|PQ|＝4|PF1|，则C的离心率等于________．
四、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知Rt△ABC的顶点坐标A(－3，0)，直角顶点B(－1，－2)，顶点C在x轴上．
(1)求点C的坐标；
(2)求斜边所在直线的方程．
18．(12分)已知圆C：x2＋y2－2y－4＝0，直线l：mx－y＋1－m＝0.
(1)判断直线l与圆C的位置关系；
(2)若直线l与圆C交于不同的两点A，B，且|AB|＝3，求直线l的方程．
19．(12分)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，求该抛物线的方程及其准线方程．
20．(12分)已知椭圆C：＋y2＝1，过点P(1，0)的直线l交椭圆C于M，N两点．
(1)证明：|MN|≥；
(2)已知两点A1(－2，0)，A2(2，0)．记直线A1M的斜率为k1，直线A2N的斜率为k2，求的值．
21.(12分)已知椭圆E：＝1(a>b>0)过点M，且离心率为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)如图，过点P(0，2)的直线l与椭圆E相交于两个不同的点A，B，求·的取值范围．
22．(12分)已知椭圆ω：＝1(a>b>0)过点A(－2，0)，且a＝2b.
(1)求椭圆ω的方程；
(2)设O为原点，过点C(1，0)的直线l与椭圆ω交于P，Q两点，且直线l与x轴不重合，直线AP，AQ分别与y轴交于M，N两点，求证：|OM|·|ON|为定值．课时作业(十七) 圆与圆的位置关系
一、选择题
1．若两圆x2＋y2＝m和x2＋y2＋6x－8y－11＝0有公共点，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(121，＋∞)
C．[1，121] D．(1，121)
2．已知两圆的圆心距是6，两圆的半径分别是方程x2－6x＋8＝0的两个根，则这两个圆的位置关系是( )
A．外离 B．外切
C．相交 D．内切
3．半径为5且与圆x2＋y2－6x＋8y＝0相切于原点的圆的方程为( )
A．x2＋y2－6x－8y＝0
B．x2＋y2＋6x－8y＝0
C．x2＋y2＋6x＋8y＝0
D．x2＋y2－6x－8y＝0或x2＋y2－6x＋8y＝0
4．两圆C1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0，C2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0的公切线的条数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
二、填空题
5．圆x2＋y2＝50与圆x2＋y2－12x－6y＋40＝0的公共弦长为________．
6．圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则m的值为________．
7．两圆相交于两点A(1，3)和B(m，－1)，两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，则m＋c的值为________．
三、解答题
8．已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．
9．求与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4相切于点A(4，－1)且半径为1的圆的方程．
[尖子生题库]
10．圆心在直线x－y－4＝0上，且经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点的圆的方程为( )
A．x2＋y2－x＋7y－32＝0
B．x2＋y2－x＋7y－16＝0
C．x2＋y2－4x＋4y＋9＝0
D．x2＋y2－4x＋4y－8＝0章末质量检测(一) 空间向量与立体几何
一、单项选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．以下四组向量：①a＝(1，－2，1)，b＝(－1，2，－1)；②a＝(8，4，0)，b＝(2，1，0)；③a＝(1，0，－1)，b＝(－3，0，3)；④a＝(－，1，－1)，b＝(4，－3，3)．其中互相平行的是( )
A．②③ B．①④ C．①②④ D．①②③④
2．若a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1，2)，c＝(1，4，4)，且a，b，c共面，则λ＝( )
A．1 B．－1 C．1或2 D．±1
3．在四面体O ABC中，点P为棱BC的中点．设＝a，＝b，＝c，那么向量用基底{a，b，c}可表示为( )
A．－a＋b＋c B．－a＋b＋c
C．a＋b＋c D．a＋b＋c
4．正方体ABCD A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为( )
A． B． C． D．
5．已知长方体ABCD A1B1C1D1，下列向量的数量积一定不为0的是( )
·
·
6.
在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量两两的夹角均为60°，且||＝1，||＝＝3，则|等于( )
A．5 B．6
C．4 D．8
7．如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD－A1B1C1D1，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，则点B到直线A1C的距离为( )
A. B．
C． D．1
8．如图所示，在四面体PABC中，PC⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝PC，那么二面角B AP C的余弦值为( )
A． B．
C． D．
二、多项选择题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．已知空间向量a＝(－2，－1，1)，b＝(3，4，5)，则下列结论正确的是( )
A．(2a＋b)∥a B．5|a|＝|b|
C．a⊥(5a＋6b) D．a与b夹角的余弦值为－
10．定义空间两个向量的一种运算a?b＝|a|·|b|sin 〈a，b〉，则关于空间向量的上述运算，以下结论恒成立的是( )
A．ab＝ba
B．λ(ab)＝(λa)b
C．(a＋b)c＝(ac)＋(bc)
D．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则ab＝|x1y2－x2y1|
11．在以下命题中，不正确的是( )
A．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件
B．对a∥b(b≠0)，则存在唯一的实数λ，使a＝λb
C．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝2－2，则P，A，B，C四点共面
D．|(a·b)·c|＝|a|·|b|·|c|
12．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是A1D1和C1D1的中点，则下列结论正确的是( )
A．A1C1∥平面CEF B．B1D⊥平面CEF
C．＝－ D．点D与点B1到平面CEF的距离相等
三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．若a＝(2，－3，5)，b＝(－3，1，－4)，则|a－2b|＝__________．
14．在空间直角坐标系中，已知a＝(2，－1，3)，b＝(－4，2，x)．若a⊥b，则x＝________.
15．如图，在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以{}为基底，则＝________．
16．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下几个结论：
①AC⊥BD；
②△ACD是等边三角形；
③AB与平面BCD所成的角为60°；
④AB与CD所成的角为60°.
其中正确的结论的序号是________．
四、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点，AB＝2，AA1＝4.
(1)若＝，求x＋y＋z；
(2)以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，写出A1，C，D1，E的坐标，并求异面直线DE与CD1所成角的余弦值．
18．(12分)如图，在四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．
(1)证明：BE⊥DC；
(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
(3)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F AB P的余弦值．
19．(12分)如图，在三棱锥P ABC中，PA＝PB＝AB＝2，BC＝3，∠ABC＝90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．
(1)求证：DE∥平面PBC；
(2)求证：AB⊥PE；
(3)求二面角A PB E的大小．
20．(12分)请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答．
①AB⊥BC；②FC与平面ABCD所成的角为；③∠ABC＝.
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝2，PD的中点为F.
(1)在线段AB上是否存在一点G，使得AF∥平面PCG？若存在，指出G在AB上的位置并给以证明；若不存在，请说明理由；
(2)若________，求二面角F － AC － D的余弦值．
21．(12分)如图，在四棱锥P ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA＝AD＝CD＝2，BC＝3.E为PD的中点，点F在PC上，且＝.
(1)求证：CD⊥平面PAD；
(2)求二面角F AE P的余弦值；
(3)设点G在PB上，且＝.判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．
22．(12分)如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，CC1的中点，AB＝BC＝，AC＝AA1＝2.
(1)求证：AC⊥平面BEF；
(2)求二面角B CD C1的余弦值；
(3)证明：直线FG与平面BCD相交．课时作业(二十三) 抛物线的标准方程
一、选择题
1．以坐标原点为顶点，直线x＝1为准线的抛物线的标准方程为( )
A．y2＝2x B．y2＝－2x
C．y2＝4x D．y2＝－4x
2．若点P到定点F(4，0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点P的轨迹方程是 ( )
A．y2＝－16x
B．y2＝－32x
C．y2＝16x
D．y2＝16x或y＝0(x＜0)
3．抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M到焦点的距离是a，则点M的横坐标是( )
A．a＋ B．a－
C．a＋p D．a－p
4．探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处．已知灯口直径是60 cm，灯深40 cm，则光源到反光镜顶点的距离是( )
A．11.25 cm B．5.625 cm
C．20 cm D．10 cm
二、填空题
5．已知抛物线x2＝4y上一点P到焦点F的距离是5，则点P的横坐标是________．
6．抛物线x＝ay2(a≠0)的焦点坐标为________；准线方程为________．
7．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为________．
三、解答题
8．抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，准线为l，点P在l上，线段PF与抛物线C交于点A，若＝，点A到y轴的距离为1，求抛物线C的方程．
9.已知抛物线的顶点在原点，它的准线过＝1的一个焦点，且与x轴垂直．又抛物线与此双曲线交于点()，求抛物线和双曲线的方程．
[尖子生题库]
10．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点．
(1)求点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；
(2)若点B的坐标为(3，2)，求|PB|＋|PF|的最小值．课时作业(三) 空间向量的坐标与空间直角坐标系
一、选择题
1．已知a＝(1，1，0)，b＝(0，1，1)，c＝(1，0，1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，则p·q＝( )
A．－1 B．1
C．0 D．－2
2．已知a＝(1，5，－2)，b＝(m，2，m＋2)，若a⊥b，则m的值为( )
A．－6 B．2
C．6 D．8
3．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1，2)，且a与b的夹角的余弦值为，则λ＝( )
A．2 B．－2
C．－2或 D．2或－
4．已知a＝(－2，－3，1)，b＝(2，0，4)，c＝(－4，－6，2)，则下列结论正确的是( )
A．a∥c，b∥c B．a∥b，a⊥c
C．a∥c，a⊥b D．以上都不对
二、填空题
5．与a＝(2，－1，2)共线且满足a·z＝－18的向量z＝________．
6．已知a＝(2，4，x)，b＝(1，y，2)，
(1)若a∥b，则y＝________；
(2)若|a|＝6，且a⊥b，则y＝________．
7．已知点A(－1，3，1)，B(－1，3，4)，D(1，1，1)，若＝2，则||的值是________．
三、解答题
8．已知点A，B，C的坐标分别(0，1，0)，(－1，0，－1)，(2，1，1)，点P的坐标为(x，0，z)，若PA⊥AB，PA⊥AC，求点P的坐标．
9.棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点．
(1)求证：EF⊥CF；
(2)求与所成角的余弦值；
(3)求||的长．
[尖子生题库]
10.
如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是AA1，CB1的中点．
(1)求BM，BN的长；
(2)求△BMN的面积．课时作业(十一) 直线的方程
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示
B．经过任意两个不同点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示
C．不经过原点的直线都可以用方程＝1表示
D．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示
2．若AC＜0，BC＜0，则直线Ax＋By＋C＝0不通过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．直线l过点(－1，－1)和(2，5)，点(1 002，b)在直线l上，则b的值为( )
A．2 003 B．2 004
C．2 005 D．2 006
4．直线y－4＝－(x＋3)的倾斜角和所经过的定点分别是( )
A．30°，(－3，4) B．120°，(－3，4)
C．150°，(3，－4) D．120°，(3，－4)
二、填空题
5．直线y＝ax－3a＋2(a∈R)必过定点________．
6．直线l过点P(－1，2)，且它的方向向量是(1，2)，则直线l的方程为________．
7．已知光线经过点A(4，6)，且法向量是(3，－1)，则光线照在y轴上的点的坐标为________．
三、解答题
8．已知直线l的斜率是直线2x－3y＋12＝0的斜率的，l在y轴上的截距是直线2x－3y＋12＝0在y轴上的截距的2倍，求直线l的方程．
9.设直线l的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，根据下列条件分别确定k的值：
(1)直线l的斜率为－1；
(2)直线l在x轴，y轴上的截距之和等于0.
[尖子生题库]
10．求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程．课时作业(二十五) 直线与圆锥曲线的位置关系
一、选择题
1．直线y＝x＋2与椭圆＝1有两个公共点，则m的取值范围是( )
A．m>1 B．m>1且m≠3
C．m>3 D．m>0且m≠3
2．直线y＝kx－k＋1与椭圆＝1的位置关系为( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
3．抛物线y2＝12x截直线y＝2x＋1所得弦长等于( )
A． B．2
C． D．15
4．已知双曲线＝1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是( )
A．(－) B．(－)
C． D．[－ ]
二、填空题
5．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为________．
6．已知(4，2)是直线l被椭圆＝1所截得的线段的中点，则l的方程是________．
7．设双曲线Γ的方程为x2－＝1.设l是经过点M(1，1)的直线，且和Γ有且仅有一个公共点，则l的方程为________．
三、解答题
8．已知点A(0，－2)，椭圆E：＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．
(1)求E的方程；
(2)设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△POQ的面积最大时，求l的方程.
9.已知A，B分别为椭圆E：＋y2＝1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，·＝8.P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.
(1)求E的方程；
(2)证明：直线CD过定点．
[尖子生题库]
10．已知椭圆C：＝1(a＞b>0)，离心率是，原点与C和直线x＝1的交点围成的三角形面积是.若直线l过点(，0)，且与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是顶点)，D是椭圆C的右顶点，求证∠ADB是定值．课时作业(六) 直线与平面的夹角
一、选择题
1．如图所示，正方体ABCD A1B1C1D1中，BC1与对角面BB1D1D所成的角是( )
A. ∠C1BB1 B．∠C1BD
C．∠C1BD1 D．∠C1BO
2．正方体ABCD A1B1C1D1中，O为侧面BCC1B1的中心，则AO与平面ABCD所成角的正弦值为( )
A． B．
C． D．
3．正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点，则A1B1与平面A1EF夹角的正弦值为( )
A． B．
C． D．
4．如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱中，P是棱BC上的动点．记直线A1P与平面ABC所成的角为θ1，与直线BC所成角为θ2，则θ1，θ2的大小关系是( )
A．θ1＝θ2 B．θ1>θ2
C．θ1<θ2 D．不能确定
二、填空题
5．若平面α的一个法向量n＝(2，1，1)，直线l的一个方向向量为a＝(1，2，3)，则l与α所成角的正弦值为________．
6．如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，A1B和平面A1B1CD所成的角是________．
7．在正四棱锥S ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角为________．
三、解答题
8．如图所示，正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1所成角的正弦值．
9.
如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
(1)求证：AC⊥平面PDB；
(2)当PD＝AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．
[尖子生题库]
10．如图所示，已知点P在正方体ABCD A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.
(1)求DP与CC′所成角的大小；
(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小．
