课时作业(十六) 基本初等函数的导数
一、选择题
1．下列结论正确的是( )
A．若y＝cos x，则y′＝sin x
B．若y＝sin x，则y′＝－cos x
C．若y＝，则y′＝－
D．若y＝，则y′＝
2．在曲线f(x)＝上切线的倾斜角为π的点的坐标为( )
A．(1，1) B．(－1，－1)
C．(－1，1) D．(1，1)或(－1，－1)
3．已知y＝kx＋1是曲线y＝f(x)＝ln x的一条切线，则k＝________．
4．若f(x)＝sin x，f′(α)＝，则下列α的值中满足条件的是( )
A． B．
C． D．
二、填空题
5．已知f(x)＝x2，g(x)＝ln x，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝________．
6．直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x＞0)的一条切线，则实数b＝________．
7．若曲线y＝在点P(a，)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是________．
三、解答题
8．已知P(－1，1)，Q(2，4)是曲线y＝x2上的两点，
(1)求过点P，Q的曲线y＝x2的切线方程；
(2)求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．
9．求曲线f(x)＝x2过点P(1，0)的切线方程．
[尖子生题库]
10．(1)设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 023(x)＝________．
(2)点P是f(x)＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－1的最短距离是________．课时作业(二十三) 利用导数解决实际问题
一、选择题
1．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌墙壁所用的材料最省，堆料场的长和宽应分别为(单位：米)( )
A．32，16 B．30，15
C．40，20 D．36，18
2．将8分为两个非负数之和，使两个非负数的立方和最小，则应分为( )
A．2和6 B．4和4
C．3和5 D．以上都不对
3．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产量x的关系是R(x)＝则总利润最大时，每年生产的产品是( )
A．100 B．150
C．200 D．300
4．某产品的销售收入y1(单位：万元)是产量x(单位：千台)的函数，且关系式为y1＝17x2(x>0)，生产成本y2(单位：万元)是产量x(单位：千台)的函数，且关系式为y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，应生产该产品( )
A．6千台 B．7千台
C．8千台 D．9千台
二、填空题
5．已知某矩形广场面积为4万平方米，则其周长至少为________米．
6．已知矩形的两个顶点A、D位于x轴上，另两个顶点B、C位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，则这个矩形的面积最大时的边长为________．
7．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为10 km/h时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，当行驶每千米的费用总和最小时，此轮船的航行速度为________km/h.
三、解答题
8．如图，一矩形铁皮的长为8 cm，宽为5 cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？
9．一书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要库存费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？
[尖子生题库]
10．如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A处，乙厂与甲厂在海的同侧，乙厂位于离海岸40 km的B处，乙厂到海岸的垂足D与A相距50 km.两厂要在此岸边A，D之间合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，则供水站C建在何处才能使水管费用最省？课时作业(八) 等比数列的性质
一、选择题
1．已知a，b，c∈R，如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么( )
A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9
C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9
2．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是( )
A．a1，a3，a9成等比数列
B．a2，a3，a6成等比数列
C．a2，a4，a8成等比数列
D．a3，a6，a9成等比数列
3．若1，a1，a2，4成等差数列；1，b1，b2，b3，4成等比数列，则的值等于( )
A．－ B． C．± D．
4．在等比数列{an}中，a2a3a4＝1，a6a7a8＝64，则a5等于( )
A．2 B．－2 C．±2 D．4
二、填空题
5．在等比数列{an}中，各项都是正数，a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝4，则a4＋a8＝________．
6．等差数列{an}的公差d≠0，a1＝20，且a3，a7，a9成等比数列，则d＝________．
7．在等比数列{an}中，若a2，a8是方程x2－3x＋6＝0的两个根，则a4a6＝________．
三、解答题
8．在递增等比数列{an}中，a1a9＝64，a3＋a7＝20，求a11的值．
9．在等比数列{an}(n∈N＋)中，a1>1，公比q>0.设bn＝log2an，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0.
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{bn}的前n项和Sn及数列{an}的通项an.
[尖子生题库]
10．若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称该数列为“m积数列”．若各项均为正数的等比数列{an}是一个“2 020积数列”，且a1>1，则当其前n项的乘积取最大值时，n的最大值为( )
A．1 009 B．1 010
C．1 011 D．2 020课时作业(十七) 求导法则及其应用
一、选择题
1．若f(x)＝，则f(x)的导数是( )
A．
B．
C．
D．
2．函数f(x)＝x＋x ln x在(1，1)处的切线方程为( )
A．2x＋y－1＝0 B．2x－y－1＝0
C．2x＋y＋1＝0 D．2x－y＋1＝0
3．设曲线y＝在点(3，2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a＝( )
A．2 B．
C．－ D．－2
4．函数y＝(2 023－8x)3的导数y′＝( )
A．3(2 023－8x)2 B．－24x
C．－24(2 023－8x)2 D．24(2 023－8x)2
二、填空题
5．已知f(x)＝ln (3x－1)，则f′(1)＝________．
6．若曲线y＝x ln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．
7．设曲线y＝eax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________．
三、解答题
8．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8.
(1)求a，b的值；
(2)设函数g(x)＝ex sin x＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程．
9．曲线y＝e2x＋1在点(－，1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程．
[尖子生题库]
10．(1)已知f(x)＝eπxsin πx，求f′(x)及f′()；
(2)在曲线y＝上求一点，使在该点的切线平行于x轴，并求切线方程．课时作业(十八) 导数与函数的单调性
一、选择题
1．函数y＝x＋x ln x的单调递减区间是( )
A．(－∞，e－2) B．(0，e－2)
C．(e－2，＋∞) D．(e2，＋∞)
2．如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下面判断正确的是( )
A.在区间(－2，1)上f(x)是增函数
B．在区间(1，3)上f(x)是减函数
C．在区间(4，5)上f(x)是增函数
D．在区间(3，5)上f(x)是增函数
3．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )
A．y＝sin x B．y＝xex
C．y＝x3－x D．y＝ln x－x
4．在同一坐标系中作出三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)及其导函数的图象，下列一定不正确的序号是( )
A．①② B．①③
C．③④ D．①④
二、填空题
5．函数f(x)＝x－2sin x在(0，π)上的单调递增区间为________．
6．在R上可导的函数f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式xf′(x)<0的解集为________．
7．若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则b的取值范围是________．
三、解答题
8．设函数f(x)＝a2ln x－x2＋ax(a>0).求f(x)的单调区间．
9．若函数f(x)＝x3－mx2＋2m2－5的单调递减区间是(－9，0)，求m的值及函数的其他单调区间．
[尖子生题库]
10．判断函数f(x)＝2x(ex－1)－x2的单调性．课时作业(十四) 瞬时变化率与导数
一、选择题
1．已知y＝f(x)＝－x2＋10，则y＝f(x)在x＝处的瞬时变化率是( )
A．3 B．－3
C．2 D．－2
2．(多选)下列各式正确的是( )
A．f′(x0)＝
B．f′(x0)＝
C．f′(x0)＝l
D．f′(x0)＝
3．若y＝f(x)＝，则f′(1)＝( )
A．1 B．－1
C． D．－
4．若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值是( )
A．1 B．－1
C．±1 D．3
二、填空题
5．在曲线f(x)＝x2＋3上取一点P(1，4)及附近一点(1＋Δx，4＋Δy)，则：
(1)＝____________；
(2)f′(1)＝____________．
6．已知物体运动的速度与时间之间的关系是v(t)＝t2＋2t＋2，则在时间间隔[1，1＋Δt]内的平均加速度是________，在t＝1时的瞬时加速度是________．
7．设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，
且＝a，则f′(x0)＝________．
三、解答题
8．求函数f(x)＝x＋在x＝1处的导数．
9．若函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，求a的值．
[尖子生题库]
10．一条水管中流过的水量y(单位：m3)与时间t(单位：s)之间的函数关系为y＝f(t)＝3t.求函数y＝f(t)在t＝2处的导数f′(2)，并解释它的实际意义．课时作业(十三) 函数的平均变化率
一、选择题
1．函数f(x)＝x2－1在区间[1，m]上的平均变化率为3，则实数m的值为( )
A．3 B．2
C．1 D．4
2．已知函数y＝2＋，当x由1变到2时，函数值的改变量Δy等于( )
A． B．－
C．1 D．－1
3．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x，②y＝x2，③y＝x3，④y＝中，平均变化率最大的是( )
A．④ B．③
C．② D．①
4．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．
加油时间 加油量(升) 加油时累计 里程(千米)
2021年10月1日 12 35 000
2021年10月15日 60 35 600
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( )
A．6升 B．8升
C．10升 D．12升
二、填空题
5．一物体的运动方程是s＝3＋2t，则在[2，2.1]这段时间内的平均速度是__________．
6．如图，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________．
7．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在函数y＝f(x)的图象上，若函数f(x)从x1到x2的平均变化率为，则曲线y＝f(x)的割线AB的倾斜角为________．
三、解答题
8．为了检测甲、乙两辆车的刹车性能，分别对两辆车进行了测试，甲车从25 m/s到0 m/s花了5 s，乙车从18 m/s到0 m/s花了4 s，试比较两辆车的刹车性能．
9．已知函数f(x)＝3x2＋5，求f(x)：
(1)从0.1到0.2的平均变化率；
(2)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率．
[尖子生题库]
10．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化AB段、BC段曲线的陡峭程度吗？课时作业(三) 等差数列的定义
一、选择题
1．已知数列{an}满足a1＝5，an＋1＝an＋3，若an＝20，则n＝( )
A．3 B．4
C．5 D．6
2．在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．6
3．在等差数列{an}中，若a1＝84，a2＝80，则使an≥0，且an＋1<0的n为( )
A．21 B．22
C．23 D．24
4．数列{an}中，a1＝5，an＋1＝an＋3，那么这个数列的通项公式是( )
A．3n－1 B．3n＋2
C．3n－2 D．3n＋1
二、填空题
5．已知等差数列－8，－3，2，7，…，则该数列的第100项为________．
6．等差数列{an}中，a2＝1，a5＝7，则公差d＝________．
7．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是________．
三、解答题
8．在等差数列{an}中，a2＋a5＝24，a17＝66.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求a2 018；
(3)2 022是否为数列{an}中的项？若是，则为第几项？
9．若m≠n，两个等差数列m，a1，a2，n与m，b1，b2，b3，n的公差分别为d1和d2，求的值．
[尖子生题库]
10(1)在数列{an}中，a2＝2，a6＝0，且数列{}是等差数列，则a4＝________，an＝________．
(2)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝.
①数列是否为等差数列？说明理由；
②求an.课时作业(十一) 数列的应用
一、选择题
1．自新冠肺炎疫情发生以来，防护服成为紧缺的医疗物资，一家公司承担起了生产医用防护服的重任，24小时内生产线就已经投入生产，某日，公司将生产的36 000套防护服分为三批运至疫区．已知一、二、三车间生产的防护服数分别为a，b，c，且a，b，c成等差数列，则二车间生产的防护服数为( )
A．8 000 B．10 000
C．12 000 D．15 000
2．某家庭决定要进行一项投资活动，预计每周收益1%.假设起始投入1万元，按照复利(复利是指在每经过一个计息期后，都将所得利息加入本金，以计算下期的利息)计算，经过100周，该家庭在此项投资活动的资产总额大约为( )
A．1.3万元 B．1.7万元
C．2.3万元 D．2.7万元
3．某企业在今年年初贷款a万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还( )
A．万元 B．万元
C．万元 D．万元
4．《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功疾，初日织六尺，今一月织十一匹三丈(1匹＝40尺，一丈＝10尺)，问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织6尺，一月织了十一匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，记该女子一个月中的第n天所织布的尺数为an，则的值为( )
A． B． C． D．
二、填空题
5．假设每次用相同体积的清水漂洗一件衣服，且每次能洗去污垢的，那么至少要清洗________次才能使存留的污垢不超过1%.
6．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次第，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要等级分明，要孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为________．
7．我国古代数学名著《九章算术》里有一题：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：________日相逢？
三、解答题
8．王某2020年12月31日向银行贷款100 000元，银行贷款年利率为5%，若此贷款分十年还清(2030年12月31日还清)，每年年底等额还款(每次还款金额相同)，设第n年末还款后此人在银行的欠款额为an元.
(1)设每年的还款额为m元，请用m表示出a2；
(2)求每年的还款额(精确到1元，参考数据1.0510≈1.628 9).
9．一支车队有15辆车，某天依次出发执行任务．第1辆车于下午2时出发，第2辆车于下午2时10分出发，第3辆车于下午2时20分出发，依此类推．假设所有的司机都连续开车，并且都在下午6时停下休息．
(1)到下午6时，最后一辆车行驶了多长时间？
(2)如果每辆车的行驶速度都是60 km/h，这支车队当天总共行驶了多少路程？
[尖子生题库]
10．从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.
(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an，bn的表达式；
(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？课时作业(十二) 数学归纳法
一、选择题
1．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)”的过程中，第二步n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到( )
A．1＋2＋22＋…＋2k－2＋2k－1＝2k＋1－1
B．1＋2＋22＋…＋2k＋2k＋1＝2k－1＋2k＋1
C．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1
D．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1
2．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋( )
A． B．π
C．2π D．π
3．用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)·(2n＋1)时，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式为( )
A．1 B．1＋3
C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4
4．一个与自然数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立推得n＝k＋2时命题也成立，则( )
A．该命题对于n＞2的自然数n都成立
B．该命题对于所有的正偶数都成立
C．该命题何时成立与k取什么值无关
D．以上答案都不对
二、填空题
5．用数学归纳法证明：设f(n)＝1＋＋＋…＋，则n＋f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝nf(n)(n∈N＋，且n≥2)第一步要证明的式子是________________．
6．用数学归纳法证明“n∈N＋，n(n＋1)(2n＋1)能被6整除”时，某同学证法如下：
(1)n＝1时1×2×3＝6能被6整除，
∴n＝1时命题成立．
(2)假设n＝k时成立，即k(k＋1)(2k＋1)能被6整除，那么n＝k＋1时，
(k＋1)(k＋2)(2k＋3)＝(k＋1)(k＋2)[k＋(k＋3)]
＝k(k＋1)(k＋2)＋(k＋1)(k＋2)(k＋3).
∵k，k＋1，k＋2和k＋1，k＋2，k＋3分别是三个连续自然数．
∴其积能被6整除．故n＝k＋1时命题成立．
综合(1)(2)，对一切n∈N＋，n(n＋1)(2n＋1)能被6整除．
这种证明不是数学归纳法，主要原因是________________________．
7．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，则f(n＋1)－f(n)＝________________．
三、解答题
8．证明：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1).
9．设x＞－1，且x≠0，n为大于1的自然数，用数学归纳法证明(1＋x)n＞1＋nx.
[尖子生题库]
10．设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1，2，3，….
(1)求a1，a2；
(2)猜想数列{Sn}的通项公式，并给出严格证明．课时作业(二十一) 导数与函数的最值
一、选择题
1．函数f(x)＝x3－3x＋1在区间[－3，0]上的最大值和最小值分别是( )
A．1，－1 B．1，－17
C．3，－17 D．9，－19
2．函数f(x)＝x＋2cos x在区间[－，0]上的最小值是( )
A．－ B．2
C．＋ D．＋1
3．函数f(x)＝在区间[2，4]上的最小值为( )
A．0 B． C． D．
4．(多选)下列关于函数f(x)＝(2x－x2)ex的判断正确的是( )
A．f(x)>0的解集是{x|0
B．f(－)是极小值，f()是极大值
C．f(x)没有最小值，也没有最大值
D．f(x)有最大值，无最小值
二、填空题
5．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2，2]上有最小值－37，则a的值为________， f(x)在[－2，2]上的最大值为________．
6．函数f(x)＝的最大值为 ________．
7．已知函数f(x)＝＋2ln x，若当a>0时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________．
三、解答题
8．已知a∈R，函数f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在区间[0，2]上的最大值．
9．已知函数f(x)＝ln x－.
(1)若f(x)存在最小值且最小值为2，求a的值；
(2)设g(x)＝ln x－a，若g(x)[尖子生题库]
10．已知函数f(x)＝ln x＋.
(1)当a<0时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在[1，e]上的最小值是，求a的值．课时作业(十) 特殊数列的前n项和
一、选择题
1．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝3，且a2 018＋a2 019＝0，则S673＝( )
A．3 B．2 019
C．－3 D．－2 019
2．数列，，，…，，…的前n项和为( )
A． B．
C． D．
3．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－1)，则a1＋a2＋…＋a10＝( )
A．15 B．12
C．－12 D．－15
4．设Sn为数列{an}的前n项和，an＝1＋2＋22＋…＋2n－1，则Sn的值为( )
A．2n－1 B．2n－1－1
C．2n－n－1 D．2n＋1－n－2
二、填空题
5．已知an＝(n∈N＋)，则a1＋a2＋a3＋…＋a80＝________．
6．若f(x)＋f(1－x)＝2，an＝f(0)＋f ()＋f()＋…＋f ()＋f(1)(n∈N＋)，则数列{an}的通项公式是________．
7．设数列{nan}的前n项和为Tn，若nan＝n·(－)n－1，则Tn＝________．
三、解答题
8．已知数列{an}是公差为2的等差数列，它的前n项和为Sn，且a1，a3，a7成等比数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列{}的前n项和Tn.
9．已知等差数列{an}的前4项和为10，且a2，a3，a7成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝an＋2n，求数列{bn}的前n项和Sn.
[尖子生题库]
10．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{}是公差为1的等差数列，且a2＝3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝an·3n，求数列{bn}的前n项和Tn.课时作业(一) 数列的概念
1．解析：由数列的定义知，数列是特殊的函数，其定义域是正整数集或它的有限子集{1，2，3，…，n}，选项A，B正确；由于数列有有穷数列与无穷数列之分，即数列的项数可以是有限的，也可以是无限的，C不正确；数列通项的表达式可以不唯一，例如，数列1，－1，1，－1，…的通项可以是an＝(－1)n＋1，也可以是an＝cos (n－1)π，D不正确．故选AB.
答案：AB
2．解析：由通项公式得a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，所以a2·a3＝20.
答案：C
3．解析：第一项为正数，B、D中求出第一项均为负数，排除．
而A、C均满足a1＝2，A中a2＝－5，a3＝8，排除A；C中满足a2＝－5，a3＝9，a4＝－14，故选C.
答案：C
4．解析：①是错误的，数列各项顺序不同，即表示不同的数列；②是错误的，数列{an}表达数列a1，a2，a3，a4，…，an，…，而数列{a2n－1}表达数列a1，a3，a5，…，a2n－1，…，不是同一数列；③是正确的，数列－1，1，－1，1，…的通项公式可以是an＝(－1)n，an＝cos nπ等；④是错误的，显然当n＝5时，a5＝7，不是数列中的项．故选C.
答案：C
5．解析：由于数列的前几项的根号下的数是由小到大的奇数，所以需要填空的数为.
答案：
6．解析：因为an＋1－an＝－＝>0，
所以数列{an}是递增数列．
答案：递增
7．解析：令＝0.98＝，解得n＝7.
答案：7
8．解析：(1)这个数列前5项中，每一项的分子比分母少1，且分母依次为21，22，23，24，25，所以它的一个通项公式为an＝.
(2)这个数列的奇数项为负，偶数项为正，前6项的绝对值可看作分母依次为1，2，3，4，5，6，分子依次为1，3，1，3，1，3，所以它的一个通项公式为an＝
(3)这个数列的前4项可写为(10－1)，(102－1)，(103－1)，(104－1)，所以它的一个通项公式为an＝(10n－1).
9．解析：(1)令30＋n－n2＝－60，即n2－n－90＝0，
解得n＝10或n＝－9(舍去)，
∴－60是这个数列的第10项，即a10＝－60.
(2)令30＋n－n2＝0，即n2－n－30＝0，
解得n＝6或n＝－5(舍去)，
即当n＝6时，an＝0.
令30＋n－n2>0，即n2－n－30<0，
解得－5又n∈N＋，
∴当n＝1，2，3，4，5时，an>0.
(3)an＝30＋n－n2＝－＋，
∵n∈N＋，∴当n＝1时，an取得最大值，最大值为30.
10．解析：因为数列{an}是递增数列，可得an＋1>an对于任意的n∈N*恒成立，
即(n＋1)2＋k(n＋1)>n2＋kn，整理可得：2n＋1＋k>0，
所以k>－2n－1对于任意的n∈N*恒成立，
因为f(n)＝－2n－1单调递减，所以f(n)max＝f(1)＝－3，所以k>－3.
答案：(－3，＋∞)
课时作业(二) 数列中的递推
1．解析：由题意可知C选项符合．
答案：C
2．解析：a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，观察得an＝.
答案：C
3．解析：由递推公式可知符合该递推公式的数列，每一项的倍为后一项，所以只有B符合．
答案：B
4．解析：方法一 由已知可得，a1＝2，a2＝－，a3＝2，a4＝－，∴{an}是周期为2的数列，则a2 019＝a1 009×2＋1＝a1＝2.
方法二 ∵an＝－(n≥2)，∴an＋2＝－＝an，
∴{an}是周期为2的数列，则a2 019＝a1 009×2＋1＝a1＝2.
答案：C
5．解析：由题可知，当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝3n2＋n＋1－[3(n－1)2＋(n－1)＋1]＝6n－2，
当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＋1＝5，
∴an＝
答案：
6．解析：∵an＋1－an＝－1，
∴当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋(－1)＋(－1)＋…＋(－1),\s\do4(共(n－1)个))
＝2＋(－1)×(n－1)＝3－n.
当n＝1时，a1＝2也符合上式．故数列的通项an＝3－n(n∈N*).
答案：3－n
7．解析：因为an·an＋2＝an＋1(n∈N*)，由a1＝1，a2＝2，得a3＝2；
由a2＝2，a3＝2，得a4＝1；
由a3＝2，a4＝1，得a5＝；
由a4＝1，a5＝，得a6＝；
由a5＝，a6＝，得a7＝1；
由a6＝，a7＝1，得a8＝2
由此推理可得数列{an}是一个周期为6的周期数列，所以a2 019＝a3＝2.
答案：2
8．解析：可依次代入项数进行求值．
a1＝2，a2＝＝－2，a3＝＝－，
a4＝＝－，a5＝＝－.
即数列{an}的前5项为2，－2，－，－，－.
也可写为，，，，.
即分子都是－2，分母依次加2，且都是奇数，所以
an＝－(n∈N＋).
9．解析：(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－4n－[(n－1)2－4(n－1)]＝2n－5，
当n＝1时，a1＝S1＝1－4＝－3满足上式，
所以an＝2n－5.
(2)Sn＝n2－4n＝(n－2)2－4，
结合二次函数的性质可知当n＝2时，Sn有最小值－4，无最大值．
10．解析：∵(n＋1)a－na＋an＋1an＝0，
∴(an＋1＋an)[(n＋1)an＋1－nan]＝0.
又∵an>0，∴an＋1＋an>0.∴(n＋1)an＋1－nan＝0，
即＝.
∴···…·＝×××…×.
∴＝.又 a1＝1，∴an＝.
课时作业(三) 等差数列的定义
1．解析：数列{an}中，因an＋1＝an＋3，即an＋1－an＝3，则数列{an}是公差d＝3的等差数列，
于是得an＝a1＋(n－1)d＝3n＋2，由an＝20，即3n＋2＝20，解得n＝6.
答案：D
2．解析：方法一 设{an}的首项为a1，公差为d，则有得所以a6＝a1＋5d＝0.
方法二 在等差数列{an}中，因为a2，a4，a6成等差数列，即a4是a2与a6的等差中项．所以a6＝2a4－a2＝2×2－4＝0.
答案：B
3．解析：公差d＝a2－a1＝－4，
∴an＝a1＋(n－1)d＝84＋(n－1)(－4)＝88－4n，
令即 21又∵n∈N*，∴n＝22.
答案：B
4．解析：因为an＋1－an＝3，所以数列{an}是以5为首项，3为公差的等差数列，
则an＝5＋3(n－1)＝3n＋2，n∈N*.
故选B.
答案：B
5．解析：依题意得，该数列的首项为－8，公差为5，所以a100＝－8＋99×5＝487.
答案：487
6．解析：由已知可得d＝＝2.
答案：2
7．解析：设an＝－24＋(n－1)d，
由解得答案：(，3]
8．解析：(1)由题意，设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
由a2＋a5＝24，a17＝66，
即，解得，
所以，数列{an}的通项公式为an＝4n－2.
(2)由(1)可得a2 018＝4×2 018－2＝8 070.
(3)令an＝4n－2＝2 022，解得n＝506，
所以，2 022是数列{an}中的第506项．
9．解析：因为n－m＝3d1，所以d1＝(n－m).
又n－m＝4d2，所以d2＝(n－m).
故＝＝.
10．解析：(1)由题意可知＝＋，
解得a4＝.
又＝＋(n－2)(－)×＝，
∴an＝－1＝.
(2)①数列是等差数列．理由如下：
因为a1＝2，an＋1＝，
所以＝＝＋，
所以－＝，
即是首项为＝，公差为d＝的等差数列．
②由①可知，＝＋(n－1)d＝，
所以an＝.
答案：(1) (2)见解析
课时作业(四) 等差数列的性质
1．解析：由题意知，a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9成等差数列，所以a3＋a6＋a9＝2(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝33.
答案：D
2．解析：由数列满足2an＋1＝an＋an＋2，根据等差中项公式，可得数列{an}为等差数列，
故a7＋a5＝2a6＝6，即a6＝3，又a8＝7＝3＋2d，∴d＝2，
则a2 019＝a8＋2 011d＝7＋4 022＝4 029.
故选C.
答案：C
3．解析：根据等差数列的性质得，a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，
由于a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，
所以a51＝0，a3＋a99＝2a51＝0.
答案：CD
4．解析：由＝＋，得－＝－，则数列{}是首项为＝1，公差为－＝2－1＝1的等差数列，所以＝n，即an＝.
答案：BC
5．解析：∵{an}，{bn}均为等差数列，
∴{an＋bn}也为等差数列．
又∵a1＋b1＝100，a98＋b98＝100，
∴{an＋bn}是常数列，
即an＋bn＝100.
代入n＝2 021，得a2 021＋b2 021＝100.
答案：100
6．解析：∵5，x，y，z，21成等差数列，∴y是5和21的等差中项也是x和z的等差中项，∴5＋21＝2y，∴y＝13，x＋z＝2y＝26，∴x＋y＋z＝39.
答案：39
7．解析：设A为其等差中项，则A＝＝＝15.
答案：15
8．解析：(1)∵a1＋a2＋a3＝12，∴a2＝4.
∵a8＝a2＋(8－2)d，∴16＝4＋6d，∴d＝2，∴an＝a2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×2＝2n.
(2)a2＝4，a4＝8，a6＝12，a8＝16，…，a2n＝4n.
当n>1时，a2n－a2(n－1)＝4n－4(n－1)＝4，
∴{bn}是以4为首项，4为公差的等差数列．∴bn＝b1＋(n－1)d＝4＋4(n－1)＝4n.
9．解析：由题意得
∵从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列{an}，设其公差为d
∴，解得
∴a10＝a1＋9d＝15.5－9＝6.5，
故立夏的日影子长为6.5尺．
10．解析：(1)若an＝5－3n，满足a1＋a2＝2＋(－1)＝1>0，但a2＋a3＝(－1)＋(－4)＝－5<0，A错误；
an＝5－3n也满足a1＋a3＝2＋(－4)＝－2<0，
但a1＋a2＝2＋(－1)＝1>0，B错误；
若0，C正确；
设等差数列{an}的公差为d，则(a2－a1)(a2－a3)＝－d2≤0，D错误．故选ABD.
(2)①由题意得，等差数列{an}的通项公式为an＝3－5(n－1)＝8－5n，
设数列{bn}的第n项是数列{an}的第m项，则需满足m＝4n－1，n∈N＋.
所以b1＝a3＝8－5×3＝－7，
b2＝a7＝8－5×7＝－27.
②由①知bn＋1－bn＝a4(n＋1)－1－a4n－1＝4d＝－20，
所以数列{bn}也为等差数列，且首项b1＝－7，公差d′＝－20，
所以bn＝b1＋(n－1)d′＝－7＋(n－1)×(－20)＝13－20n.
③因为m＝4n－1，n∈N＋，
所以当n＝110时，m＝4×110－1＝439，
所以数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第439项．
答案：(1)ABD (2)见解析
课时作业(五) 等差数列的前n项和
1．解析：设{an}的首项为a1，公差为d，则有所以
所以S5＝5a1＋d＝15.
答案：B
2．解析：等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，
∴λ＝－1.
答案：B
3．解析：方法一 ∵a1＋a5＝2a3，
∴a1＋a3＋a5＝3a3＝3，
∴a3＝1，
∴S5＝＝5a3＝5，故选A.
方法二 ∵a1＋a3＋a5＝a1＋(a1＋2d)＋(a1＋4d)＝3a1＋6d＝3，∴a1＋2d＝1，
∴S5＝5a1＋d＝5(a1＋2d)＝5，故选A.
答案：A
4．解析：由题意知a1＋a2＋a3＋a4＝124，
an＋an－1＋an－2＋an－3＝156，
∴4(a1＋an)＝280，
∴a1＋an＝70.又Sn＝＝×70＝210，
∴n＝6.
答案：B
5．解析：等差数列{an}中，S5＝5a3＝－10，得a3＝－2，又a2＝－3，所以公差d＝a3－a2＝1，a5＝a3＋2d＝0，由等差数列{an}的性质得n≤5时，an≤0，n≥6时，an大于0，所以Sn的最小值为S4或S5，即为－10.
答案：0 －10
6．解析：因为等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数，所以由二次函数的对称性质及S2 011＝S2 016，Sk＝S2 008，可得＝，解得k＝2 019.
答案：2 019
7．解析：∵a7＋a8＋a9＝3a8>0，a7＋a10＝a8＋a9<0，
∴a8>0，a9<0.
∴当n＝8时，数列{an}的前n项和最大．
答案：8
8．解析：(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d.
则解得
∴an＝a1＋(n－1)d＝12＋(n－1)×2＝10＋2n.
(2)由Sn＝na1＋d以及a1＝12，d＝2，Sn＝242，
得方程242＝12n＋×2，即n2＋11n－242＝0，解得n＝11或n＝－22(舍去).故n＝11.
9．解析：由解得
∴a5＝a1＋4d＝0，∴S4＝S5同时最大．
∴n＝4或5.
10．解析：设等差数列{an}的公差为d，
则Sn＝na1＋d.
∵S7＝7，S15＝75，∴
即解得
∴＝a1＋d＝－2＋，
∴－＝，
∴数列{}是等差数列，且其首项为－2，公差为.
∴Tn＝n2－n.
课时作业(六) 等差数列的前n项和的性质
1．解析：am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，
所以公差d＝am＋1－am＝1，由Sm＝＝0，得a1＝－2，
所以am＝－2＋(m－1)×1＝2，解得m＝5，故选C.
答案：C
2．解析：S奇＝，S偶＝，
∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴＝.
答案：B
3．解析：由于a5＋a9－a7＝10，得2a7－a7＝10，
∴a7＝10，则S13＝＝13a7＝130.
答案：A
4．解析：由S7a1＋a2＋a3＋…＋a7即a8>0，又∵S8＝S9，
∴a1＋a2＋…＋a8＝a1＋a2＋…＋a8＋a9，
∴a9＝0，故B正确；
同理，由S9>S10，得a10<0，
∵d＝a10－a9<0，故A正确；
对于C，S11>S7，即a8＋a9＋a10＋a11>0，
可得2(a9＋a10)>0，
由结论a9＝0，a10<0，显然C错误；
∵S7S10，∴S8与S9均为Sn的最大值，故D正确．
答案：ABD
5．解析：记该等差数列为{an}，其前n项和为Sn，由题意可得a1＋a2＋a3＋a4＝40，an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，
两式相加结合等差数列的性质可得，4(a1＋an)＝120，
解得a1＋an＝30，∴Sn＝＝15n＝720.
解得n＝48.
答案：48
6．解析：S偶－S奇＝5d＝15－＝，∴d＝.
由10a1＋×＝15＋＝，得a1＝.
答案：
7．解析：＝＝＝＝＝＝.
答案：
8．解析：由a1＝－7，an＋2＝an＋2，可得an＋2－an＝2，
∴a1，a3，a5，a7，…，a99是以－7为首项，公差为2的等差数列，共50项．
∴a1＋a3＋a5＋…＋a99＝50×(－7)＋×2
＝2 100.
同理，a2，a4，a6，…，a100是以3为首项，公差为2的等差数列，共50项．
∴a2＋a4＋a6＋…＋a100＝50×3＋×2
＝2 600.
∴S100＝2 100＋2 600＝4 700.
9．解析：(1)∵an＋2－2an＋1＋an＝0.
∴an＋2－an＋1＝an＋1－an＝…＝a2－a1.
∴{an}是等差数列且a1＝8，a4＝2，∴d＝－2，
故an＝a1＋(n－1)d＝10－2n.
(2)∵an＝10－2n，令an＝0，得n＝5.
当n>5时，an<0；当n＝5时，an＝0；当n<5时，an>0.
∴当n≤5时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝9n－n2.
当n>5时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn
＝2·(9×5－25)－9n＋n2＝n2－9n＋40，
∴Sn＝
10．解析：设从第2天开始，每天比前一天多织d尺布，则S30＝30×5＋d＝390，解得d＝，
即每天增加的数量为，
∴a14＋a15＋a16＋a17＝a1＋13d＋a1＋14d＋a1＋15d＋a1＋16d＝4a1＋58d＝4×5＋58×＝52.
答案： 52
课时作业(七) 等比数列的定义
1．解析：由an＋1＋2an＝0知an＋1＝－2an，故{an}是以－2为公比的等比数列，
所以＝＝＝q2＝4.
答案：C
2．解析：已知a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，
∴q2＝9，∴q＝3或－3(舍去)，
∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.
答案：B
3．解析：若q<0，则等比数列{an}为摆动数列，由于等比数列{an}为递减数列，则q>0.
若a1>0，则an＝a1qn－1>0，由an＋1所以q<1；
所以a1>0，等比数列{an}为递减数列 0所以若a1>0，“q<1”是“等比数列{an}为递减数列”的必要不充分条件．
答案：B
4．解析：由题意2q3＝4q＋2q2，得q2－q－2＝0，解得q＝2(负值舍去)，选项A正确；
an＝2×2n－1＝2n，选项B正确，C错误；
an＋an＋1＝3an，而an＋2＝4an>3an，选项D正确．
答案：ABD
5．解析：由已知得＝＝q7＝128＝27，故q＝2.
所以an＝a1qn－1＝a1q2·qn－3＝a3·qn－3＝3×2n－3.
答案：3×2n－3
6．解析：因为an＋1＝3an且a1＝2，所以＝3，所以数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列，
所以an＝2×3n－1.
答案：2×3n－1
7．解析：由{an}为等比数列，设公比为q.
即
显然q≠1，a1≠0，
得，1－q＝3，即q＝－2，代入①式可得a1＝1，
所以a4＝a1q3＝1×(－2)3＝－8.
答案：－8
8．解析：(1)∵＝＝q4＝4，
∴q2＝2，又∵q>0，∴q＝，
∴an＝a3·qn－3＝4·()n－3＝2(n∈N＋).
(2)∵a3＝a1·q2，即8＝2q2，
∴q2＝4，∴q＝±2.
当q＝2时，an＝a1qn－1＝2×2n－1＝2n，
当q＝－2时， an＝a1qn－1＝2(－2)n－1＝(－1)n－12n，
∴数列{an}的公比为2或－2，
对应的通项公式分别为an＝2n或an＝(－1)n－12n.
9．解析：(1)由条件可得an＋1＝an.
将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.
将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.
从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.
(2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
由条件可得＝，(构造法 )即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
(3)由(2)可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1.
10．解析：证明：(1)方法一 因为an＋1＝2an＋1，
所以an＋1＋1＝2(an＋1).
由a1＝1，知a1＋1≠0，从而an＋1≠0.
所以＝2(n∈N＋).
所以数列{an＋1}是等比数列．
方法二 由a1＝1，
知a1＋1≠0，从而an＋1≠0.
因为＝＝＝2(n∈N＋)，
所以数列{an＋1}是等比数列．
(2)由(1)知{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列，
所以an＋1＝2×2n－1＝2n，即an＝2n－1.
课时作业(八) 等比数列的性质
1．解析：∵b2＝(－1)×(－9)＝9且b与首项－1同号，
∴b＝－3，且a，c必同号．∴ac＝b2＝9.
答案：B
2．解析：因为a＝a3a9，所以a3，a6，a9成等比数列．
答案：D
3．解析：∵1，a1，a2，4成等差数列，
∴3(a2－a1)＝4－1，∴a2－a1＝1.
又∵1，b1，b2，b3，4成等比数列，设其公比为q，则b＝1×4＝4，且b2＝1×q2>0，
∴b2＝2，∴＝＝－.
答案：A
4．解析：由等比数列的性质可得，a2a3a4＝a＝1，
a6a7a8＝a＝64，
∴a3＝1，a7＝4，
∴a＝a3a7＝4，
易知a5与a3和a7同号，
∴a5＝2.
答案：A
5．解析：∵a6a10＝a，a3a5＝a，∴a＋a＝41.
又a4a8＝4，∴(a4＋a8)2＝a＋a＋2a4a8＝41＋8＝49.
∵数列{an}各项都是正数，∴a4＋a8＝7.
答案：7
6．解析：由a3，a7，a9成等比数列，则a3a9＝a，
即(a1＋2d)(a1＋8d)＝(a1＋6d)2，
化简得2a1d＋20d2＝0，
由a1＝20，d≠0，得d＝－2.
答案：－2
7．解析：由题知a2·a8＝6，根据等比数列的性质，a4·a6＝a2·a8＝6.
答案：6
8．解析：在等比数列{an}中，
∵a1·a9＝a3·a7，∴由已知可得a3·a7＝64且a3＋a7＝20.
联立得或
∵{an}是递增等比数列，∴a7>a3.
∴取a3＝4，a7＝16，∴16＝4q4，∴q4＝4.
∴a11＝a7·q4＝16×4＝64.
9．解析：(1)证明：因为bn＝log2an，
所以bn＋1－bn＝log2an＋1－log2an＝log2＝log2q(q>0)为常数，
所以数列{bn}为等差数列且公差d＝log2q.
(2)因为b1＋b3＋b5＝6，
所以(b1＋b5)＋b3＝2b3＋b3＝3b3＝6，即b3＝2.
又因为a1>1，
所以b1＝log2a1>0，
又因为b1·b3·b5＝0，所以b5＝0，
即即解得
因此Sn＝4n＋(－1)＝.
又因为d＝log2q＝－1，
所以q＝，b1＝log2a1＝4，
即a1＝16，所以an＝25－n(n∈N＋).
10．解析：设数列{an}的公比为q.由题意可得a2 020＝a1·a2·a3·…·a2 020，∴a1·a2·a3·…·a2 019＝1，
∴a1·a2 019＝a2·a2 018＝a3·a2 017＝…＝a＝1.
又a1>1，∴0a1 009>1，a1 010＝1，a1 011<1，则当其前n项的乘积取最大值时，n的最大值为1 010，故选B.
答案：B
课时作业(九) 等比数列的前n项和
1．解析：易知1，3，5，7，…是首项为1，公差为2的等差数列，
设该数列为{am}，则am＝2m－1，设an＝2n＋7，
令2m－1＝2n＋7，∴m＝n＋4，
∴f(n)是以2为首项，22＝4为公比的等比数列的前n＋4项的和，
∴f(n)＝＝(4n＋4－1).
答案：D
2．解析：由题意，可得a1q2＝，a1＋a1q＋a1q2＝，两式相除，得＝3，解得q＝－或1.
答案：C
3．解析：根据题意，每秒钟细菌杀死的病毒数成等比数列，
设需要n秒细菌可将病毒全部杀死，
则1＋2＋22＋23＋…＋2n－1≥200，
∴≥200，
∴2n≥201，结合n∈N＋，解得n≥8，
即至少需8秒细菌将病毒全部杀死．
答案：C
4．解析：利用分类讨论的思想，对x＝0，x＝1，x≠1且x≠0进行分析．
当x＝0时，数列为1，0，0，…，0，…，前n项和为Sn＝1；
当x＝1时，数列为1，1，…，1，1，…，前n项和为Sn＝n；
当x≠1且x≠0时，数列为等比数列，且首项a1＝1，公比q＝x，所以前n项和Sn＝＝＝.
答案：D
5．解析：∵a1＝2，an＋1＝2an，
∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，又∵Sn＝126，∴＝126，∴n＝6.
答案：6
6．解析：∵S4＝，a4＝a1q3，
∴＝＝15.
答案：15
7．解析：依题意q≠1，所以等比数列{an}的前n项和为
Sn＝＝－·qn＋，
所以p＋(－2)＝0，解得p＝2.
答案：2
8．解析：(1)设{an}的公比为q.
由题设可得
解得
故{an}的通项公式为an＝(－2)n.
(2)由(1)可得Sn＝＝－＋(－1)n·.
9．解析：(1)依题意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)，
由于a1≠0，故2q2＋q＝0.
又q≠0，从而q＝－.
(2)由已知可得a1－a1(－)2＝3，
故a1＝4.
从而Sn＝＝[1－(－)n].
10．解析：(1)方法一 设原等比数列的公比为q，项数为2n(n∈N＋).
由已知a1＝1，q≠1，有
由②÷①，得q＝2，
∴＝85，4n＝256，∴n＝4.
故公比为2，项数为8.
方法二 ∵S偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)q＝S奇·q，
∴q＝＝＝2.
又Sn＝85＋170＝255，由Sn＝，得＝255，
∴2n＝256，∴n＝8.即公比q＝2，项数n＝8.
(2)在等比数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比数列，因为S10∶S5＝1∶2，所以S5＝2S10，S15＝S5，得S15∶S5＝3∶4，故选A.
答案：(1)2 8 (2)A
课时作业(十) 特殊数列的前n项和
1．解析：由a2 018＋a2 019＝0可得数列的公比为q＝－1，故S673＝a673＝a1＝3.
答案：A
2．解析：由数列通项公式
＝(－)，
得前n项和Sn
＝(－＋－＋－＋…＋－)
＝(－)＝.
答案：B
3．解析：因为an＝(－1)n(3n－1)，所以a1＋a2＝－2＋5＝3，a3＋a4＝－8＋11＝3，a5＋a6＝－14＋17＝3，a7＋a8＝－20＋23＝3，a9＋a10＝－26＋29＝3，因此a1＋a2＋…＋a10＝3×5＝15.
答案：A
4．解析：∵an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1，
∴Sn＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)＝－n＝2n＋1－n－2.
答案：D
5．解析：因为an＝＝－(n∈N＋)，
所以a1＋a2＋a3＋…＋a80＝－1＋－＋…＋－＝9－1＝8.
答案：8
6．解析：an＝f(0)＋f()＋f()＋…＋f()＋f(1)，
an＝f(1)＋f()＋…＋f()＋f()＋f(0) ，两式相加可得
2an＝[f(0)＋f(1)]＋[f()＋f()]＋…＋[f()＋f()]＋[f(1)＋f(0)]，
2an＝2(n＋1)，
所以an＝n＋1.
答案：an＝n＋1
7．解析：Tn＝1·(－)0＋2·(－)1＋3·(－)2＋…＋n·(－)n－1，
－Tn＝1·(－)1＋2·(－)2＋…＋(n－1)·(－)n－1＋n·(－)n，
两式相减得
Tn＝1＋(－)1＋(－)2＋…＋(－)n－1－n·(－)n＝－n·(－)n＝－(n＋)·(－)n.
所以数列{nan}的前n项和Tn＝－(n＋)·(－)n.
答案：－(n＋)·(－)n
8．解析：(1)因为数列{an}是公差为2的等差数列，且a1，a3，a7成等比数列，
所以a＝a1a7即(a1＋4)2＝a1(a1＋12)，解得a1＝4，
所以an＝2n＋2；
(2)由(1)得＝＝＝－，
所以Tn＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝－＝.
9．解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，
由题意，得
解得或
所以an＝或an＝－2＋3(n－1)＝3n－5.
(2)当an＝时，bn＝＋2n，
此时Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝n＋＝2n＋1＋n－2；
当an＝3n－5时，bn＝(3n－5)＋2n，
此时Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝·n＋＝2n＋1＋n2－n－2.
10．解析：(1)数列{}是公差为1的等差数列，
∴＝a1＋n－1，
可得Sn＝n(a1＋n－1)，∴a1＋a2＝2(a1＋1)，
又a2＝3，解得a1＝1.∴Sn＝n2.
∴n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1(n＝1时也成立).
∴an＝2n－1.
(2)bn＝an·3n＝(2n－1)·3n，∴数列{bn}的前n项和
Tn＝3＋3×32＋5×33＋…＋(2n－1)×3n，
∴3Tn＝32＋3×33＋…＋(2n－3)×3n＋(2n－1)×3n＋1，
∴－2Tn＝3＋2×(32＋33＋…＋3n)－(2n－1)×3n＋1＝3＋2×－(2n－1)×3n＋1＝－6＋(2－2n)×3n＋1，可得Tn＝3＋(n－1)×3n＋1.
课时作业(十一) 数列的应用
1．解析：因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，即二车间生产的防护服数占总数的三分之一，为12 000.
答案：C
2．解析：因为该家庭决定起始投入1万元，预计每周收益1%，所以100周后该家庭在此项投资活动的资产总额为1×(1＋1%)100≈2.7(万元).
答案：D
3．解析：设每年偿还x万元，则：
x＋x(1＋γ)＋x(1＋γ)2＋x(1＋γ)3＋x(1＋γ)4＝a(1＋γ)5，
由等比数列的求和公式可得
＝a(1＋γ)5，
解得x＝.
答案：B
4．解析：由题意可得：每天织布的量组成了等差数列{an}，
a1＝6(尺)，S30＝11×40＋30＝470(尺)，设公差为d(尺)，则30×6＋d＝470，解得d＝.
则＝＝
＝.
答案：C
5．解析：设每次用a升清水漂洗一件衣服，洗涤次数为n，通过题意可知，存留的污垢y是以a为首项，为公比的等比数列，所以有y＝()n·a，则()n·a≤1%·a n≥log4100＝log210 n≥4，
所以至少要清洗4次才能使存留的污垢在1%以下．
答案：4
6．解析：根据题意可得每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列{an}，其中d＝17，n＝8，S8＝996.
由等差数列前n项和公式可得8a1＋×17＝996，
解得a1＝65.
由等差数列通项公式得a8＝65＋(8－1)×17＝184.
答案：184
7．解析：由题意，可知良马与驽马每天跑的路程都是等差数列，设路程为{an}，{bn}，
由题意有an＝103＋(n－1)×13＝13n＋90，
bn＝97＋(n－1)×(－)＝－n＋，
故cn＝an＋bn＝＋n，
满足题意时，数列{cn}的前n项和为Sn＝1 125×2＝2 250，
由等差数列前n项和公式可得
×n＝2 250，
解得n＝9.即二马需9日相逢．
答案：9
8．解析：(1)a2＝100 000(1＋5%)2－m(1＋5%)－m＝110 250－2.05 m．
(2)a10＝100 000×1.0510－m1.059－m1.058－…－m＝100 000×1.0510－＝0，
m＝≈12 950.
9．解析：由题意，知第1辆车在休息之前行驶了240 min，各辆车行驶的时间构成一个等差数列{an}，其中a1＝240，公差d＝－10，则an＝240－10(n－1)＝－10n＋250.
(1)∵a15＝－10×15＋250＝100，
∴到下午6时，最后一辆车行驶了100 min.
(2)这支车队所有车辆行驶的总时间为×15＝2 550(min)＝(h)，∴这支车队当天总共行驶的路程为×60＝2 550(km).
10．解析：(1)第1年投入为800万元，
第2年投入为800×万元，
…，
第n年投入为800×万元，
所以，n年内的总投入为：
an＝800＋800×＋…＋800×
＝4 000×，
第1年旅游业收入为400万元，
第2年旅游业收入为400×万元，
…，
第n年旅游业收入400×万元．
所以，n年内的旅游业总收入为
bn＝400＋400×＋…＋400×
＝1 600×.
(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此bn－an＞0，
即1 600×－4 000×＞0，
化简得5×＋2×－7＞0，
令x＝，代入上式得：5x2－7x＋2＞0.
解得x＜，或x＞1(舍去).
即＜，由此得n≥5.
∴至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入．
课时作业(十二) 数学归纳法
1．解析：由条件知，左边是从20，21一直到2n－1都是连续的，
因此当n＝k＋1时，
左边应为1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k，从右边应为2k＋1－1.
答案：D
2．解析：n＝k到n＝k＋1时，内角和增加π.
答案：B
3．解析：当n＝1时左边所得的代数式为1＋2＋3.
答案：C
4．解析：由题意n＝2时成立可推得n＝4，6，8，…都成立，因此所有正偶数都成立，故选B.
答案：B
5．解析：n＝2时，等式左边＝2＋f(1)，右边＝2f(2).
∴第一步要证明的式子是2＋f(1)＝2f(2).
答案：2＋f(1)＝2f(2)
6．答案：没用上归纳假设
7．解析：因为f(n)＝1＋＋＋…＋，所以f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋，所以f(n＋1)－f(n)＝＋＋.
答案：＋＋
8．证明：(1)当n＝1时，左边＝12－22＝－3，
右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，等式成立．
(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，
等式成立，就是
12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1).
当n＝k＋1时，
12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2
＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2
＝－k(2k＋1)－(4k＋3)
＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，
所以n＝k＋1时等式也成立．
综合(1)(2)可知，等式对任何n∈N＋都成立．
9．证明：(1)当n＝2时，由x≠0，知
(1＋x)2＝1＋2x＋x2＞1＋2x，
因此n＝2时命题成立．
(2)假设n＝k(k≥2为正整数)时命题成立，
即(1＋x)k＞1＋kx，
则当n＝k＋1时，
(1＋x)k＋1＝(1＋x)k(1＋x)＞(1＋kx)(1＋x)＝1＋x＋kx＋kx2＞1＋(k＋1)x.
即n＝k＋1时，命题也成立．
由(1)(2)知原命题成立．
10．解析：(1)∵Sn－1是方程x2－anx－an＝0的一个根，
∴(Sn－1)2－an·(Sn－1)－an＝0，
∴(Sn－1)2－anSn＝0，
∴当n＝1时，a1＝，
当n＝2时，a2＝.
(2)由(1)知S1＝a1＝，n≥2时，(Sn－1)2－(Sn－Sn－1)·Sn＝0，∴Sn＝.①
此时当n＝2时，S2＝＝；
当n＝3时，S3＝＝.
由猜想可得，Sn＝，n＝1，2，3，….
下面用数学归纳法证明这个结论．
当n＝1时，a1＝S1＝，显然成立．
假设当n＝k(k∈N＋，且k≥1)时结论成立，即Sk＝.
当n＝k＋1时，由①知Sk＋1＝，
∴Sk＋1＝＝＝.
∴当n＝k＋1时式子也成立．
综上，Sn＝，n＝1，2，3，…，对所有正整数n都成立．
课时作业(十三) 函数的平均变化率
1．解析：由已知得：＝3，
∴m＋1＝3，∴m＝2.
答案：B
2．解析：Δy＝(2＋)－(2＋1)＝－.
答案：B
3．解析：根据平均变化率的定义计算可知，y＝x3的平均变化率最大．
答案：B
4．解析：由题意知第二次加油量即为这段时间的耗油量V＝60(升)，这段时间的行驶里程数S＝35 600－35 000＝600(千米)，故这段时间，该车每100千米平均耗油量为×100＝10(升)，故选C.
答案：C
5．解析：＝＝＝2.
答案：2
6．解析：由平均变化率的定义可知，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上平均变化率分别为，，，结合图象可以发现函数y＝f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4].
答案：[x3，x4]
7．解析：函数f(x)从x1到x2的平均变化率就是割线AB的斜率，所以kAB＝，割线AB的倾斜角为.
答案：
8．解析：甲车速度的平均变化率为＝－5(m/s2).乙车速度的平均变化率为＝－4.5(m/s2)，
平均变化率为负值说明速度在减少，因为刹车后，甲车的速度变化相对较快，所以甲车的刹车性能较好．
9．解析：(1)因为f(x)＝3x2＋5，
所以从0.1到0.2的平均变化率为
＝0.9.
(2)因为f(x0＋Δx)－f(x0)＝3(x0＋Δx)2＋5－(3x＋5)
＝3x＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3x－5
＝6x0Δx＋3(Δx)2，
所以函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为
＝6x0＋3Δx.
10．解析：山路从A到B高度的平均变化率为
kAB＝＝＝，
山路从B到C高度的平均变化率为
kBC＝＝＝，
∴kBC>kAB，
∴山路从B到C比从A到B陡峭．
课时作业(十四) 瞬时变化率与导数
1．解析：∵＝＝－Δx－3，∴lim ＝lim (－Δx－3)＝－3.
答案：B
2．解析：
＝ ＝f′(x0)；
＝ ＝f′(x0).
答案：CD
3．解析：∵＝＝，
∴f′(1)＝ ＝ ＝－1.
答案：B
4．解析：∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3－x＝3xΔx＋3x0(Δx)2＋(Δx)3，
∴＝3x＋3x0Δx＋(Δx)2，
∴f′(x0)＝ [3x＋3x0Δx＋(Δx)2]＝3x，
由f′(x0)＝3，得3x＝3，
∴x0＝±1.
答案：C
5．解析：(1)＝＝
＝2＋Δx.
(2)f′(1)＝ ＝ (2＋Δx)＝2.
答案：(1)2＋Δx (2)2
6．解析：在[1，1＋Δt]内的平均加速度为
＝＝Δt＋4，
当Δt无限趋近于0时，无限趋近于4.
答案：4＋Δt 4
7．解析：∵
＝ [·(－3)]
＝－3f′(x0)＝a，
∴f′(x0)＝－a.
答案：－a
8．解析：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)＋－3
＝，
∴＝，
∴f′(1)＝ ＝ ＝－1.
9．解析：∵f(1＋Δx)－f(1)＝a(1＋Δx)2＋c－a－c
＝a(Δx)2＋2aΔx.
∴f′(1)＝
＝
＝ (aΔx＋2a)＝2a，即2a＝2，∴a＝1.
10．解析：因为＝＝＝3，
所以f′(2)＝ ＝3.
f′(2)的实际意义：水流在t＝2时的瞬时流速为3 m3/s.
课时作业(十五) 导数的几何意义
1．解析：由导数的几何意义知f′(1)＝2.
答案：D
2．解析：设切点为(x0，y0)，
因为f′(x0)＝ ＝ (2x0＋Δx)＝2x0.
由题意可知，切线斜率k＝4，
即f′(x0)＝2x0＝4，所以x0＝2.
所以切点坐标为(2，4)，切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
答案：A
3．解析：因为f′(x0)＝0，所以曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率为0.
答案：B
4．解析：由f′(x1)>0，f′(x2)<0可知，f(x)的图象在x1处切线的斜率为正，在x2处切线的斜率为负．
答案：D
5．解析：令f(x)＝2x2＋4x，
设点P(x0，2x＋4x0)，
则f′(x0)＝
＝ ＝4x0＋4，
令4x0＋4＝16，得x0＝3，
∴P(3，30).
答案：(3，30)
6．解析：由图象可得函数y＝f(x)的图象在点P处的切线是l，与x轴交于点(4，0)，与y轴交于点(0，4)，可知l：x＋y＝4，
∴f(2)＝2，f′(2)＝－1，
∴代入可得f(2)＋f′(2)＝1.
答案：1
7．解析：∵点P(1，－)在曲线y＝f(x)＝－x2－2上，
∴在点P处的切线斜率为
k＝f′(1)＝lim ＝－1，
又∵倾斜角的取值范围是[0，π)，
∴在点P处的切线的倾斜角为.
答案：
8．解析：f′(－2)＝
＝ ＝ ＝－，
∴切线方程为y＋1＝－(x＋2)，即x＋2y＋4＝0.
9．解析： ＝
＝l (4x＋2Δx)＝4x.
(1)设切点为(x0，y0)，
则4x0＝4，x0＝1，y0＝－5，
∴切点坐标为(1，－5).
(2)由于点P(3，9)不在曲线上．
设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，
故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0).
将P(3，9)及y0＝2x－7代入上式，
得9－(2x－7)＝4x0(3－x0).
解得x0＝2或x0＝4，所以切点为(2，1)或(4，25).
从而所求切线方程为8x－y－15＝0或16x－y－39＝0.
10．解析：∵f′(1)＝ ＝3，
∴曲线f(x)＝x3在点(1，1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2，
联立方程则y＝4，令y＝3x－2＝0，
则x＝，故切线与x轴，直线x＝2所围成的三角形面积为×(2－)×4＝.
答案：
课时作业(十六) 基本初等函数的导数
1．解析：∵(cos x)′＝－sin x，∴A不正确；
∵(sin x)′＝cos x，∴B不正确；
∵()′＝，∴D不正确．
答案：C
2．解析：切线的斜率k＝tan π＝－1，
设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝－1，
又f′(x)＝－，∴－＝－1，∴x0＝1或－1，
∴切点坐标为(1，1)或(－1，－1).故选D.
答案：D
3．解析：设切点坐标为(x0，y0)，
由题意得f′(x0)＝＝k，又y0＝kx0＋1，y0＝ln x0，
解得y0＝2，x0＝e2，所以k＝.
答案：
4．解析：∵f(x)＝sin x，∴f′(x)＝cos x．
又∵f′(α)＝cos α＝，
∴α＝2kπ±(k∈Z).
当k＝0时，α＝.
答案：A
5．解析：因为f(x)＝x2，g(x)＝ln x，
所以f′(x)＝2x，g′(x)＝且x>0，
f′(x)－g′(x)＝2x－＝1，即2x2－x－1＝0，
解得x＝1或x＝－(舍去).故x＝1.
答案：1
6．解析：设切点坐标为(x0，y0)，则y0＝ln x0.
∵y′＝(ln x)′＝，
由题意知＝，
∴x0＝2，y0＝ln 2.
由ln 2＝×2＋b，得b＝ln 2－1.
答案：ln 2－1
7．解析：因为y′＝，
所以曲线在点P处切线方程为y－＝(x－a)，
令x＝0，得y＝，
令y＝0，得x＝－a，
由题意知··a＝2，所以a＝4.
答案：4
8．解析：(1)因为y′＝2x.
P(－1，1)，Q(2，4)都是曲线y＝x2上的点．
过P点的切线的斜率k1＝－2，
过Q点的切线的斜率k2＝4，
过P点的切线方程为y－1＝－2(x＋1)，
即2x＋y＋1＝0.
过Q点的切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
(2)设切点M(x0，y0)，因为y′＝2x，直线PQ的斜率k＝＝1，
切线的斜率k＝2x0＝1，
所以x0＝，所以切点M，
与PQ平行的切线方程为y－＝x－，
即4x－4y－1＝0.
9．解析：设切点为Q(a，a2)，f′(x)＝2x, f′(a)＝2a，
所以所求切线的斜率为2a.因此，＝2a，解得a＝0或2，所求的切线方程为y＝0或y＝4x－4.
10．解析：(1)由已知得，f1(x)＝cos x，f2(x)＝－sin x，
f3(x)＝－cos x，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cos x，…，
依次类推可得，函数呈周期变化，且周期为4，
则f2 023(x)＝f3(x)＝－cos x．
(2)与直线y＝x－1平行的f(x)＝x2的切线的切点到直线y＝x－1的距离最短．设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝2x0＝1，
∴x0＝，y0＝.即P到直线y＝x－1的距离最短．
∴d＝＝.
答案：(1)－cos x (2)
课时作业(十七) 求导法则及其应用
1．解析：f′(x)＝＝
.
答案：A
2．解析：∵f′(x)＝(x＋x ln x)′
＝1＋x′ln x＋x(ln x)′
＝1＋ln x＋1＝2＋ln x，
∴f′(1)＝2＋ln 1＝2，
∴函数f(x)在点(1，1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，
即2x－y－1＝0.
答案：B
3．解析：∵y＝＝1＋，
∴y′＝－，∴y′|x＝3＝－.
∴－a×＝－1，即a＝－2.
答案：D
4．解析：y′＝3(2 023－8x)2×(2 023－8x)′
＝3(2 023－8x)2×(－8)＝－24(2 023－8x)2.
答案：C
5．解析：f′(x)＝·(3x－1)′＝，∴f′(1)＝.
答案：
6．解析：设P(x0，y0).∵y＝x ln x，∴y′＝ln x＋x·＝1＋ln x．
∴k＝1＋ln x0.又k＝2，∴1＋ln x0＝2，∴x0＝e.
∴y0＝eln e＝e.∴点P的坐标是(e，e).
答案：(e，e)
7．解析：易知y′＝aeax，k＝ae0＝a，
故a×(－)＝－1，则a＝2.
答案：2
8．解析：(1)因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，
所以f′(x)＝2ax＋b，
又f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8.
(2)由(1)可知g(x)＝ex sin x＋x2－8x＋3，
所以g′(x)＝ex sin x＋ex cos x＋2x－8，
所以g′(0)＝e0sin 0＋e0cos 0＋2×0－8＝－7，
又g(0)＝3，
所以曲线g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)，
即7x＋y－3＝0.
9．解析：因为y＝e2x＋1，
所以y′＝2e2x＋1，又因为切点(－，1)，
所以k＝2，故曲线在点(－，1)处的切线方程为2x－y＋2＝0，
设直线l的方程为2x－y＋m＝0(m≠2)，
由＝得，m＝7或－3，
所以直线l的方程为2x－y＋7＝0或2x－y－3＝0.
10．解析：(1)∵f(x)＝eπxsin πx，
∴f′(x)＝πeπxsin πx＋πeπxcos πx
＝πeπx(sin πx＋cos πx).
∴f′()＝πe(sin ＋cos )＝πe.
(2)设切点坐标为P(x0，y0)，
由题意可知k＝0.
又y′＝，
∴k＝＝0.
解得x0＝0，此时y0＝1.
即切点坐标为P(0，1)，切线方程为y－1＝0.
课时作业(十八) 导数与函数的单调性
1．解析：因为y＝x＋x ln x，所以定义域为(0，＋∞).
令y′＝2＋ln x<0，解得0即函数y＝x＋x ln x的单调递减区间是(0，e－2).
答案：B
2．解析：由导函数f′(x)的图象知在区间(4，5)上，f′(x)>0，所以函数f(x)在(4，5)上单调递增，故选C.
答案：C
3．解析：B项中，y＝xex，y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)，
当x∈(0，＋∞)时，y′>0，
∴y＝xex在(0，＋∞)内为增函数．
答案：B
4．解析：当f′(x)>0时，y＝f(x)是递增的；当f′(x)<0时，y＝f(x)是递减的．故可得①②中函数图象的增减趋势与导函数的正负区间是吻合的；而③中导函数为负的区间内相应的函数不递减，故错误；④中导函数为负的区间内相应的函数不递减，故错误．
答案：C
5．解析：令f′(x)＝1－2cos x>0，则cos x<，又x∈(0，π)，解得答案：
6．解析：由xf′(x)<0可得，
或
由题图可知当－1当x<－1或x>1时，f′(x)>0，
则或
解得0∴xf′(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0，1).
答案：(－∞，－1)∪(0，1)
7．解析：若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，
则y′＝－4x2＋b＝0有两个不相等的实数根，所以b>0.
答案：(0，＋∞)
8．解析：∵f(x)＝a2ln x－x2＋ax，其中x>0，
∴f′(x)＝－2x＋a＝－，
由于a>0，∴f(x)的增区间为(0，a)，减区间为(a，＋∞).
9．解析：因为f′(x)＝3x2－2mx，
所以f′(x)<0，即3x2－2mx<0.
由题意，知3x2－2mx<0的解集为(－9，0)，
即方程3x2－2mx＝0的两根为x1＝－9，x2＝0.
由根与系数的关系，
得－＝－9，即m＝－.
所以f′(x)＝3x2＋27x.
令3x2＋27x>0，解得x>0或x<－9.
故(－∞，－9)，(0，＋∞)是函数f(x)的单调递增区间．
综上所述，m的值为－，函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－9)，(0，＋∞).
10．解析：函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝2(ex－1＋xex－x)＝2(ex－1)(x＋1).
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0；
当x∈(－1，0)时，f′(x)<0；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.
故f(x)在(－∞，－1)和(0，＋∞)上单调递增，在(－1，0)上单调递减．
课时作业(十九) 导数与函数的单调性的应用
1．解析：f′(x)＝2＋cos x>0，故f(x)是R上的增函数，故f(1)答案：B
2．解析：若函数f(x)有3个单调区间，
则f′(x)＝4x2－4ax－(a－2)有2个零点，
故Δ＝16a2＋16(a－2)＞0，
解得a＞1或a＜－2.
答案：D
3．解析：∵函数f(x)＝x2－ax＋3在(0，1)上为减函数，
∴≥1，得a≥2.
g′(x)＝2x－，
依题意g′(x)≥0在(1，2)上恒成立，
即2x2≥a在x∈(1，2)时恒成立，有a≤2，∴a＝2.
答案：B
4．解析：对于A，令f(x)＝，
则f′(x)＝，
当f′(x)<0时，0∴f(x)在(0，e)上单调递减，
∴f(a)>f(b)，即>，故A正确；
对于B，∵0∴>1，故B错误；
对于C，令f(x)＝x ln x，则f′(x)＝ln x＋1，
当0当x>时，f′(x)>0，
∴f(x)在(0，)上单调递减，
在(，＋∞)上单调递增，
显然当b＝时，a ln a>b ln b，故C错误；
对于D，aa>bb a ln a>b ln b，由C选项的分析，知当a＝时，aln a答案：A
5．解析：令f′(x)≤0，即3x2－12≤0，
解得－2≤x≤2.
∴f(x)的减区间为[－2，2]，
由题意得(2m，m＋1) [－2，2]，
∴解得－1≤m<1.
答案：[－1，1)
6．解析：f′(x)＝3x2＋2x＋m，由于f(x)是R上的单调函数，
所以f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立．
由于导函数的二次项系数3>0，
所以只能有f′(x)≥0恒成立．
方法一 由上述讨论可知要使f′(x)≥0恒成立，只需使方程3x2＋2x＋m＝0的判别式Δ＝4－12m≤0，故m≥.
经检验，当m＝时，只有个别点使f′(x)＝0，符合题意．
所以实数m的取值范围是m≥.
方法二 3x2＋2x＋m≥0恒成立，
即m≥－3x2－2x恒成立．
设g(x)＝－3x2－2x＝－3(x＋)2＋，
易知函数g(x)在R上的最大值为，所以m≥.
经检验，当m＝时，只有个别点使f′(x)＝0，符合题意．
所以实数m的取值范围是m≥.
答案：
7．解析：由题意设g(x)＝xf(x)，
则g′(x)＝xf′(x)＋f(x).
∵当x>0时，xf′(x)＋f(x)>0，
∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增．
∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴g(x)是定义在R上的偶函数．
又f(2)＝0，则g(2)＝2f(2)＝0，
∴不等式xf(x)>0等价于g(x)>0＝g(2)，
∴|x|>2，解得x<－2或x>2，
∴不等式xf(x)>0的解集是(－∞，－2)∪(2，＋∞).
答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)
8．解析：(1)∵a＝1，∴f(x)＝x3＋x2－x＋2，
∴f′(x)＝3x2＋2x－1，∴f′(1)＝4.又f(1)＝3，
∴切点坐标为(1，3)，
∴所求切线方程为y－3＝4(x－1)，即4x－y－1＝0.
(2)f′(x)＝3x2＋2ax－a2＝(x＋a)(3x－a)，
由f′(x)＝0得x＝－a或x＝.
又a>0，由f′(x)<0，得－a由f′(x)>0，得x<－a或x>，
故f(x)的单调递减区间为(－a，)，
单调递增区间为(－∞，－a)和(，＋∞).
9．解析：函数f(x)＝kx－ln x的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝k－＝.
当k≤0时，kx－1<0，∴f′(x)<0，
则f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
当k>0时，由f′(x)<0，即<0，
解得0由f′(x)>0，即>0，解得x>.
∴当k>0时，f(x)的单调递减区间为(0，)，
单调递增区间为(，＋∞).
综上所述，当k≤0时，f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间；
当k>0时，f(x)的单调递减区间为(0，)，单调递增区间为(，＋∞).
10．解析：(1)由f(x)＝，
可得f′(x)＝.
∵曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，
∴f′(1)＝0，即＝0，解得k＝1.
(2)由(1)知，f′(x)＝(x>0)，
设h(x)＝－ln x－1(x>0)，
则h′(x)＝－－<0.
可知h(x)在(0，＋∞)上为减函数，
由h(1)＝0知，当0h(1)＝0，从而f′(x)>0.
当x>1时，h(x)综上可知f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，＋∞).
课时作业(二十) 导数与函数的极值、最值
1．解析：根据极值的概念，左侧f′(x)>0，单调递增；右侧f′(x)<0，单调递减，f(x0)为极大值．
答案：B
2．解析：f′(x)＝－，令f′(x)＝0，
即－＝0，得x＝2，
当x∈(0，2)时，f′(x)<0，
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0.
因此x＝2为f(x)的极小值点，故选D.
答案：D
3．解析：∵f′(x)＝2x－且x∈(0，＋∞)，
令f′(x)＝0，得x2＝(－1)k，(*)
要使f(x)存在极值，则方程(*)在(0，＋∞)上有解．
∴(－1)k>0，又k∈N＋，∴k＝2，4，6，8，…，
所以k的取值集合是{2，4，6，8，…}．
答案：A
4．解析：由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；
当－2当1当x>2时，f′(x)>0.
由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，
在x＝2处取得极小值．
答案：D
5．解析：∵y＝ex＋ax，
∴y′＝ex＋a，令y′＝ex＋a＝0，则ex＝－a，
即x＝ln (－a)，又∵x＞0，∴－a＞1，即a＜－1.
答案：(－∞，－1)
6．解析：设f(x)＝x3－3x－k，则f′(x)＝3x2－3.
令f′(x)＝0，得x＝±1，且f(1)＝－2－k，f(－1)＝2－k，
又f(x)的图象与x轴有3个交点，
故
∴－2答案：(－2，2)
7．解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
由题意知
即
解得经验证知符合题意．
答案：2 －4
8．解析：(1)f′(x)＝－＋(x>0).
由题意知，曲线在x＝1处的切线斜率为0，即f′(1)＝0，
从而a－＋＝0，解得a＝－1.
(2)由(1)知f(x)＝－ln x＋＋x＋1(x>0)，
f′(x)＝－－＋
＝＝.
令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－(舍去).
当x∈(0，1)时，f′(x)<0，故f(x)在(0，1)上单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(1，＋∞)上单调递增．
f(x)在x＝1处取得极小值，极小值为f(1)＝3，无极大值．
9．解析：(1)y′＝3ax2＋2bx.
由题意，知即
解得
经检验符合题意，故a＝－6，b＝9.
(2)由(1)知y＝－6x3＋9x2.
所以y′＝－18x2＋18x＝－18x(x－1).
令y′＝0，解得x1＝1，x2＝0.
所以当x<0时，y′<0；当00；
当x>1时，y′<0.
所以当x＝0时，y有极小值，其极小值为0.
10．解析：因为f(x)＝，x>0，
则f′(x)＝－，
当00，
当x>1时，f′(x)<0.
所以f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
所以函数f(x)在x＝1处取得极大值．
因为函数f(x)在区间(其中a>0)上存在极值，所以解得课时作业(二十一) 导数与函数的最值
1．解析：f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，
令f′(x)＝0，得x＝±1.
又f(－3)＝－27＋9＋1＝－17，f(0)＝1，
f(－1)＝－1＋3＋1＝3，1 [－3，0].
所以函数f(x)的最大值为3，最小值为－17.
答案：C
2．解析：f′(x)＝1－2sin x，
因为x∈[－，0]，
所以sin x∈[－1，0]，所以－2sin x∈[0，2].
所以f′(x)＝1－2sin x＞0在[－，0]上恒成立．
所以f(x)在[－，0]上单调递增．
所以f(x)min＝－＋2cos (－)＝－.
答案：A
3．解析：f′(x)＝＝，当x∈[2，4]时，f′(x)<0，即函数f(x)在区间[2，4]上单调递减，故当x＝4时，函数f(x)有最小值.
答案：C
4．解析：由f(x)>0得0f′(x)＝(2－x2)ex，
令f′(x)＝0，得x＝±，
当x<－或x>时，f′(x)<0，
当－0，
∴当x＝－时，f(x)取得极小值，
当x＝时，f(x)取得极大值，故B正确．
当x→－∞时，f(x)<0，当x→＋∞时，f(x)<0，
且f()>0，
结合函数的单调性可知，函数f(x)有最大值无最小值，故C不正确，D正确．
答案：ABD
5．解析：f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2).
由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：
所以当x＝－2时，f(x)min＝－40＋a＝－37，所以a＝3.
所以当x＝0时，f(x)取得最大值3.
答案：3 3
6．解析：f(x)＝，则f′(x)＝，
所以当x<1－a时，f′(x)>0，当x>1－a时，f′(x)<0，
所以f(x)在(－∞，1－a)上是增函数，在(1－a，＋∞)上是减函数，
所以f(x)max＝f(1－a)＝ea－1.
答案：ea－1
7．解析：由f(x)＝＋2ln x，得f′(x)＝，又函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且a>0，令f′(x)＝0，得x＝－(舍去)或x＝.当0时，f′(x)>0.故x＝是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，且f()＝ln a＋1.要使f(x)≥2恒成立，需ln a＋1≥2恒成立，则a≥e.
答案：[e，＋∞)
8．解析：f′(x)＝3x2－2ax.
令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝.
(1)当≤0，即a≤0时，
f(x)在[0，2]上单调递增，
从而f(x)max＝f(2)＝8－4a.
(2)当≥2，即a≥3时，
f(x)在[0，2]上单调递减，
从而f(x)max＝f(0)＝0.
(3)当0<<2，即0从而f(x)max＝
综上所述，f(x)max＝
9．解析：(1)f′(x)＝＋＝(x>0)，
当a≥0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，f(x)不存在最小值；
当a<0时，由f′(x)＝0，得x＝－a，
且当0－a时，f′(x)>0.
∴当x＝－a时，f(x)取最小值，
f(－a)＝ln (－a)＋1＝2，解得a＝－e.
(2)g(x)ln x－x2，
故g(x)ln x－x2在(0，e]上恒成立．
设h(x)＝ln x－x2，则h′(x)＝－2x＝，
由h′(x)＝0及0当00，当∴h(x)在(0，)上为增函数，在(，e]上为减函数，
∴当x＝时，h(x)取得最大值h()＝ln －.
∴当g(x)10．解析：函数f(x)＝ln x＋的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－＝，
(1)∵a<0，
∴f′(x)>0，
故函数在(0，＋∞)上单调递增．
∴f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间．
(2)当x∈[1，e]时，分如下情况讨论：
①当a≤1时，f′(x)≥0，函数f(x)单调递增，其最小值为f(1)＝a≤1，这与函数在[1，e]上的最小值是相矛盾；
②当10，f(x)单调递增，
∴函数f(x)的最小值为f(a)＝ln a＋1，由ln a＋1＝，得a＝；
③当a≥e时，显然函数f(x)在[1，e]上单调递减，其最小值为f(e)＝1＋≥2，与最小值是相矛盾．
综上所述，a的值为.
课时作业(二十二) 导数与函数的极值、最值综合问题
1．解析：由题意得f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)，
令f′(x)>0，得x>2或x<－2；
令f′(x)<0，得－2所以函数的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)，单调递减区间为(－2，2)，
所以函数的极大值为f(－2)＝0，极小值为f(2)＝－32，
当x→－∞时，f(x)<0，当x→＋∞时，f(x)>0，
所以函数的零点个数为2.
答案：C
2．解析：函数y＝f(x)有零点等价于方程ex－x＝a有解，
令g(x)＝ex－x，g′(x)＝ex－1，
当x>0时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增；
当x<0时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减，
又g(0)＝1，所以a≥1.
答案：B
3．解析：令g(x)＝x2ex，
则g′(x)＝2xex＋x2ex＝xex(x＋2).
令g′(x)＝0，得x＝0或x＝－2，
∴g(x)在(－2，0)上是减函数，在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数．
∴g(x)极大值＝g(－2)＝，g(x)极小值＝g(0)＝0，
又f(x)＝x2ex－a恰有三个零点，则0答案：B
4．解析：设f(x)＝ex－x2，f′(x)＝ex－2x，
令g(x)＝f′(x)＝ex－2x，
则g′(x)＝ex－2，令g′(x)＝0，则x＝ln 2，
当xln 2时，g′(x)>0，
所以g(x)在(－∞，ln 2)上是减函数，在(ln 2，＋∞)上是增函数，
所以当x＝ln 2时，g(x)取得极小值，也是最小值，为f′(x)的最小值，
f′(x)min＝f′(ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2(1－ln 2)>0，
即f′(x)>0在(－∞，＋∞)上恒成立，
所以f(x)＝ex－x2在(－∞，＋∞)上是增函数，
又f(0)＝1>0，f(－1)＝－1<0，
所以函数f(x)＝ex－x2存在唯一的零点，
即方程x2＝ex只有1个实根．
答案：B
5．解析：f′(x)＝－3x2＋6x＋9.
令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝3.
当f′(x)>0时，－13，
所以当x＝－1时，f(x)取得极小值为f(－1)＝a－5；
当x＝3时，f(x)取得极大值为f(3)＝a＋27.
画出大致图象，要使f(x)的图象与x轴只有一个交点，只需极大值小于0(如图1)或极小值大于0(如图2)，
所以a＋27<0或a－5>0，解得a<－27或a>5，
故实数a的取值范围为{a|a<－27或a>5}．
答案：{a|a<－27或a>5}
6．解析：因为函数f(x)＝－a有两个不同的零点，所以方程f(x)＝－a＝0有两个不同的实数根，因此函数g(x)＝与函数y＝a有两个不同的交点．
由g(x)＝，得g′(x)＝，
当x>e时，g′(x)<0，g(x)单调递减；
当00，g(x)单调递增，
因此当x＝e时，函数g(x)有最大值，最大值为g(e)＝＝，显然当x>1时，g(x)>0；
当0因此函数g(x)＝的图象如图所示．
通过函数g(x)＝的图象和上述分析的性质可知，当a∈(0，)时，函数g(x)＝与函数y＝a有两个交点．
答案：(0，)
7．解析：因为函数f(x)＝ex－ax2(x>0)无零点，
所以方程ex－ax2＝0在x∈(0，＋∞)上无解，
即a＝在x∈(0，＋∞)上无解，
令g(x)＝(x>0)，则g′(x)＝，
当x>2时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增；
当0所以当x＝2时，函数g(x)有唯一的极小值，也是最小值．
又g(2)＝，所以g(x)≥.
所以若a＝无解，则a<.
答案：(－∞，)
8．解析：(1)∵f(x)＝4ln x－2x2＋3x，f(1)＝1，
∴f′(x)＝－4x＋3，f′(1)＝3.
∴切线方程为y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2.
(2)∵g(x)＝f(x)－3ax＋m＝4ln x－2x2＋m，
∴g′(x)＝－4x＝，
当x∈[，1)时，g′(x)>0，g(x)＝4ln x－2x2＋m在[，1)上单调递增；
当x∈(1，e]时，g′(x)<0，g(x)＝4ln x－2x2＋m，在(1，e]上单调递减．
因g(x)＝4ln x－2x2＋m在[，e]上有两个零点，
所以，即.
∵2e2－4>4＋，
∴29．解析：因为f(x)＝e2x－ex－x，
所以f′(x)＝e2x－ex－1＝(2ex＋1)(ex－2)，
令f′(x)>0，解得x>ln 2，
令f′(x)<0，解得x故f(x)在(－∞，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增，
故f(x)min＝f(ln 2)＝－1－ln 2<0，
又x→－∞时，f(x)→＋∞；x→＋∞时，f(x)→＋∞，画出草图如下：
故f(x)有2个零点．
10．证明：f(x)在(0，π)内有且只有两个零点．证明如下：
f(x)＝x sin x－，从而有f(0)＝－＜0，
f()＝＞0，
又f(x)在[0，]上的图象是连续不间断的，
所以f(x)在(0，)内至少存在一个零点．
又f(x)在[0，]上单调递增，
故f(x)在(0，)内有且只有一个零点．
当x∈[，π]时，令g(x)＝f′(x)＝sin x＋x cos x.
由g()＝1＞0，g(π)＝－π＜0，且g(x)在[，π]上的图象是连续不间断的，故存在m∈(，π)，使得g(m)＝0.
由g′(x)＝2cos x－x sin x，知x∈(，π)时，有g′(x)＜0，
从而g(x)在(，π)内单调递减．
当x∈(，m)时，g(x)＞g(m)＝0，
即f′(x)＞0，从而f(x)在(，m)内单调递增，故当x∈[，m]时，f(x)≥f()＝>0，
故f(x)在[，m]上无零点；
当x∈(m，π)时，有g(x)＜g(m)＝0，
即f′(x)＜0，从而f(x)在(m，π)内单调递减．
又f(m)＞0，f(π)＜0，且f(x)在[m，π]上的图象是连续不间断的，从而f(x)在(m，π)内有且仅有一个零点．
综上所述，f(x)在(0，π)内有且只有两个零点．
课时作业(二十三) 利用导数解决实际问题
1．解析：要使材料最省，则要求新砌的墙壁的总长最短，设场地宽为x米，则长为米，因此新墙总长L＝2x＋(x>0)，则L′＝2－.令L′＝0，得x＝16或x＝－16(舍去).此时长为＝32(米)，可使L最短．
答案：A
2．解析：设一个数为x，则另一个数为8－x，则其立方和y＝x3＋(8－x)3＝83－192x＋24x2(0≤x≤8)，y′＝48x－192.令y′＝0，即48x－192＝0，解得x＝4.当0≤x<4时，y′<0；当40.所以当x＝4时，y最小．
答案：B
3．解析：由题意，得总成本函数为
C(x)＝20 000＋100x，总利润P(x)＝R(x)－C(x)＝
所以P′(x)＝
令P′(x)＝0，得x＝300，易知x＝300时，
总利润P(x)最大．
答案：D
4．解析：设利润为y，则y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3＋18x2(x>0)，
所以y′＝－6x2＋36x＝－6x(x－6).令y′＝0，解得x＝0(舍去)或x＝6，
经检验知x＝6既是函数的极大值点也是函数的最大值点，所以应生产6千台.
答案：A
5．解析：设广场的长为x米，则宽为米，于是其周长为y＝2(x>0)，所以y′＝2，令y′＝0，解得x＝200(x＝－200舍去)，这时y＝800.当0200时，y′>0.所以当x＝200时，y取得最小值，故其周长至少为800米．
答案：800
6．解析：由题意，设矩形边长AD＝2x，则AB＝4－x2，
∴矩形面积为S＝2x(4－x2)＝8x－2x3(0∴S′＝8－6x2.
令S′＝0，解得x1＝，x2＝－(舍去).
当00；
当∴当x＝时，S取得最大值为.
即矩形的边长分别是，时，矩形的面积最大．
答案：，
7．解析：设轮船的速度为x km/h时，燃料费用为Q元，则Q＝kx3(k≠0).
因为6＝k×103，所以k＝，所以Q＝x3.
所以行驶每千米的费用总和为
y＝·＝x2＋(x>0).
所以y′＝x－.令y′＝0，解得x＝20.
因为当x∈(0，20)时，y′<0，此时函数单调递减；
当x∈(20，＋∞)时，y′>0，此时函数单调递增，
所以当x＝20时，y取得最小值，
即此轮船以20 km/h的速度行驶时，每千米的费用总和最小．
答案：20
8．解析：设小正方形的边长为x cm，
则盒子底面长为(8－2x) cm，宽为(5－2x) cm，
V＝(8－2x)(5－2x)x＝4x3－26x2＋40x，
V′＝12x2－52x＋40，
令V′＝0，得x＝1或x＝(舍去)，
V极大＝V(1)＝18，在定义域内仅有一个极大值，
所以V最大值＝18，即当小正方形的边长为1 cm时，盒子容积最大．
9．解析：设每次进书x千册(0x (0，15) 15 (15，150)
y′ － 0 ＋
y 单调递减? 极小值 单调递增?
所以当x＝15时，y取得极小值，且极小值唯一，故当x＝15时，y取得最小值，此时进货次数为＝10(次).
即该书店分10次进货，每次进15千册书，所付手续费与库存费之和最少．
10．解析：设C点距D点x km，则AC＝50－x(km)，
所以BC＝＝(km).
又设总的水管费用为y元，
依题意，得y＝3a(50－x)＋5a(0y′＝－3a＋ .
令y′＝0，解得x＝30.
在(0，50)上，y只有一个极小值点，根据问题的实际意义，函数在x＝30 km处取得最小值，此时AC＝50－x＝20(km).
故供水站建在A，D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省．
章末质量检测(一) 数列
1．解析：因为a1＝2×1＋1，a2＝2×2＋1，a3＝2×3＋1，a4＝2×4＋1，…
所以an＝2n＋1.
答案：A
2．解析∵a1＋a5＝2a3＝10，∴a3＝5，
∴d＝a4－a3＝7－5＝2.
答案：B
3．解析：由2an＝an－1＋an＋1(n≥2)可知数列{an}为等差数列，∴a2＋a4＋a6＝a3＋a4＋a5＝12，故选D.
答案：D
4．解析：由x，3x＋3，6x＋6成等比数列，知(3x＋3)2＝x·(6x＋6)，解得x＝－3或x＝－1(舍去).所以此等比数列的前三项为－3，－6，－12.故第四项为－24，选A.
答案：A
5．解析：由a3＋a4＝q(a2＋a3)，可得q＝2，
所以a4＋a5＝q(a3＋a4)＝4.
答案：A
6．解析：当q＝1时，a3＝7，S3＝21，符合题意；当q≠1时，
得q＝－.综上，q的值是1或－，故选C.
答案：C
7．解析：由an＋1＝得＝＋1，所以数列是等差数列，首项＝2，公差为1，所以＝2＋(2 020－1)×1＝2 021，则a2 020＝.
答案：C
8．解析：设自2018年起每年到5月1日存款本息合计为a1，a2，a3，a4.
则a1＝a＋a·p＝a(1＋p)，
a2＝a(1＋p)(1＋p)＋a(1＋p)＝a(1＋p)2＋a(1＋p)，
a3＝a2(1＋p)＋a(1＋p)＝a(1＋p)3＋a(1＋p)2＋a(1＋p)，
a4＝a3(1＋p)＋a(1＋p)＝a[(1＋p)4＋(1＋p)3＋(1＋p)2＋(1＋p)]＝a·
＝[(1＋p)5－(1＋p)].
答案：D
9．解析：因为Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋1(n∈N＋)，
所以S1＝2a1＋1，因此a1＝－1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－1，
所以数列{an}是以－1为首项，以2为公比的等比数列，故C正确；
因此a5＝－1×24＝－16，故A正确；
又Sn＝2an＋1＝－2n＋1，所以S5＝－25＋1＝－31，故B正确；
因为S1＋1＝0，所以数列{Sn＋1}不是等比数列，故D错误．故选ABC.
答案：ABC
10．解析：当an＝1时，log2(an)2＝0，所以数列{log2(an)2}不一定是等比数列；
当q＝－1时，an＋an＋1＝0，所以数列{an＋an＋1}不一定是等比数列；
由等比数列的定义知{}和{an＋an＋1＋an＋2}都是等比数列．故选AD.
答案：AD
11．解析：由等差数列前n项和的特点可知，当n＝9时，Sn最大，故a9>0，a10<0，S17＝17a9>0，S19＝19a10<0，故BC正确．
答案：BC
12．解析：由题意可得＝＝＝，
则＝＝＝＝3＋，
由于为整数，则n＋1为15的正约数，则n＋1的可能取值有3，5，15，
因此，正整数n的可能取值有2，4，14.
答案：ACD
13．解析：由a1＝1，an＋1＝2an(n∈N＋)，可知数列{an}为等比数列，故a4＝8，S8＝255.
答案：8 255
14．解析：S21＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…－41＝2×10－41＝－21.
答案：－21
15．解析：由题意得a1＋a2＝5，b＝4，又b2与第一项的符号相同，所以b2＝2.所以＝.
答案：
16．解析：在“第n组有n个数”的规则分组中，各组数的个数构成一个以1为首项，1为公差的等差数列．因为前99组中数的个数共有＝4 950(个)，且第1个数为30，故第100组中的第1个数是34 950.
答案：34 950
17．解析：(1)设{an}的公差为d，由题意得3a1＋3d＝－15.
由a1＝－7得d＝2.
所以{an}的通项公式为an＝2n－9.
(2)由(1)得Sn＝n2－8n＝(n－4)2－16.
所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16.
18．证明：(1)由已知得
an＋1－＝an－＝(an－).
因为a1＝，所以a1－＝，
所以{an－}是以为首项，为公比的等比数列．
(2)由(1)知{an－}是以为首项，为公比的等比数列，
所以an－＝×()n－1，
所以an＝×＋＝×()n＋2＋.
19．解析：(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
则由题意，可得解得
所以an＝－1＋(n－1)×(－3)＝－3n＋2.
(2)由题意，得an＋bn＝qn－1，所以bn＝3n－2＋qn－1.
当q＝1时，bn＝3n－1，
则Sn＝＝；
当q≠1时，
Sn＝b1＋b2＋…＋bn
＝[1＋4＋…＋(3n－2)]＋(1＋q＋…＋qn－1)
＝＋
＝＋.
综上，Sn＝
20．解析：(1)∵2Sn＝3an－3， ①
当n＝1时，2a1＝3a1－3，即a1＝3.
当n≥2时，2Sn－1＝3an－1－3. ②
由①－②得2an＝3an－3an－1，即an＝3an－1.
∴数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列．
∴an＝3×3n－1＝3n.
(2)由(1)知bn＝log33n＝n，
Tn＝，
∴＝＝2(－)，
∴数列{}的前n项和为
Rn＝2[(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)]＝2(1－)＝.
21．解析：(1)由题意，每年的维修费构成一等差数列，n年的维修总费用为
＝0.1n2－0.1n(万元)，
所以f(n)＝16.9＋1.2n＋(0.1n2－0.1n) ＝0.1n2＋1.1n＋16.9(万元)，n∈N＋.
(2)该辆轿车使用n年的年平均费用为
＝＝0.1n＋＋1.1≥2 ＋1.1＝3.7(万元).
当且仅当 0.1n＝时取等号，此时n＝13.
故这种汽车使用13年报废最合算．
22．解析：(1)设等比数列{an}的公比为q，则＝q3＝27，
解得q＝3.所以an＝a1qn－1＝3×3n－1＝3n，
故bn＝log3an＝n，
所以＝＝－.
则Sn＝1－＋－＋…＋－
＝1－＝.
(2)①由已知，当n≥1时，
an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1
＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1.
而a1＝2，符合上式，
所以数列{an}的通项公式为an＝22n－1.
②由bn＝nan＝n·22n－1知
Sn＝1×2＋2×23＋3×25＋…＋n×22n－1， ①
从而22·Sn＝1×23＋2×25＋3×27＋…＋n×22n＋1， ②
①－②得(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n×22n＋1，
即Sn＝[(3n－1)22n＋1＋2].
章末质量检测(二) 导数及其应用
1．解析：
＝2 ＝2f′(x0)，故选B.
答案：B
2．解析：y′＝2ax，于是切线斜率k＝y′|x＝1＝2a，由题意知2a＝2，∴a＝1.
答案：A
3．解析：由导数公式知选项A中(sin a)′＝0；选项B中(cos x)′＝－sin x；选项D中(x－5)′＝－5x－6.
答案：C
4．解析：f′(x)＝(x－2)ex，由f′(x)>0，得x>2，所以函数f(x)的单调递增区间是(2，＋∞).
答案：D
5．解析：f′(x)＝x2－2f′(1)·x－1，则f′(1)＝12－2f′(1)·1－1，解得f′(1)＝0.
答案：A
6．解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，
因为f(x)既有极大值又有极小值，
所以Δ＝4a2－4×3×(a＋6)>0，
即a2－3a－18>0.
解得a>6或a<－3.
答案：D
7．解析：f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x2＋2x＋1)＝3(x＋1)2≥0，∴函数f(x)在R上单调递增，无极值．故选C.
答案：C
8．解析：f′(x)＝2x＋2＋，x∈(0，1)，
∵f(x)在(0，1)上单调，
∴f′(x)≥0或f′(x)≤0在(0，1)上恒成立，
∴2x＋2＋≥0或2x＋2＋≤0在(0，1)上恒成立，
即a≥－2x2－2x或a≤－2x2－2x在(0，1)上恒成立．
设g(x)＝－2x2－2x＝－2(x＋)2＋，则g(x)在(0，1)上单调递减，
∴g(x)的最大值为g(0)＝0，
g(x)的最小值为g(1)＝－4.
∴a≥0或a≤－4.
答案：C
9．解析：当x<－3时，y＝xf′(x)>0，即f′(x)<0；
当－33时，f′(x)<0.
∴f(x)的极大值是f(3)，f(x)的极小值是f(－3).
答案：AD
10．解析：由题意得f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，则Δ＝4a2－12≤0，解得－≤a≤.
答案：ABC
11．解析：对于A，由函数y＝f′(x)的图象可知，f′(0)＝0，但函数y＝f(x)在x＝0处的切线斜率不存在，不合乎题意；对于B，由函数y＝f′(x)的图象可知，函数y＝f(x)存在增区间，但B的图中，函数y＝f(x)没有增区间，不合乎题意；对于C，由函数y＝f′(x)的图象可知，函数y＝f(x)在R上为增函数，合乎题意；对于D，由函数y＝f′(x)的图象可知，函数y＝f(x)有两个单调区间，但D的图中，函数y＝f(x)有三个单调区间，不合乎题意．故选ABD.
答案：ABD
12．解析：对于A，f′(x)＝2x，由x2＝2x，得x＝0或x＝2，有“巧值点”；对于B，f′(x)＝－e－x，－e－x＝e－x无解，无“巧值点”；对于C，f′(x)＝，方程ln x＝有解，有“巧值点”；对于D，f′(x)＝－，由＝－，得x＝－1，有“巧值点”．
答案：ACD
13．解析：∵f′(x)＝－3x2＋6x＋9＝－3(x＋1)(x－3)，
所以函数在[－2，－1]内单调递减，
所以最大值为f(－2)＝2＋a＝2.
∴a＝0，最小值f(－1)＝a－5＝－5.
答案：－5
14．解析：g(x)＝x3－6x2＋9x－10，
故g′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，
故函数在(－∞，1)和(3，＋∞)上单调递增，在[1，3]上单调递减，则函数的极大值为g(1)＝1－6＋9－10＝－6<0，
函数的极小值为g(3)＝27－54＋27－10＝－10<0，
当x→＋∞时，f(x)→＋∞，故函数共有1个零点．
答案：1
15．解析：设曲线上的点A(x0，ln (2x0－1))到直线2x－y＋3＝0的距离最短，
则曲线上过点A的切线与直线2x－y＋3＝0平行．
因为y′＝·(2x－1)′＝，
所以k＝＝2，解得x0＝1.
所以点A的坐标为(1，0).
所以点A到直线2x－y＋3＝0的距离为
d＝＝＝.
答案：：
16．解析：由f(x)的导函数y＝f′(x)的图象知，函数f(x)的极大值点为0，4，故①正确；
因为在[0，2]上f′(x)≤0，故函数f(x)在[0，2]上单调递减，故②正确；
由表和图象知0≤t≤5，所以③不正确；
由f(x)＝a知，当极小值f(2)∈[1，2)时，函数y＝f(x)－a可能有4个零点2，3，4，0；
当极小值f(2)∈(－∞，1)时，函数y＝f(x)－a可能有4个零点0，1，2，4，所以⑤正确，④不正确．
答案：①②⑤
17．解析：(1)f′(x)＝＋2x，
因为直线2x＋y－4＝0的斜率为－2，且过点(1，2)，
所以即解得
(2)由(1)知y＝＋，则y′＝x2.
设切点为(x0，y0)，则切线斜率k＝y′|x＝x0＝x，
故切线方程为y－－＝x(x－x0).
由切线过点(2，4)，代入可解得x0＝2或x0＝－1，
∴切点为(2，4)或(－1，1)，
则切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.
18．解析：(1)由题意，得f′(x)＝6x2－2ax，
f′(1)＝0，则a＝3.
f(x)＝2x3－3x2＋4，f′(x)＝6x(x－1)，
当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0；
当x∈(0，1)时，f′(x)<0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，
所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(1，＋∞).
(2)当x∈[－1，2]时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示：
当x＝－1时，f(－1)＝2(－1)3－3(－1)2＋4＝－1；
当x＝1时，f(1)＝2－3＋4＝3，
所以当x∈[－1，2]时，函数f(x)的最小值为－1.
19．解析：(1)当a＝1时，f(x)＝xex－x2－2x，
所以f′(x)＝ex(x＋1)－2x－2，f′(0)＝－1.
又因为f(0)＝0，
所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝－x.
(2)当x>0时，“曲线y＝f(x)在直线y＝－x的上方”等价于“axex－x2－2x>－x恒成立”，即x>0时aex－x－1>0恒成立，
由于ex>0，所以等价于当x>0时，a>恒成立．
令g(x)＝，x>0，则g′(x)＝.
当x>0时，有g′(x)<0.
所以g(x)在区间(0，＋∞)单调递减．又g(0)＝1.
从而对任意x>0，<1恒成立．
综上，实数a的取值范围为[1，＋∞).
20．解析：(1)f(0)＝1，f′(x)＝＋x－a＝，f′(0)＝0，所以函数y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
(2)函数的定义域为(－1，＋∞)，令f′(x)＝0，
即＝0.解得x＝0或x＝a－1.
当a>1时，f(x)，f′(x)随x变化的变化情况为
可知f(x)的单调减区间是(0，a－1)，单调增区间是(－1，0)和(a－1，＋∞)，极大值为f(0)＝1，极小值为f(a－1)＝a ln a－a2＋.
21．解析：(1)由f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，
得m≤在(1，＋∞)上恒成立，
令g(x)＝，则g′(x)＝，故g′(e)＝0，
当x∈(1，e)时，g′(x)<0；
x∈(e，＋∞)时，g′(x)>0.
故g(x)在(1，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，
故当x＝e时，g(x)的最小值为g(e)＝e.
所以m≤e.故实数m的取值范围为(－∞，e].
(2)由已知可知k(x)＝x－2ln x－a，函数k(x)在[1，3]上恰有两个不同零点，相当于函数φ(x)＝x－2ln x与直线y＝a有两个不同的交点，
φ′(x)＝1－＝，故φ′(2)＝0，
所以当x∈[1，2)时，φ′(x)<0，所以φ(x)单调递减，
当x∈(2，3]时，φ′(x)>0，所以φ(x)单调递增．
所以φ(1)＝1，φ(3)＝3－2ln 3，φ(2)＝2－2ln 2，
且φ(1)>φ(3)>φ(2)>0，
所以2－2ln 2所以实数a的取值范围为(2－2ln 2，3－2ln 3].
22．解析：(1)f ′(x)＝ex＋(x＋a)ex＝(x＋a＋1)ex，
由f ′(x)>0，解得x>－a－1；
由f ′(x)<0，解得x<－a－1.
所以函数f(x)的单调减区间为(－∞，－a－1)，单调增区间为(－a－1，＋∞).
(2)①当－a－1≥4，即a≤－5时， f(x)在[0，4]上单调递减，所以f(x)min＝f(4)＝(a＋4)e4.
②当－a－1≤0，即a≥－1时， f(x)在[0，4]上单调递增，所以f(x)min＝f(0)＝a.
③当0<－a－1<4即－5所以f(x)min＝f(－a－1)＝－e－a－1＝－.
综上，当a≤－5时， f(x)在[0，4]上的最小值为(a＋4)e4；当a≥－1时， f(x)在[0，4]上的最小值为a；当－5模块质量检测
1．解析：本题要抓住等差数列基本量a1和d，由已知列方程组，即，，
a7＝a1＋6d＝－3＋6×2＝9.
答案：D
2．解析：由题意可知f′(x)＝3ax2－1≤0在R上恒成立，则a≤0.
答案：A
3．解析：由题知，＝(n≥2)，
故{an}是首项为f，公比为的等比数列，
所以a8＝a1·q7＝f()7＝f.
答案：D
4．解析：∵f(x)＝2xf′(1)＋ln x，
∴f′(x)＝2f′(1)＋，
∴f′(1)＝2f′(1)＋1，∴f′(1)＝－1.
答案：B
5．解析：因为f′(x)＝3x2－3b＝0，所以x2＝b，若y＝f(x)在(0，1)内有极小值，则只需即0＜b＜1.
答案：A
6．解析：根据极值的定义及判断方法，检查f′(x)的零点左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个点处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个点处取得极小值；如果左右都是正，或者左右都是负，那么f(x)在这个点处不是极值．由此可见，x2是函数f(x)的极大值点，x3是极小值点，x1，x4不是极值点．
答案：A
7．解析：∵f′(x)＝ex，∴曲线在点(2，e2)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝e2，切线方程为y－e2＝e2(x－2)，即e2x－y－e2＝0，切线与x轴和y轴的交点坐标分别为A(1，0)，B(0，－e2)，则切线与坐标轴围成的△OAB的面积为×1×e2＝.
答案：D
8．解析： a＝，b＝＝，c＝，
令f(x)＝(x>0)，则f′(x)＝，
当00，当x>e时，f′(x)<0，
所以f(x)在(0，e)上递增，在(e，＋
?SymboleB@)上递减，
因为2所以f(2)f(5)，
因为f(2)－f(5)＝－＝＝>0，
所以f(2)>f(5)，
所以b>a>c.
答案：C
9．解析：f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝2x－5＋＝，
所以f(x)在区间(0，)，(2，＋∞)，f′(x)>0，f(x)递增．故选AC.
答案：AC
10．解析：因为S5＝S7，所以S7－S5＝0，即a6＋a7＝0，
因为数列{an}递减，所以a6>a7，则a6>0，a7<0，故A正确；
所以S6最大，故B正确；
所以S13＝＝13a7<0，故C错误；
所以S11＝＝11a6>0，故D正确．故选ABD.
答案：ABD
11．解析： 根据题意得an＋1＝4an－3an－1 an＋1＋kan＝(k＋4)an－3an－1＝(k＋4)，令k＝－ k2＋4k＋3＝0 k＝－1或k＝－3，所以可得：an＋1－an＝3(an－an－1)或an＋1－3an＝an－3an－1，所以数列{an＋1－an}为公比为3的等比数列，故选项A正确；
数列{an＋1－3an}为常数列，即为公差为0的等差数列，故选项B正确；
所以an＋1－an＝1×3n－1，且an＋1－3an＝－1，
解得an＝，所以C错误，
所以Sn＝a1＋a2＋…＋an
＝＋＋…＋
＝(30＋31＋…＋3n－1)＋
＝×＋
＝＋，所以D正确，
故选ABD.
答案：ABD
12．解析：f(x)＝ex－1与g(x)＝ax恒过(0，0)，如图，
当a≤0时，两函数图象恰有一个公共点，
当a>0时，函数f(x)＝ex－1与g(x)＝ax的图象恰有一个公共点，
则g(x)＝ax为f(x)＝ex－1的切线，且切点为(0，0)，
由f′(x)＝ex，所以a＝f′(0)＝e0＝1，
综上所述，a的可能取值为0，－1或1.
答案：BCD
13．解析：设f(x)＝ax3－6x2＋12x，g(x)＝ex，则f′(x)＝3ax2－12x＋12，g′(x)＝ex，
∴f′(1)＝3a，g′(1)＝e.由题意3a·e＝－1，∴a＝－.
答案：－
14．解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1－(3n－1－1)＝2×3n－1，
当n＝1时，a1＝S1＝2，也满足式子an＝2×3n－1，
∴数列{an}的通项公式为an＝2×3n－1.
答案：2×3n－1
15．解析：由已知得数列{an}是各项均为正数的等比数列，
则a1a7＝a2a6＝a3a5＝a＝9，a4＝3，
所以log3a1＋log3a2＋…＋log3a7＝log3a＝7log3a4＝7.
答案：7
16．解析：因为a3＝7，a5＋a7＝26，所以公差d＝2，
所以an＝a3＋2(n－3)＝2n＋1.
所以bn＝＝＝＝(－).所以S100＝b1＋b2＋…＋b100
＝(1－＋－＋…＋－)＝.
答案：：
17．解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，
因为a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列，所以(a3＋8)2＝(a2＋10)(a4＋6)，
即(2d－2)2＝d(3d－4)，解得d＝2，所以an＝－10＋2(n－1)＝2n－12.
(2)由(1)知an＝2n－12，
所以Sn＝×n＝n2－11n＝(n－)2－；
当n＝5或n＝6时，Sn取到最小值－30.
18．解析：(1)设等差数列{an}公差为d，首项为a1，
由题意，有，解得，
所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
(2)bn＝an＋2n－1＝2n－1＋2n－1，所以Tn＝＋＝n2＋2n－1.
19．解析：(1)证明：由已知可得＝＋1，即－＝1.
所以{}是以＝1为首项，1为公差的等差数列．
(2)由(1)得＝1＋(n－1)·1＝n，所以an＝n2.
从而bn＝n·3n.
Sn＝1·31＋2·32＋3·33＋…＋n·3n， ①
3Sn＝1·32＋2·33＋…＋(n－1)·3n＋n·3n＋1. ②
①－②得，－2Sn＝31＋32＋…＋3n－n·3n＋1
＝－n·3n＋1＝，
所以Sn＝.
20．解析：(1)由f(x)＝－k ln x，(k>0)得
f′(x)＝x－＝.(x＞0)
由f′(x)＝0解得x＝.
f(x)与f′(x)在区间(0，＋∞)上的情况如下：
所以，f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，＋∞)；
f(x)在x＝处取得极小值f()＝.
(2)由(1)知，f(x)在区间(0，＋∞)上的最小值为f()＝.
因为f(x)存在零点，所以≤0，从而k≥e.当k＝e时，f(x)在区间(1，)上单调递减，且f()＝0，
所以x＝是f(x)在区间(1，]上的唯一零点．
当k>e时，f(x)在区间(0，)上单调递减，且f(1)＝>0，f()＝<0，
所以f(x)在区间(1，]上仅有一个零点．
综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，]上仅有一个零点．
21．解析：(1)f′(x)＝ex＋xex－2x－2＝(x＋1)(ex－2)，
当x∈(－1，ln 2)时，f′(x)<0；当x∈(ln 2，1)时，f′(x)>0，
∴f(x)在[－1，ln 2)上单调递减，在(ln 2，1]上单调递增，∴f(x)max＝max{f(－1)，f(1)}，
又f(－1)＝－－1＋2－1＝－，f(1)＝e－1－2－1＝e－4，
∴f(x)max＝f(－1)＝－.
(2)证明：要证f(x)>－x－1，
只需证f(x)＋x＋1＝xex－x2－x>0，
∵x>0，∴只需证ex－x－1>0.
令g(x)＝ex－x－1，则g′(x)＝ex－1,
当x>0时，ex>1，∴g′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，
∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴g(x)>e0－0－1＝0，即当x>0时，ex－x－1>0恒成立，则原命题得证，
∴当x>0时，f(x)>－x－1.
22．解析：(1)当a＝1时，f(x)＝x＋，f(2)＝，f′(x)＝1－，
所以所求切线的斜率k＝f′(2)＝1－＝.
故所求的切线方程为y－＝(x－2)，即3x－4y＋4＝0.
(2)y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝＋1－＝＝.
①若a≥0，
当x∈(0，1)时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0.
所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
此时，f(x)的极小值点为x＝1.
②若a<0，令f′(x)＝0，得x＝－a或x＝1.
(ⅰ)当－1若x∈(0，－a)∪(1，＋∞)，则f′(x)>0，若x∈(－a，1)，则f′(x)<0.
所以f(x)在(0，－a)和(1，＋∞)上单调递增，在(－a，1)上单调递减．
此时，f(x)的极小值点为x＝1，极大值点为x＝－a.
(ⅱ)当a＝－1时，f′(x)≥0对x∈(0，＋∞)恒成立，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f(x)无极值点．
(ⅲ)当a<－1时，－a>1，
若x∈(0，1)∪(－a，＋∞)，则f′(x)>0；
若x∈(1，－a)，则f′(x)<0.
所以f(x)在(0，1)和(－a，＋∞)上单调递增，在(1，－a)上单调递减．
此时，f(x)的极小值点为x＝－a，极大值点为x＝1.课时作业(十五) 导数的几何意义
一、选择题
1．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)＝( )
A．4 B．－4
C．－2 D．2
2．若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为( )
A．4x－y－4＝0 B．x＋4y－5＝0
C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0
3．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )
A．不存在
B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直
D．与x轴斜交
4．已知函数f(x)满足f′(x1)>0，f′(x2)<0，则在x1和x2附近符合条件的f(x)的图象大致是( )
二、填空题
5．已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为________．
6.
如图，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)等于________．
7．求曲线y＝x2－2在点P(1，－)处的切线的倾斜角为________．
三、解答题
8．求曲线f(x)＝在点(－2，－1)处的切线方程．
9．已知曲线y＝2x2－7，求：
(1)曲线在哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0
(2)曲线过点P(3，9)的切线方程．
[尖子生题库]
10．曲线f(x)＝x3在点(1，1)处的切线与x轴，直线x＝2所围成的三角形的面积为________．课时作业(九) 等比数列的前n项和
一、选择题
1．设f(n)＝2＋23＋25＋27＋…＋22n＋7(n∈N＋)，则f(n)等于( )
A．(4n－1) B．(4n＋1－1)
C．(4n＋3－1) D．(4n＋4－1)
2．在等比数列{an}中，a3＝，其前三项的和S3＝，则数列{an}的公比q＝( )
A．－ B．
C．－或1 D．或1
3．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有1个这种细菌和200个这种病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要( )
A．6秒钟 B．7秒钟
C．8秒钟 D．9秒钟
4．数列1，x，x2，…，xn－1，…的前n项和为( )
A． B．
C． D．以上均不对
二、填空题
5．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________．
6．设等比数列{an}的公比q＝，前n项和为Sn，则＝________．
7．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝p·3n－2，则p＝________．
三、解答题
8．记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝－6.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn.
9．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．
(1)求数列{an}的公比q；
(2)若a1－a3＝3，求Sn.
[尖子生题库]
10．(1)一个等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，则此数列的公比为________，项数为________．
(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5等于( )
A．3∶4 B．2∶3
C．1∶2 D．1∶3课时作业(七) 等比数列的定义
一、选择题
1．在数列{an}中，对任意的n∈N＋，都有an＋1＋2an＝0(an≠0)，则等于( )
A．－2 B．2
C．4 D．－4
2．在等比数列{an}中，an>0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，则a4＋a5的值为( )
A．16 B．27
C．36 D．81
3．已知等比数列{an}的公比为q，首项a1>0，则“q<1”是“等比数列{an}为递减数列”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．(多选)已知正项等比数列{an}满足a1＝2，a4＝2a2＋a3，若设其公比为q，则( )
A．q＝2 B．an＝2n
C．18是数列中的项 D．an＋an＋1二、填空题
5．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项an＝________．
6．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝3an，则an＝________．
7．设等比数列{an}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则a4＝________．
三、解答题
8．在等比数列{an}中．
(1)已知a3＝4，a7＝16，且q>0，求an；
(2)已知a1＝2，a3＝8，求公比q和通项公式．
9．已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an，设bn＝.
(1)求b1，b2，b3；
(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
(3)求{an}的通项公式．
[尖子生题库]
10．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.
(1)证明数列{an＋1}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．课时作业(四) 等差数列的性质
一、选择题
1．若{an}是等差数列，且a1＋a4＋a7＝45，a2＋a5＋a8＝39，则a3＋a6＋a9＝( )
A．39 B．20
C．19.5 D．33
2．已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2.若a7＋a5＝6，且a8＝7，则a2 019＝( )
A．2 019 B．2 020
C．4 029 D．4 038
3．(多选)已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有( )
A．a1＋a101>0
B．a1＋a101<0
C．a3＋a99＝0
D．a51＝0
4．(多选)在数列{an}中，若a1＝1，a2＝，＝＋(n∈N＋)，则下列说法正确的是( )
A．{an}是等差数列
B．{}是等差数列
C．an＝
D．an＝n
二、填空题
5．若数列{an}，{bn}均为等差数列，且a1＝34，b1＝66，a98＝85，b98＝15，则a2 021＋b2 021＝________．
6．若5，x，y，z，21成等差数列，则x＋y＋z＝________．
7．17＋，13－的等差中项为________．
三、解答题
8．已知{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若从数列{an}中，依次取出第2项、第4项、第6项……第2n项，按原来的顺序组成一个新数列{bn}，试求出{bn}的通项公式．
9．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，求立夏的日影子长．
[尖子生题库]
10．(1)(多选)设数列{an}是等差数列，则下列结论中错误的是( )
A．若a1＋a2>0，则a2＋a3>0
B．若a1＋a3<0，则a1＋a2<0
C．若0
D．若a1<0，则(a2－a1)(a2－a3)>0
(2)已知无穷等差数列{an}，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{bn}．
①求b1和b2；
②求数列{bn}的通项公式；
③数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第几项？课时作业(十九) 导数与函数的单调性的应用
一、选择题
1．设函数f(x)＝2x＋sin x，则( )
A．f(1)>f(2) B．f(1)C．f(1)＝f(2) D．以上都不正确
2．若函数f(x)＝x3－2ax2－(a－2)x＋5恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围为( )
A．－1≤a≤2 B．－2≤a≤1
C．a＞2或a＜－1 D．a＞1或a＜－2
3．已知函数f(x)＝x2－ax＋3在(0，1)上为减函数，函数g(x)＝x2－a ln x在(1，2)上为增函数，则a＝( )
A．1 B．2 C．0 D．
4．已知0A．> B．<1
C．a ln abb
二、填空题
5．已知函数f(x)＝x3－12x，若f(x)在区间(2m，m＋1)上是减函数，则实数m的取值范围是________．
6．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围为__________．
7．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)＝0，若当x>0时，xf′(x)＋f(x)>0，则不等式xf(x)>0的解集是________．
三、解答题
8．已知函数f(x)＝x3＋ax2－a2x＋2.
(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若a>0，求函数f(x)的单调区间．
9．试讨论函数f(x)＝kx－ln x的单调区间．
[尖子生题库]
10．已知函数f(x)＝(k为常数，e为自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．
(1)求实数k的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．课时作业(一) 数列的概念
一、选择题
1．(多选)下面四个结论中正确的是( )
A．数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1，2，3，…，n})上的函数
B．数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点
C．数列的项数是无限的
D．数列通项的表达式是唯一的
2．数列的通项公式为an＝则a2·a3等于( )
A．70 B．28
C．20 D．8
3．数列2，－5，9，－14，…的一个通项公式可以是( )
A．an＝(－1)n－1(3n－1)
B．an＝(－1)n(3n－1)
C．an＝(－1)n－1
D．an＝(－1)n
4．下列有关数列的说法正确的是( )
①数列1，2，3与数列3，2，1是同一数列；
②数列{an}与{a2n－1}表达同一数列；
③数列－1，1，－1，1，…的通项公式不唯一；
④数列－1，1，3，5，8，…的通项公式为an＝2n－3，n∈N*.
A．①④ B．②③
C．③ D．①②
二、填空题
5．观察下列数列的特点，用适当的一个数填空：1，，，________，3，，….
6．已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是________数列．(填“递增”或“递减”)
7．已知数列{}，则0.98是它的第________项．
三、解答题
8．写出下面各数列的一个通项公式．
(1)，，，，，…；
(2)－1，，－，，－，，…；
(3)6，66，666，6 666，….
9．已知数列{an}的通项公式为an＝30＋n－n2.
(1)－60是否为这个数列中的项？若是，求出它是第几项；若不是，请说明理由；
(2)当n分别为何值时，an＝0，an>0；
(3)当n为何值时，an取得最大值？并求出最大值．
[尖子生题库]
10．设数列{an}的通项公式为an＝n2＋kn，若数列{an}是递增数列，则实数k的范围为________．课时作业(六) 等差数列的前n项和的性质
一、选择题
1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝( )
A．3 B．4 C．5 D．6
2．含2n＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为( )
A． B．
C． D．
3．已知等差数列{an}中，a5＋a9－a7＝10，则S13的值为( )
A．130 B．260 C．156 D．168
4．(多选)设数列{an}是等差数列，Sn为其前n项和，且S7S10，则下列结论正确的是( )
A．d<0
B．a9＝0
C．S11>S7
D．S8、S9均为Sn的最大值
二、填空题
5．等差数列前4项的和为40，最后4项的和为80，所有各项的和为720，则这个数列一共有________项．
6．一个等差数列共有10项，其偶数项之和是15，奇数项之和是，则它的首项与公差分别是a1＝________，d＝________．
7．若等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，则＝________．
三、解答题
8．在数列{an}中，a1＝－7，a2＝3，an＋2＝an＋2，求S100.
9．在数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0 (n∈N＋).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Sn.
[尖子生题库]
10．“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月共织九匹三丈．”其白话意译为：“现有一善织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织了5尺布，现在一个月(按30天计算)共织布390尺．”则每天增加的数量为________尺，设该女子一个月中第n天所织布的尺数为an，则a14＋a15＋a16＋a17＝________．课时作业(二) 数列中的递推
一、选择题
1．数列1，，，，…的递推公式可以是( )
A．an＝ B．an＝
C．an＋1＝an D．an＋1＝2an
2．已知数列{an}中，a1＝1，＝，则数列{an}的通项公式是( )
A．an＝2n B．an＝
C．an＝ D．an＝
3．符合递推关系式an＝an－1的数列是( )
A．1，2，3，4，… B．1, ，2，2，…
C．，2, ，2，… D．0, ，2，2，…
4．已知数列{an}中，a1＝2，an＝－(n≥2)，则a2 019＝( )
A．－ B． C．2 D．－2
二、填空题
5．数列{an}的前n项的和Sn＝3n2＋n＋1，an＝________．
6．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N*)，则此数列的通项an＝________．
7．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an·an＋2＝an＋1(n∈N*)，则a2019的值为________．
三、解答题
8．已知数列{an}的第1项是2，以后的各项由公式an＝(n＝2，3，4，…)给出，写出这个数列的前5项，并归纳出数列{an}的通项公式．
9．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－4n.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求Sn的最大或最小值．
[尖子生题库]
10．设数列{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a－na＋an＋1an＝0(n＝1，2，3，…)，求它的通项公式．课时作业(五) 等差数列的前n项和
一、选择题
1．在等差数列{an}中，a2＝1，a4＝5，则{an}的前5项和S5＝( )
A．7 B．15
C．20 D．25
2．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是( )
A．－2 B．－1
C．0 D．1
3．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝( )
A．5 B．7
C．9 D．11
4．等差数列{an}的前四项之和为124，后四项之和为156，各项和为210，则此数列的项数为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
二、填空题
5．记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝________，Sn的最小值为________．
6．在公差不为零的等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2 011＝S2 016，Sk＝S2 008，则正整数k＝________．
7．若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，数列{an}的前n项和最大．
三、解答题
8．等差数列{an}中，前n项和记为Sn，a10＝30，a20＝50.
(1)求数列的通项公式；
(2)若Sn＝242，求n.
9．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4＝1，S5＝10，则当Sn取得最大值时，求n的值．
[尖子生题库]
10．已知{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，且S7＝7，S15＝75，则数列{}的前n项和Tn＝________．课时作业(二十) 导数与函数的极值
一、选择题
1．下列结论中，正确的是( )
A．导数为零的点一定是极值点
B．如果在x0点附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值
C．如果在x0点附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极小值
D．如果在x0点附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极大值
2．设函数f(x)＝＋ln x，则( )
A．x＝为f(x)的极大值点
B．x＝为f(x)的极小值点
C．x＝2为f(x)的极大值点
D．x＝2为f(x)的极小值点
3．已知函数f(x)＝x2－2(－1)k ln x(k∈N＋)存在极值，则k的取值集合是( )
A．{2，4，6，8，…} B．{0，2，4，6，8，…}
C．{1，3，5，7，…} D．N＋
4．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
二、填空题
5．设a∈R，若函数y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则a的取值范围为________．
6．设方程x3－3x＝k有3个不等的实根，则实数k的取值范围是________．
7．已知曲线f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1在点(1，f(1))处的切线斜率为3，且x＝是y＝f(x)的极值点，则a＝________， b＝________．
三、解答题
8．设函数f(x)＝a ln x＋＋x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的极值．
9．已知函数y＝ax3＋bx2，当x＝1时，有极大值3.
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数y的极小值．
[尖子生题库]
10．已知函数f(x)＝，若函数在区间(其中a>0)上存在极值，求实数a的取值范围．课时作业(二十二) 导数与函数的极值、最值综合问题
一、选择题
1．函数f(x)＝x3－12x－16的零点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
2．已知函数f(x)＝ex－x－a，若函数y＝f(x)有零点，则实数a的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
3．若函数f(x)＝x2ex－a恰有三个零点，则实数a的取值范围是( )
A．(，＋∞) B．(0，)
C．(0，4e2) D．(0，＋∞)
4．方程x2＝ex的实根个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
二、填空题
5．已知曲线f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a与x轴只有一个交点，则实数a的取值范围为________．
6．已知函数f(x)＝－a有两个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
7．已知函数f(x)＝ex－ax2(x>0)无零点，则实数a的取值范围为 ________．
三、解答题
8．已知函数f(x)＝4ln x－2x2＋3ax.
(1)当a＝1时，求f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程；
(2)若函数g(x)＝f(x)－3ax＋m在上有两个零点，求实数m的取值范围．
9．已知函数f(x)＝e2x－ex－x，判断f(x)的零点个数．
[尖子生题库]
10．已知函数f(x)＝x sin x－，判断函数f(x)在(0，π)内的零点个数，并加以证明．