课时作业(十五) 直线的一般式方程
[练基础]
1．经过点A(8，－2)，斜率为－2的直线方程为( )
A．x＋2y－4＝0 B．x－2y－12＝0
C．2x＋y－14＝0 D．x＋2y＋4＝0
2．直线x＋y＋1＝0的倾斜角为( )
A． B．
C． D．
3．直线ax＋y－1＝0的倾斜角为30°，则a＝( )
A．－ B．
C．－ D．
4．设a∈R，直线ax＋2y－1＝0与直线x＋ay＋1＝0平行，则a＝( )
A． B．－
C．± D．±1
5．(多选)下列说法正确的是( )
A．直线y＝ax－2a＋4(a∈R)必过定点(2，4)
B．直线y＋1＝3x在y轴上的截距为1
C．直线x＋y＋1＝0的倾斜角为120°
D．过点(－2，3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为2x＋y＋1＝0
6．将直线x＋y－3＝0绕与x轴的交点逆时针旋转60°后，直线的倾斜角为________．
7．纵截距为－4，与两坐标轴围成的三角形面积为24的直线的一般式方程为________．
8．设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别求m的值．
(1)在x轴上的截距为1；
(2)斜率为1；
(3)经过定点P(－1，－1).
[提能力]
9．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )
A．[0，] B．[0，)∪[，π)
C．(，π) D．[，π)
10．(多选)已知直线l1：x＋ay－a＝0和直线l2：ax－(2a－3)y＋a－2＝0，则( )
A．l2始终过定点(，)
B．若l2在x轴和y轴上的截距相等，则a＝1
C.若l1⊥l2，则a＝0或2
D．若l1∥l2，则a＝1或－3
11．已知直线l：ax＋y－2＋a＝0，若直线l过点(2，0)，则a＝________；若直线l在两坐标轴上的截距相等，则a＝________．
12．已知直线l：(a－2)y＝(3a－1)x－1
(1)求证：不论实数a取何值，直线l总经过一定点．
(2)为使直线不经过第二象限，求实数a的取值范围．
(3)若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l的方程．
[培优生]
13．已知直线(k＋1)x＋(1－2k)y－3＝0(k∈R)恒过定点A，点A在直线＋＝1(m＞0，n＞0)上，则2m＋n的最小值为________．课时作业(十四) 直线的两点式方程
[练基础]
1．已知直线l的两点式方程为＝，则l的斜率为( )
A．－ B． C．－ D．
2．若直线＋＝1过第一、三、四象限，则( )
A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0
C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0
3．两直线－＝1与－＝1的图象可能是图中的( )
4．过点A(1，4)，且横、纵截距的绝对值相等的直线共有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
5．已知M(3，)，A(1，2)，B(3，1)，则过点M和线段AB的中点的直线方程为( )
A．4x＋2y－5＝0 B．4x－2y－5＝0
C．x＋2y－5＝0 D．x－2y－5＝0
6．已知A(2，4)，B(0，－2)，则直线AB的方程为________．
7．过点(0，3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是________．
8．三角形的顶点坐标为A(0，－5)，B(－3，3)，C(2，0)，求直线AB和直线AC的方程．
[提能力]
9．(多选)若直线过点A(1，2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l的方程可能为( )
A.x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0
C．2x－y＝0 D．x－y－1＝0
10．直线l过A(－4，－6)，B(2，6)两点，点C(1 010，b)在直线l上，则b的值为( )
A．2 020 B．2 021 C．2 022 D．2 023
11.
直线l过点P(－1，2)，分别与x，y轴交于A，B两点，若P为线段AB的中点，则直线l的方程为________．
12．直线l与两坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为2，两截距之差为3，求直线l的方程．
[培优生]
13．过点P(4，1)作直线l分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点．当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为________．课时作业(四) 空间直角坐标系
[练基础]
1．空间两点A，B的坐标分别为(a，b，c)，(－a，－b，c)，则A，B两点的位置关系是( )
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于z轴对称 D．关于原点对称
2．空间直角坐标系下，点M(2，－1，3)关于x轴对称的点的坐标为( )
A．(－2，1，3) B．(－2，－1，－3)
C．(2，1，－3) D．(－2，1，－3)
3．在空间直角坐标系中，点P(1，2，－3)关于坐标平面xOy的对称点为( )
A．(－1，－2，3) B．(－1，－2，－3)
C．(－1，2，－3) D．(1，2，3)
4．在空间直角坐标系中，记点M(－1，1，2)关于x轴的对称点为N，关于yOz平面的对称点为P，则线段NP中点坐标为( )
A．(1，0，0) B．(－1，－1，0)
C．(1，0，1) D．(0，0，0)
5.
以棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1的棱AB，AD，AA1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则正方形AA1B1B的对角线交点的坐标为( )
A．(0，，) B．(，0，)
C．(，，0) D．(，，)
6．如图，正方体ABCD A′B′C′D′的棱长为2，则图中的点M关于y轴的对称点的坐标为________．
7．在空间直角坐标系中，已知点A(－1，2，－3)，则点A在yOz平面内射影的点的坐标是________．
8．已知点A(－4，2，3)关于坐标原点的对称点为A1，A1关于xOz平面的对称点为A2，A2关于z轴的对称点为A3，求线段AA3的中点M的坐标．
[提能力]
9．如图，正方体OABC O1A1B1C1的棱长为2，E是B1B上的点，且EB＝2EB1，则点E的坐标为( )
A．(2，2，1) B．(2，2，2)
C．(2，2，) D．(2，2，)
10．(多选)如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则( )
A．点B1的坐标为(4，5，3)
B．点C1关于点B对称的点为(5，8，－3)
C．点A关于直线BD1对称的点为(0，5，3)
D．点C关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0)
11．在空间直角坐标系Oxyz中，若点M(a2－4a，b＋3，2c＋1)关于y轴的对称点M′的坐标为(4，－2，15)，则a＋b＋c的值为________．
12．如图，在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，M在线段BC1上，且|BM|＝2|MC1|，N是线段D1M的中点，求点M，N的坐标．
[培优生]
13．如图是从一个正方体中截下的一个三棱锥P ABC，|PA|＝a，|PB|＝b，|PC|＝c，则△ABC的重心G的坐标为________．课时作业(三十) 抛物线的简单几何性质(2)
[练基础]
1．设a为实数，则曲线C：x2－＝1不可能是( )
A．抛物线 B．双曲线
C．圆 D．椭圆
2．一个动圆与定圆F：(x－3)2＋y2＝4相外切，且与直线l：x＝－1相切，则动圆圆心的轨迹方程为( )
A．y2＝6x B．y2＝4x
C．y2＝8x D．y2＝12x
3．设A，B是抛物线x2＝4y上两点，O为原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的面积为16，则∠AOB等于( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
4．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F且倾斜角为45°的直线交C于A，B两点，A在x轴上方，则＝( )
A．3＋2 B．1＋
C．8 D．2
5．(多选)已知抛物线C：y＝的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，且|AF|＝2y0，则x0等于( )
A．2 B．－2
C．－4 D．4
6．已知定点F(1，0)，动点P在y轴上运动，点M在x轴上，且·＝0，延长MP到点N，使得||＝||，则点N的轨迹方程是________．
7．已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为抛物线C上在第一象限的点．若M为PF的中点，O为抛物线C的顶点，则直线OM斜率的最大值为________．
8．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点M(x0，2)与焦点F的距离为|MF|＝p.
(1)求x0和p的值；
(2)直线l：y＝x－1与C相交于A，B两点，求直线AM，BM的斜率之积．
[提能力]
9．已知抛物线y2＝2px(p > 0)的焦点为F，准线为l，M是抛物线上一点，过点M作MN⊥l于N.若△MNF是边长为2的正三角形，则p＝( )
A． B．
C．1 D．2
10．(多选)已知点F是抛物线y2＝2x的焦点，过点F的直线交抛物线于M、N两点，则下列结论正确的是( )
A．点M到焦点F的最小距离为1
B．若点P的坐标为(2，1)，则|MP|＋|MF|的最小值为
C．以MF为直径的圆与抛物线的准线相切
D．＋＝2
11．已知直线l是抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线，半径为的圆过抛物线的顶点O和焦点F，且与l相切，则抛物线C的方程为________；若A为C上一点，l与C的对称轴交于点B，在△ABF中，sin ∠AFB＝sin ∠ABF，则|AB|的值为________．
12．动点M到点F(，0)的距离比它到直线l：x＋＝0的距离小，记M的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)已知圆D：(x－2)2＋y2＝1，设P，A，B是C上不同的三点，若直线PA，PB均与圆D相切，若P的纵坐标为，求直线AB的方程．
[培优生]
13.＋的最小值为( )
A．5 B．2＋
C．6 D．1＋本册过关检测
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．若直线l的一个方向向量为(－1，)，则它的倾斜角为( )
A．30° B．120°
C．60° D．150°
2．已知空间向量a＝(3，5，－2)，b＝(1，λ，－1)且a与b垂直，则λ等于( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
3．与向量a＝平行，且经过点(4，－4)的直线方程为( )
A．y＝x－ B．y＝－x－
C．y＝x－18 D．y＝－x＋10
4．圆x2＋y2－6y＋8＝0与圆x2＋y2－8x＝0的位置关系为( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．外离
5．已知等腰梯形ABCD中，＝2，E，F分别为AD，BC的中点，G为EF的中点，若记＝a，＝b，则＝( )
A．a＋b B．a＋b
C．a＋b D．a＋b
6．如图正三棱柱ABC A1B1C1的各棱长相等，D为AA1的中点，则异面直线A1B与C1D所成的角为( )
A． B．
C． D．
7．已知椭圆＋＝1的焦点分别为F1，F2，椭圆上一点P与焦点F1的距离等于6，则△PF1F2的面积为( )
A．24 B．36
C．48 D．60
8．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，以F为圆心，以a为半径的圆与双曲线C的一条渐近线交于A，B两点，若＝2(O为坐标原点)，则双曲线C的离心率为( )
A. B．
C． D．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．下列说法中，正确的是( )
A．直线x－y－4＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是8
B．过(x1，y1)，(x2，y2)两点的直线方程为＝
C．过点(1，1)且与直线2x＋y＋1＝0相互平行的直线方程是y＝－2x＋3
D．经过点(1，2)且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为x＋y－3＝0
10．下列说法正确的有( )
A．直线mx－y－1＝0恒过定点(0，－1)
B．直线l1：mx＋2y－1＝0，l2：(m－1)x－y＋1＝0，若l1⊥l2，则m＝2
C．圆x2＋y2＝9与圆x2＋y2－4x＋2y－3＝0的公共弦长为
D．若圆x2＋y2－4x－2y＝0，则过点M(1，0)的最短弦所在直线方程为x－y－1＝0
11．在正方体ABCD A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为BC、CC1、A1D1、C1D1的中点，则下列结论中正确的是( )
A．A1E⊥AC1 B．BF∥平面ADD1A1
C．BF⊥DG D．GE∥HF
12．已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，点P为C上任意一点，若点M(1，3)，下列结论正确的是( )
A．|PF|的最小值为2
B．抛物线C关于x轴对称
C．过点M与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条
D．点P到点M的距离与到焦点F距离之和的最小值为4
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．)
13．已知空间向量a＝(4，－1，λ)，b＝(2，1，1)，c＝(1，2，1)，若a，b，c共面，则实数λ＝________．
14．若抛物线y2＝mx的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则实数m的值为________．
15．过直线3x－4y－2＝0上一动点P作圆C：(x＋2)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB面积的最小值为________．
16．已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，E为线段B1C1中点，F为线段BC上动点，则|AF|＋|FE|的最小值为________；点F到直线DE距离的最小值为________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(本小题满分10分)已知圆C的圆心坐标为(2，1)，且点P(－1，－3)在圆C上．
(1)求圆C的标准方程；
(2)若直线y＝kx＋m－2k与圆相交于A、B两点，当k变化时，线段AB的最小值为6，求m的值．
18．(本小题满分12分)已知O为坐标原点，点P在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，点F为抛物线C的焦点，记P到直线x＋2＝0的距离为d，且d－|PF|＝1.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若过点(0，1)的直线l与抛物线C相切，求直线l的方程．
19．(本小题满分12分)四棱锥P ABCD，底面为矩形，PD⊥面ABCD，且AB＝4，BC＝PD＝2，Q点在线段AB上，且AC⊥面PQD.
(1)求线段AQ的长；
(2)对于(1)中的点Q，求直线PB与面PDQ所成角的正弦值．
20．(本小题满分12分)已知O为坐标原点，双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，点P在双曲线C上，点F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，(|PF1|－|PF2|)2＝4.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知点A(－1，0)，B(1，0)，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2.证明：k1k2为定值．
21．(本小题满分12分)在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是A1B，A1C1的中点．
(1)求证：CE∥平面FC1D；
(2)求平面FC1D与平面EDC所成的二面角的正弦值．
22．(本小题满分12分)已知点A(，0)，点C为圆B：(x＋)2＋y2＝16(B为圆心)上一动点，线段AC的垂直平分线与直线BC交于点G.
(1)设点G的轨迹为曲线T，求曲线T的方程；
(2)若过点P(m，0)(m>1)作圆O：x2＋y2＝1的一条切线l交(1)中的曲线T于M、N两点，求△MNO面积的最大值．课时作业(二) 空间向量的数量积运算
[练基础]
1．已知空间向量a，b，c两两夹角均为60°，其模长均为1，则|a＋b－2c|＝( )
A． B．
C．2 D．
2.
如图，空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则·＝( )
A． B．
C． D．
3．已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，则a与b的夹角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．以上都不对
4．已知平行六面体ABCD A1B1C1D1的各棱长均为1，∠A1AB＝∠A1AD＝45°，∠DAB＝90°，则|BD1|＝( )
A． B．－1
C． D．＋1
5．(多选)已知长方体ABCD A1B1C1D1，则下列向量的数量积可以为0的是( )
A．· B．·
C．· D．·
6．已知空间中单位向量a、b，且〈a，b〉＝60°，则|a－3b|的值为________．
7．在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，·＝________．
8.
如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，D，E分别是OC，AB的中点，记＝a，＝b，＝c，
(1)用向量a，b，c表示向量；
(2)求证DE⊥AB.
[提能力]
9．(多选)四面体A BCD中，各棱长均为a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是( )
A．2· B．2·
C．2· D．2·
10．(多选)已知ABCD A1B1C1D1为正方体，则下列说法正确的有( )
A．(＋＋)2＝3(A1B1)2
B．·(－)＝0
C．与的夹角为60°
D．在面对角线中与直线A1D所成的角为60°的有8条
11．如图，平行六面体ABCD A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°，则AC1的长为________；异面直线BD1与AC夹角的余弦值为________．
12.
如图所示，在平行六面体ABCD A′B′C′D′中，AB＝AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝45°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°.
(1)求·；
(2)求线段AC′的长．
[培优生]
13．(多选)定义空间两个向量的一种运算a b＝|a|·|b|sin 〈a，b〉，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有( )
A．a b＝b a
B．λ(a b)＝(λa) b
C．(a＋b) c＝(a c)＋(b c)
D．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a b＝|x1y2－x2y1|课时作业(二十一) 圆与圆的位置关系
[练基础]
1．圆C1：x2＋y2－4x＋2y－4＝0与圆C2：x2＋y2＋4x－4y＋4＝0的位置关系为( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．外离
2．圆C1：x2＋y2－10x－10y＝0与圆C2：x2＋y2＋6x＋2y＋8＝0公切线的条数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
3．圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0公共弦所在直线方程为( )
A．x－2y－1＝0 B．x－y＋2＝0
C．x－y－2＝0 D．x－2y＋1＝0
4．已知圆x2＋y2＝1与圆(x－3)2＋(y－4)2＝r2(r＞0)外切，则r＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
5．(多选)已知圆O1：x2＋y2＝1的半径为r1，圆O2：x2＋y2－3x－4y＋4＝0的半径为r2，则( )
A.r1＞r2
B．r1＜r2
C．圆O1与圆O2外切
D．圆O1与圆O2外离
6．若圆x2＋y2＋Dx－4y－4＝0和圆x2＋y2－2x＋F＝0的公共弦所在的直线方程为x－y＋1＝0，则D＋F＝________．
7．圆C1：x2＋y2－2x＝0与圆C2：x2＋y2－4y＝0的公共弦长为________．
8．已知圆O：x2＋y2＝1与圆C：(x－3)2＋y2＝m.
(1)在①m＝3，②m＝4这两个条件中任选一个，填在下面的横线上，并解答．若________，判断这两个圆的位置关系；
(2)若m＝5，求直线x＋y－1＝0被圆C截得的弦长．
注：若第(1)问选择两个条件分别作答，按第一个作答计分．
[提能力]
9．(多选)已知圆C1：x2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝r2(r＞0)，以下结论正确的是( )
A.若C1和C2只有一个公共点，则r＝2
B．若r＝1，则C1和C2关于直线x＝对称
C．若1＜r＜2，则C1和C2外离
D．若2＜r＜3且C1和C2的公共弦长为，则r＝
10．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )
A.(x－5)2＋(y－7)2＝25
B．(x－5)2＋(y－7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15
C．(x－5)2＋(y－7)2＝9
D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9
11．已知点P在圆O：x2＋y2＝1上运动，点Q在圆C：(x－3)2＋y2＝1上运动，则|PQ|的最小值为________．
12．已知圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，圆C2：(x－a)2＋(y－2a＋2)2＝25.
(1)若圆C1与圆C2外切，求实数a的值；
(2)若圆C1与圆C2相交于A，B两点，弦AB的长为，求实数a的值．
[培优生]
13．(多选)数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个定点A，B距离之比是常数λ(λ＞0，λ≠1)的点M的轨迹是圆．若两定点A(－2，0)，B(2，0)，动点M满足|MA|＝|MB|，则下列说法正确的是( )
A．点M的轨迹围成区域的面积为32π
B．△ABM面积的最大值为8
C．点M到直线x－y＋4＝0距离的最大值为5
D.若圆C：(x＋1)2＋(y－1)2＝r2上存在满足条件的点M，则半径r的取值范围为[，9]课时作业(二十八) 抛物线及其标准方程
[练基础]
1．已知点(1，1)在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，则C的焦点到其准线的距离为( )
A． B．
C．1 D．2
2．顶点在原点，准线方程为x＝的抛物线的标准方程为( )
A．y2＝x B．y2＝－x
C．y2＝3x D．y2＝－3x
3．已知抛物线x2＝4y上一点M与焦点间的距离是3，则点M的纵坐标为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
4．如图，某桥是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m，水面宽4 m，那么水下降1 m后，水面宽为( )
A．2 m B．2 m
C．2 m D．2 m
5．(多选)对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是( )
A．焦点坐标为(0，1)
B．焦点坐标为(0，)
C．准线方程为y＝－
D．准线方程为y＝－1
6．已知某抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，且经过点(6，6)，则该抛物线的标准方程是________．
7．已知抛物线y2＝4x上一点P到准线的距离为d1，到直线l：4x－3y＋11＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________．
8．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C的焦点F与椭圆W：＋＝1的右焦点重合．
(1)求椭圆W的离心率；
(2)求抛物线C的方程；
(3)设A是抛物线C上一点，且|AF|＝6，求点A的坐标．
[提能力]
9.
如图，公园里的一条顶点为O的抛物线形小路依次穿过两个边长分别为a，b(aA．－1 B．
C．2 D．＋1
10．(多选)若抛物线C：y2＝2px(p>0)上的动点Q到其焦点的距离的最小值为1，则( )
A．p＝1
B．准线方程为x＝－1
C．当|QF|＝4时△QOF的面积为
D．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，则点Q到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是2
11．抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，C上的一点M在l上的射影为N，已知线段FN的垂直平分线方程为x－y＋3＝0，则p＝________；|MF|＝________．
12．花坛水池中央有一喷泉，水管O′P＝1 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m，点P距抛物
线的对称轴1 m，则水池的直径至少应设计多少米？(精确到1 m)
[培优生]
13．希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy中，A(－2，1)，B(－2，4)，点P是满足λ＝的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为__________________；若点Q为抛物线E：y2＝4x上的动点，Q在y轴上的射影为H，则|PB|＋|PQ|＋|QH|的最小值为________．课时作业(八) 空间中直线、平面的垂直
[练基础]
1．已知两直线的方向向量为a，b，则下列选项中能使两直线垂直的为( )
A．a＝(1，0，0)，b＝(－3，0，0)
B．a＝(0，1，0)，b＝(1，0，1)
C．a＝(0，1，－1)，b＝(0，－1，1)
D．a＝(1，0，0)，b＝(－1，0，0)
2．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2，2，1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m等于( )
A．－2 B．2
C．6 D．10
3．已知平面α的法向量为a＝(1，2，－2)，平面β的法向量为b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k等于( )
A．4 B．－4
C．5 D．－5
4．已知点A(0，1，0)，B(－1，0，－1)，C(2，1，1)，P(x，0，z)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为( )
A．(1，0，－2) B．(1，0，2)
C．(－1，0，2) D．(2，0，－1)
5．(多选)给出下列命题，其中是真命题的是( )
A．若直线l的方向向量a＝(1，－1，2)，直线m的方向向量b＝(2，1，－)，则l与m垂直
B．若直线l的方向向量a＝(0，1，－1)，平面α的法向量n＝(1，－1，－1)，则l⊥α
C．若平面α，β的法向量分别为n1＝(0，1，3)，n2＝(1，0，2)，则α⊥β
D．若平面α经过三点A(1，0，－1)，B(0，1，0)，C(－1，2，0)，向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，则u＋t＝1
6．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2，1)与平面α平行，则z＝________．
7．在空间直角坐标系中，已知直角三角形ABC的三个顶点为A(－3，－2，1)，B(－1，－1，－1)，C(－5，x，0)，则x的值为________．
8．如图所示，在四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，AD＝AB，E是PC的中点．求证：PD⊥平面ABE.
[提能力]
9．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，过点A且与直线BD1垂直的所有面对角线的条数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
10．(多选)已知正三棱柱ABC A1B1C1的所有棱长均相等，D，E分别是BC，CC1的中点，点P满足＝x＋y＋(1－x－y)，x∈[0，1]，y∈[0，1]，下列选项正确的是( )
A．当x＝y时，∠DEP为锐角
B．当x＋2y＝1时，AP⊥BE
C.当y＝时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BP
D．当x－y＝时，A1P∥平面ADE
11．在△ABC中，A(1，－2，－1)，B(0，－3，1)，C(2，－2，1).若向量n与平面ABC垂直，且|n|＝，则n的坐标为______________．
12．已知正方体ABCD A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点．
(1)求证：A1E⊥BD；
(2)若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置．
[培优生]
13．(多选)如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，D是棱CC1的中点，P是直线AD与A1C1的交点．若点Q在直线B1P上，则下列结论不正确的是( )
A．当点Q为线段B1P的中点时，DQ⊥平面A1BD
B．当点Q为线段B1P的三等分点(靠近点P)时，DQ⊥平面A1BD
C．在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BD
D．在直线B1P上不存在点Q，使得DQ⊥平面A1BD章末质量检测(一) 空间向量与立体几何
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．在空间直角坐标系Oxyz中，点(1，5，2)关于xOy坐标平面的对称点为( )
A．(－1，5，2) B．(1，－5，2)
C．(1，5，－2) D．(－1，－5，－2)
2．已知三维数组a＝(2，－1，0)，b＝(1，k，7)，且a⊥b，则实数k的值为( )
A．－2 B．2
C． D．－9
3．平面α的一个法向量n＝(2，0，1)，点A(－1，2，1)在α内，则点P(1，2，3)到平面α的距离为( )
A．2 B．
C． D．
4.
在长方体ABCD A1B1C1D1中，M为棱CC1的中点．若＝a，＝b，＝c，则等于( )
A．a＋b＋c B．a－b＋c
C．a＋b＋c D．a－b＋c
5．空间三点A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(－1，3，1)，则( )
A．与是共线向量 B．的单位向量是(1，1，0)
C．与夹角的余弦值为 D．平面ABC的一个法向量是(1，－2，5)
6．已知向量a＝(1，0，1)，b＝(－2，2，1)，c＝(3，4，z)，若a，b，c共面，则z等于( )
A．－9 B．－5
C．5 D．9
7．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．120°
8．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵．在堑堵ABC A1B1C1中，若AC＝BC＝1，AA1＝2，点P为线段BA1的中点，则点P到平面A1B1C的距离为( )
A．3 B．1
C． D．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)
9．下列空间向量为单位向量且与x轴垂直的有( )
A．a＝(1，0，0) B．b＝(0，0，1)
C．c＝(0，，) D．d＝(0，，)
10．给出下列命题，其中不正确的有( )
A．若a·b<0，则〈a，b〉是钝角
B．若＋＝0，则与一定共线
C．若＝，则AB与CD为同一线段
D．非零向量a、b、c满足a与b，b与c，c与a都是共面向量，则a、b、c必共面
11．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点P(1，1，1)，A(1，0，1)，B(0，1，0)，则下列说法正确的是( )
A．点P关于yOz平面对称的点的坐标为(－1，1，1)
B．若平面α的法向量n＝(2，－2，2)，则直线AB∥平面α
C．若，分别为平面α，β的法向量，则平面α⊥平面β
D．点P到直线AB的距离为
12．在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是A1D1和C1D1的中点，则下列结论错误的是( )
A．A1C1∥平面CEF B．B1D⊥平面CEF
C．＝＋－ D．点D与点B1到平面CEF的距离相等
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．)
13．已知向量a＝(1，－2，3)，b＝(λ－1，3－λ，－6)，若a∥b，则实数λ＝________．
14．如图，长方体ABCD A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角为________．
14题图
15题图
16题图
15．如图，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，底面是边长为1的正方形，若∠A1AB＝∠A1AD＝60°，且A1A＝3，则A1C的长为________．
16．如图，在棱长都为1的平行六面体ABCD A1B1C1D1中，，，两两夹角均为，则·＝________；请选择该平行六面体的三个顶点，使得经过这三个顶点的平面与直线AC1垂直．这三个顶点可以是________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(本小题满分10分)已知空间三点A(2，0，－2)，B(1，－1，－2)，C(3，0，－4).
(1)求向量与夹角θ的余弦值；
(2)求向量在向量上的投影向量a.
18.
(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设＝a，＝b，AA1＝c.
(1)试用a，b，c表示向量；
(2)若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长．
19.
(本小题满分12分)如图，已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为AB，BC，BB1的中点．
(1)求证：平面A1DC1∥平面EFG；
(2)求平面A1DC1与平面EFG间的距离．
20．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝AB＝1.
(1)求证：AE⊥平面PCD；
(2)求直线PC与平面AEC所成角的正弦值．
21．(本小题满分12分)如图所示，在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，E为AA1上靠近点A1的三等分点．
(1)若F为BB1的中点，试在A1B1上找一点P，使PF∥平面CD1E；
(2)若四边形ABCD是正方形，且BB1与平面CD1E所成角的正弦值为，求二面角E D1C D的余弦值．
22.
(本小题满分12分)如图，在多面体ABCDEF中，平面ACEF⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，AD＝2，AB＝BC＝1.
(1)求证：CD⊥AF；
(2)若四边形ACEF为矩形，且∠EDC＝30°，求直线DF与平面DCE所成角的正弦值；
(3)若四边形ACEF为正方形，在线段AF上是否存在点P，使得二面角P BD A的余弦值为？若存在，请求出线段AP的长；若不存在，请说明理由．课时作业(十二) 两条直线平行和垂直的判定
[练基础]
1．过点A(2，5)和点B(－4，5)的直线与直线y＝3的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．重合 D．以上都不对
2．已知直线l1，l2，l1的倾斜角为60°.若l1⊥l2，则l2的斜率为( )
A．－ B．
C．－ D．
3．过A(m，1)，B(－1，m)两点的直线与直线y＝3x垂直，则m＝( )
A． B．2
C．－ D．－2
4．顺次连接A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)所构成的图形是( )
A．平行四边形 B．直角梯形
C．等腰梯形 D．以上都不对
5．(多选)已知点A(－4，2)，B(6，－4)，C(12，6)，D(2，12)，那么下面四个结论正确的是( )
A.AB∥CD B．AB⊥CD
C．AC∥BD D．AC⊥BD
6．若两条直线l1，l2的方向向量分别为(1，2)和(1，k)，当l1∥l2时，k的值为________．
7．已知△ABC的三个顶点分别是A(2，2)，B(0，1)，C(4，3)，点D(m，1)在边BC的高所在的直线上，则实数m＝________．
8．已知平面直角坐标系中，A(－2，3)，B(3，－2)，C(，m)，D(0，－3).
(1)若点C在直线AB上，求m的值；
(2)若直线AC与直线BD平行，求m的值；
(3)若直线AC与直线BC垂直，求m的值．
[提能力]
9．如图所示，在平面直角坐标系中，以O(0，0)，A(1，1)，B(3，0)为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是( )
A．(－3，1) B．(4，1)
C．(－2，1) D．(2，－1)
10．(多选)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－1，2)，直线l2经过点C(1，2)，D(－2，a＋2).若l1⊥l2，则a的值可以是( )
A．－4 B．－3
C．3 D．4
11．直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两根，若l1⊥l2，则m＝________；若l1∥l2，则m＝________．
12．在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点按逆时针顺序依次是O(0，0)，P(1，t)，Q(1－2t，2＋t)，R(－2t，2)，其中t∈(0，＋∞)，试判断四边形OPQR的形状，并给出证明．
[培优生]
13．将一张画了直角坐标系(两坐标轴单位长度相同)的纸折叠一次，使点(2，0)与点(－2，4)重合，点(2 021，2 022)与点(m，n)重合，则m＋n＝( )
A．1 B．2 023
C．4 043 D．4 046课时作业(一) 空间向量及其线性运算
[练基础]
1．在正方体ABCD A1B1C1D1中，－－＝( )
A． B．
C． D．
2．在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，＋＋＝( )
A． B．
C． D．
3．在正方体ABCD A1B1C1D1中，下列各组向量与共面的有( )
A．， B．，
C．， D．，
4.
在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，＝2，＋＝0，用向量a，b，c表示，则等于( )
A.a－b＋c B．－a＋b＋c
C．a＋b－c D．a＋b－c
5．(多选)下列说法错误的是( )
A．在平面内共线的向量在空间不一定共线
B．在空间共线的向量在平面内不一定共线
C．在平面内共线的向量在空间一定不共线
D．在空间共线的向量在平面内一定共线
6．化简：－＋－－＝________．
7．如图所示，在长方体ABCD A1B1C1D1中，O为AC的中点．用，，表示，则＝________．
8．如图所示，在底面为平行四边形的四棱柱ABCD A1B1C1D1中，A1C1与B1D1交于M.
(1)化简AA1＋(＋)；
(2)若＝x＋y＋z，求实数x，y，z的值．
[提能力]
9．在三棱锥S ABC中，点E，F分别是SA，BC的中点，点G在棱EF上，且满足＝，若＝a，＝b，＝c，则＝( )
A．a－b＋c B．－a＋b＋c
C．a－b＋c D．－a－b＋c
10．(多选)下列条件中，使点P与A，B，C三点一定共面的是( )
A．＝＋
B．＝＋＋
C．＝＋＋
D．＋＋＋＝0
11．在三棱锥O ABC中，E为OA中点，＝，若＝a，＝b，＝c，＝pa＋qb＋rc，则p＋q＋r＝________．
12．已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．
(1)用向量法证明E，F，G，H四点共面；
(2)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有＝(＋＋＋).
[培优生]
13．在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，点M和N分别是正方形ABCD和BB1C1C的中心，点P为正方体表面上及内部的点，若点P满足＝m＋n＋k，其中m、n、k∈R，且m＋n＋k＝1，则满足条件的所有点P构成的图形的面积是________．课时作业(九) 用空间向量研究距离问题
[练基础]
1．已知A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，则点A到直线BC的距离为( )
A． B．1
C． D．2
2．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在平面α内，则平面α外的点P(－2，1，4)到平面α的距离为( )
A．10 B．3
C． D．
3．在三棱柱ABC A1B1C1中，＝(0，1，－1)，＝(1，4，0)，＝(1，－1，4)，则这个三棱柱的高h＝( )
A．1 B．
C． D．
4．正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a，则点C1到平面A1BD的距离是( )
A．a B．a
C．a D．a
5．(多选)已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在平面α内，若点P(－2，1，z)到α的距离为，则z＝( )
A．－16 B．－4
C．4 D．16
6．如图，在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，点B到直线AC1的距离为________．
7．在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝4，AA1＝3，AD＝2，则点C1到平面A1BC的距离为________．
8．已知三棱柱ABC A1B1C1是各条棱长均为a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点．求点C到平面AB1D的距离．
[提能力]
9．如图，ABCD EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足＝＋＋，则P到AB的距离为( )
A． B．
C． D．
10．如图，已知长方体ABCD A1B1C1D1，A1A＝5，AB＝12，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是( )
A．5 B．8
C． D．
11．如图，在正三棱柱ABC A1B1C1中，若BB1＝AB＝2，则点C到直线AB1的距离为________．
12．如图，多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1.
(1)求BF的长；
(2)求点C到平面AEC1F的距离．
[培优生]
13．如图，在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为________．章末质量检测(二) 直线和圆的方程
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．直线x－y＋1＝0的倾斜角为( )
A． B．
C． D．
2．已知直线l过点P(1，1)，且其方向向量v＝(1，2)，则直线l的方程为( )
A．2x＋y＋1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0
3．如果AB>0，BC>0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．“a＝”是直线l1：(2a－1)x－ay＋1＝0与直线l2：x＋2ay－1＝0平行的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．若圆(x－1)2＋y2＝2与直线x－y＋λ＝0相切，则实数λ的值为( )
A．－1±2 B．－1或3
C．1±2 D．1或－3
6．已知圆C过点A(－2，0)，B(0，4)，圆心在x轴上，则圆C的方程为( )
A．(x＋1)2＋(y－2)2＝5 B．(x－1)2＋y2＝9
C．(x－3)2＋y2＝25 D．x2＋y2＝16
7．已知两圆相交于两点A(1，3)，B(t，－1)，两圆圆心都在直线x＋2y＋c＝0上，则t＋c的值为( )
A．－3 B．－2
C．0 D．1
8．若直线x－y＋2＝0将圆(x－a)2＋(y－3)2＝9分成的两段圆弧长度之比为1∶3，则实数a的值为( )
A．－4 B．－4或2
C．2 D．－2或4
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)
9．已知直线l1：3x＋2y－m＝0，l2：x sin α－y＋1＝0，则( )
A．当m变化时，l1的倾斜角不变 B．当α变化时，l2过定点
C．l1与l2可能平行 D．l1与l2不可能垂直
10．已知曲线C的方程为ax2＋ay2－2x－2y＝0(a∈R)，则( )
A．曲线C可能是直线 B．当a＝1时，直线3x＋y＝0与曲线C相切
C．曲线C经过定点 D．当a＝1时，直线x＋2y＝0与曲线C相交
11．垂直于直线3x＋4y＋10＝0且与圆x2＋y2＝16相切的直线的方程是( )
A．4x－3y＋18＝0 B．4x－3y＋20＝0
C．4x－3y－18＝0 D．4x－3y－20＝0
12．已知圆C：(x－3)2＋y2＝9，直线l：mx＋4y－m－4＝0(m∈R)，则下列结论正确的有( )
A．当m＝3时，圆C上恰有两个点到直线l的距离等于2
B．对于任意实数m，直线l恒过定点(1，1)
C．若直线l交圆C于A，B两点，则弦长AB的最小值为4
D．D是圆C上的动点，点E(2，4)，若动点M满足＝2，则点M的轨迹方程为(x－1)2＋(y－8)2＝9
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．)
13．若直线x＋ay＋1＝0与直线(a－1)x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________．
14．一条直线l经过P(，－3)，并且倾斜角是直线y＝x的倾斜角的2倍，则直线l的方程为____________．
15．已知直线l：2x＋y＋2＝0和圆C：x2＋y2－2x－2y－2＝0，过直线l上一点P作圆C的一条切线，切点为A，则|PA|的最小值为________．
16．在平面直角坐标系xOy中，动点P到两个定点O(0，0)，A(3，0)的距离之比为，设点P的轨迹为C，则轨迹C的方程为________；若轨迹C上有且只有四个点到直线l：y＝－x＋m的距离为1，则实数m的取值范围是________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(本小题满分10分)已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(0，1)，B(1，4)，C(6，3).
(1)求边AC上的中线所在直线方程；
(2)求△ABC的面积．
18．(本小题满分12分)在三角形ABC中，A(－1，0)，B(3，0)，AB边上的中线所在直线的方程为x＝1，AC边上的高所在直线的方程为y＝－2x＋6.
(1)求C的坐标；
(2)若D(1，－4)，试判断A，B，C，D四点是否共圆，并说明理由．
19．(本小题满分12分)已知直线方程为y＋2＝k(x＋1).
(1)若直线的倾斜角为135°，求k的值；
(2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A、B两点，O为坐标原点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程．
20．(本小题满分12分)已知圆C：(x－1)2＋y2＝9内有一点P(2，2)，过点P作直线l交圆C于A，B两点．
(1)当P为弦AB的中点时，求直线l的方程；
(2)若直线l与直线3x－4y－1＝0平行，求弦AB的长．
21．(本小题满分12分)已知圆C经过A(0，－1)和B(2，3)两点，圆心在直线x＋y－1＝0上．
(1)求圆C的方程；
(2)点P在圆C上，若|AP|＝2，求直线AP的方程．
22．(本小题满分12分)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0，m为任意实数．
(1)求证：直线l必与圆C相交；
(2)m为何值时，直线l被圆C截得的弦长AB最短？最短弦长是多少？
(3)若直线l被圆C截得的弦AB的中点为点M，求点M的轨迹方程．课时作业(七) 空间中直线、平面的平行
[练基础]
1．已知l1的方向向量为v1＝(1，2，3)，l2的方向向量为v2＝(λ，4，6)，若l1∥l2，则λ等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
2．若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为n＝(－2，1，1)，则( )
A．l∥α B．l⊥α
C．l α或l∥α D．l与α斜交
3．若α，β表示不同的平面，平面α的一个法向量为v1＝(1，2，1)，平面β的一个法向量为v2＝(－2，－4，－2)，则平面α与平面β( )
A．平行 B．垂直
C．相交 D．不确定
4．在空间直角坐标系中，a＝(1，2，1)为直线l的一个方向向量，n＝(2，t，4)为平面α的一个法向量，且l∥α，则t＝( )
A．3 B．－3
C．1 D．－1
5．(多选)直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，若l α，能使l∥α的是( )
A．a＝(1，3，5)，n＝(1，0，1)
B．a＝(1，0，1)，n＝(0，－2，0)
C．a＝(0，2，1)，n＝(－1，0，1)
D．a＝(1，－1，3)，n＝(0，3，1)
6．已知两个不同平面的法向量分别是n1＝(2，，－1)，n2＝(－4，－1，2)，则这两个平面的位置关系是________．
7．已知平面α的一个法向量为(3λ，6，λ＋6)，平面β的一个法向量为(λ＋1，3，2λ)，若α∥β，则λ＝________．
8．如图，在四棱锥P ABCD中，PA⊥平面ABCD.PA＝AB＝AD＝2，四边形ABCD满足AB⊥AD，BC∥AD，BC＝4，点M为PC的中点，求证：DM∥平面PAB.
[提能力]
9．如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝a，则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )
A．相交但不平行 B．平行
C．相交且垂直 D．不能确定
10.
(多选)如图，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等．下列结论中正确的是( )
A.A1M∥D1P
B. A1M∥B1Q
C．A1M∥平面DCC1D1
D．A1M∥平面D1PQB1
11．如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，P是DD1的中点，则OP与BD1位置关系是________；设＝λCC1，若平面D1BQ∥平面PAO，则λ＝________．
12．如图所示，在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E，E1，F分别是棱AD，AA1，AB的中点．
求证：(1)直线EE1∥平面FCC1；
(2)平面ADD1A1∥平面FCC1.
[培优生]
13．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点P为线段D1B上的动点，M，N分别为棱BC，AB的中点，若DP∥平面B1MN，则＝________．课时作业(六) 空间中点、直线和平面的向量表示
[练基础]
1．直线2x＋y－3＝0的一个方向向量为( )
A．(2，1) B．(1，2)
C．(－2，1) D．(－1，2)
2．已知平面α经过点A(1，1，1)和B(－1，1，z)，n＝(1，0，－1)是平面α的法向量，则实数z＝( )
A.3 B．－1
C．－2 D．－3
3．已知向量a＝(2，－1，3)和b＝(－4，2x2，6x)都是直线l的方向向量，则x的值是( )
A．－1 B．1或－1
C．－3 D．1
4．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则平面ABC的一个法向量是( )
A．(1，1，－1) B．(1，－1，1)
C．(－1，1，1) D．(－1，－1，－1)
5．(多选)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD A1B1C1D1为正方体，则下列结论正确的是( )
A．直线DD1的一个方向向量为(0，0，1)
B．直线BC1的一个方向向量为(0，－1，－1)
C．平面ABB1A1的一个法向量为(0，1，0)
D．平面B1CD的一个法向量为(1，1，1)
6．已知直线l1的一个方向向量为(－5，3，2)，另一个方向向量为(x，y，8)，则x＝__________，y＝____________．
7．若向量n＝(1，2a)是直线l：(2a＋1)x－ay＋1＝0的一个法向量，则a＝________．
8．在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，求平面ACD1的一个法向量n.
[提能力]
9．已知平面α过点A(1，1，2)，它的一个法向量为n＝(－3，0，4)，则下列哪个点不在平面α内( )
A．(5，5，5) B．(9，7，8)
C．(－7，2，－8) D．(－3，0，－1)
10．(多选)已知向量＝(2，2，1)，＝(4，5，3)，则平面ABC的一个单位法向量是( )
A．(，－，) B．(－，，－)
C．(，－1，1) D．(－，1，－1)
11．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，若点P(x，1，1)在平面ABC内，则x＝________．
12．如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝1，AA1＝2.以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系．
(1)求平面BCC1B1的一个法向量；
(2)求平面A1BC的一个法向量．
[培优生]
13．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1).对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的是________．(填序号)课时作业(二十九) 抛物线的简单几何性质(1)
[练基础]
1．抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，点(－5，2)在抛物线上，则抛物线的方程为( )
A．y2＝－2x B．y2＝－4x
C．y2＝2x D．y2＝4x
2．已知抛物线C：y＝x2，过点P(1，0)与抛物线C有且只有一个交点的直线有( )条
A．0 B．1
C．2 D．3
3．若抛物线y2＝2x上有两点A、B且AB垂直于x轴，若|AB|＝2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为( )
A． B．
C． D．
4．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F作斜率为2的直线l与抛物线交于A，B两点，若弦AB的中点到抛物线准线的距离为3，则抛物线的方程为( )
A．y2＝x B．y2＝x
C．y2＝12x D．y2＝6x
5．(多选)以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．x2＝8y D．x2＝－8y
6．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________．
7．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且|AF|＝5，则|AB|＝________．
8．已知抛物线E关于x轴对称，并且经过点(1，－2).
(1)求抛物线 E 的标准方程，并写出该抛物线的焦点坐标和准线方程；
(2)若经过抛物线的焦点F且倾斜角为60°的直线l交抛物线E于A、B两点，求|AB|.
[提能力]
9．若正三角形的顶点都在抛物线y2＝4x上，其中一个顶点恰为坐标原点，则这个三角形的面积是( )
A．48 B．24
C． D．46
10．(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，斜率为且经过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝4，则以下结论正确的是( )
A．p＝2 B．F为AD中点
C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝2
11．过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线l交C于点A、B，线段AB的中点M的纵坐标为1，则直线AB的斜率k为________；线段AB的长度为________．
12．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)焦点F的横坐标等于椭圆＋＝1的离心率．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过(1，0)作直线l交抛物线C于A，B两点，判断原点与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．
[培优生]
13．如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，准线与对称轴交于点M，若|BC|＝3|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为( )
A．y2＝2x B．y2＝4x
C．y2＝6x D．y2＝12x课时作业(二十三) 椭圆的简单几何性质
[练基础]
1．椭圆＋＝1的一个焦点坐标为(，0)，则p＝( )
A．2 B．3
C．4 D．8
2．椭圆2x2＋y2＝1的( )
A．焦点在x轴上，长轴长为2
B．焦点在y轴上，长轴长为2
C．焦点在x轴上，长轴长为
D．焦点在y轴上，长轴长为
3．已知a>0，椭圆x2＋a2y2＝2a的长轴长是短轴长的3倍，则a的值为( )
A． B．3
C．3或 D．
4．地球轨道是以太阳为一个焦点的椭圆，设太阳半径为R，轨道近日点、远日点离太阳表面的距离分别为r1，r2，则地球轨道的离心率为( )
A. B．
C． D．
5．(多选)已知椭圆＋＝1与椭圆＋＝1(－9＜t＜0)，则下列说法错误的是( )
A.长轴长相等 B．短轴长相等
C．离心率相等 D．焦距相等
6．若椭圆的长轴长为10，焦距为8，则它的标准方程为________________．
7．椭圆＋ ＝1(a>b>0)，A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，∠ABF＝90°，则称其为“优美椭圆”，它的离心率e＝________．
8．(1)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6，0)，(6，0)，求焦点在x轴上的椭圆的标准方程．
(2)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，右焦点为(，0).求椭圆C的方程．
[提能力]
9．已知F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
10．(多选)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF＝α，且α∈[，]，则该椭圆离心率e的可能取值为( )
A． B．
C．－1 D．
11．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，其离心率e＝．若P是椭圆上任意一点，A是椭圆的右顶点，则△PF1F2的周长为________，·的最大值为________．
12．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.
(1)求椭圆离心率的范围；
(2)求证：△PF1F2的面积只与椭圆的短轴长有关．
[培优生]
13．已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)与圆C2：x2＋y2＝，若在椭圆C1上不存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是( )
A.(0，) B．(0，)
C．[，1) D．[，1)课时作业(十一) 直线的倾斜角与斜率
[练基础]
1．直线l经过原点和点(－2，2)，则l的斜率是( )
A．0 B．－1
C．1 D．不存在
2．下列直线中，倾斜角为锐角的是( )
A．x－y＋1＝0 B．y＝－2x＋1
C．y＝1 D．x＝2
3．已知点A(1，)，B(－1，3)，则直线AB的倾斜角为( )
A． B． C． D．
4．直线l的倾斜角等于直线x－y＝0倾斜角的2倍，则直线l的斜率是( )
A． B． C．2 D．－
5．(多选)下列说法中，正确的是( )
A．直线的倾斜角为α，且tan α>0，则α为锐角
B．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α
C．若直线的倾斜角为α，则sin α＞0
D．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α
6．已知点A(m，2)，B(3，0)，若直线AB的斜率为1，则m＝________．
7．已知点A(1，1)，B(3，5)，若点C(－2，t)在直线AB上，则实数t的值为________．
8．已知两点P(1－m，1＋m)和Q(3，5m).
(1)m为何值时，直线PQ的斜率不存在；
(2)m为何值时，直线PQ的斜率等于－3.
[提能力]
9．(多选)若经过A(1－a，1＋a)和B(3，a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的值可能为( )
A．－2 B．0
C．1 D．2
10．若直线l的方程为x－y sin θ＋2＝0，则直线l的倾角α的范围是( )
A．[0，π] B．[，]
C．[，] D．[，)∪(，)
11．已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点，则l的倾斜角α的取值范围是________；直线l的斜率k的取值范围是________．
12．若A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)三点共线，求证：＋＝.
[培优生]
13．已知正△ABC的顶点A(1，1)，B(1，3)，顶点C在第一象限，若点P(x，y)是△ABC内部及其边界上一点，则的最大值为( )
A． B．
C． D．课时作业(二十二) 椭圆及其标准方程
[练基础]
1．已知椭圆＋＝1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则点P到另一焦点的距离为( )
A．1 B．3
C．5 D．7
2．设P为椭圆C：＋＝1上一点，F1，F2分别为左、右焦点，且|PF1|＝3|PF2|，则|PF2|＝( )
A． B．
C． D．
3．“2＜m＜4”是“方程＋＝1表示椭圆”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．以F1(－1，0)，F2(1，0)为焦点，且经过点(1，)的椭圆的标准方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋y2＝1
5．(多选)已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2，若|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，则椭圆C的标准方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
6．椭圆C上一点P到两个焦点F1(－2，0)，F2(2，0)的距离之和等于6，则C的标准方程为________．
7．一动圆与圆x2＋y2＋6x＋5＝0外切，同时与圆x2＋y2－6x－91＝0内切，则动圆圆心的轨迹方程为________．
8．求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3，2)；
(2)c∶a＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.
[提能力]
9．如图，F1，F2是平面上的两点，且|F1F2|＝10，图中的一系列圆是圆心分别为F1，F2的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，…，点A，B，C，D，E是图中两组同心圆的部分公共点．若点A在以F1，F2为焦点的椭圆M上，则( )
A．点B和C都在椭圆M上
B．点C和D都在椭圆M上
C．点D和E都在椭圆M上
D．点E和B都在椭圆M上
10．(多选)设椭圆C：＋＝1的焦点为F1、F2，M在椭圆上，则( )
A．|MF1|＋|MF2|＝8
B．|MF1|的最大值为7，最小值为1
C．|MF1||MF2|的最大值为16
D．△MF1F2面积的最大值为10
11．若椭圆＋＝1的焦点在x轴上，则实数m的取值范围是________．
12．设P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若∠F1PF2＝60°.
(1)求△F1PF2的面积；
(2)求点P的坐标．
[培优生]
13．F1，F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点，M为椭圆上的动点，设点A(，)，则|MA|＋|MF2|的最小值为( )
A．4－ B．2－
C．4＋ D．2＋课时作业(二十五) 双曲线及其标准方程
[练基础]
1．双曲线－＝1上一点P与它的一个焦点的距离等于1，那么点P与另一个焦点的距离等于( )
A．9 B．17
C．18 D．34
2．双曲线y2－x2＝1的焦点坐标是( )
A．(±1，0) B．(0，±1)
C．(±，0) D．(0，±)
3．以F1(－，0)，F2(，0)为焦点且过点P(2，1)的双曲线方程是( )
A．－y2＝1 B．－y2＝1
C．－y2＝1 D．x2－＝1
4．已知椭圆＋＝1与双曲线－＝1有共同的焦点，则m＝( )
A．14 B．9
C．4 D．2
5．(多选)若α∈(0，π)，方程x2＋y2cos α＝1表示的曲线可以是( )
A．直线 B．圆
C．椭圆 D．双曲线
6．设A(0，－)，B(0，)，|PA|－|PB|＝4，则动点P的轨迹方程为________．
7．已知方程－＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是________．
8．已知双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求双曲线方程．
[提能力]
9．(多选)已知双曲线E：－＝1，如果下列方程表示椭圆，那么该椭圆与双曲线E有相同焦点的是( )
A．＋＝1
B．＋＝1
C．＋＝－1
D．＋＝－1
10．已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，|F1F2|＝10，点M是双曲线左支上的一点，若|OM|＝，4|MF1|＝3|MF2|，则双曲线的标准方程是( )
A．－＝1 B．－＝1
C．x2－＝1 D．－y2＝1
11．已知双曲线C：x2－＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点A是双曲线上在第一象限内的点，若|AF2|＝2，∠F1AF2＝45°，则△F1AF2的面积为________；延长AF2交双曲线的右支于点B，则△F1AB的面积为________．
12．已知△ABC的一边的两个顶点B(－a，0)，C(a，0)(a>0)，另两边的斜率之积等于m(m≠0).求顶点A的轨迹方程，并且根据m的取值情况讨论轨迹的图形．
[培优生]
13.
光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射．已知光线从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点发出；如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)与双曲线C′：－＝1(m>0，n>0)有公共焦点，现一光线从它们的左焦点出发，在椭圆与双曲线间连续反射，则光线经过2k(k∈N*)次反射后回到左焦点所经过的路径长为________．课时作业(十) 用空间向量研究夹角问题
[练基础]
1．已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面夹角为( )
A．45° B．135°
C．45°或135° D．90°
2．设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若〈a，n〉＝，则l与α所成的角为( )
A． B．
C． D．
3.
如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点E是上底面A1B1C1D1的中心，则异面直线AE与BD1所成角的余弦值为( )
A． B．
C． D．
4．正方体ABCD A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为( )
A． B．
C． D．
5．(多选)若直线a的方向向量为a，平面α，β的法向量分别为n，m，则下列命题为真命题的是( )
A．若a⊥n，则直线a∥平面α
B．若a∥n，则直线a⊥平面α
C．若cos 〈a，n〉＝，则直线a与平面α所成角的大小为
D．若cos 〈m，n〉＝，则平面α，β的夹角为6.
如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M是C1C的中点，O是底面ABCD的中心，P是A1B1上的任意点，则直线BM与OP夹角的大小为________．
7．已知二面角α l β为锐角，平面α的法向量为n1＝(，0，－1)，平面β的法向量为n2＝(－，1，)，则cos 〈n1，n2〉＝________，二面角α l β的大小为________．
8．如图，三棱锥PABC中，底面△ABC为直角三角形，AB＝BC＝2，D为AC的中点，PD＝DB，PD⊥DB，PB⊥CD.
(1)求证：PD⊥平面BCD；
(2)求PA与平面PBC所成角的正弦值．
[提能力]
9．在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝1，O是AC的中点，点P在线段A1C1上，若直线OP与平面ACD1所成的角为θ，则cos θ的取值范围是( )
A．[，] B．[，]
C．[，] D．[，]
10．(多选)如图，在四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，点E为PA的中点，AB＝BC＝1，AD＝2，PA＝，则( )
A．·＝3
B．异面直线BE与CD所成角的余弦值为
C．点B到平面PCD的距离为
D．BC与平面PCD所成的角为
11.
如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为棱BB1，C1D1的中点，则异面直线EF与BD1所成角的余弦值为________；直线AE与平面AB1C所成角的正弦值为________．
12．如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，侧面ACC1A1为矩形，且侧面ACC1A1⊥侧面ABB1A1，AB＝AC＝2，AA1＝B1C＝2.
(1)证明：A1B1⊥平面AB1C；
(2)若点D为棱B1C1的中点，求平面AB1C与平面AA1D所成的锐二面角的余弦值．
[培优生]
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，将△ABD沿BD所在的直线进行翻折，得到空间四边形A1BCD.
给出下面三个结论：
①在翻折过程中，存在某个位置，使得A1C⊥BD；
②在翻折过程中，三棱锥A1BCD的体积不大于；
③在翻折过程中，存在某个位置，使得异面直线A1D与BC所成角为45°.
其中所有正确结论的序号是________．课时作业(二十七) 双曲线的简单几何性质(2)
[练基础]
1．已知双曲线方程为x2－＝1，过点P(1，0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则l共有( )
A.4条 B．3条
C．2条 D．1条
2．已知双曲线C：－＝1的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线C的左支交于A，B两点，若|AB|＝7，则△ABF2的周长为( )
A.16 B．30
C．38 D．60
3.
青花瓷是中华陶瓷烧制工艺的珍品，也是中国瓷器的主流品种之一．已知某青花瓷花瓶的外形上下对称，可看成是焦点在x轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示．若该花瓶的瓶口直径是8，瓶身最小的直径是4，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是( )
A.－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－y2＝1
4．已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，与直线2x＋y＝0交于A，B两点，若|AB|＝2，则该双曲线的方程为( )
A．y2－x2＝25 B．y2－x2＝16
C．y2－x2＝9 D．y2－x2＝6
5．(多选)双曲线E：－y2＝1的右焦点为F，过F的动直线l与E相交于A，B两点，则( )
A.曲线E与椭圆＋y2＝1有公共焦点
B．曲线E的离心率为，右顶点到渐近线的距离为1
C．|AB|的最小值为1
D．满足|AB|＝4的直线l有且仅有3条
6．已知直线l：x－y＋m＝0与双曲线x2－＝1交于不同的两点A，B，若线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，则实数m的值是________．
7．小明同学发现家中墙壁上灯光的边界类似双曲线的一支．如图，P为双曲线的顶点，经过测量发现，该双曲线的渐近线相互垂直，AB⊥PC，AB＝60 cm，PC ＝20 cm，双曲线的焦点位于直线PC上，则该双曲线的焦距为________ cm.
8．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，且双曲线C过点(－2，3).
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋3与双曲线C只有一个公共点，求实数k的值．
[提能力]
9．已如双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交双曲线的右支于A，B两点，若AF1⊥AB，且4|AF1|＝3|AB|，则该双曲线的离心率为( )
A． B．
C． D．
10．(多选)已知两点A(－2，0)，B(2，0)，若直线上存在点P，使得|PA|－|PB|＝2，则称该直线为“点定差直线”，下列直线中，是“点定差直线”的有( )
A．y＝x＋1 B．y＝3x＋1
C．y＝2x＋4 D．y＝x＋3
11．已知直线y＝与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)交于两点，则该双曲线的离心率的取值范围是________．
12．双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，经过C的焦点垂直于x轴的直线被C所截得的弦长为12.
(1)求C的方程；
(2)设A，B是C上两点，线段AB的中点为M(5，3)，求直线AB的方程．
[培优生]
13．已知F是双曲线－y2＝1的右焦点，若直线y＝kx(k＞0)与双曲线相交于A，B两点，且∠AFB≥120°，则k的范围是( )
A．[，) B．(0，]
C．[，) D．(0，]课时作业(二十) 直线与圆的位置关系
[练基础]
1．直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋2y－5＝0的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．相交或相切
2．“a＝2”是“圆(x－a)2＋(y－b)2＝4与y轴相切”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是( )
A.－8 B．－6
C．－4 D．－2
4．已知直线l1：2x－y－3＝0，l2：x－2y＋3＝0，若圆C的圆心在x轴上，且圆C与直线l1，l2都相切，圆C的半径为( )
A． B．
C．或 D．或
5．(多选)对于定点P(1，2)和圆C：x2＋y2＝3，下列说法正确的是( )
A．圆C的半径为3
B．过点P有两条圆的切线
C．过点P被圆截得的弦长最大时的直线方程为2x－y＝0
D．圆C上存在点Q使得|PQ|＝4
6．已知直线l：x＋my－2＝0与圆C：x2＋y2－6x＋2y＋6＝0，则直线l与圆C的交点的个数为________．
7．已知圆O：x2＋y2＝1，过点P(2，1)作圆O的切线，则切线方程为________．
8．已知A(－1，2)，以点A为圆心的圆被y轴截得的弦长为2.
(1)求圆A的方程；
(2)若过点B(1，－2)的直线l与圆A相切，求直线l的方程．
[提能力]
9．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上至少有三个点到直线4x－3y－2＝0的距离为1，则半径r的取值范围是( )
A．(6，＋∞) B．[6，＋∞)
C．(4，6] D．[4，6]
10．(多选)已知直线l：kx－y－k＋1＝0和圆O：x2＋y2＝4，则下列说法正确的是( )
A．直线l恒过定点(1，－1)
B．直线l与圆O相交
C．当k＝1时，直线l被圆O截得的弦长为2
D．直线l被圆O截得的最短弦的长度为2
11．直线l：(2a－1)x＋(a－3)y＋4－3a＝0与圆(x－2)2＋y2＝9相交于A，B两点，则|AB|的最小值为________；此时a＝________．
12．已知圆C经过点A(0，3)，B(2，5)，且圆心C在直线2x＋y－7＝0上．
(1)求圆C的标准方程；
(2)过点P(4，6)向圆C引两条切线PD，PE，切点分别为D，E，求切线PD，PE的方程，并求弦DE的长．
[培优生]
13．已知曲线C：y＝－与直线l：mx＋y－4m－2＝0(m∈R)总有公共点，则m的取值范围是( )
A．[，] B．[，2]
C．[－2，－] D．[－，－]课时作业(十九) 圆的一般方程
[练基础]
1．已知圆C的方程为x2＋y2＋2x－4y－4＝0，则圆心C的坐标为( )
A．(－1，2) B．(1，－2)
C．(－2，4) D．(2，－4)
2．“实数a＞0”是“方程x2＋y2－2x－a＝0”表示圆的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．设A为圆C：(x＋1)2＋y2＝4上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为( )
A．(x＋1)2＋y2＝25
B．(x＋1)2＋y2＝5
C．x2＋(y＋1)2＝25
D．(x－1)2＋y2＝5
4．圆心在x轴上，且过点(－1，－3)的圆与y轴相切，则该圆的方程是( )
A．x2＋y2＋10y＝0
B．x2＋y2－10y＝0
C．x2＋y2＋10x＝0
D．x2＋y2－10x＝0
5．(多选)已知圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则下列说法正确的是( )
A．圆M的圆心为(4，－3)
B．圆M被x轴截得的弦长为8
C．圆M的半径为10
D．圆M被y轴截得的弦长为6
6．已知圆x2＋y2＋ax＋by－6＝0的圆心坐标(3，4)，则圆的半径是________．
7．圆x2＋y2－2x－4y＋3＝0的圆心到直线x－ay＋1＝0的距离为2，则a＝________．
8．一圆经过A(4，2)，B(－1，3)两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为2，求此圆的方程．
[提能力]
9．古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内到两个定点A，B距离之比是常数λ(λ＞0，λ≠1)的点M的轨迹是圆，若两定点A，B的距离为3，动点M满足2|MA|＝|MB|，则M点的轨迹围成区域的面积为( )
A．3π B．4π
C．9π D．18π
10．(多选)已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0及点Q(－2，3)，则下列说法正确的是( )
A．圆心C的坐标为(2，7)
B．点Q在圆C外
C．若点P(m，m＋1)在圆C上，则直线PQ的斜率为
D．若M是圆C上任一点，则|MQ|的取值范围为[2，6]
11．已知圆C经过两点P(－1，－3)，Q(2，6)，且圆心在直线x＋2y－4＝0上，则圆C的一般方程为________________；若直线l的方程x＋m(y－1)＋1＝0(m∈R)，圆心C到直线l的距离是1，则m的值是________．
12．设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．
[培优生]
13．阿波罗尼斯(古希腊数学家，约公元前262～190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k＞0且k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有△ABC，AC＝6，sin C＝2sin A，则当△ABC的面积最大时，BC的长为________．课时作业(五) 空间向量运算的坐标表示
[练基础]
1．设A(3，2，1)，B(1，0，5)，则AB的中点M的坐标为( )
A．(－2，－2，4) B．(－1，－1，2)
C．(2，1，3) D．(4，2，6)
2．已知O(0，0，0)，N(5，－1，2)，A(4，2，－1)，若＝，则点B的坐标为( )
A．(－1，3，－3) B．(9，1，1)
C．(1，－3，3) D．(－9，－1，－1)
3．已知空间向量a＝(1，－1，0)，b＝(1，－1，1)，则|a＋b|＝( )
A．3 B．
C． D．
4．已知向量a＝(0，0，1)，b＝(0，1，1)，则a与b的夹角为( )
A．0° B．45°
C．90° D．180°
5．(多选)已知空间向量a＝(1，1，1)，b＝(－1，0，2)，则下列正确的是( )
A．a＋b＝(0，1，3) B．|a|＝
C．a·b＝2 D．〈a，b〉＝
6．已知a＝(－4，2，x)，b＝(2，－1，3)，如果a∥b，则x＝________；如果a⊥b，x＝________．
7．已知向量a＝(0，－1，1)，且b＝(4，1，0)，则|λa＋b|＝，且λ>0，则λ＝________．
8．已知a＝(1，5，－1)，b＝(－2，3，5).
(1)当(λa＋b)∥(a－3b)时，求实数λ的值；
(2)当(a－3b)⊥(λa＋b)时，求实数λ的值．
[提能力]
9．已知空间向量a＝(2，－2，－1)，b＝(3，0，1)，则向量b在向量a上的投影向量是( )
A．(，－，－)
B．(，－，－)
C．(，0，)
D．(，0，)
10．(多选)设向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1，2)，若cos 〈a，b〉＝，则实数λ的值为( )
A．－2 B．2
C． D．－
11．如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱B1C1，DD1上的点，如果BE⊥平面A1B1F，则C1E与D1F长度之和为________．
12．如图，在直三棱柱ABC A1B1C1(侧棱垂直于底面的棱柱)中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为AA1的中点．
(1)求BN的长；
(2)求A1B与B1C所成角的余弦值．
[培优生]
13.
如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，∠BAC＝，AB＝AC＝AA1＝1，已知G与E分别为A1B1和CC1的中点，D和F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点)，若GD⊥EF，则线段DF长度的平方的取值范围为________．课时作业(十七) 点到直线的距离公式 两条平行直线间的距离
[练基础]
1．点A(3，－7)到直线x＋y＝0的距离为( )
A.2 B．
C．4 D．2
2．已知点(a，2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于( )
A． B．2－
C．－1 D．＋1
3．两平行直线l1：x－2y－＝0，l2：2x－4y＋3＝0之间的距离为( )
A． B．3
C． D．2
4．已知斜率为1的直线l过直线3x－y＋1＝0与2x＋y－6＝0的交点，则原点到直线l的距离为( )
A． B．2
C．1 D．2
5．(多选)已知直线y＝2x与x＋y＋a＝0交于点P(1，b)，则( )
A．a＝－3
B．b＝2
C．点P到直线ax＋by＋3＝0的距离为
D．点P到直线ax＋by＋3＝0的距离为
6．已知点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P的坐标为________．
7．已知两条平行直线3x＋4y－6＝0和3x＋4y＋a＝0之间的距离等于2，则实数a的值为________.
8．已知△ABC三个顶点是A(－1，4)，B(－2，－1)，C(2，3).
(1)求BC边上的垂直平分线的直线方程；
(2)求点A到BC边所在直线的距离．
[提能力]
9．(多选)与直线l：3x－4y－1＝0平行且到直线l的距离为2的直线方程是( )
A．3x－4y－11＝0 B．3x－4y＋9＝0
C．3x－4y＋11＝0 D．3x－4y－9＝0
10．若直线y＝2x，x－y＝1，mx＋ny＋3＝0相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离的最小值为( )
A． B．
C． D．
11．设直线l1：(m＋1)x－(m－3)y－8＝0(m∈R)，则直线l1恒过定点________；若过原点作直线l2∥l1，则当直线l1与l2的距离最大时，直线l2的方程为________．
12．已知直线l的方程为x＋my－m－3＝0.点P的坐标为(2，0).
(1)证明：直线l一定经过第一象限；
(2)设直线l与x轴、y轴分别交于A，B两点，当点P到直线l的距离取得最大值时，求△PAB的面积．
[培优生]
13．已知平面内一点M(3，4)，若直线l上存在点P，使|PM|＝2，则称该直线为点M(3，4)的“2域直线”，下列直线中不是点M(3，4)的“2域直线”的是( )
A．4x－3y＝0 B．y＝2
C．x－4y＝0 D．x＝5课时作业(三) 空间向量基本定理
[练基础]
1．下列说法正确的是( )
A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底
B．空间的基底有且仅有一个
C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D．直线的方向向量有且仅有一个
2．设向量{a，b，c}是空间一个基底，则一定可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成空间的另一个基底的向量是( )
A．a B．b
C．c D．a或b
3．如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，M为A1C1的中点，若＝a，＝b，＝c，则可表示为( )
A．－a－b＋c B．a＋b＋c
C．－a＋b＋c D．a－b＋c
4.
如图，在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则可用向量a，b，c表示为( )
A．a＋b＋c B．a＋b＋c
C．a＋b＋c D．a＋b＋c
5．(多选)若向量{a，b，c}构成空间的一个基底，则下列向量共面的是( )
A．a＋b，a－b，a＋2b
B．a－b，a＋c，b＋c
C．a－b，c，a＋b＋c
D．a－2b，b＋c，a＋c－b
6．在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，用a、b、c作为基底向量表示＝________．
7．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝x a＋y b＋c，若m与n平行，则x＝______，y＝________．
8.
如图，在单位正方体ABCD A1B1C1D1中，点E，F分别是棱B1C1，CC1的中点．设＝i，＝j，＝k，试用向量i，j，k表示和.
[提能力]
9．如图，平行六面体ABCD A′B′C′D′，其中AB＝4，AD＝3，AA′＝3，∠BAD＝90°，∠BAA′＝60°，∠DAA′＝60°，则AC′的长为( )
A． B．
C． D．
10．(多选)如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是( )
A．AC1＝6
B．AC1⊥DB
C．向量与的夹角是60°
D．BD1与AC所成角的余弦值为
11．如图所示，三棱柱ABC A1B1C1中，M，N分别是A1B和B1C1上的点，且BM＝3A1M，C1N＝2B1N.设＝xAA1＋y＋z(x，y，z∈R)，则x＋y＋z的值为________．
12．如图，在直三棱柱ABC A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．
(1)求证：CE⊥A′D；
(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．
[培优生]
13．在四面体O ABC中，G是底面△ABC的重心，且＝x＋y＋z，则log3|xyz|等于( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3章末质量检测(三) 圆锥曲线的方程
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．抛物线y＝4x2的焦点坐标是( )
A．(1，0) B．(0，1)
C． D．
2．过椭圆＋＝1左焦点F1引直线l交椭圆于A、B两点，F2是椭圆的右焦点，则△ABF2的周长是( )
A．20 B．18
C．10 D．16
3．已知焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则该双曲线的离心率为( )
A． B．
C．2 D．
4．已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，准线为l，点P在抛物线上，直线PF交x轴于Q点，且＝4，则点P到准线l的距离为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
5．为了更好地研究双曲线，某校高二年级的一位数学老师制作了一个如图所示的双曲线模型．已知该模型左、右两侧的两段曲线(曲线AB与曲线CD)为某双曲线(离心率为2)的一部分，曲线AB与曲线CD中间最窄处间的距离为30 cm，点A与点C，点B与点D均关于该双曲线的对称中心对称，且|AB|＝36 cm，则|AD|＝( )
A．12 cm B．6 cm
C．38 cm D．6 cm
6．已知椭圆mx2＋5my2＝5的一个焦点坐标是(－2，0)，则m＝( )
A．5 B．2
C．1 D．
7．已知抛物线y2＝2px(p>0)，O为坐标原点，以O为圆心的圆交抛物线于A、B两点，交准线于M、N两点，若|AB|＝4，|MN|＝2，则抛物线方程为( )
A．y2＝2x B．y2＝4x
C．y2＝8x D．y2＝10x
8．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点P在椭圆C上．当△PF1F2的面积最大时，△PF1F2的内切圆半径为( )
A． B．
C．1 D．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)
9．关于双曲线－＝1，下列说法正确的有( )
A．虚轴长为8 B．渐近线方程为y＝±x
C．焦点坐标为(±5，0) D．离心率为
10．已知方程mx2＋ny2＝1，其中m2＋n2≠0，则下列选项正确的是( )
A．当m＝n时，方程表示的曲线是圆
B．当mn<0时，方程表示的曲线是双曲线
C．当m>n>0时，方程表示的曲线是椭圆
D．当m＝0且n>0时，方程表示的曲线是抛物线
11．椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴长为2，则( )
A．椭圆的方程为＋＝1 B．椭圆与双曲线2y2－2x2＝1的焦点相同
C．椭圆过点 D．直线y＝k(x＋1)与椭圆恒有两个交点
12．如图，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F且斜率为的直线与抛物线交于两点A，B，与抛物线的准线交于点D，|BF|＝1，则( )
A．|BD|＝2 B．p＝
C．点A到准线的距离为2 D．点F为线段AD的中点
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．)
13．双曲线mx2＋y2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m＝________．
14．过抛物线x2＝2y焦点的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的纵坐标为4，则线段AB的长度为________．
15．已知线段AB的长度为3，其两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，点M满足2＝.则点M的轨迹方程为________．
16．已知双曲线－＝1，(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，过F1的直线l与圆C：＋y2＝相切，与双曲线在第四象限交于一点M，且有MF2⊥x轴，则直线l的斜率是________，双曲线的渐近线方程为________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(本小题满分10分)已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作斜率为的弦AB.求：
(1)弦AB的长；
(2)△F1AB的周长．
18．(本小题满分12分)已知抛物线C的顶点在坐标原点O，对称轴为x轴，焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为2，且·＝16.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点M(8，0)作直线l交抛物线于B，C两点，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，判断·是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
19．(本小题满分12分)已知P是椭圆C1：＋y2＝1上的动点，F1，F2分别是C1的左、右焦点，点Q在F1P的延长线上，且∠PQF2＝∠PF2Q，记点Q的轨迹为C2.
(1)求C2的方程；
(2)直线l与C1交于A，B两点，与C2交于M，N两点，若MN的中点为T，求AB的中点坐标．
20．(本小题满分12分)已知直线l：ax－y－1＝0与双曲线C：x2－2y2＝1相交于P、Q两点．
(1)当a＝1时，求|PQ|；
(2)是否存在实数a，使以PQ为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
21．(本小题满分12分)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，直线l：y＝kx＋2与C交于A，B两点且OA⊥OB(O为坐标原点).
(1)求抛物线C的方程；
(2)设P(2，2)，若直线PA，PB的倾斜角互补，求k的值．
22．(本小题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，且过点(0，1).
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若过点F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点(A、B非椭圆顶点)，求·的最大值．课时作业(二十六) 双曲线的简单几何性质(1)
[练基础]
1．双曲线C：－＝1的虚轴长为( )
A． B．2
C．3 D．6
2．已知双曲线的焦点在y轴上，且实半轴长为4，虚半轴长为5，则双曲线的标准方程为( )
A.－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
3．若双曲线经过点 (6，)，且它的两条渐近线方程是y＝±x，则双曲线的离心率是( )
A. B．
C． D．10
4．中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线的方程是( )
A．x2－y2＝8 B．x2－y2＝4
C．y2－x2＝8 D．y2－x2＝4
5．(多选)已知双曲线C：－＝1，则下列关于双曲线C的结论正确的是( )
A．实轴长为6
B．焦点坐标为(0，5)，(0，－5)
C．离心率为
D．渐近线方程为3x±4y＝0
6．双曲线C：－＝1的一条渐近线为x＋y＝0，则C的焦距为________．
7．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线l：2x＋y－3＝0平行，则双曲线C的离心率是________．
8．双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率e＝，且过点M(－2，2).
(1)求a，b的值；
(2)求与双曲线C有相同渐近线，且过点P(，2)的双曲线的标准方程．
[提能力]
9．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝3|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是( )
A．(1，4] B．[4，＋∞)
C．(1，2] D．[2，＋∞)
10．(多选)已知双曲线－y2＝m2(m≠0)，则不因m的值改变而改变的是 ( )
A．焦距 B．离心率
C．顶点坐标 D．渐近线方程
11．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，右焦点F2到一条渐近线的距离是a，则其离心率的值是________；若点P是双曲线C上一点，满足|PF1||PF2|＝12，|PF1|＋|PF2|＝8，则双曲线C的方程为________________．
12．中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.
(1)求椭圆和双曲线的方程；
(2)若P为这两条曲线的一个交点，求cos ∠F1PF2的值．
[培优生]
13．双曲线的光学性质如下：如图1，从双曲线右焦点F2发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点F1.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为－＝1，F1，F2分别为其左、右焦点，若从右焦点F2发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后(F2，A，B在同一直线上)，满足AB⊥AD，∠ABC＝，则( )
A．＝＋1
B．＝－1
C．该双曲线的离心率的平方为5＋2
D．该双曲线的离心率的平方为5－2课时作业(二十四) 直线与椭圆的位置关系
[练基础]
1．已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．相切或相交
2．加斯帕尔·蒙日(图1)是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”(图2).则椭圆 C：＋＝1的蒙日圆的半径为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
3．已知斜率为1的直线l过椭圆＋＝1的右焦点，交椭圆于A，B两点，则弦AB的长为( )
A. B．
C． D．
4．已知椭圆C：＋＝1的上下顶点分别为A，B，一束光线从椭圆左焦点射出，经过A反射后与椭圆C交于D点，则直线BD的斜率kBD为( )
A． B．
C． D．
5．(多选)已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点F1、F2在x轴上，短轴长等于2，焦距为2，过焦点F1作x轴的垂线交椭圆C于P、Q两点，则下列说法正确的是( )
A．椭圆C的方程为＋y2＝1
B．椭圆C的离心率为
C．|PQ|＝
D．|PF2|＝
6．已知以F1(－2，0)，F2(2，0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为________．
7．已知椭圆方程是＋＝1，则以A(1，1)为中点的弦MN所在的直线方程为________．
8．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的上顶点与椭圆的左、右顶点连线的斜率之积为－.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若直线y＝(x＋1)与椭圆C相交于A，B两点，|AB|＝，求椭圆C的标准方程．
[提能力]
9．椭圆＋＝1上的点P到直线x＋2y－9＝0的最短距离为( )
A． B．
C． D．
10．(多选)已知A，B，C是椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)上三点，且A(A在第一象限)，B关于原点对称，AB⊥AC，过A作x轴的垂线交椭圆M于点D，交BC于点E，若直线AC与BC的斜率之积为－，则( )
A．椭圆M的离心率为
B．椭圆M的离心率为
C．＝
D．＝
11．如图，已知椭圆＋＝1的左右顶点分别为A、B，点P是圆O：x2＋y2＝8上不同于A、B两点的一动点，直线PB与椭圆交于点Q，则直线QA与直线QB的斜率之积kQA·kQB＝________，若已知直线PA的斜率kPA＝，则直线QA的斜率kQA＝________．
12．平面直角坐标系xOy中，点F1(－1，0)，F2(1，0)，点M满足|MF1|＋|MF2|＝2.记M的轨迹为C.
(1)说明C是什么曲线，并求C的方程；
(2)已知经过F2的直线l与C交于A，B两点，若|AF1|·|BF1|＝，求|AB|.
[培优生]
13．已知椭圆的左焦点为F1，有一质点A从F1处以速度v开始沿直线运动，经椭圆内壁反射(无论经过几次反射速率始终保持不变)，若质点第一次回到F1时，它所用的最长时间是最短时间的7倍，则椭圆的离心率e为( )
A． B．
C． D．课时作业(十八) 圆的标准方程
[练基础]
1．圆心为(1，2)，且过(0，0)的圆的方程为( )
A．(x＋1)2＋(y＋2)2＝
B．x2＋y2＝5
C．(x－1)2＋(y－2)2＝5
D．x2＋y2＝
2．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程是( )
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
3．与圆(x－3)2＋(y＋2)2＝4关于直线x＝－1对称的圆的方程为( )
A．(x＋5)2＋(y＋2)2＝4
B．(x－3)2＋(y＋2)2＝4
C．(x－5)2＋(y＋2)2＝4
D．(x－3)2＋y2＝4
4．已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，且圆C与y轴的交点分别为A(0，4)，B(0，－2)，则圆C的标准方程为( )
A．(x－1)2＋(y＋1)2＝10
B．(x＋1)2＋(y－1)2＝10
C．(x－1)2＋(y＋1)2＝
D．(x＋1)2＋(y－1)2＝
5．(多选)已知圆的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则下列坐标表示的点在圆外的有( )
A．(－3，2) B．(3，2)
C．(1，4) D．(1，1)
6．过点A(1，－2)，B(3，4)且周长最小的圆的标准方程为________．
7．圆心在第一象限，半径为1，且同时与x，y轴相切的圆的标准方程为________．
8．已知△ABC的三个顶点A(4，0)，B(8，10)，C(0，a)，边AC的中线所在直线方程为4x－3y－2＝0，
(1)求实数a；
(2)试判断点C与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．
[提能力]
9．已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程为( )
A.x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0
C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0
10．(多选)设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是( )
A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上
B.所有圆Ck均不经过点(3，0)
C．经过点(2，2)的圆Ck有且只有一个
D．所有圆的面积均为4π
11．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，若点M(0，)在圆C上，则圆C的方程为________．
12．已知直线l1：x－y－1＝0，直线l2：2x－y－4＝0，l1与l2交于点A，点B(1，0)，求过A，B两点，且圆心在2x－y＝0上的圆的标准方程．
[培优生]
13．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m＞0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为( )
A．7 B．6 C．5 D．4详解答案
课时作业(一)
1.
解析：如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，－＝＝，－＝＝，
所以，－－＝＋＋＝＋＋＝．
答案：B
2.
解析：连接AC，可得＋＝，又＝，
所以＋＋＝＋＝．
答案：A
3．解析：
如图，BA1∥CD1，
因为，，共面，所以，，共面，其它几组都不共面．
答案：C
4.
解析：∵＋＝0，
∴N为BC中点，连接AN，如图，
∴＝(＋)＝(＋＋＋)＝(b＋c－2a)，而＝＝a，
∴＝＋＝b＋c－a.
答案：B
5．解析：A.在平面内共线的向量在空间一定共线，故错误；
B．在空间共线的向量，平移到同一平面内一定共线，故错误；
C．在平面内共线的向量在空间一定共线，故错误；
D．在空间共线的向量，平移到同一平面内一定共线，故正确．
答案：ABC
6．解析：－＋－－＝＋＋＋＋＝＋＋＋＝.
答案：
7．解析：
如图，连接A1C1.
由题得＝＋＝＋＝＋＋＝＋＋．
答案：＋＋
8．解析：(1)在底面为平行四边形的四棱柱ABCD A1B1C1D1中，M是上底面A1B1C1D1的中心；
∴＋(＋)＝＋(＋)
＝＋
＝＋
＝；
(2)∵＝＋
＝＋
＝＋(＋)
＝＋(＋)
＝＋(－＋)
＝－＋＋，
且＝x＋y＋z，
∴x＝－，y＝，z＝1.
9．解析：
由题意可得＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋＝－＋·(＋)＝－·＋(＋)＝－a＋b＋c.
答案：B
10．解析：对于A：∵－＝(－)＋(－)，
∴－＝－＋－，
∴＋－＝＋－＝0，
故＝＋，故A、B、C共线，故P、A、B、C共面；
或由＝＋得：，，为共面向量，故P、A、B、C共面；
对于B：＋＋＝1，故P、A、B、C共面；
对于C：由＝＋＋，1＋1＋1＝3≠1，所以点P与A、B、C三点不共面．
对于D：由＋＋＋＝0，得＝－－－，而－1－1－1＝－3≠1，所以点P与A、B、C三点不共面．
答案：AB
11.
解析：如图，在三棱锥O ABC中，
＝＋＋＝a＋b－a＋(c－b)＝－a＋b＋c，
∴p＋q＋r＝－＋＋＝.
答案：
12．解析：(1)＝－＝(＋)－＝－＋＋.
＋＝＋＝(－)＋＝－＋＋，
所以＝＋，所以E，F，G，H四点共面．
(2)证明：(＋＋＋)＝(2＋2)＝(＋)＝×2×＝.
13．解析：
因为点P满足＝m＋n＋k，其中m、n、k∈R，且m＋n＋k＝1，
所以点P，A，M，N四点共面，
又因为M和N分别是矩形ABCD和BB1C1C的中心，所以CN＝B1N，AM＝MC，
连接MN，AB1，则MN∥AB1，所以△AB1C即为经过A，M，N三点的平面与正方体的截面，
故P点可以是正方体表面上线段AB1，B1C，AC上的点．
所以所有点P构成的图形的面积为×××sin 60°＝.
答案：
课时作业(二)
1．解析：|a＋b－2c|＝
＝
＝
＝.
答案：B
2．解析：依题意，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，
所以FG∥AC，FG＝AC，
三角形ABC是等边三角形，且边长为1.
所以·＝·＝||·||·cos 60°＝.
答案：B
3．解析：设a与b的夹角为θ，
由a＋b＋c＝0，得a＋b＝－c，
两边平方，得a2＋2a·b＋b2＝c2，
因为|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，
所以4＋2×2×3cos θ＋9＝16，解得cos θ＝.
答案：D
4．解析：由已知可得·＝·＝1×1×cos 45°＝，·＝0，
＝－＝＋－，
所以，2＝2＋2＋2＋2·－2·－2·＝3，所以|BD1|＝.
答案：A
5.
解析：如图所示：
若AA1＝AD，则AD1⊥B1C，A正确；
若AB＝AD，则BD1⊥AC，B正确；
∵AB⊥平面AA1D1D，∴AB⊥AD1，C正确；
∵BD1和BC分别为矩形A1D1CB的对角线和边，
∴两者不可能垂直，D错．
答案：ABC
6．解析：|a－3b|2＝a2＋9b2－6a·b＝1＋9－6×cos 60°＝1＋9－3＝7，故|a－3b|＝.
答案：
7.
解析：如图，在正方体中，
∴·＝(＋)·＝(＋＋)·＝2＋0＋0＝1.
答案：1
8．解析：(1)根据题意，＝＋＋＝－＋＋＝－＋＋(－)＝(＋－)＝(a＋b－c).
(2)证明：根据题意，a，b，c相互之间的夹角为，且模均为1，由(1)·＝(a＋b－c)·(b－a)＝(－a2＋b2－b·c＋a·c)
＝＝0，
所以DE⊥AB.
9．解析：依题意，四面体ABCD是正四面体，
对于A，〈，〉＝60°，2·＝2a2cos 120°＝－a2，A不是；
对于B，〈，〉＝60°，2·＝2a2cos 60°＝a2，B是；
对于C，因E，F是AB，AD的中点，则2＝，而〈，〉＝120°，
2·＝·＝a2cos 120°＝－a2，C不是；
对于D，因F，G是AD，DC的中点，则2＝，2·＝2＝a2，D是．
答案：BD
10.
解析：如图所示：
由向量的加法运算得＋＋＝，因为|A1C|＝|A1B1|，所以(＋＋)2＝3()2，故A正确；
由正方体的性质易知A1C⊥AB1，所以·(－)＝·＝0，故B正确；
因为△A1BC1是等边三角形，且AD1∥BC1，所以∠A1BC1＝60°，则与的夹角为120°，故C错误；
由正方体的性质得，过A1，D的面对角线都与直线A1D所成的角都为60°，这样有4条，然后相对侧面与之平行的对角线还有4条，共8条，故D正确．
答案：ABD
11．解析：(1)设＝a，＝b，AA1＝c
由已知得，a·b＝，b·c＝，a·c＝，|a|＝|b|＝|c|＝1
又AC1＝a＋b＋c，
∴|AC1|＝＝＝.
(2)∵BD1＝b＋c－a，＝a＋b.
∴cos 〈BD1，〉＝
＝
＝.
答案：
12．解析：(1)由题意可得，·＝2×2×cos 45°＝2，
·＝·＝3×2×cos 60°＝3，
所以·＝·(＋＋)＝·＋·＋2＝3＋3＋32＝15；
(2)2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)＝32＋22＋22＋2×(3＋3＋2)＝29＋4，
所以线段AC′的长为.
13．解析：对于A，a b＝|a|·|b|sin 〈a，b〉，b a＝|b|·|a|sin 〈b，a〉，
故a b＝b a恒成立；
对于B，λ(a b)＝λ(|a|·|b|sin 〈a，b〉)，(λa) b＝|λ||a|·|b|sin 〈λa，b〉，
故λ(a b)＝(λa) b不会恒成立；
对于C，若a＝λb，且λ>0，(a＋b) c＝(1＋λ)|b|·|c|sin 〈b，c〉，
(a c)＋(b c)＝|λb|·|c|sin 〈b，c〉＋|b|·|c|sin 〈b，c〉＝(1＋λ)|b|·|c|sin 〈b，c〉，
显然(a＋b) c＝(a c)＋(b c)不会恒成立；
对于D，cos 〈a，b〉＝，
sin 〈a，b〉＝ ，
即有a b＝|a|·|b|·
＝|a|·
＝·
＝
＝＝|x1y2－x2y1|.
则a b＝|x1y2－x2y1|恒成立．
答案：AD
课时作业(三)
1．解析：对于A，任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底，所以A错误，B错误；对于C，两两垂直的三个非零向量不共面，可构成空间的一个基底，C正确；对于D，直线的方向向量有无数个，所以D错误．
答案：C
2．解析：由题意和空间向量的共面定理，结合p＋q＝(a＋b)＋(a－b)＝2a，得a与p、q是共面向量，同理b与p、q是共面向量，所以a与b不能与p、q构成空间的一个基底；又c与a和b不共面，所以c与p、q构成空间的一个基底．
答案：C
3．解析：＝＋＋＝c＋b＋(－b－a)＝－a＋b＋c.
答案：C
4．解析：因为D是BC的中点，E是AD的中点，
所以＝(＋)，＝(＋)＝＋(＋)＝a＋b＋c.
答案：B
5．解析：对于A选项，若a＋2b＝λ(a＋b)＋μ(a－b)，则，解得，故共面；
对于B选项，若b＋c＝λ(a－b)＋μ(a＋c)，
则，解得，故共面；
对于C选项，若a＋b＋c＝λ(a－b)＋μc，则，
无解，故不共面；
对于D选项，若a＋c－b＝λ(a－2b)＋μ(b＋c)，
则，解得，故共面．
答案：ABD
6.
解析：由图形可知＝－＝－(＋)＝－－＝a－b－c.
答案：a－b－c
7．解析：因为m与n平行，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc，于是有解得
答案：1 －1
8．解析：因为点E，F分别是棱B1C1，CC1的中点．且＝i，＝j，＝k，
所以＝＋＝＋＋，
＝＋＋＝i＋j＋k；
＝＋＝＋＋，
＝＋＋＝i＋j＋k.
9．解析：2＝16，2＝9，2＝9，·＝4×3×cos 90°＝0，
·＝4×3×cos 60°＝6，·＝3×3×cos 60°＝.
∵AC′＝＋＋，
∴2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·
＝16＋9＋9＋2×0＋2×6＋2×＝55，
∴||＝，
即AC′的长为.
答案：A
10．解析：因为以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，
所以·＝·＝·＝6×6×cos 60°＝18，
(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·
＝36＋36＋36＋3×2×18＝216，
则||＝|＋＋ |＝6， 所以A正确；
·＝(＋＋)·(－)
＝·－·＋2－·＋·－2＝0，所以B正确；
显然△AA1D为等边三角形，则∠AA1D＝60°.
因为＝，且向量与的夹角是120°，所以与的夹角是120°，所以C不正确；
因为＝＋－，＝＋，
所以||＝＝6，||＝＝6，
·＝(＋－)·(＋)＝36，
所以cos 〈，〉＝＝＝，所以D不正确．
答案：AB
11．解析：由题意三棱柱ABC A1B1C1中，M、N分别是A1B、B1C1上的点，
且BM＝3A1M，C1N＝2B1N，
＝＋＋，
∵＝x＋y＋z(x，y，z∈R)，
∴x＋y＋z＝＋＋＝1.
答案：1
12．解析：(1)证明：设＝a，＝b，＝c，
根据题意得|a|＝|b|＝|c|，且a·b＝b·c＝a·c＝0，
∴＝b＋c，＝－c＋b－a.
∴·＝·＝－c2＋b2＝0，
∴⊥，即CE⊥A′D.
(2)∵＝－a＋c，∴||＝|a|，||＝|a|，
∴·＝(－a＋c)·＝c2＝|a|2，
∴cos 〈，〉＝＝.
∴异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.
13．解析：如图所示：
连接AG，
则＝＋
＝＋
＝＋
＝＋＋＝x＋y＋z，
所以x＝y＝z＝，
所以log3|xyz|＝log3＝－3.
答案：A
课时作业(四)
1．解析：依题意，点A，B的竖坐标相同，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，
所以点A，B关于z轴对称．
答案：C
2．解析：因为在空间直角坐标系中，
点(x，y，z)关于x轴的对称点的坐标为(x，－y，－z)，
所以点M(2，－1，3)关于x轴的对称点的坐标为(2，1，－3).
答案：C
3．解析：在空间直角坐标系中，两点关于坐标平面xOy对称，则这两点的横坐标、纵坐标都不变，它们的竖坐标互为相反数，
所以点P(1，2，－3)关于坐标平面xOy的对称点为(1，2，3).
答案：D
4．解析：依题意，点M(－1，1，2)关于x轴的对称点的坐标为N(－1，－1，－2)，关于yOz平面的对称点为P(1，1，2)，
所以线段NP中点坐标为(0，0，0).
答案：D
5．解析：A(0，0，0)，B1(1，0，1)，所以AB1的中点为，即.故选B.
答案：B
6．解析：因为D(2，－2，0)、C′(0，－2，2)，所以线段DC′的中点为M(1，－2，1)，
所以点M关于y轴的对称点的坐标为(－1，－2，－1).
答案：(－1，－2，－1)
7．解析：由空间直角坐标系中点的坐标的确定可知，点A在yOz平面内的射影的点的坐标是(0，2，－3).
答案：(0，2，－3)
8．解析：因为点A(－4，2，3)关于坐标原点的对称点A1的坐标为(4，－2，－3)，点A1(4，－2，－3)关于xOz平面的对称点A2的坐标为(4，2，－3), 点A2(4，2，－3)关于z轴的对称点A3的坐标为(－4，－2，－3)，所以AA3中点M的坐标为(－4，0，0).
9．解析：由于EB⊥xOy平面，B(2，2，0)，故设E(2，2，z).
因为EB＝2EB1，所以BE＝BB1＝，故E.
答案：D
10．解析：由图形及其已知可得：点B1的坐标为(4，5，3)，点C1(0，5，3)关于点B对称的点为(8，5，－3)，
点A关于直线BD1对称的点为C1(0，5，3)，
点C(0，5，0)关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0).
因此ACD正确．
答案：ACD
11．解析：由空间直角坐标系Oxyz中，点M(a2－4a，b＋3，2c＋1)关于y轴的对称点M′(4，－2，15)，
可得，解得a＝2，b＝－5，c＝－8，所以a＋b＋c＝2－5－8＝－11.
答案：－11
12.
解析：如图，过点M作MM1⊥BC于点M1，连接DM1，取DM1的中点N1，连接NN1.
由|BM|＝2|MC1|，
知|MM1|＝|CC1|＝，
|M1C|＝|BC|＝.
因为M1M∥DD1，
所以M1M与z轴平行，点M1与点M的横坐标、纵坐标相同，点M的竖坐标为，所以M.
由N1为DM1的中点，知N1.
因为N1N与z轴平行，且|N1N|＝＝，所以N.
13．解析：△ABC的重心G在xOy平面上的射影G′是△PAB的重心，其坐标为，而|G′G|＝|PC|，所以重心G的竖坐标为，所以点G的坐标为.
答案：
课时作业(五)
1．解析：∵A(3，2，1)，B(1，0，5)，∴AB的中点M的坐标为(2，1，3).
答案：C
2．解析：设B(x，y，z)，由＝得：(5，－1，2)＝(x－4，y－2，z＋1)，
∴，可得，所以点B的坐标为(9，1，1).
答案：B
3．解析：因为a＝(1，－1，0)，b＝(1，－1，1)，
所以a＋b＝(2，－2，1)，所以|a＋b|＝＝3.
答案：A
4．解析：∵a·b＝|a||b|cos θ，
∴cos θ＝，
∵a·b＝0×0＋0×1＋1×1＝1，
∴cos θ＝＝＝，
∴0°≤θ≤180°，
∴θ＝45°.
答案：B
5．解析：∵向量a＝(1，1，1)，b＝(－1，0，2)，
∴a＋b＝(1，1，1)＋(－1，0，2)＝(0，1，3)，则A正确，
∴|a|＝＝，则B正确，
∴a·b＝1×(－1)＋1×0＋1×2＝1，则C错误，
∴cos 〈a，b〉＝＝＝≠cos ，则D错误．
答案：AB
6．解析：因为a＝(－4，2，x)，b＝(2，－1，3)，且a∥b，
所以a＝λb，
则，
解得，
因为a⊥b，a·b＝0，
则－4×2＋2×(－1)＋3x＝0
解得x＝.
答案：－6
7．解析：因为a＝(0，－1，1)，b＝(4，1，0)，|λa＋b|＝，
所以λa＋b＝(4，1－λ，λ)，
可得16＋(1－λ)2＋λ2＝29，
因为λ>0，解得λ＝3.
答案：3
8．解析：(1)因为a＝(1，5，－1)，b＝(－2，3，5)，
所以λa＋b＝(λ－2，5λ＋3，－λ＋5)，a－3b＝(7，－4，－16)，因为(λa＋b)∥(a－3b)，
所以＝＝，
解得λ＝－；
(2)因为(a－3b)⊥(λa＋b)，
所以(a－3b)·(λa＋b)＝0，
所以7(λ－2)－4(5λ＋3)－16(－λ＋5)＝0，
解得λ＝.
9．解析：根据题意，|a|＝＝3, |b|＝＝，
a·b＝6＋0－1＝5，
b在a上的投影向量可为
|b|cos 〈a，b〉＝·|b|·＝×＝.
答案：A
10．解析：因为向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1，2)，
所以a·b＝1×2－λ＋2×2＝6－λ，
|a|＝＝，
|b|＝＝3，
所以cos 〈a，b〉＝＝＝，
整理可得：55λ2＋108λ－4＝0，所以(55λ－2)(λ＋2)＝0，
解得：λ＝或λ＝－2.
答案：AC
11.
解析：设C1E＝x(0≤x≤1)，D1F＝y(0≤y≤1)，以D为坐标原点，，，分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B(1，1，0)，E(x，1，1)，F(0，0，1－y)，A1(1，0，1)，则＝(x－1，0，1)，＝(1，0，y).
因为BE⊥平面A1B1F，所以BE⊥FA1，则·＝x－1＋y＝0 x＋y＝1，即C1E，D1F的长度和为1.
答案：1
12.
解析：如图，以C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Cxyz.
(1)依题意得B(0，1，0)、N(1，0，1)，因此，
||＝＝，
因此，线段BN的长为；
(2)依题意得A1(1，0，2)、B(0，1，0)、B1(0，1，2)、C(0，0，0)，
∴＝(－1，1，－2)，＝(0，－1，－2)，
所以，cos 〈，〉＝＝＝，
故A1B与B1C所成角的余弦值为.
13．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则
F(t1，0，0)(0∴＝，
＝，
∵⊥，∴t1＋2t2＝1，∴0又＝(t1，－t2，0)，
∴||＝＝＝ ，
∴当t2＝时，||有最小值，即为，显然线段DF长度的最大值是1，但不包括端点，故不能取1，
综上，线段DF长度的平方取值范围为.
答案：
课时作业(六)
1．解析：直线2x＋y－3＝0的一个法向量为(2，1)，
设直线一个方向向量为(a，b)，则有2a＋b＝0，
故只有D满足条件．
答案：D
2．解析：＝(－2，0，z－1)，
因为n＝(1，0，－1)是平面α的法向量，
所以·n＝0，
即－2－(z－1)＝0，解得z＝－1.
答案：B
3．解析：由题意得a∥b，所以存在唯一的实数λ使得b＝λa，
即(－4，2x2，6x)＝λ(2，－1，3)＝(2λ，－λ，3λ)，
所以，解得，
所以x＝－1.
答案：A
4．解析：＝(－1，1，0)，＝(－1，0，1).
设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则有
取x＝－1，则y＝－1，z＝－1.
故平面ABC的一个法向量是(－1，－1，－1).
答案：D
5．解析：设正方体的棱长为1，
DD1∥AA1，而的一个方向向量是(0，0，1)，A正确，
C1(1，1，1)，B(1，0，0)，＝(0，1，1)，(0，－1，－1)与(0，1，1)平行，B正确；
AD⊥平面ABB1A1，而＝(0，1，0)，因此C正确；
平面B1CD即为平面B1CDA1，
如图，在正方体AC1中，AD1⊥A1D，
由CD⊥平面DAA1D1，AD1 平面DAA1D1，得CD⊥D1A，
CD∩A1D＝D，CD，A1D 平面B1CDA1，所以AD1⊥平面B1CDA1，
而＝(0，1，1)，即平面B1CD的一个法向量为(0，1，1)，而向量(0，1，1)与向量(1，1，1)不平行，D错．
答案：ABC
6．解析：∵直线的方向向量平行，
∴＝＝，
∴x＝－20，y＝12.
答案：－20 12
7．解析：取v＝(a，2a＋1)为直线l的一个方向向量，
所以n·v＝0 a＋2a·(2a＋1)＝0 a＝－或a＝0.
答案：－或0
8.
解析：如图，建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)
设平面ACD1的法向量n＝(x，y，z).
∵＝(－1，1，0)，＝(－1，0，1)，又∵n为平面ACD1的一个法向量，
∴，化简得，
令x＝1，得y＝z＝1.
∴平面ACD1的一个法向量n＝(1，1，1).
9．解析：设点B(x，y，z)为平面α内异于A点的任意一点，则＝(x－1，y－1，z－2)，
由·n＝0可得－3(x－1)＋4(z－2)＝0，即3x－4z＋5＝0，
对于A，x＝5，z＝5，满足；对于B，x＝9，z＝8，满足；
对于C，x＝－7，z＝－8，不满足；对于D，x＝－3，z＝－1，满足．
答案：C
10．解析：设面ABC的一个法向量为m＝(x，y，z)，则，
若y＝λ∈R，则m＝λ.
∴由单位法向量有＝1，可得λ＝±，故单位法向量为、.
答案：AB
11．解析：设平面ABC的一个法向量是n＝(x，y，z)，又＝(－1，1，0)，＝(－1，0，1)，
所以，取x＝1得n＝(1，1，1)，
P(x，1，1)在平面ABC上，
则n·＝x－1＋1＋1＝0，x＝－1.
答案：－1
12．解析：易知B(1，0，0)，C(0，1，0)，B1(1，0，2)，A1(0，0，2).
(1)＝(－1，1，0)，＝(0，0，2)，
设面BCC1B1的法向量为n＝(x1，y1，z1)，则，
即，取x1＝y1＝1，z1＝0，则 n＝(1，1，0)，
所以平面BCC1B1的一个法向量为n＝(1，1，0)；
(2)＝(－1，1，0)，BA1＝(－1，0，2)，
设面A1BC的法向量为m＝(x2，y2，z2)，则，
即，取x2＝y2＝2，z2＝1，则 m＝(2，2，1)，
所以平面A1BC的一个法向量为m＝(2，2，1).
13．解析：∵·＝0，·＝0，
∴AB⊥AP，AD⊥AP，则①②正确．
又与不平行，∴是平面ABCD的法向量，则③正确，
由于＝－＝(2，3，4)，＝(－1，2，－1)，
∴与不平行，故④错误．
答案：①②③
课时作业(七)
1．解析：由l1∥l2，得v1∥v2，得＝＝，故λ＝2.故选B.
答案：B
2．解析：∵a＝(1，0，2)，n＝(－2，1，1)，
∴a·n＝0，即a⊥n，
∴l∥α或l α.
答案：C
3．解析：对于平面α的一个法向量为v1＝(1，2，1)，平面β的一个法向量为v2＝(－2，－4，－2)，
因为v1＝－v2，所以v1、v2平行．
又α，β表示不同的平面，
所以平面α与平面β平行．
答案：A
4．解析：因为l∥α，则a·n＝2＋2t＋4＝0，解得t＝－3.
答案：B
5．解析：已知l α，l∥α，则a·n＝0.
A选项中，a·n＝1×1＋0×3＋1×5＝6≠0，A选项不满足条件；
B选项中，a·n＝1×0＋0×(－2)＋1×0＝0，B选项满足条件；
C选项中，a·n＝0×(－1)＋2×0＋1×1＝1≠0，C选项不满足条件；
D选项中，a·n＝1×0＋(－1)×3＋1×3＝0，D选项满足条件．
答案：BD
6．解析：因为两个不同平面的法向量分别是n1＝，n2＝(－4，－1，2)，
∴n2＝－2n1，
所以这两个平面的位置关系是平行．
答案：平行
7．解析：∵α∥β，∴＝＝，解得λ＝2.
答案：2
8.
证明：因为PA⊥平面ABCD，
所以PA⊥AD，PA⊥AB.
又AB⊥AD，
所以PA，AB，AD两两垂直．
以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示：
则P(0，0，2)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，C(2，4，0).
因为点M为PC的中点，所以M(1，2，1)，故＝(1，0，1).
又＝(0，0，2)，＝(2，0，0)，
所以＝＋.
所以，，为共面向量．
又DM 平面PAB，
所以DM∥平面PAB.
9．解析：∵正方体棱长为a，A1M＝AN＝，
∴＝，＝，
∴＝＋＋＝＋＋
＝(－)＋＋(－)
＝＋．
又∵是平面B1BCC1的法向量，
且·＝·＝0，
∴⊥，
∴MN ∥平面BB1C1C.
答案：B
10．解析：因为＝＋＝＋，
＝＋＝＋，
所以A1M∥D1P，从而A1M∥D1P，可得ACD正确．
又B1Q与D1P不平行，故B不正确．
答案：ACD
11．解析：
如图所示，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为1，则
O，C(0，1，0)，C1(0，1，1)，P，A(1，0，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，1).则＝，
BD1＝(－1，－1，1)，∴＝BD1，
∴∥，
∴OP∥BD1，设Q(0，1，z)，
则＝(－1，0，z)，
由于OP∥BD1，故要使平面D1BQ∥平面PAO，
只需∥，又＝，故z＝，
则Q，由＝，
＝(0，0，1)及＝λ，得λ＝.
答案：平行
12．解析：(1)因为AB＝4，BC＝CD＝2，F是棱AB的中点，所以BF＝BC＝CF，则△BCF为正三角形．
因为底面ABCD为等腰梯形，所以∠BAD＝∠ABC＝60°.
取AF的中点M，连接DM，则DM⊥AB，所以DM⊥CD.
以D为坐标原点，DM，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则F(，1，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，E，E1(，－1，1)，
所以＝(0，0，2)，＝，＝(，－1，0).
设平面FCC1的法向量为n＝(x，y，z)，则，，令x＝1，可得平面FCC1的一个法向量为n＝(1，，0)，
则n·＝1×＋×＋0×1＝0，所以n⊥EE1．
又直线EE1 平面FCC1，所以直线EE1∥平面FCC1.
(2)因为D(0，0，0)，D1(0，0，2)，A(，－1，0)，
所以＝(，－1，0)，＝(0，0，2).
设平面ADD1A1的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则，
令x1＝1，可得平面ADD1A1的一个法向量为m＝(1，，0).
由(1)知n＝(1，，0)，所以m＝n，即m∥n，所以平面ADD1A1∥平面FCC1.
13.
解析：如图所示，以D为原点，、、分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系．
设正方体ABCD A1B1C1D1棱长为2，可得D(0，0，0)，D1(0，0，2)，B(2，2，0)，B1(2，2，2)，M(1，2，0)，N(2，1，0)，
设＝λ，可得＝λ＝(2λ，2λ，－2λ)，可得P(2λ，2λ，2－2λ)，可得＝(2λ，2λ，2－2λ).
设平面B1MN的一个法向量n＝(x，y，z)，则有，即.
不妨令x＝－2，则n＝(－2，－2，1).
因为DP∥平面B1MN，所以·n＝(2λ，2λ，2－2λ)·(－2，－2，1)＝－4λ－4λ＋2－2λ＝0，
解得：λ＝，即＝.
答案：
课时作业(八) 空间中直线、平面的垂直
1．解析：因为a＝(0，1，0)，b＝(1，0，1)，所以a·b＝0×1＋1×0＋0×1＝0，所以a⊥b.
答案：B
2．解析：因为a⊥b，故a·b＝0，
即－2×3＋2×(－2)＋m＝0，解得m＝10.
答案：D
3．解析：由平面α的法向量为a，平面β的法向量为b，
∵α⊥β，∴a⊥b，
∴a·b＝－2－8－2k＝0.
∴k＝－5.
答案：D
4．解析：由题意知＝(－1，－1，－1)，＝(2，0，1)，＝(x，－1，z)，又PA⊥平面ABC，所以有·＝(－1，－1，－1)·(x，－1，z)＝0，得－x＋1－z＝0，①
·＝(2，0，1)·(x，－1，z)＝0，得2x＋z＝0，②
联立①②得x＝－1，z＝2，故点P的坐标为(－1，0，2).
答案：C
5．解析：a·b＝1×2－1×1＋2×＝0，
则a⊥b，所以直线l与m垂直，故A是真命题；
a·n＝0，则a⊥n，
所以l∥α或l α，故B是假命题；
n1·n2＝6，所以α⊥β不成立，故C是假命题；
易得＝(－1，1，1)，＝(－1，1，0)，
因为向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，
所以，即，
得u＋t＝1，故D是真命题．
答案：AD
6．解析：由题意得u⊥v，∴u·v＝3＋6＋z＝0，∴z＝－9.
答案：－9
7．解析：∵A(－3，－2，1)，B(－1，－1，－1)，C(－5，x，0)，
∴＝(2，1，－2)，＝(－4，x＋1，1)，＝(－2，x＋2，－1)
分三种情况：
①A为直角，·＝0，∴－4＋x＋2＋2＝0，∴x＝0；
②B为直角，·＝0，∴－8＋x＋1－2＝0，∴x＝9；
③C为直角，·＝0，∴8＋(x＋1)(x＋2)－1＝0，x2＋3x＋9＝0，方程无解．综上，x的值为0或9.
答案：0或9
8.
证明：∵PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，
∴AB，AD，AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设PA＝AB＝BC＝1，则P(0，0，1)，A(0，0，0)，B(1，0，0)，D
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC为正三角形．
∴C，E.
∴＝(1，0，0)，＝，
∴设平面ABE的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则，即，
令y＝2，则z＝－，∴n＝(0，2，－).
∵＝，显然＝n，
∴∥n，
∴⊥平面ABE，即PD⊥平面ABE.
9.
解析：过点A的面对角线一共有三条，AC，AD1，AB1，连接AC，AD1，AB1，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则D1(0，0，1)，B(1，1，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，B1(1，1，1)，其中＝(－1，－1，1)，＝(－1，0，1)，＝(－1，1，0)，＝(0，1，1)，·＝(－1，－1，1)·(－1，0，1)＝2，·＝(－1，－1，1)·(－1，1，0)＝0，·＝(－1，－1，1)·(0，1，1)＝0，故BD1与AC，AB1垂直，与AD1不垂直，故答案为2条．
答案：C
10.
解析：建立如图所示空间直角坐标系：
设棱长为2，则A(，0，0)，B1(0，1，2)，C(0，－1，0)，B(0，1，0)，E(0，－1，1)，
所以＝(－，1，2)，＝(－，－1，0)，＝(－，1，0)，＝(－，1－2y，2x)，
A．当x＝y时，＝(0，1，－1)，＝－＝(0，2－2y，2x－1)，则·＝3－2(x＋y)，正负不定，故错误；B.当x＋2y＝1时，＝(0，－2，1)，则·＝4y－2＋2x＝0，所以AP⊥BE，故正确；
C．当y＝时，A1P＝－AA1＝(－，1－2y，2x－2).＝－＝(0，－2y，2x)，·＝(1－2y)×(－2y)＋(2x－2)×2x＝0，即2x2＋2y2－2x－y＝0，
解得x＝0或x＝1，故有两个点P，使得A1P⊥BP，故错误；
D.当x－y＝时，设平面ADE的一个法向量为n＝(a，b，c)，
则，即，令b＝1，则n＝(0，1，1)，
所以·n＝2(x－y)－1＝0，又A1P 平面ADE，所以A1P∥平面ADE，故正确．
答案：BD
11．解析：据题意，得＝(－1，－1，2)，＝(1，0，2).
设n＝(x，y，z)，∵n与平面ABC垂直，
∴即可得
∵|n|＝，∴＝，
解得y＝4或y＝－4.
当y＝4时，x＝－2，z＝1；当y＝－4时，x＝2，z＝－1.
∴n的坐标为(－2，4，1)或(2，－4，－1).
答案：(－2，4，1)或(2，－4，－1)
12．解析：以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，
设正方体的棱长为a，则A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a).
设E(0，a，e)(0≤e≤a).
(1)证明：A1E＝(－a，a，e－a)，＝(－a，－a，0)，
∵·＝a2－a2＋(e－a)·0＝0，
∴⊥，即A1E⊥BD；
(2)设平面A1BD，平面EBD的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2).
∵＝(a，a，0)，DA1＝(a，0，a)，＝(0，a，e)
∴n1·＝0，n1·DA1＝0，n2·＝0，n2·＝0.
∴
取x1＝x2＝1，得n1＝(1，－1，－1)，n2＝(1，－1，).
由平面A1BD⊥平面EBD得n1⊥n2.
∴2－＝0，即e＝.
∴当E为CC1的中点时，平面A1BD⊥平面EBD.
13.
解析：如图，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系A1xyz，
则由已知得A1(0，0，0)，B1(1，0，0)，B(1，0，1)，D，P(0，2，0)，
则＝(1，0，1)，＝，＝(－1，2，0)，＝，
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则
取z＝－2，则x＝2，y＝1，所以平面A1BD的一个法向量为n＝(2，1，－2).
假设DQ⊥平面A1BD，且＝λ＝λ(－1，2，0)＝(－λ，2λ，0)，
则＝＋＝，因为也是平面A1BD的法向量，
所以n与共线，于是有＝＝＝成立，此时λ无解．
故在直线B1P上不存在点Q，使得DQ⊥平面A1BD，A，B，C不正确，D正确．
答案：ABC
课时作业(九) 用空间向量研究距离问题
1．解析：∵A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，＝(1，0，0)，
＝(－1，2，－2)，
∴点A到直线BC的距离为：
d＝||＝1× ＝.
答案：A
2．解析：由题意可知＝(1，2，－4).设点P到平面α的距离为h，则h＝＝＝.
答案：D
3．解析：设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，而＝(0，1，－1)，＝(1，4，0)，
则，即有，
不妨令y＝z＝1，则x＝－4，故n＝(－4，1，1)，
设三棱柱ABC A1B1C1的高为h，
则h＝＝＝.
答案：D
4.
解析：以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图．
则＝(a，a，a)，＝(0，a，a)，
由于AC1⊥平面A1BD，所以点C1到平面A1BD的距离
d＝＝＝a.
答案：D
5．解析：因为n＝(－2，－2，1)，＝(－1，－2，z)，且d＝＝＝＝，所以z＝4或－16.
答案：AC
6.
解析：以D1为坐标原点，以{，， }为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D1xyz，则A(1，0，1)，B(1，1，1)，C1(0，1，0)，
∴＝(0，1，0)，AC1＝(－1，1，－1).
取a＝＝(0，1，0)，u＝＝，
则a2＝1，a·u＝，
则点B到直线AC1的距离为
＝ ＝.
答案：
7.
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(0，0，3)，B(0，4，0)，C(2，4，0)，C1(2，4，3)，所以＝(0，4，－3)，＝(2，0，0)，CC1＝(0，0，3)，设平面A1BC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则 ，n＝(0，3，4)则点C1到平面A1BC的距离为d＝＝.
答案：
8.
解析：方法一 如图，连接A1B，交AB1于点M，连接DM，则DM⊥平面AA1B1B，所以A1B⊥DM.又·＝(－)·(＋)＝||2－||2＝0，
∴A1B⊥AB1.∴A1B⊥平面AB1D.
即A1B是平面AB1D的一个法向量．
故点C到平面AB1D的距离
d＝＝＝＝a.
方法二 如图，以B为原点，过点B做与BC垂直的直线为x轴，BC所在的直线为y轴，BB1所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则B(0，0，0)，A(a，，0)，A1，B1(0，0，a)，D，C(0，a，0).
可知＝，＝，＝.
取AB1的中点M，则M.
∴＝，
∴·＝a×＋×＋0×(－a)＝0.
∴DM⊥A1B，又·＝·＝a2＋－a2＝0，
∴A1B⊥AB1.∴A1B⊥平面AB1D.
即A1B是平面AB1D的一个法向量，
故点C到平面AB1D的距离d＝
＝＝a.
9.
解析：如图，分别以AB，AD，AE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
，，可作为x，y，z轴方向上的单位向量，
因为＝＋＋，
所以＝，＝(1，0，0)，＝，
所以P点到AB的距离d＝
＝ ＝.
答案：C
10．解析：以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则C(0，12，0)，D1(0，0，5).
设B(x，12，0)，B1(x，12，5)(x>0).
设平面A1BCD1的法向量为n＝(a，b，c)，
由n⊥，n⊥，
得n·＝(a，b，c)·(－x，0，0)＝－ax＝0，
n·＝(a，b，c)·(0，－12，5)＝－12b＋5c＝0，
所以a＝0，b＝c，所以可取n＝(0，5，12).
又B1B＝(0，0，－5)，所以点B1到平面A1BCD1的距离为＝.
因为B1C1∥平面A1BCD1，所以B1C1到平面A1BCD1的距离为.
答案：C
11.
解析：取AC的中点D，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，－1，0)，B1(，0，2)，C(0，1，0)，
所以＝(，1，2)，＝(0，－2，0).
∴·＝－2，
∴在上的投影的长度为＝＝，
所以点C到直线AB1的距离d＝
＝ ＝ ＝.
12．解析：(1)以D为坐标原点，DA，DC，DF所在直线分别为x轴，
y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0，0，0)，B(2，4，0)，A(2，0，0)，C(0，4，0)，E(2，4，1)，C1(0，4，3).
设点F(0，0，z).
∵截面AEC1F为平行四边形，
∴＝，∴(－2，0，z)＝(－2，0，2)，
∴z＝2，∴F(0，0，2)，
∴＝(－2，－4，2)，∴||＝2.即BF的长为2.
(2)设平面AEC1F的一个法向量为n1＝(x，y，1)，＝(0，4，1)，＝(－2，0，2)
由得
即 ∴
∴n1＝，又∵＝(0，0，3)，∴点C到平面AEC1F的距离为
d＝＝＝.
13.
解析：方法一 点P到直线CC1距离的最小值就是异面直线D1E与CC1的距离，
以D为原点，DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则D1(0，0，2)，E(1，2，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，
∴＝(1，2，－2)，＝(0，0，2)，设n⊥，n⊥，n＝(x，y，z)，
则n·＝x＋2y－2z＝0，n·＝2z＝0，∴z＝0，
取y＝－1，则x＝2，∴n＝(2，－1，0)，
又＝(1，0，0)，∴异面直线距离d＝＝.
方法二 过E点作EE1垂直底面A1B1C1D1，交B1C1于点E1，
连接D1E1，过P点作PH垂直于底面A1B1C1D1，交D1E1于点H，P点到直线CC1的距离就是C1H，
故当C1H垂直于D1E1时，P点到直线CC1距离最小，
此时，在Rt△D1C1E1中，C1H⊥D1E1，D1E1·C1H＝C1D1·C1E1，∴C1H＝＝.
答案：
课时作业(十) 用空间向量研究夹角问题
1．解析：cos 〈m，n〉＝＝＝，
即〈m，n〉＝45°.所以两平面的夹角为45°.
答案：A
2．解析：线面角的范围是.
∵〈a，n〉＝，∴l与法向量所在直线所成角为，
∴l与α所成的角为.
答案：C
3.
解析：以D为原点，，，为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系如图所示，设正方体棱长为2，A(2，0，0)，E(1，1，2)，D1(0，0，2)，B(2，2，0)，
所以＝(－1，1，2)，D1B＝(2，2，－2)，
＝＝，
所以异面直线AE与BD1所成角的余弦值为.
答案：B
4.
解析：设正方体的棱长为1，建系如图．则D(0，0，0)，B(1，1，0)，B1(1，1，1).
平面ACD1的一个法向量为＝(1，1，1).
又＝(0，0，1)，则cos 〈，〉
＝＝＝.
故BB1与平面ACD1所成角的余弦值为 ＝．
答案：D
5．解析：若a⊥n，则直线a与平面α平行或在平面α内，所以A是假命题；
若a∥n，则a也是平面α的法向量，所以直线a⊥平面α，所以B是真命题；
直线与平面的夹角的正弦值等于直线与平面法向量所成的锐角的余弦值，所以C是真命题；
两个平面的夹角与它们的法向量所成的不大于90°的角相等，所以D是真命题．
答案：BCD
6．解析：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体棱长为2，A1P＝x(0≤x≤2)，
则O(1，1，0)，P(2，x，2)，B(2，2，0)，
M(0，2，1)，
＝(1，x－1，2)，＝(－2，0，1).
所以·＝0，
所以直线BM与OP夹角的大小为.
答案：
7．解析：cos 〈n1，n2〉＝＝＝＝－，
设二面角大小为α(0≤α≤π)，因为二面角α l β为锐角，故cos α＝－cos 〈n1，n2〉＝，解得：α＝，
故二面角α l β的大小为.
答案：－
8．解析：(1)证明：∵AB＝BC，D为AC的中点，
∴BD⊥CD，
∵PB⊥CD，BD∩PB＝D，BD、PB 平面PBD，
∴CD⊥平面PBD，而PD 平面PBD，
∴CD⊥PD，又PD⊥DB，CD∩DB＝D，CD、DB 平面BCD，
∴PD⊥平面BCD.
(2)由(1)知，PD⊥平面BCD，BD⊥AC，
故以D为原点，DA，DB，DP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(，0，0)，B(0，，0)，C(－，0，0)，P(0，0，)，
∴＝(，0，－)，＝(0，，－)，＝(－，0，－)，
设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，
则，令z＝1，则n＝(－1，1，1)，
设PA与平面PBC所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈，n〉|
＝＝＝，
故PA与平面PBC所成角的正弦值为.
9.
解析：以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示
则D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，O(1，1，0)，D1(0，0，1)，
设P(a，2－a，1)(0≤a≤2)，则＝(a－1，1－a，1)，＝(－2，0，1)，＝(－2，2，0)，
设平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)，
则，令x＝1，得n＝(1，1，2)，
所以sin θ＝
＝
＝×，
由于0≤a≤2，∴∈[1， ]，
∴∈，
∴sin θ＝×∈，
∴sin2θ∈，∴1－sin2θ∈，
由于θ∈，所以cosθ＝∈.
答案：D
10.
解析：以A为原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，)，E.
所以＝(－1，1，0)，＝(－1，－1，)，＝，＝(0，1，0)，
则·＝1＋0＋1＝2.
|cos〈，〉|＝＝＝，
则异面直线BE与CD所成角的余弦值为.
设平面PCD的一个法向量为m＝(x，y，z)，
则即解得
令x＝1，则y＝1，z＝，所以平面PCD的一个法向量为m＝(1，1，).
则＝＝，
所以点B到平面PCD的距离为，
又||＝1，所以BC与平面PCD所成的角为.
答案：BCD
11.
解析：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则D(0，0，0)，E(2，2，1)，F(0，1，2)，B(2，2，0)，B1(2，2，2)，C(0，2，0)，D1(0，0，2)，A(2，0，0)，＝(－2，－1，1)，
BD1＝(－2，－2，2)，＝(0，2，1).
设异面直线EF与BD1所成角为α，则cos α＝|cos 〈，BD1〉|＝＝＝；
∵＝(－2，－2，2)，＝(0，2，2)，＝(－2，2，0)，
∴·＝0，·＝0，
∴BD1⊥AB1，BD1⊥AC，又AB1∩AC＝A，
∴BD1⊥平面AB1C，
设直线AE与平面AB1C所成角为β，则sin β＝|cos 〈，〉|＝＝＝.
答案：
12．解析：(1)证明：连接A1C，因为侧面ACC1A1为矩形，所以A1C2＝AC2＋AA＝12，又B1C2＋A1B＝8＋4＝12，所以A1C2＝B1C2＋A1B，即B1C⊥A1B1.①
因为侧面ACC1A1⊥侧面ABB1A1，侧面ACC1A1∩侧面ABB1A1＝AA1，
AC⊥AA1，AC 面ACC1A1，所以AC⊥平面ABB1A1，
又A1B1 平面ABB1A1，
所以AC⊥A1B1，②
由①②及AC∩B1C＝C，得A1B1⊥平面AB1C.
(2)由(1)知：AC⊥AB1，AC⊥AB，AB⊥AB1，
以A为原点，以，，的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，
由已知，得A(0，0，0)，B1(0，2，0)，A1(－2，2，0)，C1(－2，2，2)，
由D为棱B1C1的中点，得D(－1，2，1)，
∴＝(－1，2，1)，＝(－2，2，0)，＝(2，0，0)，
设平面ADA1的一个法向量为n＝(x，y，z)，
由 ，得n＝(1，1，－1).
由(1)知平面AB1C的一个法向量为A1B1＝(2，0，0)，设平面AB1C与平面AA1D所成的锐二面角为θ，则cos θ＝|cos 〈，n〉|＝＝，
即平面AB1C与平面AA1D所成的锐二面角的余弦值为.
13．解析：如图1，在矩形ABCD中，过A，C点作BD的垂线，垂足分别为E，F，
则在翻折过程中，形成如图2的几何体，
故对于①，连接CE，假设存在某个位置，使得A1C⊥BD，由于A1E⊥BD，A1C∩A1E＝A1，
所以BD⊥平面A1CE，所以BD⊥CE，这与图1中的BD与CE不垂直矛盾，故错误；
对于②在翻折过程中，当平面A1BD⊥平面BCD时，三棱锥A1 BCD的体积取得最大值，此时A1E＝＝，体积为V＝·S△BCD·A1E＝××1××＝，故三棱锥A1BCD的体积不大于，故正确；
对于③，＝＋，＝＋，
由②的讨论得AE＝DF＝，EF＝1，
所以＝，
所以·＝(＋)·(＋)＝·＋·＝－·＋·
＝－||·||cos 〈，〉＋||·||
＝－cos 〈，〉＋，
设翻折过程中，平面A1BD与平面BCD所成的二面角为θ，
所以〈，〉＝θ，故·＝－cos θ＋，
由于要使直线A1D与BC为异面直线，所以θ∈(0，π)，
所以·＝－cos θ＋∈，
所以|cos 〈，〉|＝
＝∈，
所以异面直线A1D与BC所成角的余弦值的范围为，
由于∈，
所以在翻折过程中，存在某个位置，使得异面直线A1D与BC所成角为45°.
答案：②③
课时作业(十一) 直线的倾斜角与斜率
1．解析：因为直线l经过原点和点(－2，2)，所以l的斜率k＝＝－1.
答案：B
2．解析：选项A：直线x－y＋1＝0的斜率k＝1，则直线倾斜角为，是锐角，判断正确；选项B：直线y＝－2x＋1的斜率k＝－2＜0，则直线倾斜角为钝角，判断错误；选项C：直线y＝1的斜率k＝0，则直线倾斜角为0，不是锐角，判断错误；选项D：直线x＝2没有斜率，倾斜角为直角，不是锐角，判断错误．
答案：A
3．解析：设直线AB的倾斜角为α，因为A(1，)，B(－1，3)，所以直线AB的斜率k＝＝－，即tan α＝－，因为α∈[0，π)，所以α＝.
答案：A
4．解析：∵直线x－y＝0的斜率为，∴直线x－y＝0的倾斜角为60°，
∴直线l的倾斜角等于120°，
直线l的斜率是tan 120°＝－.
答案：D
5．解析：因为0°≤α<180°，且tan α＞0，则α为锐角，故A正确；虽然直线的斜率为tan α，但只有0°≤α＜180°时，α才是此直线的倾斜角，故B错误；因为0°≤α＜180°，所以sin α≥0，故C错误；任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α，故D正确．
答案：AD
6．解析：因为A(m，2)，B(3，0)，直线AB的斜率为1，所以＝1，解得m＝5.
答案：5
7．解析：两点A(1，1)，B(3，5)，点C(－2，t)在直线AB上，
∴kAB＝kBC即：＝得t＝－5.
答案：－5
8．解析：(1)当1－m＝3，即m＝－2时，点P(3，－1)和Q(3，－10).直线PQ的倾斜角为90°，此时直线PQ的斜率不存在．
(2)当1－m≠3，即m≠－2时，直线PQ的斜率为＝，令＝－3，解得m＝－.
9．解析：据题意可知kAB＝＝＜0，即2＋a＞0，所以a＞－2.
答案：BCD
10．解析：当sin θ＝0时，方程为x＝－2，倾斜角为，
当sin θ≠0时，直线的斜率k＝tan α＝，
所以tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，
即α∈∪，
综上α∈.
答案：C
11.
解析：如图所示：由点A(－3，4)，B(3，2)，P(1，0)，可得直线PA的斜率为＝－1，直线PB的斜率为＝1，由直线l与线段AB相交，可得k的范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)；
由斜率与倾斜角的正切图象得倾斜角α∈.
答案： (－∞，－1]∪[1，＋∞)
12．证明：由于A，B，C三点共线，
所以此直线的斜率既可用A，B两点的坐标表示，也可用A，C两点的坐标表示，
于是＝，
由此可得a＋b＝ab，
两边同时除以ab，得＋＝.
13．解析：正△ABC的顶点A(1，1)，B(1，3)且顶点C在第一象限，故顶点C的坐标为(1＋，2)，
可看作△ABC内部及其边界上一点与点(－1，0)的连线斜率，
当P运动到点B(1，3)时，直线的斜率最大，故的最大值为＝.
答案：B
课时作业(十二) 两条直线平行和垂直的判定
1．解析：斜率都为0且不重合，所以平行．
答案：B
2．解析：因为l1的倾斜角为60°，故l1的斜率为，
因为l1⊥l2，所以直线l2的斜率为－.
答案：A
3．解析：因为过A(m，1)，B(－1，m)两点的直线与直线y＝3x垂直，
所以直线AB的斜率存在，且kAB＝－＝，解得m＝2.
答案：B
4．解析：kAB＝＝＝kCD＝，kAD＝＝－3，kCB＝＝－，则kAD≠kCB，
所以AB∥CD，AD与BC不平行，
kAD·kAB＝－1，
因此AD⊥AB，故构成的图形为直角梯形．
答案：B
5．解析：因为kAB＝＝－，kCD＝＝－，kAC＝＝≠－即C不在直线AB上，所以AB∥CD，故A正确，B错误；
又kAC＝＝，kBD＝＝－4，∴kAC·kBD＝－1，∴AC⊥BD，故D正确，C错误．
答案：AD
6．解析：l1∥l2时k1＝k2或斜率均不存在，由条件可知k＝2.
答案：2
7．解析：设直线AD，BC的斜率分别为kAD，kBC，由题意，得AD⊥BC，
则有kAD·kBC＝－1，
所以有·＝－1，解得m＝.
答案：
8．解析：(1)因为点C在直线AB上，所以kAB＝kAC即＝，解得m＝.
(2)因为直线AC与直线BD平行，所以kAC＝kBD,
所以＝，解得m＝，经检验两直线不重合，
所以m＝.
(3)因为直线AC与直线BC垂直，两直线斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1，
所以·＝－1，解得m＝.
9.
解析：如图所示，因为经过三点可构造三个平行四边形，即 AOBC1， ABOC2， AOC3B.根据平行四边形的性质，可知B，C，D分别是点C1，C2，C3的坐标．
答案：A
10．解析：设直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2，则k2＝＝－.
若l1⊥l2，①当k2＝0时，此时a＝0，k1＝－，不符合题意；
②当k2≠0时，l1的斜率存在，此时k1＝.
由k1k2＝－1，可得·＝－1，解得a＝3或a＝－4.所以当a＝3或a＝－4时，l1⊥l2.
答案：AC
11．解析：两直线垂直，则两直线的斜率之积为－1，
根据韦达定理得到：
k1＋k2＝2，k1·k2＝＝－1 m＝－2，
两直线平行，则两直线的斜率相等，故得到k2＝k1＝1，m＝2.
答案：－2 2
12．解析：四边形OPQR是矩形．证明如下：
OP边所在直线的斜率kOP＝t，
QR边所在直线的斜率kQR＝＝t，
OR边所在直线的斜率kOR＝－，
PQ边所在直线的斜率kPQ＝＝－，
所以kOP＝kQR，kOR＝kPQ，所以OP∥QR，OR∥PQ，
所以四边形OPQR是平行四边形．
又kQR·kOR＝t×＝－1，
所以QR⊥OR，所以四边形OPQR是矩形．
又kOQ＝，kPR＝，
令kOQ·kPR＝－1，即·＝－1，无解，
所以OQ与PR不垂直，故四边形OPQR是矩形．
13．解析：设A(2，0)，B(－2，4)，则A，B所在直线的斜率为kAB＝＝－1，
由题知过点(2 021，2 022)与点(m，n)的直线与直线AB平行，
所以＝－1，整理得m＋n＝2 021＋2 022＝4 043.
答案：C
课时作业(十三) 直线的点斜式方程
1．解析：因为直线的倾斜角为135°，所以直线的斜率为k＝tan 135°＝－1，
所以直线方程为y＋2＝－(x－)，即y＝－x－.
答案：D
2．解析：由题可知直线经过点(4，0)，斜率为1，
所以直线方程为y＝x－4.
答案：C
3．解析：∵直线经过第一、三、四象限，∴图形如图所示，
由图知，k>0，b<0.
答案：B
4．解析：由题意可设所求直线方程为y＝kx＋4，又由2k＝－1，得k＝－，
∴所求直线方程为y＝－x＋4.
答案：D
5．解析：方程k＝表示直线y－2＝k(x＋1)上去掉点(－1，2)所形成的两条射线，与方程y－2＝k(x＋1)表示的图形不相同，故A错误；直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为，该直线的斜率不存在，垂直于x轴，其方程为x＝x1，故B正确；直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程为y－y1＝0，即y＝y1，故C正确；若直线l垂直于x轴，则直线l的斜率不存在，该直线没有点斜式和斜截式方程，故D错误．
答案：BC
6．解析：由题意可知，所求直线的斜率为，则所求直线的方程为y＝(x＋4)＋3，即y＝x＋9.
答案：y＝x＋9
7．解析：化为点斜式y－3＝k(x－2).
所以不管k取何值，直线恒过定点(2，3).
答案：(2，3)
8．解析：由题意知，直线l的斜率为，
故设直线l的方程为y＝x＋b，
由x＋b＝0得a＝－b，在y轴上的截距为b，
所以－b－b＝1，b＝－，
所以直线l的斜截式方程为y＝x－.
9．解析：对于A，由l1得a>0，b<0，而由l2得a>0，b>0，矛盾；对于B，由l1得a<0，b>0，而由l2得a>0，b>0，矛盾；对于C，由l1得a>0，b<0，而由l2得a<0，b>0，矛盾；对于D，由l1得a>0，b>0，而由l2得a>0，b>0.
答案：D
10．解析：设直线的斜率为k(k≠0)，则直线方程为y－2＝k(x－1)，
令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1－，则3<1－<5，
解得－1＜k＜－，
所以直线l的斜率的取值范围为.
答案：A
11．解析：令y＝0，则x＝－2k.令x＝0，则y＝k，
则直线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝|k|·|－2k|＝k2.
由题意知，三角形的面积不小于1，可得k2≥1，
所以k的范围是k≥1或k≤－1.
答案：k≥1或k≤－1
12．解析：(1)∵A，B两点的纵坐标均为1，∴AB边所在直线的方程为y＝1.
(2)∵AB平行于x轴，且△ABC在第一象限，kAC＝tan 60°＝，
kBC＝tan (180°－45°)＝－tan 45°＝－1，
∴直线AC的方程为y－1＝(x－1)；直线BC的方程为y－1＝－(x－5).
13．解析：由题意知k≠0，直线l：y＝k(x－2)＋3与x轴、y轴交点的坐标分别为A，B(0，3－2k)，
所以S△OAB＝××|3－2k|＝＝2，作出其图象如图所示，
由图可知，当0＜m＜12时，k有两解；当m＝12时，k有三解；当m＞12时，k有四解．
答案：BCD
课时作业(十四) 直线的两点式方程
1．解析：因为直线l的两点式方程为＝，
所以直线l过点(－5，0)，(3，－3)，
所以l的斜率为＝－.
答案：A
2．解析：∵直线过第一、三、四象限，∴它在x轴上的截距为正，在y轴上的截距为负，即a＞0，b＜0.
答案：B
3．解析：由－＝1，得到y＝x－n；又由－＝1，得到y＝x－m.即k1与k2同号且互为倒数．
答案：B
4．解析：当直线经过原点时，横、纵截距都为0，符合题意，当直线不经过原点时，设直线方程为＋＝1.
由题意得
解得或，
综上，符合题意的直线共有3条．
答案：C
5．解析：因为A(1，2)，B(3，1)，
所以线段AB的中点坐标为，
所以过点M和线段AB的中点的直线方程为＝，即4x－2y－5＝0.
答案：B
6．解析：由题意可得，直线AB的方程为＝，即3x－y－2＝0.
答案：3x－y－2＝0
7．解析：设直线方程为＋＝1，则解得a＝2，b＝3，则直线方程为＋＝1，即3x＋2y－6＝0.
答案：3x＋2y－6＝0
8．解析：∵直线AB过点A(0，－5)，B(－3，3)两点，
由两点式方程，得＝.
整理，得8x＋3y＋15＝0.
∴直线AB的方程为8x＋3y＋15＝0.
又∵直线AC过A(0，－5)，C(2，0)两点，
由截距式得＋＝1，
整理得5x－2y－10＝0，
∴直线AC的方程为5x－2y－10＝0.
9．解析：当直线经过原点时，斜率为k＝＝2，所求的直线方程为y＝2x，即2x－y＝0；当直线不过原点时，设所求的直线方程为x±y＝k，把点A(1，2)代入可得1－2＝k，或1＋2＝k，求得k＝－1，或k＝3，故所求的直线方程为x－y＋1＝0，或x＋y－3＝0；综上知，所求的直线方程为2x－y＝0，x－y＋1＝0，或x＋y－3＝0.
答案：ABC
10．解析：因为直线l过A(－4，－6)，B(2，6)两点，所以直线l的方程为＝，即y＝2x＋2.又点C(1 010，b)在直线l上，所以b＝2×1 010＋2＝2 022.
答案：C
11．解析：设A(x，0)，B(0，y).由P(－1，2)为AB的中点，
∴∴
由截距式得l的方程为＋＝1，
即2x－y＋4＝0.
答案：2x－y＋4＝0
12．解析：由题设知，直线l不过原点，且在x轴、y轴上的截距都大于0，
设直线l的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，
则由已知可得 ①
当a≥b时，①可化为
解得或(舍去)；
当a＜b时，①可化为
解得或(舍去).
所以，直线l的方程为＋y＝1或x＋＝1，
即x＋4y－4＝0或4x＋y－4＝0.
13．解析：设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0).
由P点在直线l上，得＋＝1，
∴|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)＝5＋＋≥5＋2 ＝9，
当且仅当＝，即a＝6，b＝3时取“＝”，
∴直线l的方程为＋＝1，即x＋2y－6＝0.
答案：x＋2y－6＝0
课时作业(十五) 直线的一般式方程
1．解析：由题意得，经过点A(8，－2)，斜率为－2的直线方程为y＋2＝－2(x－8)，即2x＋y－14＝0.
答案：C
2．解析：∵直线x＋y＋1＝0的斜率k＝－1，
∴设直线的倾斜角为α，则tan α＝－1，
结合α∈[0，π)，可得α＝.
答案：B
3．解析：由已知得直线的斜率k＝tan 30°＝＝－a，∴a＝－.
答案：A
4．解析：因为直线ax＋2y－1＝0与直线x＋ay＋1＝0平行，
所以a2＝2，
即a＝±，经检验，满足题意．
答案：C
5．解析：直线y＝ax－2a＋4(a∈R)，即y＝a(x－2)＋4，恒过点(2，4)，A正确；直线y＋1＝3x，即y＝3x－1，在y轴上的截距为－1，B不正确；直线x＋y＋1＝0的斜率k＝－，其倾斜角为150°，C不正确；直线x－2y＋3＝0的斜率为，则垂直于直线x－2y＋3＝0的直线斜率为－2，
直线方程为：y－3＝－2(x＋2)，即2x＋y＋1＝0，D正确．
答案：AD
6．解析：由直线x＋y－3＝0得y＝－x＋3，直线x＋y－3＝0的斜率为－1，则直线x＋y－3＝0的倾斜角为135°，所以将直线x＋y－3＝0绕与x轴的交点逆时针旋转60°后，直线的倾斜角为15°.
答案：15°
7．解析：设直线的截距方程为＋＝1，
∴×|a|×4＝24 a＝±12，
∴直线的一般式方程为：x－3y－12＝0或x＋3y＋12＝0，
答案：x－3y－12＝0或x＋3y＋12＝0.
8．解析：(1)∵直线过点(1，0)，∴m2－2m－3＝2m－6，解得m＝3或m＝1.又∵m＝3时，直线l的方程为y＝0，不符合题意，∴m＝1.
(2)由斜率为1，得解得m＝.
(3)直线过定点P(－1，1)，则－(m2－2m－3)－(2m2＋m－1)＝2m－6，解得m＝或m＝－2.
9．解析：∵k＝－，∴－1≤k<0.
所以倾斜角的取值范围是.
答案：D
10．解析：l2：ax－(2a－3)y＋a－2＝0化为a(x－2y＋1)＋3y－2＝0，
由x－2y＋1＝0且3y－2＝0解得x＝，y＝，
即直线l2恒过定点，故A正确；若l2在x轴和y轴上截距相等，则l2过原点或其斜率为－1，则a＝2或－＝－1 a＝1，故B错误；若l1⊥l2，则1×a＋a×(3－2a)＝0解得a＝0或2，故C正确；若l1∥l2，则先由1×(3－2a)＝a×a解得a＝1或－3，
再检验当a＝1时l1，l2重合，故D错误．
答案：AC
11．解析：由题意，直线l过点(2，0)，所以2a－2＋a＝0，得a＝；直线l在两坐标轴上的截距相等，已知a＝0不成立，则＝2－a，得a＝1或a＝2.
答案： 1或2
12．解析：(1)直线方程整理得：a(3x－y)＋(－x＋2y－1)＝0，
联立，解得，
所以直线恒过定点；
(2)当a＝2时，直线垂直x轴．
当a≠2时由(1)画图知：斜率k≥3得a＞2，
综上：a≥2；
(3)由题知k＝＜0则a∈，
令y＝0，则x＝，
令x＝0，则y＝.
所以S△＝·＝，
所以当a＝时三角形面积最小，
直线l方程为：15x＋5y－6＝0.
13．解析：由题设，(k＋1)x＋(1－2k)y－3＝k(x－2y)＋x＋y－3＝0，
∴当x＝2y＝2时，方程恒成立，故直线恒过定点(2，1)，
∴＋＝1，则2m＋n＝(2m＋n)＝5＋＋≥5＋2 ＝9，当且仅当m＝n＝3时等号成立，
∴2m＋n的最小值为9.
答案：9
课时作业(十六) 两条直线的交点坐标两点间的距离公式
1．解析：易知A1＝，B1＝－1，A2＝1，B2＝1，则A1B2－A2B1＝×1－1×(－1)＝＋1≠0，又A1A2＋B1B2＝×1＋(－1)×1＝－1≠0，则这两条直线相交但不垂直．
答案：A
2．解析：设过A点中线长即为线段AD.
D为BC中点：D，即D(4，－2)，
∴|AD|＝＝＝2.
答案：B
3．解析：联立方程，解得x＝2，y＝2，
所以A(2，2)，所以|AB|＝＝1.
答案：D
4．解析：联立，得.
把代入2x＋ky＋8＝0得k＝3.
答案：C
5．解析：由题意知，直线MN过点M(0，－1)且与直线x＋2y－3＝0垂直，其方程为2x－y－1＝0.直线MN与直线x－y＋1＝0的交点为N，联立方程组解得即N点坐标为(2，3).
答案：A
6．解析：由，得，
所以直线l的方程为y－＝－2，即4x＋2y－7＝0.
答案：4x＋2y－7＝0
7．解析：设y轴上的点B的坐标为(0，y)，
因为点A(－2，3)，所以|AB|＝＝3，
解得：y＝8或y＝－2，
所以点B的坐标为(0，8)或(0，－2).
答案：(0，8)或(0，－2)
8．解析：(1)由，
解得，
∴A(1，－1).
(2)直线l1的斜率为－，垂直于直线l1的直线斜率为，
则过点A(1，－1)，且垂直于直线l1的直线l的方程为y＋1＝(x－1)，
即2x－3y－5＝0.
9．解析：S＝＋可以看作是点(x，y)到点(－1，0)与点(1，0)的距离之和，数形结合(图略)易知最小值为2.
答案：B
10．解析：依题：三条直线交于一点或其中两条平行且与第三条直线相交，
①当直线x＋ky＝0经过直线x－2y＋1＝0与直线x－1＝0的交点(1，1)时，
1＋k＝0，解得k＝－1.
②当直线x＋ky＝0与直线x－2y＋1＝0平行时，＝≠，解得k＝－2；
③当直线x＋ky＝0与直线x－1＝0平行时，可得k＝0，
综上：k＝－2或k＝0或k＝－1.
答案：ABC
11．解析：因为两直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0的交点为P(2，3)，
所以2a1＋3b1＋1＝0且2a2＋3b2＋1＝0，
所以Q(a1，b1)，P(a2，b2)(a1≠a2)在直线2x＋3y＋1＝0上，
所以过两点Q(a1，b1)，P(a2，b2)(a1≠a2)的直线方程为2x＋3y＋1＝0.
答案：2x＋3y＋1＝0
12．解析：方法一 设A(x0，y0)，
由中点公式，有B(－x0，2－y0)，
∵A在l1上，B在l2上，
∴
解得
∴kAP＝＝－，
故所求直线l的方程为y＝－x＋1，
即所求直线l的方程为x＋4y－4＝0.
方法二 由题易知，直线l的斜率存在，
设所求直线l方程为y＝kx＋1，l与l1，l2分别交于A，B，
解方程组
解得
∴A；
解方程组
解得
∴B，
∵A，B的中点为P(0，1)，则有＝0，
∴k＝－.
故所求直线l的方程为x＋4y－4＝0.
13．解析：因为l1：x－my－2＝0与l2：mx＋y＋2＝0的交点坐标为Q，
所以|OQ|＝＝＝，
当m＝0时，|OQ|max＝2，
所以|OQ|的最大值是2.
答案：B
课时作业(十七) 点到直线的距离公式两条平行直线间的距离
1．解析：点A(3，－7)到直线x＋y＝0的距离d＝＝2.
答案：D
2．解析：由题意得＝1.∴|a＋1|＝，a＋1＝±.
解得a＝－1＋或a＝－1－.∵a＞0，∴a＝－1＋.
答案：C
3．解析：由题意得：
∵直线l1：x－2y－＝0，l2：2x－4y＋3＝0，
∴k1＝，k2＝＝，两直线为平行直线，
直线l1：x－2y－＝0 l1：2x－4y－2＝0，
两平行直线之间的距离为d＝＝.
答案：A
4．解析：联立，，
解得，
又直线斜率为1，
∴直线l的方程为y＝x＋3，即x－y＋3＝0，
∴原点到直线l的距离为＝.
答案：A
5．解析：由题意，得：，
解得a＝－3，b＝2，故A、B正确，
∴(1，2)到直线－3x＋2y＋3＝0的距离d＝＝，故C错误，D正确．
答案：ABD
6．解析：设点P的坐标为(a，5－3a)，
由题意得＝，解得a＝1或2，
所以点P的坐标为(1，2)或(2，－1).
答案：(1，2)或(2，－1)
7．解析：∵3x＋4y－6＝0和3x＋4y＋a＝0之间的距离等于2，
∴d＝＝2，
解得a＝4或－16.
答案：4或－16
8．解析：(1)∵B(－2，－1)，C(2，3)，
∴kBC＝＝1，
则所求直线的斜率为：k＝－1，
又BC的中点D的坐标为(0，1)，
所以BC边上的中垂线所在的直线方程为：x＋y－1＝0；
(2)直线BC的方程为：y＋1＝x＋2，即x－y＋1＝0，
则点A(－1，4)到直线BC：x－y＋1＝0的距离为：d＝＝2.
9．解析：设所求直线方程为3x－4y＋m＝0，由题意得＝2，解得m＝9或－11.
答案：AB
10．解析：由，
解得，
所以直线的交点为(－1，－2)，
因为交点(－1，－2)在直线mx＋ny＋3＝0上，
所以m＋2n－3＝0，
所以点(m，n)到原点的距离的最小值为d＝＝.
答案：D
11．解析：∵直线l1：(m＋1)x－(m－3)y－8＝0(m∈R)，化为：m(x－y)＋(x＋3y－8)＝0，
可得，解得x＝y＝2，则直线l1恒过定点(2，2)；
过原点作直线l2∥l1，可设l2方程为：(m＋1)x－(m－3)y＝0，
则经过两点(0，0)与(2，2)的直线方程为：y＝x.
则当直线l1与l2的距离最大时，l2与直线y＝x垂直．
直线l2的方程为x＋y＝0.
答案：(2，2) x＋y＝0
12．解析：(1)直线l：x＋my－m－3＝0，整理可得：x－3＋m(y－1)＝0，
∴直线恒过x－3＝0和y－1＝0的交点，即直线恒过定点(3，1)在第一象限，
∴直线l一定经过第一象限；
(2)由(1)可得：直线恒过定点M(3，1)，当PM与l垂直时，P到直线的距离最大，为|PM|＝＝，
又kPM＝＝1，故直线l的斜率为－1，即－＝－1，可得m＝1，
直线l的方程为：x＋y－4＝0，
令y＝0得：x＝4；令x＝0得：y＝4，即A(4，0)，B(0，4)，
∴|AB|＝＝4，
∴S△PAB＝·|AB|·|PM|＝×4×＝4.
13．解析：A：M到直线的距离为d＝＝0＜2，故直线存在P使|PM|＝2，符合“2域直线”；B：M到直线的距离为d＝2，故直线存在P使|PM|＝2，符合“2域直线”；C：M到直线的距离为d＝＝＞2，故直线不存在P使|PM|＝2，不符合“2域直线”；D：M到直线的距离为d＝2，故直线存在P使|PM|＝2，符合“2域直线”．
答案：C
课时作业(十八) 圆的标准方程
1．解析：因圆的圆心为(1，2)，且过(0，0)，则圆的半径r＝＝，所以所求圆的方程为：(x－1)2＋(y－2)2＝5.
答案：C
2．解析：设圆心C(0，m)，则有＝1，解得m＝2，所以圆的方程是x2＋(y－2)2＝1.
答案：A
3．解析：已知圆的圆心(3，－2)关于直线x＝－1的对称点为(－5，－2)，∴所求圆的方程为(x＋5)2＋(y＋2)2＝4.
答案：A
4．解析：由题意设圆心坐标为(a，－a)，
再由圆C与y轴的交点分别为A(0，4)，B(0，－2)，可得－a＝＝1，解得a＝－1，
则圆心坐标为(－1，1)，半径r＝＝.
∴该圆的标准方程是(x＋1)2＋(y－1)2＝10.
答案：B
5．解析：选项A中(－3－2)2＋(2－3)2＝26＞4在圆外；选项B中(3－2)2＋(2－3)2＝2＜4在圆内；选项C中(1－2)2＋(4－3)2＝2＜4在圆内；选项D中(1－2)2＋(1－3)2＝5＞4在圆外．
答案：AD
6．解析：当以AB为直径时，圆的周长最小，则AB的中点即圆心为(2，1)，直径|AB|＝＝2，半径r＝，
所以圆的标准方程为：(x－2)2＋(y－1)2＝10.
答案：(x－2)2＋(y－1)2＝10
7．解析：由题设，圆心在第一象限，半径为1，且同时与x，y轴相切，则圆心为(1，1)，
∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.
答案：(x－1)2＋(y－1)2＝1
8．解析：(1)由题意可得，AC的中点坐标为D.
所以4×2－3×－2＝0.
所以a＝4；
(2)由已知可得AB的中点坐标为(6，5)，
得|AB|＝＝2.
所以以AB为直径的圆的方程为(x－6)2＋(y－5)2＝29，
因为(0－6)2＋(4－5)2＝37＞29，
所以点C在以AB为直径的圆外．
9．解析：圆x2＋(y－3)2＝4的圆心坐标为(0，3).因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率k＝1.
由点斜式得直线l的方程是y－3＝x－0，
化简得x－y＋3＝0.
答案：D
10．解析：圆心坐标为(k，k)，在直线y＝x上，A正确；令(3－k)2＋(0－k)2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，
∵Δ＝36－40＝－4＜0，∴2k2－6k＋5＝0，无实数根，∴B正确；由(2－k)2＋(2－k)2＝4，化简得k2－4k＋2＝0，
∵Δ＝16－8＝8＞0，有两不等实根，∴经过点(2，2)的圆Ck有两个，C错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确．
答案：ABD
11．解析：由题意，设圆C的圆心为C(a，0)(a＞0)，因为圆心到直线2x－y＝0的距离为，所以＝，解得a＝1，即圆心坐标为(1，0)；又点M(0，)在圆C上，所以半径为r＝＝2，因此圆C的方程为(x－1)2＋y2＝4.
答案：(x－1)2＋y2＝4
12．解析：由，解得，故A(3，2)，则AB的中点坐标为(2，1)，且kAB＝＝1，因此中垂线的斜率为k＝－1，所以线段AB的垂直平分线的方程y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0
由，解得，
故圆心为(1，2)，因此半径为＝2，
所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝4.
13．解析：根据题意，如图所示，
∴圆心C的坐标为(3，4)，半径r＝1，且|AB|＝2m.
由∠APB＝90°，连结OP，易知|OP|＝|AB|＝m.
要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离．
∵|OC|＝＝5，
∴|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值为6.
答案：B
课时作业(十九) 圆的一般方程
1．解析：圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝9，圆心C的坐标为(－1，2).
答案：A
2．解析：x2＋y2－2x－a＝0 (x－1)2＋y2＝a＋1表示圆，则a＋1＞0，∴a＞－1，
a＞0能推出a＞－1，反之不能，故“实数a＞0”是“方程x2＋y2－2x－a＝0”表示圆的充分不必要条件．
答案：A
3．解析：圆(x＋1)2＋y2＝4的圆心坐标为C(－1，0)，半径为2.
设点P(x，y)，
由题得|PC|2＝|PA|2＋r2＝5，
故(x＋1)2＋y2＝5.
答案：B
4．解析：设圆心坐标为(t，0)，因为圆心在x轴上且圆与y轴相切，所以|t|即为半径，
则根据题意得：＝|t|，解得t＝－5，
所以圆心坐标为：(－5，0)，半径为5，该圆的方程是(x＋5)2＋y2＝25，
展开得：x2＋y2＋10x＝0.
答案：C
5．解析：由圆M的一般方程x2＋y2－8x＋6y＝0，得圆M的标准方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝52，
故圆心为(4，－3)，半径为5，则A选项正确、C选项错误，令x＝0，得y＝0或y＝－6，弦长为6，则D选项正确，令y＝0，得x＝0或x＝8，弦长为8，则B选项正确．
答案：ABD
6．解析：由x2＋y2＋ax＋by－6＝0得＋＝6＋＋，
又圆心坐标为(3，4)，
∴－＝3，－＝4即a＝－6，b＝－8，
∴圆的半径为 ＝.
答案：
7．解析：x2＋y2－2x－4y＋3＝1的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝2，
则圆心为(1，2)，圆心(1，2)到直线x－ay＋1＝0的距离为
d＝＝2，解得a＝0.
答案：0
8．解析：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，所以x1＋x2＝－D.令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，所以y1＋y2＝－E.
由题意知－D－E＝2，即D＋E＋2＝0. ①
又因为圆过点A、B，所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0. ②
1＋9－D＋3E＋F＝0. ③
解①②③组成的方程组得D＝－2，E＝0，F＝－12.
故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0.
9．解析：以A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则B(3，0).设M(x，y)，
依题意有，＝，
化简整理得，x2＋y2＋2x－3＝0，
即(x＋1)2＋y2＝4，故圆的半径为2，
则圆的面积为4π.
答案：B
10．解析：将x2＋y2－4x－14y＋45＝0化为(x－2)2＋(y－7)2＝8，所以圆心C坐标为(2，7)，故A正确；因为C(2，7)，Q(－2，3)两点之间的距离为＝4＞2，所以点Q在圆C外，故B正确；因为点P(m，m＋1)在圆C上，所以m2＋(m＋1)2－4m－14(m＋1)＋45＝0，所以m＝4，即P(4，5).所以直线PQ的斜率为，故C错误；因为圆心C(2，7)，半径r＝2，|CQ|＝4，所以|CQ|－r≤|MQ|≤|CQ|＋r，即2≤|MQ|≤6，故D正确．
答案：ABD
11．解析：设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由条件，
得，
解得，
因此圆的一般方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0，
故圆心C(2，1)，因此圆心到直线l的距离d＝＝1，解得m＝±2.
答案：x2＋y2－4x－2y－20＝0 ±2
12.
解析：如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，
则线段OP的中点坐标为，
线段MN的中点坐标为(，).
由于平行四边形的对角线互相平分，
故＝，＝，
从而
又点N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
当点P在直线OM上时，有x＝－，y＝或x＝－，y＝.
因此所求轨迹为以(－3，4)为圆心，半径为2的圆，
除去点和点.
13.
解析：如图所示，以AC的中点为原点，AC边所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
因为AC＝6，所以A(－3，0)，C(3，0)，
设点B(x，y)，因为sin C＝2sin A，由正弦定理可得：c＝2a，即|AB|＝2|BC|，
所以(x＋3)2＋y2＝4(x－3)2＋4y2，化简得：(x－5)2＋y2＝16，且x≠1，x≠9，
圆的位置如上图所示，圆心为(5，0)，半径r＝4，
观察可得，三角形底边长AC不变的情况下，当B点位于圆心D的正上方时，高最大，
此时△ABC的面积最大，B点坐标为(5，4)，所以BC＝＝2.
答案：2
课时作业(二十) 直线与圆的位置关系
1．解析：因为直线y＝kx＋1恒过定点A(0, 1)，而02＋12＋2×1－5＝－2＜0，
所以定点A(0，1)在圆x2＋y2＋2y－5＝0内，
所以直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋2y－5＝0相交．
答案：A
2．解析：a＝2时，圆(x－2)2＋(y－b)2＝4的圆心坐标为(2，b)，半径为2，此时圆与y轴相切；
当圆(x－a)2＋(y－b)2＝4与y轴相切时，因为圆的半径为2，
所以圆心到y轴的距离为|a|＝2，所以a＝±2，
“a＝2”是“圆(x－a)2＋(y－b)2＝4与y轴相切”的充分不必要条件．
答案：A
3．解析：由题知圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，
则圆心坐标为(－1，1)，半径r＝，
∵圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，
∴＋＝2－a，
解得a＝－4.
答案：C
4．解析：设圆心坐标为(a，0)，
则＝ a＝0或a＝6，
所以圆的半径为＝或＝.
答案：C
5．解析：由题意得，半径为，A错误；由于点P到点C的距离为，所以点P在圆外，故能作出两条圆的切线，∴B对；过点P的最大弦长为直径，又圆心坐标为(0，0)，所以方程为y＝2x，∴C对；点P到圆C上一点的最大距离为＋＜4，∴D错误．
答案：BC
6．解析：因为直线l：x＋my－2＝0，所以直线l过定点P(2，0)，
圆C：x2＋y2－6x＋2y＋6＝0，即圆C：(x－3)2＋(y＋1)2＝4，
则(2－3)2＋(0＋1)2＝2＜4，即点P(2，0)在圆内，
所以直线l与圆C相交，即直线l与圆C有2个交点．
答案：2
7．解析：由题设，22＋12＝5＞1，故P在圆外，
根据圆O：x2＋y2＝1及P(2，1)，知：过P作圆O的切线斜率一定存在，
∴可设切线为y＝k(x－2)＋1，联立圆的方程，
整理得(1＋k2)x2＋2k(1－2k)x＋4k(k－1)＝0，
∴Δ＝4k2(1－2k)2－16k(k－1)(1＋k2)＝0，解得k＝0或k＝.
∴切线方程为y＝1或4x－3y－5＝0.
答案：y＝1或4x－3y－5＝0
8．解析：(1)不妨设圆的半径为R，根据垂径定理，可得：R2＝12＋()2，
解得：R＝2，
则圆的方程为：(x＋1)2＋(y－2)2＝4.
(2)当直线l的斜率不存在时，则有：x＝1，
故此时直线l与圆相切，满足题意．
当直线l的斜率存在时，不妨设直线l的斜率为k，过点B(1，－2)的直线l与圆心A的距离为d，直线l的方程为：y＝k(x－1)－2，
则有：d＝＝2，
解得：k＝－，此时直线l的方程为：3x＋4y＋5＝0，
综上可得，直线l的方程为：x＝1或3x＋4y＋5＝0.
9．解析：由已知条件得(x－3)2＋(y＋5)2＝r2的圆心坐标为(3，－5)，
圆心(3，－5)到直线4x－3y－2＝0为d＝＝5，
∵圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上至少有三个点到直线4x－3y－2＝0的距离为1，
∴圆的半径的取值范围是r≥5＋1，即r≥6，即半径r的取值范围是[6，＋∞).
答案：B
10．解析：直线l：kx－y－k＋1＝0整理得y－1＝k(x－1)，故直线过定点P(1，1)，故A错误；由于点(1，1)在圆O内，故直线l与圆O相交，B正确；当k＝1时，直线l：x－y＝0过圆心O，故直线l被圆O截得的弦为直径，其长为4，C错误；当点P(1，1)为弦的中点时，直线l被圆O截得的弦最短，此时的弦长为2＝2，故D正确．
答案：BD
11．解析：∵直线l：(2a－1)x＋(a－3)y＋4－3a＝0恒过定点(1，1)，
∴当圆心与点(1，1)的连线与直线AB垂直时，弦长|AB|最小，
∵圆心(2，0)与点(1，1)间的距离为＝，半径为3，
∴弦长|AB|的最小值为2＝2.
∵圆心(2，0)与点(1，1)连线的斜率为＝－1，∴此时直线l的斜率为1，
由－＝1，解得a＝.
答案：2
12．解析：(1)设圆心C(a，b)，因为圆心C在直线2x＋y－7＝0上，
所以2a＋b－7＝0 ①
因为A，B是圆上的两点，所以|CA|＝|CB|，所以
＝，即a＋b－5＝0 ②
联立①②，解得a＝2，b＝3.
所以圆C的半径r＝|AC|＝2，所以圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－3)2＝4.
(2)若过点P的切线斜率不存在，则切线方程为x＝4.
若过点P的切线斜率存在，设为k，则切线方程为y－6＝k(x－4)，
即kx－y－4k＋6＝0.
由＝2，解得k＝，所以切线方程为5x－12y＋52＝0.
综上，过点P的圆C的切线方程为x＝4或5x－12y＋52＝0.
设PC与DE交于点F，
因为|PC|＝，CD⊥PD，PC垂直平分DE，
所以|PC|·|CF|＝|CD|2，所以|CF|＝＝，
所以|DE|＝2＝2 ＝.
13．解析：由y＝－，得(x－1)2＋y2＝4，
因为y＝－≤0，
所以曲线C表示以点C(1，0)为圆心，2为半径的圆的下半部分，
由mx＋y－4m－2＝0，得m(x－4)＋(y－2)＝0，
所以，得，
所以直线l过定点P(4，2)，
如图所示设曲线C与x轴的两个交点分别为A(－1，0)，B(3，0)，
直线l过定点P(4，2)，M为曲线C上一动点，
根据图可知，若曲线C与直线l总有公共点，则
kPA≤kl≤kPD，得≤－m≤kPD，
设直线PD为y－2＝k(x－4)，则＝2，解得k＝0，或k＝，
所以kPD＝，
所以≤－m≤，所以－≤m≤－.
答案：D
课时作业(二十一) 圆与圆的位置关系
1．解析：将两圆的一般方程化为标准方程得C1：(x－2)2＋(y＋1)2＝9；C2：(x＋2)2＋(y－2)2＝4，
可知圆心C1(2，－1)，C2(－2，2)，半径r1＝3，r2＝2，
|C1C2|＝＝5＝r1＋r2，
故两圆外切．
答案：C
2．解析：根据题意，圆C1：x2＋y2－10x－10y＝0即(x－5)2＋(y－5)2＝50，
其圆心为(5，5)，半径r＝5；圆C2：x2＋y2＋6x＋2y＋8＝0即(x＋3)2＋(y＋1)2＝2，其圆心为(－3，－1)，半径R＝；两圆的圆心距|C1C2|＝＝10＞R＋r＝6，所以两圆相离，其公切线条数有4条．
答案：D
3．解析：由x2＋y2－4＝0与x2＋y2－4x＋4y－12＝0两式相减，
得：4x－4y＋8＝0，即x－y＋2＝0.
答案：B
4．解析：由题设，两圆圆心分别为(0，0)、(3，4)，半径分别为1、r，
∴由外切关系知：＝r＋1，可得r＝4.
答案：D
5．解析：圆O1：x2＋y2＝1的半径为r1＝1，圆O2：＋(y－2)2＝的半径为r2＝，故r1＜r2，故B对，A错；圆心距d＝ ＝＝r1＋r2，故圆O1与圆O2外切，故C对，D错．
答案：BC
6．解析：由题设，两圆方程相减可得：(D＋2)x－4y－4－F＝0，即为公共弦x－y＋1＝0，
∴，可得，
∴D＋F＝－6.
答案：－6
7．解析：圆C1：x2＋y2－2x＝0与圆C2：x2＋y2－4y＝0，两式相减得，公共弦所在直线方程为：x－2y＝0，圆C1：x2＋y2－2x＝0，圆心为C1：(1，0)，r＝1，C1到公共弦的距离为：d＝＝，公共弦长为2＝.
答案：
8．解析：(1)选①.圆O的圆心为O(0，0)，半径为1；圆C的圆心为C(3，0)，半径为.
因为两圆的圆心距为|OC|＝3，
且两圆的半径之和为1＋＜3，所以两圆外离．
选②.
圆O的圆心为O(0，0)，半径为1.圆C的圆心为C(3，0)，半径为2.
因为两圆的圆心距为|OC|＝3.且两圆的半径之和为1＋2＝3，所以两圆外切．
(2)因为点C到直线x＋y－1＝0的距离d＝＝，所以直线x＋y－1＝0被圆C截得的弦长为2＝2.
9．解析：圆C1的圆心为C1(0，0)，半径为r1＝1.
圆C2的圆心为C2(3，0)，半径为r2＝r.圆心距|C1C2|＝3.当r＝4时，r2－r1＝|C1C2|，两圆内切，C1和C2只有一个公共点，A选项错误．当r＝1时，两个圆的半径相等，C1和C2关于直线x＝对称，B选项正确．当1＜r＜2时，r1＋r2＝1＋r∈(1，3)，即|C1C2|＞r1＋r2，C1和C2外离，C选项正确．当2＜r＜3时，r1＋r2＝1＋r∈(3，4)，r2－r1＝r－1∈(1，2)，
所以r2－r1＜|C1C2|＜r1＋r2，所以两圆相交，，两式相减并化简得x＝＞0，
即相交弦所在直线方程为x＝，
所以公共弦长为2 ＝ r＝∈(2，3)，D选项正确．
答案：BCD
10．解析：设动圆圆心为(x，y)，若动圆与已知圆外切，则＝4＋1，
∴(x－5)2＋(y＋7)2＝25；
若动圆与已知圆内切，则＝4－1，
∴(x－5)2＋(y＋7)2＝9.
答案：D
11．解析：O(0，0)，C(3，0)，两圆半径均为1，∵|OC|＝＝3，∴|PQ|的最小值为3－1－1＝1.
答案：1
12．解析：(1)圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，即为(x＋1)2＋(y＋4)2＝25，所以C1(－1，－4)，r1＝5，
圆C2：(x－a)2＋(y－2a＋2)2＝25，所以C2(a，2a－2)，r2＝5，
因为两圆外切，所以|C1C2|＝r1＋r2＝10，得＝10，
化简得(a＋1)2＝20，所以a＝－1±2.
(2)方法一 圆C2：(x－a)2＋(y－2a＋2)2＝25，即为x2＋y2－2ax＋4(1－a)y＋5a2－8a－21＝0，
将圆C1与圆C2的方程联立，得到方程组两式相减得公共弦AB的方程为：(2＋2a)x＋(4＋4a)y－5a2＋8a＋13＝0，
由于|AB|＝，得点C1到直线AB的距离：d＝ ＝ ＝，
所以＝，即＝，即|a＋1|＝3，
解得a＝2或者a＝－4.
方法二 因为r1＝r2＝5，所以圆C1与圆C2关于直线AB对称，
因为|AB|＝，得点C1到直线AB的距离：
d＝ ＝ ＝，所以|C1C2|＝3＝，
解得a＝2或者a＝－4.
13．解析：由题意，设点M(x，y)，
又|MA|＝|MB|，
所以＝·，化简可得(x－6)2＋y2＝32，
所以点M的轨迹为以点N(6，0)为圆心，4为半径的圆，所以点M的轨迹围成的区域面积为32π，A选项正确；又点M(x，y)满足y∈[－4，4]，
所以S△ABM＝|AB|·|y|∈(0，8]，B选项正确；点N(6，0)到直线x－y＋4＝0的距离d＝＝5＞4，
所以直线与圆相离，所以点M到直线x－y＋4＝0距离的最大值为5＋4＝9，C选项错误；由D选项可知圆C与圆N有公共点，所以|4－r|≤|CN|≤4＋r，
且|CN|＝＝5，
即|4－r|≤5≤4＋r，
所以≤r≤9，D选项正确．
答案：ABD
课时作业(二十二) 椭圆及其标准方程
1．解析：设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2, 由已知条件得a＝5，由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，其中|PF1|＝3，则|PF2|＝7.
答案：D
2．解析：根据P为椭圆C：＋＝1上一点，则有|PF1|＋|PF2|＝2a＝2＝10，
又|PF1|＝3|PF2|，所以|PF2|＝＝.
答案：B
3．解析：∵方程＋＝1表示椭圆，∴解得2＜m＜3或3＜m＜4，故“2＜m＜4”是“方程＋＝1表示椭圆”的必要不充分条件．
答案：B
4．解析：因为焦点在x轴上，所以C不正确；又因为c＝1，故排除D；将代入＋＝1得＋＝≠1，故A错误，所以选B.
答案：B
5．解析：由已知2c＝|F1F2|＝2，所以c＝.
因为2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4，
所以a＝2.所以b2＝a2－c2＝9.
故椭圆C的标准方程是＋＝1或＋＝1.
答案：AC
6．解析：因椭圆C上一点P到两个焦点F1(－2，0)，F2(2，0)的距离之和等于6，则该椭圆长半轴长a＝3，
而半焦距c＝2，于是得短半轴长b，有b2＝a2－c2＝5，
所以C的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
7．解析：圆x2＋y2＋6x＋5＝0的圆心为A(－3，0)，半径为2；
圆x2＋y2－6x－91＝0的圆心为B(3，0)，半径为10.
设动圆圆心为M(x，y)，半径为x，
则|MA|＝2＋r，|MB|＝10－r，
于是|MA|＋|MB|＝12＞|AB|＝6，
所以，动圆圆心M的轨迹是以A(－3，0)，B(3，0)为焦点，长轴长为12的椭圆．
a＝6，c＝3，b2＝a2－c2＝27，
所以M的轨迹方程为＋＝1.
答案：＋＝1
8．解析：(1)由焦距是4可得c＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0，2).
由椭圆的定义知，2a＝＋＝8，
所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.又焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由题意知，2a＝26，即a＝13，又c∶a＝5∶13，所以c＝5，所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，
因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
9．解析：因为|AF1|＋|AF2|＝3＋9＝12，
所以椭圆M中2a＝12，
因为|BF1|＋|BF2|＝5＋9≠12，|CF1|＋|CF2|＝5＋6≠12，|DF1|＋|DF2|＝5＋7＝12，|EF1|＋|EF2|＝11＋1＝12，所以D，E在椭圆M上．
答案：C
10．解析：由椭圆方程知：a＝4，b＝，c＝3，
∴|MF1|＋|MF2|＝2a＝8，故A正确．
|MF1|max＝a＋c＝7，|MF1|min＝a－c＝1，故B正确．
|MF1||MF2|≤＝16，此时M在椭圆左右顶点上，同时△MF1F2面积也最大，为3，故C正确，D错误．
答案：ABC
11．解析：因为椭圆＋＝1的焦点在x轴上，所以3m＞2m＋1＞0，解得m＞1，
所以实数m的取值范围是(1，＋∞).
答案：(1，＋∞)
12．解析：(1)由椭圆方程，知a2＝25，b2＝，
则c2＝，c＝，2c＝5.
在△F1PF2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°，
即25＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|. ①
由椭圆的定义得10＝|PF1|＋|PF2|，
则100＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|. ②
②－①，得3|PF1|·|PF2|＝75，
则|PF1|·|PF2|＝25，故△F1PF2的面积S＝|PF1|·|PF2|sin 60°＝.
(2)设点P(x0，y0)，则△F1PF2的面积S＝·|F1F2|·|y0|，
由(1)可得＝×5|y0|，解得|y0|＝.
又点P在椭圆上，所以＋＝1，解得x0＝0，
于是点P的坐标为或.
13.
解析：由椭圆方程得F1(－1，0)，F2(1，0)，
如图，连接MF1，由于|MF1|＋|MF2|＝2a＝4，
所以|MF2|＝4－|MF1|，
所以|MA|＋|MF2|＝|MA|＋4－|MF1|＝4＋|MA|－|MF1|，
因为||MA|－|MF1||≤|AF1|，当且仅当M，A，F1三点共线时等号成立，
所以－|AF1|≤|MA|－|MF1|≤|AF1|，
所以|MA|＋|MF2|＝4＋|MA|－|MF1|≥4－|AF1|＝4－.
答案：A
课时作业(二十三) 椭圆的简单几何性质
1．解析：∵椭圆方程为：＋＝1，
∴p＞0，∴a2＝3p，b2＝p，
∵椭圆＋＝1的一个焦点坐标为，
∴c＝，又a2＝b2＋c2，
∴3p＝p＋，
∴p＝8.
答案：D
2．解析：椭圆2x2＋y2＝1化为标准方程为y2＋＝1，所以椭圆焦点在y轴上，a＝1，长轴长为2.
答案：B
3．解析：x2＋a2y2＝2a可变为＋＝1，a>0，
由题意得，解得a＝3，或，解得a＝，
故a＝3或a＝.
答案：C
4．解析：设椭圆的实半轴长为a，半焦距为c，
因为轨道近日点、远日点离太阳表面的距离分别为r1，r2，
所以a－c＝r1＋R，a＋c＝r2＋R，
所以a＝，c＝，
所以地球轨道所在椭圆的离心率为e＝＝.
答案：A
5．解析：由已知条件得椭圆＋＝1中，a＝4，b＝3，c＝＝，
则该椭圆的长轴长为2a＝8，短轴长为2b＝6，离心率为e＝＝，焦距为2c＝2；
椭圆＋＝1(－9＜t＜0)中，焦点在x轴上，a＝，b＝，c＝＝，故这两个椭圆只有焦距相等．
答案：ABC
6．解析：由题意知，2a＝10，2c＝8，
所以a2＝25，c2＝16，b2＝a2－c2＝9.
若焦点在x轴上，则标准方程为＋＝1；
若焦点在y轴上，则标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1或＋＝1
7．解析：因为|AO|＝a，|OF|＝c，|BF|＝a，|AB|＝，
所以在直角三角形ABF中，a2＋b2＋a 2＝(a＋c)2 ＝a2＋2ac＋c2，即a2－c2－ac＝0，两边同除以a2 得e2＋e－1＝0，解得e＝或e＝(舍去).
答案：
8．解析：(1)∵椭圆的焦点在x轴上，
∴设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
∵2c＝8，∴c＝4，
又a＝6，∴b2＝a2－c2＝20.
∴椭圆的方程为＋＝1.
(2)由右焦点为(，0)，则c＝，又e＝＝，所以a＝，b2＝a2－c2＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
9．解析：设坐标原点为O，
∵|OP|＝|OQ|，|OF1|＝|OF2| ∴四边形PF1QF2为平行四边形，
又∵|PQ|＝|F1F2| ∴平行四边形PF1QF2为矩形，
由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，即|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝64，
又∵|PF1|2＋|PF2|2＝4c2＝48，
∴|PF1||PF2|＝8，∴S△PF1F2＝4，
则四边形PF1QF2的面积为2S△PF1F2＝4×2＝8，
答案：D
10．解析：因为B，A关于原点对称，所以B也在椭圆上，设左焦点为F′，根据椭圆的定义：|AF|＋|AF′|＝2a，
又因为|BF|＝|AF′|，所以|AF|＋|BF|＝2a，O是直角三角形ABF斜边的中点，
所以|AB|＝2c，|AF|＝2c sin α，|BF|＝2c cos α，所以2c(sin α＋cos α)＝2a，
所以＝＝，由于α∈，sin ∈
所以∈.
答案：BC
11．解析：因为椭圆＋＝1的离心率e＝，所以＝，又b2＝8，即b＝2，所以a＝3，c＝1.
所以＋＝1，F1(－1，0)，A(3，0)，△PF1F2＝2a＋2c＝8，
设椭圆上的一点P(x，y)，则PF1·＝(－1－x，－y)·(3－x，－y)＝(x－9)2－4，
所以当x＝－3时，PF1·取得最大值12.
答案：8 12
12．解析：(1)设椭圆方程为＋＝1 (a>b>0)，|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝2a.
在△PF1F2中，由余弦定理可知，4c2＝m2＋n2－2mn cos 60°＝(m＋n)2－3mn＝4a2－3mn≥4a2－3＝4a2－3a2＝a2(当且仅当m＝n时取等号).
所以≥，即e≥.又0(2)证明：由(1)知mn＝b2，所以S△PF1F2＝mn sin 60°＝b2，即△PF1F2的面积只与短轴长有关．
13.
解析：由题意，如图，若在椭圆C1上不存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，
则只需∠APB＞90°，即α＝∠APO＞45°，sin α＝＞sin 45°＝，
即8b2＞5a2，因为a2＝b2＋c2解得：3a2＞8c2.
∴e2＜，即e＜，而0＜e＜1，∴0＜e＜，即e∈.
答案：B
课时作业(二十四) 直线与椭圆的位置关系
1．解析：把x＋y－3＝0代入＋y2＝1，得＋(3－x)2＝1，即5x2－24x＋32＝0.∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0，∴直线与椭圆相离．
答案：A
2．解析：由蒙日圆的定义，可知椭圆 C：＋＝1的两条切线x＝，y＝2的交点在圆上，
所以R＝＝3.
答案：A
3．解析：由椭圆知，a2＝4，b2＝3，所以c2＝1，
所以右焦点坐标为(1，0)，则直线l的方程为y＝x－1，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立，消y得，7x2－8x－8＝0，
则x1＋x2＝，x1·x2＝－，
所以|AB|＝·＝
× ＝.
即弦AB长为.
答案：C
4．解析：依题意，椭圆C：＋＝1的上顶点A(0，)，下顶点B(0，－)，左焦点F1(－1，0)，右焦点F2(1，0)，
由椭圆的光学性质知，反射光线AD必过右焦点F2，于是得直线AD的方程为：y＝－x＋，
由得点D，则有kBD＝＝，
所以直线BD的斜率kBD为.
答案：B
5．解析：对于椭圆C，由已知可得，则b＝1，c＝，a＝＝2.
因为椭圆C的焦点在x轴上，故椭圆C的方程为＋y2＝1，A对；椭圆C的离心率为e＝＝，B错；
设点F1为椭圆C的左焦点，易知点F1(－，0)，
将x＝－代入椭圆方程可得y＝±，故|PQ|＝1，C错；|PF1|＝|PQ|＝，故|PF2|＝2a－|PF1|＝，D对．
答案：AD
6．解析：由题意可设椭圆的方程为＋＝1(a>2)，
与直线方程x＋y＋4＝0联立，
得4(a2－3)y2＋8(a2－4)y＋(16－a2)(a2－4)＝0，
由Δ＝0，得a＝，
所以椭圆的长轴长为2.
答案：2
7．解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
＋＝1 ①
＋＝1 ②
①－②得＝－，
所以k＝＝－＝－＝－.
所以直线l的方程为y－1＝－(x－1)，
即4x＋9y－13＝0.
答案：4x＋9y－13＝0
8．解析：(1)由题意可知，椭圆上顶点的坐标为(0，b)，左右顶点的坐标分别为(－a，0)、(a，0)，
∴·＝－，即a2＝4b2，则a＝2b.
又a2＝b2＋c2，∴c＝b，所以椭圆的离心率e＝＝；
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得：2x2＋2x＋1－4b2＝0，
∴Δ＝32b2－4＞0，x1＋x2＝－1，x1x2＝，
∴|AB|＝ |x1－x2|＝＝＝，
解得＝，∴b2＝1，满足Δ＞0，
∴a2＝4，∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
9．解析：设与已知直线平行，与椭圆相切的直线为x＋2y＋b＝0，则 4x2＋2bx＋b2－12＝0，所以Δ＝(2b)2－4×4(b2－12)＝0 b＝±4,
所以椭圆上点P到直线x＋2y－9＝0的最短距离为d＝＝.
答案：A
10．解析：设A(x0，y0)，C(x1，y1)，E(x0，m)，则B(－x0，－y0)，
＋＝1，＋＝1，两式相减并化简得－＝·，即kCA·kCB＝－＝－，则e＝＝ ＝，则A正确；∵kAB＝，AB⊥AC，∴kCA＝－，又∵kCA·kCB＝－，∴kCB＝，即kCB＝kEB＝＝，解得m＝0，则点E在x轴上，且为AD的中点，即＝，则C正确．
答案：AC
11．解析：设Q(x，y)，A(－2，0)，B(2，0)，
∴kQA·kQB＝·＝＝＝－；
∵点P在圆O：x2＋y2＝8上，∴kPA·kPB＝－1 kPA·kQB＝－1，
又kQA·kQB＝－.
∴＝2 kQA＝＝.
答案：－
12．解析：(1)因为|F1F2|＝2，|MF1|＋|MF2|＝2＞|F1F2|，
所以C是以点F1，F2为左右焦点的椭圆．
于是a＝，c＝1，故b＝1，因此C的方程为＋y2＝1.
(2)当l垂直于x轴时，|AF2|＝|BF2|＝，|AF1|·|BF1|＝≠，舍去．
当l不垂直于x轴时，可设l：y＝k(x－1)，
代入＋y2＝1可得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0.
因为Δ＝8(1＋k2)＞0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
因为－≤x1≤，
所以|AF1|＝＝＝(x1＋2).
同理|BF1|＝(x2＋2).因此|AF1|·|BF1|＝＋x1＋x2＋2＝.
由＝可得k2＝，x1＋x2＝＝1，
于是|AF1|＋|BF1|＝(x1＋x2＋4)＝.
根据椭圆定义可知|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4，于是|AB|＝.
13．解析：假设长轴在x轴，短轴在y轴，以下分为三种情况：(1)球从F1沿x轴向左直线运动，碰到左顶点必然原路反弹，这时第一次回到F1路程是2(a－c)；(2)球从F1沿x轴向右直线运动，碰到右顶点必然原路反弹，这时第一次回到F1路程是2(a＋c)；(3)球从F1沿x轴斜向上(或向下)运动，碰到椭圆上的点A，反弹后经过椭圆的另一个焦点F2，再弹到椭圆上一点B，反弹后经过点F1，此时小球经过的路程是4a.综上所述，从点F1沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点F1时，小球经过的最大路程是4a，最小路程是2(a－c).∴由题意可得4a＝7×2(a－c)，即5a＝7c，得＝课时作业(十三) 直线的点斜式方程
[练基础]
1．过点P(，－2)且倾斜角为135°的直线方程为( )
A．y＝3x－4 B．y＝x－
C．y＝－x＋ D．y＝－x－
2．在x轴上的截距为4且倾斜角为45°的直线方程为( )
A．y＝x＋2 B．y＝－x－4
C．y＝x－4 D．y＝x＋4
3．直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有( )
A.k>0，b>0 B．k>0，b<0
C．k<0，b>0 D．k<0，b<0
4．与直线y＝2x＋1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程为( )
A．y＝x＋4 B．y＝2x＋4
C．y＝－2x＋4 D．y＝－x＋4
5．(多选)下列四个选项中正确的是( )
A．方程k＝与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直线
B．直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为90°，则其方程是x＝x1
C．直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程是y＝y1
D．所有的直线都有点斜式和斜截式方程
6．与直线y＝x的斜率相等，且过点(－4，3)的直线方程为________．
7．不管k为何值，直线y＝k(x－2)＋3必过定点________．
8．已知直线l与直线y＝x＋6平行，直线l与x轴交点坐标为(a，0)，且a比直线在y轴上的截距大1，求直线l的斜截式方程．
[提能力]
9．直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象可能是( )
10．若直线l经过点A(1，2)，且在x轴上的截距的取值范围是(3，5)，则其斜率的取值范围是( )
A．(－1，－)
B．(－，0)
C．(－∞，－1)∪(，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(－，＋∞)
11．已知直线y＝x＋k与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k的取值范围是________．
12．已知△ABC在第一象限，若A(1，1)，B(5，1)，∠A＝60°，∠B＝45°，求：
(1)边AB所在直线的方程；
(2)边AC和BC所在直线的点斜式方程．
[培优生]
13．(多选)在平面直角坐标系中，直线l：y＝k(x－2)＋3与坐标轴分别交于点A，B，则下列选项中是真命题的有( )
A．存在正实数m使得△OAB面积为m的直线l恰有一条
B．存在正实数m使得△OAB面积为m的直线l恰有二条
C．存在正实数m使得△OAB面积为m的直线l恰有三条
D．存在正实数m使得△OAB面积为m的直线l恰有四条课时作业(十六) 两条直线的交点坐标 两点间的距离公式
[练基础]
1．直线x－y＝0与x＋y＝0的位置关系是( )
A．相交但不垂直 B．平行
C．重合 D．垂直
2．已知三角形的三个顶点A(2，4)，B(3，－6)，C(5，2)，则过A点的中线长为( )
A． B．2 C．11 D．3
3．已知直线l1：2x－y－2＝0与直线l2：3x＋y－8＝0的交点为A，则点A与点B(2，3)间的距离为( )
A． B．2 C． D．1
4．若三条直线2x＋ky＋8＝0，x－y－1＝0和2x－y＝0交于一点，则k的值为( )
A．－2 B．－ C．3 D．
5．已知点M(0，－1)，点N在直线x－y＋1＝0上，若直线MN垂直于直线x＋2y－3＝0，则N点的坐标是( )
A．(2，3) B．(－2，－1)
C．(－4，－3) D．(0，1)
6．过两条直线l1：x＋y－2＝0与l2：3x－y－4＝0的交点，且斜率为－2的直线l的方程为________．
7．已知点A(－2，3)，在y轴上有一点B，且|AB|＝3，则点B的坐标为________．
8．设直线l1：3x＋2y－1＝0与直线l2：x＋3y＋2＝0相交于一点A.
(1)求点A的坐标；
(2)求经过点A，且垂直于直线l1的直线l的方程．
[提能力]
9．已知x，y∈R，S＝ ＋ ，则S的最小值是( )
A．0 B．2
C．4 D．
10．(多选)已知平面上三条直线l1：x－2y＋1＝0，l2：x－1＝0，l3：x＋ky＝0不能构成三角形，则实数k的值可以为( )
A．－2 B．－1
C．0 D．1
11．已知两直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0的交点为P(2，3)，则过两点Q(a1，b1)，P(a2，b2)(a1≠a2)的直线方程为________．
12．直线l过定点P(0，1)，且与直线l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0分别交于A，B两点，若线段AB的中点为P，求直线l的方程．
[培优生]
13．直线l1：x－my－2＝0与直线l2：mx＋y＋2＝0交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则|OQ|的最大值是( )
A．2 B．2
C．2 D．4
